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Matemáticas Financieras

Capítulo 2. La capitalización simple y compuesta.

2.1.- CAPITALI ZACIÓ N SIMPLE.

La característica fundamental de la capitalización simple es que los intereses no son productivos, no se acumulan al capital principal para producir nuevos intereses, permaneciendo constante el principal.

Los intereses de un periodo cualquiera son proporcionales a la duración de la operación y a la cuantía del capital invertido o colocado. La capitalización simple suele utilizarse para períodos inferiores al año.

Los conceptos que vamos a utilizar son los siguientes:

• Co : Capital invertido o inicial.• Cn : Capital final, proyectado o montante obtenido una vez transcurrido elperiodo pactado.• n : Unidad temporal. Tiempo que dura la operación financiera.• i : Tipo de interés. Representativo del rendimiento o beneficio, expresadoen tantos por ciento, que se obtiene al invertir cien unidades monetarias,durante un sólo período. Al operar con esta variable siempre se empleará el tanto por uno.• I : Interés. Rendimiento o beneficio asociado a un intervalo temporal,representado en unidades de cuenta, que se obtiene al invertir una cuantíamonetaria, a un tipo de interés concreto y durante un espacio temporal determinado. El interés correspondiente a cualquier período será elresultado de multiplicar el capital inicial Co

2.1.1. FORMULACIÓ N.

por el tanto de interés i .

Supongamos que invertimos un capital Co , en capitalización simple, a un tanto anualunitario i , durante 1,2,3,.........,n períodos. El interés producido en cada período será elresultado de multiplicar el capital invertido por el tipo de interés asociado a cada intervalo de tiempo, ( Co . i ).

CnCo Co . i Co . i Co . i Co . i

0 1 2 3 n

Calculemos el capital final o montante al cabo de esos períodos. Para ello tendremos que sumar al capital inicial el interés correspondiente a los períodos transcurridos, desde que se realizó la inversión hasta el momento concreto.

1


De esta forma:

C1 = C0

+ I1 = C0

+ C0 .i = C0 .(1 + i)C2

= C0 + I2

= C0 + C0 .i + C0 .i = C0 .(1 + 2i)

C3 = C0

+ I3 = C0

+ C0 .i + C0 .i + C0 .i = C0 .(1 + 3i)

...............................................................................

...............................................................................Cn = C0 + In = C0 + C0 .i + C0 .i + C0 .i + .... + C0 .i = C0 .(1 + n.i)

Por lo tanto, si la inversión tiene una duración de n períodos, a un tipo de interés i ,el montante o capital final obtenido será el resultado de añadir, al capital inicial interés correspondiente a todos los intervalos:

Co , el

Cn = Co(1 + ni) = Co + Co.n.i

Expresión general de la capitalización simple que nos indica el capital final Cnobtenido, al invertir un capital inicial durante n períodos.

Co , impuesto a un tipo de interés unitario i simple,

El interés total de una operación financiera vendrá dado por la diferencia entre el capital invertido en el momento de realización de la misma y el capital obtenido, una vez finalizada la misma.

I = Cn − CoI = Co(1 + ni) − Co

Sacando factor común Co nos quedaría:

I = Co.(1 + ni − 1) = Co.n.i

que nos servirá para calcular el interés global de la operación, conocido el capital inicial, el tiempo que dura la inversión y el tanto unitario de interés simple. También lo podríamos expresar en función del capital final.

I = Cn − Co I = Cn − Cn

(1 + ni)

I = Cn + Cn.n.i − Cn

=Cn.n.i

(1 + ni) (1 + ni)

Si deseamos determinar el tipo de interés y el tiempo al que estuvo invertido un capital, sabiendo que alcanzó un proyección en un momento determinado de Cn , procederemos partiendo de la expresión genérica de la capitalización simple:


1.- Para el caso del tipo de interés i , vendrá dado por el resultado de dividir el interés total entre el producto del capital inicial por el tiempo.

Cn = Co.(1 + ni)Cn = Co +

Co.n..iCn − Co =

Co.n.i

i = Cn − Co

Co.n.

2.- Con respecto al número de vencimientos n , éste se manifestará como el resultadode dividir el interés generado durante toda la operación financiera entre el interés que produjo un período.

