19 desigualdades e inecuaciones
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DESIGUALDADES EDESIGUALDADES EINECUACIONESINECUACIONES
DESIGUALDADES
DESIGUALDAD
Es la relacin que establece que dos cantidadestienen diferente valor.
Los signos que se utilizan para designar desigual-dades son:
> se lee: mayor que
< se lee: menor que
se lee: mayor o igual que
se lee: menor o igual que
Toda cantidad positiva a se considera mayor quecero (a > 0) y toda cantidad negativa b es menor
que cero (b < 0).
DEFINICIONES IMPORTANTES
1) Una cantidad a es mayor que otra cantidadb, si la diferencia (a - b) es positiva, es decir:
a > b si a - b > 0
2) Una cantidad a es menor que otra cantidad
b, si la diferencia (a - b) es negativa, es decir:
a < b si a - b < 0
PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES
1 Si a ambos miembros de una desigualdad se sumao se resta una misma cantidad, el sentido de ladesigualdad no se altera.
Sea: a > b
se cumple que : a m > b m
2 Si los dos miembros de una desigualdad se multi-plica o divide por una misma cantidad positiva, elsentido de la desigualdad no vara.
Sea: a > bse cumple que: am > bm
a bo: >
m m
m > 0
3 Si los dos miembros de una desigualdad se multi-plica o divide por una misma cantidad negativa elsentido de la desigualdad se invierte.
Sea: a > b
se cumple: am < bm
a bo: <
m m
m < 0
4 Si se suma miembro a miembro dos o variasdesigualdades del mismo sentido, el resultado esuna desigualdad del mismo sentido.
Sea: a > b, c > d
entonces:
a + c > b + d
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5 Si se multiplica o divide miembro a miembro doso varias desigualdades del mismo sentido, cuyosmiembros son positivos, se obtiene una desigual-dad del mismo sentido.
Sea: a > b, y c > d.
Multiplicando:
ac > bd
Dividiendo:
a b > c d
a > 0, b > 0, c > 0, d > 0
6 Si a ambos miembros de una desigualdad se elevaa una misma potencia impar, el sentido de ladesigualdad no vara.
Sea: a > b
se tiene: a2m+1 > b2m+1
7 Si a ambos miembros de una desigualdad se elevaa una misma potencia par, siendo los dos miem-
bros negativos, se obtiene una desigualdad designo contrario.
Sea: a > b
entonces : a2n < b2n
a < 0, b < 0
8 Si a ambos miembros de una desigualdad se leextrae una misma raz de ndice impar se obtieneuna desigualdad del mismo sentido.
Sea: a > b
entonces:
2m+1 2m+1
a > b
EJERCICIOS SOBRE DESIGUALDADES
___a + b
1.- Demostrar que > ab2Solucin:
Si a b
luego:
(a - b)2 > 0
(si a = b, no se cumple)
efectuando:
a2 - 2ab + b2 > 0
Sumando a ambos miembros 4ab:
a2 - 2ab + 4ab + b2 > 4ab
a2 + 2ab + b2 > 4ab
(a + b)2 > 4ab
si son positivos ambos: ___a + b > 2ab
de donde:___
a + b > ab
2
2.- Demostrar que:
a3 + b3 + c3 > 3abc; a, b, c son positivos.
Solucin:Si a, b, c, son positivos, entonces:
a + b + c > 0 (1)
tambin:
(a - b)2 > 0
luego:
a2 + b2 - 2ab > 0 (2)
adems:(a - c)2 > 0
luego:
a2 + c2 - 2ac > 0 (3)
y:
(b - c)2 > 0
luego:
b2 + c2 - 2ab > 0 (4)
Sumando (2), (3) y (4):
2(a2 + b2 + c2) - 2(ab + ac + bc) > 0
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a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc > 0 (5)
Multiplicando (1) y (5):
(a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc) > 0
El primer miembro es una identidad algebraica,luego:
a3 + b3 + c3 - 3abc > 0
a3 + b3 + c3 > 3abc
3.- Demostrar que: ax + by < 1
Si: a2 + b2 = 1 ; x2 + y2 = 1
Donde a, b, x, y, son diferentes y positivos.
