2º eso e eso … · "cada oveja con su pareja". en otras palabras, sumamos (o restamos) las...

2º ESO EEjercicios página 133

1. Completa en tu cuaderno las casillas vacías, siguiendo la lógica de la tabla.

1 3 5 8 10 15 n

2 12 22 37 57Solución:

Nos encontramos ante un ejercicio relativo a sucesiones y términos de la sucesión. Lo

primero que debemos hacer es averiguar el término general de la sucesión, es decir, aquel

término que depende de n. Para ello, debemos ir analizando los diferentes elementos de la

sucesión y probar fórmulas. Vamos allá.

El primer elemento asigna

1→2

Podemos pensar, entonces, que el término general de la sucesión es 2·n. En otras palabras,

que a cada número natural (1, 2, 3...) se le asigna su doble. Comparemos nuestra propuesta

con la tabla.

Enunciado

1 3 5 8 10 15 n

2 12 22 37 57

Nuestra propuesta

1 3 5 8 10 - 15 n 2 6 10 16 - 57 - 2·n

Las columnas que coinciden con las de la tabla del ejercicio las hemos marcado con verde.Las que no coinciden, con rojo. A mayores, como hay columnas que no coinciden, hemoscolocado – en las casillas en blanco, puesto que todavía no las podemos resolver.

Podemos comprobar que nuestra propuesta no coincide en varios elementos y no sería la

solución. Entonces, la sucesión no puede ser 2·n.

Seguimos pensando en una sucesión en la que se verifique lo que nos pide el enunciado.

Nuestro nuevo intento va a ser 5·n – 3. Comprobamos de la misma forma que antes:

Enunciado

1 3 5 8 10 15 n

2 12 22 37 57

Nuestra nueva propuesta

1 3 5 8 10 12 15 n 5·1 -3

=2

5·3 -3=12

5 · 5 – 3=22

5 · 8 – 3=37

5 · 10 – 3=47

5 · 12 – 3=57

5 · 15 – 3=72

5 · n – 3

Vemos, entonces, que las cuatro primeras columnas coinciden con las del enunciado.

Estamos en condiciones, entonces, de afirmar que la sucesión 5 · n – 3 es la solución del

ejercicio y la usamos para resolver las casillas que estaban en blanco (lo hemos marcado en

azul).

Nota: Este ejercicio no es precisamente de los ejercicios fáciles. Además, explicarlo por

escrito tampoco es una tarea sencilla. Por lo tanto, si esta explicación no la has

entendido, te ruego que me escribas al correo ([email protected]) para

que pueda resolver tus dudas y, si veo que las dudas persisten, hacer vídeos al

respecto.

2. Llamando x a un número, expresa en lenguaje algebraico.

a) Su doble.

b) El siguiente de su doble.

c) El doble de su siguiente.

d) El triple de su mitad.

Solución:

Este ejercicio es mucho más sencillo que el anterior, así que seremos un poco más

sintéticos.

a) Si tenemos un 2, su doble es 2 · 2 = 4.

Si tenemos un 5, su doble es 2 · 5 = 10.

Por tanto, si tenemos un número cualquiera x, su doble es 2 · x (lo podemos abreviar

como 2x).

b) Si tenemos un 2, el siguiente de su doble es 2 · 2 + 1 = 5.

Si tenemos un 5, el siguiente de su doble es 2 · 5 + 1 = 11.

Por tanto, si tenemos un número cualquiera x, el siguiente de su doble es 2 · x + 1 (lo

podemos abreviar como 2x+1).

c) Si tenemos un 2, el doble de su siguiente es 2 · (2 + 1) = 2 · 3 = 6.

Si tenemos un 5, el doble de su siguiente es 2 · (5 + 1) = 2 · 6 = 12.

Por tanto, si tenemos un número cualquiera x, el doble de su siguiente es 2 · (x + 1).

d) Si tenemos un 2, el triple de su mitad es 3⋅22=3⋅1=3 .

Si tenemos un 5, el triple de su mitad es 3⋅52=3⋅2 ' 5=7 ' 5 .

Por tanto, si tenemos un número cualquiera x, el triple de su mitad es 3⋅x2

.

3. ¿Cuáles son el coeficiente y el grado el monomio −23 xy2 ?

Solución:

Recordamos que un monomio es una expresión que, hablando coloquialmente, está

compuesto por un número, que llamamos coeficiente, y letras (las cuales pueden estar

elevadas a exponentes), las cuales son la parte literal. Pues bien, en el monomio que nos

presenta el ejercicio:

• Coeficiente: −23

.

• Parte literal: xy 2 .

Una vez llegados a este punto, dentro de la parte literal, llamamos grado del monomio a la

suma de los exponentes de cada letra. En este ejercicio

• Grado del monomio: 1 + 2= 3

Expo

nent

e de

la x

->

Expo

nent

e de

la y

->

4. Calcula el valor numérico del polinomio 2 x 3−7 x−2 .

a) Para x=0.

b) Para x=1.

c) Para x=-1.

