Una aproximacion categorica al grupo de galileo

Carlos Julio Luque AriasUniversidad Pedagogica Nacional

1. G-Objetos

1.1. Accion de grupos

Sea G un grupo, C una categorıa y X un objeto de C, una accion de G sobre X,es un homomorfismo

σ : G −→ Aut(X)

Donde Aut(X) es el grupo de automorfismos de X. X es llamado un G-objetorespecto a σ.

Una accion de G sobre X es una representacion de G por automorfismos de X.

Ejemplo 1. Dados G un grupo y X un objeto en la categorıa de los conjuntos;una aplicacion

τ : G×X −→ X

(g, x) 7−→ τg(x)

que satisface:

a) τg1g2(x) = τg1(τg2(x)) para g1, g2 ∈ G, x ∈ X

b) τe(x) = x e ∈ G, x ∈ X

donde e es el elemento identico de G, da lugar a una accion de G sobre X si sedefine

σ : G −→ Aut(X)

g 7−→ σ(g)(x) = τg(x)

Ası X es un G-objeto.

Si X es un objeto en una categorıa C y F es un functor covariante F : C → C ′

entonces F (x) es un G-objeto.

1.2. Morfismos θ-Equivariantes

Sean G y G′ grupos y C una categorıa, X un G-objeto de C con respecto a unhomomorfismo σ : G→ Aut(X), X ′ un G′-objeto de C con respecto a un homo-morfismo σ′ : G′ → Aut(X ′).

Un morfismo θ-equivariante con respecto a un homomorfismo θ : G → G′ esun morfismo Ω : X → X ′ de C tal que para todo g ∈ G el siguiente diagramaconmuta:

X X ′

X X ′

-Ω

?

σg

?

σ′θ(g)

-Ω

Si G = G′ hablamos de un morfismo G-equivariante.

Ejemplo 2. Si X es un G-conjunto y X ′ es un G-conjunto con la accion delejemplo 1. Entonces la aplicacion Ω : X −→ X ′ es θ-equivariante si y solo si elsiguiente diagrama conmuta:

G×X X

G′ ×X ′ X ′

-

?

(θ,Ω)

?

Ω

-

Si X,X ′ y X ′′ son G,G′ y G′′ conjuntos respectivamente θ : G −→ G′, θ′ : G′ −→G′′ homomorfismos Ω : X −→ X ′ y Ω′ : X ′ −→ X ′′ morfismos θ, θ′-equivariantesentonces Ω′ o Ω es un morfismo (θ′ θ)-equivariante.

Para un grupo G fijo, los G-objetos de una categorıa C forman una categorıanotada CG con los morfismos equivariantes como morfismos.

Sea F : C −→ C ′ un functor covariante, X un G-objeto en C respecto a τ , X ′

un G-objeto en C ′ respecto a τ ′, σ : G −→ G′ un homomorfismo y Ω : X −→ X ′

un morfismo σ-equivariante entonces la accion natural inducida

F (Ω) : F (X) −→ F (X ′)

es σ-equivariante.

2

Para un grupo fijo, esto define una extension del functor que envıa G-objetos deC en G-objetos de C ′ a un functor

FG : CG −→ C ′G

ya que tambien aplica morfismos σ-equivariantes en morfismos σ-equivariantes.

2. El Grupo de Galileo

Clasicamente se define el grupo de Galileo como un conjunto de cuadruplas〈g, v, s, τ〉 con g ∈ SO3, v ∈ R3, s ∈ R3, τ ∈ R, donde g representa una ro-tacion del espacio euclideo 3-dimensional, v una velocidad, s un desplazamientoen R3 y τ un desplazamiento en el tiempo, su ley de composicion se define deacuerdo a como actua sobre el espacio R× R3, dando como resultado

〈g, v, s, τ〉〈g′, v′, s′, τ ′〉 = 〈gg′, gv′ + v, gs′ + s+ vτ ′, τ + τ ′〉

el producto gg′esta definido en el grupo SO3 y la accion en gv′ y gs′ del SO3

sobre R3 es tambien la usual, el producto vτ ′ es el producto de un vector de R3

por un escalar en R.