Solucin:
De la condicin del problema se escribe:
(a - x)2 > 0
a2 + x2 > 2ax (1)
(y - b)2 > 0
y2 + b2 > 2yb (2)
Sumando (1) y (2):
a2 + b2 + x2 + y2 > 2(ax + by)
Sustituyendo las condiciones en esta desigualdad:
1 + 1 > 2(ax + by)
ax + by < 1
4.- Demostrar que:
(b + c)(a + c)(a + b) > 8abc
(a,b,c, son positivos)
Solucin:
Siendo a, b, c, nmeros positivos, se tiene:
a2 + b2 > 2ab (1)
c2 + b2 > 2bc (2)
a2 + c2 > 2ac (3)
Multiplicando (1) por c, (2) por a y (3) por b:
a2c + b2c > 2abc (4)
c2a + b2a > 2abc (5)
a2b+ c2b > 2abc (6)
Sumando miembro a miembro (4), (5) y (6):
a2c + b2c + c2a + b2a + a2b + c2b > 6abc
Sumando a ambos miembros 2abc:
(a2c + 2abc + b2c)+(c2a + c2b)+(a2b + ba2) > 8abc
factorizando:
c(a + b)2 + c2(a + b) + ab(a + b) > 8abc
(a + b)(ac + bc + c2 + ab) > 8abc
factorizando en el segundo parntesis:
(a + b) [c(a + c) + b(a + c)] > 8abc
(a + b)(a + c)(b + c) > 8abc
CLASES DE DESIGUALDADES
1.- DESIGUALDADES ABSOLUTAS.- Son aquellasque se verifican para cualquier valor o sistemasde valores, dado a sus letras.
Ejemplo:
(x - 5)2 + 7 > 0
2.- DESIGUALDAD RELATIVA O INECUACIN.-Son aquellas que se verifican para determina-dos valores o sistemas de valores, asignados a
sus letras.Ejemplo:
3x - 7 > 14
slo se satisface para x > 7
INECUACIONES DE PRIMER GRADOCON UNA INCOGNITA
Son aquellas que pueden reducirse a la forma:
ax b > 0
o:ax b < 0
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SOLUCIN A UNA INECUACIN
Es todo valor de la incgnita, o conjunto de valores delas incgnitas, que verifican la desigualdad.
Para expresar convenientemente las soluciones quese obtengan al resolver inecuaciones es necesariodefinir:
INTERVALO ABIERTO.- Es el conjunto de ele-mentos x, limitados en sus extremos por loselementos a y b; donde a < b, para los cualesse cumple que a < x < b. El intervalo abierto sedenota por ( a, b ).
Ejemplo:
Sea el intervalo (2, 5), segn la definicin se debetomar todos los nmeros reales comprendidosentre 2 y 5, a excepecin de stos.
INTERVALO CERRADO.- Es el conjunto de ele-mentos x, limitados en sus extremos por loselementos a y b, donde a < b, para los cualesse cumple que a x b. El intervalo cerrado serepresenta por [a,b].
Ejemplo:
Sea el intervalo [2,7], segn la definicin, los ele-mentos que forman este intervalo, son todos losnmeros comprendidos entre 2 y 7, incluyendostos.
VALOR ABSOLUTO.- El valor absoluto de unnmero real x, representado por | x | , se definepor la siguiente regla:
| x | = x si x > 0
| x | = -x si x < 0
Ejemplo:
i) | 7 | = 7
ii) | -2 | = -(-2) = 2
7 7 7iii) | - | = - (- ) = 5 5 5
EJERCICIOS RESUELTOS
1.- Resolver:
3x 7 x 1 7x - - > + 5 10 20 5 20
Solucin:
Multiplicando por 20:
12x - 14 - x > 4 + 7x
4x > 18
9x > 2
En forma de intervalo ser:
x (9/2, + ), que se lee: x pertenece al inter-valo abierto comprendido entre 9/2 e infinito.
