2. matematica comercial

Proyecto Unidad I4Unidad I5Competencia 1.15Indicador 1.1.15Nmeros reales51.1.1.1 Conjunto de los nmeros reales51.1.1.2 Propiedades de los nmeros reales71.1.1.3 Operaciones con nmeros reales81.1.1.4 Potencias91.1.1.5 Calculo del M.C.M y M.C.D.111.1.1.6 Nmeros racionales.12Actividad de indicador 1.1.116Indicador 1.1.2241.1.2. Aplicacin de Cifras Significativas y Redondeo241.1.2.1 Cifras significativas24Actividad de indicador 1.1.226Indicador 1.1.3271.1.3 Radicacin:271.1.3.1 Radicales271.1.3.2 Operaciones con radicales32Actividad de indicador 1.1.337Indicador 1.1.4401.1.4. Jerarqua de operaciones y signos de agrupacin401.1.4.1 Simplificacin de signos de agrupacin.40Actividad de indicador 1.1.442Indicador 1.1.5431.1.5 Aplicacin de numeracin posicional431.1.5.1 Numeracin posicional431.1.5.2 Conversin de un sistema de numeracin posicional a otro.45Actividad de indicador 1.1.548Indicador 1.2.1491.2.1. Introduccin a la Lgica matemtica491.2.1.1 Historia y evolucin de la lgica491.2.1.2 Proposiciones simples y compuestas.49

1.2.1.3 Lgica simblica51Indicador 1.2.2541.2.2 Tablas de Verdad541.2.2.1 Calculo de validez de una proposicin compuesta por el mtodo directo541.2.2.2 Calculo de validez de una proposicin compuesta por construccin de tablas de verdad.55Actividad de indicador 1.258Proyecto Unidad II60Unidad II61Competencia 2.161Indicador 2.1.1612.1.1. Proporcionalidad612.1.1.1 Magnitudes directas e inversas.61Actividad de indicador 2.1.164Indicador 2.1.2652.1.2 Regla de tres652.1.2.1 Regla de tres simple652.1.2.2 Regla de tres simple compuesta.67Actividad de indicador 2.1.269Indicador 2.1.3712.1.3 Repartimiento712.1.3.1 Repartimiento proporcional712. 1.3.2 Repartimiento proporcional directo712.1.3.3 Repartimiento proporcional inverso732.1.3.4 Repartimiento proporcional compuesto.74Actividad de indicador 2.1.375Indicador 2.1.4762.1.4 Porcentaje762.1.4.1 Porcentajes762.1.5 Indicador832.1.5 Aplicacin de porcentajes en ganancias y prdidas.832.1.5.1 CLCULO DEL I.V.A83Actividad de indicador 2.484

Proyecto Unidad III87Unidad III88Competencia 3.1.188Indicador 3.1.1883.1.1 Inters883.1.1.1 Inters simple883.1.1.2 Inters simple exacto y ordinario.903.1.1.3 Clculo exacto y aproximado del tiempo91Indicador 3.1.2923.1.2 Calculo elementos del inters simple.923.1.2.1 Calculo del inters simple cuando la tasa de inters no se cobra en forma anual.93Actividad de indicador 3.1.295Indicador 3.1.3963.1.3 Pagares963.1.3.1 Pagares963.1.3.2 Ecuaciones de valor.97Actividad de indicador 3.1.398Indicador 3.1.4993.1.4 Descuentos1003.1.4.1 Letra de cambio1003.1.4.2 Modelo de letra de cambio1003.1.4.3 Descuento racional1043.1.4.4 Descuento bancario1053.1.4.5 Descuento comercial1053.1.4.6 Prorrateo de facturas107Actividad de indicador 3.1.4112Indicador 3.1.51133.1.5 Inters compuesto1133.1.5.1 Inters compuesto113Actividad de indicador 3.1.5115

Proyecto Unidad IV117Unidad IV118Indicador 4.1.11184.1.1 Exploracin espacio.1184.1.1.1. ngulos1184.1.1.2 Paralelismo1214.1.1.3 Sistemas de medicin121Actividad de indicador 4.1.1124Indicador 4.1.21264.1.2 Figuras geomtricas1264.1.2.1 Permetros y reas de figuras planas1264.1.2.2 Cuadrado y rectngulo1264.1.2.3 Paralelogramo1274.1.2.4 Rombo1274.1.2.5 Trapecios1284.1.2.6 Tringulo1294.1.2.7 Polgonos regulares1304.1.2.8 Circunferencia y crculo1304.1.3.8 Volmenes de cuerpos slidos133Actividad de indicador 4.1.2134Indicador 4.1.31354.1.3 Ecuaciones1354.1.3.1Ecuaciones lineales1354.1.3.2. Propiedades de la igualdad1374.1.3.3. Resolucin de ecuaciones de primer grado.1444.1.3 Actividad de indicador148

Centro de Estudios Tcnicos y Avanzados de Chimaltenango.Primera Unidad Ciclo Escolar 2011

Asignatura:Matemtica Comercial Profesor(a):

PLANIFICACION UNIDAD DE APRENDIZAJE

SEMANA 1: ____/____/_____ al ____/____/____Declarativos:

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJEPROCEDIMIENTOFECHAPUNTEO

Clase Magistral. Consulta libro de texto, e Internet, Introduccin a la Estadstica, Evolucin e Historia. Caractersticas y Diferencias sobre Poblacin y Muestreo. ExplicacionesInterrogantes.Laboratorios Cortos.Ejercicios prcticos



Clase Magistral. Consulta libro de texto, e Internet, Definicin entre escalas de medicin, nominales, ordinales, de intervalos y razones o cocientes.ExplicacionesInterrogantes.Laboratorios Cortos.Ejercicios prcticos

SEMANA 3: ___/____/_____ al ____/____/____Declarativos:


Clase Magistral. Consulta libro de texto, e Internet, Investigacin Cientfica, Planeamiento, Recoleccin y Procesamiento y anlisis.ExplicacionesInterrogantes.Laboratorios Cortos.Ejercicios prcticos



Clase Magistral. Consulta libro de texto, e Internet, Introduccin al tema de la Distribucin de Frecuencias. Practica y definiciones ExplicacionesInterrogantes.Laboratorios Cortos.Ejercicios prcticos



Clase Magistral. Consulta libro de texto, e Internet, Ejercicios prcticos sobre la elaboracin de marcas de clase frecuencia acumulativa relativa.ExplicacionesInterrogantes.Laboratorios Cortos.Ejercicios prcticos



Clase Magistral. Consulta libro de texto, e Internet, Presentacin Grfica de Datos, Histograma y Polgono de Frecuencias, ejercicios y su resolucin final.ExplicacionesInterrogantes.Laboratorios Cortos.Ejercicios prcticos

SEMANA 7: ____/____/_____ al ____/____/____EVALUACION FINAL DE UNIDAD

Prueba Objetiva

Sobre contenido terico y prctico visto en clase

[Matemtica Comercial]Diversificado

39

Instrucciones: A continuacin debe desarrollar el Proyecto de Unidad en el cual se mostrar las capacidades aprendidas durante el bimestre.Proyecto Unidad I

Resuelva los Siguientes Ejercicios sobre:_______________________________________________1.2.

3.4.

5.6.

7.8.

9.10.

Resuelva los Siguientes Ejercicios sobre:________________________________________________

1.2.

3.4.

5.6.

7.8.

9.10.

Formato de Entrega: En hojas tamao carta bond en blanco, incluir cartula con todos sus datos Debe ser realizado a mano y a lpiz, solo respuestas a lapicero. Solo debe engraparse.

Fecha de Entrega: Entrega: ____/____/_______.

Unidad ICompetencia 1.1

Expresa ideas de patrones y relaciones matemticas utilizando algoritmos para resolver problemas de su entorno.

Indicador 1.1.1

Identifica cada conjunto de nmeros segn sus propiedades y caractersticas, aplicado a cada una de las operaciones a la resolucin de ejercicios.

Nmeros reales1.1.1.1 Conjunto de los nmeros realesLos nmeros naturales son los nmeros que utilizamos para contar, estos son: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8,}. Los puntos suspensivos indican que los nmeros continan de esa forma, sin terminar nunca.

Si sumamos dos nmeros naturales obtenemos otro nmero natural, por ejemplo: 8 + 5 = 13. Pero si restamos 5 5, necesitamos otro nmero que represente el resultado. Ese nmero es cero. Entonces tenemos otro conjunto numrico que en adicin a incluir los nmeros naturales incluye el cero. Este es el conjunto de los nmeros cardinales {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8,}.

En el diario vivir se escuchan expresiones como: 10 grado bajo cero, 647 en dbito, 8 pies bajo el nivel del mar. Estas tres expresiones se refieren a nmeros menores que cero. Con estas situaciones surgen los enteros negativos. Los enteros negativos, el cero y los nmeros naturales (tambin conocidos por enteros positivos) forman el conjunto de los nmeros enteros, estos son {,-4,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3, 4,}.

Si sumamos, restamos y multiplicamos enteros siempre se obtiene otro nmero entero. Pero si dividimos dos enteros no siempre obtendremos otro entero. Por ejemplo, 16 2 = 8 pero en 3 4 el resultado no es un entero. Existen muchas divisiones donde el resultado no es un entero. Esta situacin nos lleva a otro conjunto numrico conocido por los nmeros racionales. Los nmeros racionales son todos aquellos nmeros que se pueden escribir de la forma donde b es diferente de cero. Los nmeros naturales, los cardinales y los enteros son nmeros racionales. Otros ejemplos de nmeros racionales son:

Existe otro conjunto de nmeros que son los nmeros irracionales, estos son nmeros que no son racionales, esto es, que no se pueden expresar de la forma donde b es diferente de cero. Ejemplos: 2 = 1.414213562 es un nmero irracional y = 3.14157

Luego el conjunto de nmeros que consiste de todos los nmeros racionales y todos los nmeros irracionales se conoce como el conjunto de los nmeros reales.

1.1.1.2 Propiedades de los nmeros reales

Para todo nmero real a, b y c:

Propiedad Conmutativa: a + b = b + a a b = b aEjemplos: 5 + 3 = 3 + 5 2 x 4 = 4 x 2

Propiedad Asociativa: a + (b + c) = (a + b) + c a (b c) = (a b) c

Ejemplos: 2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 4 5 x (1 x 7) = (5 x 1) x 7

Elemento Identidad de la Suma: a + 0 = aEjemplos: 8 + 0 = 8; -4 + 0 = -4Elemento Identidad de la Multiplicacin: a 1 = aEjemplos: 9 x 1 = 9; -3 x 1 = -3Inverso Aditivo: a + (-a) = 0Ejemplo: 6 + (-6) = 0

Inverso Multiplicativo: Ejemplos: Propiedad Distributiva: a (b + c) = a b + a cEjemplo: 5 (3 + 4) = 5 3 + 5 41.1.1.3 Operaciones con nmeros realesNmeros enteros y valor absoluto El conjunto de los nmeros enteros lo forman los enteros positivos, enteros negativos y el cero. Los signos + y - que llevan los nmeros enteros no son signos de operaciones (suma, resta), sino que indican simplemente la cualidad de ser positivos o negativos. Se llama valor absoluto de un nmero entero al nmero natural que resulta de prescindir del signo. Se expresa encerrando este nmero entre dos barras.

