1esocompletolomce

MATEMTICAS

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Matemticas1deESO.Captulo1:Resolucindeproblemas Autora:AdelaSalvadorLibrosMareaVerde.tk Revisores:NievesZuastiySergioHernndezwww.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones:BancodeImgenesdeINTEF

3 Resolucindeproblemas:1deESO

LibrosMareaVerde.tk

www.apuntesmareaverde.org.es

Autora:AdelaSalvador

Revisores:NievesZuastiySergioHernndezIlustraciones:BancodeimgenesdelINTEF

1ESO CAPTULO1:RESOLUCINDEPROBLEMAS

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4 Resolucindeproblemas:1deESOndice

1.FASESENLARESOLUCINDEUNPROBLEMA2.PRIMERASESTRATEGIAS

2.1.ESTIMAELRESULTADO2.2.EXPERIMENTA,JUEGACONELPROBLEMA2.3.HAZLOMSFCILPARAEMPEZAR2.4.HAZUNDIAGRAMA,UNESQUEMA...2.5.MIRASITUPROBLEMASEPARECEAALGUNOQUEYACONOZCAS2.6.ESCOGEUNABUENANOTACIN

3.EMOCIONESYRESOLUCINDEPROBLEMAS3.1.EUREKA!3.2.BLOQUEOS

4.JUEGOSYPROBLEMAS

ResumenQuesunproblema?Cmoenfrentarseaunosproblemasnuevosque,quizs,noseanfciles?Esposibledarnormas,conocerestrategias,pararesolvermejorcualquiertipodeproblema?Unproblemamatemticoesunasituacinenlaquehayunobjetivoqueconseguirsuperandounaseriedeobstculos,siemprequeelsujetoqueafrontalasituacinnoconozcaprocedimientosoalgoritmosquelepermitan,deinmediato,alcanzarelobjetivo.Loqueparaunapersonaesunproblema,paraotrapuedeserunsimpleejercicio,omuchomsqueunproblema,unainvestigacin.Ladiferenciaestenlosconocimientosprevios,ysipararesolverlodebehacersepreguntas,aadirhiptesisalenunciado.Ante un autntico problemamuchas veces no sabe uno ni siquiera por dnde empezar. Veremosalgunasestrategiasdepensamientotilesentodaclasedeproblemas.Pensamos que ensear a resolver problemas es lo mejor que se puede ensear, pues el mundoevoluciona rpidamente y lo que hoy nos parece imprescindible, maana puede haber quedadoobsoleto,mientrasqueresolviendoproblemassepreparaalaspersonasaenfrentarsealodesconocidoylosprocesosmentalesnuncaenvejecen.Hayestudiosqueconfirmanque laenseanzaexpresade lasetapas,cadencias,tcnicasyestrategiasconsiguemejoresresultadosquelameraprcticaespontnea.

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5 Resolucindeproblemas:1deESO1.FASESENLARESOLUCINDEUNPROBLEMAEjemplo1:1. LamadredeMaraobservaqueelcuentakilmetrosdesucochemarca

24.312km.Cuntoskilmetroslefaltanparalaprximarevisin,quedebesercada5.000km?

Siemprequetengasqueresolverunproblemaesconvenientequesigaslossiguientespasos:Fase1:Antesdeempezaraactuar,intentaentenderbienelproblemaLeeconcuidadoelenunciado,ypiensa:

Culessonlosdatos? Qupiden?

Fase2:Buscaunabuenaestrategia.Esunproblemaconoperacionesconnmerosnaturales,luego:

Quoperacionesaritmticasdebohacer?Habrquesumar?Habrquemultiplicar?Habrquerestar?Habrquedividir?

Fase3:LlevaadelantetuestrategiaAhoras,ahoraresolvemoselproblema:Simultiplicas5.000por5obtienes25.000.Por tanto, laprxima revisindebe sera los25.000km,luegoalamadredeMaralefaltan25.00024.312=688kmparahacerlarevisin.Fase4:Compruebaelresultado.Piensasiesrazonable.Compruebalaestrategia.Sisumasa24.312los688kmdelresultadotenemoslos25.000kmdelaprximarevisin.Actividadespropuestas2. Inventaproblemassimilares!3. Estimacuntomidetuaulade largoycuntodeancho.Sedeseaponer

unzcaloquevalea6elmetro.Cuntoseuroscostarponerlo?4. ElcuentakilmetrosdelpadredeJuanmarca64.731km.Silasrevisiones

son cada 5.000 km, cuntos kilmetros le faltan para la prximarevisin?

5. Lapiscinade Ins tiene formade rectngulo.Sus ladosmiden10mdelargoy7mdeancho.Desearodear lapiscinaconunavalla.Elmetrodevallavale12.Cuntocostarhacerlavalla?

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6 Resolucindeproblemas:1deESO2.ESTRATEGIASENLARESOLUCINDEPROBLEMAS2.1.EstimaelresultadoEnmuchasocasionesnosbastaconestimarunresultado,noconlasolucinexacta.Yahasestimadolasdimensionesdetuaula.AlamadredeMara,porejemplo,paraestartranquilalebastasaberquelefaltanmsde600kmparalaprximarevisin.MientrasqueelpadredeJuanquizsnonecesitesaberqueexactamentelefaltan65.000 64.731=269kmpara laprximarevisin,sinoestimarque lefaltanmenosde300kmparaempezarapreocuparseporhacerla.Pararealizarbuenasestimacionesesconvenientehaberpracticadomucho.ActividadespropuestasIntentaahoratestimarlassolucionesdeestosproblemas:6. Si tu paga semanal esde ocho euros, y ahorras toda la paga de unmes Podras comprarte un

ordenadorporttil(queestimasquevaleunos1.500euros)?Ycontodaslaspagasdeunao?7. Un ascensor slo puede con 500 kg, cuntos de tus amigos piensas que

podransubirse?8. Informanqueaunamanifestacinhanido40.000personas,cmocreesque

lashancontado?9. Sitodalapoblacinmundialsedieralamano,qulongitudseformara?10. Cuntagentecabedepieentuaula?11. Cuntoskilmetrosandasalao?12. Cuntosgranosdearrozhayenunkilo?2.2.Experimenta,juegaconelproblemaAlexperimentarconlosdatosdelproblemaesfcilqueseteocurraquedebeshacerconellos.Actividadespropuestas13. a)Piensaunnmerodetrescifras.

b)Escrbeloalrevsyrestaelmenordelmayor.c)Escribeelresultadoalrevsysmaloalresultadodelaresta.d)Escribelasolucinfinal.e) Prueba con varios nmeros, qu observas? Hay algn caso en el que no se obtenga la

mismasolucin?f)Pruebaconcuatrocifras.Obtienesresultadosdelmismotipoquelasanteriores?g)Teatrevesconcincocifras?

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7 Resolucindeproblemas:1deESO2.3.Hazlomsfcilparaempezar14. "LastorresdeHanoi":Cuentalaleyendaqueentresagujasdeorohaysesentaycuatrodiscostodos

dedistinto tamao, colocadosdemayor amenor.Unosmonjes cambian continuamentede sitioestosdiscos,unocadasegundoconlassiguientesreglas:Encadamovimientoslosepuedemoverundisco.Ynopodemoscolocarnuncaundiscoencimadeotrodemenortamao.Cuandohayanpasado todos losdiscosdeunade lasagujasaotraseacabarelmundo.Cunto faltaparaquetermineelmundo?

Para enfrentarte a este problema, ten en cuenta, lo primero, las fases, intenta entender bien elproblema.Luego, hazlo ms fcil para empezar. En lugar de con 64 discos, empieza slo con un disco. Acontinuacin,condos,contres...Manipulalosobjetos.Hazunesquema.15. CuadradoMgico

Conlosnmerosdel10al18completaentucuadernoelcuadrodeformaqueobtengaslamismasumaentodasdirecciones,enhorizontal,envertical,einclusoenlasdosdiagonales. Hazloms fcil,comienzaconuncuadradomgicocon losnmerosdel1al9.Cuntodebe

sumarcadafila?Culdebeserelnmerodelacasillacentral?Lasumade1+2++9=?Qunmerodivididoentre3nosda:?

Luegohaztelasmismaspreguntasconlosnmerosdelproblemainicial.2.4.Hazundiagrama,unesquema...Enmuchasocasioneshacerundiagramanosresuelveelproblema.Actividadespropuestas16. "Colordelpelo":TresamigasA,B,C,unarubia,otramorenayotrapelirroja,estn jugandoa las

cartassentadasenunamesacircular,cadaunapasaunacartaalaqueestasuderecha.LaamigaBhapasadounacartaa larubia.LaamigaAhapasadounacartaa laquehapasadounacartaa lapelirroja.CuleselcolordelpelodeA,ByC?

Alhacerunesquema yanalizar lasdos configuracionesqueexisten, seobservaqueunadeellasesinconsistente,yaqueunodelasamigasesalavezrubiaypelirroja.Lasolucineslaotraconfiguracin,queesconsistenteconelenunciado.17. Unapersonaes80cmmsaltaquelamitaddesualtura.Questaturatiene?Leeycomprendeconcuidadoelenunciado,dibujaunesquemaysabrslasolucin.18. Quierencruzarunroenunabarcatresmujeresytresmaridoscelosos,sislocabendospersonas

enlabarca,ynuncapuedenquedarsolosunamujeryunmaridoquenoseanpareja,cmopuedenhacerlo?

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8 Resolucindeproblemas:1deESO2.5.MirasituproblemasepareceaalgunoqueyaconozcasEs posible que tu problema tenga el mismo aire que otro que ya has resuelto, lo que puedeproporcionartepistastilespararesolverelnuevo.Actividadespropuestas19. Observalasofertasdeunatienda: Precioanterior OfertaCamisetas 15euros 12eurosChaquetas 40euros 30eurosPantalones 32euros 28eurosCamisas 25euros 21eurosUna persona aprovecha estas ofertas y compra cinco camisas, una chaqueta, dos pantalones y trescamisetas.Averiguacuntosegastaycuntoseahorraporcompraresaropaenofertas.

20. Sehanapuntado25estudiantesaunviaje.Alpagarelbillete5deellossedancuentaquenohan

tradodinero.Elrestodecidepagrselo,yabonancadauno3.Cuntocuestacadabillete?

2.6.EscogeunabuenanotacinActividadespropuestas21. Calculamentalmenteelproductodedosnmerosyluegosumauntercero:

a)5x9+26= b)200x7+128= c)60x8+321=Ahora al revs: nos dan el resultado y buscamos, de la forma anterior, con qu nmeros puedeobtenerse.Porejemplo,nosdan1000ydecimos1000=100x7+300.Sigueesemodeloparaexpresarlosnmerossiguientes:2000,4000y5500.22. EmmyNoether,unailustremujermatemtica,naciel23demarzode1882

ymuriel14deabrilde1935.a)Cuntosaostenaalmorir?b)Cuntosaoshanpasadodesdeelaodesumuerte?c) Cuntos aos faltan para celebrar el centenario de su muerte?Cuntosmeses?Cuntosdas?

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9 Resolucindeproblemas:1deESO3.EMOCIONESYRESOLUCINDEPROBLEMAS3.1.Eureka!YasabesqueArqumedesestabaen labaeracuandoexclam Eureka!pueshabadescubiertounaimportante propiedad de los cuerpos sumergidos. Algo parecido ocurre en muchas ocasiones. Tmismo,si trabajasenunproblema, luego tu inconscientecontinua trabajandoy,de repente,cuandomenos lo esperas Eureka!, tienes la solucin. Esta situacin, esta emocin positiva y gratificante,tambinrecibeelnombredeAj!En laHistoriade laCienciaseconocenmuchasdeestassituaciones.Buscaalgunay reflexionasobrecmotesientesalresolverunproblema,queenunprimermomento,parecaimposible.3.2.BloqueosPerotambinpuedenapareceremocionesnegativas,a lasque llamamosbloqueos.Muchasveces,alintentarresolverunproblemas,stenospareceimposible,nosdesanimamos,entranganasdedejarlotodo.Estoesunbloqueo.Peroesolepasaatodoelmundo.Hayquesacarfuerzasycontinuar.Buscarlacausadelbloqueo.Veamos algunos problemas sencillos que resultan complicados pues en ellos suele producirse unbloqueo.Intentaprimeroresolverlosyluego,sinotesalen,leelaayuda.23. Sinlevantarellpizunecon4trazosrectosestosnuevepuntos.

o o o

o o o

o o o

Dibujaentucuadernonuevepuntoscomolosdelafigurayintentaunirlos,con4trazossinlevantarellpiz.

