2 limite y continuidad función vectorial

20/03/2015

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LÍMITE y CONTINUIDAD LÍMITE y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN DE UNA FUNCIÓN

VECTORIALVECTORIALnI ℜ→ℜ⊆:r

CAPÍTULO ICÁLCULO VECTORIAL

SESIÓN 2 Notación de Límite

2Rosa Ñique Alvarez

Lr =→

)(lim0

ttt

nI ℜ→ℜ⊆:r

sea t0 un punto de acumulación de I

PUNTO DE ACUMULACIÓN EN UN INTERVALO I


Un punto t0 se llama punto de acumulación de I sicada bola o vecindad de t0 contiene por lo menos unpunto de I, diferente de t0

Bola o Vecindad

( ) ( ) ( ){ }δδδ <== 000 ,,, ttdttBtV


Bola o Vecindad

t0 t0 + δt0 - δ

t

( ) ( ) ( ){ }δδδ <== 000 ,,, ttdttBtV

Definición:


Lr =→

)(lim0

ttt

∈<−⇒<−<∈ Lr )(0, 0 tttIt δ

nI ℜ→ℜ⊆:rSea una función definida en I de Ry sea t0 un punto de acumulación de I. Se dice queel límite de la función r cuando t tiende a t0 esL = (l1,l2,…,ln ), lo cual se escribe como

Si dado cualquier existe un δ > 0 talque0∈>


∈<−⇒<−<∈ Lr )(0, 0 tttIt δ

δδδ +<<−=<− 000 ttttt

∈<− Lr )( t es la norma euclidiana de vectores en Rn

Lr =→

)(lim0

ttt

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Lr −)( t

NORMA EUCLIDIANA DE VECTORES EN Rn

( ) ( )2211)( nn lxlxt −++−=− LLr

( ) nn txtxtxt ℜ∈= )(,),(),()( 21 Lr

( )nlll ,,, 21 L=L


∈<−⇒<−<∈ Lr )(0, 0 tttIt δ

Lr =→

)(lim0

ttt

δδδ +<<−<− 000 ; ttttt

( ) ( ) ∈<−++−=− 2211)( nn lxlxt LLr

Interpretación en Rn


Lr =→

)(lim0

ttt

Rosa Ñique Alvarez 10

Interpretación para n = 3

∈<−⇒<−<∈ Lr )(0, 0 tttIt δ

Lr =→

)(lim0

ttt

δ0t0tδ0t

+

− )(tr

L(t)r

−

rr


δ0t0tδ0t

+

− (t)r

L(t)r

−

rr


Lr =→

)(lim0

ttt



∈<−⇒<−<∈ Lr )(0, 0 tttIt δ

( ) 3)(,)(),()( ℜ∈= tztytxtr( )321 ,, lll=L

( ) ( ) ( ) <∈−+−+−=− 23

22

21)( lzlylxt Lr

Lr =→

)(lim0

ttt



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Interpretación para n = 3Lr =

→)(lim

0t

tt

Teorema: evaluación de limites

niltx iitt...2,1;)(lim

0==

→

( ) nn txtxtxt ℜ∈= )(,),(),()( 21 Lr


Sea nI ℜ→ℜ⊆:r una función vectorial. Entonces

( )n

lllttt

,,....,21

)(lim0

==→

Lr

si y solo si

Donde:

Caso particular n = 3

( ) 3321 ,,)(lim

0

ℜ∈==→

lllttt

Lr

3

2

1

)(lim

)(lim

)(lim

0

0

0

ltz

lty

ltx

tt

tt

tt

=

=

=

→

→

→

( ) 3)(,)(),()( ℜ∈= tztytxtr


Sea

Donde:

Propiedades

ℜ→ℜ⊆J:ϕ

ℜ∈=→

LLttt

;)(lim0

ϕ


nI ℜ→ℜ⊆:,ur

21 )(limy)(lim00

LuLr ==→→

tttttt

Propiedades


[ ] 21)()(lim0

LLur ±=±→

tttt

[ ] 1)()(lim0

Lr Ltttt

=→

ϕ

1.