Cn = Co.(1 + ni) = Co + Co.n..i

n = Cn − Co

Co.i

Cn − Co = Co.n.i

2.1.3. TANTOS EQUIVALENTES EN CAPI TALI ZA CI ÓN SIMPLE.

Deseamos encontrar la relación existente entre el tipo de interés anual y el asociado a un intervalo inferior al año, con la finalidad de que sea indiferente utilizar uno u otro, pero con la condición de que su proyección (aplicado a un mismo capital invertido), durante el mismo periodo de tiempo, nos proporcione el mismo montante final.

Partamos de que "el tanto y el tiempo deben ser correlativos", deben estar referidos a la misma unidad temporal de cálculo, es decir que si el tanto viene referido a períodos anuales, el tiempo deberá expresarse en años, ahora bien si el tanto viene dado para períodos inferiores al año, éste deberá expresarse en la misma unidad de intervalo. Dividiremos el añoen “k” partes y a cada una le asignamos un tipo de interés, al que llamaremos ik , donde el

subíndice nos indicará el número de intervalos que componen el año (figura 1). Por lo tanto, podemos decir que dos tantos son equivalentes, cuando aplicados al mismo capital inicial, durante igual período de tiempo, producen idéntico capital final o montante.

Pasemos a determinar la relación que guardan ambos tipos. Puesto que los montantes finales deben coincidir:

Cn = Co.(1 + ni) = Co.(1 + n.k.ik )

(1 + ni) = (1 + n.k.ik )

i = k.ik


Tipo de interés

asociado al intervalo

ikK- ésimo de

año

0 1

Figura 1Periodo anual

Queda demostrado que en capitalización simple los tantos son proporcionales. Siendo indistinto invertir un capital al 12 % anual, que al 6 % semestral, que al 1 % mensual.

2.1.3. INTERÉS COM ERCI AL Y NATURAL.

Cuando el tiempo viene expresado en días y el tanto es anual, para establecer la necesaria correlación entre ambos, debemos referir las dos variables a una misma unidad de medida. A tal efecto se considera que el año natural o civil tiene 365 días y el año comercial360 días.

Así pues, el interés natural In vendrá dado por la expresión:

I = C0 .n.iSiendo 365 el número de días.n

365

mientras que el interés comercial, Ic , vendrá determinado por la expresión:

I = C0 .n.isiendo 360 el número de díasc

360

Al comparar los resultados de las expresiones anteriores, podemos apreciar que el interés comercial es superior al natural, ya que cuanto mayor sea el denominador, permaneciendo constante el numerador, menor será el resultado. Si hacemos la división entre interés comercial y natural resultará:

4

2 0 0 0

0 0

n


Ic = 73

In 72

2.2 CAPITALI ZACIÓN COMPUESTA.

La característica fundamental de la capitalización compuesta es que los intereses son productivos, es decir, se acumulan al capital principal para producir nuevos intereses, incorporándose al capital anterior para que, la suma de ambos, produzca intereses en el período siguiente.

Los intereses de un periodo cualquiera no son proporcionales a la duración de la operación ni a la cuantía del capital invertido o colocado. La capitalización compuesta suele utilizarse para valorar operaciones financieras con vencimiento superior al año.

2.2.1 FORMULACIÓ N.

Supongamos que invertimos, en capitalización compuesta, un capital Co a un tantoanual unitario i , durante 1,2,3.........n períodos. El interés producido en cada período será elresultado de multiplicar el capital anterior (capital inicial más intereses capitalizados periódicamente hasta la fecha) por el tipo de interés asociado al intervalo de tiempo en cuestión.

Calculemos el capital final o montante a cabo de esos períodos a un tipo de interés compuesto i :

C1 = C0 + C0 .i = C0 .(1 + i)C = C .(1 + i) + C .(1 + i).i = C .(1 + i)2

C = C .(1 + i)2 + C .(1 + i)2 .i = C .(1 + i)33 0 0 0

................................................................

...............................................................Cn = C0 .(1 + i)

n−1 + C .(1 + i)n −1 .i = C .(1 + i)n

Por lo tanto, si la inversión tiene una duración de n períodos, valorado a un tipo deinterés compuesto i , el montante o capital final obtenido será:

Cn = C0 .(1 + i)Expresión general de la Capitalización Compuesta que calcula la proyección final Cnobtenida al invertir un capital inicial Co a un tipo de interés unitario i , constante, compuestoanual y durante n períodos.