Recuerda, lo primero es comprender el enunciado. Prueba a hacerlo. Lo has conseguido?Estupendo.Noloconsigues,intntalounpocoms.

Bloqueo:Sinoloconsiguesesporqueestspresuponiendoalgoquenosehadichoyesquenopuedessalir del recinto limitado por los puntos. Haz trazosms largos y lo conseguirsenseguida.24. Con 3 palillos, todos iguales, puedes construir un tringulo equiltero. Con 5

palillos puedes construir 2 tringulos equilteros, cmo podemos construircuatro tringulos equilteros iguales con seis palillos con la condicin de que el lado de cadatringulosealalongituddelpalillo? Experimenta,juegaconelproblema.Lohasconseguido!Entoncesnohastenidounbloqueo.

Bloqueo:Nadie ha dicho que no pudieras salir del plano.Ah est el bloqueo. Lo consigues con untetraedroregular.

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10 Resolucindeproblemas:1deESO4.JUEGOSYPROBLEMASTe gusta jugar? Para ser un buen jugador en juegos de estrategiapuedesutilizarlastcnicasquehasaprendidoconlaresolucindeproblemas.Fases:Loprimero,naturalmente,comprenderbien las reglasdel juego,queessimilaracomprenderelenunciado.Losegundo,jugar,hastaencontrarunaestrategiaganadora. Luego jugaryver si tuestrategiaes realmentebuena.Porltimo,generalizar,intentarmejorarlaestrategia.ActividadespropuestasUtilizatodoloquehasaprendido.25. Yahoraunjuego!LastresenrayaSejuegadedosendos.Copiaenelcuadernolatablasiguiente:

497 315 69 77

115 33 90 22

225 161 46 55

355 142 135 213

Unapersonaescogedosnmeros,unodelconjuntoA={2,3,5,7}yotrodelconjuntoB={11,45,71,23}.Losmultiplicamentalmente,yponesumarca(ounaficha,ounabolitadepapel)sobreelnmeroresultante.Laotrapersonahace lomismocuando letoqueelturno.Ganaquienponetresmarcasenlnearecta.Ahoraajugar!26. Realizaelmismojuegodelaactividadanteriorconesteotrotablero,yconlosgruposdenmeros:A

={2,5,7,4}yB={3,11,9,1}.

63 7 21 6

22 4 15 5

45 2 55 44

12 36 18 77

Inventaconotrosnmerostupropiotablerodejuegos.

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11 Resolucindeproblemas:1deESO27. OtrojuegoEsunjuegodecalculadoraypuedeserunjuegocooperativo;unjuegoenelqueseponen en comn las diferentes estrategias y se discute sobre el mejorprocedimiento,elmssencillooelmsoriginal.Constadecuatro fichascomo lasde la figura,dondese indican las teclasqueestpermitidopulsar,yelresultado,enrojo,alquehayquellegar.

2 4

+ / =

34

5 6

x /

+ =

147

1 0

+ x =

123

3 7

+ x =

93

Eljuegoconsiste,enprimerlugar,enobtenerelresultadoenlacalculadora. Debesanotartodos losmtodosencontrados.Piensayanotaentucuadernoculesel

procedimientoqueteharesultadomseficaz. Escribe,utilizandoparntesis,lasexpresionesquehautilizadolacalculadora. Modificaeljuegoconfeccionandonuevasfichas,modificandostasconotrasteclasycon

otrosresultados.28. Hagamosmagia!Dileaunapersonaquepienseunnmerodetrescifras,queescribaesenmeroy,denuevo, lastrescifras,paraformarunnmerodeseiscifras.Pdelequelodividaentre7,luegoentre11yluegoentre13.Sequedarsorprendidaalcomprobarqueelresultadoeselnmeroqueescribi.Sabesporqu?29. Resuelveelcrucigrama:Cpialoentucuadernoyresulvelo.

x x = 24

x x x

x x = 35

x x x

x x = 30

= = =

6 50 84

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12 Resolucindeproblemas:1deESOCURIOSIDADES.REVISTA

ELLAS Y ELLOS INVESTIGAN PARA RESOLVER PROBLEMAS

LAREINADELASCIENCIASDELS.XIXMary Somerville dedic su vida al estudio de las matemticas y la fsica. Tradujo al ingls La Mecnica Celeste de Laplace, uno de los tratados cientficos ms importantes de su poca. Escribi numerosas obras y artculos, viaj por Europa y se relacion con los principales cientficos. La Reina Victoria le concedi una pensin vitalicia en reconocimiento a su trabajo. Fue una mujer feliz. Mirad lo que escribi: Tengo 92 aos..., mi memoria para los acontecimientos ordinarios es dbil pero no para las matemticas o las experiencias cientficas. Soy todava capaz de leer libros de lgebra superior durante cuatro o cinco horas por la maana, e incluso de resolver problemas"

El progreso que ahora disfrutamos ha sido posible gracias a la iniciativa y al trabajo de miles de hombres y mujeres. Superaron retos y resolvieron problemas para los que necesitaron muchos conocimientos

matemticos

CONSTRUYERON PUENTES QUE NOS COMUNICAN

DISEARON AVIONES QUE SOBREVUELAN OCANOS

BARCOSQUESURCANLOSMARES

LA ELECTRICIDAD QUE LLEGA A TODAS PARTES

LA INFORMTICA QUE NOS INVADE

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13 Resolucindeproblemas:1deESO

RESUMENProblema Esunasituacinenlaquehayunobjetivoqueconseguirsuperandounaserie

de obstculos, siempre que el sujeto que afronta la situacin no conozcaprocedimientosoalgoritmosquelepermitanalcanzarelobjetivo.

Fases en la resolucindeunproblema

Fase1:Antesdeempezaraactuar,intentaentenderbienelproblema.Fase2:Buscaunabuenaestrategia.Fase3:Llevaadelantetuestrategia.Fase 4: Comprueba el resultado. Piensa si es razonable. Comprueba laestrategia.

Algunasestrategias Estimaelresultado. Experimenta,juegaconelproblema. Hazlomsfcilparaempezar. Hazundiagrama,unesquema... Mirasituproblemasepareceaalgunoqueyaconozcas. Escogeunabuenanotacin.

Emocionesyresolucindeproblemas

Emocinpositiva:Ideafeliz.Aja!Eureka!Emocinnegativa:Bloqueo

Juegosdeestrategia Paraserunbuenjugadorenjuegosdeestrategiapuedesutilizar lastcnicasquehasaprendidoconlaresolucindeproblemas.

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14 Resolucindeproblemas:1deESOEJERCICIOSYPROBLEMASde1deESO

1. LaJefedeEstudiosdeuncolegiohaanotadoenuncuadroelnmerodealumnosyalumnasquehanfaltadoaclase.EnesecolegiohayochoclasesdeSecundaria.

L M X J V TOTAL

1 A 2 3 5 1 3

1 B 3 4 1 3 2

2 A 2 6 3 4 3

2 B 5 1 0 2 1

3 A 4 2 3 1 0

3 B 6 3 1 2 3

4 A 2 3 1 4 0

4 B 4 2 2 2 0

TOTAL Copialatablaentucuadernoyresuelveallelejercicio.

a)Completalasltimasfilaycolumnadelcuadro.b)SabiendoqueelnmerototaldealumnosyalumnasdeesecolegioenSecundariaesde205,

averiguacuntoshabaenelcolegioeljueves.2. Elextraordinario37

37x3=11137x6=22237x9=333

Consiguetahora444,555,666...

3. Enunacuadrculadecuatroporcuatro,colocalosnmerosdel1al16enloscuadrados,cadaunoenuno.Multiplica losnmerosdecadadoscuadradosadyacentesyescribeelproductoencadaarista. Suma los nmeros que hay en cada arista.Queremos que la suma sea lomenor posible,Cmodebemoscolocarlosnmerosdel1al16?

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15 Resolucindeproblemas:1deESO4. Tringulos

1x9+2=1112x9+3=111

123x9+4=11111234x9+5=11111

Compruebaqueeltringulosiguehastallegara+10.5. Estudialasmanerasdedividiruncuadradoencuatropartesigualesenformayenrea.6. Nmerosen fuga:Estasoperaciones sehanquedado sin resolverpor faltade algunosnmeros.

Puedescompletarlas?Cpialoentucuadernoyresulvelo.a) 3 8 9 b) 4 2 : 5 = 17 resto 07 4 6 4 1 0

2 5 6 c) 2 3 x 75 = 20050

1 9 5 3

7. Dosmujereshabanidoalmercadoavender30manzanascadauna. La primera tena la intencin de vender cada dosmanzanasporun.Cuntopensabaganar?Lasegundaqueravender cada tresmanzanaspordos.Cuntoganara?Perono queran hacerse la competencia por lo que llegaron alsiguienteacuerdo:venderambascadacinco (2+3)manzanasportres(1+2).Lohabanvendidotodo.Hanganado36?Lessobraun!Conlaventaanterioribanaganar35,yhanganado36.Puedesexplicarlesquhaocurrido?

8. Sofa,queesmuy sabia, se lohaexplicado,y sehanpuesto tancontentasquehandecidido iracomerlastresjuntas.Pagaronlacomidacon30,yelcamarerolesdevolvi5.Cadaunasequedconun,perosobraban2quedejarondepropina.Denuevotenanunproblema!Ahorafaltabaun!Hanpagado101=9cadauna,quepor3son27,ms2depropinason27+2=29.Yenunprincipiotenan30.Lesfaltauno!Explicalosucedido.

9. Letrasynmeros:Sisigueselordenalfabticoestascuatrooperacionesdancomoresultadoletrasconlasquepodrsformarunapalabra:

(8+10):3+7x15=(2315)+2x4=1x4+6:2+5x1=45x(1+0)45+1= Cpialoentucuadernoyresulvelo.

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16 Resolucindeproblemas:1deESO10. "Ellobo,lacabrayelrepollo":Unhombretienequecruzarunroenunabarca

conun lobounacabrayunrepollo,en laqueslopuede irlyunade lastrescosas,teniendoencuentaquesinoestelhombredelante,el lobosecome lacabray lacabrasecomeelrepolloCmoconsiguetransportarlosalotro ladodelro?

11. Juan, Jaimey Jorgetienencadaunodosoficios.Hayunbarbero,unchofer,untabernero,unmsico,unpintoryun jardinero.Aqu sededicacadaunodeellos?Sabiendoque:

1:Elchferseburldelmsicoporquetenaelpelolargo2:ElmsicoyeljardineropescanconJuan3:Elpintorcompraltabernerovino4:Elchfercortejabaalahermanadelpintor5:Jaimedeba5dlaresaljardinero6:JorgevioalolejosaJaimeyalpintor.

12. Sorpresasdel8yel9:09+8=899+7=88989+6=8889879+6=888898769+6=88888987659+6=888888Teanimasacontinuarlapirmide?13. Nosdan16bolasdelmismo tamao,perounadeellaspesaunpocomenosque lasotras.Para

averiguarculesdisponemosdeunabalanzadedosplatos.Culeselmnimonmerodepesadasquenecesitasefectuarpara,sintenerencuenta labuenasuerte,determinar labola?Ysison32bolas?Ysison27?Ysi13?Generalizaelproblemaacualquiernmerodebolas.

14. Unrajdejasushijasciertonmerodeperlasydeterminquesehicieradelsiguientemodo:Lahijamayortomaraunaperlayunsptimodeloquequedara.Lasegundahijarecibiradosperlasyunsptimodeloquerestante.Latercerajovenrecibiratresperlasyunsptimodeloquequedara.Yassucesivamente.Hechaladivisincadaunadelashermanasrecibielmismonmerodeperlas.Cuntasperlashaba?Cuntashijastenaelraj?

