15a-guénon, rené -los principios cálculo infinitesimal

7/26/2019 15a-Guénon, René -Los Principios Cálculo Infinitesimal

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LOS PRINCIPIOS DELCÁLCULO

INFINITESIMAL

RENÉ GUÉNON



ÍNDICE

Prólogo

Capítulo I.- Infinito e indefinido

" II.- La contradicción del número infinito

" III.- La multitud innumerable

" I.- La medida de lo continuo

" .- Cue!tione! planteada! por el mtodo infinite!imal

" I.- La! "ficcione! bien fundada!"

" II.- Lo! "grado! de infinitud"

" III.- "Di#i!ión al infinito$ o di#i!ibilidad indefinida

" I%.- Indefinidamente creciente e indefinidamente decreciente

" %.- Infinito & continuo

" %I.- La "le& de continuidad"

" %II.- La noción de límite

" %III.- Continuidad & pa!o al límite

" %I.- La! "cantidade! de!#aneciente!"

" %.- Cero no e! un número

" %I.- La notación de lo! número! negati#o!

" %II.- 'epre!entación del e(uilibrio de fuer)a!

" %III.- Cantidade! #ariable! & cantidade! fi*a!

" %I%.- La! diferenciacione! !uce!i#a!" %%.- Diferente! órdene! de indefinidad

" %%I.- Lo indefinido e! inagotable analíticamente

" %%II.- Car+cter !inttico de la integración

" %%III.- Lo! argumento! de ,enón de Elea

" %%I.- erdadera concepción del pa!o al límite

" %%.- Conclu!ión

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LES PRINCIPES DU CALCUL INFINITÉSIMAL Pari! allimard /012 /03/ /004 /0056/78 p+gina!9 :4;/1 cm. colección "<radition"=. >ormado por :7 capítulo!.

<raduccione! al e!pa?ol@ Los Principios del Cálculo Infinitesimal Aan) & <orre!BIgnitu!

adrid :885 6trad. de Pedro 'odea /03 p+g!.=. Metafísica del Número Edicione! íaDirecta alencia :885 6trad. de . imne) /1: p+g!.=.

<raduccione! al italiano@ I Principi del Calcolo Infinitesimale delpFi il+n :8//6traducción de Pietro ori ::4 pp.=. La metafisica del numero. Principi del calcoloinfinitesimale rGto! Carmagnola /008.

<raducción al ingl!@ Metaphysical Principles of the Infinitesimal Calculus /003. Ha)iCFicago :88/. AopFia Perenni! Fent 6Nue#a orG= :884 6rú!tica= :881 6tela=6traducción de Jenr& D. >oFr & icFael llen=.

<raducción al portugu!@ Princípios do Cálculo Infinitesimal I'E< Aao Paulo 6<rad. de

Lui) ambogi=.

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PRÓLOGO

Ai bien puede parecer al meno! a primera #i!ta (ue el pre!ente e!tudio !ólo tiene uncar+cter un tanto "e!pecial" no! Fa parecido útil emprenderlo para preci!ar & e;plicar demodo m+! completo cierta! nocione! a la! (ue Femo! tenido (ue recurrir en la! di#er!a!oca!ione! en la! (ue no! Femo! !er#ido del !imboli!mo matem+tico & e!ta ra)ón

ba!taría para *u!tificarlo !in m+!. Ain embargo debemo! decir (ue a ella !e a?aden otra!ra)one! !ecundaria! (ue !e refieren !obre todo a lo (ue podríamo! llamar el a!pecto"Fi!tórico" de la cue!tión9 a!pecto (ue no carece de inter! de!de nue!tro punto de #i!taen el !entido de (ue toda! la! di!cu!ione! (ue !e Fan planteado acerca de la naturale)a &#alor del c+lculo infinite!imal ofrecen un e*emplo palpable de la au!encia de principio! (uecaracteri)a a la! ciencia! profana! e! decir la! única! ciencia! (ue lo! moderno!conocen & la! única! (ue conciben como po!ible!. Jemo! ob!er#ado mucFa! #ece! (uela ma&oría de e!a! ciencia! aun en la medida en (ue corre!ponden a una determinadarealidad no repre!entan !ino !imple! re!iduo! de!naturali)ado! de alguna! de la!antigua! ciencia! tradicionale!9 e! la parte inferior de !ta! (ue perdida !u relación conlo! principio! & por ello perdido tambin !u #erdadero !ignificado original llegó ade!arrollar!e en forma independiente & !er con!iderada como un conocimiento (ue !e

ba!ta a !í mi!mo aun(ue en #erdad !u #alor propio como conocimiento !e #e reducidopreci!amente por e!o a poco m+! (ue nada. E!to e! m+! e#idente en el ca!o de la!ciencia! fí!ica! pero como lo Femo! e;plicado en otra parte 1 ni aun la! matem+tica!moderna! !on una e;cepción al re!pecto !i !e la! compara con lo (ue era para lo!antiguo! la ciencia de lo! número! & la geometría9 & cuando Fablamo! a(uí de antiguo!Fa& (ue incluir tambin la antigKedad "cl+!ica" como ba!taría para demo!trarlo el menor e!tudio de la! teoría! pitagórica! & platónica! o debería ba!tar !i no fuera por lae;traordinaria incompreFen!ión de (uiene! Fo& día pretenden interpretarla!9 !i e!taincompreFen!ión no fue!e tan completa cómo !e podría !o!tener por e*emplo laopinión de un origen "empírico" de la! ciencia! en cue!tión !iendo (ue en realidadaparecen tanto m+! ale*ada! de todo "empiri!mo" cuanto m+! no! remontamo! en eltiempo lo cual adem+! ocurre igualmente para toda otra rama del conocimientocientíficoM Lo! matem+tico! en la poca moderna & mu& e!pecialmente en la pocacontempor+nea parecen Faber llegado a ignorar lo (ue e! #erdaderamente el número9 &no no! referimo! !olamente al número tomado en el !entido analógico & !imbólico en (uelo entendían lo! Pitagórico! & lo! Habali!ta! lo (ue e! e#idente !ino tambin lo (uepuede parecer e;tra?o & Fa!ta paradó*ico al número en !u acepción propia &!implemente cuantitati#a. En efecto lo! matem+tico! reducen toda !u ciencia al c+lculocon la ma&or e!trecFe) de concepción al re!pecto e! decir con!iderado como un !implecon*unto de procedimiento! m+! o meno! artificiale! & (ue en !uma !ólo #alen por la!aplicacione! pr+ctica! a (ue dan lugar. En el fondo e(ui#ale a decir (ue reempla)an alnúmero por la cifra & por lo dem+! e!ta confu!ión del número con la cifra e!t+ tan

difundida en nue!tro! día! (ue f+cilmente !e la podría Fallar a cada momento Fa!ta en la!e;pre!ione! del lengua*e corriente2. En rigor la cifra no e! m+! (ue la #e!tidura delnúmero9 ni !i(uiera decimo! !u cuerpo &a (ue m+! bien e! la forma geomtrica la (ue encierto! a!pecto! podría !er con!iderada legítimamente como lo (ue con!titu&e el#erdadero cuerpo del número como lo demue!tran la! teoría! de lo! antiguo! !obre lo!polígono! & lo! poliedro! en !u relación directa con el !imboli!mo de lo! número!9 & elloconcuerda adem+! con el FecFo de (ue toda "incorporación" implica nece!ariamenteuna "e!paciali)ación". Ain embargo no (ueremo! decir (ue la! cifra! mi!ma! !ean !igno!enteramente arbitrario! cu&a forma !ólo Fubie!e !ido determinada por la fanta!ía de unoo de #ario! indi#iduo!9 tiene (ue Faber caractere! numrico! como Fa& caractere!

/ a!e Le Règne de la Quantit et les !ignes des "emps.

: Ja!ta e;i!ten "p!eudo-e!oteri!ta!" (ue !aben tan poco de lo (ue Fablan (ue nunca de*an decometer e!ta mi!ma confu!ión en la! imaginati#a! elucubracione! con la! (ue pretenden !u!tituir ala ciencia tradicional de lo! número!.

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alfabtico! de lo! cuale! por otra parte no !e di!tinguen en cierta! lengua! 3 & tanto auno! como a otro! !e puede aplicar la noción de un origen *eroglífico e! decir ideogr+ficoo !imbólico (ue #ale para toda! la! e!critura! !in e;cepción por m+! (ue e!te origen(uede di!imulado en cierto! ca!o! por deformacione! o alteracione! m+! o meno!reciente!. Lo cierto e! (ue lo! matem+tico! emplean en !u notación !ímbolo! cu&o !entidode!conocen & (ue !on como #e!tigio! de tradicione! ol#idada!9 & lo m+! gra#e e! (ue no

!olamente no !e preguntan cu+l puede !er e!e !entido !ino (ue Fa!ta parecen no (uerer (ue lo Fa&a. En efecto tienden cada #e) m+! a con!iderar toda notación como una !imple"con#ención" entendida como algo (ue !e e!tablece de manera arbitraria lo cual en elfondo e! una #erdadera impo!ibilidad &a (ue nunca !e e!tablece una con#encióncual(uiera !in tener alguna ra)ón para Facerlo & para elegir preci!amente !a & no otra9!ólo a (uiene! ignoran e!a ra)ón la con#ención puede parecerle! arbitraria a!í como !óloa (uiene! ignoran la! cau!a! de un FecFo !te puede parecerle! "fortuito"9 e!e;actamente lo (ue pa!a a(uí & en ello !e puede #er una de la! con!ecuencia! m+!e;trema! de la au!encia de todo principio (ue puede llegar a Facer perder a la ciencia 6oa lo a!í llamado &a (ue entonce! no merece tal nombre= toda !ignificación plau!ible. Por otra parte el FecFo mi!mo de la concepción actual de una ciencia e;clu!i#amentecuantitati#a Face (ue e!e "con#encionali!mo" !e e;tienda poco a poco de!de la!

matem+tica! Facia la! ciencia! fí!ica! en !u! teoría! m+! reciente! (ue a!í !e ale*ancada #e) m+! de la realidad (ue pretenden e;plicar. De e!to no! Femo! ocupado!uficientemente en otra obra lo (ue no! di!pen!a de in!i!tir m+! en e!te punto tanto m+!cuanto (ue !ólo de la! matem+tica! #amo! a ocuparno! aFora en particular. e!te puntode #i!ta !ólo agregaremo! (ue cuando !e pierde tan completamente de #i!ta el !entidode una notación e! dema!iado f+cil pa!ar de !u u!o legítimo & #+lido a un u!o ilegítimo(ue &a no corre!ponde a nada & (ue Fa!ta puede !er totalmente ilógico9 e!to puedeparecer ba!tante e;tra?o trat+ndo!e de una ciencia como la! matem+tica! (ue deberíanguardar #ínculo! particularmente e!trecFo! con la lógica & !in embargo e! bien cierto (ue!e pueden ob!er#ar múltiple! falta! de lógica en la! nocione! matem+tica! tal como !e la!encara comúnmente en nue!tra poca. no de lo! e*emplo! m+! notable! de tale! nocione! ilógica! & (ue e! el primero (uedeberemo! enfocar a(uí aun(ue no !ea el único (ue #amo! a encontrar en el cur!o denue!tra e;po!ición e! el del pretendido infinito matem+tico o cuantitati#o (ue e! la fuentede ca!i toda! la! dificultade! (ue !e Fan le#antado contra el c+lculo infinite!imal o (ui)+m+! e;actamente contra el mtodo infinite!imal pue!to (ue Fa& en l algo (ue noimporta lo (ue pien!en lo! "con#encionali!ta!" !obrepa!a el alcance de un !imple"c+lculo" en el !entido ordinario del trmino9 no Fa& otra e;cepción (ue Facer (ue lareferida a a(uella! dificultade! (ue pro#ienen de una concepción errónea o in!uficiente dela noción de "límite" indi!pen!able para *u!tificar el rigor de e!te mtodo infinite!imal &Facer de l algo m+! (ue un !imple mtodo de apro;imación. Por otro lado como#eremo! Fa& (ue Facer una di!tinción entre a(uello! ca!o! en (ue el !upue!to infinito!ólo e;pre!a un ab!urdo puro & !imple e! decir una idea contradictoria en !í mi!ma

como la del "número infinito" & a(uello! otro! en (ue !olamente !e lo emplea de maneraabu!i#a en el !entido de indefinido9 pero no por ello !e debe creer (ue la confu!ión entreinfinito e indefinido !e reduce a una !imple cue!tión de palabra! pue! en #erdad ella pe!a!obre la! idea! mi!ma!. Lo !ingular e! (ue e!ta confu!ión (ue Fubiera ba!tado di!ipar para terminar con tanta! di!cu!ione! Fa&a !ido cometida por el propio Leibnit) a (uien

4 El Febreo & el griego e!t+n en e!e ca!o & el +rabe tambin lo e!taba ante! de introducir!e el u!ode la! cifra! de origen indio (ue luego m+! o meno! modificada! pa!aron de aFí a la Europa dela Edad edia9 al re!pecto !e puede !e?alar (ue la palabra "cifra" no e! !ino el #ocablo +rabe #ifr aun(ue !te en realidad de!igna al cero. E! #erdad (ue por otra parte en Febreo safar !ignifica"contar" o "numerar" & al mi!mo tiempo "e!cribir" de dónde sefer "e!critura" o "libro" 6en +rabesifr (ue de!igna particularmente un libro !agrado= & sefar$ "numeración" o "c+lculo"9 de e!ta última

palabra #iene tambin la de!ignación de la! !efirot de la H+bala (ue !on la! "numeracione!" principiales a!imilada! a lo! atributo! di#ino!. (N. del T.: Se ha traducido como principial el termino

francés principielle, aludiendo a los principios universales, a diferencia de principal (principal, también en

francés).

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!uele con!iderar!e el in#entor del c+lculo infinite!imal. No!otro! diríamo! m+! bien !u"formulador" pue! e!te mtodo corre!ponde a cierta! realidade! (ue como tale! tienenuna e;i!tencia independiente de (uien la! concibe & la! e;pre!a m+! o meno!perfectamente. La! realidade! del orden matem+tico como toda! la! dem+! !ólo pueden!er de!cubierta! & no in#entada! mientra! (ue por el contrario Fa& #erdadera in#encióncuando como !ucede a menudo en e!te dominio uno !e de*a lle#ar en el "*uego" de la!notacione! Fa!ta el terreno de la fanta!ía pura9 pero e! mu& difícil Facer comprender e!ta

diferencia a uno! matem+tico! (ue de buena gana !e imaginan (ue toda !u ciencia no e!ni debe !er otra co!a (ue una "con!trucción del e!píritu Fumano" lo cual !i Fubiera (uecreerlo de*aría toda e!a ciencia reducida a mu& poco. Aea de ello lo (ue fuere Leibnit)no !upo nunca e;plicar!e claramente !obre lo! principio! de !u c+lculo & ellopreci!amente e! lo (ue mue!tra (ue Fabía en !te algo (ue lo !obrepa!aba (ue !e leimponía de alguna manera !in (ue l tu#ie!e conciencia de ello9 por cierto !i !e Fubie!edado cuenta no !e Fabría trabado en una di!puta de "prioridad" con NeOton !obre e!tetema. Por otra parte e!a cla!e de di!puta! !iempre !on perfectamente #ana! pue! la!idea! cuando !on #erdadera! no pertenecen en propiedad a nadie a pe!ar del"indi#iduali!mo" moderno & !ólo el error puede !er atribuido con propiedad a lo!indi#iduo! Fumano!. No no! e;tenderemo! m+! !obre e!ta cue!tión (ue no! lle#aríadema!iado le*o! del ob*eto de nue!tro e!tudio aun(ue (ui)+! no !ea inútil en cierto!

a!pecto! Facer comprender (ue el papel (ue de!empe?an lo! llamado! "grande!Fombre!" e! mucFa! #ece! en gran parte un papel de "receptore!" pe!e a (ue ello!mi!mo! !uelen !er lo! primero! en ilu!ionar!e acerca de !u "originalidad". Lo (ue no! concierne m+! directamente por el momento e! lo !iguiente@ !icomprobamo! !eme*ante! in!uficiencia! en Leibnit) in!uficiencia! (ue !on tanto m+!gra#e! cuanto (ue ata?en a cue!tione! de principio! (u !er+ de lo! dem+! filó!ofo! &matem+tico! moderno! a lo! cuale! l a pe!ar de todo e! mu& !uperiorM E!ta!uperioridad la debe en parte a !u! e!tudio! de la! doctrina! e!col+!tica! de la Edadedia aun(ue no !iempre la! Fa&a entendido a fondo & por otra parte a cierto! dato!e!otrico! de origen o in!piración principalmente ro!acruciana4 dato! e#identementemu& incompleto! & Fa!ta fragmentario! & (ue a #ece! aplicó ba!tante mal como #eremo!en alguno! e*emplo! a(uí mi!mo. Con tale! do! "fuente!" como dicen lo! Fi!toriadore!con#iene relacionar en definiti#a ca!i todo lo realmente #alio!o (ue Fa& en !u! teoría! &!on ella! tambin la! (ue le permiten reaccionar aun(ue imperfectamente contra elcarte!iani!mo (ue repre!entaba entonce! en el doble dominio filo!ófico & científico todoel con*unto de tendencia! & de concepcione! m+! e!pecíficamente moderna!. E!ta!ob!er#acione! !on !uficiente! para e;plicar en poca! palabra! lo (ue fue Leibnit) & !i !e(uiere comprenderlo no Fabr+ (ue perder de #i!ta *am+! e!ta! indicacione! generale!(ue por e!ta ra)ón Femo! creído bueno formularla! de!de el inicio. Pero &a e! Fora dede*ar e!ta! con!ideracione! preliminare! & entrar de lleno en el e;amen de la! cue!tione!(ue no! permitir+n determinar el #erdadero !ignificado del c+lculo infinite!imal.

1 La marca innegable de e!te origen !e encuentra en la figura Fermtica colocada por Leibnit) a lacabe)a de !u tratado %e &rte Com'inatoria@ e! una repre!entación de la Rota Mundi en la cual enel centro de la doble cru) de lo! elemento! 6fuego & agua aire & tierra= & de la! cualidade! 6caliente

& frío !eco & Fúmedo= la (uinta essentia e!t+ !imboli)ada por una ro!a de cinco ptalo!6corre!pondiente al ter con!iderado en !í mi!mo & como principio de lo! otro! cuatro elemento!=9naturalmente e!ta "!ignatura" Fa pa!ado completamente inad#ertida para todo! lo! comentari!ta!uni#er!itario!!

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R)"& M*N%I EN %+ &R"+ C)M,IN&")RI& -No aparece en el original francs.

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Capí!"# I$ INFINITO E INDEFINIDO

Aiguiendo el punto de #i!ta permanente de toda ciencia tradicional & procediendo encierto modo en un !entido in#er!o al de la ciencia profana debemo! plantear a(uí enprimer lugar el principio (ue no! permitir+ re!ol#er a continuación de forma ca!i

inmediata la! dificultade! a (ue Fa dado lugar el mtodo infinite!imal !in de*arno!e;tra#iar en di!cu!ione! (ue de otra forma podrían !er interminable! como lo !on deFecFo para lo! filó!ofo! & lo! matem+tico! moderno! (ue dado (ue dicFo principio le!falta nunca llegan a encontrar una !olución !ati!factoria & definiti#a a e!ta! dificultade!.E!te principio e! la noción mi!ma de Infinito entendida en !u #erdadero !entido (ue e! elpuramente metafí!ico & a e!te re!pecto !ólo tenemo! (ue recordar bre#emente lo (ue &aFemo! e;pue!to con m+! profundidad en otra parte1@ el Infinito e! propiamente lo (ue notiene límite! &a (ue finito e! e#identemente !inónimo de limitado9 por tanto e!ta palabrano puede aplicar!e !in abu!o m+! (ue a a(uello (ue no tiene ab!olutamente ningúnlímite e! decir al <odo uni#er!al (ue inclu&e en !í mi!mo toda! la! po!ibilidade! & (ueen con!ecuencia no podría e!tar limitado de ninguna manera por nada9 el Infinito a!íentendido e! metafí!ica & lógicamente nece!ario &a (ue no !olamente no puede implicar

ninguna contradicción al no contener en !í mi!mo nada de negati#o !ino (ue por elcontrario e! !u negación lo (ue !ería contradictorio. dem+! e#identemente !ólo puedee;i!tir un Infinito &a (ue do! infinito! di!tinto! !e limitarían el uno al otro & por lo tanto !ee;cluirían mutuamente9 en con!ecuencia !iempre (ue !e emplea la palabra "infinito" enun !entido diferente al (ue acabamo! de e;poner podemo! tener la certe)a a priori de(ue e!te empleo e! nece!ariamente abu!i#o &a (ue con!i!te en !uma o en ignorar li!a &llanamente el Infinito metafí!ico o en !uponer la e;i!tencia !imult+nea de otro infinito. E! cierto (ue lo! e!col+!tico! admitían la e;i!tencia de lo (ue llamaban infinitumsecundum (uid (ue di!tinguían cuidado!amente del infinitum a'solutum el único (ue e!Infinito metafí!ico9 pero !ólo podemo! #er en e!to una imperfección de !u terminología &a(ue !i e!ta di!tinción le! permitía e!capar a la contradicción de una pluralidad de infinito!entendido! en el !entido correcto no e! meno! cierto (ue e!te doble empleo de la palabrainfinitum corría el rie!go de originar múltiple! confu!ione! & (ue adem+! uno de lo!!entido! (ue le daban era de e!ta forma totalmente impropio &a (ue decir (ue algo e!infinito !olamente en lo relati#o a cierto a!pecto como corre!ponde al !ignificado e;actode la e;pre!ión infinitum secundum (uid e! lo mi!mo (ue afirmar (ue en realidad no e!en ab!oluto infinito2. En efecto por(ue una co!a no !ea limitada en un determinado!entido o ba*o cierto a!pecto no !e puede legítimamente concluir de ello (ue no e!t+limitada en ab!oluto lo cual !ería nece!ario para (ue fuera #erdaderamente infinita9 no!olamente puede !er al mi!mo tiempo limitada ba*o otro! a!pecto! !ino (ue inclu!opodemo! decir (ue nece!ariamente lo e! de!de el momento en (ue e! algo limitado &(ue por !u mi!ma determinación no inclu&e toda! la! po!ibilidade! &a (ue e!to e(ui#alea decir (ue e!t+ limitada por lo (ue de*a fuera de ella9 !i por el contrario el <odo uni#er!al

e! infinito e! preci!amente por(ue no de*a nada fuera de l

3

. <oda determinación por mu& general (ue pueda !uponer!e & cual(uiera (ue !ea la e;ten!ión (ue pueda recibire! por tanto nece!ariamente e;clu&ente de la #erdadera noción de infinito49 unadeterminación cual(uiera (ue !ea !iempre e! una limitación &a (ue tiene por car+cter

/ Les +tats multiples de l/0tre$ capítulo /Q.

