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1. Cinemtica de mecanismos con movimiento plano-paralelo
A. Mansilla, G. Manso, L. del Val. rea de Ing. Mecnica. EII. UVA.
TECNOLOGA DE MQUINAS. Tema 1: Cinemtica. 1
-
ndice
Estudio cinemtico a partir de las ecuaciones de enlace geomtricas.
Redundancia y configuraciones singulares.
Estudio cinemtico a partir de las ecuaciones de enlace cinemticas.
Movimiento plano.
Centro instantneo de rotacin.
A. Mansilla, G. Manso, L. del Val.
rea de Ing. Mecnica. EII. UVA.
TECNOLOGA DE MQUINAS. Tema 1: Cinemtica. 2
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Estudio cinemtico a partir de ec. de enlace geomtricas.
Posicin: Conocidos los valores de las coordenadas independientes y del tiempo, se calcula el conjunto de valores de las coordenadas generalizadas que satisface todas las ecuaciones de enlace geomtricas. (se calculan las diferentes posiciones del mecanismo a lo largo del tiempo).
Velocidades: Se determinan los valores de las velocidades generalizadas del mecanismo en una configuracin, conocidas las velocidades generalizadas independientes y el tiempo. Posteriormente se puede calcular las velocidades de todos los miembros del mecanismo.
Aceleraciones: Se calcula el valor de las derivadas de las velocidades generalizadas del mecanismo en una configuracin, dados los valores de las velocidades generalizadas independientes y de sus derivadas y del tiempo. Posteriormente se puede encontrar la distribucin de aceleraciones de todos los eslabones del mecanismo.
A. Mansilla, G. Manso, L. del Val.
rea de Ing. Mecnica. EII. UVA.
TECNOLOGA DE MQUINAS. Tema 1: Cinemtica. 3
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Estudio cinemtico a partir de ec. de enlace geomtricas.
Anlisis de velocidades.
Se deriva respecto al tiempo el sistema de ecuaciones de enlace
geomtricas f(q,t) y se obtiene un sistema de ecuaciones lineales para las velocidades generalizadas:
0q 0t
qq
)t,q(dt
dtq
ff
fff
t
)t,q(
t
)t,q(
q
)t,q(
q
)t,q(
q
)t,q(
q
)t,q(
)t,q(
)t,q(
t,q
mg
1
t
n
mg
1
mg
n
11
q
mg
11
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
A. Mansilla, G. Manso, L. del Val.
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TECNOLOGA DE MQUINAS. Tema 1: Cinemtica. 4
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Estudio cinemtico a partir de ec. de enlace geomtricas.
Anlisis de velocidades.
El sistema tiene tantas variables como velocidades generalizadas (n) y tantas ecuaciones como ecuaciones de enlace cinemticas (mc).
Para resolverlo se hace una particin del conjunto de velocidades generalizadas en independientes (tantas como grados de libertad) y dependientes:
iiqt1d
q
d
t
ii
q
dd
qti
di
q
d
q
qq
qq q
q
fff
ffffff
A. Mansilla, G. Manso, L. del Val.
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TECNOLOGA DE MQUINAS. Tema 1: Cinemtica. 5
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Estudio cinemtico a partir de ec. de enlace geomtricas.
Posicin:
A. Mansilla, G. Manso, L. del Val.
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TECNOLOGA DE MQUINAS. Tema 1: Cinemtica. 6
X
Y
L1
L3
a3
L2
a1
a2
0senLsenLsenL
0cosLcosLcosL
3322112
3322111
aaaf
aaaf
)L,,(q
),( con 0)q(
321
21
aa
ffff
32211
32211
q
3
2
2
2
1
2
3
1
2
1
1
1
q
sencosLcosL
cossenLsenL
L
L
aaa
aaaf
f
a
f
a
f
f
a
f
a
f
f
Matriz Jacobiana:
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Estudio cinemtico a partir de ec. de enlace geomtricas.
Se calculan las velocidades generalizadas dependientes:
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dq
iq
322
322
11
11
qsencosL
cossenL
cosL
senL
ff
aa
aa
a
af
Suponiendo a1 como coordenada independiente:
X
Y
L1
L3
a3
L2
a1
a2
1
11
11
1
322
322
3
2d
cosL
senL
0
0
sencosL
cossenL
Lq a
a
a
aa
aaa
SliderCrank.wm2d
-
Estudio cinemtico a partir de ec. de enlace geomtricas.
Anlisis de aceleraciones.
Se vuelve a derivar respecto del tiempo la primera derivada del las ecuaciones de enlace geomtricas:
tqqtqq
tq
qq0qq
0qdt
d
ffffff
ff
tq
ii
q
1d
q
d
tq
ii
q
dd
qtqi
di
q
d
q
qqq
qqqqq
q
ffff
ffffffff
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Haciendo una particin en aceleraciones generalizadas independientes y dependientes:
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Estudio cinemtico a partir de ec. de enlace geomtricas.