15. Culeselmximonmerodengulosrectosquepuedehaberenunpolgonodenlados?

A.I.Fernndez

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17 Resolucindeproblemas:1deESOPARAELPROFESORADO

En la enseanza de las matemticas es conveniente, como afirmaba Hans Freudenthal, hacermatemticasenlaclasedematemticasyunaformadeconseguirlo,esorganizarclasesderesolucindeproblemasoproponerpequeasinvestigaciones.Al investigara losbuenosresolutoresdeproblemassehanobtenidodosconclusiones:Laprimeraesquelacapacidadpararesolverproblemasmejoraconlaprctica, lasegundaesqueelanlisisde losmtodosmatemticos, as como el de las distintas estrategias que intervienen en la resolucin deproblemastambinmejoradichacapacidad.Hayestudiosqueconfirmanquelaenseanzaexpresadelas etapas, cadencias, tcnicas y estrategias consigue mejores resultados que la mera prcticaespontnea.Esprecisoresolvermuchosproblemas.Esaayudaslopuedesereficazsiseejercesobreproblemasconcretosynocomoprerequisitoterico.Trabajaren laresolucindeproblemases lomejorquesepuedeproporcionaraunapersona,yaqueayuda a equiparla para su actividad integral, no solamente en lo que se refiere a sus capacidadesmatemticas.Elmundoevolucionarpidamente,ytenemoslaobligacindeprepararpersonasqueenelfuturovanaenfrentarseasituacionesdesconocidas.Losprocesosmentalesnosehacenobsoletos.Unproblemamatemticoesuna situacinen laquehayunobjetivoque conseguir superandounaserie de obstculos, siempre que el sujeto que afronta la situacin no conozca procedimientos oalgoritmosquelepermitanalcanzarelobjetivo.Unproblematienedistintacalificacinenfuncindelapersonaqueseloplantee,yesevidentequeloquesonproblemasparaunos,no losonparaotros.Ascuandounapersonasabe losrudimentosdellenguajealgebraico,unproblemaquepuedaresolverseplanteandounaecuacindeprimerosegundogradoounsistemadeecuaciones,noesunproblema,sinounejercicioalqueseleaplicaunareglafijaquees lanotacinalgebraicay losalgoritmospara resolver lasecuacionesque resultan.Tambinesdistintounproblemadeuna investigacin,quealserunprocesomsabierto,es lapersonaquienseplanteaelobjetivoquequiereconseguir.As,cuandounestudianteal resolverunproblema sehacepreguntas,intentandogeneralizarelresultadoomodificarlascondicionesiniciales,estrealizandounainvestigacin.Podemospuesdistinguirentreejercicio,problemaeinvestigacin.Laheurstica,trminointroducidoporGeorgePolyaensulibroCmoplantearyresolverproblemas,esel "arte de resolver problemas" y trata de desvelar el conjunto de actitudes, procesos generales,estrategias y pautas que favorecen la resolucin de problemas en general y en particular de losproblemas matemticos. Deca Polya: El profesor de matemticas no debera contentarse condispensar el saber, sinoque tambindebera intentardesarrollar en los estudiantes la capacidaddeutilizar ese saber; debera insistir en el saber hacer, en las actitudes adecuadas, en los hbitosintelectualesdeseables.Polyaconsideralaresolucindeproblemascomounprocesolinealenelqueestablececuatrofases:

1.Comprenderelproblema,2.Concebirunplan,3.Ejecutarunplan,y4.Examinarlasolucinobtenida.

En cadaunadeestas faseshayuna seriedepautaso sugerenciasheursticasquepretenden fijar laatencin sobre aspectos concretos del problema, para sugerir ideas que permitan avanzar en suresolucin.

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18 Resolucindeproblemas:1deESOEn Espaa en 1991 se publica Para pensar mejor deMiguel de Guzmn en el que se destaca laidentificacin de los distintos tipos de bloqueos, la importancia de la actividad subconsciente en elprocesode resolucindeproblemas, eldesarrollode la creatividad, y la importanciade realizarunprotocolo en el proceso de resolucin. Aconsejaba ensear matemticas basndosefundamentalmenteen laocupacinactivaconproblemasalrededorde loscontenidosquesepretendeimpartir.EnCmohablar,demostraryresolverenMatemticas(2003)reflexionasobrelaorganizacindeunaclasedeproblemasy las tcnicasque la facilitan,comoel torbellinode ideasoel trabajoengrupo.Una formaaconsejablepara lasclasesderesolucindeproblemasesorganizareltrabajoengrupos.Existenmuchas formas de organizar el trabajo en grupo, por lo que antes de proponer cualquieractividadgrupaldebemosasegurarnosqueelalumnadoconocealgunas tcnicasbsicas.Sinoesasgran parte de la rentabilidad esperada se pierde ante un mal reparto de responsabilidades, unadeficienteorganizacin,unaincorrectaadministracindeltiempo,etc.Los grupos,nidemasiado grandes,nidemasiadopequeos,podranestar formadosporunas seisosietepersonas.Enungrupodebehaberunapersonaresponsableyunapersonasecretaria:

Lapersona responsable tienedos funciones,dinamizadoraparamantener el intersdelgrupo y cuidar que nadie se quede sin participar y organizadora preocupndose deplanificarlostiemposylastareasasignadasacadafasedeltrabajo.

La persona secretaria se ocupa de anotar todas las ideas que vayan surgiendo ysistematizarlastareasquesevayandesarrollandoyesportavoz,encargndosedeexponerlasconclusionesdesuequipoatodalaclase.

Cada una de las funciones descritas no deben asociarse siempre a unamisma persona sino que esrecomendableunsistemadealternancia.Papel del profesorado: En una clase de resolucin de problemas, nuestra labor es dinamizar a losdistintos equipos, supliendo las deficiencias y ayudando en los primerosmomentos a las personasresponsableysecretariaensusfunciones.Cuandounprofesorounaprofesoraplanteauntrabajoengrupopararesolverproblemasdebe:

Elegirproblemasconunenunciadoatractivoymotivador. Graduardemaneraconvenienteladificultaddelproblema. Analizardetenidamentelosbloqueosquepuedansurgirenlaresolucindelproblemay

utilizarlosmtodosadecuadosparasuperarlos. Percibir lasdificultadesqueeltrabajoengrupoplanteacomotalycontarconrecursos

paraactuarfrentealosobstculosqueperturbansubuenfuncionamiento. Procurar establecer un ambiente adecuado dentro del aula que favorezca actitudes

positivashaciaelaprendizaje.Pero el aprendizaje de la resolucin de problemas es un proceso a largo plazo.No es un objetivooperativoevaluablemedianteunexamen.Parasabermsentraen:http://innovacioneducativa.upm.es/pensamientomatematico/node/91

Matemticas1deESO.Captulo2:NmerosNaturales.Divisibilidad Autora:FernandaRamoswww.apuntesmareaverde.org.es Revisores:SergioHernndez,MilagrosLatasayNievesZuastiLibrosMareaVerde.tk Ilustraciones:BancodeImgenesdeINTEF

NmerosNaturales.Divisibilidad.1deESO19

LibrosMareaVerde.tk


Autora:FernandaRamosRevisores:SergioHernndez,MilagrosLatasayNievesZuasti

Ilustraciones:BancodeimgenesdelINTEF

1ESO CAPTULO2:NMEROSNATURALES.DIVISIBILIDAD


NmerosNaturales.Divisibilidad.1deESO20ndice

1.REPASODENMEROSNATURALES1.1.ELSISTEMADENUMERACIN1.2.OPERACIONESELEMENTALES

2.DIVISIBILIDAD2.1.MLTIPLOSYDIVISORESDEUNNMERO2.2.CRITERIOSDEDIVISIBILIDAD2.3.OBTENCINDETODOSLOSDIVISORESDEUNNMERO

3.NMEROSPRIMOS3.1.NMEROSPRIMOSYCOMPUESTOS3.2.LACRIBADEERATSTENES3.3.DESCOMPOSICINDEUNNMEROENFACTORESPRIMOS3.4.MXIMOCOMNDIVISORDEVARIOSNMEROS3.5.MNIMOCOMNMLTIPLODEVARIOSNMEROS3.6.DESCOMPOSICINFACTORIAL

Resumen

Jaime,MarayRaquelvanavisitarasuabuelaamenudo.Jaimevacada2das,Maracada4yRaquelsolovaundaalasemana.Undaquecoincidieronlostres,comentaronquenuncahabancomidounpastel tan rico como el que hace su abuela. Ella afirm: Elprximodaquevolvisacoincidir, lovuelvoahacer.Cundopodrnvolveradisfrutardelpastel?Eneste captuloaprenderemosa resolverproblemas similaresaeste y profundizaremos en la tabla de multiplicar medianteconceptoscomo:divisibilidad,factorizacinonmerosprimos.Descubrirs algunos de los grandes secretos de los nmeros ynuncateimaginarasquelatablademultiplicarescondiesetantosmisteriosocultos

Fotografa:ClarisaRodrgues

Sistemadenumeracingriegoclsico

Ilustracin:A.Ortega


NmerosNaturales.Divisibilidad.1deESO211.REPASODENMEROSNATURALES1.1.LossistemasdenumeracinElsistemadenumeracindecimalPorquenotrospases,aunquesehablenlenguasdiferentes,seusanlosmismosnmeros?Esos nmeros, los que nosotros usamos, constituyen un lenguaje universal y se dice que estnexpresadosenelsistemadecimal.Elsistemadenumeracindecimaleselmsusadoentodoelmundoyencasitodoslosmbitos.Enestesistemaelvalordeunacifraenunnmeroesdiezvecesmayorqueelde lacifrasituadaasuderechaydiezvecesmenorqueelvalordelasituadaasuizquierda.Poresosedicequeesunsistemaposicional:elvalordeunacifraenunnmerodependedellugarqueocupeesacifra.Actividadesresueltas Enelnmero4652031tenemos:

Lacifradelasunidades:el1Luego lacifrade lasdecenas:el3,cuyovalorenelnmeroes10vecesmsqueelanterior,luegosuvalorser:

310=30Entercerlugar,lascentenas:el0,cuyovalorserelqueresultedemultiplicarlacifrasituadaentercerlugarpor100:

0100=0Encuartolugarlasunidadesdemillar:2,cuyovalorobtenemosmultiplicandopor1000lacifrasituadaeneselugar:

21000=2000Luego,lasdecenasdemillar:5cuyovalorser:

510000=50000 En sexto lugar, las centenas demillar: 6, cuyo valor se obtienemultiplicando la cifra por100000.

6100000=600000Y,porltimo,lasunidadesdemilln:4,cuyovalorobtenemosmultiplicndolopor1000000:

41000000=4000000Conestoobservamosqueelnmero4652031sepuedeescribirutilizandopotenciasde10delaforma:

4652031=41000000+6100000+510000+21000+0100+310+1


NmerosNaturales.Divisibilidad.1deESO22Actividadespropuestas1. Escribemediantepotenciasde10lossiguientesnmeros:

a)7653 b)30500 c)275643 d)200543 2. Qulugarocupalacifra5enlossiguientesnmeros?Enculdelosnmerostienemayorvalor?

Ymenor?a)508744 b)65339001 c)7092157 d)9745

3. Razonaporquenunnmeronaturalcondoscifrasrepetidas,stasnotienenelmismovalor.NmerosromanosOtrosistemadenumeracinquetodavaseusaeselde losnmerosromanos.Teacuerdasdesusequivalencias?

I=1,V=5,X=10,L=50,C=100,D=500,M=1000Ejemplo: ElnmeroMDLequivaleenelsistemadecimalal1550.Siahora

leaadimosunV,esdecir:MDLV,elnmeroesel1555,perolascifrassiguenteniendoelmismovalorenambosnmeros.

OtrossistemasdenumeracinUnodelosprimerossistemasdenumeracinqueseutilizfueeldebase12haceyamsde5000aos.Todavaseusacuandocontamosobjetospordocenasoconalgunasmedicionesdeltiempo(comolosmesesdeunao)Elsistemadebase2osistemabinariotambinesmuyutilizadohoyen da, sobre todo en los ordenadores y calculadoras debido a susimplicidad, ya que para escribir nmeros en este sistema solo senecesitandoscifrasdistintas:el0yel1Actividadespropuestas4. Podrasescribirlosnmerosdel1al10enelsistemabinario?