: E! con un !entido ba!tante pró;imo a !te (ue Apino)a empleó m+! tarde la e;pre!ión "infinito en!u gnero" lo (ue da lugar e#identemente a la! mi!ma! ob*ecione!.

4 Ae puede decir adem+! (ue no de*a fuera de l nada m+! (ue la impo!ibilidad la cual al !er unapura nada no podría limitarle de ninguna manera.

1

E!to e! igualmente cierto para la! determinacione! de orden uni#er!al & no !implemente generalincluido el Aer mi!mo (ue e! la primera de toda! la! determinacione!9 pero !e !obreentiende (uee!ta con!ideración no tiene (ue inter#enir en la! aplicacione! únicamente co!mológica! (uetratamo! en el pre!ente e!tudio.

%



#erdad. En re!umen !iempre (ue !e trate de una co!a determinada de una po!ibilidadconcreta podemo! e!tar !eguro! a priori & por e!ta mi!ma ra)ón de (ue e! limitada &podemo! decir (ue limitada por !u propia naturale)a & e!to !igue !iendo cierto aún en elca!o de (ue por la ra)ón (ue !ea en el momento pre!ente no podamo! alcan)ar !u!límite!9 pero e! preci!amente e!ta impo!ibilidad de alcan)ar lo! límite! de alguna! co!a!e inclu!o a #ece! de concebirlo! con claridad lo (ue produce al meno! entre a(uello!(ue carecen del principio metafí!ico la ilu!ión de (ue e!ta! co!a! no tienen límite! &

dig+mo!lo de nue#o e! e!ta ilu!ión & !ólo ella la (ue !e formula en la afirmacióncontradictoria de un "infinito determinado". E! a(uí donde inter#iene para rectificar e!tanoción fal!a o m+! bien para reempla)arla por un concepto #erdadero de la! co!a! 7 laidea de lo indefinido (ue e! preci!amente la idea de un de!arrollo de po!ibilidade! de la!(ue no podemo! alcan)ar actualmente lo! límite!9 & por ello #emo! como fundamental entoda! la! cue!tione! donde aparece el !upue!to infinito matem+tico la di!tinción entre loInfinito & lo indefinido. Ain duda re!ponde a e!to en la intención de !u! autore! ladi!tinción e!col+!tica entre infinitum a'solutum e infinitum secundum (uid 9 de!de luegore!ulta fa!tidio!o (ue Leibnit) (ue !in embargo tanto tomó pre!tado de la e!col+!ticaFa&a de!cuidado o ignorado !ta &a (ue por mu& imperfecta (ue fuera la forma en la (ue!e e;pre!ara Fabría podido !er#ir para re!ponder con ba!tante facilidad a alguna! de la!ob*ecione! le#antada! contra !u mtodo. Por el contrario parece claro (ue De!carte!

intentó e!tablecer la di!tinción en cue!tión pero (ue e!tu#o mu& le*o! de Faberlae;pre!ado e inclu!o concebido con !uficiente claridad &a (ue !egún l lo indefinido e!a(uello de lo (ue no podemo! #er lo! límite! & (ue podría !er en realidad infinito aun(ueno podamo! afirmar (ue lo e! cuando la #erdad e! (ue podemo! por el contrario afirmar (ue no lo e! & (ue no Fa& ninguna nece!idad de #er !u! límite! para e!tar !eguro! de(ue e;i!ten9 !e ob!er#a por tanto cu+nto de #ago & de lamentable Fa& en todo ello &debido !iempre a la mi!ma falta de principio. En efecto dice De!carte!@ " para no!otro!al #er co!a! en la! (ue en cierto !entido8 no ob!er#amo! límite! no afirmaremo! por e!to (ue !ean infinita! !ino (ue únicamente la! con!ideraremo! como indefinida!"%. dacomo e*emplo! la e;ten!ión & la di#i!ibilidad de lo! cuerpo!9 no a!egura (ue e!ta! co!a!!ean infinita! pero !in embargo tampoco parece (uerer negarlo formalmente tanto m+!cuanto (ue declara (ue no de!ea "entrar en la! di!puta! !obre el infinito" lo (ue re!ultauna manera dema!iado f+cil de e!capar a la! dificultade! & !i bien afirma un pocode!pu! (ue "aun(ue ob!er#amo! en ella! propiedade! (ue no parecen tener ningúnlímite no de*amo! de !aber (ue e!to procede de nue!tro entendimiento & no de !unaturale)a"1&. En re!umen (uiere con ra)ón re!er#ar el nombre de infinito a lo (ue nopuede tener ningún límite9 pero por una parte no parece !aber con la certe)a ab!oluta(ue implica todo conocimiento metafí!ico (ue lo (ue no po!ee ningún límite no puede !er otra co!a (ue el <odo uni#er!al & por otra la noción mi!ma de lo indefinido nece!ita !er preci!ada mucFo m+! de lo (ue l lo Fa FecFo9 de otro modo !in duda un gran número deconfu!ione! po!teriore! no !e Fabrían producido tan f+cilmente11.

5 Ja& lugar con todo el rigor lógico a Facer una di!tinción entre "fal!a noción" 6o !i !e prefierep!eudonoción= & "noción fal!a"@ una "noción fal!a" e! la (ue no !e corre!ponde adecuadamente a

la realidad aun(ue !e corre!ponda con ella en cierta medida9 por el contrario una Sfal!a nociónS e!la (ue implica contradicción como en e!te ca!o de forma (ue no e! #erdaderamente una nociónni !i(uiera fal!a aun(ue tenga e!ta apariencia para a(uello! (ue no !e dan cuenta de lacontradicción &a (ue al no e;pre!ar m+! (ue lo impo!ible (ue e! lo mi!mo (ue la nada nocorre!ponde ab!olutamente a nada9 una "noción fal!a" e! !u!ceptible de !er rectificada pero una"fal!a noción" !ólo puede !er li!a & llanamente recFa)ada.

3 E!ta! palabra! parecen (uerer recordarno! el secundum (uid e!col+!tico & podría !er a!í (ue laintención primera de la fra!e (ue citamo! Fa&a !ido criticar indirectamente la e;pre!ión infinitumsecundum (uid2

0 Principes de la Philosophie I :2.

/& I'id2 I :5.

/1 Por ello arignon en !u corre!pondencia con Leibnit) relati#a al c+lculo infinite!imal empleaindi!tintamente la! palabra! "infinito" e "indefinido" ca!i como !i fueran !inónima! o como !i por lo

11



Decimo! (ue lo indefinido no puede !er infinito &a (ue !u concepto implica !iemprecierta determinación !e trate de la e;ten!ión de la duración de la di#i!ibilidad o decual(uier otra po!ibilidad9 en una palabra lo indefinido cual(uiera (ue !e trate & !ea cual!ea el a!pecto ba*o el cual !e pre!ente !igue !iendo finito & no puede !er otra co!a (uefinito. Ain duda lo! límite! !e ale*an Fa!ta !ituar!e fuera de nue!tro alcance al meno!mientra! intentemo! alcan)arlo! de una manera (ue podríamo! denominar "analítica"como e;plicaremo! m+! completamente a continuación9 pero no por e!o (uedan

!uprimido! & en todo ca!o !i la! limitacione! de un determinado orden pudieraneliminar!e (uedarían toda#ía otra! (ue !e refieren a la naturale)a mi!ma de lo (uee!tamo! tratando &a (ue en #irtud de !u naturale)a & no !implemente de cual(uier circun!tancia m+! o meno! e;terior o accidental toda co!a particular e! finita por mucFo(ue !e amplíe la e;ten!ión de la (ue e! !u!ceptible. Ae puede !ubra&ar a e!te re!pecto(ue el !igno con el (ue lo! matem+tico! repre!entan el !upue!to infinito e! en !ími!mo una figura cerrada & por tanto #i!iblemente finita del mi!mo modo (ue el círculodel (ue alguno! pretenden Facer un !ímbolo de la eternidad e#identemente no puede !er otra co!a (ue una repre!entación de un ciclo temporal indefinido !olamente en !u ordene! decir en lo (ue !e llama propiamente la perpetuidad129 & e! f+cil #er (ue e!ta confu!iónentre eternidad & perpetuidad tan común entre lo! occidentale! moderno! !e pareceba!tante a la de lo Infinito & lo indefinido.

Para Facer comprender me*or la idea de lo indefinido & la manera en (ue !te !e formaa partir de lo finito entendido en !u acepción ordinaria podemo! con!iderar un e*emplocomo el de la !erie de lo! número!@ en !ta e#identemente nunca re!ulta po!ibledetener!e en un punto determinado &a (ue de!pu! de todo número !iempre e;i!te otro(ue !e obtiene al a?adirle la unidad9 en con!ecuencia e! nece!ario (ue la limitación dee!ta !erie indefinida !ea de otro orden (ue la (ue !e aplica a un con*unto definido denúmero! tomado! entre do! número! determinado! cuale!(uiera9 por tanto e! nece!ario(ue !e refiera no a propiedade! particulare! de cierto! número! !ino a la naturale)ami!ma del número en toda !u amplitud e! decir a la determinación (ue con!titu&endoe!encialmente e!ta naturale)a Face a la #e) (ue el número !ea lo (ue e! & no !ea otraco!a. Ae podría repetir e;actamente la mi!ma ob!er#ación !i !e tratara no &a del número!ino del e!pacio o del tiempo con!iderado! del mi!mo modo en toda la e;ten!ión de (ue!on !u!ceptible!139 e!ta e;ten!ión por mu& indefinida (ue !e la conciba & (ueefecti#amente !ea no podr+ nunca permitirno! !alir de lo finito. E!to e! debido a (ue enefecto mientra! (ue lo finito pre!upone nece!ariamente lo Infinito &a (ue e! !te el (uecomprende & engloba toda! la! po!ibilidade! lo indefinido procede al contrario de lo finito&a (ue no !e trata en realidad m+! (ue de un de!arrollo al cual e! !iempre por lo tantoreductible &a (ue e! e#idente (ue no !e puede deducir de lo finito por cual(uier procedimiento (ue !ea nada m+! ni ninguna otra co!a (ue lo (ue e!taba contenidopotencialmente en l. Para retomar el mi!mo e*emplo de la !erie de lo! número!podemo! decir (ue e!ta !erie con toda la indefinidad (ue comporta no! e! dada por !ule& de formación &a (ue e! de e!ta le& de la (ue re!ulta !u indefinidad 9 !in embargo e!tale& con!i!te en (ue dado un número cual(uiera !e forma el !iguiente a?adindole la

unidad. La !erie de lo! número! !e forma por tanto por medio de adicione! !uce!i#a! dela unidad a !í mi!ma repetida! indefinidamente lo (ue en el fondo no e! m+! (ue la

meno! fuera en cierto modo lo mi!mo emplear una (ue la otra cuando mu& al contrario e! ladiferencia de !u! !ignificado! lo (ue en toda! e!ta! di!cu!ione! Fabría debido con!iderar!e comoel punto e!encial.

/2 De nue#o con#iene !ubra&ar (ue como Femo! e;plicado en otra! oca!ione! un ciclo de e!tetipo nunca e! #erdaderamente cerrado !ino (ue únicamente parece !erlo cuando no! !ituamo! enuna per!pecti#a (ue no permite dar!e cuenta de la di!tancia e;i!tente realmente entre !u!e;tremo! de la mi!ma forma (ue la e!pira de una Flice de e*e #ertical parece un círculo cuando!e pro&ecta !obre un plano Fori)ontal.

/3

Por lo tanto no !er#iría de nada afirmar (ue el e!pacio por e*emplo no puede e!tar limitado por algo (ue tambin fuera e!pacio de tal forma (ue el e!pacio en general no podría e!tar limitado por nada9 por el contrario e!t+ limitado por la determinación mi!ma (ue con!titu&e !u naturale)apropia en tanto (ue e!pacio & (ue de*a lugar fuera de l a toda! la! po!ibilidade! no e!paciale!.

12



e;ten!ión indefinida del procedimiento de formación de una !uma aritmtica cual(uiera9 &!e ob!er#a a(uí mu& claramente cómo lo indefinido !e forma a partir de lo finito. E!tee*emplo debe por otra parte !u particular claridad al car+cter di!continuo de la cantidadnumrica9 pero para plantear la! co!a! de una forma m+! general & aplicable a todo! lo!ca!o! ba!taría a e!te re!pecto en in!i!tir !obre la idea de "de#enir" (ue e!t+ implícita enel trmino "indefinido" & (ue Femo! e;pre!ado anteriormente al Fablar de un de!arrollode po!ibilidade! de!arrollo (ue en !í mi!mo & en todo momento implica !iempre algo de

inacabado14

9 la importancia de la con!ideración de la! "#ariable!" en lo (ue !e refiere alc+lculo infinite!imal dar+ a e!te último punto todo !u !ignificado.

/4 Cf. la ob!er#ación de . H. Coomara!Oam& !obre el concepto platónico de "medida" (ue Femo!citado en otra oca!ión 6Le Règne de la Quantit et les !ignes des "emps$ cap. III=@ lo "no medible"e! lo (ue toda#ía no Fa !ido definido e! decir lo indefinido & e! al mi!mo tiempo & por e!omi!mo lo (ue no !e reali)a completamente en la manife!tación.

13



14



Capí!"# II$ LA CONTRADICCIÓN DEL 'N(MERO INFINITO'

Ja& ca!o! en lo! (ue e! !uficiente como a continuación #eremo! m+! claramentereempla)ar la idea del pretendido infinito por la de lo indefinido para Facer de!aparecer inmediatamente toda dificultad9 pero Fa& otro! en lo! (ue e!to no e! po!ible pue! !e tratade algo claramente determinado "detenido" en cierto modo por Fipóte!i! & (ue como tal

no puede !er llamado indefinido !egún la ob!er#ación (ue Femo! reali)adoanteriormente@ a!í por e*emplo !e puede decir (ue la !erie de lo! número! e! indefinidapero no puede decir!e (ue un determinado número por grande (ue !e lo !uponga & !eacual !ea el rango (ue ocupe en e!ta !erie e! indefinido. La idea del "número infinito"entendido como el "ma&or de todo! lo! número!" o el "número de todo! lo! número!" oaún el "número de toda! la! unidade!" e! una idea #erdaderamente contradictoria en !ími!ma & !u impo!ibilidad !ub!i!tiría aún en el ca!o de (ue !e renunciara al empleoin*u!tificado de la palabra "infinito"@ no puede Faber un número (ue !ea ma&or a todo! lo!dem+! pue! por grande (ue !ea !iempre puede formar!e otro ma&or a?adindole launidad de acuerdo con la le& de formación (ue ante! Femo! formulado. E!to !ignifica (uela !erie de lo! número! no puede tener un trmino último & ello preci!amente por(ue noe!t+ "terminada" &a (ue e! #erdaderamente indefinida9 como el número de todo! !u!

trmino! no podría !er m+! (ue el último de ello! !e puede decir (ue la !erie no e!"numerable" & e!ta e! una idea !obre la cual deberemo! in!i!tir ampliamente acontinuación. La impo!ibilidad del "número infinito" puede tambin !er e!tablecida mediante di#er!o!argumento!9 Leibnit) (ue al meno! la reconocía mu& claramente1 empleó el (ue con!i!teen comparar la !erie de lo! número! pare! con la de todo! lo! número! entero!@ a todonúmero corre!ponde otro (ue e! igual a !u doble de forma (ue pueden Facer!ecorre!ponder la! do! !erie! trmino a trmino de donde re!ulta (ue el número de lo!trmino! debe !er el mi!mo en una & otra9 pero por otra parte e#identemente Fabr+ eldoble de número! entero! (ue de número! pare! &a (ue lo! pare! !e !itúan de do! endo! en la !erie de lo! número! entero!9 llegamo! a!í a una manifie!ta contradicción.Puede generali)ar!e e!te argumento tomando en lugar de la !erie de lo! número! pare!e! decir de lo! múltiplo! de do! la de lo! múltiplo! de un número cual(uiera & elra)onamiento e! idntico9 igualmente puede tomar!e la !erie de lo! cuadrado! de lo!número! entero!2 o m+! generalmente la de !u! potencia! de un e;ponente cual(uiera.En todo! lo! ca!o! la conclu!ión (ue !e alcan)a e! !iempre la mi!ma@ (ue una !erie (ueno comprende m+! (ue una parte de lo! número! entero! tiene el mi!mo número detrmino! (ue la (ue lo! comprende a todo! lo cual e(ui#ale a decir (ue el todo no e!ma&or (ue una parte de l9 & de!de el momento (ue !e admite (ue Fa& un número detodo! lo! número! e! impo!ible e!capar a e!ta contradicción. Ain embargo alguno! Fancreído poder e#itarla admitiendo al mi!mo tiempo (ue Fa& número! a partir de lo! cuale!la multiplicación por un determinado número o la ele#ación a una determinada potencia &ano !ería po!ible &a (ue ofrecería un re!ultado (ue !uperaría el pretendido "número

infinito"9 Fa& (uiene! inclu!o Fan !ido lle#ado! a con!iderar en efecto lo! número!llamado! "m+! grande! (ue el infinito" elaborando teoría! como la del "tran!finito" deCantor (ue pueden !er mu& ingenio!a! pero (ue no !on lógicamente #+lida!3@ aca!o e!/ " pe!ar de mi c+lculo infinite!imal e!cribía a propó!ito de ello no admito un #erdadero númeroinfinito aun(ue confie!o (ue la multitud de la! co!a! !upera todo número finito o me*or dicFotodo número".

: E! lo (ue Fi)o CaucF& (ue atribuía por otra parte e!te argumento a alileo 6 !ept le#ons dePhysi(ue gnrale$ 4T lección=.

4 a en la poca de Leibnit) Ualli! con!ideraba lo! "spatia plus (uam infinita"9 e!ta opinióndenunciada por arignon por implicar una contradicción fue igualmente !o!tenida por uido

randi en !u libro %e Infinitis infinitorum. Por otra parte ean Vernoulli en el cur!o de !u!di!cu!ione! con Leibnit) e!cribía@ "!i dantur termini infiniti$ da'itur etiam terminus infinitesimus-non dico ultimus. et (ui eum se(uuntur " lo cual aun(ue no !e Fa&a e;plicado m+! claramenteparece indicar (ue admitía la e;i!tencia de trmino! "m+! all+ del infinito" en una !erie numrica.

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concebible (ue !e pueda pen!ar en llamar "infinito" a un número (ue por el contrario e!de tal modo "finito" (ue ni !i(uiera e! el ma&or de todo!M Por otra parte con !eme*ante!teoría! e;i!tirían número! a lo! (ue no pudiera aplicar!e ninguna de la! regla! del c+lculoordinario e! decir en !uma número! (ue no !erían #erdaderamente número! & (ue no!erían a!í llamado! m+! (ue por con#ención49 e! lo (ue for)o!amente ocurre cuandointentando concebir el "número infinito" de otro modo (ue como el ma&or de lo! número!!e con!ideran diferente! "número! infinito!" !upue!tamente de!iguale! entre !í & a lo!

(ue !e atribu&en propiedade! (ue no tienen nada en común con la! de lo! número!ordinario!9 de e!te modo !e e!capa de una contradicción para caer en otra! & en elfondo todo ello no e! m+! (ue producto del "con#encionali!mo" m+! carente de !entido(ue pueda imaginar!e. !í la idea del pretendido "número infinito" !ea cual !ea la forma en (ue !e pre!ente &por cual(uier nombre (ue !e le (uiera a!ignar contiene !iempre elemento!contradictorio!9 por otra parte no Fa& nece!idad alguna de e!ta ab!urda !upo!ición de!deel momento en (ue !e tiene una *u!ta concepción de lo (ue realmente e! la indefinidad del número & !e reconoce adem+! (ue el número a pe!ar de !u indefinidad no e! enab!oluto aplicable a todo lo (ue e;i!te. No #amo! aFora a in!i!tir !obre e!te últimoa!pecto &a (ue lo Femo! e;plicado !uficientemente en otra! obra!@ el número no e! m+!(ue un modo de la cantidad & la mi!ma cantidad no e! !ino una categoría o un modo

e!pecial del !er no coe;ten!i#o a !te o m+! preci!amente aún no !e trata m+! (ue deuna condición propia de un determinado e!tado de e;i!tencia en el con*unto de lae;i!tencia uni#er!al9 pero e! *u!tamente e!to lo (ue la ma&oría de lo! moderno! parecenincapace! de comprender aco!tumbrado! como e!t+n a (uerer reducirlo todo a lacantidad e inclu!o a e#aluarlo todo numricamente5. No ob!tante en el propio dominio dela cantidad e;i!ten co!a! (ue e!capan al número tal como #eremo! de!pu! conre!pecto a lo continuo9 e inclu!o !in !alir de la con!ideración de la cantidad di!continua&a !e e!t+ for)ado a admitir al meno! implícitamente (ue el número no e! aplicable atodo cuando !e reconoce (ue la multitud de todo! lo! número! no puede con!tituir unnúmero lo (ue por lo dem+! no e! en !uma !ino una aplicación de la indudable #erdadde (ue lo (ue limita un determinado orden de po!ibilidade! debe e!tar nece!ariamentefuera & m+! all+ de !te6. Debe (uedar claro (ue tal multitud con!iderada &a en lodi!continuo como e! el ca!o cuando !e trata de la !erie de lo! número! &a en locontinuo !obre lo cual #ol#eremo! m+! adelante no puede en ab!oluto !er llamadainfinita & !iempre !e tratar+ a(uí de lo indefinido9 por lo dem+! e;aminaremo! aFora m+!de cerca e!ta noción de la multitud.

1 No puede en ab!oluto decir!e (ue !e trata a(uí de un empleo analógico de la idea de númeropue! e!to !upondría una tran!po!ición en un dominio di!tinto al de la cantidad & por el contrarioe! a la cantidad entendida en !u !entido m+! literal a lo (ue !e refieren ca!i e;clu!i#amente toda!la! con!ideracione! de e!te tipo.