Solución:

Antes de comenzar, recordamos qué es evaluar un polinomio (o calcular el valor numérico

de un polinomio), y no es más que sustituir la x por el número que nos pidan y hacer laoperación correspondiente.

a) 2⋅(0)3−7⋅(0)−2=2⋅0−7⋅0−2=0−0−2=−2 .

b) 2⋅(1)3−7⋅(1)−2=2⋅1−7⋅1−2=2−7−2=−7 .

c) 2⋅(−1)3−7⋅(−1)−2=2⋅(−1)−7⋅(−1)−2=−2+7−2=3 .

5. Reduce estas expresiones:

a) 2 x+ 4+ x−6

b) 5 x 2+2+6 x−x−3 x2+1

c) 6 x 3+7 x−2 x2+ x2−5 x 3+17

Solución:

Previo a la realizar estas cuentas, recordamos qué pasos seguíamos a la hora de reducir

expresiones como las que se nos presentan. Básicamente, es lo que decíamos en clase de

"cada oveja con su pareja". En otras palabras, sumamos (o restamos) las expresiones que

tengan la misma parte litera. Así, podemos sumar 2x + x = 3x. Sin embargo, 2x + 5x² no

podríamos realizarlo, porque no tienen la misma parte literal (en el primero es x, en el

segundo x²). Teniendo esto presente, vamos a hacer paso por paso cada cuenta. Hemos

asociado los monomios que tienen la misma parte literal por colores para que sea más fácil

identificar los cambios que se hacen.

a) 2 x+4+ x−6=2 x+ x+4−6=3 x−2 .

b) 5 x2+2+6 x−x−3 x2+1=5 x 2−3 x2+6 x−x +2+1=2 x2+5 x +3 .

c) 6 x3+7 x−2 x2+ x2−5 x3+17=6 x3−5 x 3−2 x2+ x2+7 x +17=x 3−x 2+7 x+17 .

6. Opera y reduce.

a) −15 x2(−5 x )

b) 6 x 4 :2 x3

c) 6⋅( a2 −b3 +

16 )

d) (a+ ab9 ):2a9

Solución:

Antes de comenzar cualquier apartado, vamos a ver ante qué tipo de ejercicio nos

encontramos y de qué forma podemos operar:

Los apartados a) y b) son, respectivamente, producto y cociente de monomios. La formade proceder ante ellos es la siguiente:

1. Identificamos los monomios.

2. Multiplicamos (o dividimos, según corresponda) sus coeficientes.

3. Multiplicamos (o dividimos, según corresponda) sus partes literales.

Haremos el apartado a) paso por paso, siendo el apartado b) muy similar.

En los apartados c) y d) tendremos que utilizar la propiedad distributiva.

Vamos, entonces, a resolver este ejercicio:

a) −15x2(−5 x )

1) Identificamos los monomios:

Los monomios que tenemos son −15x2 y −5 x .

2) Multiplicamos (o dividimos, según corresponda) sus coeficientes:

El coeficiente de −15x2 es −1

5.

El coeficiente de −5 x es −5 .

El producto, por tanto, es: (−15)⋅(−5)=+ 5

5=1 .

3) Multiplicamos (o dividimos, según corresponda) sus partes literales:

La parte literal de −15x2 es x2 .

La parte literal de −5 x es x .

El producto, por tanto, es: x2⋅x=x 2+1=x3 (producto de potencias de la misma

base).

Es decir, que −15x2(−5 x )=1⋅x3=x3 .

b) 6 x4 :2 x 3=6 x4 : 2 x3=3 x4 : x3=3 x4 : x3=3 x 4 : x3=3 x 4−3=3 x 1=3 x .

c)

6⋅( a2

−b3+

16)

Como ya hemos dicho, en este ejercicio tenemos que utilizar la propiedad distributiva.

Vamos a hacer un repaso gráfico de lo que representaba esta propiedad:

6⋅( a2

−b3+

16)=6⋅a

2−6⋅b

3+6⋅1

6=3⋅a−2⋅b+1

d) (a+ ab9

): 2a9

En este apartado, una vez más, tenemos que utilizar la propiedad distributiva. Sin

embargo, fijémonos que esta vez la operación es un cociente. De esta forma:

(a+ ab9

): 2a9

=a : 2a9

+ab9

: 2a9

(*)

Una vez llegados hasta aquí, nos damos cuenta que tenemos la suma de dos

cocientes de monomios. Estos cocientes son: a : 2a9

y ab9

: 2a9

.

Vamos a realizar las divisiones con detalle:

1) a : 2a9

Nota: En este apartado, a pesar de que no hemos explicado al detalle

como en el ejercicio anterior, hemos destacado en rojo los elementos que

hemos utilizado para cada operación. Aún así, si no lo entiendes, insisto

en que me contactes por correo ([email protected]).


Los monomios son: a y 2a9

.


El coeficiente de a es 1.

El coeficiente de 2a9

es 29

.

La divisón, por tanto, es: 1: 29=

11

: 29=

1⋅91⋅2

=92

.


La parte literal de a es a .

La parte literal de 2a9

es a .

La división, por tanto, es: a :a=1 .

Es decir, que a : 2a9

=92⋅1=9

2.

2) ab9

: 2a9


Los monomios son ab9

y 2a9

.


El coeficiente de ab9

es 19

.

El coeficiente de 2a9

es 29

.