Relojconnmerosromanos

Cifras del sistema binario


NmerosNaturales.Divisibilidad.1deESO231.2.OperacioneselementalesMultiplicacindenmerosnaturalesComo ya sabes, multiplicar dos nmeros naturales esequivalente a sumar uno de ellos consigomismo tantas vecescomoindicaelotro.Porejemplo:Hacer65eslomismoquehacer6+6+6+6+6Propiedaddistributivade lamultiplicacinrespectoalasuma

Si llamamos a, b y c a tresnmerosnaturales, se verifica lasiguientepropiedad:

a(b+c)=(ab)+(ac)Porejemplo:Sustituyendolasletrasapor2,bpor5ycpor7,tenemosque:

2(5+7)=(25)+(27)Estapropiedadtambinseverificaparalaresta.PropiedaddistributivadelamultiplicacinrespectoalarestaConsiderandootravez,a,bycnmerosnaturalescualesquiera,secumpleque:

a(bc)=(ab)(ac)Estaspropiedadessonmuytilesparahacerclculosmentalesrpidosdescomponiendonmeros:Calcular1523mentalmenteescomplicado,perosihacemos:1523=15(20+3)=(1520)+(153)resultamssencillo.Sileemoslaigualdaddederechaaizquierda,esdecir:(15 20)+(15 3)=15 (20+3) sesueledecirquehemossacadofactorcomnelnmero15,perorealmenteestamoshablandootravezdelapropiedaddistributiva.Generalizando:

a(b+c)=(ab)+(ac)eslomismoque:(ab)+(ac)=a(b+c),yutilizandolapropiedadconmutativa:(ba)+(ca)=(b+c)a.

a(bc)=(ab)(ac)eslomismoque:(ab)(ac)=a(bc),yutilizandolapropiedadconmutativa:(ba)(ca)=(bc)a.

Ejemplos:a) (8704)(8703)=870(43)=8701=870b) (4502)+(3450)=(2+3)450=5450=2250c) (456)(455)=45(65)=451=45

Recuerdaque:Las palabras multiplicacin yproductosignificanlomismo,esdecir,hacenreferenciaalamismaoperacin.Nota

Recuerda la propiedadconmutativa de lamultiplicacin:

ab=baEjemplo:

23=32

Nota:Aunque en primaria se usaba elsmbolo x para denotar elproducto, a partir de ahora y, porcomodidad, lo simbolizaremos conunpunto:


NmerosNaturales.Divisibilidad.1deESO24DivisindenmerosnaturalesEjemplo: Enelcomedordelinstitutolasmesassonde6personas

yen laclasede1de laESOhay33alumnos,cuntasmesasocuparn?

Vemosquehabr5mesasocupadasysobrarn3alumnosquehandesentarseenotramesa:

33 63 5

Cadaunodelosnmerosqueintervienenenladivisinsedenominan:33Dividendo 6Divisor 5Cociente 3Resto

Adems,comoyasabes,secumpleque:33=(65)+3Estapropiedadsecumplesiempreparacualquierdivisin.Engeneral:

D dr C

Severificaque:D=(dc)+r

Ejemplo: Elcocienteentre3658y65es56yelresto18.Escribelarelacinqueexisteentreestoscuatro

valores.3658=(6556)+18

Ejemplos: 25/5,25:5y

525 significanlomismo:ladivisinoelcocientede25entre5.

Laexpresin:

25 50 5

Tambinsignificalomismo,peroenSecundariayBachilleratoapenasseutiliza,asqueconvienequetefamiliaricescuantoantesconlasanteriores.

Nota:LapalabracocientesignificaelresultadodehacerunadivisinLossmbolosutilizadospararepresentarlasson:

/,:,ylafraccin:


NmerosNaturales.Divisibilidad.1deESO25DivisionesconcalculadoraYa sabemosquedividir con calculadora esmuy fcil,pero quhacemossinospidenelrestodeladivisinysolopodemosusarlacalculadora?Esmuysencillo.Vemosloconunejemplo:Sihacemos:3255 65Perosihacemos:3251521.6666666667Enelprimercasoestclaroqueelcocientees65yelrestoes0,peroyenelsegundocaso?Claramenteelcocientees21.Ahoraparacalcularelrestotenemosquemultiplicarestecocienteporeldivisoryrestrseloaldividendo.Elrestoser:325(1521)=10.JerarquadelasoperacionesEnlaexpresin:34+2,quoperacinrealizarasantes,lamultiplicacinolasuma?Existe una prioridad en las operaciones donde no existen parntesis y es que lamultiplicacin y ladivisinsiempreserealizanantesquelassumasylasrestas.Portanto,laoperacinanteriorsera:

34+2=12+2=14Yen8:23?Sondivisionesymultiplicacionesconigualprioridad.Podemosconvenirqueprimeroserealizalaprimeraoperacin,laqueestmsalaizquierda:8:23=43=12,enlugarde8:23=8:6=4/3.Engeneral:En operaciones con parntesis, primero hay que realizar las que estn entre parntesis y luego lasdems.Enoperacionessinparntesis,primeroseefectanlasmultiplicacionesydivisionesyluego,lassumasyrestas.Enoperacionesdeigualprioridad,primerolademsalaizquierda.Ejemplo: Observaladiferenciaentreestasdosoperaciones:

(15+10)3=253=7515+103=15+30=45


NmerosNaturales.Divisibilidad.1deESO26Notas

a) Es importanteescribir losparntesissolocuandoseanecesario.Porejemplo,en laexpresin:(21 2)+30 resulta innecesario,yaquepor laprioridaden lasoperaciones,ya sabemosquetenemosqueefectuarelproductoantesquelasuma.

b) Sirealizamosunaoperacinen lacalculadorasinparntesisstayarespeta la jerarquaen lasoperaciones, por lo que si la operacin necesitase parntesis, hemos de incluirlos en lacalculadora.

Actividadespropuestas5. Sacafactorcomnycalculamentalmente:

a)234233 b)5408+5402 c)5513553 d)6003360036. Construyedosnmerosconlascifras4,5y6talquesuproductosealomsgrandeposible.7. RealizalassiguientesdivisionesycompruebaconcadaunadeellaslapropiedadD=dc+r

6738:456b)34540:30c)240035:981d)397:458. Recuerdas ladefinicindedivisinexacta? Quocurreen la igualdad anterior si ladivisines

exacta?9. El equipo de ftbol del instituto decide celebrar su victoria de liga

yendodeviajeconsuentrenador.Sabiendoqueelequipolocomponen20 alumnos, que el viaje les cuesta a cada uno 150 , la noche enhabitacin individual50yquehanpagado7350entotal,cuntosdashanestadodeviaje?


NmerosNaturales.Divisibilidad.1deESO272.DIVISIBILIDAD2.1.MltiplosydivisoresdeunnmeroenteroMltiplosdeunnmeroRecuerdasmuybienlastablasdemultiplicardetodoslosnmeros? Escribeentucuadernoladel5yladel7.

Sindartecuenta,hasescritoalgunosdelosmltiplosde5yde7.Sedefinen losmltiplosdeunnmeroenteron como losnmerosque resultandemultiplicaresenmeronportodoslosnmerosenteros.Ejemplo: Latabladel5quehasescritoantesestformadaporlosvalores:

0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,60,65,70,75,80,85,90,.Todosellossonmltiplosde5.Lanotacinmatemticadeesteconceptoes: 5 Esdecir: 5 = ,...40,35,30,25,20,15,10,5,0 Ejemplo: Cuentalosmltiplosde5quehasescritoantes.Esposiblehacerlo?

Efectivamente,losmltiplosquetienecadanmeroenterosonunacantidadinfinita.Actividadespropuestas10. Calculalossieteprimerosmltiplosde8yde9

11. Culesdelossiguientesnmerossonmltiplosde12?

12,13,22,24,25,100,112,142,14412. Hallalosmltiplosde11comprendidosentre12y90.


NmerosNaturales.Divisibilidad.1deESO28DivisoresenterosdeunnmeroUnnmeroenteroaesdivisordeotronmeroenterobcuandoaldividirbentrea,elrestoes0.NotaTodonmerotienesiemprecomodivisora1yasmismo.Ejemplo:a) 2esdivisorde8porquealdividir8entre2,elrestoes0.b) 10esdivisorde20porquealdividir20entre10,elrestoes0.c) 6esdivisorde36porquealdividir36entre6,elrestoes0.d) 1esdivisorde18porquealdividir18entre1,elrestoes0.e) 18esdivisorde18porquealdividir18entre18,elrestoes0.Siaesdivisordeb,entoncestambinsedicequebesdivisiblepora.Ejemplo:a)8esdivisiblepor2porque2esdivisorde8,esdecir,aldividir8entre2,elrestoes0.b)20esdivisiblepor10porque10esdivisorde20,esdeciraldividir20entre10,elrestoes0.c)36esdivisiblepor6porque6esdivisorde36,esdecir,aldividir36entre6,elrestoes0.Notas

a) Comohabrsdeducido,lasrelacionessermltiployserdivisorsonrelacionesinversas.b) Noconfundaslasexpresionessermltiplo,serdivisoryserdivisible.Vemosloconunejemplo:

Ejemplo: Delaigualdad:53=15,podemosdeducirlosiguiente:

5y3sondivisoresde15. 15esmltiplode3yde5. 15esdivisiblepor3ypor5.

Actividadespropuestas13. Apartirdelaigualdad:64=24,escribelasrelacionesqueexistenentreestostresnmeros.14. Escribefrasesusando lasexpresiones:sermltiplode,serdivisordeyserdivisiblepory los

nmeros10,5y35.


NmerosNaturales.Divisibilidad.1deESO292.2.CriteriosdedivisibilidadParaversiunnmeroenteroesdivisibleporotronmeroentero,bastacondividirlosyversielrestoes0.Perocuandolosnmerossongrandes,lasoperacionespuedenresultarcomplicadas.La tarea se simplifica si tenemosen cuenta los llamados criteriosdedivisibilidadquenospermitensabersiunnmeroesdivisibleporotrosinnecesidaddeefectuarladivisin.Criteriodedivisibilidadpor2Unnmeroenteroesdivisiblepor2cuandosultimacifraes0ocifrapar.Ejemplo: Losnmeros:312,50,346,500,780,988sondivisiblespor2.

Criteriodedivisibilidadpor3Unnmeroenteroesdivisiblepor3cuandolasumadesuscifrasesmltiplode3Ejemplo: Elnmero231esdivisiblepor3yaque2+3+1=6queesmltiplode3. Elnmero1002esdivisiblepor3yaque1+0+0+2=3.

Sialsumarlascifrasobtienesunnmeroangrandeynosabessiesonomltiplode3,puedesvolveraaplicarelmismosistema,solotienesquevolverasumartodassuscifras: Elnmero69esdivisiblepor3yaque6+9=15,y15esdivisiblepor3,pues1+5=6quees

mltiplode3.Portanto,6,15y69sonmltiplosde3. Elnmero78596778696esdivisiblepor3yaque7+8+5+9+6+7+7+8+6+9+6=78,y

78esdivisiblepor3pues7+8=15,y15loes.Criteriodedivisibilidadpor4Un nmero entero es divisible por 4 si el nmero formado por las dos ltimas cifras del nmeroconsideradoesmltiplode4. Ejemplo: Elnmero3628esdivisiblepor4yaqueterminaen28,queesmltiplode4.

Criteriodedivisibilidadpor5Unnmeroenteroesdivisiblepor5cuandoterminaen0oen5.Ejemplo: Losnmeros4875y34590sondivisiblespor5.


NmerosNaturales.Divisibilidad.1deESO30Criteriodedivisibilidadpor6Unnmeroenteroesdivisiblepor6cuandoloesalavezpor2ypor3.Ejemplo: Elnmero7332esdivisiblepor6yaque:

Loespor2porserpar. Loespor3,yaquesuscifrassuman15queesmltiplode3.

Criteriodedivisibilidadpor9Unnmeroenteroesdivisiblepor9cuandolasumadesuscifrases9omltiplode9.Ejemplo: Elnmero6012esdivisiblepor9yaque:6+0+1+2=9. Elnmero3903noesdivisiblepor9yaque:3+9+0+3=15quenoesmltiplode9.

Criteriodedivisibilidadpor10Unnmeroenteroesdivisiblepor10cuandoterminaen0.Ejemplo: Elnmero59870esdivisiblepor10.