7 !í 'enou#ier pen!aba (ue el número e! aplicable a todo al meno! idealmente e! decir (uetodo e! "numerable" en !í mi!mo aún cuando inclu!o !eamo! incapace! de "numerarlo"efecti#amente9 de e!te modo ignoraba por completo el !entido (ue daba Leibnit) a la idea de la"multitud" & *am+! Fa logrado comprender cómo la di!tinción de !ta con el número permitee!capar a la contradicción del "número infinito".

2 Jemo! dicFo no ob!tante (ue una co!a particular o determinada !ea cual !ea e!t+ limitada por

!u propia naturale)a pero no Fa& en ello ninguna contradicción@ en efecto e! por la parte negati#ade e!ta naturale)a (ue e!t+ limitada 6pue! como di*o Apino)a "omnis determinatio negatio est3.$e! decir en tanto (ue !ta e;clu&e a la! dem+! co!a! & la! de*a fuera de ella de manera (ue endefiniti#a e! la coe;i!tencia de e!a! otra! co!a! lo (ue limita a la co!a con!iderada9 !ta e! por otra parte la ra)ón de (ue el <odo uni#er!al & !ólo l no pueda e!tar limitado por nada.

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Capí!"# III$ LA MULTITUD INNUMERA)LE

Leibnit) como Femo! #i!to no admite en modo alguno el "número infinito" pue!to (uedeclara por el contrario de forma e;pre!a (ue !te en cual(uier !entido en (ue !e (uieraentender implica contradicción9 pero en cambio admite lo (ue l denomina una "multitudinfinita" !in !i(uiera preci!ar como al meno! Fabrían FecFo lo! e!col+!tico! (ue no

puede tratar!e en todo ca!o m+! (ue de un infinitum secundum (uid 9 & la !erie de lo!número! e! para l un e*emplo de tal multitud. No ob!tante por otra parte en el dominiocuantitati#o e inclu!o en lo (ue concierne a la magnitud continua la idea del infinito leparece !iempre como mínimo !o!pecFo!a de contradicción pue! le*o! de !er una ideaadecuada implica ine#itablemente cierta parte de confu!ión & no podemo! e!tar !eguro!de (ue una idea no implica contradicción m+! (ue cuando concebimo! di!tintamentetodo! !u! elemento!19 ello apena! permite conceder a e!ta idea !ino un car+cter "!imbólico" o m+! bien "repre!entati#o" & por ello *am+! Fa o!ado tal como m+!adelante #eremo! pronunciar!e claramente !obre la realidad de lo! "infinitamentepe(ue?o!"9 pero e!te ob!t+culo & e!ta actitud dubitati#a aún Facen re!altar me*or lacarencia de un principio (ue le permita Fablar de una "multitud infinita". No! podríamo!tambin preguntar tra! e!to !i aca!o no pen!aba (ue !eme*ante multitud para !er

"infinita" como dice no !olamente debía no !er "numerable" lo cual e! e#idente !ino (ueadem+! no debía !er en ab!oluto cuantitati#a entendiendo la cantidad en toda !ue;ten!ión & en todo! !u! modo!9 ello podría !er cierto en alguno! ca!o! pero no entodo!9 !ea como !ea !te e! un punto !obre el cual *am+! !e e;plicó claramente. La idea de una multitud (ue !upera todo número & (ue en con!ecuencia no e! unnúmero parece Faber e;tra?ado a la ma&oría de (uiene! Fan di!cutido la! concepcione!de Leibnit) !ean por lo dem+! "finiti!ta!" o "infiniti!ta!"9 no ob!tante !e trata de una idea(ue e!t+ le*o! de !er propia de Leibnit) como parecen Faber creído igualmente &a (uepor el contrario era una idea mu& corriente entre lo! e!col+!tico! 2. <al idea !e entendíapropiamente de todo lo (ue no e! ni número ni "numerable" e! decir de todo lo (ue nodepende de la cantidad di!continua &a !e trate de co!a! (ue pertenecen a otro! modo!de la cantidad o bien de lo (ue e!t+ enteramente fuera del dominio cuantitati#o pue! !eFablaría a(uí de una idea del orden de lo! "tra!cendentale!" e! decir de lo! modo!generale! del !er (ue contrariamente a !u! modo! e!peciale! como la cantidad le !oncoe;ten!i#o!3. E! lo (ue permite Fablar por e*emplo de la multitud de lo! atributo!di#ino! o tambin de la multitud de lo! +ngele! e! decir de !ere! (ue pertenecen ae!tado! (ue no e!t+n !ometido! a la cantidad & donde en con!ecuencia no puede !er cue!tión de número9 e! tambin lo (ue no! permite con!iderar lo! e!tado! del !er o lo!grado! de la e;i!tencia como !iendo en multiplicidad o en multitud indefinida mientra!(ue la cantidad no e! m+! (ue una condición e!pecial de uno !ólo de ello!. Por otra parte

/ De!carte! Fablaba !olamente de idea! "clara! & di!tinta!"9 Leibnit) preci!a (ue una idea puede!er clara !in !er di!tinta en tanto (ue permita tan !ólo reconocer !u ob*eto & di!tinguirlo de la!re!tante! co!a! mientra! (ue una idea di!tinta e! a(uella (ue no !ólo e! "di!tinguible" en e!te!entido !ino tambin "di!tinguida" en !u! elemento!9 pero mientra! (ue De!carte! creía (ue !epodían tener idea! "clara! & di!tinta!" de todo Leibnit) e!tima por el contrario (ue !ólo la! idea!matem+tica! pueden !er adecuada! al !er !u! elemento! en cierto modo en número definidomientra! (ue la! dem+! idea! arropan una multitud de elemento! cu&o an+li!i! *am+! puede !er acabado de tal modo (ue !iempre re!tan parcialmente confu!a!.

: Citaremo! tan !ólo un te;to tomado de entre mucFo! otro! & (ue a e!te re!pecto e!particularmente claro@ "Qui diceret ali(uam multitudinem esse infinitam$ non diceret eam essenumerum$ 4el numerum ha'ere5 addit etiem numerus super multitudinem rationem mensurationis2+st enim numerus multitudo mensurata per unum$ 222et propter hoc numerus ponitur especies(uantitatis discretae$ non autem multitudo$ sed est de trascendenti'us3 - Aanto <om+! de (uino$3in III Phys23$ 6$ 7.2

4 E! !abido (ue lo! e!col+!tico! inclu!o en la parte propiamente metafí!ica de !u! doctrina! *am+! Fan ido m+! all+ de la con!ideración del Aer de modo (ue de FecFo la metafí!ica !ereduce para ello! a la ontología.

17



!iendo la idea de multiplicidad contrariamente a la de número aplicable a todo lo (uee;i!te deben for)o!amente Faber multitude! de orden cuantitati#o e!pecialmente en lo(ue concierne a la cantidad continua & e! por ello (ue di*imo! Face un momento (ue no!ería cierto en todo! lo! ca!o! con!iderar a dicFa "multitud infinita" e! decir la (ue!obrepa!a todo número como e!capando por completo del dominio de la cantidad. dem+! el número mi!mo puede !er con!iderado tambin como una e!pecie de multituda condición de a?adir (ue e! !egún la e;pre!ión de !anto <om+! de (uino una

"multitud medida por la unidad"9 toda otra cla!e de multitud no !iendo "numerable" e!"no-medida" e! decir (ue no e! infinita !ino propiamente indefinida.

Con#iene notar a propó!ito de ello un FecFo ba!tante !ingular@ para Leibnit) e!tamultitud (ue no con!titu&e un número e! !in embargo un "re!ultado de la! unidade!" 49(u debe entender!e por ello & de (u unidade! puede tratar!eM La palabra unidadpuede !er tomada en do! !entido! completamente diferente!@ e!t+ por un lado la unidadaritmtica o cuantitati#a (ue e! el elemento primero & el punto de partida del número &por otro lo (ue an+logamente e! de!ignado como la nidad metafí!ica (ue !e identificacon el Aer puro9 no creemo! (ue e;i!ta otra acepción po!ible aparte de !ta!9 pero por otra parte cuando !e Fabla de la! "unidade!" empleando el plural no puede !er e#identemente m+! (ue en !entido cuantitati#o. Ai a!í e! la !uma de la! unidade! no

puede !er m+! (ue un número & en ab!oluto puede !uperar al número9 e! cierto (ueLeibnit) dice "re!ultado" & no "!uma" pero e!ta di!tinción aun(ue fuera de!eada de*atoda#ía !ub!i!tir una mole!ta o!curidad. Por lo dem+! l declara (ue la multitud !in !er un número e! no ob!tante concebida por analogía con el número@ "Cuando Fa& adem+!co!a! dice (ue no pueden e!tar comprendida! en ningún número le! atribuimo! noob!tante analógicamente un número al (ue llamamo! infinito" aun(ue no !ea !ta m+!(ue una "manera de Fablar" un modus lo(uendi 5 e inclu!o en e!ta forma una manerade Fablar mu& incorrecta &a (ue en realidad no !e trata en ab!oluto de un número9 pero!ean cuale! !ean la! imperfeccione! de la e;pre!ión & la! confu!ione! a la! (ue puedendar lugar debemo! admitir en todo ca!o (ue una identificación entre la multitud & elnúmero no e!taba con !eguridad en el fondo de !u pen!amiento.

Wtro punto al (ue Leibnit) parece dar gran importancia e! (ue el "infinito" tal como llo concibe no con!titu&e un todo69 !ta e! una condición con!iderada por l comonece!aria para (ue dicFa idea e!cape a la contradicción pero Fa& tambin otro punto (ueno de*a de !er tambin ba!tante o!curo. Cabe preguntar!e de (u cla!e de "todo" !e trataa(uí & en primer lugar e! preci!o de!cartar por completo la idea del <odo uni#er!al (uee! por el contrario como Femo! dicFo de!de el principio el propio Infinito metafí!ico e!decir el único #erdadero Infinito & (ue en ab!oluto podría e!tar a(uí en cue!tión9 enefecto &a !e trate de lo continuo o de lo di!continuo la "multitud infinita" (ue con!ideraLeibnit) !e mantiene en todo! lo! ca!o! en un dominio re!tringido & contingente deorden co!mológico & no metafí!ico. Ae trata e#identemente por lo dem+! de un todoconcebido como compue!to de parte! mientra! (ue a!í como en otro lugar Femo!

e;plicado

7

el <odo uni#er!al e! propiamente "!in parte!" en ra)ón mi!mo de !u infinitudpue!to (ue debiendo !er tale! parte! nece!ariamente relati#a! & finita! no podrían tener con l ninguna relación real lo (ue !ignifica (ue no e;i!ten para l.

1 !ystème nou4eau de la nature et de la communication des su'stances2

7 3)'ser4atio (uod rationes si4e proportiones non ha'eant locum circa (uantitates nihilo minores$et de 4ero sensu Methodi infinitesimalis3$ en la! &cta +ruditorum de Leip8ig /5/:2

2 Cf. e!pecialmente i'id2@ "Infinitum continuum 4el discretum propie nec unum$ nec totum$ nec (uantum est " donde la e;pre!ión "nec (uantum3 parece (uerer decir (ue para l tal como Femo!indicado anteriormente la "multitud infinita" no debe !er concebida cuantitati#amente a meno! (ue

por (uantum no !olamente Fa&a entendido a(uí una cantidad definida como la Fabría !ido elpretendido "número infinito" del (ue !e Fa demo!trado !u contradicción.

5 Aobre e!te punto #er Les 9tats multiples de l1:tre cap. I.

18



Debemo! pue! limitarno! en cuanto a la cue!tión planteada a la con!ideración de untodo particular9 pero aún a!í & preci!amente en lo (ue concierne al modo de compo!iciónde !eme*ante todo & a !u relación con !u! parte! cabe con!iderar do! ca!o!corre!pondiente! a do! acepcione! diferente! de e!ta palabra "todo". En primer lugar !i!e trata de un todo (ue no e! ni m+! ni meno! (ue la !imple !uma de !u! parte! de la!(ue e!t+ compue!to a la manera de una !uma aritmtica lo (ue dice Leibnit) e! en elfondo e#idente pue! e!te modo de formación e! preci!amente el propio del número & no

no! permite !obrepa!ar el número9 pero a decir #erdad e!ta noción le*o! de repre!entar la única manera de la (ue un todo puede !er concebido no e! !i(uiera la de un todo#erdadero en el !entido m+! riguro!o de la palabra. En efecto un todo (ue no e! a!í m+!(ue la !uma o el re!ultado de !u! parte! & (ue en con!ecuencia e! lógicamentepo!terior a !ta! no e! en tanto (ue todo m+! (ue un ens rationis pue! no e! "uno" &"todo" m+! (ue en la medida en (ue lo concebimo! como tal9 en !í mi!mo no e!propiamente Fablando !ino una "colección" & !omo! no!otro! (uiene! por la forma en(ue lo con!ideramo! le conferimo! en un cierto !entido relati#o lo! caractere! de unidad& de totalidad. Por el contrario un todo #erdadero (ue po!ea e!to! caractere! por !upropia naturale)a debe !er lógicamente anterior a !u! parte! e independiente de ella!@ tale! el ca!o de un con*unto continuo al (ue podemo! di#idir en parte! arbitraria! e! decirde una magnitud cual(uiera pero (ue en ab!oluto pre!upone la actual e;i!tencia de e!a!

parte!9 !omo! no!otro! (uiene! le damo! a la! parte! como tale! una realidad por unadi#i!ión ideal o efecti#a & a!í e!te ca!o e! e;actamente el in#er!o del anterior. Fora bien toda la cue!tión con!i!te en !uma en !aber !i cuando Leibnit) dice (ue "elinfinito no e! un todo" e;clu&e tanto e!te !egundo !entido como el primero9 a!í parece einclu!o e! mu& probable &a (ue e! el único ca!o en el (ue un todo e! #erdaderamente"uno" & el infinito !egún l e! "nec unum$ nec totum". Lo (ue le !ir#e de confirmación e!(ue e!te ca!o & no el primero e! el (ue !e aplica a un !er #i#o o a un organi!mo cuando!e lo con!idera de!de el punto de #i!ta de la totalidad9 aFora bien Leibnit) dice@"<ampoco el ni#er!o e! un todo & no debe !er concebido como un animal cu&a alma e!Dio! tal como Facían lo! antiguo!"8. Ain embargo !i e! a!í no !e comprende mu& biencómo la! idea! del infinito & de lo continuo pueden e!tar conectada! como a menudo loe!t+n para l pue! la idea de lo continuo !e #incula preci!amente al meno! en cierto!entido con e!ta !egunda concepción de la totalidad9 pero !te e! un punto (ue podr+ !er me*or comprendido a continuación. Lo (ue en todo ca!o e! !eguro e! (ue !i Leibnit)Fubiera concebido un tercer !entido de la palabra "todo" !entido puramente metafí!ico &!uperior a lo! otro! do! e! decir la idea del <odo uni#er!al tal como la Femo! e;pue!toen un principio no Fabría podido decir (ue la idea del infinito e;clu&e la totalidad pue! enotro lugar declara@ "Lo infinito real e! (ui)+ lo ab!oluto mi!mo (ue no e!t+ compue!to departe! pero (ue teniendo parte! la! comprende por ra)ón eminente & como en el gradode perfección"%. Ja& a(uí al meno! un "#i!lumbre" !e podría decir pue! e!ta #e) comopor e;cepción toma la palabra "infinito" en !u #erdadero !entido aun(ue !ea erróneodecir (ue e!te infinito "tiene parte!" !ea cual !ea la manera en (ue !e (uiera entender9pero e! e;tra?o (ue inclu!o entonce! no e;pre!e !u pen!amiento m+! (ue de una forma

dubitati#a & confu!a como !i no !e Fubiera fi*ado e;actamente en el !ignificado de e!taidea9 & (ui)+ *am+! lo Fa&a FecFo en efecto pue! de otro modo no !e e;plicaría (ue tan amenudo !e Fa&a de!#iado de !u !entido propio & (ue a #ece! !ea tan difícil cuandoFabla del infinito !aber !i !u intención Fa !ido la de tomar a e!te trmino "con rigor"aun(ue !ea e(ui#ocadamente o !i no Fa #i!to en ello m+! (ue una !imple "manera deFablar".

3 Carta a ean Vernoulli. Leibnit) atribu&e a(uí ba!tante gratuitamente a lo! antiguo! en generaluna opinión (ue en realidad no era !ino la de alguno! de ello!9 manifie!tamente pen!aba en lateoría de lo! e!toico! (ue concebían a Dio! como únicamente inmanente & lo identificaban con el

&nima Mundi . E! e#idente por lo dem+! (ue no !e trata a(uí m+! (ue del ni#er!o manife!tadoe! decir del "co!mo!" & no del <odo uni#er!al (ue comprende toda! la! po!ibilidade! tanto nomanife!tada! como manife!tada!.

0 Carta a ean Vernoulli 5 de *unio de /203.

1%



2&



Capí!"# I*$ LA MEDIDA DE LO CONTINUO

Ja!ta aFora cuando Femo! Fablado del número pen!+bamo! e;clu!i#amente en elnúmero entero & a!í debía !er lógicamente &a (ue con!ider+bamo! la cantidad numricacomo !iendo propiamente la cantidad di!continua@ en la !erie de lo! número! entero!!iempre Fa& entre do! trmino! con!ecuti#o! un inter#alo perfectamente definido

marcado por la diferencia de una unidad e;i!tente entre ambo! número! & (ue cuandouno !e atiene a la con!ideración de lo! número! entero! no puede !er reducida en modoalguno. Por otra parte en realidad !ólo el número entero e! el #erdadero número lo (uepodría llamar!e el número puro9 & la !erie de lo! número! entero! partiendo de la unidad#a creciendo indefinidamente !in llegar *am+! a un último trmino cu&a !upo!ición comoFemo! #i!to e! contradictoria9 pero e! e#idente (ue e!ta !erie !e de!arrolla en un único!entido de modo (ue el !entido opue!to (ue !ería el de lo indefinidamente menguanteno puede encontrar !u repre!entación aun(ue de!de un punto de #i!ta diferente comom+! adelante mo!traremo! Fa&a cierta correlación & una e!pecie de !imetría entre lacon!ideración de la! cantidade! indefinidamente creciente! & la de la! cantidade!indefinidamente menguante!. No ob!tante no Femo! e;aminado toda#ía e!to & Femo!!ido conducido! a con!iderar di!tinta! cla!e! de número! diferente! a lo! número!

entero!9 !to! !on como Fabitualmente !e dice e;ten!ione! o generacione! de la idea denúmero & ello e! #erdad en cierta forma9 pero al mi!mo tiempo tale! e;ten!ione! !ontambin alteracione! & e! e!to lo (ue lo! matem+tico! moderno! parecen ol#idar mu&f+cilmente &a (ue !u "con#encionali!mo" le! Face ignorar !u origen & !u ra)ón de !er. DeFecFo lo! número! di!tinto! a lo! entero! !e pre!entan !iempre ante todo como lafiguración del re!ultado de operacione! (ue !on impo!ible! !i no! mantenemo! en elpunto de #i!ta de la aritmtica pura no !iendo !ta en rigor m+! (ue la aritmtica de lo!número! entero!@ a!í por e*emplo un número fraccionario no e! !ino la repre!entacióndel re!ultado de una di#i!ión (ue no !e efectúa e;actamente e! decir en realidad unadi#i!ión aritmticamente impo!ible lo cual !e reconoce por otra parte implícitamente aldecir !egún la terminología matem+tica ordinaria (ue uno de lo! do! número!con!iderado! no e! di#i!ible por el otro. Cabe !e?alar de!de aFora (ue la definición (uecomúnmente !e da de lo! número! fraccionario! e! ab!urda@ la! fraccione! no pueden enab!oluto !er "parte! de la unidad" como !e dice pue! la #erdadera unidad aritmtica e!nece!ariamente indi#i!ible & !in parte!9 de ello re!ulta por lo dem+! la e!encialdi!continuidad del número formado a partir de ella9 pero #eamo! de dónde pro#iene talab!urdo. En efecto el re!ultado de la! operacione! (ue acabamo! de indicar llega a alcan)ar!ede un modo arbitrario en lugar de limitar!e a con!iderarla! pura & !implemente comoimpo!ible9 de manera general e! una con!ecuencia de la aplicación (ue !e Face delnúmero cantidad di!continua a la medición de magnitude! (ue como la! e!paciale! por e*emplo !on del orden de la cantidad continua. Entre e!to! do! modo! de la cantidade;i!te una diferencia de tal naturale)a (ue la corre!pondencia entre ambo! no puede !er

perfectamente e!tablecida9 para remediarlo Fa!ta cierto punto & en la medida de lopo!ible !e intenta reducir en cierto modo lo! inter#alo! de e!ta di!continuidad con!tituidapor la !erie de lo! número! entero! introduciendo entre !u! trmino! otro! número! & enprimer lugar lo! número! fraccionario! (ue no tendrían ningún !entido fuera de e!tacon!ideración. E! entonce! f+cil comprender (ue el ab!urdo anteriormente indicado en lo(ue concierne a la definición de la! fraccione! pro#iene !implemente de una confu!iónentre la unidad aritmtica & lo (ue !e denomina la! "unidade! de medida" unidade! (ueno !on tale! m+! (ue con#encionalmente & (ue en realidad !on magnitude! de unae!pecie diferente a la del número e!pecialmente la! magnitude! geomtrica!. La unidadde longitud por e*emplo no e! m+! (ue una cierta longitud e!cogida por ra)one! e;tra?a!a la aritmtica a la (ue !e Face corre!ponder el número / a fin de poder medir conre!pecto a ella toda! la! dem+! longitude!9 pero por !u propia naturale)a de magnitud

di!continua ninguna longitud aun(ue e!t repre!entada numricamente por la unidadde*a de !er !iempre e indefinidamente di#i!ible9 !er+ po!ible entonce! al compararla conotra! longitude! (ue !ean !u! múltiple! e;acto! la con!ideración de parte! en e!taunidad de medida pero (ue en ab!oluto !er+n por ello parte! de la unidad aritmtica9 e!