2.

Propiedades


[ ] 21)()(lim0

LLur xx =→

tttt

solo en R34.

[ ] 21)()(lim0

LLur ⋅=⋅→

tttt3.



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EJEMPLO 1


kjir +−

+=t

ttsen

tt cos1)(

a. Determine el dominio de la función vectorial

b. Calcule el si es que existen 0;)(

0

lim tttt

∀→

r

Dada la siguiente función vectorial

Solución


kjir +−

+=t

ttsen

tt cos1)(

( ) { },...2,1/,0)( ±±=−= nnRtDom πr

Solución


kjir +−

+=t

ttsen

tt cos1)(

( ) Lkjir ==

+

−+=

→→1,0,1cos1lim)(lim

00 tt

tsentt

tt

+

−+=

→→kjir

tt

tsentt

ntnt

cos1lim)(limππ

No existe

EJEMPLO 2

( )ttsen

tt

tsentsent 5cos

43cos2cos

32 ,,)( =r


Evalúe

)(lim0

tt

r→


Solución


=

=

→→→→

→→→→

ttsen

tt

ttt

ttsen

tt

tsentsent

tttt

tttt

5cos4lim,3cos

2coslim3cos32cos2lim)(lim

5cos4lim,

3cos2coslim,

32lim)(lim

0000

0000

,r

r

( )ttsen

tt

tsentsent 5cos

43cos2cos

32 ,,)( =r Solución


( ) Lr ==→

0,1,)(lim 32

0t

t

( )ttsen

tt

tsentsent 5cos

43cos2cos

32 ,,)( =r



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EJEMPLO 3


Evalúe el límite en los siguientes puntost = 1, t = 2, tk = (2k-1)/2 k=1,2

[ ]2.2 0;1

)tan(1

)(2-2-

)( 2 ∈−

+−

+= tt

tt

tsentt

t ;kji r ππ


Solución


Lr =

−−=

→π

π ,2

,1)(lim1

tt

Para t = 1

[ ]2.2 0;1

)tan(1

)(2-2-

)( 2 ∈−

+−

+= tt

tt

tsentt

t ;kji r ππ

Solución


)(lim2

tt

r→

Para t = 2

NO EXISTE22

lim1122

lim22 −

−=≠−=

−−

+− →→ tt

tt

tt

[ ]2.2 0;1

)tan(1)(

2-t2-t

)(2

∈−π+

−

π+= tt

tt

tsent ;kji r

NO EXISTE

Solución


)(lim2/1

tt

r→

)(lim2/3

tt

r→

Para k=1, t = 1/2

Para k=2, t = 3/2

NO EXISTE

NO EXISTE

[ ]2.2 0;1

)tan(1)(

2-t2-t

)( 2 ∈−π

+−

π+= t

tt

ttsent ;kji r

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL EN t0

DEFINICIÓNSea una función vectorial definida en el conjunto abierto I de R y sea t0 en I. Se dice que r es continua en t0 si


)()(lim 00

tttt

rr =→

∈<−⇒<−< )()(0 00 tttt rrδ

nI ℜ→ℜ⊆:r

Es decir:

Definición: continuidad de la función vectorial r en t0

)()(lim.3

existe)(lim.2

existe)(1.

0

0

0

0

tt

t

t

tt

tt

rr

r

r

=→

→




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TEOREMA

niIxi ,,2,1;: L=ℜ→ℜ⊆


son continuas en t0

( ) nn txtxtxt ℜ∈= )(,),(),()( 21 Lr

La función vectorial

es continuidad en un punto t0 si y solo si

EJEMPLO 4Pruebe que la siguiente función vectorial es continua en t =0


=

−−∈

=0,)0,1,3/2(

02

,2

,5cos4,3cos

2cos,32

)(t

tttsen

tt

tsentsen

t

ππ

r

Solución


)0()0,1,3/2()(lim

5cos4,3cos

2cos,32lim)(lim

0

00

rr

r

==

=

→

→→

t

ttsen

tt

tsentsent

t

tt

Solución


Por lo tanto

es continua en t = 0.