2.- Resolver:
5 2x 7 x 5 2(6x - 2) -
(1 -
) < 4x +
( -
)8 3 3 2 12 3
Solucin:
Realizando transformaciones:
5 7 1(3x - 1) - (3 - 2x) < 4x + (6x - 5)
4 9 18
Multiplicando por 36:
45(3x - 1) - 28(3 - 2x) < 144x + 2(6x - 5)
135x - 45 - 84 + 56x < 144x + 12x - 10
135x + 56x - 144x - 12x < -10 + 84 + 45
35x < 119
119x <
35
17x <
5
En forma de intervalo:
17x ( - , )5
3.- Resolver 23x-5 > 42x-4
Solucin:
Igualando las bases de las potencias: 23x-5 > 24x-8
Si una potencia es mayor que otra, en los expo-nentes tambin deben cumplir esta desigualdad,as:
3x -5 > 4x -8
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transponiendo y operando:
-x > -3
multiplicando por (-1):
x < 3en forma de intervalo:
x ( - ,3 )
4.- Resolver:
5
7
5x + 13 8x + 1
2 43 > 27Solucin:
Transformando, para que tenga la misma base:
5x + 13 8x + 1 10 283 > (33)
5x + 13 24x + 3 10 283 > 3
tambin:
5x + 13 24x + 3 >
10 28
multiplicando por 280:
28(5x + 13) > (24x + 3)10
Operando, simplificando y despejando x:
x < 3,34
en forma de intervalo:
x ( - , 3,34 )
INECUACIONES
SISTEMA DE INECUACIONES
1.- SISTEMA DE INECUACIONES CON UNA
INCOGNITA
Para resolver un sistema de este tipo:
1 Se halla las soluciones de cada inecuacin en
forma separada.
2 Se comparan stas para establecer las solu-ciones comunes a todas las inecuaciones.
3 Se grafica las soluciones en la recta numrica,para facilitar la solucin.
2.- SISTEMAS DE INECUACIONES CON 2 MAS
INCOGNITAS
Para resolver este tipo de sistema, se trata de elimi-nar una incgnita, restando inecuaciones de senti-do contrario, procediendo de esta manera hastaobtener una inecuacin con una sola incgnita.
EJERCICIOS RESUELTOS
1.- Resolver:
3x - 5 > 7 (1)
4
x + 3 > x - 9 (2)2
Solucin:
Resolviendo la inecuacin (1), para lo cual semultiplica por 4:
3x - 20 > 28
3x > 48
x > 16
Resolviendo la inecuacin (2), para lo cual semultiplica por 2:
x + 6 > 2x - 18
-x > -24
x < 24
Graficando las soluciones:
- 0 16 24 +
La solucin comn es: 16 < x < 24
escribiendo como intervalo: x (16,24)2.- Resolver el sistema:
x - 22x - 1 > (1)
2
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3x x + 1 - 2 > (2)5 10
2x - 7 3x - 1 > (3)
5 4
Solucin:
Resolviendo cada inecuacin:
(1) 6x - 3 > x - 2
6x - x > 1
1 x >
5
(2) 6x - 20 > x + 1
6x - x > 21
21 x >
5
(3) 8x + 28 > 15x - 5
8x - 15x > -5 - 28
33 x <
7
Graficando:
- 0 1 21 33 + 5 5 7
La solucin es:
21 33 < x < 5 7
en forma de intervalo:
21 33x ( , )5 7
3.- Resolver el sistema para valores enteros y posi-tivos:
5x - 3y > 2 (1)
2x + y < 11 (2)
y > 3 (3)
Solucin:
Combinando las inecuaciones (1) y (2):
(1) por 2 : 10x - 6y > 4
(2) por -5: -10x - 5y > -55
Sumando miembro a miembro:
-11y > -51
51y <
11
Combinando este resultado con la inecuacin(3):
513 < y <
11
El nico valor entero y positivo para y com-prendido en este intervalo es y = 4.