2.1. Generalizacion

En principio es posible extender la definicion del grupo de Galileo a cuadruplasde la forma 〈g, v, s, τ〉 con g ∈ SOn, o, g ∈ GL(n,R); v, s ∈ Rn y τ en Ry la operacion sigue teniendo sentido como un producto doblemente cruzado degrupos, aunque su significado fısico directo se diluya. La estructura algebraica delgrupo de Galileo ası generalizado es mas compleja que la del grupo de Poincare y loincluye como subgrupo tomando g ∈ L (L el grupo de transformaciones de Lorentz) v ∈ 0 (el grupo trivial) como subgrupo de (R4,+), S ∈ M (el espacio deMinkowski) y τ ∈ 0 como subgrupo trivial de R ya que el grupo de Poincare esun producto semidirecto entre L y R4

〈g, ø, s, ø〉〈g′, ø′, s′, ø′〉 = 〈gg′, ø, s′ + s, ø〉

El proposito es generalizar la estructura algebraica del grupo Galileo a una cate-gorıa de G-objetos.

2.2. El Grupo Γ

Sean H un grupo, E, V,R grupos abelianos σ : H −→ Aut(E), θ : H −→ Aut(V ),e i : H −→ Aut(R), acciones de H sobre E, V y R; y la accion identica respecti-

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vamente, por tanto E, V,R son H-objetos respecto a σ, θ, i.

Sea ∗ : R × V −→ E una aplicacion Z-bilineal, G-equivariante, es decir, tal queel diagrama

V ×R E

V ×R E

-∗

?

(θg,i)

?

σ

-∗

conmute, es decir σg(v ∗ τ) = θg(v) ∗ τ para cada g ∈ H.

Teorema. El producto cruzado en Γ = G× V × E ×R por la operacion

〈g, v, s, τ〉〈g′, v′, s′, τ ′〉 = 〈gg′, θg(v′) + v, g(s′) + s+ v ∗ τ ′, τ + τ ′〉 (1)

define un grupo.Usamos notacion aditiva para operaciones en grupos abelianos ymultiplicativa en los no abelianos.

El elemento neutro de Γ es 〈1, 0, 0, 0〉, 1 es el identico en G, y 0 el identico en V,Ey R que por su posicion no da lugar a confusion notarlos con el mismo sımbolo.

El inverso de un elemento dado 〈g, v, s, τ〉 es 〈g−1, θg−1(−v), σg−1(v) ∗ τ − s,−τ〉

2.3. Accion adjunta

Un subgrupoK de un grupo P actua sobre P por automorfismos interiores (accionadjunta) definiendo:

adX(Y ) = XYX−1 con X ∈ K, y , Y ∈ P

adX(Y ) es una accion ya que adX ∈ AutGr(P ) (Automorfismos de P en lacategorıa de los grupos) y

adXZ(S) = adX(adZ(S)) S ∈ P X,Z ∈ K

ademasad1(S) = S S ∈ P

2.4. Subgrupos de Γ

Por brevedad notemos Γ0 = 1 × 0 × 0 × R ≈ R,Γ1 = 1 × 0 × E × 0 ≈ E, Γ2 = 1 × V × 0 × 0 ≈ V ,Γ3 = G × 0 × 0 × 0 ≈ G, Γ320 = G × V × 0 × R, etc., con esto eldiagrama de subgrupos de Γ puede escribirse

4

Γ

Γ310 Γ210 Γ321

Γ31 Γ10 Γ30 Γ32 Γ21

Γ3 Γ1 Γ0 Γ3 Γ2 Γ1

donde las flechas indican “ser subgrupo de” y las negrillas indican los subgruposabelianos.