NotaObservaquelosnmerosquesondivisiblespor10losonpor2ypor5yviceversa.Criteriodedivisibilidadpor11Unnmeroenteroesdivisiblepor11cuandoladiferenciaentrelasumadelascifrasqueocupanlugarimparylasumadelascifrasqueocupanlugarparda0omltiplode11Ejemplo: Elnmero80496esdivisiblepor11yaque:(8+4+6)(0+9)=11


NmerosNaturales.Divisibilidad.1deESO31Actividadespropuestas15. Dicualesdelossiguientesnmerossonmltiplosde2:

23,24,56,77,89,90,234,621,400,4520,3411,46295,16392,385500Losnmeroselegidos,coincidenconlosdivisoresde2?Yconlosquesondivisiblespor2?

16. Escribecuatronmerosqueseandivisiblespor10ypor3alavez.17. SustituyeAporunvalorapropiadoparaque:

a) 24A75seamltiplode3.b) 1107Aseamltiplode6.c) 5A439seamltiplode11.

18. Todoslosnmerosdivisiblespor3lossonpor9?Yalrevs?Razonalarespuesta.19. Sabrasdeduciruncriteriodedivisibilidadpor15?Ponunejemplo.20. Completaentucuadernolasiguientetablaescribiendoverdaderoofalso:

Nmero Es? Verdadero/Falso2567 Divisiblepor2 498650 Divisiblepor5 98370034 Divisiblepor3 78337650 Divisiblepor6 984486728 Divisiblepor4 23009845 Divisiblepor11


NmerosNaturales.Divisibilidad.1deESO322.3.ObtencindetodoslosdivisoresdeunnmeroenteroEn principio, para hallar los divisores naturales de un nmero entero N, lo vamos dividiendosucesivamenteentre1,2,3,4,...,N.Deestamanera,losdivisoresdeNsernaquellosnmerosquelodividanexactamente,esdecirdenderesto0.Ejemplo: Siqueremoshallarlosdivisoresde18lotendramosquedividirentre1,2,3,4,5,.,18yveren

qucasoselrestoes0.Puedescomprobarquelosdivisoresde18son:1,2,3,6,9,18.Loqueocurreesqueestaformadecalcular losdivisoresdeunnmerosecomplicamuchocuandoelnmero es grande.Por loque, siutilizamos los criteriosdedivisibilidadquehemos aprendido, slotendremosquehacerlasdivisionesporlosnmerosporlosqueNseadivisible.Siladivisinesexacta,N:d=c,entonceseldivisor(d)yelcociente(c)sondivisoresdeN,loquenospermiteacortarlabsquedadedivisores,puesdecadadivisinexactaobtenemosdosdivisores.Terminaremos de buscarms divisores cuando lleguemos a una divisin en la que el cociente seamenoroigualqueeldivisor.Actividadesresueltas Veamos,comoejemplo,elclculodelosdivisoresdelnmero54.

Yasabemosquetodonmerotienecomodivisoresalaunidadyalmismo1y54.Esdivisiblepor2.(Terminaencifrapar)54:2=27Yatenemosdosdivisores:2y27.Esdivisiblepor3.(5+4=9,mltiplode3)54:3=18Yatenemosdosdivisores:3y18.Esdivisiblepor6.(Alserdivisiblepor2y3)54:6=9Yatenemosdosdivisores:6y9.Esdivisiblepor9.(5+4=9,mltiplode9)54:9=6.Comoelcociente6esmenorqueeldivisor9,yahemosterminado.9y6(Repetidos).Portanto,losdivisoresde54son:1,2,3,6,9,18,27y54.Actividadespropuestas21. Calculalosmltiplosde25comprendidosentre1y200.22. Indicasilassiguientesafirmacionessonverdaderasofalsas:

a)40esmltiplode10.b)2esdivisorde10.c)4esmltiplode8.d)55esdivisiblepor11.e)90esdivisorde9.f)3esdivisiblepor45.

23. Sustituyexeyporvaloresapropiadosparaelsiguientenmeroseadivisiblepor9ypor10alavez:256x81y.

24. Quniconmerocontrescifrasigualesesdivisiblepor2ypor9alavez?25. Calculatodoslosdivisoresdelossiguientesnmeros:

a)65b)33c)60d)75e)100f)150


NmerosNaturales.Divisibilidad.1deESO333.NMEROSPRIMOS3.1.NmerosprimosycompuestosCulesson losdivisoresde2?Ydel3?Ydel5?Ydel7?Encuentrasalgunasimilitudentreellos?Puess,losdivisoresdeestosnmerossonel1yellosmismos.Aestosnmerosselesllamaprimos.Unnmeroprimoesaquelnmeronaturalquesolotienedosdivisores:el1ylmismo.Sellamanmerocompuestoaaquelnmeronaturalquetienemsdedosdivisores,esdecir,alquenoesprimo.NotaEl1seconsideraquenoesprimonicompuesto,yaquenoverificaningunadelasdosdefiniciones.Ejemplo: Losnmeros2,3,5,7,11,13,17,19,23,29sonlosdiezprimerosnmerosprimos. Nmeroscomo:22,45,60,98,345o39867657soncompuestos.

Actividadespropuestas26. Continalalistadenmerosprimosdelejemplocon10nmerosprimosms.27. Cuntosnmerosprimoscreesquehay?Creesqueseacabanenunmomentodadooqueson

infinitos?3.2.LacribadeEratstenesLacribadeEratstenesesunalgoritmo (esdecir,unasecuenciade instrucciones)quepermitehallartodoslosnmerosprimosmenoresqueunnmeronaturaldado.Nosotros loharemospara losmenoreso igualesque100,esdecir,vamosaaveriguarculesson losnmerosprimoshastael100.Elalgoritmoconstadelossiguientespasos:

a) Construimosunalistaconlosnmerosdel1al100

b) Inicialmentesetachael1,porquesabemosquenoesprimo.c) Elprimernmeroquequedesintacharhadeserprimo.Semarcaysetachansusmltiplos.d) Serepitedenuevoelpasoc)hastaqueseterminenlosnmeros.

Portanto:


NmerosNaturales.Divisibilidad.1deESO34 Dejamossintacharelsiguientenmero,queesel2,queporlotantoesprimo,ytachamostodoslos

mltiplosde2,quedandolacribacomosigue:

Conservamos el 3porque al serelprimeroque aparece sin tachar, sabemosque esprimo,peroeliminamostodoslosmltiplosde3,esdecir,tachamosunodecadatresnmeros.Nosquedaunatablaas:

Nonecesitamostacharel4porqueyaesttachado,entoncesvamosal5queeselsiguientenmero,portantono lotachamosyeliminamostodos losmltiplosde5 (algunosde loscualesyaestabantachados)

Yluegoseguimosdeformaanlogaconel7ytachandotodoslosmltiplosde7. Despuselsiguientenmeronotachadoesel11ytachamoslosmltiplosde11.


NmerosNaturales.Divisibilidad.1deESO35 Despusnosencontramosconel13ytachamoslosmltiplosde13.Deformaanlogavamos localizando lossiguientesprimosytachandosusmltiploshasta llegaraunatabladelaforma:

Losnmerosquenoquedantachadosenningnpasoesporquenosonmltiplosdeningnnmeroanterior(sealadosaquenrojo).En realidad, loque Eratstenesestabahaciendoera construirunaespeciede filtroporel cual, alhacerpasaratodoslosnmeros,sloquedabanlosprimos.Portanto,losnmerosprimosquehayentrelosprimerosciennmeros,son:

2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,59,61,67,71,73,79,83,89,91y97.Actividadespropuestas28. TeatreverasarepetirlacribadeEratstenes,perohastael150?29. Busca los distintos significados de las palabras criba y algoritmo, en qums contextos los

puedesutilizar?3.3.DescomposicindeunnmeronaturalenfactoresprimosSabemosqueunnmeroprimosolotienedosdivisores:lmismoyel1.As que si quisiramos expresar un nmero primo como producto de otros dos, los nicos factoresseranel1yelpropionmero.Porejemplo,siquieroexpresar13comoproductodedosnmeros,sera:

13=113otambin13=131Sinembargo,sielnmeroescompuesto,podrexpresarsecomoproductodeotrosnmerosquenosonniel1nilmismo.Vamosaaprenderadescomponerunnmeronaturalenfactoresprimos, loquesignificaexpresarunnmeronaturalcomoproductodeotrosnmerosperohandeserprimos.Descomponerunnmeronaturalen factoresprimosesexpresardichonmero comounproducto,dondetodossusfactoressonnmerosprimos.Para descomponer el nmero 20 podramos hacer: 20 = 4 5, pero la descomposicin en factoresprimosnoseracorrectaporqueel4noesunnmeroprimo.


NmerosNaturales.Divisibilidad.1deESO36Sudescomposicinsera20=225,queseexpresaracomo20=25Paradescomponerunnmerocompuesto(pues,comohemosvisto,descomponerunnmeroprimonotieneningnintersnidificultad)ensusfactoresprimos,sedebeseguirelsiguienteprocedimiento:a) Dividir el nmero natural dado por elmenor primo posible utilizando para ello los criterios dedivisibilidadsiesposible,orealizandoladivisinsinohayotroremedio.b)Realizarladivisin,ysielcocienteesdivisordedichonmeroprimo,realizarladivisin.c)Sielcocientenoesdivisordedichonmeroprimo,buscarelmenornmeroprimoposiblequeseadivisor,recurriendonuevamentealoscriteriosdedivisibilidadocontinuardividiendo.d)Seguirconelprocedimientohastaobtenerelcocienteigualauno.Notas1) Para realizar las divisiones utilizaremos una barra vertical, a la derecha escribimos los divisoresprimosyalaizquierdaloscocientes.2)Losfactoresprimosenlaexpresindelnmeroyafactorizadosesuelenescribirenordencreciente.3)Cuando ya tengamosprctica, y connmerosnodemasiado grandes,podemosdescomponerunnmeroenproductodedosyluegocadaunodeellosenotrosproductoshastaquetodoslosfactoresobtenidosseanprimos.Porejemplo:60=302.Como30=152y15=35,tenemosque:60=3522yportanto,sudescomposicines:60=2235Actividadesresueltas1.Vamosarealizarladescomposicinenfactoresprimosdelnmero90:Como90esmltiplode2,lodividimos:90:2=45Como45noesmltiplode2,buscamoselmenorprimoposibleporelquesepuedadividir,quees3,lodividimos:45:3=15.Como 15 se puede volver a dividir entre 3,tenemos:15:3=5Portanto:90=2325Estosesuelerealizarcomosesealaenlanotadelasiguienteforma:

90451551

2335

2. Vamos a realizar otra factorizacin para elnmero2550:

255012606303151053571

2223357

Portanto:2550=233257


NmerosNaturales.Divisibilidad.1deESO37Actividadespropuestas30. Descompnenfactoresprimoslossiguientesnmeros:

a)40b)56 c)75 d)90 31. Descompnenfactoresprimoslossiguientesnmeros:

a)110 b)124 c)290 d)36632. Descompnenfactoresprimoslossiguientesnmeros:

a)1290 b)3855 c)4520 d)534233. Sidescomponemosenfactoresprimoslosnmeros:10,100,1000,10000y100000,quesloque

observas?Lopodrashacerdeformamsrpidasinnecesidaddeusarelmtodogeneral?34. Quocurrealdescomponerenfactoresprimoslosnmeros4,8,16,32,64,128,256?Podrascontinuartlaseriecon5nmerosms?3.4.MximocomndivisordevariosnmerosEjemplo: Vamosacalcularlosdivisoresdelosnmeros24y36:

Divisoresde241,2,3,4,6,8,12,24Divisoresde361,2,3,4,6,9,12,18Culessonlosmayoresdivisorescomunesaambos?Losdivisorescomunesaambossonvarios:1,2,3,4,6y12,peroelmayordeelloses12ysediceque12eselmximocomndivisorde24yde36.SellamamximocomndivisordevariosnmerosnaturalesalmayordelosdivisorescomunesatodosellosyseescribeM.C.D.Enelejemploanterior,escribiramos:M.C.D(24,36)=12Enprincipio,parecequehallarelM.C.Dnoesmuycomplicado,solotenemosquecalcularlosdivisoresdelosnmeros,considerarloscomunesytomarelmayordeellos.Peroestemtodoslotienesentidoconpocosnmerosypequeos,yaque conmuchosnmeroso connmerosgrandes,el clculo secomplicamucho.Poreso,vamosacalcularelmximocomndivisorutilizandounaseriedepasos,medianteloscualeselclculosesimplificamuchsimo:


NmerosNaturales.Divisibilidad.1deESO38ClculodelM.C.D.1.Factorizamoslosnmeros.2.Tomamoslosfactorescomunesatodoslosnmeroselevadoselmenorexponente.3.Elproductodelosfactoresconsideradosenelpaso2eselM.C.D.Actividadesresueltas Vamosacalcularelmximocomndivisordelosnmeros:72,90y120

1.Factorizamoscadanmero:72=233290=2325120=2335

2.Tomamoslosfactorescomunesatodoslosnmeroselevadoselmenorexponente:Son2y33.Elproductodelosfactoresconsideradosenelpaso2eselM.C.D.Esdecir:

M.C.D(72,90,120)=23=6.