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!olamente a!í como !e introduce realmente la con!ideración de lo! número!fraccionario! como repre!entación de relacione! entre magnitude! (ue no !one;actamente di#i!ible! una! por otra!. La medida de una magnitud no e! en efecto otraco!a (ue la e;pre!ión numrica de !u relación con otra magnitud de la mi!ma e!pecietomada como unidad de medida e! decir en el fondo como trmino de comparación9 por ello el mtodo ordinario de medida de la! magnitude! geomtrica! e!t+ e!encialmentefundado en la di#i!ión.

Debe decir!e por otra parte (ue a pe!ar de ello !iempre !ub!i!te for)o!amente algode la naturale)a di!continua del número (ue no permite (ue a!í !e obtenga une(ui#alente perfecto de lo continuo9 pueden reducir!e lo! inter#alo! tanto como !e (uierae! decir en !uma reducirlo! indefinidamente Facindolo! m+! pe(ue?o! (ue cual(uier cantidad dada en principio pero *am+! llegar+n a !er completamente !uprimido!. Paracomprender e!to me*or tomemo! el e*emplo m+! !imple de un continuo geomtrico e!decir una línea recta@ con!ideremo! una !emirrecta (ue !e e;tienda indefinidamente encierto !entido1 & con#engamo! en Facer corre!ponder a cada uno de !u! punto! elnúmero (ue e;pre!a la di!tancia entre e!te punto & el origen9 !te e!tar+ repre!entadopor el cero !iendo !u di!tancia a !í mi!mo e#identemente nula9 a partir de e!te origen lo!número! entero! corre!ponder+n a la! !uce!i#a! e;tremidade! de !egmento! iguale!entre !í e iguale! tambin a la unidad de longitud9 lo! punto! comprendido! entre !to! no

podr+n !er repre!entado! m+! (ue por número! fraccionario! &a (ue !u! di!tancia!Fa!ta el origen no !on múltiple! e;acto! de la unidad de longitud. E! e#idente (ue amedida (ue !e adopten número! fraccionario! con un denominador ma&or la diferenciaentre ello! !er+ cada #e) m+! pe(ue?a pue! lo! inter#alo! entre lo! punto! a lo! (uecorre!pondan tale! número! !e Fallaran reducido! en la mi!ma proporción9 puedeFacer!e a!í menguar a e!to! inter#alo! indefinidamente al meno! en teoría &a (ue lo!denominadore! de lo! número! fraccionario! po!ible! !on todo! lo! número! entero!cu&a !erie crece indefinidamente2. Decimo! en teoría por(ue de FecFo !iendo indefinidala multitud de lo! número! fraccionario! *am+! podr+ llegar a emplear!e toda al completo9pero !upongamo! no ob!tante (ue !e Fagan corre!ponder idealmente todo! lo! número!fraccionario! po!ible! con punto! de la !emirrecta con!iderada@ a pe!ar del indefinidodecrecimiento de lo! inter#alo! aún (uedar+ en e!ta línea una multitud de punto! a lo!cuale! no corre!ponder+ ningún número. E!to puede parecer !ingular e inclu!o paradó*icoa primera #i!ta & !in embargo e! f+cil dar!e cuenta de ello pue! tal punto puede !er obtenido por medio de una con!trucción geomtrica mu& !imple@ con!tru&amo! uncuadrado (ue tenga por lado el !egmento de recta cu&a! e;tremidade! !ean lo! punto! 8& / tracemo! la! diagonale! de e!te cuadrado (ue parte del origen & la circunferencia (uetiene como centro e!te origen & como radio la diagonal9 el punto en (ue e!tacircunferencia corte la !emirrecta no podr+ !er repre!entado por ningún número entero ofraccionario &a (ue !u di!tancia al origen e! igual a la diagonal del cuadrado & !ta e!inconmen!urable con !u lado e! decir a(uí con la unidad de longitud. !í la multitud delo! número! fraccionario! a pe!ar del indefinido decrecimiento de !u! diferencia! nopuede ba!tar para llenar !i podemo! e;pre!arno! a!í lo! inter#alo! entre lo! punto!

contenido! en la línea

3

lo (ue !ignifica (ue e!ta multitud no e! un e(ui#alente real &adecuado del continuo lineal9 e!tamo! for)ado! entonce! para e;pre!ar la medida decierta! longitude! a introducir aún otra! cla!e! de número! (ue !on lo (ue !e llama lo!número! inconmen!urable! e! decir a(uello! (ue no tienen medida común con launidad. <ale! !on lo! número! irracionale! e! decir a(uello! (ue repre!entan el

/ Ae #er+ a continuación a propó!ito de la repre!entación geomtrica de lo! número! negati#o!por (u ra)ón no debemo! con!iderar a(uí m+! (ue una !emirrecta9 por lo dem+! el FecFo de (uela !erie de lo! número! no !e de!arrolle m+! (ue en un !olo !entido tal como Femo! dicFo ba!ta&a para indicar la ra)ón de ello.

: E!to !er+ m+! preci!ado cuando Fablemo! de lo! número! in#er!o!.

4 E! importante ob!er#ar (ue no decimo! lo! punto! (ue componen o (ue con!titu&en la línea lo(ue re!pondería a una concepción fal!a de lo continuo tal como lo demo!trar+n la!con!ideracione! (ue m+! adelante e;pondremo!.

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re!ultado de una e;tracción de raí) aritmticamente impo!ible por e*emplo la raí)cuadrada de un número (ue no !ea un cuadrado perfecto9 e! a!í como en el anterior e*emplo la relación entre la diagonal del cuadrado & !u lado & por con!iguiente el puntocu&a di!tancia al origen e! igual a dicFa diagonal no pueden !er repre!entado! m+! (uepor el número irracional X : (ue e! #erdaderamente inconmen!urable pue! no e;i!teningún número entero o fraccionario cu&o cuadrado !ea igual a :9 & aparte de e!to!número! irracionale! Fa& toda#ía otro! número! inconmen!urable! cu&o origen

geomtrico e! e#idente como por e*emplo el número 6 pi. (ue repre!enta la relaciónentre la circunferencia & !u di+metro. Ain entrar aFora en la cue!tión de la "compo!ición de lo continuo" !e comprueba (ueel número !ea cual !ea la e;ten!ión (ue !e otorgue a !u idea *am+! le e! perfectamenteaplicable@ tal aplicación #iene !iempre en !uma a reempla)ar a lo continuo por undi!continuo cu&o! inter#alo! pueden !er mu& pe(ue?o! e inclu!o !erlo cada #e) m+! por una !erie indefinida de !uce!i#a! di#i!ione! pero !in llegar nunca a poder !er !uprimido!pue! en realidad no e;i!ten "último! elemento!" en lo! (ue tale! di#i!ione! puedande!embocar pue! una cantidad continua por pe(ue?a (ue !ea !iempre e!indefinidamente di#i!ible. e!ta! di#i!ione! de lo continuo re!ponde propiamente lacon!ideración de lo! número! fraccionario!9 pero & e!to e! lo (ue particularmente importaretener una fracción por ínfima (ue !ea !iempre e! una cantidad determinada & entre

do! fraccione! por poco diferente! entre !í (ue !e la! (uiera !uponer Fa& !iempre uninter#alo igualmente determinado. Fora bien la propiedad de di#i!ibilidad indefinida (uecaracteri)a a la! magnitude! continua! e;ige e#identemente (ue !iempre !e puedantomar elemento! tan pe(ue?o! como !e (uiera & (ue lo! inter#alo! (ue e;i!ten entredicFo! elemento! puedan !er tambin m+! reducido! (ue cual(uier cantidad determinada9pero adem+! & a(uí aparece la in!uficiencia de lo! número! fraccionario! e inclu!opodemo! decir de todo número !ea cual !ea tale! elemento! & tale! inter#alo! para (uerealmente e;i!ta continuidad no deben !er concebido! como algo determinado. Por con!iguiente la repre!entación m+! perfecta de la cantidad continua !er+ obtenida por lacon!ideración de magnitude! &a no fi*a! & determinada! como !ta! de (ue acabamo! deFablar !ino por el contrario #ariable! &a (ue entonce! !u #ariación podr+ !er con!iderada como efectu+ndo!e de una manera continua9 & e!ta! cantidade! deber+n !er !u!ceptible! de menguar indefinidamente debido a !u #ariación !in anular!e ni alcan)ar *am+! un "mínimo" (ue no !ería meno! contradictorio (ue lo! "último! elemento!" de locontinuo@ e! !ta preci!amente como #eremo! la #erdadera noción de la! cantidade!infinite!imale!.

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Capí!"# *$ CUESTIONES PLANTEADAS POR EL MÉTODO INFINITESIMAL

Cuando Leibnit) e!cribió la primera e;po!ición del mtodo infinite!imal1 & tambin enotro! mucFo! traba*o! (ue le !iguieron2 in!i!tió e!pecialmente !obre el empleo & la!aplicacione! del nue#o c+lculo lo (ue era conforme a la tendencia moderna de atribuir m+! importancia a la! aplicacione! pr+ctica! de la ciencia (ue a la propia ciencia como

tal9 !ería por otra parte difícil decir !i e!ta tendencia e;i!tía #erdaderamente en Leibnit) o!i por el contrario !e trataba con e!ta manera de pre!entar !u mtodo de una e!pecie deconce!ión por !u parte. Aea como fuere ciertamente no ba!ta para *u!tificar un mtodocon mo!trar la! #enta*a! (ue puede tener !obre otro! mtodo! anteriormente admitido! nila! comodidade! (ue en la pr+ctica puede ofrecer para el c+lculo ni tampoco lo!re!ultado! (ue de FecFo puede !umini!trar9 e!to e! lo (ue lo! ad#er!ario! del mtodoinfinite!imal no de*aron de Facer #aler & fueron tan !ólo !u! ob*ecione! lo (ue decidió aLeibnit) a e;plicar!e !obre lo! principio! & lo! orígene! de !u mtodo. cerca de e!teúltimo punto e! por otra parte mu& po!ible (ue *am+! lo Fa&a dicFo todo pero ello importapoco en el fondo pue! a menudo la! cau!a! oca!ionale! de un de!cubrimiento no !ondebida! !ino a circun!tancia! ba!tante in!ignificante! en !í mi!ma!9 en todo ca!o lo (ueFa& para no!otro! de intere!ante en la! indicacione! (ue ofrece a e!te re!pecto3 e! (ue l

parte de la con!ideración de la! diferencia! "a!ignable!" (ue pueden concebir!e entre la!magnitude! geomtrica! en ra)ón de !u continuidad & (ue inclu!o daba a e!te orden unagran importancia como !iendo en cierto modo "e;igido por la naturale)a de la! co!a!". Deello !e !igue (ue la! cantidade! infinite!imale! para l no !e pre!entan naturalmente ano!otro! de una manera inmediata !ino !olamente como un re!ultado del pa!o de la#ariación de la cantidad di!continua a la de la cantidad continua & de la aplicación de laprimera a la medida de la !egunda. Fora bien cu+l e! e;actamente el !ignificado de e!ta! cantidade! infinite!imale!cu&o empleo !in Faber !ido pre#iamente definido lo (ue por ello entendía !e FareprocFado a Leibnit)M e!te !ignificado le permitía con!iderar !u c+lculo comoab!olutamente riguro!o o por el contrario !olamente como un !imple mtodo deapro;imaciónM 'e!ponder a e!ta! pregunta! implicaría re!ol#er la! m+! importante!ob*ecione! (ue le Fa&an !ido dirigida!9 pero lamentablemente *am+! lo Fi)o de formaclara & ni !i(uiera la! di#er!a! re!pue!ta! (ue dio parecen !iempre perfectamenteconciliable! entre !í. propó!ito de ello e! oportuno indicar (ue Leibnit) tenía adem+!de manera general la co!tumbre de e;plicar de forma diferente la! mi!ma! co!a! !egún a(uien !e dirigiera9 ciertamente no !eremo! no!otro! (uiene! le reprocFemo! tal manerade actuar !olamente irritante para lo! e!píritu! !i!tem+tico! pue! en principio no Facíacon ello m+! (ue conformar!e a un precepto inici+tico & m+! particularmentero!acruciano !egún el cual con#iene Fablar a cada uno !u propio lengua*e9 pero el ca!oe! (ue a menudo lo aplicaba ba!tante mal. En efecto !i e! e#identemente po!ible re#e!tir a una #erdad de diferente! e;pre!ione! e! ob#io (ue ello debe Facer!e !in *am+!deformarla ni aminorarla & (ue e! !iempre preci!o ab!tener!e cuidado!amente de toda

manera de Fablar (ue pudiera dar lugar a fal!a! concepcione!9 Leibnit) no !upo enmucFo! ca!o! cómo Facer e!to4. !í planteó la "acomodación" Fa!ta tal punto (ue a#ece! parecía dar la ra)ón a (uiene! no Fan (uerido #er en !u c+lculo m+! (ue unmtodo de apro;imación pue! llegó a pre!entarlo como !iendo una e!pecie de

/ No4a Methodus pro ma;imis et minimis$ item(ue tangenti'us$ (uae nec fractas nec irrationales(uantitates moratur$ et singulare pro illis calculi genus en la! &cta +ruditorum de Leip)ig /231.

: %e <eometria recondita et &nalysi indi4isi'ilium at(ue infinitorum /232. Lo! !iguiente! traba*o!!e refieren todo! a la !olución de problema! particulare!.

4 Principalmente en !u corre!pondencia & tambin en =istoria et origo Calculi differentialis /5/1.

1 En lengua*e ro!acruciano !e diría (ue ello tanto o inclu!o m+! (ue el fraca!o de !u! pro&ecto!de "characteristica uni4ersalis" demue!tra (ue !i tenía alguna idea teórica de lo (ue era el "don delengua!" e!taba no ob!tante le*o! de Faberlo recibido efecti#amente.

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compendio del "mtodo de agotamiento" de lo! antiguo! propio para facilitar de!cubrimiento! pero cu&o! re!ultado! deben !er de!pu! #erificado! metódicamente !i!e (uiere dar de ello! una demo!tración riguro!a9 & !in embargo e! !eguro (ue no era!te el fondo de !u pen!amiento & (ue en realidad #eía en ello mucFo m+! (ue un!imple e;pediente de!tinado a facilitar lo! c+lculo!. Leibnit) declaró frecuentemente (ue la! cantidade! infinite!imale! no !on !ino"incomparable!" pero en cuanto al !entido preci!o en el (ue debe !er entendida e!ta

palabra llegó a ofrecer una e;plicación no !olamente poco !ati!factoria !ino inclu!o mu&lamentable pue! no podía m+! (ue facilitar arma! a !u! ad#er!ario! (uiene! por otraparte no de*aron de !er#ir!e de ella!9 tampoco a(uí e;pre!ó ciertamente !u #erdaderopen!amiento & podemo! #er en ello otro e*emplo toda#ía m+! gra#e (ue el anterior dee!a "acomodación" e;ce!i#a (ue le Facía !u!tituir con opinione! errónea! una e;pre!ión"adaptada" de la #erdad. En efecto Leibnit) e!cribió lo !iguiente@ "No Fa& nece!idad detomar a(uí al infinito riguro!amente !ino tan !ólo como cuando !e dice en óptica (ue lo!ra&o! del !ol #ienen de un punto infinitamente ale*ado de modo (ue !on con!iderado!como paralelo!. cuando Fa& numero!o! grado! de lo infinito o de lo infinitamentepe(ue?o e! como cuando el globo terr+(ueo e! con!iderado como un punto con re!pectoa la di!tancia de la! e!trella! fi*a! & tambin como cuando una pelota en nue!tra! mano!e! #i!ta como un punto en comparación con el di+metro del globo terre!tre de manera

(ue la di!tancia Fa!ta la! e!trella! fi*a! e! como un infinito del infinito con re!pecto aldi+metro de la pelota. Pue! en lugar de lo infinito o de lo infinitamente pe(ue?o !e tomancantidade! tan grande! & tan pe(ue?a! como Faga falta para (ue el error re!ultante !eamenor (ue el error dado de forma (ue nue!tro mtodo no difiere del e!tilo de r(uímede!m+! (ue en !u! e;pre!ione! m+! directa! & m+! conforme! al arte de in#entar" 5. am+!!e de*ó de Facer #er a Leibnit) (ue por pe(ue?o (ue !ea el globo terr+(ueo con re!pectoal firmamento o un grano de arena con re!pecto a la tierra no por ello de*an de !er cantidade! fi*a! & determinada! & (ue !i bien una de !ta! puede !er con!iderada comopr+cticamente de!preciable en comparación con la otra no Fa& a(uí !in embargo m+!(ue una !imple apro;imación9 re!pondió (ue !olamente Fabía (uerido "e#itar la!!utilidade!" & "Facer el ra)onamiento !en!ible para todo el mundo" 6 lo cual confirmanue!tra interpretación & por a?adidura e! &a como una manife!tación de la tendencia"#ulgari)adora" de lo! científico! moderno!. E! e;traordinario (ue m+! tarde Fa&a podidoe!cribir@ "l meno! nada Fabía allí e!crito (ue pudiera Facer dudar de (ue &o pen!aba enuna cantidad mu& pe(ue?a !í pero !iempre fi*a & determinada" a lo (ue a?ade@"dem+! Face &a alguno! a?o! (ue e!cribí a Vernoulli de roningue (ue lo! infinito! &lo! infinitamente pe(ue?o! podían !er tomado! por ficcione! !eme*ante! a la! raíce!imaginaria!7 !in (ue ello debiera afectar a nue!tro c+lculo pue! tale! ficcione! !on útile!& e!t+n realmente bien fundada!"8. Por otra parte parece (ue *am+! entendióe;actamente la fal!edad de la comparación de la (ue !e !er#ía pue! llega a reproducirlaen lo! mi!mo! trmino! una docena de a?o! de!pu! %9 pero &a (ue al meno! declaróe;pre!amente (ue !u intención no Fabía !ido la de pre!entar a la! cantidade!infinite!imale! como determinada! debemo! deducir (ue para l el !entido de e!ta

comparación !e reducía a lo !iguiente@ un grano de arena aun(ue no !ea infinitamentepe(ue?o puede !er con!iderado no ob!tante & !in incon#eniente! apreciable! como talen relación con la tierra & a!í no Fa& nece!idad de con!iderar a lo! infinitamentepe(ue?o! "en rigor" pue! inclu!o pueden !i !e (uiere !er entendido! como ficcione!9pero como (uiera (ue !e la entienda una tal con!ideración no de*a de !er

7 "emoire de . . . Leibnit) toucFant !on !entiment !ur le Calcul diffrentiel" en el "ournal de<r#ou;" /58/.

2 Carta a >arignon : de febrero de /58:.

5 La! raíce! imaginaria! !on la! raíce! de lo! número! negati#o!9 m+! adelante Fablaremo! de lacue!tión de lo! número! negati#o! & de la! dificultade! lógica! a la! (ue dan lugar.

3 Carta a >arignon /1 de abril de /58:.

0 emoria &a citada anteriormente en la! &cta +ruditorum de Leip)ig /5/:.

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manifie!tamente impropia para dar del c+lculo infinite!imal una idea diferente a la de un!imple c+lculo de apro;imación con !eguridad in!uficiente a lo! o*o! del propio Leibnit).

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Capí!"# *I$ LAS 'FICCIONES )IEN FUNDADAS'

El pen!amiento (ue Leibnit) e;pre!a de la manera m+! con!tante aun(ue no !iemprelo afirme con la mi!ma fuer)a & aun(ue inclu!o a #ece! e;cepcionalmente pare)ca node!ear pronunciar!e categóricamente a e!te re!pecto con!i!te en (ue en el fondo la!cantidade! infinita! e infinitamente pe(ue?a! no !on m+! (ue ficcione!9 pero como

a?ade !on "ficcione! bien fundada!" & con ello no entiende !implemente (ue !ean útile!para el c+lculo1 o para Facer "(ue !e encuentren #erdade! reale!" aun(ue igualmentellegue a in!i!tir en e!ta utilidad9 con!tantemente repite (ue tale! ficcione! e!t+n "enrealidad fundada!" (ue tienen fundamentum in re lo (ue e#identemente implica algo m+!(ue un #alor puramente utilitario9 & en definiti#a e!te #alor debe para l e;plicar!e por elfundamento (ue dicFa! ficcione! po!een en la realidad. En todo ca!o e!tima (ue e!!uficiente para (ue el mtodo !ea !eguro con!iderar no &a cantidade! infinita! einfinitamente pe(ue?a! en el !entido riguro!o de tale! e;pre!ione! pue!to (ue e!te!entido riguro!o no corre!ponde a realidad alguna !ino cantidade! tan grande! o tanpe(ue?a! como !e (uiera o bien (ue el mtodo e! nece!ario para (ue el error !ea menor a cual(uier cantidad determinada9 aún !ería preci!o e;aminar !i e! cierto (ue comodeclara e!te error e! por ello mi!mo nulo e! decir !i e!ta manera de con!iderar el

c+lculo infinite!imal le otorga un fundamento perfectamente riguro!o pero !obre e!tacue!tión deberemo! #ol#er un poco m+! adelante. Aea cual !ea la !olución de e!te últimopunto lo! enunciado! en lo! (ue figuran la! cantidade! infinita! e infinitamente pe(ue?a!entran para l en la categoría de la! afirmacione! (ue !egún dice no !on m+! (uetoleranter 4erae o lo (ue en franc! !e llamaría " passa'les" (ue tienen nece!idad de !er "rectificada!" por la e;plicación (ue !e le! d al igual (ue cuando !e entienden la!cantidade! negati#a! como "menore! a cero" & en mucFo! otro! ca!o! en lo! (ue ellengua*e de lo! geómetra! implica "una cierta manera de Fablar figurada & críptica"29 e!taúltima palabra parecería !er una alu!ión al !entido !imbólico & profundo de la geometríapero !te e! algo mu& di!tinto a a(uello en lo (ue Leibnit) pen!aba & (ui)+ no Fa&a a(uícomo ba!tante a menudo ocurre en l m+! (ue el recuerdo de algún dato e!otrico m+! omeno! mal comprendido. En cuanto al !entido en (ue debe entender!e (ue la! cantidade! infinite!imale! !on"ficcione! bien fundada!" Leibnit) declara (ue "lo! infinito! & lo! infinitamente pe(ue?o!e!t+n de tal modo fundado! (ue todo !e Face en geometría e inclu!o en la naturale)acomo !i fueran perfecta! realidade!"39 para l en efecto todo lo (ue e;i!te en lanaturale)a implica en cierto modo la con!ideración de lo infinito o al meno! de lo creepoder a!í denominar@ "La perfección del an+li!i! de lo! tra!cendente! o de la geometríaen la (ue entre la con!ideración de algún infinito dice !ería !in duda la m+! importante acau!a de la aplicación (ue puede Facer!e a la! operacione! de la naturale)a (ue Faceentrar al infinito en todo lo (ue Face" 49 pero e!to (ui)+ !ea tan !ólo ciertamente por(ueno podemo! tener idea! adecuada! & por(ue !iempre entran en *uego elemento! (ue nopercibimo! di!tintamente. Ai a!í fuera no deberían tomar!e dema!iado literalmente

afirmacione! como por e*emplo la !iguiente@ "l !er nue!tro mtodo propiamente e!aparte de la matem+tica general (ue trata del infinito e! mu& nece!ario aplicarlo a la fí!icapue!to (ue el car+cter del utor infinito entra ordinariamente en la! operacione! de lanaturale)a"5. Pero inclu!o aun(ue Leibnit) !olamente entienda por ello (ue la

/ E! en e!ta con!ideración de la utilidad pr+ctica donde Carnot Fa creído encontrar una *u!tificación!uficiente9 e! e#idente (ue de Leibnit) a l la tendencia "pragmati!ta" de la ciencia moderna !e Faacentuado gra#emente.