Suma de nmeros enteros: Cuando tienen el mismo signo: Se suman los valores absolutos y se escribe el signo comn o el signo que se repite. Ejemplo: (+5) + (+4) = +9 es lo mismo que: 5 + 4 = 9 (- 5) + (- 4) = - 9 es lo mismo que: - 5 - 4 = - 9Cuando tienen distinto signo: Se restan sus valores absolutos y se escribe el signo del sumando de mayor valor absoluto. (Se restan y se deja el signo del ms grande en valor absoluto).(+20) + (-10) = 20 -10 = +10, (20 -10 =10, el ms grande en valor absoluto es +20, se escribe +10) (- 8) + (+3) = - 8 + 3 = - 5 (8 3 = 5, el ms grande es el - 8, se escribe -5) (+11) + (- 2) = 11 - 2 = + 9 (11 - 2 = 9, el ms grande es el 11, se pone +9)

Multiplicacin de nmeros enteros: Cuando tienen el mismo signo: Se multiplican o dividen los valores absolutos y su producto o cociente es un entero positivo. Cuando tienen distinto signo: Se multiplican o dividen valores absolutos y se escribe como resultado un entero negativo. (+8) . (+3) = + 24 (-3) . (-2) = + 6 (+4) . (-1) = - 4 (-2) . (+4) = - 8 (-15) / (-15) = +1 8 / 4 = +2 - 4 / (-2) = +2 10 / 2 = +5 10 / (-2) = - 5 (-8) / 4 = - 2 24 / (-4) = - 6 - 6 / 3 = - 21.1.1.4 PotenciasLa potencia de exponente natural de un nmero entero es otro nmero entero, cuyo valor absoluto es el valor absoluto de la potencia y cuyo signo es el que se deduce de la aplicacin de las siguientes reglas:1. Las potencias de exponente par son siempre positivas.

2. Las potencias de exponente impar tienen el mismo signo de la base.

Propiedades

a1 = a

Ejemplos: 1.

1 + 1 + 1 + 1 = 42.

3.

4.

5.

5.1

6.

7.

8.

Recuerda que en este ejemplo se aplica la ley de signos

9.

Cuando tenemos diferentes variables, se opera cada variable con la misma.

10.

11.

12.

13.

1.1.1.5 Calculo del M.C.M y M.C.D.Criterios de Divisibilidad:Por 2: cuando acaba en 0 o en cifra par. Como los nmeros: 20, 4, 322. Por 3: cuando la suma de sus cifras es un mltiplo de 3. Como los nmeros: 12, 342, 81. Por 5: cuando acaba en 0 o en 5. Como los nmeros: 10, 25, 255, 325. Usamos esto para descomponer en factores primos. Un nmero es primo cuando slo es divisible por el mismo y la unidad. Los divisores de un nmero lo forman sus divisores positivos y negativos. El dos es un nmero primo divisible por +2, -2, +1 y -1. Cuando un nmero sea divisible por dos nmeros para descomponerlo en factores empezamos por el factor ms pequeo. El 12 es divisible por 2 y 3 empezaramos dividiendo por 2. Mximo comn divisor: m.c.d. Para calcular el m.c.d. descomponemos en factores aplicando los criterios de divisibilidad, y elegimos los factores comunes de menor exponente. Lo usamos para simplificar.

Mnimo comn mltiplo: m.c.m. Descomponemos en factores y elegimos los factores comunes de mayor exponente y los no comunes. Lo usamos para poder sumar fracciones de distinto denominador. Las reducimos a comn denominador y despus las sumamos. Ejemplo:

1.1.1.6 Nmeros racionales.Al conjunto de todos los nmeros que se pueden expresar mediante fracciones se le llama conjunto de los nmeros racionales. Los nmeros irracionales son nmeros decimales con un nmero ilimitado de cifras decimales no peridicas que no se pueden expresar en forma de fraccin.

Tipos de fracciones: Fraccin propia: es aquella donde el numerador es menor que el denominador ejemplo:

Fraccin Impropia: es aquella donde el numerador es mayor que el denominador ejemplo: Fraccin Compuesta: Es aquella que esta compuesta por un nmero entero y un nmero fraccionario ejemplo:

Multiplicacin de nmeros racionales:El producto de dos nmeros racionales es un nmero racional cuyo numerador es el producto de los numeradores y cuyo denominador es el producto de los denominadores.

Ejemplo:

se puede resolver simplificando fracciones por ejemplo eliminamos el denominador cuatro con el numerador cuatro y la fraccin queda

Solo simplificar de la misma manera que se realiz el ejemplo 1

DIVISIN DE FRACCIONES:Para resolver Divisiones de Fracciones, hay dos mtodos muy conocidos, como el mtodo de los extremos y medios, tambin conocido como Ley del Sndwich, y un segundo mtodo conocido, es el tambin llamado sube y Baja.LEY DE MEDIOS Y EXTREMOSSe colocan las dos fracciones en forma de Sndwich, es decir una sobre otra, y a continuacin se procede a multiplicar los medios y los extremos, es importante saber que la multiplicacin de los medios se vuelve El Nuevo denominador es decir que es la parte de debajo de la fraccin. Y la multiplicacin de los extremos se vuelve el nuevo Numerador

PROCEDIMIENTO SUBE Y BAJASe ordenan las fracciones en posicin horizontal, y a continuacin se procede a multiplicar en forma cruzada, es decir: el numerador de la primera fraccin multiplicara al denominador de la segunda fraccin para volverse el nuevo NUMERADOR, y el denominador de la primera ecuacin multiplicara al numerador de la segunda fraccin para volverse el nuevo DENOMINADOR.

Ejemplo.

SUMA Y RESTA DE FRACCIONES

Suma y Resta de Fracciones con el mismo denominador

Cuando las fracciones tienen el mismo denominador, estas reciben el nombre de Fracciones Homogneas, y la forma de resolverlas es igual de sencilla que las otras, la resolucin consiste en copiar el denominador y sumar los denominadores, y si se pudiera, entonces se simplifica.

Nota: Un Numero Entero nunca, se puede simplificar, por lo mismo porque es entero.

Suma de Fracciones Con el Distinto Denominador.

Para resolver fracciones con Distinto Denominador, existen varias formas, entre ellas se puede calcular el mximo comn Divisor, tambin conocido como MCD, o por la forma Cruzada o forma General.

Ejemplo:

1 3 3 Comn denominador.1 1

RESTA DE FRACCIONES DE IGUAL DENOMINADOR

Al igual que en la suma con mismos denominadores, en la resta se hace bsicamente lo mismo, solo que ahora en vez de sumar los numeradores, estos se han de restar.

RESTA DE FRACCIONES CON DISTINTO DENOMINADORSe puede resolver por los mismos mtodos, siempre y cuando se estn respetando las leyes de los signos.

Calculemos por medio del MCD.

Actividad de indicador 1.1.1

Resolver lo que se solicita en cada inciso.

1) Indica a cual o cuales de los siguientes conjuntos pertenecen los nmeros de la izquierda de la tabla con una marca de cotejo:

Nmero/Conjunto numricoNaturalCardinalEnteroRacionalIrracionalReal

11

-7

0

0.272727

7.25

2.7985413

1

2) Resolver los siguientes ejercicios y escribir las respuestas correctas en los espacios que estn en las casillas. Realiza las siguientes operaciones:

R=a)

b)

R=

R=c)

d)

R=

R=e)

3) R=Realiza las siguientes operaciones:a)

R=b)

c)

R=

d)

R=

e)

R=

4) Resolver los siguientes problemas, dejando constancia de su trabajo.

a) Cul es el menor nmero de 4 cifras que es a la vez divisible por 5 y por 7?

b) La ferretera ocupa un tercio de las dos quintas partes de una planta si esta ocupa un rea de 1320m2. Expresa mediante una fraccin lo que ocupa la ferretera. Qu superficie ocupa la ferretera?c) Expresar la parte de la figura est coloreada en fraccin.

d) Representa 1/3 en la siguiente figura.

e) Calcula:

de 351 de 140

de 60 de 585f) Qu fraccin hay que aplicarle a 63 para obtener 27?g) A que nmero hay que aplicarle para obtener 56?5) Simplifica las siguientes fracciones.

a) b) c)6) Identificar que pares de fracciones son equivalentes

a) y b) y c) y 7) Completa la siguiente tabla:FraccionesReducidas a comn denominadorOrdenadas

8) Representa en la recta real las siguientes fracciones:

9) Halla el resultado simplificado de las siguientes expresiones.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h) 10) En un peridico se recogen los puntos conseguidos por cada jugador del equipo de la seleccin espaola de baloncesto en un determinado partido:ESPAA 75 Puntos

JugadorPuntosCanastas de 2 p.Canastas de 3 p.Tiros libresRebotes

Lasa60/22/30/20

Herreros50/11/12/41

Smith156/120/23/415

Orenga105/70/00/01

Ferrn Martnez83/60/02/22

Reyes115/70/01/19

X. Fernndez82/41/12

Galilea50/12/20

A. Martn73/50/12

a) Qu fraccin de los puntos totales representa los puntos conseguidos por cada jugador?b) Si sumas todas esas fracciones Cul ha de ser el resultado? Comprubalo realizando la suma.c) Qu fraccin representa los puntos conseguidos mediante canasta de 2 puntos? d) Qu fraccin representa los puntos conseguidos mediante canasta de 3 puntos?e) Qu fraccin representa los tiros libres conseguidos?f) Suma las fracciones correspondientes a los tiros de 2 puntos, a los tiros de 3 puntos y a los tiros libres. Cul es el resultado?g) Cuntos rebotes se han conseguido? Si estos rebotes son los de los rebotes totales Cuntos rebotes logr el equipo contrario?

11) En una encuesta realizada al alumnado de un centro escolar sobre sus preferencias en deportes se obtuvieron los siguientes resultados que indica la tabla:

PreferenciasNmero de alumnos/as

Ftbol del total

Baloncesto267

Otros deportes del total

a) Cuntos alumnos realizaron la encuesta?b) Cuntos prefieren ftbol?c) Cuntos prefieren otros deportes?

12) La familia de Pedro est formada por 5 miembros.

La edad de cada miembro es la mitad del que le precede.Los padres tiene la misma edad.La edad de Rosa es de la de Ana.Rosa tiene 15 aos.Calcula la edad de cada uno.

13) Borja gast el sbado la mitad del dinero que le dio su padre para toda la semana. El domingo gast la tercera parte de lo que le quedaba. Y ya slo le queda lo justo para el autobs que tiene que coger los restantes das de la semana para ir al instituto (130 pts. billete de ida y vuelta). Cunto dinero le dio esta semana su padre?