La división, por tanto, es: 19

: 29=

1⋅99⋅2

=12

.


La parte literal de ab9

es ab .

La parte literal de 2a9

es a .

La división, por tanto, es: ab :a=aba

=b .

Es decir, que ab9

: 2a9

=12⋅b .

Una vez acabadas la divisiones, retomamos en (*):

(a+ ab9

): 2a9

=a: 2 a9 +ab9 :

2a9 =

92 +

12⋅b

Hemos utilizado los colores azul y rojo para asociar a cada cociente de monomios su

respectiva solución.

7. Observa los siguientes polinomios y calcula:

A = 3 x 3+5 x2−6 x+8 B = x 3−5 x2+1

a) A + B

b) A – B

Solución:

Este ejercicio se soluciona de la misma forma que el ejercicio cinco, es decir, "cada oveja

con su pareja". Un comentario que debemos tener en cuenta es que, en el apartado b), al

polinomio B tenemos que cambiarle el signo a todo porque hay un – delante.Utilizaremos también colores para ir asociando dentro de cada operación:

a) A + B = 3 x3+5 x2−6 x+8 + x 3−5 x2+1 = 3 x3+5 x2−6 x+8+ x3−5 x2+1=

=4 x3+0 x2−6 x +9=4 x 3−6 x +9 .

b) A – B = 3 x3+5 x2−6 x+8 - (x 3−5 x2+1) = 3 x3+5 x2−6 x +8−x3+5 x2−1=

=2 x3+10 x2−6 x +7 .

8. Calcula el producto (2 x−1)⋅( x 3+3 x−6) .

Solución:

Para solucionar este problema, una vez más, vamos a hacer una recapitulación de la teoría.

Nos encontramos ante el producto de un binomio con un polinomio.

En los últimos apartados del ejercicio 6 hemos tenido la oportunidad de ver cómo

solucionábamos los casos del estilo x⋅( x2+ x+1) . ¿Qué hacíamos? Aplicábamos la

propiedad distributiva tal que así:

x⋅( x2+ x+1)=x⋅x2+ x⋅x+ x⋅1= x3+ x2+ x .

Cuando tenemos el producto de un binomio, trinomio, polinomio... por otro polinomio, la

forma de proceder es similar.

Supongamos que tenemos la siguiente operación:

(a+b)⋅( x2+ x+1)

¿Qué tenemos que hacer?

En primer lugar, esto es un producto de un binomio (a+b) por un polinomio x2+x+1 .

Los binomios están compuestos por dos monomios (recuerda: el prefijo "bi-" significa dos).

En este caso, esos monomios son y b . Lo que hacemos, entonces, ante este

producto, es multiplicar cada uno de los monomios por el polinomio. Pensamos que esmás fácil verlo que leerlo. Hemos utilizado colores para asociar las operaciones:

(a+b)⋅(x2+x+1)=a⋅(x 2+x+1)+b⋅( x2+ x+1)

Llegados a este punto, tenemos la suma del producto de dos monomios por un polinomio

(que ya sabemos realizar).

Vamos, ahora sí, con el ejercicio:

(2 x−1)⋅( x3+3 x−6)=2 x ( x3+3 x−6)−1( x3+3 x−6)=

=2 x⋅x 3+2 x⋅3 x+2 x (−6)−1⋅x 3−1⋅3 x−1(−6)=2 x 4+6 x2−12 x−x3−3 x+6

Una vez hecho todos estos pasos, procedemos a realizar lo que ya sabemos ("cada oveja

con su pareja").

2 x4+6 x2−12 x−x 3−3 x +6=2 x 4−x 3+6 x2−15 x +6

Por tanto: (2 x−1)⋅(x3+3 x−6)=2x 4−x 3+6 x2−15 x+6 .

9. Calcula.

a) ( x−3)2

b) (1+2 x )2

c) ( x−3)⋅( x+3)

Solución:

Este ejercicio tiene que ver con los productos notables. Conocer estos productos es

muy importante en lasmatemáticas de 2º de ESO. Estas fórmulas las podéis ver en las páginas 124 y 125 del libro

de Anaya.

Aún así, las recordamos aquí:

• Suma al cuadrado:

◦ (a+b)2=a2+2⋅a⋅b+b2

• Diferencia al cuadrado:

◦ (a−b)2=a2−2⋅a⋅b+b2

• Suma por diferencia:

◦ (a+b)(a−b)=a2−b2

Habiendo recordado esto, pasamos a resolver el ejercicio:

a) (x−3)2=x2−2⋅3⋅x+32=x2−6⋅x+9 .

b) (1+2 x )2=12+2⋅1⋅2x +(2 x )2=1+4 x+4 x2 .

c) (x−3)(x+3)=x2−33=x2+9 .

10. Saca factor común.

a) 3 a2+6 a

b) 4 x 3+6 x2−2 x

Solución:

Sacar factor común no es más que aplicar la propiedad distributiva que hemos utilizado en

diferentes ejercicios de esta página. La única diferencia es que realizamos esta propiedad "al

revés". Es decir, si la propiedad distributiva, tal y como la conocemos, es

a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c

Sacar factor común (lo que habíamos dicho de aplicar la propiedad distributiva "al reves") lo

realizamos de la siguiente manera

1) Hacemos la descomposición en factores primos de todos los coeficientes.