: emoria &a citada en la! &cta +ruditorum de Leip)ig /5/:.

4 Carta &a citada a arignon : de febrero de /58:.

1

Carta al mar(u! del Jo!pital /204.7 "Con!idration! !ur la diffrence (uSil & a entre lSnal&!e ordinaire et le nou#eau Calcul de!tra!cendante!" en el "ournal de! AYa#an!" /201.

2%



comple*idad de la! co!a! naturale! !upera incomparablemente lo! límite! de nue!trapercepción di!tinti#a no por ello de*a de !er cierto (ue la! cantidade! infinita! einfinitamente pe(ue?a! deben tener !u fundamentum in re9 & e!te fundamento (ue !eencuentra en la naturale)a de la! co!a! al meno! en la forma en (ue !ta e! por lconcebida no e! !ino lo (ue l denomina la "le& de continuidad" le& (ue deberemo!e;aminar m+! adelante & a la (ue con!idera con ra)ón o !in ella como no !iendo en!uma m+! (ue un ca!o particular de cierta "le& de *u!ticia" (ue en definiti#a !e relaciona

con la con!ideración del orden & la armonía & (ue igualmente encuentra aplicación!iempre (ue una cierta !imetría debe !er ob!er#ada tal como ocurre por e*emplo en la!combinacione! & la! permutacione!. Fora bien !i la! cantidade! infinita! e infinitamente pe(ue?a! no !on m+! (ueficcione! & admitiendo inclu!o (ue !ta! e!tn realmente "bien fundada!" podemo!preguntarno! lo !iguiente@ por (u emplear tale! e;pre!ione! (ue aun(ue puedan !er con!iderada! como toleranter 4erae no de*an por ello de !er incorrecta!M Ja& a(uí algo(ue pre!agia &a podríamo! decir el "con#encionali!mo" de la ciencia actual aun(ue conla notable diferencia de (ue !ta &a no !e preocupa en ab!oluto por !aber !i la! ficcione!(ue mane*a e!t+n fundada! o no o !egún otra e;pre!ión de Leibnit) !i pueden !er interpretada! sano sensu ni tampoco !i po!een un !ignificado cual(uiera. Pue!to (ue por otra parte !e pueden e#itar e!ta! cantidade! ficticia! & limitar!e a con!iderar en !u lugar

cantidade! a la! (ue !implemente !e puede Facer tan grande! o tan pe(ue?a! como !e(uiera & (ue por tal ra)ón pueden !er llamada! indefinidamente grande! eindefinidamente pe(ue?a! !in duda Fabría !ido me*or comen)ar con e!to & e#itar a!íintroducir ficcione! (ue !ea cual pueda !er por otra parte !u fundamentum in re no tienenen !uma ningún empleo efecti#o no !ólo para el c+lculo !ino tampoco para el propiomtodo infinite!imal. La! e;pre!ione! "indefinidamente grande" e "indefinidamentepe(ue?o" o lo (ue e! lo mi!mo pero (ui)+ m+! preci!o "indefinidamente creciente" e"indefinidamente decreciente" no !olamente tienen la #enta*a de !er la! única!riguro!amente e;acta!9 tambin la de mo!trar claramente (ue la! cantidade! a la! (ue !eaplican no pueden !er !ino cantidade! #ariable! & no determinada!.Como con ra)ón Fa dicFo un matem+tico "lo infinitamente pe(ue?o no e! una cantidadmu& pe(ue?a (ue tenga un #alor actual !u!ceptible de determinación9 !u car+cter con!i!te en !er eminentemente #ariable & poder adoptar un #alor menor a cual(uiera (uepudiera preci!ar!e9 !ería mucFo me*or llamarla indefinidamente pe(ue?a"6.

El empleo de tale! trmino! Fabría e#itado mucFa! dificultade! & di!cu!ione! & no Fa&nada e;tra?o en ello pue! no !e trata de una !imple cue!tión de palabra! !ino de la!u!titución de una idea fal!a por una idea *u!ta de una ficción por una realidad9 noFubiera permitido e!pecialmente la interpretación de la! cantidade! infinite!imale! por cantidade! fi*a! & determinada! pue! la palabra "indefinido" implica !iempre por !í mi!mauna idea de "de#enir" tal como ante! Femo! indicado & en con!ecuencia de cambio ocuando !e trata de cantidade! de #ariación9 & !i Leibnit) !e Fubiera !er#ido de ellaFabitualmente !in duda no !e Fabría de*ado conducir tan f+cilmente a la mole!ta

comparación del grano de arena. Por a?adidura reducir infinite par4a ad indefinite par4aFabría !ido en todo ca!o m+! claro (ue Facerlo ad incompara'iliter par4a9 Fabría ganadopreci!ión !in (ue por ello la e;actitud tu#iera nada (ue perder !ino mu& al contrario. La!cantidade! infinite!imale! !on con !eguridad "incomparable!" a la! cantidade! ordinaria!pero e!to podría entender!e de m+! de una manera & efecti#amente !e Fa entendido amenudo en !entido! diferente! al (ue Fabría FecFo falta9 e! me*or decir (ue !on"ina!ignable!" !egún otra e;pre!ión de Leibnit) pue! e!te trmino parece no poder entender!e riguro!amente !ino de la! cantidade! (ue !on !u!ceptible! de Facer!e tanpe(ue?a! como !e (uiera & a la! cuale! no !e puede con!ecuentemente "a!ignar"

2 CF. de >re&cinet %e l1&nalyse infinitsimale pp. :/-::. El autor a?ade@ "Pero &a (ue la primeradenominación 6la de infinitamente pe(ue?a= Fa pre#alecido en el lengua*e Femo! creído deber

con!er#arla". Con toda !eguridad !te e! un e!crúpulo e;ce!i#o pue! el empleo no puede ba!tar para *u!tificar la! incorreccione! & la! impropiedade! del lengua*e & !i nunca !e o!ara al)ar!econtra lo! abu!o! de e!te gnero ni !i(uiera !e podría intentar introducir en lo! trmino! m+!e;actitud & preci!ión (ue lo! (ue implica !u u!o corriente.

3&



ningún #alor determinado por pe(ue?o (ue !ea & e! en efecto !te el !entido de la!indefinite par4a. Lamentablemente e! ca!i impo!ible !aber !i en el pen!amiento deLeibnit) "incomparable" e "ina!ignable" !on #erdadera & completamente !inónimo!9 peroen todo ca!o al meno! e! !eguro (ue una cantidad propiamente "ina!ignable" en ra)ónde la po!ibilidad de decrecimiento indefinido (ue implica e! por ello "incomparable" a todacantidad determinada e inclu!o para e;tender e!ta idea a lo! diferente! órdene!infinite!imale! a toda cantidad con relación a la cual puede menguar indefinidamente

mientra! (ue e!ta mi!ma cantidad e! con!iderada como po!e&endo una fi*e)a al meno!relati#a. Ai Fa& un punto !obre el cual todo el mundo puede en !uma poner!e f+cilmente deacuerdo inclu!o !in profundi)ar dema!iado en cue!tione! de principio! e! (ue la idea delo indefinidamente pe(ue?o de!de el punto de #i!ta puramente matem+tico al meno!ba!ta perfectamente para el an+li!i! infinite!imal & lo! mi!mo! "infiniti!ta!" reconocene!to !in grande! e!fuer)o!7. Podemo! entonce! a e!te re!pecto atenerno! a unadefinición como la de Carnot@ "Zu e! una cantidad denominada infinitamente pe(ue?aen matem+tica!M Nada m+! (ue una cantidad a la (ue !e puede Facer tan pe(ue?a como!e (uiera !in (ue por ello !e e!t obligado a #ariar a(uella! otra! con la! (ue !e bu!cauna relación"8. Pero en cuanto al #erdadero !ignificado de la! cantidade! infinite!imale!no toda la cue!tión !e limita a ello@ poco importa para el c+lculo (ue lo! infinitamente

pe(ue?o! no !ean m+! (ue ficcione! &a (ue no! podemo! limitar a la con!ideración delo! indefinidamente pe(ue?o! (ue no ofrece ninguna dificultad lógica9 & por otra partede!de el momento en (ue por la! ra)one! metafí!ica! (ue Femo! e;pue!to en unprincipio no podemo! admitir un infinito cuantitati#o &a !ea de grande)a o de pe(ue?e)%ni ningún infinito de un orden determinado & relati#o cual(uiera e! cierto (ue en efecto nopueden !er m+! (ue ficcione! & ninguna otra co!a9 pero !i e!ta! ficcione! Fan !idointroducida! con o !in ra)ón en el origen del c+lculo infinite!imal e! por(ue en laintención de Leibnit) debían corre!ponder a algo por mu& defectuo!a (ue !ea la maneraen la (ue Fan !ido e;pre!ada!. Pue!to (ue e! de lo! principio! de lo (ue a(uí no!ocupamo! & no de un procedimiento de c+lculo en cierto modo reducido a !í mi!mo lo(ue carecería de inter! para no!otro! debemo! preguntarno! cu+l e! el #alor de e!ta!ficcione! no !olamente de!de el punto de #i!ta lógico !ino tambin de!de el punto de#i!ta ontológico !i e!t+n tan "bien fundada!" como lo creía Leibnit) e inclu!o !i podemo!decir con l (ue !on toleranter 4erae & aceptarla! al meno! como tale! modo sano sensuintelligantur 9 para re!ponder a e!ta! cue!tione! deberemo! e;aminar m+! de cerca !uconcepción de la "le& de continuidad" &a (ue e! en !ta donde pen!aba encontrar elfundamentum in re de lo! infinitamente pe(ue?o!.

5 er e!pecialmente L. Couturat %e l1infini mathmati(ue p. :27 nota@ "Puede lógicamentecon!tituir!e el c+lculo infinite!imal tan !ólo !obre la noción de lo indefinido...". E! cierto (ue elempleo de la palabra "lógicamente" implica a(uí una re!er#a pue! para el autor !e opone a"racionalmente" lo (ue por lo dem+! e! una terminología ba!tante e;tra?a9 no por ello la confe!iónde*a de !er intere!ante.

3 Rfle;ions sur la Mtaphysi(ue du Calcul infinitsimal p. 5 nota9 cf. ibid. p. :8. El título de e!taobra e!t+ mu& poco *u!tificado pue! en realidad no !e encuentra en ella la menor idea de ordenmetafí!ico.

0 La dema!iado clebre concepción de lo! "do! infinito!" de Pa!cal e! metafí!icamente ab!urda &no e! m+! (ue el re!ultado de una confu!ión entre lo infinito & lo indefinido tomando a !te en lo!do! !entido! opue!to! de la! magnitude! creciente! & la! menguante!.

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Capí!"# *II$ LOS 'GRADOS DE INFINITUD'

<oda#ía no Femo! tenido oca!ión de #er en lo (ue precede toda! la! confu!ione! (ueine#itablemente !e introducen cuando !e admite la idea del infinito en acepcione!diferente! a !u único !entido #erdadero & propiamente metafí!ico9 !e encontraría m+! deun e*emplo e!pecialmente en la larga di!cu!ión (ue Leibnit) mantu#o con ean Vernoulli

acerca de la realidad de la! cantidade! infinita! e infinitamente pe(ue?a! di!cu!ión (uepor lo dem+! no de!embocó en ninguna conclu!ión definiti#a ni podía Facerlo a cau!ade e!a! mi!ma! confu!ione! a cada in!tante cometida! tanto por uno como por otro & ala carencia de principio! de lo! (ue pudieran proceder9 por lo dem+! !ea cual !ea elorden de idea! en (ue uno !e !itúe !iempre e! en !uma la carencia de principio! lo (ueFace in!oluble cual(uier tema. Puede e;tra?ar entre otra! co!a! (ue Leibnit) Fa&ae!tablecido una diferencia entre "infinito" e "indeterminado" & (ue no Fa&a a!í recFa)adoab!olutamente la idea no ob!tante manifie!tamente contradictoria de un "infinitoterminado" !i bien llegó a preguntar!e "!i !ería po!ible la e;i!tencia por e*emplo de unalínea recta infinita & no ob!tante terminada por amba! parte!" 1. Ain duda le repugnaadmitir e!ta po!ibilidad "tanto (ue me Fa parecido afirma en otro lugar (ue lo infinitotomado en rigor deber tener origen en lo indeterminado pue! de lo contrario no #eo medio

de encontrar un fundamento propio para di!tinguirlo de lo finito"2. Pero !i e!to !ignificadicFo de una manera m+! afirmati#a de lo (ue lo Face (ue "lo infinito tiene !u origen en loindeterminado" e! (ue no lo con!idera como !indole ab!olutamente idntico (ue lodi!tingue de ello en cierta medida9 & en tanto a!í !ea !e corre el rie!go de encontrar!eata!cado ante una multitud de idea! e;tra?a! & contradictoria!. E! cierto (ue Leibnit)declaró (ue no admitía tale! idea! & (ue !ería nece!ario (ue fueran "for)ada! mediantedemo!tracione! indudable!"9 pero &a e! ba!tante gra#e otorgarle! cierta importancia einclu!o con!iderarla! de otro modo (ue como pura! impo!ibilidade!9 en lo (ue conciernepor e*emplo a la idea de una e!pecie de "eternidad terminada" (ue !e encuentra entrela! (ue a tal propó!ito enuncia no podemo! #er en ella m+! (ue el producto de unaconfu!ión entre la! idea! de eternidad & duración (ue con re!pecto a la metafí!ica e!ab!olutamente in*u!tificable. dmitamo! (ue el tiempo en el cual tran!curre nue!tra #idacorporal !ea realmente indefinido lo (ue de ningún modo e;clu&e (ue e!t "terminado por una & otra parte" e! decir (ue tenga a la #e) un origen & un fin de acuerdo con laconcepción cíclica tradicional9 admitamo! tambin (ue e;i!tan otro! modo! de duracióncomo a(uel al (ue lo! e!col+!tico! denominaban ?4um cu&a indefinidad e! !i podemo!e;pre!arno! a!í indefinidamente ma&or (ue la del tiempo9 pero todo! e!to! modo! entoda !u po!ible e;ten!ión no !on !in embargo m+! (ue indefinido! &a (ue !e trata!iempre de condicione! particulare! de e;i!tencia propia! de tal o cual e!tado & ningunode ello! debido a (ue !on duracione! e! decir a (ue implican una !uce!ión puede !er identificado o a!imilado con la eternidad con la (ue no tiene realmente m+! relación (uela (ue tiene lo finito !ea ba*o el modo (ue !ea con el #erdadero Infinito pue!to (ue laconcepción de una eternidad relati#a no po!ee m+! !entido (ue la de una infinitud

relati#a. En todo ello no cabe con!iderar !ino di#er!o! órdene! de indefinidad tal como !e#er+ me*or a continuación9 pero Leibnit) a falta de Faber reali)ado la! nece!aria! &e!enciale! di!tincione! & !obre todo de Faber abandonado el principio (ue e! lo único(ue le Fabría permitido no e;tra#iar!e !e Falla dema!iado confu!o como para refutar la!opinione! de Vernoulli el cual inclu!o lo cree tan e(uí#oca! & dubitati#a! !on !u!re!pue!ta! meno! ale*ado de lo (ue en realidad lo e!t+ de !u! propia! idea! acerca de la"infinitud de lo! mundo!" & de lo! diferente! "grado! de infinitud".

E!ta concepción de lo! pretendido! "grado! de infinitud" e(ui#ale en !uma a !uponer (ue pueden e;i!tir mundo! incomparablemente ma&ore! & m+! pe(ue?o! (ue el nue!troguardando entre !í la! parte! corre!pondiente! de cada uno de ello! proporcione!e(ui#alente! de tal modo (ue lo! Fabitante! de uno cual(uiera de e!to! mundo! podrían

/ Carta a ean Vernoulli /3 de no#iembre de /203.

: Carta &a citada a arignon : de febrero de /58:.

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con!iderarlo como infinito con tanta ra)ón como no!otro! lo Facemo! con re!pecto alnue!tro9 m+! bien diríamo! por nue!tra parte con tan poca ra)ón. <al manera decon!iderar la! co!a! no tendría a priori nada de ab!urdo !in la introducción de la idea delo infinito (ue ciertamente no tiene nada (ue #er con ello@ cada uno de e!to! mundo! por grande (ue !e lo !uponga no por ello e! meno! limitado9 entonce! cómo puede !er llamado infinitoM La #erdad e! (ue ninguno de ello! puede !erlo realmente aun(ue no !ea!ino por(ue !on concebido! como múltiple! & regre!amo! a!í con e!to a la contradicción

de una pluralidad de infinito!9 & por otra parte !i alguno! o mucFo! llegan a con!iderar anue!tro mundo como tal no por ello e! meno! cierto (ue e!ta opinión no puede ofrecer !entido alguno aceptable. Por lo dem+! no! podemo! preguntar !i !e trata de mundo!diferente! o !i m+! bien no !on !implemente parte! m+! o meno! e;ten!a! de unmi!mo mundo &a (ue por Fipóte!i! deben e!tar todo! !ometido! a la! mi!ma!condicione! de e;i!tencia & e!pecialmente a la condición e!pacial de!arroll+ndo!e enuna e!cala !implemente ma&or o menor. E! en un !entido mu& di!tinto como !e puedeFablar #erdaderamente de la indefinidad de lo! mundo! & no de !u infinitud & ello tan!ólo por(ue adem+! de la! condicione! de e;i!tencia tale! como el e!pacio & el tiempo(ue !on propia! de nue!tro mundo con!iderado en toda la e;ten!ión de la (ue e!!u!ceptible Fa& una indefinidad de otra! igualmente po!ible!9 un mundo e! decir en!uma un e!tado de e;i!tencia !e definir+ a!í por el con*unto de la! condicione! a la! (ue

e!t+ !ometido9 pero pue!to (ue e!tar+ !iempre condicionado e! decir determinado &limitado & no comprender+ por ello toda! la! po!ibilidade! *am+! podr+ !er con!ideradocomo infinito !ino !olamente como indefinido3. En el fondo la con!ideración de "mundo!" en el !entido en (ue lo entiende Vernoulliincomparablemente ma&ore! o menore! uno! con re!pecto a otro! no e!e;tremadamente diferente de a(uella a la (ue recurrió Leibnit) cuando con!ideró "elfirmamento con re!pecto a la tierra & la tierra con re!pecto a un grano de arena" & !tecon re!pecto a "una partícula de materia magntica (ue atra#ie!a un #idrio". Aólo (ueLeibnit) no pretende Fablar de gradus infinitatis en !entido propio9 inclu!o trata dedemo!trar con ello por el contrario (ue "no Fa& nece!idad de tomar a(uí a lo infinito enrigor" & !e limita a con!iderar lo! "incomparable!" contra lo cual nada puede lógicamenteob*et+r!ele. El defecto de !u comparación e! de otro orden & con!i!te como &a Femo!dicFo en (ue no puede dar m+! (ue una idea ine;acta inclu!o completamente fal!a dela! cantidade! infinite!imale! tal como !e introducen en el c+lculo. <endremo! de!pu!oca!ión de !u!tituir e!ta con!ideración por la de lo! #erdadero! grado! múltiple! deindefinidad tomado! tanto en el orden creciente como en el orden menguante9 noin!i!tiremo! pue! dema!iado por el momento. En !uma la diferencia entre Vernoulli & Leibnit) con!i!te en (ue para el primero !etrata #erdaderamente de "grado! de infinitud" a pe!ar de (ue no !e lo! repre!ente m+!(ue con #i!ta! a una probable con*etura mientra! (ue el !egundo dudando de !uprobabilidad e inclu!o de !u po!ibilidad !e limita a reempla)arlo! por lo (ue podríadenominar!e "grado! de incomparabilidad". parte de e!ta diferencia por otra parte con!eguridad mu& importante la concepción de una !erie de mundo! !eme*ante! entre !í

pero en diferente! e!cala! le! e! común9 e!ta concepción no de*a de tener cierta relaciónal meno! oca!ional con lo! de!cubrimiento! debido! al empleo del micro!copio tambinen la mi!ma poca & con cierta! opinione! (ue entonce! !to! !ugirieron pero (ue nofueron en ab!oluto *u!tificada! por la! ob!er#acione! po!teriore! como la teoría del"a*u!te de lo! grmene!"@ no e! cierto (ue en el germen el !er #i#o e!t actual &corporalmente "preformado" en toda! !u! parte! & la organi)ación de una clula no tiene!eme*an)a alguna con la del con*unto del cuerpo del (ue forma parte. En cuanto aVernoulli al meno! no parece dudo!o (ue !ea !te el origen de !u concepción9 en efectodice entre otra! co!a! mu& !ignificati#a! a e!te re!pecto (ue la! partícula! de un cuerpocoe;i!ten en el todo "como !egún Jar#e& & otro! aun(ue no !ea !ta la opinión deLeuOenFoecG Fa& en un animal innumerable! ó#ulo! en cada ó#ulo un anim+lculo om+! en cada anim+lculo innumerable! ó#ulo! & a!í Fa!ta el infinito"4.