14) Realizar las operaciones con potencias, simplificando y utilizar exponentes positivos:a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

Indicador 1.1.2

1.1.2 Resuelve problemas donde se manipula nmeros decimales y reconociendo la aplicacin de cifras significativas

1.1.2. Aplicacin de Cifras Significativas y Redondeo1.1.2.1 Cifras significativas1. Cualquier dgito diferente de cero es significativo. 1234.56 6 cifras significativas

2. Ceros entre dgitos distintos de cero son significativos.1002.5 5 cifras significativas

3. Ceros a la izquierda del primer dgito distinto de cero no son significativos.000456 3 cifras significativas0.0056 2 cifras significativas 4. Si el nmero es mayor que (1), todos los ceros a la derecha del punto decimal son significativos.457.12 5 cifras significativas400.00 5 cifras significativas

5. Si el nmero es menor que uno, entonces nicamente los ceros que estn al final del nmero y entre los dgitos distintos de cero son significativos.0.01020 4 cifras significativas. 6. Para los nmeros que contengan puntos decimales, los ceros que se arrastran pueden o no pueden ser significativos. En este curso suponemos que los dgitos son significativos a menos que se diga el contrario.1000 1, 2, 3, o 4 cifras significativas. Supondremos 4 en nuestros clculos0.0010 2 cifras significativas1.000 4 cifras significativas.7. Supondremos que cantidades definidas o contadas tienen un nmero ilimitado de cifras significativas.

NOTA: Es mucho ms fcil contar y encontrar las cifras significativas si el nmero est escrita en notacin significativa. Uso en clculos

1. Suma y Sustraccin: El nmero de cifras significativas a la derecha del punto decimal en la suma o la diferencia es determinada por el nmero con menos cifras significativas a la derecha del punto decimal de cualquiera de los nmeros originales.6.2456 + 6.2 = 12.4456 redondeado a 12.4nota: 3 cifras significativas en la respuesta

2. Multiplicacin y Divisin: El nmero de cifras significativas en el producto final o en el cociente es determinado por el nmero original que tenga la cifra significativa ms pequea.2.51 x 2.30 = 5.773 redondeada a 5.772.4 x 0.000673 = 0.0016152 redondeado a 0.0016

Redondeando1. Aumente en uno al dgito que sigue a la ltima cifra significativa si el primer dgito es menor que 5.Redondear 1.61562 a 2 cifras significativas RESP: 1.6

2. Si el primer dgito a truncar es mayor que cinco, incrementar el dgito precedente en 1.Redondear 1.61562 a 5 cifras significativas RESP: 1.6156

3. Si el primer dgito a truncar es cinco y hay dgitos diferentes de cero despus del cinco, incrementa el dgito precedente en 1.Redondear 1.61562 a 3 cifras significativas RESP: 1.62Redondear 1.62500003 a 3 cifras significativas RESP: 1.63

4. Si el primer dgito a truncar es cinco y hay nicamente ceros despus del cinco, redondee al nmero par.Redondear 1.655000 a 3 cifras significativas RESP: 1.66Redondear 1.625000 a 3 cifras significativas RESP: 1.62

Ejemplos:


1. Efecte las operaciones matemticas indicadas de los nmeros medidos conservando en mente el nmero de cifras significativas.

(a) (73.45/10.0)(7.09)(0.010)(b) (7.333.3/21.0)(43.02)(c) (24.44/2.3)(6.02/100.0)(d) (4.00)(100)(4.3)(e) (364.7)(8.200)(f) 28.64/6.0(g) (5.00)(1.32)/(40 652)(h) 44.3031 + 4.202 + 100012.2 + 1.43 + 0.00001(i) 100 + 4.2 + 0.01 + 100.034(j) 96.6 + 100.73 + 10.0396 + 190 + 7

2. Efecte las operaciones matemticas indicadas de los nmeros medidos conservando en mente el nmero de cifras significativas.(a) (73.45/10.0)(7.09)(0.010)(b) (7.333.3/21.0)(43.02)(c) (24.44/2.3)(6.02/100.0)(d) (4.00)(100)(4.3)(e) (364.7)(8.200)(f) 28.64/6.0(g) (5.00)(1.32)/(40 652)(h) 44.3031 + 4.202 + 100012.2 + 1.43 + 0.00001(i) 100 + 4.2 + 0.01 + 100.034(j) 96.6 + 100.73 + 10.0396 + 190 + 7Indicador 1.1.3

Determina la raz exacta cuando tiene un ndice n y aplica sus propiedades

1.1.3 Radicacin: 1.1.3.1 Radicales De igual manera que las otras operaciones aritmticas tienen su operacin inversa, la radicacin es la operacin inversa de la potenciacin.

Notacin: la raz ensima de un nmero d se representa con el smbolo . Se llama radical al smbolo , orden o ndice a n, donde n es un nmero natural, n 2, y radicando a d.

ndice

raz

SubradicalDefinicin

Sea n R, se llama raz ensima de a, y se representa con el smbolo, al nmero real a, si existe, que tiene el mismo signo que d y tal que yn= a.

Si

Esto es, si y slo si a y y tienen el mismo signo y yn = a.

1. porque 4 y 2 tienen el mismo signo y 22= 4.

2. porque 4 y -2 no tienen el mismo signo, aunque (-2)2= 4.

3. no es un nmero real. * Se puede encontrar la raz solo que no pertenece al conjunto de nmeros reales Se lee dos imaginario o complejo.Anlisis de la definicin:

Si n N, n 2, d 0, entonces , donde a 0 y an= y.Si d > 0 y est escrito como la ensima potencia de un nmero a, a 0, entonces

= .Si y > 0 y est escrito como la ensima potencia de un nmero a, a < 0, entonces

= |a|.

Si y = 0, entonces

Si y < 0, y n N y n es impar, entonces , donde aNo existe una ley o propiedad que permita sumar radicales de forma directa. Se debe tener cuidado si se presentan sumas o restas dentro del radicando.Definicin

Dos radicales son semejantes si tienen el mismo ndice y el mismo radicando.Podemos combinar radicales semejantes

Propiedad 4: Adicin de radicales

Si R,,

Observa que en ambos trminos tenemos la raz ensima de a.En general,

Si R, R,, Ejemplos:


1) Expresar con el signo de radical y exponentes positivos

a) xb)

c) 5ad)

e) 2mf)

g)

h)

i)

j) x

k) x-2m-3nl)

m)

n)

2) Expresar con exponentes positivos.a)

b)

c)

d)

e)

f) x2

g)

h)

i)

3) Encuentre el valor del radical. No utilice calculadora[Matemtica Comercial]Diversificado

62

a)

b) c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

1.1.4. Reconoce y escribe los procesos matemticos para resolver un problema donde existan diversas operaciones aritmticas.Indicador 1.1.4

1.1.4. Jerarqua de operaciones y signos de agrupacin1.1.4.1 Simplificacin de signos de agrupacin.Operaciones con parntesis ( ) y corchetes [ ] Prioridad de las operaciones. Qu hacemos primero?1. Cuando no hay ni parntesis ni corchetes, hacemos primero las multiplicaciones y divisiones si las hay. Si hay varios nmeros positivos y negativos los agrupamos y despus los sumamos.

2. Cuando hay parntesis, hacemos primero los clculos del parntesis si los hay y despus para quitar el parntesis aplicamos la regla de los signos, signo que haya delante del parntesis por signo que haya dentro. Luego como en el punto 1.

3. Cuando hay parntesis y corchetes, hacemos primero los parntesis, los quitamos aplicando la regla de los signos. Despus hacemos los corchetes y los quitamos aplicando la regla de los signos. Luego hacemos los productos y divisiones y por ltimo las sumas. Ejemplos:

Ejemplos:


1) Calcule el valor de las siguientes expresiones, coloque sus respuestas en las respectivas casillas:

a) 8 + 2 10 =

b) ( 8 + 2 ) 10 =

c) 15 / 3 + 12 =

d) 15 / ( 3 + 12 ) =

e) 10 3 + 10 8 5 ( 3 2 + 1 ) =

f) 10 10 / 2 + 15 / 3 + 4 4 =

g) ( 6 + 8 ) / 2 + 18 / ( 5 + 4 )=

h) -5 ( - 3 3 3 ) + 4 4 + 5 ( -1 ) 3 ( 2 + 5 ) =

i) j) [ 3 + 4 4 ( 5 3 2 ) ] + [3 (- 2 ) ] =

Indicador 1.1.5

Identifica las caractersticas que debe cumplir cada sistema de numeracin posicional e involucra conversiones de un sistema a otro.

1.1.5 Aplicacin de numeracin posicional1.1.5.1 Numeracin posicional

Sistema de base 10El sistema de origen arbigo o decimal tiene dos caractersticas: su base es 10 y es posicional. La base 10 puede tener los siguientes valores:

100 = 1

101 = 10

102 = 100

103 = 1000 etc.

En este sistema se usan diez smbolos que van de 0 a 9, con estos se expresa cualquier nmero en el sistema decimal, porque segn su posicin as ser su valor.

La posicin de las potencias determina su valor, va en ascenso de derecha a izquierda, conforme al siguiente orden:104103102101100

Por ejemplo: para escribir el nmero 19. La posicin de que va en 101 y la del 9 queda en el 100, as:101100

19

Para demostrarlo se utiliza la suma.

9 x 100 = 9por tanto 19 = 1 x 101 + 9 x 1001 x 101 = 10 + 19

En el Caso del nmero 356. La posicin queda as:

102101100

356

Entonces se tiene:

6 x 100= 65 x 101= 50 Por lo tanto 356 = 3 x 102+ 5 x 101 + 6 x 1003 x 102= 300 356De acuerdo con lo anterior se concluye que los smbolos de 0 a 9 van a tener un valor segn la posicin que ocupan. Teniendo como base el 10.

Sistema de base 2

El sistema de base 2 es tambin llamado binario porque su base es el 2 y puede expresarse as:

20 =1 Posicionalmente el orden queda as:.252423222120

21 =222 =423 =824 =1625 =32

En este sistema se usan solo dos smbolos: 1 y 0. Que tambin, dependiendo de su posicin, as es su valor.

Por Ejemplo: Al colocarlo en sistema de base dos su posicin quedara as:

2120

11

Dado que:

1 x 20 = 1Es decir, 3 en base 10 sistema binario es igual a 11 o a la1 x 21 = 2 + inversa. 3112 = 310NOTA: El subndice 2 y el subndice 10 sirven para indicar el sistema que se esta considerando.10112 Su valor en el sistema decimal ser:

En sus posiciones:23222120

1011

Entonces se tiene: 1 x 20 = 1 1 x 21 = 2 0 x 22 = 0 1 x 23 = 8 + 11

Es decir: 10112 = 1 x 23 + 0 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20 = 11 8 + 0 + 2 + 1

Entonces 10112 = 1110

Entonces 10112 Su valor en el sistema decimal, ser:

E n sus posiciones:

2423222120

10101

Entonces se Tiene:1 x 20 = 10 x 21 = 01 x 22 = 40 x 23 = 01 x 24 = 16 + 21Finalmente: 101012 = 2110

1.1.5.2 Conversin de un sistema de numeracin posicional a otro.Procedimiento para convertir un nmero de base 10 a 2

Se hacen divisiones sucesivas entere dos y los residuos sern los que formen el numeral en el otro sistema, junto con el ultimo cociente.

Observe los siguientes casos:

a) 15 expresado en binario.

Entonces 15 = 11112

b) 24 expresado en binario Entonces 24 = 110002

Sistema de base 3En este caso la base es 3 y se utilizaran los smbolos 1, 2 y 0.