NotaDosnmerosnaturalessiempretienenalmenosundivisorencomn,el1.SieseeselM.C.Dentoncesdecimosqueesosnmerossonprimosentres.Actividadespropuestas35. CalculaelM.C.Ddelossiguientesparesdenmeros:

a)60y45 b)120y55c)34y66 d)320y80 36. CalculaelM.C.Ddelossiguientesnmeros:

a)30,12y22 b)66,45y10 c)75,15y20 d)82,44y16

3.5.MnimocomnmltiplodevariosnmerosElmnimo comnmltiplodevariosnmerosnaturaleseselmenorde losmltiplosque tienenencomn,yseescribem.c.m.ActividadesresueltasIgual que con elM.C.D., se puede calcular elmnimo comnmltiplo aplicando la definicin queacabamosdever.Loqueocurreesquesetratadeunaformamuyrudimentariayquesecomplicamuchoparanmerosgrandes.


NmerosNaturales.Divisibilidad.1deESO39 Vamosacalcularm.c.m(10,15)aplicandoestadefinicin:

Mltiplosde1010,20,30,40,50,60,Mltiplosde1515,30,45,60,75,90,Comovemos,mltiploscomunesaambosson:30,60,90,peroelmenordeellosesel30.Portanto:

m.c.m(10,15)=30Vamosaverahoralospasosarealizarparasimplificaresteclculoyhacerlomsmecnico:Clculodelm.c.m.1.Factorizamoslosnmeros2.Tomamoslosfactorescomunesynocomuneselevadosalmayorexponente.3.Elproductodeesosfactoresdelpasoanterioreselm.c.m.Actividadesresueltas Veamoscmocalcularelmnimocomnmltiplode16,24,40siguiendoestospasos:

1.Factorizamoslosnmeros:16=24

24=23340=235

2.Tomamoslosfactorescomunesynocomuneselevadosalmayorexponente.Ennuestrocaso:24,3y5.

3.Multiplicandoestosfactorestenemosque:m.c.m(16,24,40)=2435=240.

Actividadespropuestas37. Calculaelm.c.m.delossiguientesparesdenmeros:

a)60y45 b)120y55c)34y66 d)320y80 38. Calculaelm.c.mdelossiguientesnmeros:

a)30,12y22 b)66,45y10 c)75,15y20 d)82,44y16


NmerosNaturales.Divisibilidad.1deESO40ProblemasPero,adems,elclculodelM.C.D.ydelm.c.m.esmuytilpararesolverproblemasreales.Veamosalgunosejemplos:Ejemplo: Unadependientadeunatiendaderegalostieneunrollodelazorojode15myunoazulde20

m.Comoparaenvolver cada regaloutiliza siempre trozosde1metro, y lasquiere cortarentrozosdelamismalongitudparatenerlaspreparadasparahacerempaquetarcajasdemodoquenosobrenadaenlosrollos.Culeslalongitudmximaquepuedecortarcadarolloparahacerlospaquetes?

Estamos buscando un nmero natural que sea divisor de 15 y de 20 a la vez.De los nmeros quecumplanesto,escogeremoselmayor.Estoes,precisamente,elM.C.D:

M.C.D.(15,20)=5Portanto,lalongituddecadatrozodelazoparalospaquetesserde5m.Ejemplo: ElabuelodeAna tomaunaspastillasparaelcorazncada8horasyotraspara lacirculacin

cada12horas.Acabadetomarlosdosmedicamentosalavez.Dentrodecuantashorasvolveratomrselosalavez?

Estamosbuscandounnmerodehorasquesermayoroiguala12,ymltiplode8yde12alavez.Detodoslosnmerosquelocumplan,nosinteresaelmspequeo.Esdecir,tenemosquecalcular:

m.c.m.(8,12)=24Portanto,dentrode24horassetomarambosmedicamentosalavez.Actividadespropuestas39. Mara yPaula tienen25 cuentasblancas,15 cuentasazules y90 cuentas rojas.Quierenhacerel

mayornmerodecollaresigualessinquesobreningunacuenta.a)Cuantoscollaresigualespuedenhacer?b)Qunmerodecuentasdecadacolortendrcadacollar?

40. Unautobspasaporunaparadacada18minutos,otrocada25minutosyuntercerautobscada36minutos.Sia las9de lamaanahanpasadoenese lugar lostresautobusesa lavez.Aquhoravuelvenacoincidir?

41. Secompranenunaflorera24rosasy36claveles.Cuntoscentrosdemesasepuedenelaborarsisecolocalamximacantidaddefloressinquesobreninguna?Cuntasrosasyclavelessecolocanencadacentrodemesa?

42. Raltienevariosavisosensumvil:unoquedaunasealcada60minutos,otroquedaunasealcada150minutosyunterceroquedaunasealcada360minutos.Si a las10de lamaana las3sealesdeavisohancoincidido.

a)Cuntashorascomomnimohandepasarparaquevuelvanacoincidir?b)Aquhoravolvernadarlasealotravezjuntos?

43. Culserlamenorcantidaddecaramelosquesepuederepartirenpartesigualesentregruposde20,30,o60nios?Determinaencadacasocuntoscarameloslestocaacadanio.


NmerosNaturales.Divisibilidad.1deESO41CURIOSIDADES.REVISTA

Aqupensabasquelosnmeroseransoloeso,puesnmeros?Puesno,haynmerosperfectos,nmerosamigos,hastanmerosgemelos!!

NmerosperfectosSon nmeros perfectos los que sonigualesalasumadesusdivisores,exceptolmismo.Elmspequeoesel6: 6=1+2+3Elsiguienteesel28: 28=1+2+4+7+14.Despus del 28, no aparece ningnnmero perfecto hasta el 496, el cuartonmero perfecto es el 8.128, el quintoperfecto es 33.550.336. Se observa quecada nmero perfecto es mucho mayorqueelanterior.Qucurioso!!Habr alguna frmula para obtenernmerosperfectos?Pues s, la descubri Euclides y es lasiguiente:2n1(2n1)Siendo n un nmero natural y siempreque(2n1)seaprimo

NmerosamigosDosnmerosamigossondosenterospositivostalesquelasumadelosdivisorespropiosdeunodeellosesigualalotro. (Se consideran divisores propios de un nmero atodossusdivisoresexceptolmismo)Unejemploeselpar(220,284),yaque:Losdivisorespropiosde220son1,2,4,5,10,11,20,22,44,55y110,quesuman284Los divisores propios de 284 son 1, 2, 4, 71 y 142, quesuman220Para los pitagricos los nmeros amigos eran muyespeciales,pueslesatribuanpropiedadescasimgicas.

NmerosgemelosSe llaman nmeros primos gemelos a los pares denmerosprimosquesonimparesconsecutivos(3y5,11y13,).Puedesencontrartalgunoms?Sesuponequeelnmerodeprimosgemeloses infinito,peroestsindemostrar.Loquessepuededemostraresqueexistendosnmerosprimosconsecutivoscuyadiferenciaseatangrandecomoqueramos.

Nmerosprimosenlamsicayliteratura ElcompositorfrancsOlivierMessiaen,inspirndoseenlanaturaleza,utilizlosnmeros

primosparacrearmsicanomtricaempleandosonidosconduracinunnmeroprimoparacrearritmosimpredecibles.

Elcuriosoincidentedelperroamedianoche,deMarkHaddon,describeenprimerapersonalavidadeunjovenautista,utilizanicamentelosnmerosprimosparanumerarloscaptulos.

Lasoledaddelosnmerosprimos,novelaescritaporPaoloGiordano,ganelpremioStregaen2008.


NmerosNaturales.Divisibilidad.1deESO42RESUMEN

Concepto Definicin EjemplosElsistemadenumeracindecimalesposicional

Elvalordeuna cifraenunnmerodependedellugarqueocupaenelnmero

El1notieneelmismovaloren1845queen6351

Jerarquadelasoperaciones

En las operaciones con parntesis, primeroserealizanlosparntesisydespuslodems.En lasoperacionessinparntesisprimeroserealizanmultiplicaciones ydivisiones y luegosumasyrestas.

La operacin 23+7 tienecomo resultado 13, no 20,que es lo que resultaraefectuandoincorrectamente antes lasumaqueelproducto.

- Divisor- Divisible- Mltiplo

- aesdivisordebcuandoaldividirbentreaelrestoes0.

- aesmltiplodeboaesdivisibleporbcuandoaldividiraentrebelrestoes0.

2y3sondivisoresde6. 6esmltiplode2yde3. 6esdivisiblepor2ypor3.

Criteriosdedivisibilidad Simplifican mucho el clculo de ladescomposicin factorial y, en generalaveriguarcuandounnmeroesdivisibleporotro.

3742esdivisiblepor2. 4980esdivisiblepor2y

por5. 2957esdivisiblepor3.

Nmeroprimo Esaquelquesolotienedosdivisores:el1ylmismo.

23 y 29 son nmerosprimos.

Nmerocompuesto Es aquel que tienems de dos divisores, esdecir,quenoesprimo.

25 y 32 son nmeroscompuestos.

CribadeEratstenes Es un algoritmo que permite calcular todoslosnmerosprimosmenorqueunodado.

Losprimosmenoresque20son:2,3,5,7,11,13,17y19

Descomponerunnmeroenfactoresprimos

Es expresarlo como producto de nmerosprimos.

60 = 2235

Mnimocomnmltiplodevariosnmeros

Es elmenor de losmltiplos que tienen encomn.

m.c.m.(18,12)=36

Mximo comn divisordevariosnmeros

Eselmayorde losdivisorescomunesatodosellos.

M.C.D.(18,12)=4


NmerosNaturales.Divisibilidad.1deESO43EJERCICIOSYPROBLEMAS.Matemticas1deESO

Repasonmerosnaturales1. Escribemediantepotenciasde10lossiguientesnmeros:

a)84300 b)3333 c)119345 d)9037112.Qulugarocupalacifra4enlossiguientesnmeros?Enculdelosnmerostienemayorvalor?Y

menor?a)508744 b)653349001 c)47092157 d)9745

3.Sacafactorcomnycalculamentalmente: a)284283 b)304+502 c)66236613 d)7004470044.Construyedosnmerosconlascifras6,7y8talquesuproductosealomsgrandeposible.5.Realizalassiguientesdivisionesycompruebaconcadaunadeellaslapropiedad:D=dc+r

a) 3844:45b)74840:30c)983035:981d)847:456.Halla,utilizandosololacalculadora,loscocientesylosrestosdelassiguientesdivisiones: a)654:77b)543:7c)8374:85d)9485:11e)6590:417.Realizalassiguientesoperaciones: a)(55+12)4b)662+10c)55+703+11d)330102+828.Dicualesdelassiguientesoperacionestienenelmismoresultado:a) 2(4616)b)24616c)246816d)2(46+16)e)246+16

9.Realizalasoperacionesdelejercicioanteriorenlacalculadoraycompruebalaimportanciadeaadirlosparntesis.