4 er a e!te re!pecto Les 9tats multiples de l1:tre2

1 Carta del :4 de *ulio de /203.

34



En lo referente a Leibnit) #erdaderamente Fa& algo mu& di!tinto en !u punto departida@ a!í la idea de (ue todo! lo! a!tro! (ue #emo! podrían no !er m+! (ue elemento!del cuerpo de un !er incomparablemente m+! grande no! recuerda la concepción del"ran Jombre" de la H+bala aun(ue !ingularmente materiali)ada & "e!paciali)ada" por una e!pecie de ignorancia !obre el #erdadero #alor analógico del !imboli!mo tradicional9igualmente la idea del "animal" e! decir del !er #i#o !ub!i!tiendo corporalmente tra! lamuerte pero "reducido" e!t+ manifie!tamente in!pirada en la concepción del " lu8 " o

"núcleo de inmortalidad" !egún la tradición *udía5

concepción (ue Leibnit) deformaigualmente al ponerla en relación con la de lo! mundo! incomparablemente m+!pe(ue?o! (ue el nue!tro pue! !egún dice "nada impide (ue lo! animale! al morir !eantran!ferido! a tale! mundo!9 &o pien!o efecti#amente (ue la muerte no e! m+! (ue unacontracción del animal del mi!mo modo (ue la generación no e! !ino una e#olución"6e!tando a(uí e!ta última palabra tomada !implemente en !u !entido etimológico de"de!arrollo". <odo e!to no e! en el fondo m+! (ue un e*emplo del peligro (ue e;i!te en(uerer Facer concordar nocione! tradicionale! con la! opinione! de la ciencia profana locual no puede Facer!e !ino en detrimento de la! primera!9 con toda !eguridad !ta! !onab!olutamente independiente! de la! teoría! !u!citada! por la! ob!er#acione!micro!cópica! & Leibnit) al relacionarla! & me)clar una! con otra! actuaba &a como m+!tarde debían Facerlo lo! oculti!ta! (ue !e pre!tan mu& e!pecialmente a e!to! tipo! de

comparacione! in*u!tificada!. Por otra parte la !uperpo!ición de lo! "incomparable!" deórdene! diferente! !e le anto*aba adecuada a !u concepción del "me*or de lo! mundo!"como !umini!trando un medio para poder !ituar !egún la definición (ue da "tanto! !ere!o realidade! como !ea po!ible"9 & e!ta idea del "me*or de lo! mundo!" pro#iene tambinde otro dato tradicional mal aplicado e;traído de la geometría !imbólica de lo!Pitagórico! tal & como &a en otro lugar Femo! indicado 7@ la circunferencia e! de entretoda! la! línea! de igual longitud la (ue en#uel#e la m+;ima !uperficie del mi!mo modo(ue la e!fera e! de entre todo! lo! cuerpo! de igual !uperficie el (ue contiene el m+;imo#olumen & !ta e! una de la! ra)one! por la! (ue e!ta! figura! eran con!iderada! comola! m+! perfecta!9 pero !i bien e;i!te a e!te re!pecto un m+;imo no e;i!te por elcontrario un mínimo e! decir no e;i!ten figura! (ue encierren una !uperficie o un#olumen menor (ue todo! lo! dem+! & por ello Leibnit) !e #io obligado a pen!ar (ue !iFa& un "me*or de lo! mundo!" no debe Faber en cambio un "peor de lo! mundo!" e!decir un mundo (ue contenga meno! !ere! (ue cual(uier otro mundo po!ible. Ae !abepor otra parte (ue con e!ta concepción del "me*or de lo! mundo!" al mi!mo tiempo (uecon la de lo! "incomparable!" e!t+n relacionada! la! conocida! comparacione! entre el"*ardín lleno de planta!" & el "e!tan(ue lleno de pece!" en donde "cada brote de la plantacada miembro del animal cada gota de !u! Fumore! e! tambin otro *ardín u otroe!tan(ue"89 & ello no! conduce naturalmente a abordar otra cue!tión afín la de la "di#i!iónde la materia Fa!ta el infinito".

7 a!e Le Roi du Monde pp. 35-30.

2 Carta &a citada a ean Vernoulli /3 de no#iembre de /203.

5

Le !ym'olisme de la Croi; p. 73. cerca de la di!tinción entre lo! "po!ible!" & lo! "compo!ible!"de la (ue por otra parte depende la concepción del "me*or de lo! mundo!" cf. Les 9tats multiplesde l1:tre cap. II.

3 Monadologie 259 cf. ibid 51.

35



36



Capí!"# *III$ 'DI*ISIÓN AL INFINITO' O DI*ISI)ILIDAD INDEFINIDA

Para Leibnit) la materia no !olamente e! di#i!ible !ino tambin "!ubdi#i!ibleactualmente !in fin" en toda! !u! parte! "cada parte en m+! parte! & cada una de ella!con mo#imiento propio"19 e in!i!te !obre todo en e!ta opinión con ob*eto de apo&ar teóricamente la concepción (ue Femo! e;pue!to en último lugar@ "de la actual di#i!ión !e

deduce (ue en una parte de la materia por pe(ue?a (ue !ea Fa& como un mundocon!i!tente en innumerable! criatura!"2. Vernoulli admite igualmente e!ta di#i!ión actualde la materia 3in partes numero infinitas" pero e;trae con!ecuencia! no aceptada! por Leibnit)@ "Ai un cuerpo finito dice po!ee parte! infinita! en número !iempre Fe creído &toda#ía creo (ue la m+! pe(ue?a de e!ta! parte! debe tener con el todo una relaciónina!ignable o infinitamente pe(ue?a"39 a lo cual Leibnit) re!ponde@ "Inclu!o aun(ue !ellegue al acuerdo de (ue no e;i!te ninguna porción de materia (ue no !ea actualmentedi#i!ible no !e alcan)an !in embargo lo! elemento! indi#i!ible! o la! parte! m+!pe(ue?a! (ue toda! la! dem+! o infinitamente pe(ue?a! !ino !olamente parte! cada#e) m+! pe(ue?a! (ue no ob!tante !on cantidade! ordinaria! al igual (ueaument+ndola! !e llega a cantidade! !iempre m+! grande!"4. E! entonce! la e;i!tenciade la! "minimae portiones" o de lo! "último! elemento!" lo (ue niega Leibnit)9 por el

contrario para Vernoulli parece e#idente (ue la di#i!ión actual implica la e;i!tencia!imult+nea de todo! lo! elemento! del mi!mo modo (ue !i !e da una !erie "infinita"todo! lo! trmino! (ue la con!titu&en deben !er dado! !imult+neamente lo (ue implica lae;i!tencia del "terminus infinitesimus". Pero para Leibnit) la e;i!tencia de e!te trminono e! meno! contradictoria (ue la de un "número infinito" & la noción del m+! pe(ue?o delo! número! o de la "fractio omnium infima" no lo e! meno! (ue la del ma&or de lo!número!9 lo (ue l con!idera como la "infinitud" de una !erie !e caracteri)a por laimpo!ibilidad de alcan)ar un último trmino & la materia no !ería di#i!ible "al infinito" !ie!ta di#i!ión pudiera terminar & alcan)ara a lo! "último! elemento!"9 & no e! !ólo (ue nopodamo! llegar de FecFo a e!to! último! elemento! como concede Vernoulli !ino (uem+! bien no deben e;i!tir en la naturale)a. No Fa& elemento! corporale! indi#i!ible! o"+tomo!" en el !entido propio de la palabra a!í como no Fa& en el orden numricofracción indi#i!ible (ue no pueda dar nacimiento a fraccione! !iempre m+! pe(ue?a! oen el orden geomtrico elemento lineal (ue no pueda partir!e en elemento! m+!pe(ue?o!. En el fondo el !entido en el (ue Leibnit) en todo e!to admite la palabra "infinito" e!e;actamente el (ue le da cuando Fabla tal como &a Femo! #i!to de una "multitudinfinita"@ para l decir de una !erie cual(uiera como la !erie de lo! número! entero! (uee! infinita no !ignifica (ue !ta deba de!embocar en un " terminus infinitesimus" o en un"número infinito" !ino por el contrario (ue no debe tener un último trmino &a (ue lo!trmino! (ue comprende !on " plus (uam numero designari possint " e! decir (uecon!titu&en una multitud (ue !upera todo número. Igualmente !i puede decir!e (ue lamateria e! di#i!ible Fa!ta el infinito e! por(ue una cual(uiera de !u! porcione! por

pe(ue?a (ue !ea en#uel#e !iempre una tal multitud9 en otro! trmino!@ la materia nopo!ee " partes minimae" o elemento! !imple! e! e!encialmente un compue!to@ "E! cierto(ue la! !ub!tancia! !imple! e! decir la! (ue no e!t+n FecFa! por agregación !on#erdaderamente indi#i!ible! pero !on inmateriale! & no con!i!ten m+! (ue en principio!de acción"5. <an !ólo en el !entido de una multitud innumerable por otra parte mu&Fabitual en Leibnit) puede aplicar!e la idea del !upue!to infinito a la materia a lae;ten!ión geomtrica & en general a lo continuo con!iderado ba*o el a!pecto de !u

/ Monadologie 27.

: Carta a ean Vernoulli /:-:: de *ulio de /203.

4

Carta &a citada del :4 de *ulio de /203.1 Carta del :0 de *ulio de /203.

7 Carta a arignon :8 de *unio de /58:.

37



compo!ición9 por lo dem+! e!te !entido no e! e;clu!i#amente propio del "infinitumcontinuum"9 !e e;tiende tambin al "infinitum discretum" tal como Femo! #i!to por ele*emplo de la multitud de todo! lo! número! & por el de la! "!erie! infinita!". Por elloLeibnit) pudo decir (ue una magnitud e! infinita en lo (ue tiene de "inagotable" lo (ueFace "(ue !e pueda !iempre tomar una magnitud tan pe(ue?a como !e (uiera"9 & "!igue!iendo #erdad por e*emplo (ue : e! tanto como /B/ [ /B: [ /B1 [ /B3 [ /B/2 [ /B4: [ ...etc. lo cual con!titu&e una !erie indefinida en la (ue toda! la! fraccione! de numerador /

& denominadore! de progre!ión geomtrica doble e!t+n comprendido! a la #e) aun(ueno !e empleen nunca m+! (ue número! ordinario! & a pe!ar de (ue no !e Faga entrar ninguna fracción infinitamente pe(ue?a o cu&o denominador !ea un número infinito"6. dem+! lo (ue acabamo! de decir permite comprender la manera en (ue Leibnit) aúnafirmando (ue lo infinito en el !entido en (ue l lo entiende no e! un todo puede noob!tante aplicar e!ta idea a lo continuo@ un con*unto continuo como un cuerpo cual(uieracon!titu&e un todo e inclu!o lo (ue anteriormente Femo! llamado un todo #erdaderológicamente anterior a !u! parte! e independiente de !ta! pero e#identemente e!!iempre finito en tanto (ue tal9 no e! entonce! ba*o el a!pecto del todo como Leibnit)puede con!iderarlo infinito !ino !olamente ba*o el a!pecto de la! parte! en (ue e! opuede !er di#idido & en tanto (ue la multitud de e!ta! parte! !upera efecti#amentecual(uier número a!ignable@ e! lo (ue podría llamar!e una concepción analítica del

infinito debido a (ue en efecto e! tan !ólo analíticamente (ue la multitud de (ue !e tratae! inagotable tal como m+! adelante e;plicaremo!. Ai no! preguntamo! cu+l e! el #alor de la idea de la "di#i!ión al infinito" debemo!reconocer (ue como la de la "multitud infinita" contiene cierta parte de #erdad aun(ue lamanera en la (ue e! e;pre!ada e!t le*o! de permanecer al abrigo de toda crítica@ enprimer lugar e! e#idente (ue !egún todo lo (ue Fa!ta aFora Femo! e;pue!to no puedetratar!e en ab!oluto de di#i!ión al infinito !ino !olamente de di#i!ión indefinida9 por otraparte e! nece!ario aplicar e!ta idea no a la materia en general lo (ue no tendría !entidoalguno !ino !olamente a lo! cuerpo! o a la materia corporal !i !e per!i!te en Fablar a(uíde "materia" a pe!ar de la e;trema o!curidad de e!ta noción & de lo! múltiple! e(uí#oco!a lo! (ue da lugar 7. En efecto la di#i!ibilidad pertenece propiamente a la e;ten!ión & no ala materia !ea cual !ea la acepción en (ue !e la entienda & no podrían confundir!e a(uíuna & otra m+! (ue a condición de adoptar la concepción carte!iana (ue Face con!i!tir e!encial & únicamente la naturale)a de lo! cuerpo! en la e;ten!ión idea !ta (ue por otraparte tampoco admitía Leibnit)9 !i todo cuerpo e! entonce! nece!ariamente di#i!ible e!por(ue e! e;ten!o & no por(ue !ea material. Fora bien recordmo!lo una #e) m+! lae;ten!ión !iendo algo determinado no puede !er infinita & a!í pue! no puedee#identemente implicar ninguna po!ibilidad infinita9 pero como la di#i!ibilidad e! unacualidad inFerente a la naturale)a de la e;ten!ión !u limitación no puede #enir !ino dee!ta propia naturale)a9 en tanto Fa&a e;ten!ión !ta e! !iempre di#i!ible de modo (uepuede con!iderar!e a la di#i!ibilidad como realmente indefinida e!tando por otra parte !uindefinidad condicionada por la de la e;ten!ión. Por con!iguiente la e;ten!ión como talno puede e!tar compue!ta de elemento! indi#i!ible! &a (ue e!to! elemento! para !er

#erdaderamente indi#i!ible! deberían !er ine;ten!o! & una !uma de elemento!ine;ten!o! *am+! puede con!tituir una e;ten!ión a!í como tampoco una !uma de cero!puede nunca llegar a con!tituir un número9 e! por ello tal como en otro lugar Femo!e;plicado8 (ue lo! punto! no !on lo! elemento! o parte! de una línea & (ue lo!#erdadero! elemento! lineale! !on !iempre la! di!tancia! entre lo! punto! (uecon!titu&en tan !ólo !u! e;tremo!. E! por otra parte a!í como el propio Leibnit)con!ideraba la! co!a! a e!te re!pecto & lo (ue !egún l con!titu&e preci!amente ladiferencia fundamental entre !u mtodo infinite!imal & el "mtodo de lo! indi#i!ible!" deCa#alieri e! (ue l no con!idera a una línea como compue!ta de punto! ni a una!uperficie como compue!ta de línea! ni a un #olumen como compue!to de !uperficie!@


5 Aobre e!te a!unto #er Le Règne de la Quantit et les !ignes des "emps.

3 Le !ym'olisme de la Croi; cap. %I.

38



punto! línea! & !uperficie! no !on a(uí m+! (ue límite! o e;tremo! & no elemento!con!tituti#o!. E! e#idente en efecto (ue lo! punto! multiplicado! por la cantidad (ue!ea *am+! podrían producir una longitud &a (ue !on riguro!amente nulo! con re!pecto a!ta9 lo! #erdadero! elemento! de una magnitud deben !er !iempre de la mi!manaturale)a (ue e!ta magnitud aun(ue incomparablemente menore!@ e! lo (ue no tienelugar con lo! "indi#i!ible!" & por otra parte e! lo (ue permite ob!er#ar en el c+lculoinfinite!imal cierta le& de Fomogeneidad (ue !upone (ue la! cantidade! ordinaria! & la!

infinite!imale! de di#er!o! órdene! aun(ue incomparable! entre ella! !on no ob!tantemagnitude! de la mi!ma e!pecie. Puede decir!e adem+! de!de e!te punto de #i!ta (ue la parte !ea cual !ea debecon!er#ar !iempre cierta "Fomogeneidad" o conformidad de naturale)a con el todo almeno! en tanto !e con!idere a e!te todo como pudiendo !er recon!tituido partiendo de!u! parte! mediante un procedimiento comparable al empleado en la formación de una!uma aritmtica. E!to por otra parte no !ignifica (ue no Fa&a nada !imple en la realidad&a (ue lo compue!to puede !er formado a partir de lo! elemento! de una forma di!tinta9pero entonce! a decir #erdad e!to! elemento! &a no !on propiamente "parte!" & talcomo lo reconocía Leibnit) no pueden en modo alguno !er de orden corporal. Lo (ue enefecto e! cierto e! (ue no pueden alcan)ar!e lo! elemento! !imple! e! decir indi#i!ible!!in Faber !alido de e!a condición e!pacial (ue e! la e;ten!ión de manera (ue !ta no

puede !er re!uelta en dicFo! elemento! !in de*ar de !er en tanto (ue e;ten!ión.Inmediatamente !e deduce de ello (ue no pueden e;i!tir elemento! corporale!indi#i!ible! & (ue e!ta idea implica contradicción9 efecti#amente !eme*ante! elemento!deberían !er ine;ten!o! & entonce! &a no !erían corporale! pue! por definición (uiendice corporal dice for)o!amente e;ten!o aun(ue no !ea !ta por lo dem+! toda lanaturale)a de lo! cuerpo!9 & a!í a pe!ar de toda! la! re!er#a! (ue debemo! Facer ba*ootro! a!pecto! Leibnit) tenía al meno! ra)ón al !ituar!e contra el atomi!mo. Pero Fa!ta aFora no Femo! Fablado de di#i!ibilidad e! decir de la po!ibilidad dedi#i!ión9 e! preci!o ir m+! le*o! & admitir con Leibnit) una "di#i!ión actual"M E!ta ideaaún no e!t+ e;enta de contradicción pue! implica !uponer un indefinido enteramentereali)ado & por ello e! contraria a la naturale)a mi!ma de lo indefinido (ue con!i!te en!er !iempre como Femo! dicFo una po!ibilidad en #ía! de de!arrollo e! decir enimplicar e!encialmente algo inacabado toda#ía no completamente reali)ado. Por otraparte #erdaderamente no e;i!te ra)ón alguna para Facer tal !upo!ición pue! cuandono! Fallamo! en pre!encia de un con*unto continuo e! el todo lo (ue no! e! dado & nola! parte! en la! (ue puede !er di#idido de modo (ue concebimo! !olamente lapo!ibilidad de di#idir e!te todo en parte! (ue podr+n !er FecFa! cada #e) m+! pe(ue?a!Fa!ta !er menore! (ue cual(uier magnitud dada con tal de (ue la di#i!ión !ea lle#adam+! le*o!9 de FecFo !omo! no!otro! entonce! (uiene! reali)amo! la! parte! a medida(ue efectuamo! dicFa di#i!ión. !í lo (ue no! e;ime de !uponer la "di#i!ión actual" e! ladi!tinción anteriormente e!tablecida con re!pecto a la! diferente! forma! en la! (ue untodo puede !er con!iderado@ un con*unto continuo no e! el re!ultado de la! parte! en la!(ue e! di#i!ible pue! por el contrario e! independiente de ella! & en con!ecuencia el

FecFo de (ue no! !ea dado como un todo no implica en ab!oluto la e;i!tencia actual dee!a! parte!. Igualmente de!de otro punto de #i!ta & pa!ando a la con!ideración de lo di!continuopodemo! decir (ue !i no! e! dada una !erie numrica indefinida ello no implica en modoalguno (ue todo! lo! trmino! (ue comprende no! !ean dado! di!tintamente lo cual e!una impo!ibilidad pue!to (ue e! indefinida9 en realidad dar una !erie tal e! !implementedar la le& (ue permite calcular el trmino (ue ocupa en la !erie un rango determinadocual(uiera (ue !te !ea%. Ai Leibnit) Fubiera dado e!ta re!pue!ta a Vernoulli !u di!cu!ión

0 Cf. Le Couturat %e l1infini mathmati(ue p. 125@ "La !erie natural de lo! número! no! e! dadaentera por !u le& de formación a!í como por lo dem+! toda! la! re!tante! !erie! & categoría!infinita! en la! (ue ba!ta una fórmula de recurrencia en general para definirla enteramente de tal

forma (ue !u límite o !u !uma 6cuando e;i!te= !e encuentra por ello completamente determinado...E! gracia! a la le& de formación de la !erie natural (ue tenemo! la idea de todo! lo! número!entero! en el !entido de (ue !on dado! con*untamente en e!ta le&". Puede decir!e en efecto (uela fórmula general (ue e;pre!a el trmino ensimo de una !erie contiene potencial eimplícitamente aun(ue no actual & di!tintamente todo! lo! trmino! de dicFa !erie &a (ue puede

3%



!obre la e;i!tencia del "terminus infinitesumus" Fabría concluido inmediatamente9 pero noFabría podido Facerlo !in !er lógicamente inducido a renunciar a !u idea de la "di#i!iónactual" a meno! de negar toda correlación entre el modo continuo de la cantidad & !umodo di!continuo. Aea como fuere al meno! en cuanto a lo continuo e! preci!amente en la "indi!tinción"de la! parte! donde podemo! #er la raí) de la idea del infinito tal como Leibnit) locomprende &a (ue como Femo! dicFo anteriormente e!ta idea implica !iempre para l

cierta parte de confu!ión9 pero tal "indi!tinción" le*o! de !uponer una di#i!ión reali)adatendería por el contrario a e;cluirla inclu!o a falta de la! ra)one! totalmente deci!i#a! (ueacabamo! de indicar. Luego !i la teoría de Leibnit) e! *u!ta en tanto (ue !e opone alatomi!mo e! nece!ario por lo dem+! para (ue corre!ponda a la #erdad rectificarlareempla)ando la "di#i!ión de la materia al infinito" por la "di#i!ibilidad indefinida de lae;ten!ión"9 !te e! en !u e;pre!ión m+! bre#e & preci!a el re!ultado en donde endefiniti#a conflu&en toda! la! con!ideracione! Fa!ta aFora e;pue!ta!.

e;traer!e uno cual(uiera de entre ello! dando a n el #alor corre!pondiente al rango (ue e!etrmino debe ocupar en la !erie9 pero contrariamente a lo (ue pen!aba Couturat no e!ciertamente e!to lo (ue (uería decir Leibnit) "cuando !o!tenía la infinidad actual de la !erie naturalde lo! número!".