Posicionalmente se escribe en el orden siguiente:

.353433323130

Por la teora de exponentes los valores sern:30 = 131 = 332 = 933 = 2734 = 8135 = 243 etc.Observe los ejemplos:

1) 10023 Expresando a sistema Decimal, colocndolo posicionalmente se tiene:

33323130

1002

Entonces:

10023= 1 x 33 + 0 x 32 + 0 x 31 + 2 x 30 27 + 0 + 0 + 2 = 29

2) 2013 Expresado a sistema Decimal, es :

2013 = 2 x 32 + 0 x 31 +1 x 30 18 + 0 + 1 = 19

Conversin de sistema decimal a base 3PROCEDIMIENTO: Se hacen divisiones sucesivas entre 3 y se consideran los residuos y el ltimo cociente:CONVERTIR A BASE 3:

1) 65

Entonces 65 = 21023

Sistema de base 8En este sistema se utilizan los smbolos 0,1,2,3,4,5,6,7 y las posiciones de las bases son:

.8483828180

Por ejemplo:

6378 Se coloca posicionalmente as:

828180

637

Expresado ser:6378 = 6 x 82 + 3 x 81 + 3 x 80 384 + 24 + 7 = 415

Transformacin del Sistema Base 10 a Sistema Base 8

Procedimiento:

Se divide sucesivamente entre 8

Ejemplo:

950 Pasarlo a Sistema de base 8:

ENTONCES: 950 = 16668


a) Transforme los siguientes numerales segn se le indica.

Binario a Decimal.

1) 10002

2) 1010012

3) 10110112

4) 11111112

5) 1001001002

De Decimal a Binario, de base 3, 6 y12.6) 17

7) 40

8) 25

9) 10

10) 34

Indicador 1.2.1

Utiliza elementos de lgica para representar y analizar oraciones de acuerdo a su veracidad o falsedad.

1.2.1. Introduccin a la Lgica matemtica1.2.1.1 Historia y evolucin de la lgicaNo es fcil definir este trmino lgica, lo que si se puede hacer es ofrecer una explicacin aproximada, para lo cual se necesitara por lo menos un libro, como lo da a entender Irving M. Copi en su obra Introduccin a la Lgica.

Un intento de definicin puede ser, El estudio de la lgica es el estudio de los mtodos y principios usados para distinguir el razonamiento correcto del incorrecto Aunque sin necesidad e estudiar, se puede tener una natural capacidad lgica.

Tambin en la lgica se aprende a distinguir falacias o falsas verdades.

Aparte de esto se puede indicar que el razonamiento es pensamiento, pero no todo pensamiento es razonamiento.En el proceso lgico interesa la conclusin y las premisas, de tal forma que si las premisas son verdaderas, la conclusin es verdadera.

En el proceso lgico interesa la conclusin y las premisas, de tal forma que si las premisas son verdaderas, la conclusin es verdadera.

En el proceso lgico interesa la conclusin y las premisas, de tal forma que si las premisas son verdaderas, la conclusin es verdadera.

En el proceso lgico interesan las proposiciones inciales y terminales del proceso y las relaciones que se dan entre ellas.

1.2.1.2 Proposiciones simples y compuestas.

Cuando se habla de una proposicin se esta refiriendo a una oracin declarativa. Y algo que distingue a una proposicin es que lo afirmado puede ser verdadero o falso.

Ejemplo, al decir: llueve, esto es una proposicin ya que se esta declarando que llueve, pero puede ser que sea verdadero lo que se afirm o falso.

Generalmente se usan los smbolos 0, 1 para indicar los valores de falso (0) y verdadero (1).

En la estructura de un proceso lgico se da premisa y conclusin.

Premisa Conclusin.

Aunque, una proposicin puede ser premisa en un razonamiento y conclusin en otro.

Finalmente, antes de aplicar a lo matemtico, la lgica, se pueden decir que los razonamientos pueden ser deductivos e inductivos.El Razonamiento deductivo pretende de sus premisas que ofrezca evidencias concluyentes, es decir, no dejan lugar a dudas. Evalundose con los trminos tcnicos vlido en invalido.

Un razonamiento inductivo, no pretende que sus premisas ofrezcan una evidencia total de la verdad de su conclusin, aqu no se puede precisar si es vlido o invalido. Considerndose ms que todo la probabilidad.

Por otro lado, nicamente las proposiciones pueden evaluarse de verdaderas o falsas, nunca los razonamientos.

Ejemplos de proposiciones y su evaluacin F o V.Todas las Ballenas son mamferos. V

Todas las araas tienen 6 patas. F

VERDAD Y VALIDEZNo hay que confundir verdad con validez porque:Hay razonamientos que pueden contener exclusivamente proposiciones falsas y ser validos. Ejemplo:Premisas:Todas las araas tienen 6 patas. FTodos los seres de 6 patas tienen alas FPor tanto, todas las araas tienen alas. F

Este razonamiento es vlido, porque si sus premisas fueran verdaderas la conclusin seria tambin verdadera.

As es de considerar que hay razonamientos vlidos con conclusiones falsas, y hay razonamientos con conclusiones verdaderas.

Otro ejemplo:Si tuviera todo el dinero del Banco Nacional sera muy rico. VPremisas:No tengo todo el dinero del Banco Nacional VPor tanto, no soy muy rico. VSus premisas y conclusin son verdaderas, pero el razonamiento no es vlido, porque si fuera millonario aunque las premisas son verdaderas la conclusin seria falsa.

1.2.1.3 Lgica simblica

Modernamente en el estudio de la lgica, se ha hecho uso de smbolos que permiten exponer con mayor claridad las estructuras lgicas. Adems de una mejor manipulacin de estas. As surge pues lo que se llama notacin lgica. Que hace uso de los conectivos lgicos.

Para la conjuncin, la negacin, y la disyuncin.Adems de la implicacin y la equivalencia.

CONJUNCINSe forma cuando dos enunciados se combinan mediante el conectivo Y.Vea el ejemplo, donde se llamar p a una proposicin y q a otra:

p: Mara es secretaria.q: Mara es Contadora.

La conjuncin de estas dos seria Maras es secretaria y Contadora.

Para la conjuncin Y se usa el smbolo , entonces en el caso anterior seria:

p q: Mara es secretaria y contadora.

Note que en la conjuncin las dos proposiciones simples tienen que ser verdaderas para que la conjuncin sea verdadera.

DISYUNCIN

La disyuncin de dos proposiciones se forma colocando la palabra o entre ellas. Esta o se llama o inclusiva, y se usa el smbolo para representarla.

En este caso la disyuncin es verdadera si una de las proposiciones es verdadera o si ambas son verdaderas.

Ejemplo:P: Jos es ingeniero.q: Jos es arquitecto.PVq: Jos es ingeniero o Arquitecto.

Si Jos es ingeniero pvq es verdaderoSi Jos es Arquitecto pvq es verdaderoSi es ambas cosas pvq es verdaderoSi no es ninguna de las dos pvq es falso

IMPLICACIN

Al combinarse dos enunciados, anteponiendo SI al primero y entonces al segundo, se forma una proposicin compuesta llamada implicacin. Su smbolo es En donde la proposicin de la izquierda se le llama antecedente y al de la derecha se le conoce como consecuente.Por ejemplo:P: Juan es guatemaltecoq: Juan es americano

p q: si Juan es guatemalteco Entonces es Juan es americano.

El nico caso en que p seria falso es que p fuera verdadera y q falso. Porque si Juan es guatemalteco seria falso que Juan no es americano.

DOBLE IMPLICACIN

En este caso se da una implicacin en doble sentido, tambin se llama equivalencia y se coloca entre enunciados la palabra si solo si. El smbolo que se usa es Por ejemplo:P: es pentgonoq: es polgono de cinco lados

p q: es pentgono si solo si es Polgono de cinco lados.

Se denota en este caso que dos enunciados son equivalentes, si ambos son verdaderos o ambos son falsos.

LA NEGACINLa negacin de una proposicin es cuando se dice lo contrario de la proposicin original. Su smbolo es ~ P: est lloviendo~p: no est lloviendo.Aqu si una proposicin es verdadera la negacin es falsa o viceversa.En resumen:Conectivo lgicoSmbolo

CasoResultado

ConjuncinV, VVEn cualquier otra combinacin ser F

DisyuncinF,FFEn cualquier otra combinacin ser V

ImplicacinV,FFEn cualquier otra combinacin ser V

Doble ImplicacinV,V /F,FvEn cualquier otra combinacin ser F

Indicador 1.2.2

Crea tablas de verdad para calcular el valor de validez de una proposicin compuesta.

1.2.2 Tablas de Verdad1.2.2.1 Calculo de validez de una proposicin compuesta por el mtodo directoLas proposiciones pueden combinarse como se desee o necesite, y se puede resolver por dos mtodos que son:Por deduccin del mtodo directo: este se aplica cuando se conoce el valor de verdad de una proposicin simple y se une a otra que tenga valor de validez.Ejemplo:

Sea p: 2+3=5

Sea q: 8-3=2

Sea r: 2*6=12

Sea s: 45+3-5*2=96

Ejemplo.

1.2.2.2 Calculo de validez de una proposicin compuesta por construccin de tablas de verdad.

TABLAS DE VERDADEn este caso explicaremos con ms detalles como se construye una tabla de verdad, en este caso con 3 variables.

Primero se construye la frmula y a su izquierda las variables (letras) que en ella entran. De esta manera ya se tiene el encabezado. Para conocer el nmero de renglones se aplica la frmula, siendo "x" el nmero de variables. En este caso =, o sea. 2 x 2 x 2 = 8. Trazando pues ocho renglones.

Debajo de cada una de las variables de la izquierda (p, q, r) se escribe una columna de valores. Empezando por la derecha anotando una V y una F, una V y una F, etc., hasta completar el nmero de renglones (en este caso ocho). La siguiente columna a la izquierda se forma escribiendo dos veces V y dos veces F, etc., hasta llenar los renglones. La siguiente columna se forma escribiendo cuatro veces V y cuatro veces F.

Para calcular los valores de los conectivos se aplica la regla respectiva y se empieza por los ms interiores. El ltimo conectivo en ser calculado es el que est fuera de todo parntesis.

pq

VVFVVFV

VFFFVFF

FVVFVFF

FFVFVFF

(pq) v ~ (p q) al hacer una tabla, quedara:

pqp q~(pq)

(pq) v ~ (pq)

VVFFVFVFVFFFFVVVVVVV

.

pq

VVVVFFFVFV

VVVFFVFVFV

VVFVFFFVFV

VVFFFVFVFV

VFVVVFVVFF

VFVFVVVVFF

VFFVVFFVFV

VFFFVVFVFV

FVVVFFFFVF

FVVFFVFVFV

FVFVFFFFVF

FVFFFVFVFV

FFVVVFVFVV

FFVFVVVVFF

FFFFVFFVFV

FFFFVVFVFV

TAUTOLOGA, CONTRADICCIN E INCONGRUENCIA

TautologaEs una proposicin compuesta que es verdadera en todos los casos, cualquiera que sea el valor de verdad de sus proposiciones simples. La proposicin tautolgica o tautologa es siempre verdadera por su forma lgica, es decir, por la forma en que se relacionan sus proposiciones simples.