Γ0,Γ1,Γ2,Γ3 son subgrupos de Γ tales que todo elemento de Γ puede escribirsede manera unica como producto de elementos de Γ0,Γ1,Γ2,Γ3 en ese orden

〈g, v, s, τ〉 = 〈1, 0, 0, τ〉〈1, 0, s, 0〉〈1, v, 0, 0〉〈g, 0, 0, 0〉

Los morfismos inclusion son morfismos de grupos. Si Ω0 : R −→ Γ esta definidopor Ω0(τ) = 〈1, 0, 0, τ〉,Ω1(s) = 〈1, 0, s, 0〉,Ω2(v) = 〈1, v, 0, 0〉,Ω3(g) = 〈g, 0, 0, 0〉entonces

a) Ω0(τ + τ ′) = Ω0(τ)Ω0(τ ′)

b) Ω1(s+ s′) = Ω1(s)Ω1(s′)

c) Ω2(v + v′) = Ω2(v)Ω2(v′)

d) Ω3(g + g′) = Ω3(g)Ω3(g′)

por ser Ω3 inyectivo podemos identificar Ω3(g) con su imagen Γ3 ≈ H.

Los subgrupos normales de Γ son esquematizados en el siguiente diagrama

Las flechas continuas significan “ser subgrupo normal de” y las flechas punteadassignifican “ser invariante punto a punto por automorfismos interiores de”. La di-ferencia es que en el primer caso, por automorfismos interiores los elementos delsubgrupo se transforman en elementos del subgrupo (posiblemente distintos); encambio en el segundo caso, todo punto del subgrupo permanece invariante.

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Γ es un Γ3-objeto con la accion adjunta

ad : G −→ Γ

g 7−→ adg(〈g, v, s, τ〉) =adΩ3(g)(〈g, v, s, τ〉)=〈g1, 0, 0, 0〉〈g, v, s, τ〉〈g1, 0, 0, 0〉−1

=〈g1, 0, 0, 0〉〈g, v, s, τ〉〈g−11 , 0, 0, 0〉

=〈g1gg−11 , g1v, g1s, τ〉

que se reduce a la accion adjunta en G y directa de G sobre E y V .

2.5. Morfismos Estructurales

a) Ω0 : R −→ Γ es un morfismo G-equivariante, esto significa que el diagrama

R Γ

R Γ

-Ω0

?

id

?

adg

-Ω0

es conmutativo.

Como Ω0(t) y Ω3(g) conmutan, entonces Ω0(τ) = Ω3(g)Ω0(τ)Ω−13 (g) para cada

τ ∈ Γ0 = Ω0(R) y como Γ0 es invariante punto a punto respecto a la accionadj, esta accion se reduce a la identica.

b) Ω1 : E −→ Γ es un morfismo G-equivariante pues el diagrama

E Γ

E Γ

-Ω1

?

σg

?

adg

-Ω1

Conmuta

c) Ω2 : V −→ Γ es un morfismo G-equivariante pues el diagrama

V Γ

V Γ

-Ω2

?

θg

?

adg

-

Conmuta

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2.6. Conmutadores entre morfismos estructurales

Si A y B son dos subgrupos de K notamos el subgrupo de K generado por losconmutadores [X, Y ] con X ∈ A, Y ∈ B por [A,B].

Por calculo directo obtenemos:

a) [Γ0,Γ1] = 1, 1 denota el subgrupo trivial.

b) [Γ0,Γ3] = 1 lo que equivale a decir que Ω0 es un morfismo Γ3-equivariante.

c) [Γ1,Γ2] = 1

d) [Γ2,Γ0] = B donde B es generado por los conmutadores

[v, τ ] = 〈1, v, 0, 0〉〈1, 0, 0, τ〉〈1,−v, 0, 0〉〈1, 0, 0,−τ〉= 〈1, 0, v ∗ τ, 0〉

es decir B ⊆ Γ1 luego d) puede escribirse.

e) [Γ2,Γ0] ⊆ Γ1 esto es equivalente a decir que el diagrama

V ×R E

Γ× Γ Γ

-∗

?

(Ω2,Ω0)

?

Ω1

-[,]

Conmuta

f) [Γ1,Γ3] = C

donde C es generado por los conmutadores

[s, g] = 〈1, 0, s, 0〈〉g, 0, 0, 0〉〈1, 0,−s, 0〉〈g−1, 0, 0, 0〉= 〈1, 0,−σg(s) + s, 0〉

lo que significa que C ⊆ Γ1 o sea [Γ1,Γ3] ⊆ Γ1

g) Analogamente [Γ2,Γ3] ⊆ Γ2.