Sustituyendo este valor en (1) y (2):
En (1):
5x - 12 > 2
5x > 14
14x >
5
En (2):
2x - 4 < 11
2x < 7
7x <
2
para x se obtiene:
14 7 < x < 5 2
El nico valor entero y positivo para x com-prendido en este intervalo es 3:
x = 3
y = 4
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4.- Resolver para valores enteros y positivos:
x + y + z > 8 (1)
x - y + z < 4 (2)
z - y > 0 (3)
z < 5 (4)
Solucin:
De (3): z > y
Restando (1) - (2) se obtiene:
y > 2 (5)
De (3) y (5) se obtiene:
2 < y < z (6)
De (4) y (6):
2 < y < z < 5 (7)
Luego:
2 < y < 5
Los valores enteros que puede tomar y son:
x = 3
o:y = 4
(1) para y = 4, en (7):
4 < z < 5
No hay valor entero para z.
(2) para y = 3, en (7):
3 < z < 5
El valor entero para z = 4
Sustituyendo estos valores en (1) y (2):
x + 3 + 4 > 8 x > 1
x - 3 + 4 < 4 x < 3
de estas 2 ltimas ecuaciones:
1 < x < 3
El valor entero para x = 2:
x = 2 , y = 3 , z = 4
5.- Un matrimonio dispone de S/.320 para ir al cine
con sus hijos. Si comprasen entradas de S/.50les faltara dinero y si compraran de S/.40 lessobrara dinero. Cuntos son los hijos?
Solucin:
Sea el nmero de hijos x.
En el primer caso gastaran:
50x + 100
por la condicin:50x + 100 > 320
de donde:
22x >
5
En el segundo caso gastaran:
40x + 80
Por la condicin: 40x + 80 < 320
de donde:240
x < 40
x < 6
Luego:22 < x < 65
El valor que debe tomarse para x es un nmero
entero y positivo, ya que representa el nmero dehijos, en este caso:
x = 5
6.- En un gallinero haba cierto nmero de gallinas.Se duplic el nmero y se vendi 27, quedandomenos de 54. Despus se triplic el nmero degallinas que haba al principio y se vendi 78,quedando ms de 39. Cuntas gallinas habanal principio?
Solucin:
Suponiendo que sea x el nmero de gallinasque haba al principio.
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Por datos del problema se puede escribir:
(1) 2x - 27 < 54
2x < 81
x < 40,5
(2) 3x - 78 > 39
3x > 117
x > 39
Luego:
39 < x < 40,5
es decir:
x = 40
Rpta.: inicialmente haba 40 gallinas.
INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Reciben este nombres las inecuaciones que, reduci-das, toman la forma:
ax2 + bx + c > 0o:
ax2 + bx + c < 0
Resolver una inecuacin de segundo grado es hallarel intervalo en donde se encuentra la incgnita, demanera tal que se verifique la desigualdad. Se estudiatres casos:
1er. Caso: Cuando la inecuacin es:
ax2 + bx + c > 0
Se factoriza el trinomio. Suponiendo que sepuede factorizar de la siguiente manera:
p(x - r1)(x - r
2) > 0 (1)
siendo p > 0, dividiendo entre p:
(x - r1)(x - r
2) > 0 (2)
Para que se verifique esta desigualdad, es nece-sario que los dos factores sean o ambos positivoso ambos negativos.
Sea (1) : x - r1
> 0 x > r1
x - r2
> 0 x > r2
Sea (2): x - r1
< 0 x < r1
x - r2
< 0 x < r2
Analizando estos dos sistemas se llega a la solu-cin final.
2do. Caso.- Cuando la inecuacin es
ax2 + bx + c < 0 (1)
En forma anloga a la anterior se llega a:
(x - r1)(x - r
2) < 0 (2)
Para que se verifique esta desigualdad de los dosfactores, uno es positivo y el otro negativo, oviceversa:
Sea (1) : x - r1
> 0 x > r1
x - r2
< 0 x < r2
Si: r1 < r2
r1
< x < r2
Sea (2): x - r1
< 0 x < r1
x - r2
> 0 x > r2
Si: r1
< r2
No hay solucin.