Si deseamos calcular los intereses globales generados durante la vida de la operación financiera:

i

n k k

n n

k

n


I = Cn − C0 = C0 .(1 + i)

− C0 = C0 . ⎡⎣(1 + i) − 1⎤⎦Si la incógnita es el capital invertido, conociendo el capital final, el tiempo y siendo

constante el tanto unitario de interés, despejaremos de la expresión general:

Cn = Co(1 + i)n Co = Cn.(1 + i)− nSi nuestro objetivo es conocer el tanto unitario de interés compuesto, así como la

duración de la inversión, partiendo de la expresión inicial y tomando logaritmos:

Cn = Co(1 + i)n

1.- Para el caso del número de términos:

ln Cn

Cn = (1 + i)n ; ln Cn = n. ln(1 + i) ; n = Co

Co Co ln(1 + i)2.- Para el caso del tipo de interés:

Cn = (1 + i)n ;Co

1⎛ Cn ⎞ n⎜ ⎟⎝ Co ⎠ = (1 + i) ;

1⎛ Cn ⎞ n⎜ ⎟ − 1⎝ Co ⎠

2.2.2 TANTO EFECTI VO, TANTO NOMINAL Y TANTO EQUIVALENTE.

Dos tantos son equivalentes, cuando aplicados al mismo capital inicial durante el mismo tiempo, producen el mismo capital final o montante. Veamos la relación existenteentre el tanto i

compuesta.(tanto efectivo anual) e ik para que sean equivalentes en capitalización

Ya que los montantes finales han de coincidir, tanto si aplicamos un tipo de interés efectivo anual o un tipo de interés K-esimal, debe cumplirse que:

C = Co.(1 + i)n = Co.(1 + i )n.k ; (1 + i)n = (1 + i

)n.k

(1 + i) = (1 + ik )

La igualdad (1 + i)

= (1 + ik ) muestra la relación existente entre el tanto efectivo anual i y

el tanto efectivo k-esimal ik :


1

ik = (1 + i) k -

1Relación entre tipos efectivos y k-esimales

i = (1 + ik )k − 1Las relaciones anteriores ponen de manifiesto que en capitalización compuesta, a los

tantos efectivos y k-esimales, no les une la proporcionalidad que aparecía en capitalización simple.

Con respecto al tanto nominal

número de K-ésimos, k .J k , éste se obtiene de multiplicar el tanto ik por el

J k = ik .ki = J k k

k

La importancia del tipo de interés nominal ha decrecido a raíz de la circular del Banco de España de fecha 01/03/1989, por la cual se recomendaba a las entidades financieras que, en los contratos de préstamos, no figurase el tipo de interés nominal, ya que daba lugar a errores o malas interpretaciones. Por lo tanto, hablar de interés nominal tiene más sentido cuando los intereses de una imposición se cobran de forma fraccionada.

El tanto nominal puede expresarse, indistintamente, como "Tanto nominal convertible, o acumulable , pagadero o capitalizable K veces al año" etc.

De lo visto hasta ahora hay varias formas de enunciar un tanto:

- Tanto efectivo anual i , para períodos anuales.

- Tanto efectivo K-esimal ik , para períodos k-esimales, también

denominado tanto equivalente.

- Tanto nominal J k , que únicamente nos sirve para determinar

ik .

2.3.- COMPARACIÓN ENTRE LA CAPITAL I Z ACIÓN SIMPLE Y LA COMPUE S TA.

El montante final, en capitalización simple y compuesta, se determina, respectivamente, tal cual hemos deducido en los apartados anteriores, por las siguientes expresiones:

Cn = Co.(1 + ni) ; Cn = Co(1 + i)n

Consideramos en ambos casos que el capital inicial sea igual a la unidad Co =1, y a partir de ese valor construimos el siguiente cuadro, representando el valor final obtenido con las dos funciones, para un mismo tipo de interés y con variaciones sucesivas del tiempo.


Tiempo Capitalización simple Capitalización compuesta

0 Cn = 1 Cn = 1

1

4Cn = (1 + 1

.i)4

1

Cn = (1 + i) 41

2Cn = (1 + 1

.i)2

1

Cn = (1 + i) 21 Cn = (1 + i) Cn = (1 + i)

...............

...............

n Cn = (1 + n.i) Cn = (1 + i)n

A la vista del cuadro observamos:

1. Si n = 1. Los valores del montante en Capitalización simple y compuesta coinciden.

2. Si n < 1. El montante obtenido en capitalización simple es superior al de la funciónrepresentativa de la capitalización compuesta.