2) Establecemos qué factores están presentes en los diferentes sumandos.

3) Sacamos el factor común de dichos sumandos con el menor exponente que

aparezca.

Una vez más, para entender esto mejor, lo vamos a llevar a la práctica:

a) 3a2+6a


La descomposición en factores primos de 3 = 3.

La descomposición en factores primos de 6 = 2 · 3.

Por tanto: 3a2+6a=3a2+2⋅3⋅a .

2) Establecemos qué factores están presentes en los diferentes sumandos.

Vamos a utilizar colores para identificarlos mejor:

3 a2+2⋅3⋅a

Es decir, los factores comunes a ambos sumandos son 3 y a.

3) Sacamos el factor común que dichos sumando con el menor exponente que

aparezca.

El menor exponente de 3 es: 1.

El menor exponente de a es: 1.

Sacamos, entonces, factor común:

3 a2+2⋅3⋅a=3 a⋅(a+2)

b) 4 x3+6 x 2−2 x


La descomposición en factores primos de 4 = 2².

La descomposición en factores primos de 6 = 2 · 3.

La descomposición en factores primos de 2 = 2.

Por tanto: 4 x3+6 x 2−2 x=22 x3+2⋅3 x2−2 x

2) Establecemos qué factores están presentes en los diferentes sumandos:

22 x3+2⋅3 x 2−2 x

Es decir, los factores comunes son 2 y x.

3) Sacamos el factor común de dichos sumandos con el menor exponente que

aparezca.

El menor exponente de 2 es: 1.

El menor exponente de x es: 1.

Sacamos, entonces, factor común:

22 x3+2⋅3 x 2−2 x=2⋅x (2 x2+3 x−1)

11. Simplifica.

a) 3a3a2+6a

b) x2−9

x2−6 x+9

Solución:

En estos ejercicios de simplificar fracciones algebraicas lo que hace falta saber es lo

siguiente:

• Sacar factor común.

• Conocer los productos notables.

• Conocer los mecanismos de simplificación de fracciones.

Estas tres cuestiones las damos por sabidas. Las dos primeras porque se han practicado a

lo largo de este solucionario y la tercera porque es un contenido de la primera evaluación y

de 1º de ESO. Aún así, iremos haciendo en cada apartado los pasos de forma más o menos

resumida.

a) 3a3a2+6a

1. Sacamos factor común en el denominador. Como es un binomio que hemos visto

en el ejercicio anterior, lo vamos a expresar este paso directamente.

3a3a2+6a

=3a

3a⋅(a+2)

2. Como el numerador y el denominador tienen factores en común (3a), simplificamos:

3a3a⋅(a+2)=

1a+2

b) x2−9

x2−6 x+9

1. Tanto en el numerador como en el denominador podemos aplicar los productos

notables (remarcamos, una vez más, la importancia que tiene el conocimiento de

estas fórmulas). El numerador es suma por diferencia y el denominador es diferencia

de cuadrados. Veámoslo:

x2−9x2−6 x+9

=( x+3)(x−3)

( x−3)2

2. Ahora, como tenemos en el numerador y el denominador un factor en común

(x−3) , simplificamos:

(x+3)( x−3)( x−3)2

=( x+3)(x−3)

12. ¿Cuál de las siguientes fórmulas sirve para calcular la suma, S, de los primerosmúltiplos de 5?

a) 4 n+ n2

5

b) 5n2+ n2

c)5(n2+n)

2

Solución:

Este ejercicio tiene que ver con sucesiones, como el ejercicio 1 de esta página.

Los n primeros múltiplos de 5 son:

1 2 3 ... n

5 2 · 5 = 10 3 · 5 = 15 ... n · 5

¿Qué estamos haciendo aquí? Símplemente, estamos hablando de la sucesión que tiene

como término general 5 · n (o n · 5, que es lo mismo). Ahora, ¿cuál es la suma de los n

primeros múltiplos de 5? Procedemos de la siguiente forma:

Tabla (*):

1 2 3 ... n

5 5 + 10= 15

5 + 10 + 15= 30

... 5 + 10 + 15 + 20 + ... + 5 · n

Nota: En cada columna, la primera fila indica el número de múltiplos de 5 que sumamos.

Primera columna: sumamos el primer múltiplo de 5: 5.

Segunda columna: sumamos el primer y el segundo múltiplo de 5: 5 + 10

Tercera columna: sumamos el primer, el segundo y el tercer múltiplo de 5: 5 + 10 + 15.

...

Partiendo de esto, vamos a realizar las tablas de los diferentes términos que nos da el

ejercicio y veamos cuál es la que coincide con lo que buscamos. Marcaremos con rojoaquellas columnas que no coincidan con la tabla (*). En caso contrario, las marcaremos de

verde:

a) 4n+n2

5

1 2 3 ... n

4⋅1+12

5=5

5=1 4⋅2+2

2

5=12

54⋅3+32

5=21

5... 4n+n2

5

Vemos, entonces, que esta sucesión no es la que buscamos.

b) 5n2+n2

1 2 3 ... n

5⋅12+12

=62=3 5⋅2

2+22

=222

=11 5⋅32+32

=432

... 5n2+n2

Vemos, entonces, que esta sucesión tampoco es la que buscamos.

c) 5(n2+n)2

1 2 3 ... n

5(12+1)2

=102

=5 5(22+2)2

=302

=15 5(32+3)2

=602

=30... 5(n2+n)

2

Esta es, por tanto, la sucesión correcta.

