límites y continuidad. concepto intuitivo de limite analicemos la función: la función está...
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Límites y continuidad
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CONCEPTO INTUITIVO DE LIMITE
Analicemos la función: 112
xx
xf
La función está definida para toda x diferente de 1.
Podemos simplificar la función de la siguiente manera:
1
111
112
x
xxx
xx
xf x 1
x
y
1
1
–1
0
112
xx
xfy
2
x
y
1
1
–1
0
y = x + 1
2
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Valores de x menores y mayores que 1
0.9
1.1
0.99
1.01
0.999
1.001
0.999999
1.000001
1.9
2.1
1.99
2.01
1.999
2.001
1.999999
2.000001
1112
x
xx
xf x 1
Decimos que f(x) está muy cercano a 2 conforme x se aproxima a 1.
211
lim2lim2
11
xx
oxfxx
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Definición informal de límiteSea f(x) definida en un intervalo alrededor de x0, posiblemente excepto en x0. Si f(x) se acerca de manera arbitraria a L para toda x suficientemente cerca de x0, se dice que f se aproxima al límite L conforme x se aproxima a x0, y se escribe
Lxfx
10
lim
x
y
1
1
–1
0
11
)2
xx
xfa
2
x
y
1
1
–1
0
1) xxhc
2
x
y
1
1
–1
0
1,1
1,11
)
2
x
xxx
xgb
2
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PROPIEDADES DE LIMITES
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Límites de PolinomiosLos límites de polinomios pueden ser calculados por sustitución
Si P(x) = anxn + an–1 xn–1 +...+ a0, entonces
limxc P(x) = P(c) = ancn + an–1 cn–1 +...+ a0
Los límites de las funciones racionales pueden calcularse por sustitución si el límite del denominador no es cero.
Si P(x) y Q(x) son polinomios y Q(c) 0, entonces
limxc P(x) / Q(x) = P(c) / Q(c)
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Ejemplos
yy
y 5lim
2
5
245
5lim
0 hh
5103
lim2
5
xxx
x
23
1lim
1
x
xx
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Definición de límiteSea f(x) definido sobre un intervalo abierto alrededor de x0, excepto posiblemente en x0. Decimos que f(x) tiende al límite L cuando x tiende a x0 y escribimos
si, para cada número > 0, existe un número correspondiente > 0 tal que para toda x
0 < | x – x0 | < | f(x) – L | <
Lxfxx
0
lim
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Límites Laterales
Sea f(x) una función definida en un intervalo (a, b) donde a < b. Si f(x) está arbitrariamente cerca de L cuando x tiende a a desde dentro del intervalo, decimos que L es el límite por la derecha de f en a, y escribimos
Lxfax
lim
Sea f(x) una función definida en un intervalo (c, a) donde a < b. Si f(x) está arbitrariamente cerca de M cuando x tiende a a desde dentro del intervalo, decimos que M es el límite por la izquierda de f en a, y escribimos
Mxfax
lim
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Gráficamente:
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UNICIDAD DEL LIMITE
Una función f(x) tiene un limite cuando x tiende a “a” si y sólo si tiene límites por la derecha y por la izquierda en ese punto y éstos son iguales:
Limx a f (x) = L Limx a– f (x) = L y Limx a+ f (x) = L
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Ejemplo
1lim0
xfx
existennoxfyxfxx 00limlim
0lim1
xfx
1lim1
xfx
existenoxfx 1lim
1lim2
xfx
1lim2
xfx
1lim2
xfx
23limlimlim333
fxfxfxfxxx
1lim4
xfx
existennoxfyxfxx 44limlim
1 2 3 4
1
2
0
y
x
y = f (x)
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Límites InfinitosSi el valor de una función crece rebasando el valor de cualquier real positivo, se dice que la función tiende a un límite infinito positivo.
xfcx
lim
Similarmente si el valor de la función disminuye rebasando el valor de cualquier real negativo, se dice que la función tiende a un límite infinito negativo.
xfcx
lim
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-3 -2 -1 0 1 2 3-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
Ejemplo 1:
xx
1lim
0
x
y
xx
1lim
0
y = 1/x
IMPORTANTE:
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-6
-4
-2
0
2
4
6
-2 -1 0 1 2 3
11
lim1 xx
11
lim1 xx
x
y
y = 1/(x – 1)
Ejemplo 2:
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0
5
10
15
20
25
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
y
20
1lim
xx
20
1lim
xx
2
1x
y
Ejemplo 3:
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0
5
10
15
20
25
-6 -4 -2 0 2 4 6
x
y
23 3
1lim
xx
23 3
1lim
xx
23
1
xy
Ejemplo 4:
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Ejemplo 5:
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Límites de funciones racionales
0
22
lim22
2lim
42
lim2
2
22
2
2
xx
xxx
xx
xxx
41
21
lim22
2lim
42
lim2222
xxxx
xx
xxx
223
lim43
lim222 xx
xxx
xx
223
lim43
lim222 xx
xxx
xx
existenoxx
xxx
xx
223
lim43
lim222
223232 2
1lim
2
2lim
2
2lim
xx
x
x
xxxx
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Límites al InfinitoSi el valor de una función crece rebasando el valor de cualquier real positivo, se dice que la función tiende a un límite infinito positivo.
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Ejemplos:
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LIMITES TRIGONOMETRICOS
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Continuidad
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Ejemplos
1
1
0
y
x
y = f(x)
1
0
y
x
y = f(x)
1
0 x
y = f(x)
y = f(x)
y
x
2
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Tipos de discontinuidades
xy Discontinuidad escalonada
xseny
1 Discontinuidad oscilante
21
x
y Discontinuidad infinita
2
22
x
xy Discontinuidad removible
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Extensión continua en un punto
Para una función racional f(x), si f(c ) no está definida, pero limxc f(c ) = L, se puede definir una función F(x) usando la regla
f(x) si x está en el dominio de fF(x) =
L si x = c
Ejemplo:
4
62
2
xxx
xf
Se puede simplificar en:
2
32232
46
2
2
xx
xxxx
xxx
xf
Que es continua en x = 2