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2.7. La Categorıa Gal

2.7.1. Objetos

Son las cuadruplas (H, θ, σ, •) donde H es un grupo; θ : H −→ AutAbV yσ : H −→ AutAbE son representaciones de H por automorfismos de dosgrupos abelianos V y E, • : V × R −→ E es una aplicacion bilineal (R otrogrupo abeliano sobre el cual H opera trivialmente), H-equivariante.

2.7.2. Morfismos

Un morfismo del objeto (H, θ, σ, •) en el objeto (H ′, θ′, σ′, •′) es la cuadrupla(a, b, c, d) de homomorfismos.

H V E R

H ′ V ′ E ′ R′?

a

?b

?

c

?d

con b, c, d,H-equivariantes, es decir, que los diagramas

H × V V

H ′ × V ′ V ′

-θ

?

(a,b)

?

b

-θ′

H × E E

H ′ × E ′ E ′

-σ

?

(a,c)

?

c

-σ′

V ×R E

V ′ ×R′ E

-•

?

(b,d)

?

c

-•′

conmutan.

2.7.3. Composicion de morfismos

El compuesto de 2 cuadruplas es el compuesto componente a componente. Laidentidad de (H, θ, σ, •) es la cuadrupla formada por los morfismos identidad delos grupos que intervienen H,V,E y R.

2.8. El Functor Γ : Gal −→ Gr

a) Al objeto (H, θ, σ, •) le asignamos el grupo de Galileo que se construye conH, θ, σ, y • como se indica en 2.2 y se denota Γ(H, θ, σ, •).

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b) Al morfismo (a, b, c, d) : (H, θ, σ, •) −→ (H ′, θ′, σ′, •′) le asigna el morfismo(a(g), b(v), c(s), d(τ)) con g ∈ H, v ∈ V, s ∈ E y τ ∈ R; que es un homomor-fismo de grupos.

Teorema. Γ es sobreyectivo en objetos y morfismos.

Demostracion. Dado un grupoH, se construye un objeto trivial deGal(H,Ω, σ, •)donde

Ω : H −→ Aut1 σ : H −→ Aut1 • : 1 × 1 −→ 1

son las aplicaciones evidentes; de igual manera se argumenta sobre los morfismos.

La sobreyectividad del functor Γ implica que dado un grupo H podemos construirun grupo L de Galileo para H, por ejemplo el grupo tradicional de galileo es ungrupo de Galileo para SO3.

3. Caracterizacion intrınseca de los grupos de

Galileo para un grupo H

Sea L un grupo que contiene a H como subgrupo, y ademas L tiene tres subgruposabelianos E, V, y R que satisfacen:

[H,R] = 1 (4) [R,E] = 1 (5) [E, V ] = 1 (6)

[H,E] ⊆ E (7) [H,V ] ⊆ V (8) [R, V ] ⊆ E (9)

entonces

1. V hereda una estructura de H-objeto con la accion adjunta

θ : H × V −→ V

(h, v) 7−→ hvh−1 = θh(v)

por (8) θh(v) ∈ V .

2. De igual manera E es un H-objeto con la accion adjunta

σ : H × E −→ E

(h, s) 7−→ hsh−1

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3. La relacion (4) garantiza que la accion adjunta sobre R se reduce a la trivial

τ : H ×R −→ R

(h, τ) 7−→ hτh−1 = τ

Estas acciones dan lugar a representaciones de H en los grupos de auto-morfismos de V y E (La accion por automorfismos interiores se realiza porhomomorfismos).

4. Definimos la funcion

∗ : V ×R −→ E

(v, τ) 7−→ v ∗ τ = [vτ ] = vτv−1τ−1

(esta en E por (9))

Teorema. La funcion ∗ es bilineal y H-equivariante

Nota. A pesar que V es abeliano usamos la notacion multiplicativa por estarincluido en un grupo no abeliano.