4&



Capí!"# I+$ INDEFINIDAMENTE CRECIENTE E INDEFINIDAMENTE DECRECIENTE

nte! de continuar con el e;amen de la! cue!tione! (ue !e refieren propiamente a locontinuo debemo! #ol#er !obre lo dicFo anteriormente a propó!ito de la ine;i!tencia deuna fractio omnium infima lo (ue no! permitir+ #er cómo la correlación o la !imetría

e;i!tente en cierto! a!pecto! entre la! cantidade! indefinidamente creciente! & la!indefinidamente decreciente! e! !u!ceptible de !er repre!entada numricamente. aFemo! #i!to (ue en el dominio de la cantidad di!continua & en tanto no !e con!idere m+!(ue la !erie de lo! número! entero! !to! deben !er con!iderado! como creciendoindefinidamente a partir de la unidad pero !iendo la unidad e!encialmente indi#i!ible nopuede e#identemente !er cue!tión de un decrecimiento indefinido9 !i !e tomaran lo!número! en !entido decreciente nece!ariamente no! encontraríamo! detenido! en launidad de modo (ue la repre!entación de lo indefinido por lo! número! entero! e!t+limitada a un único !entido (ue e! el de lo indefinidamente creciente. Por el contrariocuando !e trata de la cantidad continua pueden con!iderar!e tanto la! cantidade!indefinidamente decreciente! como la! indefinidamente creciente!9 & lo mi!mo ocurre conla propia cantidad di!continua mientra! !e introdu)ca la con!ideración de lo! número!

fraccionario! para traducir dicFa po!ibilidad. En efecto puede con!iderar!e una !erie defraccione! (ue #a&an menguando indefinidamente e! decir (ue por pe(ue?a (ue !eauna fracción !iempre puede formar!e otra menor & e!te decrecimiento *am+! puedeterminar en una fractio minima a!í como tampoco el crecimiento de lo! número! entero!puede alcan)ar un numerus ma;imus. Para Facer e#idente mediante la repre!entación numrica la correlación entre loindefinidamente creciente & lo indefinidamente decreciente ba!ta con!iderar al mi!motiempo (ue la !erie de lo! número! entero! la de !u! in#er!o!@ un número e! llamadoin#er!o de otro cuando !u producto por !te e! igual a la unidad & por tal ra)ón elin#er!o del número n e! repre!entado por la notación /Bn. ientra! (ue la !erie de lo!número! entero! #a creciendo indefinidamente a partir de la unidad la !erie de !u!in#er!o! #a decreciendo indefinidamente a partir de e!ta mi!ma unidad (ue e! para !ími!ma !u propio número in#er!o !iendo el punto de partida común para amba! !erie!9 acada número de una de la! !erie! corre!ponde un número de la otra & a la in#er!a deforma (ue la! do! !erie! !on igualmente indefinida! & lo !on e;actamente de la mi!mamanera aun(ue en !entido contrario. El in#er!o de un número e! e#identemente tantom+! pe(ue?o cuanto ma&or !ea e!e número &a (ue !u producto e! !iempre con!tante9por grande (ue !ea un número n el número n[/ !er+ aún ma&or en #irtud de la propiale& de formación de la !erie indefinida de lo! número! entero! e igualmente por pe(ue?o(ue !ea un número /Bn el número /B 6n[/= !er+ aún menor9 e!to prueba claramente laimpo!ibilidad del "menor de lo! número!" cu&a noción no e! meno! contradictoria (ue ladel "ma&or de lo! número!" pue! !i no e! po!ible detener!e en un número determinadoen el !entido creciente tampoco lo !er+ en !entido decreciente. dem+! como toda

correlación (ue !e ob!er#a en lo di!continuo numrico !e pre!enta en primer lugar comouna con!ecuencia de la aplicación de e!e di!continuo a lo continuo tal como Femo!mencionado a propó!ito de lo! número! fraccionario! de lo! (ue naturalmente !upone laintroducción dicFa con!ecuencia no puede !ino traducir a !u manera nece!ariamentecondicionada por la naturale)a del número la correlación e;i!tente en lo continuo entre loindefinidamente creciente & lo indefinidamente menguante. Cabe entonce! cuando !econ!ideran la! cantidade! continua! como !u!ceptible! de Facer!e tan grande! o tanpe(ue?a! como !e (uiera e! decir ma&ore! & menore! a toda cantidad determinadaob!er#ar !iempre la !imetría & podríamo! decir en cierto modo el paraleli!mo (ue entreella! ofrecen e!ta! do! #ariacione! in#er!a!9 e!ta ob!er#ación no! a&udar+ a comprender me*or a continuación la po!ibilidad de diferente! órdene! de cantidade! infinite!imale!. E! oportuno indicar (ue aun(ue el !ímbolo /Bn e#oca la idea de lo! número!

fraccionario! e indudablemente e;trae de ello! !u origen no e! nece!ario (ue lo!in#er!o! de lo! número! entero! !ean definido! a(uí como tale! & ello a fin de e#itar elincon#eniente (ue pre!enta la noción ordinaria de lo! número! fraccionario! de!de elpunto de #i!ta propiamente aritmtico e! decir la concepción de la! fraccione! como

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"parte! de la unidad". Va!ta en efecto con con!iderar amba! !erie! como con!tituida! por número! re!pecti#amente ma&ore! & menore! (ue la unidad e! decir como do! órdene!de magnitude! (ue tienen en !ta !u límite común al mi!mo tiempo (ue pueden !er la!do! con!iderada! como igualmente !urgida! de e!ta unidad (ue e! #erdaderamente lafuente primera de todo! lo! número!9 adem+! !i !e (ui!ieran con!iderar ambo! con*unto!indefinido! como formando una !erie única podría decir!e (ue la unidad ocupa *u!tamente el lugar medio de e!ta !erie de número! &a (ue como Femo! #i!to Fa&

e;actamente tanto! número! en uno de e!to! con*unto! como en el otro. Por otra parte !i!e (ui!iera para generali)ar aún m+! introducir lo! número! fraccionario! propiamentedicFo! en lugar de con!iderar !olamente la !erie de lo! número! entero! & la de !u!in#er!o! nada cambiaría en cuanto a la !imetría entre la! cantidade! creciente! & la!menguante!@ !e tendrían por un lado todo! lo! número! ma&ore! a la unidad & por otrotodo! lo! menore! a ella9 aún a(uí a todo número aBb \ / corre!pondería en el otrogrupo un número bBa ] / & recíprocamente de tal forma (ue aBb ; bBa ^ / al igual (ueante! teníamo! n ; 6/Bn= ^ / & a!í !iempre Fabría e;actamente tanto! número! en unocomo otro de e!to! do! grupo! indefinido! !eparado! por la unidad9 debe (uedar claropor otra parte (ue cuando decimo! "tanto! número!" ello !ignifica (ue Fa& a(uí do!multitude! (ue !e corre!ponden trmino a trmino pero !in (ue tale! multitude! puedan!er en ab!oluto con!iderada! por ello como "numerable!". En todo! lo! ca!o! el con*unto

de do! número! in#er!o! multiplicado! el uno por el otro reproduce !iempre la unidad dela (ue Fan !urgido9 puede decir!e toda#ía (ue la unidad al ocupar el lugar medio entreambo! grupo! & !iendo el único número (ue puede !er con!iderado como perteneciendoa la #e) a uno & a otro1 !i bien en realidad !ería m+! e;acto decir (ue lo! une en lugar de !epararlo! corre!ponde al e!tado de e(uilibrio perfecto & contiene en !í mi!ma todo!lo! número! (ue Fan !urgido de ella por pare*a! de número! in#er!o! ocomplementario! con!titu&endo cada una de e!ta! pare*a! debido a dicFocomplementari!mo una unidad relati#a en !u indi#i!ible dualidad29 pero #ol#eremo! m+!adelante !obre e!ta última con!ideración & !obre la! con!ecuencia! (ue implica. En lugar de decir (ue la !erie de lo! número! entero! e! indefinidamente creciente &la de !u! in#er!o! indefinidamente menguante podría decir!e tambin en el mi!mo!entido (ue lo! número! tienden por una parte Facia lo indefinidamente grande & por otraFacia lo indefinidamente pe(ue?o a condición de entender por ello lo! límite! mi!mo! deldominio en (ue !e con!ideren e!to! número! pue! una cantidad #ariable no puedetender m+! (ue Facia un límite. El dominio de (ue !e trata e! en !uma el de la cantidadnumrica con!iderada en toda la e;ten!ión de (ue e! !u!ceptible39 ello !ignifica (ue lo!límite! no e!t+n determinado! por tal o cual número particular por grande o por pe(ue?o(ue !e lo !uponga !ino por la propia naturale)a del número como tal. Por ello tambin elnúmero como toda otra co!a de naturale)a determinada e;clu&e todo a(uello (ue no e!l lo (ue impide (ue pueda Fablar!e a(uí de infinito9 por otra parte acabamo! de decir (ue lo indefinidamente grande debe for)o!amente !er concebido como un límite aun(ueen modo alguno !ea un "terminus ultimus" de la !erie de lo! número! & puede ob!er#ar!ea propó!ito de e!to (ue la e;pre!ión "tender a lo infinito" frecuentemente empleada por

lo! matem+tico! en el !entido de "crecer indefinidamente" e! un ab!urdo pue!to (ue loinfinito implica e#identemente la au!encia de todo límite & en con!ecuencia no Fabríanada Facia lo cual fuera po!ible tender. Lo (ue adem+! e! ba!tante !ingular e! (ue

/ Aegún la definición de lo! número! in#er!o! la unidad !e pre!enta por un lado ba*o la forma / &por otro ba*o la forma /B/ de tal modo (ue / ; /B/ ^ /9 pero como por otra parte /B/ ^ / e! lami!ma unidad lo (ue e! a!í repre!entada en do! forma! diferente! & en con!ecuencia como &aFemo! dicFo e! para !í mi!ma !u propio in#er!o.

: Decimo! indi#i!ible por(ue de!de el in!tante en (ue uno de lo! do! número! (ue forman talpare*a e;i!te el otro tambin e;i!te por ello nece!ariamente.

4 E! e#idente (ue lo! número! inconmen!urable! ba*o el a!pecto de la magnitud !e intercalan

nece!ariamente entre lo! número! ordinario! entero! o fraccionario! !egún !ean !to! ma&ore! omenore! (ue la unidad9 e! lo (ue por otra parte demue!tra la corre!pondencia geomtrica (ueanteriormente Femo! indicado & tambin la po!ibilidad de definir un tal número por do! con*unto!con#ergente! de número! conmen!urable! de lo! (ue con!titu&e el límite común.

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alguno! aún reconociendo la incorrección & el car+cter abu!i#o de tal e;pre!ión noe;perimentan e!crúpulo alguno en adoptar la e;pre!ión "tender Facia cero" en el !entidode "decrecer indefinidamente"9 no ob!tante el cero o la "cantidad nula" e! e;actamente!imtrico con re!pecto a la! cantidade! decreciente! de e!a pretendida "cantidadinfinita" con re!pecto a la! cantidade! creciente!9 pero m+! tarde #ol#eremo! !obre la!cue!tione! (ue m+! particularmente !e plantean en referencia al cero & a !u! diferente!!ignificado!.

Pue!to (ue la !erie de lo! número! en !u con*unto no e!t+ "terminada" por undeterminado número re!ulta de ello (ue no Fa& número por grande (ue !ea (ue pueda!er identificado con lo indefinidamente grande en el !entido en (ue acabamo! deentenderlo9 & naturalmente lo mi!mo ocurre en cuanto a lo indefinidamente pe(ue?o.

Aolamente !e puede con!iderar un número como pr+cticamente indefinido !i !e no!permite la e;pre!ión cuando &a no puede !er e;pre!ado por el lengua*e ni repre!entadopor la e!critura lo (ue de FecFo ine#itablemente ocurre en un momento dado cuando !econ!ideran número! (ue #an !iempre creciendo o menguando9 e! !i !e (uiere una!imple cue!tión de "per!pecti#a" pero en !uma concuerda perfectamente con el car+cter de lo indefinido en tanto (ue !te no e! en definiti#a m+! (ue a(uello cu&o! límite!

pueden !er no !uprimido! &a (ue ello !ería contrario a la naturale)a de la! co!a! pero !í!implemente ale*ado! Fa!ta perder!e enteramente de #i!ta. propó!ito de ello cabríaplantear cierta! cue!tione! ba!tante curio!a!@ a!í no! podríamo! preguntar por (umoti#o la lengua cFina repre!enta !imbólicamente a lo indefinido con el número die) mil9la e;pre!ión "lo! die) mil !ere!" por e*emplo !ignifica todo! lo! !ere! (ue realmente !onen multitud indefinida o "innumerable". Lo (ue e! mu& digno de !e?alar e! (uepreci!amente lo mi!mo !e produce en la lengua griega donde una !ola palabra con una!imple diferencia de acentuación (ue e#identemente no con!titu&e !ino un detalleacce!orio & (ue !in duda no e! debida m+! (ue a la nece!idad de di!tinguir en el u!oambo! !ignificado! !ir#e igualmente para e;pre!ar a la #e) una & otra de e!ta! do! idea!@ @ABDED 6mírioi. die) mil9 @BADED 6miríoi. una indefinidad2

La #erdadera ra)ón de e!te FecFo e! la !iguiente@ el número die) mil e! la cuartapotencia de die)9 aFora bien !egún la fórmula del "aoFteFGing "el uno produce el do! eldo! produce el tre! el tre! produce todo! lo! número!" lo (ue implica (ue el cuatroinmediatamente producido por el tre! e(ui#ale en cierto modo a todo el con*unto de lo!número! & ello por(ue de!de (ue !e tiene el cuaternario !e tiene tambin por la adiciónde lo! cuatro primero! número! el denario (ue repre!enta un ciclo numrico completo@/ [ : [ 4 [ 1 ^ /8 (ue e! como &a en otra! oca!ione! Femo! dicFo la fórmula numricade la "etraGtys pitagórica. Puede a?adir!e a ello (ue e!ta repre!entación de la indefinidad numrica tiene !u corre!pondencia en el orden e!pacial@ e! !abido (ue la ele#ación a unapotencia !uperior en un grado repre!enta en e!te orden el a?adido de una dimen!ión9aFora bien al no po!eer nue!tra e;ten!ión m+! (ue tre! dimen!ione! !u! límite! !on!uperado! cuando !e #a m+! all+ de la tercera potencia lo (ue en otra! palabra!

!ignifica (ue la ele#ación a la cuarta potencia marca el trmino de !u indefinidad &a (ueen el momento en (ue !e efectúa !e Fa !alido por ello de dicFa e;ten!ión & !e Fa pa!adoa otro orden de po!ibilidade!.

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Capí!"# +$ INFINITO , CONTINUO

La idea del infinito tal como Leibnit) la entiende mu& a menudo & (ue !olamente e! *am+! debe perder!e de #i!ta la de una multitud (ue !obrepa!a todo número !e pre!entaa #ece! ba*o el a!pecto de un "infinito di!continuo" como en el ca!o de la! !erie!

numrica! denominada! infinita!9 pero !u a!pecto m+! Fabitual & tambin el m+!importante en lo (ue concierne al !ignificado del c+lculo infinite!imal e! el del "infinitocontinuo". E! con#eniente recordar a propó!ito de ello (ue cuando Leibnit) al comen)ar la! in#e!tigacione! (ue al meno! !egún l decía debían conducirle al de!cubrimiento de!u mtodo operaba !obre !erie! de número! no con!ideraba m+! (ue la! diferencia!finita! en el !entido ordinario de la palabra9 la! di#ergencia! infinite!imale! no !e lepre!entaron m+! (ue cuando trató de aplicar lo numrico di!continuo a lo continuoe!pacial. La introducción de la! diferencia! !e *u!tificaba entonce! por la ob!er#ación decierta analogía entre la! #ariacione! re!pecti#a! de ambo! modo! de la cantidad9 pero !ucar+cter infinite!imal pro#enía de la continuidad de la! magnitude! a la! (ue debíanaplicar!e & a!í la con!ideración de lo! "infinitamente pe(ue?o!" !e Fallaba para Leibnit)e!trecFamente ligada a la cue!tión de la "compo!ición de lo continuo".

Lo! "infinitamente pe(ue?o!" tomado! "en rigor" !erían tal como pen!aba Vernoulli" partes minimae" de lo continuo9 pero preci!amente lo continuo en tanto (ue e;i!te comotal e! !iempre di#i!ible & en con!ecuencia no podría tener " partes minimae". Lo!"indi#i!ible!" no !on !i(uiera parte! de a(uello con relación a lo cual !on indi#i!ible! & el"mínimo" no puede a(uí concebir!e m+! (ue como límite o e;tremo no como elemento@"la línea no !olamente e! menor (ue cual(uier !uperficie dice Leibnit) !ino (ue adem+!ni !i(uiera e! una parte de la !uperficie e! !olamente un mínimo o un e;tremo" 19 & laa!imilación entre "e;tremum" & "minimum" puede a(uí *u!tificar!e de!de !u punto de#i!ta por la "le& de continuidad" en tanto (ue !ta permite !egún l el "pa!o al límite"tal como m+! adelante #eremo!.

Igualmente ocurre como &a Femo! dicFo con el punto en relación a la línea &tambin por otra parte con la !uperficie en relación al #olumen9 pero por el contrario lo!elemento! infinite!imale! deben !er parte! de lo continuo a falta de lo cual ni !i(uiera!erían cantidade!9 & no pueden !erlo m+! (ue a condición de no !er #erdadero!"infinitamente pe(ue?o!" pue! !to! no !erían !ino e!a! " partes minimae" o e!o!"último! elemento!" cu&a e;i!tencia con re!pecto a lo continuo implica contradicción. !í la compo!ición de lo continuo no permite (ue lo! infinitamente pe(ue?o! !ean m+!(ue !imple! ficcione!9 pero por otra parte e! !in embargo la e;i!tencia de e!e mi!mocontinuo lo (ue Face (ue !ean al meno! para Leibnit) "ficcione! bien fundada!"@ !i "todo!e Face en geometría como !i !e tratara de perfecta! realidade!" e! por(ue la e;ten!ión(ue e! el ob*eto de la geometría e! continua9 & !i lo mi!mo ocurre en la naturale)a e!por(ue lo! cuerpo! !on igualmente continuo! & por(ue Fa& tambin continuidad en todo!lo! fenómeno! tale! como el mo#imiento del cual dicFo! cuerpo! !on el a!iento & (ue

!on el ob*eto de la mec+nica & de la fí!ica. Por lo dem+! !i lo! cuerpo! !on continuo! e!debido a (ue !on e;ten!o! & a (ue participan a!í de la naturale)a de la e;ten!ión9 eigualmente la continuidad del mo#imiento & de lo! di#er!o! fenómeno! (ue puedenreducir!e a l m+! o meno! directamente pro#iene e!encialmente de !u car+cter e!pacial.E! entonce! en !uma la continuidad de la e;ten!ión lo (ue con!titu&e el #erdaderofundamento de toda! la! re!tante! continuidade! (ue !e ob!er#an en la naturale)acorporal9 & por otra parte e! !ta la ra)ón introduciendo a e!te re!pecto una di!tincióne!encial (ue no Fi)o Leibnit) de (ue Fa&amo! preci!ado (ue no e! a la "materia" comotal !ino a la e;ten!ión a la (ue debe !er atribuida en realidad la propiedad de la"di#i!ibilidad indefinida".

No #amo! a e;aminar a(uí la cue!tión de otra! po!ible! forma! de la continuidad

independiente! de !u forma e!pacial9 en efecto e! !iempre a !ta a la (ue e! preci!o/ Meditatio no4a e natura anguli contactus et osculi$ horum(ue usu in practica Mathesi ad figurasfaciliores succedaneas difficiliori'us su'stituendas en la! &cta +ruditorum de Leip)ig /232.

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remitir!e cuando !e con!ideran magnitude! & !u con!ideración ba!ta para todo a(uello(ue !e refiera a la! cantidade! infinite!imale!. No ob!tante debemo! a?adir lacontinuidad del tiempo pue! contrariamente a la e;tra?a opinión de De!carte! a e!tere!pecto el tiempo e! realmente continuo en !í mi!mo & no !ólo en la repre!entacióne!pacial (ue mediante el mo#imiento !ir#e para !u medida2. En referencia a e!to podríadecir!e (ue el mo#imiento e! en cierto modo doblemente continuo pue! lo e! a la #e) por !u condición e!pacial & por !u condición temporal9 & e!te tipo de combinación entre el

tiempo & el e!pacio de donde re!ulta el mo#imiento no !ería po!ible !i uno fueradi!continuo & el otro continuo. E!ta con!ideración permite adem+! introducir lacontinuidad en cierta! categoría! de fenómeno! naturale! (ue !e refieren m+!directamente al tiempo (ue al e!pacio aun(ue !e cumplan igualmente en uno & en otrocomo por e*emplo en el proce!o de un de!arrollo org+nico cual(uiera. Ae podría repetirpor lo dem+! en cuanto a la compo!ición del continuo temporal todo lo (ue Femo! dicFocon re!pecto al continuo e!pacial & en #irtud de e!ta e!pecie de !imetría (ue e;i!te encierto! a!pecto! tal como en otro lugar Femo! e;plicado entre el e!pacio & el tiempo !ellegaría a conclu!ione! e!trictamente an+loga!@ lo! in!tante! concebido! comoindi#i!ible! no !on m+! parte! de la duración (ue lo! punto! parte! de la e;ten!ión talcomo igualmente lo reconocía Leibnit) & !ta era por otra parte una te!i! ba!tantecorriente entre lo! e!col+!tico!9 en !uma e! un car+cter general de todo continuo el (ue

!u naturale)a no impli(ue la e;i!tencia de "último! elemento!". <odo lo (ue Femo! dicFo Fa!ta aFora demue!tra !uficientemente en (u !entidopuede comprender!e (ue de!de el punto de #i!ta en (ue !e !itúa Leibnit) lo continuoen#uel#a nece!ariamente a lo infinito9 pero por !upue!to no podríamo! admitir (ue !etrate de una "infinidad actual" como !i toda! la! parte! po!ible! debieran !er efecti#amente dada! cuando el todo e! dado ni por otra parte de una #erdadera infinidad(ue e;clu&e toda determinación !ea cual !ea & (ue en con!ecuencia no puede e!tar implícita en la con!ideración de nada particular. Pero a(uí como en todo! lo! ca!o! enlo! (ue !e pre!ente la idea de un pretendido infinito diferente del #erdadero Infinitometafí!ico & (ue no ob!tante en !í mi!mo! repre!entan algo di!tinto a un ab!urdo puro& !imple toda contradicción de!aparece & con ella toda dificultad lógica !i !e reempla)ae!e !upue!to infinito por lo indefinido & !i !implemente !e dice (ue todo continuoen#uel#e cierta indefinidad cuando e! con!iderado ba*o el a!pecto de !u! elemento!. E! afalta de Facer e!ta di!tinción fundamental entre lo Infinito & lo indefinido (ue alguno! Fancreído erróneamente (ue no era po!ible e!capar a la contradicción de un infinitodeterminado m+! (ue recFa)ando ab!olutamente lo continuo & reempla)+ndolo por lodi!continuo9 e! a!í e!pecialmente como 'enou#ier (ue niega con ra)ón el infinitomatem+tico pero para (uien la idea del Infinito metafí!ico e! por lo dem+! completamentee;tra?a !e cre&ó obligado por la lógica de !u "finiti!mo" a admitir el atomi!mo ca&endoa!í en otra concepción (ue como anteriormente Femo! #i!to no e! meno! contradictoria(ue a(uella (ue de!cartaba.