Ejercicios página 157

1. Indica cuál de los valores siguientes es solución de la ecuación:

x2−15 =√ x−1

x=1 x=2 x=4 x=9 x=−12

Solución:

Resolver este ejercicio pasa por averiguar, qué valor de los mostrados en el enunciado

permiten que se verifique la igualdad.

(1)2−15

=√(1)−1⇔ 05=1−1⇔0=0

El valor x = 1 es solución de la ecuación, ya que 0 = 0.

(2)2−15

=√(2)−1⇔ 35=√2−1

El valor x = 2 no es solución de la ecuación, ya que 35≠√2−1 .

(4)2−15

=√(4)−1⇔ 155 =2−1⇔3=1

El valor x = 4 no es solución de la ecuación, ya que 3≠1 .

(9)2−15

=√(9)−1⇔ 805 =3−1⇔16=2

El valor x = 9 no es solución de la ecuación ya que 16≠2 .

(−12)2

−1

5=√(−12 )−1

El valor x=−12

no es solución de la ecuación, ya que √−12 no tiene solución real.

2. Resuelve:

a) 7 x−3−2 x=6+3 x+1

b) 1−4 x−6= x−3(2 x−1)

Solución:

Para solucionar este ejercicios, vamos realizar paso por paso cada movimiento. Para

procurar que no haya despistes, destacaremos en rojo los elementos que manipulemos.Hay que tener en cuenta que, hablando en términos coloquiales:

Si un elemento está sumando, pasa al otro lado del igual restando.

Si un elemento está restando, pasa al otro lado del igual sumando.

Si un elemento está multiplicando, pasa al otro lado del igual dividiendo.

Si un elemento está dividiendo, pasa al otro lado del igual multiplicando.

Es importante considerar que el orden de mover los elementos es “al contrario” que elorden de la jerarquía de operaciones. Es decir:

1. Movemos sumas y restas.

2. Movemos multiplicaciones y divisiones.

Vamos a realizar, entonces, los apartados:

a)

Antes Paso que realizamos Después

7 x−3−2 x=6+3 x +1 Sumamos estos dos términos. 7 x−3−2 x=7+3 x

7 x−3−2 x=7+3 x Movemos este término a la derecha. 7 x−2 x=+3+7+3 x

7 x−2 x=3+7+3 x Realizamos esta resta. 5 x=3+7+3 x

5 x=3+7+3 x Movemos este término a la izquierda. 5 x−3 x=3+7

5 x−3 x=3+7Realizamos las operaciones

correspondientes.2 x=10

2 x=10 Movemos este término a la derecha. x=102

x=102Realizamos la división. x=5

b)


1−4 x−6=x−3 (2 x−1) Aplicamos la propiedad distributiva. 1−4 x−6=x−6 x+ 3

1−4 x−6= x−6 x+3 Realizamos esta resta. −4 x−5= x−6 x+3

−4 x−5=x−6 x+3 Realizamos esta resta. −4 x−5=−5 x+3

−4 x−5=−5 x+3Movemos este término a la

izquierda.−4 x−5+5 x=+3

−4 x−5+5 x=+3 Realizamos esta operación. x−5=+3

x−5=+3Movemos este término a la

derecha.x=+5+3

x=5+3 Hacemos la suma. x=8

3. Resuelve.

a) 34 (2 x+ 4)=x+19

b) x− x+15 =x +3

2 −2

c) x−12=5 x8 −

34

d) 2 x3 −4 (

x5 −

16 )=

215

Solución:

Explicaremos este ejercicio de la misma forma que el anterior.

a)


34 (2 x+ 4)=x+19 Aplicamos la propiedad distributiva.

64 x+ 3=x+19

64 x+ 3=x+19

Para no tener que trabajar con fracciones,

multiplicamos a ambos lados de laigualdad por 4.

6 x+12=4 x+76

6 x+12=4 x +76 Movemos este término a la izquierda. 6 x−4 x+12=+76

6 x−4 x +12=+76 Movemos este término a la derecha. 6 x−4 x=−12+76

6 x−4 x=−12+76Realizamos las operaciones

correspondientes.2 x=64

2 x=64 Movemos este término a la derecha. x=642

x=642 Realizamos la divisón. x=32

b)


x− x+15 =x+3

2 −2

Multiplicamos a ambos ladospor el m.c.m(5,2)=10.

Esto lo hacemos para hacer

desaparecer los

denominadores.

10 x−2 x−2=5 x+15−20

10 x−2 x−2=5 x+15−20 Realizamos esta resta. 8 x−2=5 x +15−20

8 x−2=5 x +15−20 Realizamos esta operación. 8 x−2=5 x−5

8 x−2=5 x−5Movemos este término a la

izquierda.8 x−2−5 x=−5

8 x−2−5 x=−5Movemos este término a la

derecha.8 x−5 x=+2−5

8 x−5 x=2−5Realizamos las operaciones

correspondientes.3 x=−3

3 x=−3Movemos este término a la

derecha.x=−33

x=−33 Realizamos la división. x=−1

c)


x−12=5 x8 −

34

Multiplicamos a ambos lados por el

m.c.m(2, 4, 8)=8.