=

−−∈

=0,)0,1,3/2(

02

,2

,5cos4,3cos

2cos,32

)(t

tttsen

tt

tsentsen

t

ππ

r

TEOREMA: continuidad en un intervalo I

es continua en el intervalo I si lo es para todo t I∈


( ) nn txtxtxt ℜ∈= )(,),(),()( 21 Lr

La función vectorial

Propiedades

ℜ→ℜ⊆J:ϕ

0encontinuaes.1 tur ±

0.2 tencontinuaesrϕ


nI ℜ→ℜ⊆:,ur

r, u φ funciones continuas en t0 entonces:



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Propiedades


0continuaes.3 tenur ⋅

30 ensolo;.4 ℜ× tencontinuaesur

nI ℜ→ℜ⊆:,ur

r, u φ funciones continuas en t0 entonces:

Discontinuidad de la función vectorial en un punto t0


=→

→

)()(lim.3

existe)(lim.2

existe)(1.

0

0

0

0

tt

t

t

tt

tt

rr

r

r Alguna de estascondiciones no secumple la funciónvectorial r esdiscontinua en t0.

Tipos de discontinuidad de la función vectorial en un punto t0


q Discontinuidad removible

q Discontinuidad esencial

Discontinuidad Removible

existe)(lim0

ttt

r→

)(lim)(0

0 tttt

rr→

=


nI ℜ→ℜ⊆:r

REDEFINE

Discontinuidad Esencial

existeno)(lim0

ttt

r→


nI ℜ→ℜ⊆:r

EJEMPLO 5


0;cos1)( ≥+−

+= tt

ttsen

tt kjir


Ubique los puntos donde la función vectorial esdiscontinua y clasifíquelos. Además redefina lafunción en los puntos donde sea posible lograr lacontinuidad.



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EJEMPLO 6

Considere la siguiente función vectorial

Ubique los puntos donde la función vectorial esdiscontinua y clasifíquelos. Además redefina lafunción en los puntos donde sea posible lograr lacontinuidad.

[ ]2.20;1

)tan(1

)(2-2-

)( 2 ∈−

+−

+= tt

tt

tsentt

t ,kji r ππ


Solución


−−==

→π

π ,2

,1)(lim)1(1

tt

rr

)(lim2

tt

r→

Para t = 1, discontinuidad removible.

Para t = 2, discontinuidad esencial

NO EXISTE

Solución


)(lim2/1

tt

r→

)(lim2/3

tt

r→

Para t = ½, discontinuidad esencial

Para t = 3/2, discontinuidad esencial

NO EXISTE

NO EXISTE

Solución


[ ] { }

( )

=−−

−∈−

+−

+

=

1,2/,1

2;2/3;2/1;12,2;01

)tan(1

)(2-t2-t

)(

2

t

tt

tt

tsen

t

ππ

ππ ,kji

u

Curva[ ] 3,: ℜ→ℜ⊂bar [ ]( ) Cba =,r

r




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Punto inicial de C

Punto final de C

)(aA r=

)(bB r=


r

EJEMPLO 7


( ) [ ]2,2;,,)(: 32 −∈= tttttrC

Punto inicial de C

Punto final de C

)8,4,2()2( −−=−= rA

)8,4,2()2( == rB

Gráfica


-2-1

01

2

01

23

4-10

-5

0

5

10

X

curva

Y

Z

)8,4,2( −−=A

)8,4,2(=B

Curva cerrada


BA=•

BbaA === )()( rr

a ≠ b

Curva con Puntos dobles

2121 ),()( tttt ≠= rr

t 1

•

punto doble

t2

• •

r


Curva simple

A

B




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Curva simple y cerrada




2 limite y continuidad función vectorial

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