3er. Caso.- Cuando la inecuacin es ax2 + bx + c > 0y tiene sus races complejas, solamente se verificapara ese sentido, porque se trata de una desigualdadabsoluta. Vase el Ejercicio 4.
EJERCICIOS RESUELTOS
1.- Resolver : x2 - 7x + 12 > 0
Solucin:
Factorizando el trinomio:
(x - 4) (x - 3) > 0
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Estudiando los dos casos:
a) x - 4 > 0 x > 4 x > 4
x - 3 > 0 x > 3
b) x - 4 < 0 x < 4 x < 3
x - 3 < 0 x < 3
La solucin general es:
x > 4o:
x < 3
en forma de intervalo:
x (-, 3) (4, )
3.- Resolver: x2 - 9x + 18 < 0
Solucin:
Factorizando el trinomio:
(x - 6) (x - 3) < 0
Analizando los 2 casos:
1) x - 6 > 0 x > 6
} No hay solucincomnx - 3 < 0 x < 32) x - 6 < 0 x < 6
}La solucin es
3 < x < 6x - 3 > 0 x > 3
En forma de intervalo: x (3,6)
3.- Resolver el sistema:
x2 - 12x + 32 > 0 (I)
x2 - 13x + 22 < 0 (II)
Solucin:Resolviendo cada inecuacin separadamente:
(I) (x - 4)(x - 8) > 0
cuya solucin es:
x > 8o:
x < 4
(II) (x - 11)(x - 2) < 0
cuya solucin es:
2 < x < 11
Graficando la solucin obtenida:
- 2 4 8 11 +la solucin comn es:
x (2,4) (8,11)
4.- Resolver x2 + x + 1 > 0
Solucin:
Como no es posible factorizar se plantea:
x2 + x + 1 = 0
donde:
______-1 1 - 4
x = 2
entonces:___ ___
- 1 + 3 i - 1 - 3 ix = y =
2 2
Ntese que las races son complejas luego se tratadel 3er. caso de inecuaciones.
y se puede escribir:
___ ___-1 + 3 i - 1 - 3 i[x -()][x -()] > 02 2
o tambin:
__ __1 3 1 3[(x + ) - i][(x + ) + i] > 02 2 2 2
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efectuando:
2__
21 3(x + ) - ( i) > 02 2
21 3(x + ) + > 02 4
Se observa que cuando las races son complejas,la relacin de mayor es cierta y en el caso con-trario no se cumple.
INECUACIONES IRRACIONALES
Son aquellas en las que las incgnitas se hallan afec-tadas por radicales.
EJERCICIOS RESUELTOS
1.- Resolver:_____x - 2 - 3 < 0
Solucin:
Transponiendo:
_____x - 2 - 3 (I)
La expresin subradical debe ser positiva, paraque exista dentro del campor real, sto es:
x - 2 > 0
x > 2 (A)
Elevando al cuadrado (I):
x - 2 < 9
x < 11 (B)
La solucin es:
2 < x < 11o:
x (2,11)
2.- Resolver:___________
2x - 5 > x2 - 2x + 10
Solucin:
Se debe cumplir que:
x2 - 2x + 10 > 0
Elevando al cuadrado la inecuacin original:
4x2 - 20x + 25 > x2 - 2x + 10
3x2 - 18x + 15 > 0
x2 - 6x + 5 > 0factorizando:
(x - 5)(x - 1) > 0
de donde:
x > 5 o x < 1
asi: __________x2 - 2x + 10 > 0
2x - 5 > 0
x > 2,5
Notar que x < 1 no es solucin.
-
-2 2 2,5 3 5 +
La solucin comn es: x > 5 en forma deintervalo:
x (5,+)
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EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Hallar los valores enteros y positivos que satis-
facen la inecuacin.