ContradiccinEs una proposicin compuesta que es falsa en todos los casos, cualquiera que sea el valor de verdad de las proposiciones simples.

Puesto que la negacin invierte los valores de verdad de una proposicin, al negar una tautologa obtenemos una contradiccin, y viceversa; al negar una contradiccin obtenemos una tautologa.

IncongruenciaUna proposicin incongruente (llamada tambin contingente) es una proposicin compuesta que es verdadera en algunos casos y falso en otros. Son proposiciones de las que tenemos que determinar las combinaciones de los valores de verdad que las hacen verdadera o falsa y, por ello, su valor de verdad depende no de la forma lgica sino del valor de verdad de sus proposiciones simples.

Actividad de indicador 1.2

Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas sabiendo que p es (v), q es (f), r es (v) y s es (v)

Crear las tablas de verdad de las siguientes proposiciones compuestas, en los siguientes espacios e identificar el valor de la tabla.

Centro de Estudios Tcnicos y Avanzados de Chimaltenango.Segunda Unidad Ciclo Escolar 2011











Clase Magistral. Consulta libro de texto, e Internet, Investigacin Cientfica, Planeamiento, Recoleccin y Procesamiento y anlisis. Esto con la finalidad de incrementar el conocimiento.ExplicacionesInterrogantes.Laboratorios Cortos.Ejercicios prcticos



Clase Magistral. Consulta libro de texto, e Internet, Introduccin al tema de la Distribucin de Frecuencias. Aprenders a utilizar la Distribucin de Frecuencias en el mbito profesional.ExplicacionesInterrogantes.Laboratorios Cortos.Ejercicios prcticos

SEMANA 5: ____/____/_____ al ____/_______Declarativos:







Prueba Objetiva


Instrucciones: A continuacin debe desarrollar el Proyecto de Unidad en el cual se mostrar las capacidades aprendidas durante el bimestre.Proyecto Unidad II


3.4.

5.6.

7.8.

9.10.

Resuelva los Siguientes Ejercicios sobre:________________________________________________1.2.

3.4.

5.6.

7.8.

9.10.



Unidad IICompetencia 2.1

Identifica diversas estrategias para la resolucin de problemas relacionados a mbito financiero.Indicador 2.1.1

Identifica la relacin entre expresiones cuando son directamente o inversamente proporcionales.

2.1.1. Proporcionalidad2.1.1.1 Magnitudes directas e inversas.

La proporcionalidad es una relacin que se da entre magnitudes. Entendiendo por magnitudes, todo aquello que es medible. Ejemplo: el tiempo, la distancia, el peso, etc.

Considere dos magnitudes: Caso 1:distancia (d)Tiempo ( t)

Al relacionar distancia con tiempo se observa que a mayor distancia se necesita ms tiempo para recorrerla:

Considere otras dos magnitudes: Caso 2:Velocidad (v)Tiempo (t)Al Relacionar velocidad con tiempo se observa que a mayor velocidad se necesita menos tiempo para recorrer cierta distancia:

MAGNITUDES DIRECTASSon aquellas magnitudes relacionadas entre si, tienen por caracterstica, el crecer o disminuir simultneamente, es decir, cuando una de estas aumenta, la otra tambin aumentan, y cuando una disminuye, la otra tambin disminuye.

MAGNITUDES INVERSASSon aquellas que al relacionarse entre si, tienen por caracterstica, el distanciar su diferencia, es decir, cuando una crece la otra disminuye, y cuando una disminuye la otra crece.

PROPORCION GEOMETRICADel caso 1 anterior se puede formar un cuadro con valores supuestos como el siguiente.

dT

4m8m12m16m2 seg4 seg6 seg8 seg

Dividendo se obtiene:

Es decir, que a la relacin de dos razones se le llama proporcin.

PROPORCION GEOMETRICAComo se dijo anteriormente es la igualdad de dos razones geomtricas.

Adems en este caso se trata de una magnitud directa. Donde el cociente determina la proporcionalidad:

a C se le llama constante de proporcionalidad.

Observe este ejemplo:

VT

120 km/h60 km/h40 Km/h30 km/h2h4h6h8h

Multiplicando120 x 2 = 240 60 x 4 = 240 40 x 6 = 240 30 x 8 = 240 V . t = C

Con estos se pueden formar razones y proporciones siguiendo el sentido de las flechas.

El caso 2 se trata de una magnitud inversa, y en una magnitud inversa. Se multiplica.v.t = cDe acuerdo con lo que es una proposicin, en ella existen valores conocidos y desconocidos:

En la proposicin anterior: a, b, c, representan los valores conocidos, y x representa al valor desconocido.

NOTA: Se acostumbra usar las primeras letras del abecedario como valores conocidos y los ltimos del abecedario como valores desconocidos.

Para hallar el valor desconocido. Se puede aplicar lo que se llama ley de los productos cruzados, as: Entonces a.d = b.cPero de a.d = b.c puede despejarse C y queda: C = O tambin de a.d = b.c se puede despejar b y queda: b = Adems de a.d = b.c se puede despejar a y queda: a =

Por ltimo de a.d = b.c, se despeja d y queda: d = Estas frmulas se pueden aplicar a los casos del ejemplo 1 de este captulo para hallar X.

Ejemplo:Determinar el valor de X en:

a) 5 x = (8) x (15) X= 24

b) x=1

Actividad de indicador 2.1.11) Determine el valor de x en los siguientes incisos:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)h)

2) Relacione las magnitudes horas / diarias de trabajo y tiempo empleado en hacer una obra, si trabajan 18 h/d y tardan 54 das.

3) Forme un cuadro considerando que trabajaran 9 h/d, 6 h/d, y 3 h/d. Determine a simple inspeccin tiempos y forme el cuadro h/d-tiempo.

Determina la constante de proporcionalidad.Forme todas las proporciones posibles.

Indicador 2.1.2

Clasifica los problemas identificando su complejidad segn modelos matemticos.

2.1.2 Regla de tres 2.1.2.1 Regla de tres simple

Es la relacin que se establece entre dos magnitudes en las cuales habr tres valores conocidos y un valor desconocido que debe encontrarse.

Por Ejemplo:Distancia Tiempo50 km 3 horas25 km x

Obsrvese que son dos las magnitudes que se relacionan (distancia y tiempo) pero en los calores hay tres conocidos y uno desconocido. Los problemas de regla de tres se pueden resolver de dos maneras:

Usando Proporciones

Usando signos +, - u orientarse con flechas Cuando son Directas Cuando son magnitudes inversas.Saber si una magnitud es directa o inversamente proporcional a otra es algo sencillo, basta con analizar si al aumentar una magnitud la otra tambin lo hace, o en su defecto disminuye o quiz al disminuir una primera, una segunda aumente.

De esta forma se puede representar con flechas o signos, cuando es directamente proporcional, una flecha hacia arriba o si se utilizan signos, un signo (+). De la misma forma para representar magnitudes inversamente proporcionales, con una flecha hacia abajo, o si se utilizan signos, signo (-).

Ejemplo:10 alumnos resuelven ejercicios matemticos en 120 minutos, si todos trabajan, en cuantos minutos resolvern los mismos ejercicios 13 alumnos?

Anlisis: si 10 alumnos resuelven ejercicios matemticos en 10 minutos, 13 deberan hacerlo en menos tiempo.

A mayor cantidad de alumnos menor cantidad de tiempoEs inversa

Ejemplo 2: Para alimentar a 60 personas, cierta cantidad de alimentos tardan 300 Das. Para cuantos das alcanzaran los vveres si hubiera 180 personas?Anlisis: Si para alimentar 60 personas el alimento dura 300 das, al haber ms personas, los das se tienen que reducir.

A mayor cantidad de personas el alimento dura menos das. Es Inversa.

EJEMPLO 3:Si 50 km, se recorren en 3 horas. En cunto tiempo se recorrern 25 km?

ANLISIS:Si 50 kilmetros se recorren en tres horas, 25 deberan recorrerse en menos tiempo.Menos kilmetros, menos tiempo, ms kilmetros, ms tiempo. Es directa!Cuando es Directa no se cambia ninguna posicin, por lo mismo, es directa!

2.1.2.2 Regla de tres simple compuesta.

La regla de tres compuesta es la relacin que se establece entre ms de dos magnitudes.

Por ejemplo:Q 5000.00 en 8 meses ganan Q 1,500.00En este caso se ven tres magnitudes: Capital invertido, tiempo y utilidad.La solucin en este tipo de problemas se puede analizar por magnitudes. Adems es recomendable usar el mtodo de los signos.

Ejemplo:Se invierten Q 5000.00 y al cabo de 8 meses se obtienen de utilidad Q1500.00. Si se invirtieran Q4500.00 al cabo de 14 meses. Cunto de utilidad se obtendr?

Planteamiento:INVERSIONTIEMPO UTILIDAD-Q 5000.00-8 m+ Q 1500.00+Q4500.00+14mx

OperacinPara hallar x se forma un cociente colocando los positivos arriba y los negativos abajo.

X= 2362.50Respuesta: La utilidad es de Q 2362.50.

Notar que: tiempo y utilidad estn en relacin directa e inversin y la utilidad tambin.Ejemplo:4 hombres trabajando 8 horas diarias han hecho 6 metros de una obra en 12 das. En cuantos das 6 hombres trabajando 5 horas diarias harn 75 metros de la misma obra?

PlanteoHombresh/dmetrosdas-4 h+8 h/d-6012 d+-6 h-5 h/d+75mx

Operacin:Para hallar x se forma un cociente colocando los positivos arriba y los negativos abajo.

Notar que: Mas hombres menos das, es inversa, Mas horas al da, menos das inversa Menos metros menos das es directaRespuesta: Harn en 16 das.

Ejemplo: Dos personas realizaron cierto trabajo y cobraron Q 2400.00 entre los dos. Q2400.00 entre los dos. Uno de ellos trabajo durante 24 horas a razn de 8 horas diarias y le tocaron Q 1150.00 Cuntos das trabajo el otro a razn de 5 horas diarias?

Planteamiento:Cobrando tiempo h/d-Q 1150.00-24 m8 h/d +

Notar que:H/d tiempo es inverso.Cobrado- tiempo es directo

Respuesta: Trabajo 42 das.


Resuelva los siguientes problemas aplicando regla de tres simple y regla de tres compuesta.

1. Una calle de 40 m de largo y 12 m de ancho necesita 12,000 adoquines para su mejora.

2. Si quisiera adoquinar una calle de 120 metros de largo y 8 m de ancho. Cuntos adoquines se necesitaran?

3. Una finca est distribuida entre 2 personas. Una parte ocupa 2/3 de la finca y se Vala en Q 75,000 Cunto vale el resto de la finca?

4. Un vehculo recorre 5 km. En 18 minutos. Cunto tardara en recorrer 35 km?

5. Una persona gana Q 35.60 diarios. Si trabaja durante 4 meses, 20 das Cunto se gana en ese tiempo?6. Para hacer 75 m. de muro, 9 obreros han empleado 5 das. En 12 das, 15 obreros, cuantos metros de muro haran? 7. Una persona paga Q286.00 por concepto de energa elctrica durante 42 das usndola 5 horas diarias. Cunto deber pagar por 68 das si la usa 8 horas diarias?