Esto lo hacemos para hacer desaparecer los

denominadores.

8 x−4=5 x−6

8 x−4=5 x−6 Movemos este término a la derecha. 8 x=+ 4+5 x−6

8 x=4+5 x−6 Movémonos este término a la izquierda. 8 x−5 x=4−6

8 x−5 x=4−6 Realizamos las operaciones correspondientes. 3 x=−2

3 x=−2 Movemos este término a la derecha. x=−23

d)


2 x3

−4 ( x5 −16 )=

215

Aplicamos la propiedad distributiva.2 x3

−4 x5 +

46 =

215

2 x3

−4 x5

+46=

215

Simplificamos esta fracción.2 x3

−4 x5

+23=

215

2 x3 −

4 x5 +

23=

215

Multiplicamos a ambos lados por el

m.c.m(3, 5, 15)=15.

Esto lo hacemos para hacer desaparecer

los denominadores.

10 x−12 x+10=2

10 x−12 x+10=2 Realizamos esta resta. −2 x+10=2

−2 x+10=2 Movemos este término a la derecha. −2 x=−10+2

−2 x=−10+2 Realizamos esta operación. −2 x=−8

−2 x=−8 Movemos este término a la derecha. x=−8−2

x=−8−2 Realizamos la división. x=4

4. Resuelve.

a) 3 a2−5=70

b) 6 x 2−3 x= x

c) x 2−2 x−3=0

d) 8 x 2−6 x+1=0

Solución:

Para solucionar este ejercicio, debemos tener en cuenta cómo se solucionan las ecuaciones

de segundo grado.

Primero, la forma generalizada de una ecuación de segundo grado es:

a⋅x2+b⋅x+c=0

Sabiendo esto, la fórmula general de la solución de una ecuación de segundo grado es:

x=−b±√b2−4⋅a⋅c

2⋅a

Como se puede comprobar, lo que podría parecer un engorro de despejar x, al final se

convierte en “aplicar una receta”.

Sin embargo, existen variantes que debemos tener en cuenta, puesto que nos facilitarán las

cosas:

Primera excepción: Ecuación de la forma a⋅x2+c=0 . La forma que tenemos de solucionar

esto es la siguiente:

Antes Paso que realizamos Despuésa⋅x2+c=0 Movemos este término a la derecha. a⋅x2=−c

a⋅x2=−c Movemos este término a la derecha. x2=−ca

x 2=−ca

Movemos este término a la derecha.x=±√ −ca

Segunda excepción: Ecuación de la forma a⋅x2+b⋅x=0 . La forma que tenemos de

solucionar esto es la siguiente:


a⋅x2+b⋅x=0Utilizamos la propiedad distributiva “al revés”

(sacamos factor común).x⋅(a⋅x+b)=0

x⋅(a⋅x+b)=0

Llegado a este punto, debemos tener en cuenta que

si el producto de dos números es cero, entoncesal menos uno de esos números es cero.Barajamos, por tanto, las dos posibilidades

(quedando dos soluciones).

x=0

a⋅x+b=0

x=0

a⋅x+b=0Despejamos la segunda ecuación de primer grado.

x=0

x=−ba

Veamos cómo funciona solucionando los apartados:

a) 3a2−5=70

Nos encontramos en la primera excepción:

Antes Paso que realizamos Después3a2−5=70 Movemos este elemento a la izquierda. 3a2−5−70=0

3a2−5−70=0

Realizamos la resta. De esta forma obtenemos laforma de la primera excepción.

Este paso y el anterior los puedes omitir si losabes hacer directamente.

3a2−75=0

3a2−75=0 Movemos este elemento a la derecha. 3a2=+75

3a2=75 Movemos este elemento a la derecha. a2=753

a2=753 Realizamos la división. a2=25

a2=25 Movemos este elemento a la derecha. a=±√ 25a=±√ 25 Realizamos la raíz cuadrada. a=±5

MUY IMPORTANTE: SON DOS SOLUCIONES, a=+5, a=-5.

b) 6 x2−3 x=x

Nos encontramos en la segunda excepción:

Antes Paso que realizamos Después6 x2−3 x=x Movemos este elemento a la izquierda. 6 x2−3 x−x=0

6 x2−3 x−x=0 Realizamos esta resta. 6 x2−4 x=0

6 x 2−4 x=0Aplicamos la propiedad distributiva “al revés”

(sacar factor común).x⋅(6 x−4)=0

x⋅(6 x−4)=0Si el producto de dos números es cero, al menos

uno de los dos es cero.

x=06 x−4=0

x=0

6 x−4=0Resolvermos la segunda ecuación de primer

grado.

x=0

x= 46x=0

x= 46Simplificamos.

x=0

x= 23

c) x2−2 x−3=0

Es una ecuación de segundo grado en su forma generalizada:


x2−2 x−3=0 Aplicamos la fórmula. x=−(−2)±√(−2)2−4⋅1⋅(−3)