3. Si n > 1. La proyección en capitalización compuesta es superior al montante encapitalización simple.

Vamos a representar gráficamente los cálculos expuestos en el cuadro anterior:

Cn = (1+i)n

cn

Cn = (1+ni)

1+i

1

0 1 n

8


De donde podemos extraer las siguientes conclusiones:

1. Para una operación de capitalización de duración inferior al año, el capital final Cnobtenido es superior en capitalización simple que en compuesta.

2. Para una duración de un período, ambas capitalizaciones arrojan el mismo montante.

3. Para operaciones de duración superior a un período (año) la capitalización compuesta genera un mayor capital final.

9

0 0

n


2.4 EJERCICIOS PRÁCTI COS.

1.- Un individuo deposita en una entidad bancaria 1.000.000 euros durante cinco años, a un6% de interés anual. Calcular el montante que obtendremos en ese momento, utilizando la capitalización simple y la compuesta.

Cn = C0 .(1 + i)

= 1.000.000.(1 + 0,

06)5

= 1.338.225,

6

euros

Cn = C0 .(1 + n.i)

= 1.000.000.(1 + 5.0, 06) = 1.300.000 euros

Comprobamos que el montante obtenido en la ley de capitalización compuesta es superior a la simple.

2.-Una entidad financiera remunera los depósitos a plazo al 6 % durante el primer año, al6,25 durante el segundo y al 6,5 durante el tercer ejercicio. El Sr. “A” decide imponer una cuantía de 500.000 euros durante tres años, pero no sabe si dejar que los intereses produzcan nuevos intereses o sacarlos de la imposición y dejarlos sin remunerar en una cuenta aparte, para solucionar problemas de tesorería.

En el primer caso, los intereses acumulativos:

Cn = C0 .(1 + i)

n−1 + C .(1 + i)n −1 .i = C .(1 + i)n

Cn = 500.000.(1 + 0, 06).(1 + 0, 0625).(1 + 0, 065) = 599.728,125 euros

En el segundo, los intereses no son productivos:

Cn = C0 + In = C0 + C0 .i + C0 .i + C0 .i + .... + C0 .i

Cn = Co. ⎡⎣(1) + ( 0, 06 + 0, 0625 + 0,

065) = 593.750 euros

3.- Una empresa ha invertido 250.000 euros durante cinco años y el importe obtenido, al cabo del período estipulado, es de 334.556,4. El gerente de la entidad desea conocer la rentabilidad media anual de la operación. Aplíquese la capitalización simple y la compuesta.

Realizamos el cálculo utilizando la expresión de la capitalización simple:

Cn = Co.(1 + ni) Cn − Co = Co.n.i

i = Cn − Co

Co.n.

luego:

i = 334.556, 4 − 250.000 = 6, 7645 % anual250.000.5

Para la compuesta:

i Cn = Co(1 + i)n

Cn = (1 + i)n

Co

1⎛ Cn ⎞ n⎜ ⎟ − 1⎝ Co ⎠

10


entonces:1

i = ⎛ 334.556, 4 ⎞ 5 − 1 = 6 % anual.⎜

250.000 ⎟⎝ ⎠

4.- Un capital de 20.000 euros colocado al 4,5 % de interés anual alcanzó un valor final de25.506,25 euros. Utilizando la capitalización simple y la compuesta determínese el tiempo que estuvo invertido.

Capitalización simple:

Cn = Co.(1 + ni) Cn − Co = Co.n.i

n = Cn − Co

Co.i

n = Cn − Co = 25.506, 25 − 20.000 = 6,12 añosCo.i 20.000.0, 045

Capitalización compuesta:

Cn = Co(1 + i)n Cn = (1 + i)n

Co

ln Cn

n = Co ln(1 + i)

ln Cn

ln 25.506, 25

n = Co = 20.000 = 5, 525 años ln(1 + i) ln(1 + 0, 045)

5.- Determinar el tanto de interés mensual equivalente al 6% semestral. Utilizando la simple y la compuesta.

Simple:

Co.(1 + n.i) = Co.(1 + n.k.i )

i = k.i i = i2 = 6 = 1 % mensual.k k 12

k 6

Compuesta:

Co.(1 + i)n = Co.(1 + i

)n.k (1 + i)

= (1 + i )k2

i = (1 + i )12 − 1k k 12 2

2

i12 = (1 + 0, 06)12 − 1 = 0, 97587 % mensual.

i i =


6.- Una persona deposita en un banco un capital de 6.000 euros y al cabo de un año le devuelven 6.489,6 euros. Calcular el nominal capitalizable semestralmente, trimestral y mensual al que se realizó la operación.