8. Se ha pagado Q720.00 por una tela de 80m. de largo y 60 cm de ancho, Cunto costar el mismo tipo de tela, pero que mida 75 m. de largo y 50 cm de ancho?

9. Un edificio de 60 m. de altura necesita de 333 gradas a 18 cm de alto. Si las gradas fueran de 20 cm de alto y el edificio de 95 m de altura Cuntas gradas debera tener?

10. Se invierten Q 2300.00 y al cabo de 15 meses se obtienen utilidades de Q 1725.00 Cunto de utilidad se obtendr de Q 5126.00 al cabo de 2 aos?

11. 95 arrobas de azcar cuestan Q14, 250.00 Cunto costaran las 2/5 partes de esa cantidad de azcar?

12. Una persona gano Q 2450.00 laborando en una empresa durante 6 horas diarias, durante 28 das. Cunto ganar esta persona si trabaja 10 horas diarias durante 36 das?

13. Con 90 libras de harina se hacen 110 libras de pan. Cuntas libras de pan se hacen con 4 costales de 120 libras cada uno?

Indicador 2.1.3

Plantea y resuelve problemas que involucran el clculo de repartimiento directamente o inversamente proporcional en una sociedad financiera

2.1.3 Repartimiento

2.1.3.1 Repartimiento proporcionalRepartir es distribuir una cantidad entre otras. Puede expresarse en por lo menos 3 casos:

Primero: Que al repartir le corresponda lo mismo a cada nmero entre los que se esta repartiendo.

Para este caso se utiliza una simple divisin.

El segundo es un reparto proporcional directo y el tercero un inverso.

2. 1.3.2 Repartimiento proporcional directo

Consiste en repartir un nmero o valor entre otros en el cual al mayor corresponde ms y al menor menos.

Por Ejemplo, si con un galn de pintura se cubren 25 metros de una superficie, para cubrir 50 metros se necesitan 2 galones de pintura.

Las relaciones de proporcionalidad son las siguientes:

A mayor superficie, mayor nmero de galones de pintura.REPARTIMIENTO DE NMEROS ENTEROS ENTRE OTROS ENTEROS.Para calcular las partes proporcionales, el nmero a repartir se multiplica por cada uno de los nmeros dados y cada producto se divide entre la suma de ellos.

Ejemplo:

Repartir 40 en partes directamente proporcionales a 2, 3 y 5.

Solucin: Sumar los nmeros entre los que se reparte: Luego dividir el nmero a repartir (40) entre esta suma: Finalmente se multiplica cada nmero por ese cociente:

Respuesta:A 2 le corresponde 8A 3 le corresponde 12A 5 le corresponde 20

REPARTIMIENTO DE UN NMERO ENTERO ENTRE FRACCIONES.

Repartir 444 entre en partes directamente proporcionales.Solucin:Transformar las fracciones a un comn denominador.

Sumar los numeradores:

Dividir el nmero a repartir (444) entre la suma, 37 as.

Multiplicar cada numerador por ese cociente:

Respuesta:A le corresponde 144, A le corresponde 180, a le corresponde 120

Las partes proporcionales son: 144, 180 y 120 y se concluye que:

2.1.3.3 Repartimiento proporcional inverso

Es cuando al repartir un nmero o valor entre otros, al mayor le corresponde menos y al que menor le corresponde ms. Para repartir un nmero en partes inversamente proporcionales a otros nmeros dados, se determinan los inversos de dichos nmeros, se reducen a un mismo denominador. El reparto del nmero se hace directamente proporcional a los numeradores.

Por Ejemplo

A ms horas de trabajo menos das en concluir el mismo.A menos horas, ms das de trabajo.

Ejemplo:Solucin:Se determina los inversos de 3, 8 y 12.

Se transforman las fracciones a un comn denominador.

Se reparten directo a los numeradores.Se suman los numeradores Se divide el nmero a repartir entre la suma de los numeradores El cociente se multiplica por cada nmero.

Respuesta: a 3 le corresponde 144, a 8 Se concluye que: 144 + 54 + 36 = 234.

2.1.3.4 Repartimiento proporcional compuesto.

Consiste en repartir una cantidad a los productos de varios nmeros.Ejemplo:Repartir 1110 en partes que sean a la vez directamente proporcionales a 2, 5 y 8 y a 3, 4 y 6.

Solucin:Multiplicar los nmeros correspondientes:2 x 3 = 65 x 4 = 208 x 6 = 24

Sumar los productos, y dividir la cantidad entre el total.

El cociente se multiplica por cada nmero.

Respuesta: A 2 y 3 les corresponde 90 A 5 y 4 les corresponde 300 A 8 y 6 les corresponde 720

Se concluye que 90 + 300 + 720 = 1110

Ejemplo: Repartir 2290 en partes que sean a la vez directamente proporcionales a 6, 8, 10 e inversamente proporcionales a 5, 1/2, y 3/4.

Solucin:Se hallan los inversos de los segundos nmeros.Inverso de 5 es 1/5, inverso de 1/2 es 2, inverso de 3/4 es 4/3

Se multiplican los nmeros correspondientes:

Se halla un Comn De nominador de los productos encontrados.

Se reparten directo a los numeradores

Respuesta:

A 6 y 5 le corresponde 90A 80 y 1/2 le corresponde 1200A 10 y 3/4 le corresponde 1000.Se concluye, que: 90 + 1200 + 1000 = 2290.


Opere lo siguiente:1. Repartir 888 en partes directamente proporcionales a 10, 12 y 15

2. Repartir 943 en partes directamente proporcionales a 1/8, 2/15, y 1/12

3. Repartir 100 directamente proporcional a 0.15 y 0.25

4. Repartir 1111 en partes inversamente proporcionales a 4, 6 y 23

5. Repartir 3442 en partes que sean a la vez directamente proporcionales a 6, 10 y 12; y 3, 5 y 9.

6. En una empresa se reparte un porcentaje de utilidades anuales Consistente en Q 8350.00 entre tres empleados conforme a sus sueldos que son Q 860.00; Q 1400.00 y Q 1750.00 Determine lo que le corresponde a cada uno.

7. Tres albailes han trabajado 268 das en una construccin, ganando igual jornal; si el primero recibi Q 13,500.00, el segundo recibi Q11, 400.00 y el tercero recibi Q 15,300.00 Durante cuantos das trabajo cada uno?

8. Tres socios han de repartirse una ganancia de Q 10800.00; cuanto le corresponde a cada uno; si el primero aparto 2/9 del capital, el segundo 1/3 y el tercero el resto.

9. Un empresario distribuye cierta gratificacin de Q 792.00 entre cuatro empleados correspondindole al de menos faltas de asistencia ms, y al de ms faltas menos. Las faltas fueron: el primero 3 faltas, el segundo 5 faltas, el tercero 6 faltas, y el cuarto 8. Cunto le corresponde a cada uno?Indicador 2.1.4

Reconoce la importancia de manipular los porcentajes en su carrera como profesional.

2.1.4 Porcentaje 2.1.4.1 PorcentajesEn matemticas, un porcentaje es una forma de expresar un nmero como una fraccin de 100 (por ciento, que significa de cada 100). Es a menudo denotado utilizando el signo porcentaje%. Por ejemplo: "treinta y dos por ciento" se representa mediante 32% y significa treinta y dos de cada cien.El smbolo% es una forma estilizada de los dos ceros. Evolucion a partir de un smbolo similar slo que presentaba una lnea horizontal en lugar de diagonal (c. 1650), que a su vez proviene de un smbolo que representaba "P cento" (c. 1425).El porcentaje es un tanto por ciento (cien unidades), por lo que se concluye que es una cantidad que corresponde proporcionalmente a una parte de cien.

Cuando una familia invierte el 45% de sus ahorros en comprar una vivienda, se est gastando en ella 45 quetzales de cada 100 que ha ahorrado.

Se puede definir el tanto por ciento como una fraccin que tiene denominador 100. En este caso, el 45% es la fraccin decimal.

Como el porcentaje es una fraccin decimal, se puede expresar tambin en nmero decimal. As, 45% = = 0,45 (se ha dividido 45 entre 100).

Cualquier porcentaje se puede expresar en forma de fraccin o nmero decimal y, a su vez, cualquier nmero decimal o fraccin se puede expresar en porcentaje.

CLCULO DE PORCENTAJESExisten dos formas para hallar un porcentaje o tanto por ciento

Para calcular el porcentaje de una cantidad, multiplicamos la cantidad por el nmero que indica el porcentaje y dividimos el resultado entre 100.

Ejemplo:El 20% de los estudiantes de un colegio, que tiene 240 alumnos, practica deporte.

Cuntos estudiantes practican deporte?

Para hallar la respuesta multiplicamos 240 por 20 y dividimos el resultado entre 100:

Por tanto, el 20% de 240 alumnos = 48 alumnos.

Para calcular el porcentaje de una cantidad, multiplicamos la cantidad por la expresin decimal de dicho porcentaje.

Ejemplo:Observa esta igualdad:

Para calcular el 20% de 240, basta con multiplicar 240 por 0,2:240 0,2 = 48

TANTO POR CIENTOEl clculo de tanto por ciento se utiliza constantemente en diversas operaciones aritmticas y contables.

Qu se entiende por la expresin 10 %, 40 % y 3.2 %? Estas expresiones indican la razn de un nmero entre 100. Por ejemplo, 10 % quiere decir (10 de cada 100); 40 % es y 3.2 % es ahora, qu significado tiene la frase "5 % de 300"?

La expresin 5 % de 300 se interpreta como "cinco centsimas partes de 300" y si se desea conocer el 5 % de 300, se obtiene el cociente de y ste se multiplica por 300, esto es:

Otra forma de obtener el 5 % de 300 es efectuar la siguiente multiplicacin:

Esto es:

El 5 % de 300 es 15. En este ejemplo se puede apreciar cules son los trminos que intervienen en este clculo; stos son: 5% tanto por ciento 300 base 15 porcentajes.Los problemas de tanto por ciento se reducen a encontrar el cuarto componente de una proporcin, cuando tres de ellos se conocen.

Para hallar el valor de cualquiera de los trminos que intervienen en el tanto por ciento, cuando se conocen dos de ellos, se hace lo siguiente:

Para encontrar el porcentaje, se emplea la proporcin:

Para encontrar la base, se emplea la proporcin:

Para encontrar el tanto por ciento, se emplea la proporcin:

Ejemplos: a) Si un banco ofrece el 32 % de inters anual por el dinero que se ahorra en l, cunto debe recibir de inters una persona que ahorr $3 500.00 en ese banco? Del enunciado se observa que el tanto por ciento es 32, la base $ 3 500.00 y, lo que se requiere hallar es el porcentaje.

Se elige la proporcin que se ha de emplear y se resuelve as:

Este es el porcentaje que se gana en un ao; para saber cul es el de tres aos, basta efectuar una multiplicacin, de la manera siguiente:

$ 1 120.00 (3) = $ 3 360.00

El porcentaje que generan $ 3 500.00 en tres aos es de $ 3 360.00.

b) En el reparto anual de utilidades de cierta fbrica, un obrero recibe el 4 %. Si por este concepto recibi $ 3 700.00, cul fue el total de las utilidades de la empresa?