2⋅1

x=−(−2)±√(−2)2−4⋅1⋅(−3)

2⋅1Realizamos las

operaciones señaladas.x=

2±√4−(−12)2

x=2±√4−(−12)

2

Realizamos este

producto.x=2±√4+12

2

x=2±√4+122

Realizamos esta suma. x=2±√162

x=2±√162

Realizamos la raíz

cuadrada y separamos.

x=2+42

x=2−42

x=2+42Realizamos las

operaciones restantes.

x=3

x=−1

x=2−42

d) 8 x2−6 x+1=0

Es, una vez más, una ecuación de segundo grado en su forma generalizada:


8 x2−6 x+1=0 Aplicamos la fórmula. x=−(−6)±√(−6)2−4⋅8⋅1

2⋅8

x=−(−6)±√(−6)2−4⋅8⋅1

2⋅8Realizamos las operaciones

señaladas.x=6±√36−3216

x=6±√36−3216

Realizamos esta resta. x=6±√416

x=6±√416

Realizamos la raíz cuadrada

y separamos.

x=6+216

x=6−216

x=6+216

x=6−216

Realizamos las operaciones

restantes.

x= 816=12

x= 416=14

5. Pasa a la forma general y encuentra las soluciones de la ecuación:

3 x2 −

8x =x−3

Solución:

Vamos a realizar el mismo procedimiento que hemos seguido hasta ahora, describiendo

cada paso que realicemos.


3 x2 −

8x =x−3

Multiplicamos a ambos lados

por 2 · x para deshacernos

de los denominadores.

Démonos cuenta que

normalmente

multiplicaríamos por el mcm,

pero al ser x algo que no

conocemos, 2 · x nos sirve

“para hacer el apaño”.

3 x 2−16=2 x2−6 x

3 x2−16=2 x2−6 xMovemos este elemento a la

izquierda.3 x2−16−2 x2+6 x=0

3 x 2−16−2 x 2+6 x=0 Hacemos esta operación. x 2−16+6 x=0

x2−16+6 x=0Aplicamos la propiedad

conmutativa.x2+6 x−16=0

x2+6 x−16=0 Utilizamos la fórmula. x=−(+6)±√62−4⋅1⋅(−16)

2⋅1

x=−(+6)±√62−4⋅1⋅(−16)

2⋅1Realizamos las operaciones

señaladas.x=

−6±√36−(−64)2

x=−6±√36−(−64)

2Hacemos este producto. x=−6±√36+64

2

x=−6±√36+642

Realizamos esta suma. x=−6±√1002

x=−6±√1002

Realizamos la raíz cuadrada

y separamos.

x=−6+102

x=−6−102

x=−6+102

x=−6−102

Hacemos las operaciones

restantes.

x=42 =2

x=−162 =−8

6. Por tres kilos de peras y dos de manzanas, Ramón ha pagado 7’80€. Averigua elprecio de unas y otras, sabiendo que un kilo de peras cuesta vez y media lo que unkilo de manzanas.

Solución:

Antes de comenzar a solucionar, tendríamos que asignar variables. Lo lógico, es que

hiciéramos:

x: Precio por kg de peras.

y: Precio por kg de manzanas.

Con esto, el precio de tres kilos de peras sería 3⋅x , el precio de dos kilos de manzanas

sería 2⋅y , con lo que finalmente, como el ejercicio nos dice que Ramón ha pagado 7’80€,

la ecuación sería:

3⋅x+2⋅y=7 ' 80 (*)

Sin embargo, tenemos un problema: no podemos solucionar ecuaciones de primer grado

con dos incógnitas. Así que tendremos que utilizar más herramientas para poder llegar al

resultado.

Afortunadamente, el ejercicio nos da más información: “un kilo de peras cuesta vez y media

lo que un kilo de manzanas”. En otras palabras,

• Si el precio por kg de manzanas fuese 1€, entonces el precio por kg de peras sería

1’5 veces más, es decir: 1’5 · 1 = 1’5€.

• Si el precio por kg de manzanas fuese 2€, entonces el precio por kg de peras costaría

1’5 veces más, es decir: 1’5 · 2 = 3€.

• Podemos deducir, entonces, que si el precio por kg de manzanas fuese y, entonces el

por kg de peras costaría 1’5 veces más, es decir: 1’5 · y.

• Nos damos cuenta, por tanto, que hemos llegado a una relación entre x (precio/kg

peras) e y (precio por kg de manzanas) que es la siguiente:

x = 1’5 · y

Volviendo a la ecuación (*), podemos reescribirla de la siguiente manera y resolver:


3⋅x+2⋅y=7 ' 80Como hemos visto que

x = 1’5 · y3⋅(1 ' 5⋅y )+2⋅y=7 ' 80

3⋅(1 ' 5⋅y )+2⋅y=7 ' 80 Realizamos este producto. 4 ' 5⋅y+2⋅y=7 ' 80

4 ' 5⋅y+2⋅y=7 ' 80 Realizamos esta suma. 6 ' 5⋅y=7 ' 80

6 ' 5⋅y=7 ' 80Movemos este elemento a la

derecha.y=7 ' 806 ' 5

y=7 ' 806 ' 5 Realizamos la división. y=1 ' 2

Con la resolución de este ejercicio, vemos que el precio de kg de manzanas es 1’2 €/kg. Sirecordamos, teníamos que.

x = 1’5 · y

Como y = 1’2, llegamos a que finalmente

x = 1’5 · 1’2 = 1’8.