El primer paso será calcular el tipo efectivo anual de la operación:

Cn = Co(1 + i) 1⎛ Cn ⎞ n⎜ ⎟ − 1

1⎛ 6489, 6 ⎞1⎜ ⎟ − 1 = 8,16⎝ Co ⎠ ⎝ 6.000 ⎠Calculamos el tanto equivalente semestral y una vez calculado, hallamos el nominal

1

i2 = (1 + i) 2 1− 1 = (1 + 0, 0816) 2 − 1 = 4 %

J 2 = i2 .2 = 8 % anual capitalizable semestralmente.

Calculamos el tanto equivalente trimestral y el nominal.

1

i4 = (1 + 0, 0816) 4 − 1 = 1, 98039

J 4 = i4 .4 = 7, 92156 % anual capitalizable trimestralmente.

Calculamos el tanto equivalente mensual y el nominal.

1

i12 = (1 + 0, 0816)12 − 1 = 0, 6558

J12 = i12 .12 = 7,

8698

% anual capitalizable por meses.

7.- Hemos prestado 35.000 euros al 8% de interés simple anual, y hoy nos devuelven por capital e intereses 44.100 euros. ¿Qué tiempo duró la inversión?

Solución: 3 años y 3 meses

8.- ¿ A que tanto de interés simple quincenal se invirtió un capital de 10.000 euros, si al cabo de 3 años y medio alcanzó un montante de 12.100 euros?.

Solución: 0,25 %

9.-Una persona realiza una inversión de 400.000 euros con un rendimiento del 7% de interés simple anual. ¿Qué rendimiento obtendrá al cabo de 10 años?

Solución 280.000 euros

10.- ¿Hace nueve meses invertimos un capital que nos rindió 850 euros. Si la rentabilidad de la misma fue el 5 % de interés simple anual. ¿Qué capital se invirtió?

Solución: 22.666,6 euros


11.-Dos capitales se colocan a interés simple durante año y medio.

- El primero se invierte al 2.5 % semestral- El segundo, que excede al primero en 25.000 euros, al 1.5 % trimestral.

Si la suma de los montantes al cabo del tiempo señalado alcanza 58.788 euros, ¿Cuales fueron los capitales invertidos?

Solución: 14.567.-, 39.567 euros

12.- Se realizan tres imposiciones a plazo fijo por importe de 5.000, 10.000 y 15.000 euros, pagando la entidad financiera un 4, 6 y 5 por ciento simple anual. Si el dinero se mantuvo durante 6 meses , ¿cuál es la rentabilidad media anual obtenida por las tres imposiciones?.

Solución: 5.16 % anual.

13.- Se realiza una imposición de cuantía de 10.000 euros, a interés simple durante 9 meses. Los tres primeros meses rindió un 6% anual, durante el cuarto y quinto mes el 7 % y los meses restantes el 8 %. ¿Cuál es capital final obtenido?.

Solución: 10.534 euros.

14.- Dos capitales han estado impuestos a interés simple durante el mismo tiempo y al mismo tipo de interés. Si los montantes obtenidos son 10.750 y 80.625 euros. ¿Cuál es la cuantía de cada uno de los capitales, si la suma de los mismos es de 85.000 euros?.

Solución: 10.000 y 75.000 euros.

15.- Calcular el capital final que se obtiene al invertir, en régimen de capitalización compuesta, 350.000 euros al 5 % de interés compuesto anual durante 10 años y 4 meses. Realizarlo mediante el desarrollo de la formulación hasta llegar al resultado final. Aplíquese el convenio lineal.

Solución: 579.615 euros.

16.- ¿Determinar el tanto de interés compuesto trimestral equivalente al 6% anual capitalizable semestralmente?

Solución: 1,4889 %

17.- Determinar el valor final de un capital de 80.500 euros invertido durante 6 años y cuatro meses, a los siguientes tipos de interés compuesto:

a) 5 % anualb) 3 % semestral.

Solución: a) 109.646,5 euros b) 117.057,9 euros

13


18.- Durante cuánto tiempo estuvo invertido un capital de 50.000 euros al 2,5 % de interés compuesto semestral, si alcanzó un montante de 78.510 euros

Solución: 9,1364 años.