Se calculan las aceleraciones:
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0senLsenL
0cosLcosL
222111
222111
qaaaa
aaaaf
Se calculan los trminos desconocidos en la expresin de las aceleraciones:
X
Y
L1
L3
a3
L2
a1
a2
3
2
1
222111
222111
1
11
11
1
322
322
3
2d
L0senLsenL
0cosLcosL
cosL
senL
sencosL
cossenL
Lq
a
a
aaaa
aaaaa
a
a
aa
aaa
SliderCrank.wm2d
-
Singularidades Redundancias y bifurcaciones:
Deficiencia en el rango de la matriz jacobiana (rango por filas < n de ecuaciones). No se pueden resolver los sistemas de velocidades y aceleraciones.
Puntos muertos (1 gdl y sin ec. de gobierno): Para mecanismos con 1 gdl sin ec. de gobierno:
Puesto que en un punto muerto para una coord. generalizada su derivada es nula, si se toma esta como independiente:
Para que la solucin sea diferente de la trivial el determinante de la matriz jacobiana ha de ser necesariamente nulo.
0qq0q
q iiq
dd
qi
di
q
d
q
ffff
0det0qsi0q0q dqdddqiiq fff
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TECNOLOGA DE MQUINAS. Tema 1: Cinemtica. 10
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Singularidades Determinacin de puntos muertos para una
coordenada generalizada:
Se considera la coordenada generalizada como coordenada independiente.
Se resuelve el sistema de ecuaciones no lineales:
La configuraciones encontradas sern:
Puntos muertos si no hacen que la matriz jacobiana sea deficiente de rango.
Redundancia o bifurcacin en el caso contrario
0det
0)q(
d
qf
f
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Estudio cinemtico a partir de ec. de enlace cinemticas.
Distribucin de velocidades y aceleraciones en un slido rgido:
Velocidad de un punto P conocida la velocidad de un punto O y la velocidad angular del slido:
Aceleracin de un punto P conocida la aceleracin de un punto O y la aceleracin angular del slido:
POvv 0O
0
P
0
PO)PO(aa 000O
0
P
0
a
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TECNOLOGA DE MQUINAS. Tema 1: Cinemtica. 12
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Estudio cinemtico a partir de ec. de enlace cinemticas.
Cuando existe composicin de movimientos:
Velocidad:
Aceleracin:
Derivacin de un vector cualquiera u cuando se conoce respecto al sistema de referencia mvil:
1A
0
A
1
A
0ARRRELAB vvvvvv
A
1
1S
0
1A
0
A
1
A
0CORARRRELAB v2aaa aaaa
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udt
ud
dt
ud S
10
10
0
1
A
QuickReturnWithKnife.wm2d
-
Estudio cinemtico a partir de ec. de enlace cinemticas.
Condiciones cinemticas impuestas por los enlaces:
Articulaciones:
Gua-corredera:
Gua-corredera articulada:
2A
0
1A
0
2A
0
1A
0
aa
vv
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2S
0
1S
0
2A
1
1S
0
1A
0
2A
1
2A
0
2S
0
1
0
1A
0
2A
1
2A
0
v2aaa
vvv
aa
2A
1
1S
0
1A
0
2A
1
2A
0
1A
0
2A
1
2A
0
v2aaa
vvv
QuickReturnWithKnife.wm2d
-
Estudio cinemtico a partir de ec. de enlace cinemticas.
Condiciones cinemticas impuestas por los enlaces:
Rodadura:
Con deslizamiento:
Sin deslizamiento:
Contacto puntual:
n
2J
0n
1J
0 vv
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JG
2
S1
2
2J
1
1J
2
2J
0
1J
0
v aa
vv
ntodeslizamie
2J
0
1J
0 vvv
-
Movimiento plano
Todos los puntos del mecanismo describen trayectorias que se encuentran en planos paralelos entre s.
Para su estudio es usual: Plantear las ecuaciones de enlace a partir de la
condicin de cierre de los anillos.
Tomar como velocidades generalizadas las velocidades angulares de los eslabones y las velocidades de deslizamiento de las correderas respecto de las guas.
A partir de las velocidades generalizadas se puede obtener la velocidad de cualquier punto del mecanismo.
