Desigualdades o inecuaciones

lineales en una variable

Sec 3.5 – 3.6

Prof. Caroline Rodriguez

Departamento de Matemáticas

UPR - Arecibo

Desigualdades

Una desigualdad o inecuación usa símbolos

como <,>,≤,≥ para representar la idea de

que dos cantidades NO son iguales.

Estos se leen de izquierda a derecha: ◦ 𝑎 < 𝑏 : a es menor que b,

◦ 𝑎 > 𝑏 : a es mayor que b

◦ 𝑎 ≤ 𝑏 : a es menor o igual a b

◦ 𝑎 ≥ 𝑏 : a es mayor o igual a b

Algunos ejemplos son:

Note que las primeras 3 son

ciertas y las últimas dos son

falsas.

Desigualdades algebraicas

Desigualdades algebraicas contienen una o más variables. Algunos ejemplos son:

Cuando se sustituye un valor

por la(s) variable(s), la

desigualdad algebraica se

convierte en un enunciado

numérico que es cierto o

falso.

Desigualdades o Inecuaciones

2x + 3 > 11

Si se sustituye x con el valor 5,

la inecuación lee

2(5) + 3 > 11

13 > 11

Por lo que 5 es una solución de la

desigualdad.

Este es un enunciado cierto.

Desigualdades (continuación)

Si se sustituye x con el valor 3,

la inecuación lee

2(3) + 3 > 11 que simplifica a

9 > 11

• Por lo que 3 NO es una solución de

la desigualdad.

2x + 3 > 11

Este es un enunciado falso.

Ejemplo: ¿Es solución?

¿Pertenece 5 al conjunto solución de

2x – 5 < 3x + 6 ?

2(5) – 5 < 3(5) + 6

10 – 5 < 15 + 6

5 < 21 cierto.

Por esto decimos que 5 sí pertenece al

conjunto solución de la desigualdad.

?

?

Resolver una desigualdad

Resolver una desigualdad implica

encontrar TODAS sus soluciones, o sea

determinar el conjunto solución de la

desigualdad.

El conjunto solución de una desigualdad

se puede representar usando

◦ notación generadora de conjuntos

◦ una gráfica

◦ notación de intervalo

Conjunto solución de

desigualdades simples

Desigualdades lineales

Desigualdad lineal

x > -1

2x + 3 < 11

7(x + 3) ≤ 5x + 5

Desigualdad No lineal

x2 > -1

x2 – 3x + 5 ≤ -1

2(x3 – 4x) ≤ 0

2𝑥−3

𝑥+1> 3

Al igual que con las ecuaciones, hay diferentes tipos

de desigualdades. Las desigualdades lineales son

las que son de grado 1.

Práctica:

Diga si los valores a la derecha pertenecen al

conjunto solución de la desigualdad.

1) 7(x + 3) > 5x + 5 ; 4

2) -2(4x + 3) – 5x < 3x – 6 ; 2

Práctica: notación de intervalo 1. Escribe el intervalo que contiene todos los

números menores que -10.

2. Escribe el intervalo que contiene todos los

números mayores o iguales a 20.

3. Indicar si el enunciado es cierto o falso:

a)2

3∈ [0.75,∞)

b) −5 ∈ −∞,−4

c)9

4∈ (2,∞)

Propiedades de desigualdades

Sumar o restar una expresión o un

número real en ambos lados de una

desigualdad NO cambia el conjunto de

solución de la desigualdad.

Ejemplo Resuelve la desigualdad: x + 5 > 10

Solución:

x + 5 > 10

x + 5 – 5 > 10 – 5

x > 5

El conjunto solución se puede describir: (5,∞).

Este es el conjunto de todos los valores mayores que

5. Para representar el conjunto en forma gráfica

Propiedades de desigualdades

Multiplicar o dividir ambos lados de una

desigualdad por un número real positivo

NO cambia el conjunto de solución de la

desigualdad.

Ejemplos

Resuelve la desigualdad: 3x - 1 ≤ 11

Solución:

Resuelve la desigualdad: 4 – x ≥ x – 1

Solución:

Propiedades de desigualdades

Al multiplicar o dividir ambos lados de la

desigualdad por un número real

negativo se invierte la desigualdad.

Resuelva la desigualdad: 3 – x < 2

Solución:

3 – x < 2

3 – 3 – x < 2 – 3 restando 3 a ambos lados

-x < -1

(-1)(-x) > (-1)(-1) multiplicamos por -1 a ambos lados

y cambiamos el sentido de la

desigualdad

x > 1

El conjunto solución es : (1,∞) .

Ejemplo

Ejemplos (cont.)

Resuelve la desigualdad:

Solución:

Resuelve la desigualdad:

Solución: 2

75

3

2

x

Ejemplo (cont.) Resuelve la desigualdad:

Solución:

4 + 7x ≥ 2x – 1

Determinar el conjunto solución:

Solución:

Ejemplos (cont.)

Resuelve la desigualdad:

Solución:

2(x + 3) ≥ 4(x – 2)

Hallar el conjunto solución de

Solución:

Ejercicios:

Problem Set 3.5

Pag. 126 Resuelva las

siguientes

desigualdades

lineales. Represente el

conjunto solución en

notación de intervalo y

gráficamente.

Pag. 132

Aplicaciones Cinco más que tres veces un número es mayor

que 26. Determine el conjunto de números que

satisface la condición.

Solución:

x = un número que satisface la condición

Cinco más que tres veces un número:

…es mayor que 26:

5 + 3x

5 + 3x > 26 5 – 5 + 3x > 26 – 5

3x > 21 𝟑

𝟑x >

𝟐𝟏

𝟑

x > 𝟕

Cualquier número

mayor que 7 satisface la

condición. El conjunto

solución es 𝟕,∞ .

Aplicaciones Supongamos que el perímetro de un rectángulo

no es mayor que 70 pulgadas, y la longitud del

rectángulo es exactamente 20 pulgadas . Encontrar

el valor más grande para el ancho del rectángulo.

Solución:

Aplicaciones Susana tiró 132 y 160 en sus dos primeros juegos

de bowling. ¿Qué debe tirar en el tercer juego

para tener un promedio de por lo menos 150 para

los tres juegos?

Solución:

Aplicaciones (cont.) Susana tiró 132 y 160 en sus dos primeros juegos

de bowling. ¿Qué debe tirar en el tercer juego

para tener un promedio de por lo menos 150 para

los tres juegos?

Solución: (cont.)

Exercise set 3.6 pag. 133