Veamos que es H-equivariante, es decir que

[hvh−1, τ ] = hvh−1(τh)v−1h−1τ−1

= hv(h−1h)τv−1h−1τ−1 por (4)

= h(vτv−1τ−1)h−1

= h[v, τ ]h−1

Hasta ahora hemos construido un objeto de la Categorıa Gal partiendo de ungrupo H; comparemos la imagen de este objeto por el functor Γ con L.

Teorema. La aplicacion

J : Γ(H, θ, σ, •) −→ L

(h, v, s, τ) 7−→ τsvh

define un homomorfismo de grupos.

Demostracion. Dados dos grupos de Galileo para H y H ′ respectivamente

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J(hh′,θh(v′)v, σh(s

′)s[v, τ ], ττ ′) = ττ ′(σh(s′)s[v, τ ′])(θhv

′)v(hh′)

= ττ ′(hs′h−1)s(v, τ ′v−1τ ′−1)(hv′h−1)vhh′ por las relaciones (5) y (9)

= τ(hs′h−1)s(vτ ′v−1τ ′−1)τ ′(hv′h−1)vhh′

= τhs′h−1svτ ′v−1hv′(h−1vhv−1)vh′ y por (8)

= τhs′h−1svτ ′hv′h′

= τ(hs′h−1s′−1)s′svτ ′hv′h′ por (7) tenemos

= τs′svτ ′(hs′h−1s′−1)hv′h′ por (5) y (6)

= τsvs′τ ′(hs′h−1s′−1)hv′h por (7)

= τsvτ ′(hs′h−1s′−1)s′hv′h y por ultimo por (4)

= (τsvh)(τ ′s′v′h′)

lo que demuestra la afirmacion

Teorema. Si todo elemento l de L se expresa como un producto l = τsvh (encuyo caso J es sobre) y L0 = R, L1 = E, L2 = V, L3 = H son ajenos (es decir,LiLjLk ∩Lm = 1 con i, j, k diferentes de m ). Entonces J es un isomorfismo yL0L1L2L3 = L.

Demostracion. Como asumimos que J es sobre, resta probar que J es inyectivo.Si R,E, V y H son ajenos entonces si τsvh = 1 y tres de ellos digamos τ, v, s,son distintos de 1 pero h = 1 entonces τvs = 1 o sea τv = s−1 pero esto violala condicion de que sean ajenos en este caso, para i = 0 j = 2 m = 1 salvo quealguno de ellos sea igual a 1 lo que contradice la hipotesis.

Si solo dos de ellos, digamos τ y s son distintos de 1 pero v = 1 y h = 1 en-tonces τs = 1 o sea τ = s−1 pero como LiLjLk ∩ Lm = 1 entonces τ = s−1

implica τ = s = 1 lo que contradice la hipotesis. El otro caso es trivial por tantoKerJ = 1 y J es inyectiva.

Ademas, si J es inyectivo, es decir si τsvh = 1, entonces svh = τ−1 luegosvh = τ−1 ∈ R y τ−1

1 τ = τ−11 (svh) = 1 pero como J es inyectivo, el unico

elemento que tiene imagen 1 es τ−11 , s = 1, v = 1, y h = 1 es decir

L1L2L3 ∩ L0 = 1

analogamente en los demas casos entonces L0, L1, L2 y L3 son ajenos en L.

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4. Generalizacion Categorica

Las construcciones que nos han conducido a los grupos de Galileo para un grupoH, pueden extenderse a contextos categoricos mas generales.

En una categorıa C existen las nociones que fueron indispensables para la cons-truccion, a saber:

1. La nocion de objeto grupo y objeto grupo abeliano.

2. La nocion de G-objeto para un objeto grupo G de C.

Dada una categorıa C, consideremos la categorıa de los functores contravariantesde C en la categorıa de los conjuntos Conj.

Los morfismos son las transformaciones naturales. Esta categorıa la denotamosC∧. Hay una inclusion natural de C en C∧ que asocia a cada objeto x de C elfunctor

hx = C[ , x]

donde [ , x] es el conjunto de morfismos de objetos de C con meta en x.