19.- Calcular el tiempo que debe transcurrir para que el montante final obtenido, al invertir un capital, sea cuatro veces su valor. La inversión se realizará a los siguientes tipos de interés compuesto anual

a) 6 % b) 7 % c) 8 %

Solución: a.- 23,792 años b.- 20,49 años c.- 18,01 años

20.- Se invierte un capital de 30.000 euros al 10 % de interés compuesto bianual durante 7 años y 2 meses. Determinar el valor del montante.

Solución: 42.212,9 euros.

21.- Considerando que los precios varían de acuerdo con el índice de precios al consumo, calcular valor medio anual de dicho indicador, sabiendo que un artículo costaba 70 euros hace 50 años y que hoy tiene un valor de 16.572.- euros.

Solución: 11,554 % anual.

22.- ¿Cuál es el tanto de interés compuesto semestral equivalente al 12 anual?

Solución: 5,83 %

23.- Una persona decide realizar las siguientes operaciones con 250.000 euros.

a) - Comprar una vivienda por 75.000 euros que vende al cabo de 10 años aplicándole un índice de precios al consumo anual del 5 % .

b) Realiza una imposición a plazo fijo que remunera el 6% anual capitalizable semestralmente, con la idea de atender el vencimiento de una letra de nominal 18.500 euros que vence a los nueve meses de realizar la inversión.

c).- Invierte el resto a plazo fijo durante 10 años a un 0,5 % de interés simple mensual, gastando los intereses a medida que los va cobrando.

Calcular:

1.- La inversión en la segunda operación.2.- La inversión en la tercera operación y el importe de los intereses mensuales y anuales.3.- Determinar el patrimonio que tendrá al cabo de 8 años de realizar las inversiones.

14


Solución:

1.- 17.697,66 euros.2.- 157.302,34 euros. I12 786,51 euros. Interés anual: 9.438,14 euros.3.- 268.111,54 euros.

24.- Una empresa realiza un depósito de 50.000 euros durante 5 años, al 7% de interés compuesto anual. Si de los intereses obtenidos en cada año, Hacienda le retiene el 30%, ¿qué montante de interés alcanzará el depósito al final de la operación?, ¿qué interés efectivo es el realmente obtenido?

Solución: Intereses operación: 13.510,78 Tipo efectivo medio: 4.9 % anual.

25.- Me piden prestadas 100.000 euros y me devuelven al cabo de 5 años 140.000 euros. ¿Aque tanto de interés nominal capitalizable mensualmente realicé la operación?

Solución: 6.7487 %

26.- Calcular el capital que invertido al 6 % de interés compuesto anual durante 9 años alcanzó al cabo de los mismos un montante de 337.895,8 euros. Si en lugar de pagarnos los intereses una vez al año, lo hicieran por períodos inferiores, el montante obtenido sería2.590,8 euros superior. Determínese la periodicidad de capitalización anual.

Solución: 200.000 euros. K = 227.- Disponemos de un capital que decidimos invertir de la siguiente manera:

a.- Su cuarta parte al 6% de interés compuesto anual. b.- El resto al 8 % de interés simple anual.

El montante obtenido, al cabo de cinco años, es de 346.139,12 euros. Determinar la inversión y los montantes parciales obtenidos.

Solución:

1.- 250.000 euros. 2.- 83.639,12 euros. 3.- 262.500 euros.

28.- Cuatro capitales de 5.000.-, 15.000.-, 20.000.- y 30.000.- euros. se invierten durante 6 años al 5 %, 6%, 7% y 8% de interés compuesto anual respectivamente. Calcular el tanto de interés efectivo al que resulta la operación.

Solución: 7,0908 %

29.- El tanto medio efectivo al que se colocaron capitales es el 7,648 %. Si dichos capitales son de 300.000, 200.000 y 500.000 euros y se han invertido durante diez años, al 8,5 % durante los tres primeros años, el 7,5 % durante los tres siguientes y desconocemos el tipo de interés efectivo del resto. Si el montante final obtenido asciende a 2.089.645, 106 euros.

¿Cuál será el tanto de valoración efectivo del último período?. Sin en ese período se pagasen los intereses mensualmente, ¿cuánto valdrá el tanto nominal?.

15


Solución: i = 7,12 % Nominal = 6,90 %

30.- Invertimos un determinado capital al 2% de interés trimestral durante dos años y otro que es 50.000 euros superior, al 8% nominal capitalizable semestralmente, durante el mismo tiempo. Si el interés alcanzado en ambos casos es el mismo, determínese la cuantía de cada uno de ellos.

Solución: Capital invertido = 4.713.041 y 4.763.041 euros.

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