10.Realizalassiguientesoperaciones:a)4(44+5)62+9b)2(3+11)(4+12)c)(184)5+3713d)512+(32)43+45511.Inventaunproblemaenelquetengasquerealizarlasiguienteoperacin:5+4(62)12.Halla,utilizandosololacalculadora,loscocientesylosrestosdelassiguientesdivisiones:

a)376:37b)299:7c)3524:65d)585:22e)2060:5113.Realizalassiguientesoperaciones:

a)(34+23)5b)872+10c)55+653+11d)2301002+9014.Dicualesdelassiguientesoperacionestienenelmismoresultado:

a) 8(2212)b)82212c)822812d)8(22+12)e)822+1215.Realizalasoperacionesdelejercicioanteriorenlacalculadoraycompruebalaimportanciadeaadir

losparntesis.16.Realizalassiguientesoperaciones:a) 4(65+7)52+4 b)2(3+9)(4+8) c)(224)5+321d)54+(42)53+465Inventaunproblemaenelquetengasquerealizarlasiguienteoperacin:(34+7)8


NmerosNaturales.Divisibilidad.1deESO4417.Sabemosqueparaelviajedefindecursosonnecesarios3autobuses,yaqueviajarn103alumnos.

En losdosprimerosautobusesviajanelmismonmerodeestudiantesyeneltercerounalumnomsqueenlosotrosdos.Cuntaspersonasviajanencadaautobs?

18.MAGIA!Siguelossiguientespasos:- Piensaendosnmerosnaturalesdeunacifra.- Multiplicaelprimeropor2ysmale8.- Multiplicaelresultadoanteriorpor5.- Sumaelsegundonmeroquehabaspensadoalresultadoanterior.- Resta40alltimoresultado

Quocurre?Escasualidad?Pasarsiemprelomismo?Puedesexplicarlo?Divisibilidad19.Escribelosdiezprimerosmltiplosde6ylosdiezprimerosmltiplosde9.Culessoncomunesa

ambos?20.Escribecuatronmerosquecumplanquelacifradelasunidadesseaeltriplequeladelasdecenas

demaneraquedosdeellosseandivisiblespor2ylosotrosdosnolosean.21.Indicacualesdelossiguientesnmerossonmltiplosde15:

1,30,50,60,70,75,100,125,15022.Dicualesdelossiguientesnmerossonmltiplosde5.Yde10?Culescoinciden?Porqu?23,24,56,77,89,90,234,621,400,4520,3411,46295,16392,38550023.Escribecuatronmerosdecuatrocifrasquecumplanquelacifradelasdecenasseaeldoblequela

delasunidadesdemaneraqueunodeellosseandivisiblepor3,otropor11,otropor2yotropor4.

24.Copiaentucuadernoycompletalasiguientetablaescribiendoverdaderoofalso:Nmero Es? Verdadero/Falso327 Divisiblepor11 494530 Divisiblepor4 39470034 Divisiblepor6 7855650 Divisiblepor3 985555328 Divisiblepor2 20000045 Divisiblepor10

25.Hazunalistaconlosvaloresdelasmonedasybilletesdelsistemamonetarioeuro.Figuraentreellosalgnnmeroprimo?Porqucreesqueesas?


NmerosNaturales.Divisibilidad.1deESO4526.Pedrotieneunaformamuypeculiardedareltelfonoasusamigos:lesdicequeconstadenueve

cifras,quenoserepiteningunayqueleyndolodeizquierdaaderechasecumple:Laprimeracifraesunmltiplode3mayorque6.Lasdosprimerascifrasformanunmltiplode2yde5.Lastresprimerascifrasformanunnmeroparmltiplode3Lascuatroprimerascifrasformanunnmeroqueesmltiplode5peronode2.Lascincoprimerascifrasformanunnmeromltiplode2yde3.Lasseisprimerascifrasformanunnmeromltiplode11.Lasptimacifraesunmltiplode7.Lasochoprimerascifrasformanunnmeroimpar.Lascuatroltimascifrasformanunmltiplode11.

Sabrasaveriguarculessutelfono?27.Calculacuntoscuadradospuedescontarenlasiguientefigura:

28.Sustituyexeyporvaloresapropiadosparaelsiguientenmeroseadivisiblepor2ypor11alavez:256x81y

29.Sabemosqueelnmero1452esmltiplode11.Calculaotromltiplode11 solocambiandode

lugarlascifrasdeestenmero.30.Completaen tucuadernocon lasexpresionessermltiplode,serdivisordeoserdivisible

por:a)40es.10.b)2es..10.c)4es..8.d)335es.11.e)90es..45.f)3es..15.


NmerosNaturales.Divisibilidad.1deESO46Nmerosprimos31.Descompnenfactoresprimoslossiguientesnmeros:1530,2457y7440.32.Observaladescomposicinfactorialdelossiguientesnmerosa,b,c,dycontesta:

a=232b=23c=57d=2327a) Culdeellosesmltiplodea?b) Culessondivisoresded?c) Culessonprimosentres?

33.Averiguacualessonlosnmeroscuyasdescomposicionesfactorialesson:a)x=23327b)y=522211c)z=2527

34.CalculaelM.C.Ddelossiguientesparesdenmeros:a)9y12 b)18y42 c)8y15 d)108y630

35.Calculaelm.c.m.delossiguientesparesdenmeros:a)140y300 b)693y1485 c)365y600 d)315y1845 36.Calculaelm.c.myM.C.D.delossiguientesnmeros:a)24,60y80 b)60,84y132 c)270,315y360 d)240,270y36


NmerosNaturales.Divisibilidad.1deESO47AUTOEVALUACINDE1DEESO

1. Culeselresultadode20+153?a)105b)65c)330 d)900

2. Culdelassiguientesafirmacionesesverdadera?a)Enunadivisinexactaelcocientesiempreescero.b)Enelsistemadenumeracindecimalelvalordeunacifraesindependientedellugarqueocupa.c)Simultiplicamosdividendoydivisorporelmismonmerodistintodecero,elcocientenovara.d)Elproductoyladivisindenmerosnaturalescumplenlapropiedadconmutativa.3. Culdelassolucioneseslacorrectaparaelconjuntodelosdivisoresde40?a)D(40)=1,2,4,5,8,10,20,40c)D(40)=1,2,4,5,8,10,12,20,40b)D(40)=1,2,4,6,5,8,10,20,40d)D(40)=0,1,2,4,5,8,10,20,404. Elnmerodedivisoresnaturalesde12es:

a)3b)2c) 4 d)15. Elnmero315Aesmltiplode9paralossiguientesvaloresdeA:

a)A=9yA=3b)A=9yA=1c)A=3yA=6 d)A=9yA=06. Culdeestosnmeroscumplequeesunnmerode trescifraspar,divisiblepor5ypor17y la

sumadesuscifrases7?a)170b)510c) 610 d)340

7. Sabiendoqueaesdivisibleporb.Indicaculdelassiguientesafirmacionesesverdadera:a) Elnmeroaesdivisordeb.b) Elnmeroaesmltiplodeb.c) Elnmerobesunmltiplodea.d) Losnmerosaybsonprimosentres.

8. ElM.C.D.(54,360,45)es:a)18b)27c) 45 d)70

9. Maracompraenelsupermercadoloszumosenpaquetesde2ylosrefrescosenpaquetesde3.Hoyqueracomprarelmismonmerodezumosquederefrescos,peroelmenornmeroposibleparanollevarmuchopesoenelcaminoasucasa.Cuntoscompr?

a)3b)2c) 6 d)1210. Paulaquierehacerunjuegodecartascortandounacartulinade16cmdelargoy12cmdeanchoen

cuadradosigualesdeformaqueseanlomsgrandesposibleynosobrecartulina.Cuntomedirelladodecadacarta?

a)4cmb)2cmc) 8cmd)6cm

4848

Matemticas 1 de ESO. Capitulo 3: Potencias y races Autora: Ana Lorente LibrosMareaVerde.tk Revisora: Irene Garca Saavedra www.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones: Banco de imgenes del INTEF

Potencias y races. 1 de ESO48

LibrosMareaVerde.tk


Autora:AnaLorente

Revisora:IreneGarcaSaavedraIlustraciones:BancodeimgenesdelINTEF

1 ESO CAPTULO 3: POTENCIAS Y RACES

4949



ndice1.POTENCIAS

1.1.CONCEPTODEPOTENCIA:BASEYEXPONENTE1.2.CUADRADOSYCUBOS1.3.LECTURADEPOTENCIAS1.4.POTENCIASDEUNOYDECERO1.5.POTENCIASDE10

2.OPERACIONESCONPOTENCIASYPROPIEDADES2.1.PRODUCTODEPOTENCIASDEIGUALBASE2.2.COCIENTEDEPOTENCIASDEIGUALBASE2.3.ELEVARUNAPOTENCIAAOTRAPOTENCIA

3.RACES3.1.CUADRADOSPERFECTOS3.2.RAZCUADRADA.INTERPRETACINGEOMTRICA3.3.RAZnSIMADEUNNMERO3.4.INTRODUCIRFACTORESENELRADICAL3.5.EXTRAERFACTORESDELRADICAL3.6.SUMAYRESTADERADICALES

Para trabajar con nmerosmuy grandes, para calcular lasuperficiedeunahabitacin cuadradaoelvolumendeuncubonosvaaresultartilausarlaspotencias.Conoceremosenestecaptulocomooperarconellas.Siconocemoslasuperficiedeuncuadradooelvolumendeuncuboyqueremossaberculessu ladoutilizaremos lasraces.Enestecaptuloaprendersausarlasconalgodesoltura.

5050



1.POTENCIAS1.1.Conceptodepotencia.BaseyexponenteEjemplo:

Maraguarda5collaresenunabolsa,cada5bolsasenunacajaycada5cajasenuncajn.Tiene5cajonesconcollares,cuntoscollarestiene?Paraaveriguarlodebesmultiplicar5x5x5x5quelopuedesescribirenformadepotencia:54,queselee5elevadoa4.

5x5x5x5=54=625.Una potencia es una forma de escribir de manea abreviada unamultiplicacindefactoresiguales.Lapotenciaandebaseunnmeronaturalayexponentenaturalnesunproductodenfactoresigualesalabase:

an=aaa....nfactores......a(n>0)El factorqueserepitees labaseyelnmerodevecesqueserepiteeselexponente.Alresultadoselellamapotencia.Actividadespropuestas1. Calculamentalmentelassiguientespotenciasyescribeelresultadoentucuaderno:

a)42 b)24 c)105 d)33 e)14 f)100022. Calculaentucuadernolassiguientespotencias:

a)35 b)74 c)45 d)94 e)252 f)163. 1.2.CuadradosycubosEjemplo: Si un cuadrado tiene 2 cuadraditos por lado Cuntos

cuadraditos contiene ese cuadrado? Elnmerodecuadraditosquecabenes22=22=4.Elreadeestecuadradoesde 4 unidades. Y si tiene 3 cuadraditos

por ladoCuntos cuadraditos contieneese cuadrado?Elnmerodecuadraditosquecabenes33=32=9.Elreadeestecuadradoesde

9unidades. De cuntos cubitosest compuestoel cubograndesihay3alolargo,3aloanchoy3aloalto?Elnmerodecubitoses333=33=27.Elvolumendeestecuboes27unidades.Porestarelacinconelreayelvolumendelasfigurasgeomtricas,laspotenciasdeexponente2ydeexponente3recibennombresespeciales:

Laspotenciasdeexponente2sellamancuadradosylasdeexponente3sellamancubos.

exponente

54 = 625

base

potencia

100=2252esuncuadradoperfectoy

surazcuadradaes25=10.

4900=225272esuncuadradoperfectoy

surazes257=70.

Soncuadradosperfectos.36=223281=3232

Losontambin144,324y400?