Del enunciado se observa que el tanto por ciento es 4 y el porcentaje es $ 3 700.00; como se pide el total, que es la base, se tiene:

El total de las utilidades de esa fbrica fue de $ 92 500.00.

c) Para elaborar 120 kg de cierta tela que contiene algodn y fibra sinttica se emplean 35 kg de algodn, qu tanto por ciento de algodn contendr esta tela?

Aqu se observa que el total, 120 Kg., es la base y 35 Kg. el porcentaje, con lo cual se tiene:

El tanto por ciento de algodn que contiene la tela es de 29.16.

Con base en los ejemplos mostrados, se observa que la proporcin que se emplea en el tanto por ciento para determinar cualquier elemento que se desconozca es:

FORMA PRCTICA DE DETERMINAR PORCENTAJE

Al Analiza lo que se ha expuesto, se deduce que:

Estas operaciones pueden ser aplicadas para determinar porcentajes de forma mas practica. As:

Determine el 15 % de 80

Como 15% = 0.15 se determina 0.15 de 80 multiplicando as:

Determinar el 65% de 2,420

Solucin:Como 65% = 0.65 se determina que 0.65 x 2420, multiplicando as:

TANTO POR CIENTO MS Y TANTO POR CIENTO MENOS

En la problemtica comercial se dan situaciones en las cuales un nmero es un tanto por ciento ms o menos que otro. Por ejemplo:

De qu nmero es 180 el 6% ms?

Respuesta: 180 es el 6% ms que 169.81.

Ejemplo 2: De qu numero es 125 el 4% menos?

Respuesta: 125 es el 4% menos que 130.21

EjemploDeterminar de manera prctica el 250% de 1540Solucin:250% = Se multiplica as: 1540 x 2.5 =3850R: el 250% de 1540 es 3850EjemploDeterminar el 300% de Q2400.00

Y multiplicando tenemos: Q. 2400.00 x 3 = Q.7200.00R: el 300% de Q.2400 es Q. 7200.00

2.1.5 Indicador

Aplica el concepto de porcentaje en la resolucin de problemas de diversos aspectos

2.1.5 Aplicacin de porcentajes en ganancias y prdidas.

2.1.5.1 CLCULO DEL I.V.A Es un impuesto sustituto de otros impuestos y tiene la caracterstica principal de no ser acumulativo. Por ejemplo, un comerciante, al comprar un artculo paga IVA pero al revenderlo cobra IVA, siendo que el precio de venta debe ser mayor que el precio de compra, logra recuperar el IVA que antes haba pagado. Y la diferencia la enva a Finanzas.Observe el esquema:

Compra a Q50 Vende a Q 70

Comerciante

Paga 10% IVA Cobra 10% IVA = Q. 5.00 = Q 7.00

Diferencia IVA Cobrado IVA pagadoQ 7.00 Q 5.00 = Q 2.00

Actividad de indicador 2.4

a) Hallar:1. 15 % de 1802. 36% de 14503. 4. 0.28% de 8605. 6.75% de 2420

b) Determine:1) Qu tanto por ciento de 589 es 33?

2) Qu tanto por ciento de 940 es 65?



5) Qu tanto por ciento de 650.85 es 125.45?6) Qu tanto por ciento de 860 es 129?

c) Determinar:1) De qu numero es 120 el 40%?2) De qu nmero es 12.46 el 51/2%?

Centro de Estudios Tcnicos y Avanzados de Chimaltenango.Tercera Unidad Ciclo Escolar 2011











Clase Magistral. Consulta libro de texto, e Internet, Investigacin Cientfica, Planeamiento, Recoleccin y Procesamiento y anlisis.ExplicacionesInterrogantes.Laboratorios Cortos.Ejercicios prcticos



Clase Magistral. Consulta libro de texto, e Internet, Introduccin al tema de la Distribucin de Frecuencias.ExplicacionesInterrogantes.Laboratorios Cortos.Ejercicios prcticos








Prueba Objetiva


Instrucciones: A continuacin debe desarrollar el Proyecto de Unidad en el cual se mostrar las capacidades aprendidas durante el bimestre.Proyecto Unidad III


3.4.

5.6.

7.8.

9.10.

Resuelva los Siguientes Ejercicios sobre:________________________________________________1.2.

3.4.

5.6.

7.8.

9.10.



Unidad IIICompetencia 3.1.1

Utiliza los diferentes modelos matemticos para resolver problemas donde se involucra el concepto de inters.Indicador 3.1.1

Ejecuta modelos matemticos para resolver problemas de diversos grados de dificultad

3.1.1 Inters3.1.1.1 Inters simpleEs el que se obtiene cuando Se llama inters simple a la operacin financiera donde interviene un capital, un tiempo predeterminado de pago y una tasa o razn, para obtener un cierto beneficio econmico llamado inters.Los intereses producidos durante el tiempo que dura una inversin se deben nicamente al capital inicial. Cuando se utiliza el inters simple, los intereses son funcin nicamente del capital principal, la tasa de inters y el nmero de periodos.Su frmula est dada por:

Despejado las variables Capital, Tasa y Tiempo se obtiene:

Donde:I: Es el inters Simple c: Es el Capital Inicial i: Es la tasa de inters expresada en tanto por uno t: Es el tiempo expresado en aosEl monto es lo que se percibe entre el capital ms el inters, su formula es:

Simplificando la formula y factorizandola esta queda de la siguiente manera.

Ejemplo: Calcular el inters producido por un capital de Q5000 colocado durante 3 aos al 9 % anual. C = Q5000 t = 3 aos i = 9 % /100 =0.09 Por lo tanto I = 5000. 0.0 9. 3 = Q1350 El monto seria S=c + I S=Q5000+Q1350=Q6350O utilizamos la formula anterior aplicando

S=5000(1+0.09*3)=6350 y si se desea conocer el inters ganado se despeja la frmula del monto en:

6350=5000+I Es mucho ms sencillo despejar una ecuacin que 6350-5000=I aprenderse muchas formulas que en un momento 1350=I tienden a confundirnos.

La tasa de inters devengada por un capital se aplica anualmente a menos que se establezca lo contrario y se aclare en el problema.3.1.1.2 Inters simple exacto y ordinario.

El inters simple exacto se calcula sobre la base de un ao de 365 (366en aos bisiestos). Y el inters ordinario o comercial se calcula en base en un ao de 360 das; el uso del ao comercial simplifica algunos clculos, sin embargo aumenta el inters cobrado por el acreedor.

Ejemplo:Determinar el inters exacto y ordinario sobre Q2000, al 5%, durante 50 das.Datos C=Q2000i=5% /100=0.05t=50 das Nota la tasa de inters no indica en que periodo se debe de cobrar por lo tanto se toma en forma anual, esto quiere decir que el tiempo debe de estar en aos.

Inters simple exacto: Utilizando un ao de 365 das tenemos que t=50/365=10/73

Inters simple ordinario o comercial:Utilizando un ao de 360 das tenemos que t=50/360=5/36

3.1.1.3 Clculo exacto y aproximado del tiempoEsto procedimiento se aplica a problemas donde existen fechas especificas en las cuales se debe de hacer efectivo el pago o cobro de los intereses sobre un capital.Tiempo exacto: Es aquel que se toma el nmero exacto los das segn un calendario vigente.Tiempo aproximado es el que se toma como base un mes de 30 das.Ejemplo:Calcular el tiempo aproximado y exacto de un tiempo transcurrido del 20 de junio de 2010 al 24 de agosto del 2010.

Tiempo Exacto:El nmero requerido de das es igual al nmero de das restantes del mes de junio, ms los das del mes de julio, ms el nmero de das indicado para agosto, es decir: 10+31+24=65

Tiempo Aproximado:Para esta aplicacin utilizamos un esquema algebraico donde se propone de la siguiente manera:DaMesAo

2482010

2062010

420

Como se ha propuesto que los meses son de 30 das tendremos como total 64 das.

Ejemplo:Determinar el monto exacto y ordinario sobre Q2000 al 6% del 20 de abril al 1 de julio del 2010, calculando el tiempo: a) En forma exacta, b) en forma aproximada.

Inters Exacto

b) Inters ordinario o comercial.

a)

b)

Indicador 3.1.2

Selecciona la estrategia ms adecuada a la resolucin de problemas donde se aplica el inters simple.

3.1.2 Calculo elementos del inters simple.De las frmulas anteriores se pueden utilizar o mejor si utilizremos la formula matriz y aplicamos el concepto de ecuacin lineal que se han conocido en aos anteriores.Ejemplo:Calcular el capital que se debe de invertir para que en 3 aos al 6% nos produzca un inters de Q500Datos:C=xI=500i=0.06t=3 aos.

500=x (0.06)(3)500=x (0.18)500/0.18=x2777.78=x Por lo que el capital necesario es de Q2777.78

Cuanto tiempo de debe invertirse Q60 000 al 5% para que nos produzca 1/5 de nuestro capital.Datos:C=60 000i=0.05I=12 000t=x

12 000=60 000(0.05)t12 000=3 000t12 000/3 000=t4=t Por lo que el tiempo necesario es de 4 aos.

A que tasa de inters se debe de imponer un capital de Q4 000 para que produzca un monto de Q6 000 durante un lustro.Datos.S=6 000C=4 000t=5 aosi=x

6 000=4 000(1+x.5)6 000/4 000=1 +x.51.5=1 +x.51.5-1=x.50.5=x.50.5/5=x0.1=x Por lo que la tasa de inters est al tanto por 1 entonces 0.1x100= 10%

3.1.2.1 Calculo del inters simple cuando la tasa de inters no se cobra en forma anual.

En esta aplicacin se da por ejemplo cuando se realiza un prstamo, por ejemplo se realiza un prstamo de 100 al 5% mensual, bimestral, trimestral o semestral;

Aclaracin: la unidad de tiempo es el valor t se toma explcitamente de acuerdo a la imposicin de la tasa de inters ya que no en todos casos se cobra la tasa de inters a cada ao. Mensual, la tasa de inters se cobra a cada mes.Bimestral, la tasa de inters se cobra a cada 2 mesesTrimestral, la tasa de inters se cobra a cada 3 mesesSemestral, la tasa de inters se cobra a cada 6 mese

Ejemplo:Calcular el monto que produce Q40 000 al 5% bimestral, durante 3 aos y 5 mesesDatos:S=xC=40 000i=0.05t= (3aos y 5 meses) en total existen 41 meses/2mses=20.5 bimestres

X=40 000(1+0.05x20.5)X=40 000(2.025)X=81 000 Por lo que el monto producido es de Q81 000

Calcular el monto y el inters que produce QQ60 000, impuestos a los 5% trimestrales pactados el 5 de mayo de 2009 al 5 de junio del 2010.