Sea G : C −→ Gr, R,E y V : C −→ Ab functores contravariantes. Una accion deG sobre un functor F : C −→ Ab es una transformacion natural µ : G×F −→ Ftal que: para cada x de C,F (x) es un G-objeto de Ab a traves de µ, es decir

µx : G(x)× F (x) −→ F (x)

con

µx(gg′, u) = µx(g, µx(g

′u))

µx(1, u) = u

µx(g, u+ u′) = µx(g, u) + µx(gu′)

Supondremos que hay acciones σ : G×E −→ E, θ : G×V −→ V, i : G×R −→ Ry ademas una accion

•x : V ×R −→ E

que es

1. Una transformacion natural del functor producto V ×R en el functor E.

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2. Bilineal, en el sentido que para cada x en C

• : V (x)×R(x) −→ E(x) es Z-bilineal

3. Para cada x ∈ C, es G(x)-equivariante.

Nota. En V (x)× R(x) la accion de G(x) es la accion producto. La informacionanterior se puede resumir en un functor que notaremos

(G, θ, σ, •) : C −→ Gal

y que en un x de C da lugar al objeto de Gal (G(x), θx, σx, •x) y sobre los mor-fismos actua de manera evidente.

Ejemplo 3. Sea C = [0] la categorıa con un solo objeto y el morfismo identico,entonces el functor G : C −→ Gr es un grupo en la categorıa de los conjuntos,R,E y V son grupos abelianos, las acciones σ, θ y • son las definidas en losnumerales anteriores y el functor (G, θ, σ, •) es un objeto de la categorıa Gal.

Ejemplo 4. Sea C = [1] = 0 → 1 la categorıa formada por los objetos 0 y 1,los morfismos identidad y un morfismo de 0 a 1; entonces (G, θ, σ, •) de C en Gales un morfismo de Gal.

Ejemplo 5. Sea C = [2] = 0→ 1→ 2 entonces (G, θ, σ, •) es un triangulo enGal, es decir tres objetos A,B,C en Gal con tres morfismos

A B

C

-

@@@@R ?

tales que el diagrama conmuta.

Ejemplo 6. Sea C = Top, (la categorıa de los espacios topologicos con lasfunciones continuas). Un objeto grupo G en Top es un grupo topologico, E, V yR son grupos topologicos abelianos. En particular tenemos

GL(n,R) = G, E = V = Rn, R = R

la accion de G sobre E y V es la accion natural (que es continua) y

• : V ×R −→ E es el producto por un escalar

Nota. Aquı el functor G : Top[ , GL(n,R)] es representable y por tanto usamossu representante.

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Sean G,E,R y V functores representables en la categorıa C, es decir que existeun objeto C en G tal que G(x) es canonicamente isomorfo a C(x,G), de igualmanera existen E y V en C que representan a E y V respectivamente.

Supongamos ademas que el functor G×V ×E×R es representable, es decir, queexiste en la categorıa C el objeto G× V ×E ×R en este caso Γ(G, θ, σ, •) es unfunctor representable de la categorıa C.

Ejemplo 7. En el ejemplo 3 el grupo Galileo resultante es un grupo topologico.

Ejemplo 8. Sea C = V ar la categorıa de las variedades diferenciables C∞ bas-ta cambiar las expresiones “grupo topologico” y “grupo topologico abeliano” y“espacio topologico” del ejemplo 6 por los correspondientes grupos de Lie, grupode Lie abeliano y variedad diferenciable respectivamente y el grupo de Galileoresultante tiene estructura de grupo de Lie[4].

Referencias

[1] ARNOLD D, VI., Mecanica Clasica: Metodo matematico, Paraninfo, Madrid(1983). p.p 16-17

[2] KARPILOVSKI, G., The Algebraic Structure of Crossed Products, Noth Ho-lland, New York, (1987)

[3] BOURBAKI, N., Elements de Mathematique Algebre, Hermann, Paris,(1970), p.p 63-64

[4] TONDEUR, P; Introduction to Lie groups and transformation groups, Lec-ture notes in Mathematics, Springer, 1969.

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