3
5x + 1 3(x + 1)
2 53 < 9a) 2 b) 3 c) 1 d) 5 e) 6
2. Hallar el nmero de valores enteros y positivosque verifican:
5 3 2x 4 x 5
(x -
) + - < - (2x - 1) 2 2 3 5 2 6
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
3. Hallar el nmero de valores enteros y positivosque verifican:
__2 332
8x-1> 4x - 4
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
2x + 1 2 - x4. Resolver: - > 1
5 3
a) x < 2 b) x > 3 c) x < 3
d) x > 2 e) x < 1
5x - 1 3x - 13 5x + 15. Resolver: - >
4 10 3
a) x > 7 b) x < 7 c) x > 4
d) x < 4 e) x >2
6. Resolver: | 3x - 5 | < 3
2 8 2 5a) x < , > b) x < , >
3 3 3 3
2 8 2 5c) x < - , > d) x < - , >
3 3 3 3
2 11e) x < , >
3 3
1_(x6 - 2x3+ 1) 2 1-x
1 17. Resolver: () < ()2 2a) x > -1 b) x > 1 c) x > 0
d) x < 2 e) x < -2
x28. Resolver: < x + 6x - 2
a) x < - ,2 > b) x < 3 , >
c) x < - ,2 > < 3 , > d) x < - ,3 >
e) x < 2, >
9. Hallar a en |x - a| < b si es equivalente a:2 < x < 4.
a) 2 b) 1 c) 3 d) 4 e) 5
10.- Calcular:
|5x - 20| - |3x - 20|E = si x < -3, -2 >
x
a) 2 b) 1 c) 3 d) -2 e) 5
11. Para qu valores de a se verifica la desigualdad:
3a + 101 < < 2
a + 7
3 3a) a < , 4 > b) a < - , 4 >2 2
1 1c) a < , 4 > d) a < - , 4 >
2 2
5e) a < , 4 >
2
12. Para qu valores de m el sistema de ecua-ciones:
9x + 7y > m
3x + 5y < 13
tiene soluciones positivas?
-
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91 26 26 91a) m < b) m > c) < m <
5 3 3 5
2 9 1 7d) < m < e) < m <
3 7 5 5
13.- Resolver para valores enteros y dar el valor de y:
5x - 3y + 2z > 7
2x + y + z > 14
3y + x < 15
y < 3
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
14.- Resolver para valores enteros y positivos y darel valor de y:
-x + 2y > 2
x - y > -2
4x + y < 7
a) 1 b) -4 c) 3 d) 5 e) 2
15. Resolver el sistema para valores enteros y posi-tivos y dar el valor de z:
2y < x
4y > 7z
x < 2x + 4
a) 5 b) 2 c) 1 d) 3 e) 4
16. Se sabe que el cudruplo del nmero de mon-edas que hay dentro de un bolso es tal, que dis-minudo en 5, no puede exceder de 31, y que elquntuplo del mismo nmero de monedasaumentado en 8, no es menor que 52. Cul esdicho nmero?
a) 7 b) 12 c) 10 d) 9 e) 7
17. Un comerciante adquiri un cierto nmero deespecies de las que vendi 70 y le quedaron msde la mitad. Al da siguiente le devolvieron seis,pero logr vender 36, despus de lo cual le
quedan menos de 42. Cuntas especies forma-ban el lote?
a) 140 b) 141 c) 142 d) 143 e) 144
3 518. Si x < , >,
2 2
determinar el menor nmero M tal que:
x + 4
| | < Mx - 41 13 11 12
a) 13 b) c) d) e) 3 3 3 5
19. Para qu valores de a se satisface el sistema dedesigualdes:
x2 + ax - 2- 3 < < 2
x2 - x + 1
a) x < -1,3 > b) x < -1,5 >
c) x < -1,7 > d) x < -1,2 >
e) x < -1,6 >
x2 - 7x + 1020. Resolver: > 0
x2 - 9x + 8
a) x < 2,5 > b) x < 1,8 >
c) x
< -
,1 > d) x
< 8,+
>e) x < 2,8 >
CLAVE DE RESPUESTAS
1) C 2) A 3) C 4) D 5) B
6) A 7) B 8) C 9) B 10) D
11) B 12) C 13) D 14) E 15) C
16) D 17) B 18) C 19) A 20) A