DaMesAo

562010

552010

011

Por lo se propone que tenemos 13 meses = 13meses /3meses= 4 1/3

Datos:S=xC=60 000i=0.05t=4 1/3

X=60 000(1+0.05x4 1/3)X=73 000 El monto que se produce es de Q73 000.Actividad de indicador 3.1.2Resolver los siguientes ejercicios dejando constancia de su trabajo.1) Encontrar monto y el inters simple de Q50 000a) Al 4 %, durante 1 aob) Al 5 %, durante 2 aosc) Al 3 1/2%, durante aod) Al 6%, durante 8 meses2) A qu tasa de inters simple,a) El monto de Q2 000 ser 2110 en un ao?b) El monto de Q720 ser 744 en 10 meses?c) En qu tiempo el monto de Q2 000 ser Q2 125 al 5% de inters simple?d) Cuanto se debe de invertir al 5% para que,e) Se obtiene un monto de Q4 000 durante 2aos y 5 mesesf) Se obtiene un inters de Q5 000 durante 5aos y 9 mese.3) Calcular el monto y el inters simple exacto y ordinario de Q 70 000a) Al 3 % trimestral, durante 1 ao y 9 meses.b) Al 2 % bimestral, impuestos el 8 de julio del 2008 al 9 de diciembre del 2010.c) Al 3 1/2% semestral, impuestos el 5 de febrero de 1975 al 6 de septiembre 2010.d) Al 6% mensual, durante 2aos y 8 meses.

Indicador 3.1.3

Resuelve ecuaciones de valor aplicado a pagares y documentos financieros

3.1.3 Pagares 3.1.3.1 PagaresEs una promesa escrita de pago de una determinada cantidad de dinero, con intereses o sin ellos, en una fecha dada, suscrita por un deudor a favor de un acreedor. Modelo de pagar

Guatemala, septiembre x de xxxx por: Q600.00A 25 das fecha, PAGARE al seor ngel Patrocinio, la cantidad de seiscientos quetzales, valor recibido de dicha persona.Mayr R.

Plazo: Es el tiempo especificado explcitamente en el documento.Valor nominal: Es la suma estipulada en le documento.Fecha de vencimiento: Es la fecha en la cual debe de ser pagada la deuda.Valor del vencimiento: Es la suma que debe ser pagada en la fecha de vencimiento.Nota: En un pagar, en el cual no se estipulan intereses, el valor nominal es igual al valor de vencimiento. Si el plazo est dado en meses, el tiempo se determina aproximadamenteSi el plazo est dado en das, el tiempo se determina exactamente.

Ejemplo:En un pagar firmado el 15 de enero, con vencimiento de tres meses, por Q5 000 con un inters del 6%.Valor nominal: (Q5 000 = C)Valor de vencimiento: (x= S)Plazo: Fecha de vencimiento 15 de abril (3 meses =t)Tasa de inters (0.06=i)Utilizamos la frmula del monto del inters simple:

Un pagar de Q1200 firmado el 1 de abril con vencimiento en 8 meses y con inters de 5% es vendido a Miguel el 14 de julio con base de un rendimiento en la inversin de 6%. Cunto paga Miguel por el documento?Su valor al vencimiento es:

Ahora se calcula el valor presente en la fecha en que se compra el documento.

3.1.3.2 Ecuaciones de valor.Estos documentos se llevan a cado cuando el deudor le es conveniente cambiar un conjunto de obligaciones por otras; para ello el deudor como el acreedor deben de estar de acuerdo con la tasa de inters que ha de utilizarse en la otra transaccin y en la fecha en que se llevar acabo (llamado este punto como fecha focal) Ejemplo:En la fecha, Cristy debe Q1000 por un prstamo con vencimiento en 6 mese, contratado originalmente a 1 aos a la tasa de 4% y adems debe Q2 500 con vencimiento en 9 meses, sin intereses. El desea pagar Q2000 de inmediato y liquidar el saldo mediante un pago nico dentro de un ao. Suponiendo un rendimiento de 5% y considerando la fecha focal dentro de un ao, determinar el pago nico mencionado.Primero se calculan los valores de vencimiento:

Lnea de tiempo: Se utiliza para visualizar los movimientos del dinero de acuerdo a la fecha focal. 6 mese

Calculando cada valor en la fecha focal e igualando la suma del valor resultante de las obligaciones originales con el de las nuevas obligaciones, tenemos.


Resolver los siguientes problemas dejando constancia de su trabajo.1. Un pagar a 10 meses por Q3000, al 6% es suscrito el da de hoy. Determinar su valor dentro de 4 meses, suponiendo un rendimiento de 5%.2. Determinar el valor de las siguientes obligaciones, el da de hoy, suponiendo una tasa de 4% de inters simple: Q1000 con vencimiento el da de hoy, Q2000 con vencimiento en 6 meses con inters del 5% y Q3000 con vencimiento en un ao con interese al 6%. Utilizar el da de hoy como fecha focal.3. Considerar el problema anterior considerando la fecha focal est un ao despus.4. X debe Q500 con vencimiento en 2 meses, Q1000 con vencimiento en 5 meses y Q1500 con vencimiento en 8 meses. Se desea saldar las deudas mediante 2 pagos iguales, uno con vencimiento en 6 meses y otro con vencimiento en 10 meses. Determinar el importe de dichos pagos suponiendo un inters de 6%, tomando como fecha focal la fecha al final de 10 meses.5. X obtiene de Y un prstamo de Q 1200 a dos aos, con interese del al 6%. Que cantidad tendra que aceptar Y como liquidacin del prstamo 15 meses despus de efectuado suponiendo que desea un rendimiento del 5%. 6. El seor Prez debe Q450 con vencimiento dentro de 4 mese y Q600 con vencimiento dentro de 6 meses. Si desea saldar las deudas mediante un pago nico inmediato. Cul es el importe de dicho pago suponiendo un rendimiento del 5%? Utilizar como fecha focal el da de hoy.7. Si Don P debe Q4000 al 5% bimestral pagadero en 3 aos y 2 meses; Q5000 al 8% trimestral pagadero en 2 aos; Q3000 mensual pagaderos en 2 aos.8. Cul es el importe si se realiza un nico pago al final de la ultima obligacin suponiendo un rendimiento del 8%9. Cul es el importe si se realiza dos pago uno de inmediato y otro dentro de un ao, suponiendo un rendimiento del 5% bimestral10. Cul es el importe si se realiza un nico de inmediato suponiendo un rendimiento del 5% mensual11. Cul es el importe si se realiza tres pagos iguales suponiendo un rendimiento del 6% trimestral.

Indicador 3.1.4

Encuentra algoritmos matemticos para la resolucin de documentos financieros legales tanto nacional como internacional.

3.1.4 DescuentosDefinicinLa palabra descuento significa una rebaja sobre cierto valor dado. Esta rebaja o descuento se puede aplicar a diversos casos, entre otros a:

Aplicando a documentos de crdito tales como pagares, y letras de cambio.

Aplicando a facturas. Para explicarlo primeramente se har un anlisis de estos tres documentos

3.1.4.1 Letra de cambioLo que caracteriza este documento es que intervienen tres personas, A,B, C.A le ordena a B que le pague cierto dinero a C

Para este le deja un tiempo a partir de que B acepta hace lo que le esta ordenando A. Es por eso que se deja un espacio en el documento para que firme B de aceptado, escribiendo adems la fecha de aceptado.Aque ordena el pago es llamado librador.Ba quien se le orden que realice el pago se le llama librado.Ces la persona que cobrar la letra y la tiene en su poder; es llamado Tenedor.

3.1.4.2 Modelo de letra de cambio

Sept. 10/99Cantidad Q120.00A: cuarenta das visita

A la orden de:Seor C

A cargo de:Seor B

Acepto Seor B

FirmaLETRA DE CAMBIOGuatemala 10 sept. 99 por Q120.00A cuarenta das visita, se servir usted pagar por esta primera de cambio (no habindolo hecho por la segunda o tercera) a la orden del seor C, la cantidad de ciento veinte quetzales, valor recibido en mercancas que anotar usted en cuenta del seor B.

Seor A

Firma

Una caracterstica de un pagar o de una letra de cambio es que puede ser vendido o negociado, una o ms veces antes de la fecha de vencimiento y cada comprador descuenta al documento por el tiempo que le falta para su vencimiento. Cuando la operacin se efecta entre bancos se le llama redescuento.

MODELO DE FACTURA

Distribuidora Fuente10. Av. 7-15, zona 9 Tel: 63287877 Fax 34897639

Cliente: No. 0008979

Direccin:Fecha: Nit:

Cantidad

DescripcinCdigoPrecio Unitario

Total

Sub total

IVA

TOTAL

Anteriormente se estudio la frmula del inters Simple:

Se le harn a esta frmula algunas adaptaciones en la simbologa.

T se representa por n; lo que se llama tanto por uno se representa con la letra i, donde i=%/10.

Entonces una forma equivalente de la frmula seria: I=Cni

En donde n es el periodo de tiempo e i el tanto por uno.

Ejemplo

Determinar el inters de un capital de Q300.00 al 8% anual durante 2 aos.

C=Q300.00

i= 8/100 = 0.08.

n=2I=? I=CniI=Cni= 300.00 x 2 x 0.08I= 48.00

Respuesta: el inters es de Q48.00

Nota: el cambio en la simbologa en la frmula en la frmula del inters simple, se hizo para adaptarla en posteriores definiciones, por considerarlo mas adecuado operacionalmente.

Recuerde tambin que el monto se defini como la suma del capital invertido con el inters devengado.

Se simbologa el monto con la letra M o s.

Entonces la frmula sera:

S=C+I o M = C+ I Frmula equivalente para S

Si S= C + I y adems I = CniEntonces S=C + Cni donde n se expresa en aos. S=C (1+ni)

Ejemplo:Calcular el monto, que debe pagarse por una deuda de Q18350.00 el 19 de octubre, si un pagar fue firmado el 25 de febrero, al 6% inters.

Solucin:Para encontrar el valor de n se usa la tabla de los meses y los das, y el mtodo correspondiente as:

T=242 (25 19) = 242 6 = T= 236

Entonces usando la frmula.

C= 18350.00

I= 0.06S=?Usando la frmula

S=C (1+ni)S= 18350 (1 + 0.6556 x 0.06)S=18350.00 (1.039336)S= 19071.82Respuesta: el monto ser Q19017.82

3.1.4.3 Descuento racionalCuando se firma un documento de crdito, se establece un plazo para pagarlo, sin embargo el prestamista del dinero, que tiene en su poder el documento, lo puede negociar ya sea con un banco o con alguna persona. Al negociarlo la persona que lo compra aplicar un descuento que depende de: la cantidad, una tasa de inters y el tiempo que falta para el vencimiento.

Fecha de FirmaFecha de Vencimiento

Fecha de Negociacin

N= tiempo que falta para el vencimiento a partir de la fecha de negociacin.

Se llama S a la cantidad que se debe pagar y D al descuento que se hace; al restar S con D se obtiene un nuevo valor que se identifica C, as:

C=S-D

A S se le llama Valor nominal, a D se le llama descuento, a C se le llama Valor actual o efectivo, o liquido.

Estudie el siguiente caso:

Un pagare fue de Q600.00 fue negociado cierto tiempo, antes de su vencimiento. El comprador hizo un descuento de Q35.00 aplicando cierta tasa de inters y considerando el tiempo que falta para el vencimiento. Cunto le pagan efectivamente al vendedor?Al valor nominal se resta el descuen

2. matematica comercial

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