5151



Actividadespropuestas3. Escribeentucuadernoelcuadradoyelcubodelosochoprimerosnmerosnaturales.4. Indicaculesdelassiguientespotenciassoncuadradosyculessoncubos:

a)22 b)32 c)43 d)54 e)82 f)163 g)1021.3.LecturadepotenciasLaspotenciassepuedenleerdedosmaneras:Ejemplo:a)As52sepuedeleer5elevadoa2ytambinselee5alcuadradob)73sepuedeleer7elevadoa3ytambinselee7alcuboc)84sepuedeleer8elevadoa4ytambinselee8alacuartad)35sepuedeleer3elevadoa5ytambinselee3alaquinta.1.4.PotenciasdeunoydeceroUnapotencia,decualquierbasedistintadecero,elevadaaceroesiguala1.Ejemplo:

70=1 24590=1 10=1.Uno,elevadoacualquierexponente,esiguala1.Ejemplo:

12=11=1 13=111=1 135=1 10=1.Cero,elevadoacualquierexponentedistintodecero,esiguala0.Ejemplo:

02=00=0 03=000=0 035=0.Observacin:00nosesabecuntovale,sedicequeesunaindeterminacin.Actividadespropuestas5. Leededosmanerasdistintaslassiguientespotencias:

a)53 b)72 c)254 d)302 e)75 f)76.6. Calculamentalmente:

a)12689 b)09826 c)19270 d)01382 e)11000 f)19610.

30 = 1

18 = 1

08 = 0

5252



7. Completalatablasiguienteentucuaderno:a a2 a3 a4 a55 4 27 1 0

1.5.Potenciasde10.Notacincientfica.Laspotenciasdebase10tienenunapropiedadmuyparticular,sonigualesalaunidadseguidadetantosceroscomoindicaelexponente:Ejemplo:

101=10102=1010=100103=101010=1.000104=10101010=10.000

Sabrashallar107sinhacerningunaoperacin?Launidadseguidadecerosesigualaunapotenciade10.Estonospermiteexpresarcualquiernmeroenformapolinmicausandopotenciasde10.

6928=61000+9100+210+8=6103+9102+210+8Actividadespropuestas8. Buscalosexponentesdelaspotenciassiguientes:

a)10=10.000 b)10=10.000.000 c)10=100.9. Expresaenformapolinmicausandopotenciasde10:

a)12.345 b)6.780.912 c)500.391 d)9.078.280.

105 = 100 000

10. Utiliza la calculadora para obtener potencias sucesivas de unnmero. Simarcas un nmero, a continuacin dos veces seguidas latecla demultiplicar y despus la tecla igual obtienes el cuadrado delnmero.a)Comprubalo.Marca7**=,quobtienes?b)Continapulsandolateclaigualyobtendrslaspotenciassucesivas:7**===c)Utilizatucalculadoraparaobtenerlaspotenciassucesivasde2.d)Vuelveautilizarlaparaobtenerlaspotenciassucesivasde31yantalasentucuaderno.

5353



2. OPERACIONES CON POTENCIAS Y PROPIEDADES 2.1.ProductodepotenciasdeigualbaseParacalcularelproductodedosomspotenciasdelamismabase,sedejalamismabaseysesumanlosexponentes.

anam=an+mEjemplo:

3233=(33)(333)=33333=32+3=352.2.CocientedepotenciasdeigualbaseElcocientedepotenciasde igualbasees igualaotrapotenciade lamismabaseydeexponente, ladiferenciadelosexponentes.

an:am= mnm

na

a

a

Ejemplo:35:33= 235 33

33333333

2.3.ElevarunapotenciaaotrapotenciaParaelevarunapotenciaaotrapotencia,sedejalamismabaseysemultiplicanlosexponentes.

(an)m=anmEjemplo:

(75)3=(75)(75)(75)=(77777)(77777)(77777)=715Actividadespropuestas11. Aplicalaspropiedadesdelaspotenciasentucuaderno:

a)71072 b)82383 c)555356 d)103105104e)(83)2 f)(72)4 g)(90)6 h)(43)2i)610:62 j)223:23 k)98:93 l)330:39m)124:124 n)125:125 o)53:50 p)7470

12. Tehaspreguntadoporquunnmeroelevadoa0esiguala1.Analizalasiguienteoperacin:1

2525 ytambin 022

2

2

555

52525

Poresemotivosedicequetodonmerodistintodeceroelevadoaceroesigualauno.

93 94 = 93+4 = 97

57 : 54 = 57-4 = 53

(63)4 = 634 = 612

5454



2.4. Potencia de un producto La potencia de un producto es igual al producto de cada uno de los factores elevados almismoexponente.

(ab)n=anbnEjemplo:

(54)3=5343.

2.5.PotenciadeuncocienteLa potencia de un cociente es igual al cociente de cada uno de los factores elevados al mismoexponente.

(a:b)n=an:bnEjemplo:

(10:4)3=103:43

Actividadespropuestas13. Calcula:

a)(25)4 b)(32:4)3.14. Calculamentalmente

a)2223 b)4242 c)3232d)106103104102 e)1415115 f)02505.

15. Escribeenformadeunanicapotenciaa)757674 b)444647 c)220217 d)363733.

16. Calculamentalmentea)23222 b)141617 c)1015105 d)0206012.

17. Calculamentalmentea)108103102 b)030708 c)1461200 d)5525.

18. Escribeenformadeunanicapotenciaycalcula:a)2555 b)10434 c)220520 d)1010510.

19. Calculautilizandolacalculadoraa)53353253 b)713712 c)3,223,2 d)82382.

20. Calculautilizandolacalculadoraa)49249349 b)354352 c)053055 d)1472147.

5555



3. RACES 3.1.CuadradosperfectosSisequiereconstruiruncuadradodelado2,cuntoscuadradospequeossenecesitan?Necesitamos4.El4esuncuadradoperfecto.Observaque22=4.Si queremos construir ahora un cuadrado de lado 3, cuntos cuadradospequeos necesitamos? Necesitamos 9. El 9 es tambin un cuadradoperfecto.Observaque32=9.Ejemplo: Culeselreadeuncuadradode5metrosdelado?

Sureavale55=52=25metroscuadrados.3.2.Razcuadrada.InterpretacingeomtricaLarazcuadradaexactadeunnmeroaesotronmerobcuyocuadradoesigualalprimero:

abba 2 Ejemplo: Alpoderconstruiruncuadradode lado2con4cuadradospequeos sediceque2es la raz

cuadradade4,yaque22=4,yportantodecimosque2eslarazcuadradade4,esdecir:24 .

Obtenerlarazcuadradaexactaeslaoperacinopuestadelaelevaralcuadrado. Portanto,como32=9entonces 39 . Alescribir 525 sedicequelarazcuadradade25es5.

Alsignoseledenominaradical,sellamaradicandoalnmerocolocadodebajo,enestecaso25ysedicequeelvalordelarazes5.Ejemplo: Sepuedeconstruiruncuadradocon7cuadradospequeos?

Observa que se puede formar un cuadrado de lado 2, pero sobran 3cuadrados pequeos, y que para hacer un cuadrado de lado 3 faltan 2cuadradospequeos.El nmero 7 no es un cuadrado perfecto, no tiene raz cuadrada exactaporquecon7cuadradospequeosnosepuedeconstruiruncuadrado.Ejemplo: Sabemosqueelreadeuncuadradoes36,cuntovalesulado?

Su lado valdr la raz cuadrada de 36. Como 62 = 36, entonces la razcuadradade36es6.Elladodelcuadradoes6.Actividadespropuestas21. Calculamentalmenteentucuadernolassiguientesraces:

a) 100 b) 64 c) 81 d) 49 e) 25 f) 1 g) 0 .

5656



3.3.Raznsimadeunnmero Como23=8sediceque 283 queselee:larazcbicade8es2.Elradicandoes8,elvalor

delarazes2y3eselndice.Larazensimadeunnmeroa,esotronmerob,cuyapotenciaensimaesigualalprimero.

abba nn Ejemplo: Por ser 64 = 43, se dice que 4 es la raz

cbicade64,esdecir 43 64 . Porser81=34,sediceque3eslarazcuartade81,esdecir 34 81 .

3.4.IntroducirfactoresenelradicalParaintroducirunnmerodentrodelradicalseelevaelnmeroalndicedelarazysemultiplicaporelradicando.Ejemplo:

200210210 2 3.5.ExtraerfactoresdelradicalParaextraernmerosdeunradicalesprecisodescomponerelradicandoenfactores:Ejemplo:

222221632 24 3.6.SumayrestaderadicalesDecimosquedosradicalessonsemejantessitienenelmismondiceyelmismoradicando.Parasumaryrestarradicales,estosdebensersemejantes;enesecaso,seoperanloscoeficientesysedejaelmismoradical.Cuidado,unerrormuycomn:larazdeunasuma(ounaresta)NOesigualalasuma(olaresta)delasraces:

14683664366410010 Actividadespropuestas22. Calculamentalmenteentucuadernolassiguientesraces:

a)3 1000 b)3 8 c) 4 16 d) 4 81 e)3 64 f) 5 1 g)3 0 .23. Introducirlossiguientesfactoresenelradical:

a) 3 42 b) 3 23 c) 5 45 d) 3 210 e) 4 52 .24. Extraerlosfactoresquesepuedadelradical:

a) 3 361000 ba b) 5 100000000 c) 4 45681 cba d) 3 3510000 ba 25. Calcula:

a) 2532382 b) 8132275 .

3 8= 2 porque 23 = 8

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CURIOSIDADES. REVISTA

WhatsApp El uso de esta aplicacin supera los 420millones deusuariosactivos,ygestionamsde54milmillonesdemensajesalda,de los cuales38milmillones son salientesylosrestantes,16milmillonessonentrantes.

NMEROS ENORMES

El cuerpo humano es uno de los mejores ejemplos para estudiar nmeros de muchas cifras. Por ejemplo:

Un cuerpo humano adulto puede contener unos 50 trillones de clulas

Cada da nuestro organismo fabrica unos diez mil millones de glbulos blancos que luchan contra las infecciones.

Se estima que tres mil millones de clulas mueren por minuto aunque la mayora se renuevan

POTENCIASYMSPOTENCIASEnunmueblehayseisestanterasconseiscajonescada una. Si se guardan seis llaveros en cada uno y encadallaverohayseisllaves.Cuntasllavescontieneelmueble?Expresaelresultadocomopotenciaycalclalo.

NMEROS PEQUESIMOS

El nanmetro eslaunidaddelongitudque equivale a una mil millonsimapartedeun metro (1nm=109m).Con esta unidad se mide, p. ej.la longitud de onda de las radiaciones infrarroja y ultravioleta .La nanotecnologa,esunreacientfica que estudia la aplicacin dematerialesqueposeendimensionesdeunospocosnanmetrosenmultituddeprocesosdefabricacin.Elsmbolodelnanmetroes nm.

CAROLINA HERSCHE Estudiar las estrellas fue una actividad apasionanteparaCarolinaHerschel.TrabajcomoayudantedesufamosohermanoWilliamHerschel, loque leproporcionconocimientossobreastronoma.TraslamuertedeWilliam,susdescubrimientossobrela posicin demil quinientas nebulosas fueron tanprecisosque se le concedi laMedalladeOrode laRoyal Society ofAstronomy yotrasmuchasdistincionesinternacionales.Todoun reconocimientoa su trabajo comoastrnomaquecomparticonlagrancientficaescocesaMarySomerville,siendo lasprimerasmujeresen recibirestadistincin.

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RESUMEN EjemplosPotencia Una potencia an de base un nmero real a y

exponente natural n es un producto de nfactoresigualesalabase

555=53.5eslabasey3elexponente

Cuadradosycubos Las potencias de exponente 2 se llamancuadradosylasdeexponente3,cubos

52es5alcuadradoy53es5alcubo.

Potenciasde1yde0 Cualquiernmerodistintodeceroelevadoa0esiguala1.El nmero 1 elevado a cualquier nmero esiguala1.El nmero 0 elevado a cualquier nmerodistintodeceroesiguala0.

70=1;

135=1;

0234=0.Potenciasdebase10 Una potencia de base 10 es igual a la unidad

seguidadetantosceroscomounidadestieneelexponente.La unidad seguida de ceros es igual a unapotenciade10.

103=1.000

10000=104

Producto de potencias deigualbase

Paramultiplicarpotenciasde lamismabase sedejalamismabaseysesumanlosexponentes.

4243=(44)(444)=

42+3=45Cociente de potencias deigualbase

Paradividirpotenciasde igualbase, sedeja lamismabaseyserestanlosexponentes.

78:75=785=73

Elevar una potencia a otrapotencia

Para calcular la potencia de otra potencia, sedeja la misma base y se multiplican losexponentes.

(24)6=224

Razcuadrada La raz cuadrada de un nmero a es otronmero

1esocompletolomce

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