O, lo que es lo mismo, que el precio de kg de peras es 1’8 €/kg.

7. Un hortelano ha plantado 1/3 de la superficie de su huerta de acelgas y 3/10 dezanahorias. Si aún le quedan 110 m² libres, ¿cuál es la superficie total de la huerta?

Solución:

Como hemos hecho hasta ahora, vamos a intentar hacer ciertos paralelismos para poder

entender mejor el problema y su resolución.

Si la huerta midiese 210m².

1/3 de esta superficie serían:

13

de 210 = 1⋅2103

=210

3=70 m².


310

de 210 = 3⋅21010

=63010

=63 m².

Los metros restantes serían, entonces:

210 – 70 – 63 = 77 m².

Como no conocemos lo que mide la huerta, vamos a decir que mide x m².


13

de x = 1⋅x3

=x3

m².


310

de x = 3⋅x10

m².

Los metros restantes (recordemos que el ejercicio nos dice que quedan 110 m² libres)

serían, entonces:

x− x3

−3⋅x10

=110

Esta es la ecuación que buscábamos. Procedemos a resolverla:


x− x3 −3⋅x10 =110

Multiplicamos a ambos lados

por el m.c.m(3, 10)=30 para

deshacernos de los

denominadores.

30⋅x−10⋅x−9⋅x=3300

30⋅x−10⋅x−9⋅x=3300 Realizamos esta resta. 11⋅x=3300

11⋅x=3300Movemos este elemeno a la

derecha.x=330011

x=330011 Realizamos esta división. x=300

Por tanto, la huerta tiene una huerta total de 300 m².

8. Calcula el perímetro de esta finca, sabiendo que ocupa una superficie de 180decámetros cuadrados.

Solución:

Recordamos que el perímetro es la medida del contorno de una figura. Sabemos además

que la superficie de la figura es 180 dam².

Si nos damos cuenta, la figura es un cuadrado al que se le quitado un rectángulo de base 9

dam y altura x/3 dam. Lo mostramos en el siguiente dibujo.

Por tanto, el área de la superficie naranja (que recordemos es 180 dam²) lo podemos

expresar como:

(El área del cuadrado de lado x) – (el área del rectángulo de base 9 y altura x/3) = 180 (*)

Para continuar, sólo tenemos que acordarnos de las fórmulas de las áreas de las figuras.

• Área de un cuadrado:

lado²

Como el lado en este caso es x, en este caso tendremos que el área es x².

• Área de un rectángulo:

base · altura.

Como la base en este caso es 9 y la altura es x/3, en este caso tendremos que el

área es 9 · x/3.

Volviendo a (*), sustituímos por lo que ya sabemos:

x2−9⋅x /3=180

Vemos, por tanto, que es una ecuación de segundo grado. Pasamos a resolverla.


x2−9⋅x / 3=180Realizamos este

producto.x2−3⋅x=180

x2−3⋅x=180

Movemos este

término a la izquierda.

Esto lo hacemos para

tener la forma

generalizada.

x2−3⋅x−180=0

x2−3⋅x−180=0 Aplicamos la fórmula. x=−(−3)±√(−3)2−4⋅1⋅(−180)

2⋅1

x=−(−3)±√(−3)2−4⋅1⋅(−180)

2⋅1

Realizamos las

operaciones

indicadas.

x=3±√9−(−720)

2

x=3±√9−(−720)

2

Hacemos este

producto.x=3±√9+720

2

x=3±√9+7202

Realizamos esta

suma.x=3±√729

2

x=3±√7292

Realizamos la raíz y

separamos.

x=3+272

x=3−272

x=3+272Hacemos las

operacionesx=302 =15

x=3−272 restantes. x=−24

2 =−12

Vemos que hemos llegado a dos soluciones, sin embargo, debemos escoger una de ellas.Por pura lógica, no existen longitudes negativas por lo que la solución x=-12 la descartamos.

Así, llegamos a la conclusión de que x = 15.

Sabiendo esto, nos falta calcular el perímetro. Vamos a utilizar otro dibujo para ver cuánto

miden todos los lados:

Por tanto, ahora sólo queda calcular el perímetro. Identificamos antes, aún así, los lados que

debemos sumar.

Lado izquierdo: x.

Lado de abajo: x.

Lado derecho 1: 23⋅x .

Lado superior 1: 9.

Lado derecho 2: x3

.

Lado superior 2: x-9.

Como sabemos que x=15, se tiene que:

Lado izquierdo: 15.

Lado de abajo: 15.

Lado derecho 1: 10 .

Lado superior 1: 9.

Lado derecho 2: 5 .

Lado superior 2: 6.

Con lo que, ahora sí, el perímetro es:

15 + 15 + 10 + 9 + 5 + 6 = 60 dam.

2º eso e eso … · "cada oveja con su pareja". en otras palabras, sumamos (o restamos) las...

Documents