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Ejemplo. Mecanismo de 4 eslabones
Datos:
Incgnitas:
Velocidades:
Sistema lineal de 2 ecuaciones con 2 incgnitas:
1S
0
1S
0 , a
QRv
QPPOQPvv
3S
0
Q
0
2S
0
1S
0
2S
0
P
0
Q
0
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3S
0
2S
0
3S
0
2S
0 , , , aa
QRQPPO 3S02S
0
1S
0
FourBarVariableBase.wm2d
-
Ejemplo. Mecanismo de 4 eslabones
Datos:
Incgnitas:
Aceleraciones:
Sistema lineal de 2 ecuaciones con 2 incgnitas:
1S
0
1S
0 , a
QR)QR(a
QP)QP(PO)PO(QP)QP(aa
3S
0
3S
0
3S
0
Q
0
2S
0
2S
0
2S
0
1S
0
1S
0
1S
0
2S
0
2S
0
2S
0
P
0
Q
0
a
aaa
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3S
0
2S
0
3S
0
2S
0 , , , aa
QR)QR(QP)QP(PO)PO( 3S03S
0
3S
0
2S
0
2S
0
2S
0
1S
0
1S
0
1
0
aaa
FourBarVariableBase.wm2d
-
Ejemplo. Mecanismo de 3 eslabones
Datos:
Incgnitas:
Velocidades:
2 ecuaciones y 2 incgnitas:
1S
0
1S
0 , a
OA a paralela v
OAvvvv
1A
2
2S
0
1A
2
2A
0
1A
2
1A
0
A. Mansilla, G. Manso, L. del Val.
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TECNOLOGA DE MQUINAS. Tema 1: Cinemtica. 19
.desliz
2S
0.desliz
2S
0 a , ,v ,
a
2S
0.desliz
1A
2 y v v
O
QuickReturnWithKnife.wm2d
-
Ejemplo. Mecanismo de 3 eslabones
Datos:
Incgnitas:
Aceleraciones:
2 ecuaciones y 2 incgnitas:
1S
0
1S
0 , a
OA a paralela a
v2OA)OA(aa
aaaa
t
1A
2
1A
2
2S
0
2S
0
2S
0
2S
0t
1A
2
1A
0
cor
2A
0
1A
2
1A
0
a
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TECNOLOGA DE MQUINAS. Tema 1: Cinemtica. 20
.desliz
2S
0.desliz
2S
0 a , ,v ,
a
2S
0.deslizt
1A
2 y a a a
O
QuickReturnWithKnife.wm2d
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Centro instantneo de rotacin.
Punto del slido (con movimiento plano) con velocidad nula en un instante dado.
Conocida la velocidad de un punto O de un slido y su velocidad angular , se puede encontrar un punto I con velocidad nula.
1S
0
O
0
1S
0
1S
0
O
0
1S
0
O
0
I
0
vIO
IO siendo IOv
0OIvv
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TECNOLOGA DE MQUINAS. Tema 1: Cinemtica. 21
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Centro instantneo de rotacin. Determinacin de centros instantneos de rotacin:
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TECNOLOGA DE MQUINAS. Tema 1: Cinemtica. 22
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Centro instantneo de rotacin. Centro instantneo de rotacin absoluto y relativo.
CIR absoluto: definido respecto a la referencia en estudio.
CIR relativo: definido respecto a referencias solidarias a cada uno de los eslabones del mecanismo.
Si se dispone de 2 miembros el CIR relativo I21 (punto de 2 con velocidad nula respecto de 1) coincide con I12 (punto de 1 con velocidad nula respecto de 2).
El primer trmino es nulo por la condicin de slido rgido del miembro 2, y los trminos segundo y tercero por definicin de centro instantneo de rotacin.
211221121S
2
0
I
2
0
I
1
0
I
2 II 0IIvvv122121
A. Mansilla, G. Manso, L. del Val.
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TECNOLOGA DE MQUINAS. Tema 1: Cinemtica. 23
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Centro instantneo de rotacin.
La velocidad de I21 coincide con I12 en cualquier referencia.
El nmero de CIR total de un mecanismo es el de las combinaciones del nmero de eslabones mviles + 1 (debido a las conexiones con la bancada), tomadas de 2 en 2.
1221122121
00
0
2112
1
00
0
10 IISIII vvIIvvv
!2
n)1n(C 2 1n
A. Mansilla, G. Manso, L. del Val.
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TECNOLOGA DE MQUINAS. Tema 1: Cinemtica. 24
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Centro instantneo de rotacin. Teorema de los tres centros o de Aronhold-Kennedy.
2312
2
1
I
1
I
1 IIvv1223
0v donde IIvv 121223I
12312
2S
1
I
1
I
1
A. Mansilla, G. Manso, L. del Val.
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TECNOLOGA DE MQUINAS. Tema 1: Cinemtica. 25
Dados tres slidos, con movimiento plano, los tres centros instantneos de rotacin existentes entre ellos (I12, I13, I23) estn sobre la misma lnea.
Calculamos la velocidad de I23 respecto a la referencia fija en 1.
Como punto del slido 2:
Como punto del slido 3:
Igualando ambas expresiones:
0v donde IIvv 131323I
12313
3S
1
I
1
I
1
elossean paral II y II IIII 2313231223133S
12312
2S
1