: Cf. Le Règne de la Quantit et les !ignes des "emps cap. .

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Capí!"# +I$ LA 'LE, DE CONTINUIDAD'

De!de el momento (ue e;i!te lo continuo podemo! decir con Leibnit) (ue Fa&continuidad en la naturale)a o !i !e (uiere (ue debe Faber una determinada "le& decontinuidad" (ue !e apli(ue a todo lo (ue pre!enta la! caracterí!tica! de lo continuo9 ello

e! en !uma e#idente pero en ab!oluto !e de!prende (ue tal le& deba !er aplicable a todocomo l pretende pue! !i bien e;i!te lo continuo tambin e;i!te lo di!continuo inclu!oen el dominio de la cantidad1@ el número e! en efecto e!encialmente di!continuo & e!inclu!o e!ta cantidad di!continua & no la continua la (ue realmente !e identifica como enotro lugar Femo! dicFo con el modo primero & fundamental de la cantidad o lo (ue podríadenominar!e propiamente la cantidad pura2. Por otra parte nada permite !uponer a priori (ue fuera de la cantidad una continuidad cual(uiera pueda !er con!iderada en toda!parte! & adem+! a decir #erdad cau!aría a!ombro (ue !ólo el número entre toda! la!co!a! po!ible! tu#iera la propiedad de !er e!encialmente di!continuo9 pero nue!traintención no e! in#e!tigar a(uí dentro de (u límite! e! #erdaderamente aplicable una "le&de continuidad" ni (u re!triccione! con#endría Facer para todo a(uello (ue !upera eldominio de la cantidad entendida en !u !entido m+! general. No! limitaremo! a ofrecer

en lo (ue concierne a lo! fenómeno! naturale! un e*emplo mu& !imple de di!continuidad@!i e! nece!aria cierta fuer)a para romper una cuerda & !i !e aplica a e!ta cuerda unafuer)a cu&a inten!idad !ea menor (ue la nece!aria no !e obtendr+ una ruptura parcial e!decir la ruptura de una parte de lo! Filo! (ue componen la cuerda !ino !olamente unaten!ión lo cual e! completamente diferente9 !i !e aumenta la fuer)a de una maneracontinua la ten!ión crecer+ en principio tambin de manera continua pero llegar+ unmomento en (ue la ruptura !e producir+ & !e obtendr+ entonce! de una forma repentina& en cierto modo in!tant+nea un efecto de di!tinta naturale)a (ue el precedente lo (ueimplica manifie!tamente una di!continuidad9 de modo (ue no e! cierto decir en trmino!generale! & !in re!triccione! de tipo alguno (ue "natura non facit saltus". Aea como fuere ba!ta en todo ca!o con (ue la! magnitude! geomtrica! !eancontinua! como en efecto lo !on para (ue !iempre puedan tomar!e elemento! tanpe(ue?o! como !e (uiera e! decir (ue puedan Facer!e menore! (ue cual(uier magnituda!ignable9 & como dice Leibnit) "!in duda en ello con!i!te la demo!tración riguro!a delc+lculo infinite!imal" (ue preci!amente !e aplica a e!ta! magnitude! geomtrica!. La "le&de continuidad" puede !er entonce! el "fundamentum in re" de e!a! ficcione! (ue !on la!cantidade! infinite!imale! a!í como tambin por otra parte de e!a! otra! ficcione! (ue!on la! raíce! imaginaria! &a (ue Leibnit) e!tablece una comparación entre una! & otra!ba*o e!te a!pecto !in (ue por ello deba #er!e a(uí como (ui)+! Fubiera de!eado "lapiedra de to(ue de toda #erdad"3. Por lo dem+! !i !e admite una "le& de continuidad" aúne!tableciendo cierta! re!triccione! !obre !u alcance e inclu!o aun(ue !e recono)ca (uedicFa le& pueda !er#ir para *u!tificar la! ba!e! del c+lculo infinite!imal "modo sano sensuintelligantur " en ab!oluto !e !igue de ello (ue deba !er e;actamente concebida como lo

Facía Leibnit) ni tampoco aceptar toda! la! con!ecuencia! (ue l mi!mo pretendíae;traer9 e! e!ta concepción & e!ta! con!ecuencia! lo (ue debemo! aFora e;aminar unpoco m+! detenidamente.

/ Cf. L. Couturat %e lAinfini mathmati(ue p. /18@ "En general el principio de continuidad no tienecabida en +lgebra & no puede !er in#ocado para *u!tificar la generali)ación algebraica del número.No !ólo la continuidad no e! en ab!oluto nece!aria para la! e!peculacione! de la aritmticageneral !ino (ue inclu!o repugna al e!píritu de e!ta ciencia & a la naturale)a mi!ma del número. Elnúmero en efecto e! e!encialmente di!continuo al igual (ue ca!i toda! !u! propiedade!aritmtica!_ No puede entonce! imponer!e la continuidad a la! funcione! algebraica! por complicada! (ue !ean pue!to (ue el número entero (ue ofrece todo! !u! elemento! e!di!continuo & "!alta" en cierto modo de un #alor a otro !in tran!ición po!ible".

: er Le Règne de la Quantit et les !ignes des "emps cap. II.

4 L. Couturat %e lAinfini mathmati(ue p. :22.

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En !u forma m+! general e!ta le& enunciada en numero!a! oca!ione! por Leibnit) entrmino! diferente! pero cu&o !entido !iempre e! en el fondo el mi!mo !e reduce en!uma a lo !iguiente@ de!de el in!tante en (ue Fa& un determinado orden en lo! principio!entendido! a(uí en un !entido relati#o como lo! dato! (ue !e toman como punto departida debe Faber !iempre un orden corre!pondiente en la! con!ecuencia! (ue de ello!!e e;traigan. E! entonce! como &a Femo! indicado un ca!o particular de la "le& de

*u!ticia" e! decir de orden (ue po!tula la "uni#er!al inteligibilidad"9 !e trata entonce!para Leibnit) en el fondo de una con!ecuencia o de una aplicación del "principio dera)ón !uficiente" !i no de e!te mi!mo principio en tanto (ue !e aplica m+! e!pecialmentea la! combinacione! & a la! #ariacione! de la cantidad@ "la continuidad e! algo ideal" dicelo (ue por otra parte e!t+ le*o! de !er tan claro como podría de!ear!e pero "lo real no !ede*a gobernar por lo ideal & lo ab!tracto _por(ue todo !e gobierna por la ra)ón" 4. Con!eguridad Fa& un determinado orden en la! co!a! & no e! e!to lo (ue !e cue!tiona peropuede concebir!e e!te orden de un modo mu& di!tinto a como lo Facía Leibnit) cu&a!idea! a e!te re!pecto e!tu#ieron !iempre m+! o meno! directamente influida! por !upretendido "principio del me*or" (ue pierde todo !ignificado en el momento en (ue !e Facomprendido la identidad metafí!ica entre lo po!ible & lo real59 adem+! aun(ue fuera undeclarado ad#er!ario del e!trecFo racionali!mo carte!iano podría reprocF+r!ele en

cuanto a !u concepción de la "uni#er!al inteligibilidad" el Faber confundido dema!iadof+cilmente lo "inteligible" con lo "racional"9 pero no in!i!tiremo! m+! !obre e!ta!con!ideracione! de orden general pue! no! lle#arían dema!iado le*o! del tema. <an !óloa?adiremo! a propó!ito de ello (ue e! !orprendente (ue tra! Faber afirmado (ue "noFa& nece!idad de Facer depender el an+li!i! matem+tico de la! contro#er!ia!metafí!ica!" lo (ue por otra parte e! mu& cue!tionable pue!to (ue implica la elaboración!egún el punto de #i!ta puramente profano de una ciencia enteramente ignorante de !u!propio! principio! & por lo dem+! !ólo la incompren!ión puede generar contro#er!ia! enel dominio metafí!ico Leibnit) llega finalmente a in#ocar en apo&o de !u "le& decau!alidad" con la (ue relaciona e!te mi!mo an+li!i! matem+tico un argumento (ue &ano e! en efecto metafí!ico !ino teológico & (ue podría aún pre!tar!e a otra!contro#er!ia!@ "<odo !e gobierna por la ra)ón dice pue! de otro modo no e;i!tiría niciencia ni regla lo cual no !ería conforme a la naturale)a del !oberano principio" 6 a locual podría re!ponder!e (ue la ra)ón no e! en realidad !ino una facultad puramenteFumana & de orden indi#idual & (ue !in (ue deba !er preci!o remontar!e Fa!ta el"!oberano principio" la inteligencia entendida en !entido uni#er!al e! decir el intelectopuro & tra!cendente e! algo mu& di!tinto a la ra)ón & no podría !er con ella a!imilada enmodo alguno de tal forma (ue !i e! cierto (ue no Fa& nada "irracional" no lo e! meno!(ue Fa& no ob!tante mucFa! co!a! (ue !on "!upra-racionale!" pero (ue por otra parteno por ello !on meno! "inteligible!".

Pa!aremo! aFora a otro enunciado m+! preci!o de la "le& de continuidad" enunciado(ue !e refiere por otra parte m+! directamente (ue el anterior a lo! principio! del c+lculo

infinite!imal@ "Ai un ca!o !e acerca de una manera continua a otro ca!o en lo! dato! &finalmente de!aparece en l e! nece!ario (ue lo! re!ultado! de ambo! ca!o! !eapro;imen igualmente de una manera continua en la! !olucione! in#e!tigada! & (uefinalmente terminen recíprocamente uno en otro"7. Ja& a(uí do! cue!tione! (ue deben!er di!tinguida!@ en primer lugar !i la diferencia entre ambo! ca!o! di!minu&e Fa!ta !er

1 Carta &a citada a arignon febrero de /58:.

7 er Les 9tats multiples de lA:tre cap. II.

2 Carta &a citada a arignon. La primera e;po!ición de la "le& de continuidad" apareció en la!Nou4elles de la Rpu'li(ue des Lettres en *ulio de /235 con e!te título ba!tante !ignificati#o

de!de el mi!mo punto de #i!ta@ Principium (uoddam generale non in Mathematicis tantum sed et Physicis utile$ cuHus ope e; consideratione !apientiae %i4inae e;aminantur Naturae Leges$ (uaoccasione nata cum R2 P2 Malle'ranchio contro4ersia e;plicatur$ et (uidam Cartesianorum erroresnotantur2

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menor (ue cual(uier cantidad a!ignable "in datis" lo mi!mo debe ocurrir 3in (uaesitis"9 noe! !ta en !uma !ino la aplicación del enunciado m+! general & e!ta parte de la le& noe! !u!ceptible de pro#ocar ob*ecione! de!de el momento en (ue !e admite (ue e;i!ten#ariacione! continua! & (ue e! preci!amente al dominio en (ue !e efectúan tale!#ariacione! e! decir al dominio geomtrico al (ue !e refiere propiamente el c+lculoinfinite!imal9 pero e! nece!ario admitir (ue "casus in casum tandem e4anescat " & (ueen con!ecuencia "e4entus casuum tandem in se in4icem desinant "M En otra! palabra!

la diferencia entre ambo! ca!o! *am+! !er+ riguro!amente nula debido a !u indefinida &creciente di!minuciónM o !i !e prefiere tal di!minución aun(ue indefinida llegar+ aalcan)ar !u trminoM Ae trata en el fondo de la cue!tión de !aber !i en una #ariacióncontinua puede !er alcan)ado el límite9 & !obre e!te punto debemo! ob!er#ar lo!iguiente@ como lo indefinido tal como e!t+ implícito en lo continuo implica !iempre en uncierto !entido algo "inagotable" & como Leibnit) no admite por otra parte (ue la di#i!ión delo continuo pueda de!embocar en un trmino final ni !i(uiera (ue tal trmino e;i!ta#erdaderamente e! perfectamente lógico & coFerente por !u parte admitir al mi!motiempo (ue una #ariación continua (ue !e efectúe " per infinitos gradus intermedios"8pueda alcan)ar !u límiteM E!to no !ignifica e#identemente (ue el límite pueda !er enmodo alguno alcan)ado lo (ue reduciría al c+lculo infinite!imal a no poder !er m+! (ueun !imple mtodo de apro;imación9 pero !i efecti#amente e! alcan)ado no debe !er en

la propia #ariación continua ni como último trmino de la !erie indefinida de lo! " gradusmutationis". Ain embargo Leibnit) pretende mediante la "le& de continuidad" *u!tificar el"pa!o al límite" (ue no e! la menor de la! dificultade! a la! (ue da lugar !u mtodo de!deel punto de #i!ta lógico & e! preci!amente en ello donde !u! conclu!ione! !e Faceninaceptable!9 pero para (ue e!te a!pecto de la cue!tión pueda !er enteramentecomprendido debemo! comen)ar por preci!ar la noción matem+tica del límite.

5 !pecimen %ynamicum pro admirandis Naturae Legi'us circa corporum 4ires et mutuas actionesdetegendis et ad suas causas re4ocandis$ II parte.

3 Carta a AcFulenburg :0 de mar)o de /203.

4%



5&



Capí!"# +II$ LA NOCIÓN DE L-MITE

La idea de límite e! una de la! m+! importante! de la! (ue a(uí #amo! a e;aminarpue! de ella depende todo el #alor del mtodo infinite!imal de!de el a!pecto del rigor9inclu!o Fa podido llegar!e a decir (ue en definiti#a "todo algoritmo infinite!imal e!t+ba!ado !ólo en la idea de límite pue! e! preci!amente e!ta riguro!a noción lo (ue !ir#e

para definir & *u!tificar todo! lo! !ímbolo! & toda! la! fórmula! del c+lculo infinite!imal"1

.En efecto el ob*eto de e!te c+lculo "!e reduce a calcular lo! límite! de la! relacione! & dela! !uma! e! decir a encontrar lo! #alore! fi*o! Facia lo! (ue con#ergen relacione! o!uma! de cantidade! #ariable! a medida (ue !ta! menguan indefinidamente !egún unale& determinada"2. Para ma&or preci!ión diremo! (ue de la! do! rama! en la! (ue !edi#ide el c+lculo infinite!imal el c+lculo diferencial con!i!te en calcular lo! límite! de la!relacione! en la! (ue lo! do! trmino! #an a la #e) menguando indefinidamente !egúnuna cierta le& de tal manera (ue la relación !iempre con!er#a un #alor finito &determinado9 & el c+lculo integral con!i!te en calcular lo! límite! de la! !uma! deelemento! cu&a multitud crece indefinidamente al mi!mo tiempo (ue el #alor de cada unode ello! mengua indefinidamente pue! e! preci!o (ue !e den amba! condicione! para(ue la !uma !ea !iempre una cantidad finita & determinada. Dado e!to puede decir!e de

manera general (ue el límite de una cantidad #ariable e! otra cantidad con!iderada comofi*a & a la cual e!ta cantidad #ariable !e apro;ima debido a lo! #alore! (ue !uce!i#amenteadopta en el cur!o de !u #ariación Fa!ta diferir de ella tan poco como !e (uiera o enotra! palabra! Fa!ta (ue la diferencia entre amba! cantidade! !ea menor (ue cual(uier cantidad a!ignable. El punto !obre el (ue debemo! in!i!tir particularmente por ra)one!(ue !er+n me*or comprendida! a continuación e! (ue el límite e! e!encialmenteconcebido como una cantidad fi*a & determinada9 inclu!o aun(ue no no! !ea dada en la!condicione! del problema !iempre !e deber+ comen)ar !uponindole un #alor determinado & continuar con!ider+ndola como fi*a Fa!ta el final del c+lculo. Pero una co!a e! la concepción del límite en !í mi!mo & otra la *u!tificación lógica del"pa!o al límite"9 Leibnit) e!timaba (ue "lo (ue en general *u!tifica e!e pa!o al límite e!(ue la mi!ma relación (ue e;i!te entre numero!a! magnitude! #ariable! !ub!i!te entre!u! límite! fi*o! cuando !u! #ariacione! !on continua! pue! entonce! alcan)an en efecto!u! re!pecti#o! límite!9 !e trata de otro enunciado del principio de continuidad"3. Perotoda la cue!tión con!i!te preci!amente en !aber !i la cantidad #ariable (ueindefinidamente !e apro;ima a !u límite fi*o & (ue por ello puede diferir de l tan pococomo !e (uiera !egún la propia definición de límite puede efecti#amente alcan)ar e!elímite por una con!ecuencia de !u propia #ariación e! decir !i el límite puede !er concebido como el último trmino de una #ariación continua. eremo! (ue en realidade!ta !olución e! inaceptable9 por el momento & Fa!ta (ue m+! adelante encaremo! denue#o la cue!tión tan !ólo diremo! (ue la #erdadera noción de continuidad no permitecon!iderar a la! cantidade! infinite!imale! como pudiendo igualar!e nunca a cero pue!entonce! de*arían de !er cantidade!9 aFora bien para el mi!mo Leibnit) !ta! deben

guardar !iempre el car+cter de #erdadera! cantidade! & ello inclu!o aun(ue !e la!con!idere como "de!#aneciente!". na diferencia infinite!imal no podr+ entonce! !er *am+! riguro!amente nula9 en con!ecuencia una #ariable en tanto !ea con!iderada comotal diferir+ !iempre realmente de !u límite & no podría alcan)arlo !in perder por ellomi!mo !u car+cter de #ariable. cerca de e!te punto podemo! aceptar completamente aparte de una ligera re!er#ala! con!ideracione! (ue un matem+tico a (uien &a Femo! citado e;pone en lo! !iguiente!trmino!@ "Lo (ue caracteri)a al límite tal como lo Femo! definido e! a la #e) (ue la#ariable puede apro;imar!e a l tanto como !e (uiera aun(ue no ob!tante *am+! pueda

/ L. Couturat %e l1infini mathmati(ue Introducción p. %%III.

:

CF. de >re&cinet %e l1&nalyse infinitsimale Prefacio p. III.4 L. Couturat %e l1infini mathmati(ue$ p. :23 nota. -E! el mi!mo punto de #i!ta (ue e!t+ e;pue!toe!pecialmente en la ustification du Calcul des infinitsimales par celui de l1&lgè're ordinaire2

51



alcan)arlo riguro!amente9 pue! para (ue efecti#amente lo alcan)ara !ería nece!aria lareali)ación de cierta infinidad (ue no! e!t+ obligatoriamente proFibida... Debemo! a!íatenerno! a la idea de una apro;imación indefinida e! decir cada #e) ma&or" 4. En lugar de Fablar de "la reali)ación de cierta infinidad" lo (ue para no!otro! no podría tener !entido alguno diremo! !implemente (ue !ería preci!o (ue cierta indefinidad fueraagotada en a(uello (ue tiene preci!amente de inagotable pero (ue al mi!mo tiempo la!po!ibilidade! de de!arrollo (ue implica e!ta mi!ma indefinidad permitieran obtener una

apro;imación tan grande como !e (ui!iera9 "ut error fiat minor dato" !egún la e;pre!iónde Leibnit) para (uien "el mtodo e! !eguro" de!de el momento en (ue e!te dato e!alcan)ado. "Lo propio del límite & lo (ue Face (ue la #ariable *am+! lo alcancee;actamente e! (ue po!ee una definición di!tinta a la de la #ariable9 & !ta por !u parteapro;im+ndo!e cada #e) m+! al límite no lo alcan)a por(ue *am+! debe de*ar de!ati!facer !u definición primiti#a (ue e! diferente. La nece!aria di!tinción entre la!definicione! de límite & de #ariable !e Falla en toda! parte!... El FecFo de (ue amba!definicione! !ean lógicamente di!tinta! & tale! no ob!tante como para (ue lo! ob*eto!definido! puedan apro;imar!e cada #e) m+! uno al otro5 da cuenta de lo e;tra?a (ue aprimera #i!ta puede parecer la impo!ibilidad de Facer coincidir do! cantidade! de la! (ue!e puede por otra parte di!minuir !u diferencia m+! all+ de toda e;pre!ión" 6.

pena! e! nece!ario decir (ue en #irtud de la tendencia moderna a reducirlo todoe;clu!i#amente a lo cuantitati#o no !e Fa de*ado de reprocFar a e!ta concepción de límiteel introducir una diferencia cualitati#a en la propia ciencia de la cantidad9 pero !i Fubiera(ue de!ecFarla por e!ta ra)ón !ería igualmente preci!o (ue la geometría negaraenteramente entre otra! co!a! la con!ideración de la !imilitud (ue e! tambinpuramente cualitati#a tal como en otro lugar Femo! e;plicado pue!to (ue no concierne!ino a la forma de la! figura! Faciendo ab!tracción de !u magnitud luego de todoelemento propiamente cuantitati#o. Debe !e?alar!e por lo dem+! a propó!ito de ello (ueuno de lo! principale! empleo! del c+lculo diferencial con!i!te en determinar la!direccione! de la! tangente! en cada punto de una cur#a direccione! cu&o con*untodefine la propia forma de la cur#a & (ue dirección & forma !on preci!amente en el ordene!pacial elemento! cu&o car+cter e! e!encialmente cualitati#o7. dem+! no e! una!olución pretender !uprimir pura & !implemente el "pa!o al límite" !o prete;to de (ue elmatem+tico puede di!pen!ar!e de pa!arlo efecti#amente & (ue ello en ab!oluto lee!torba para lle#ar Fa!ta el final !u c+lculo9 e!to puede !er cierto pero lo (ue importa e!lo !iguiente@ Fa!ta (u punto en tale! condicione! tendr+ derecFo a con!iderar a e!tec+lculo como ba!ado en un ra)onamiento riguro!oM aun(ue el mtodo !ea a!í"!eguro" no lo !er+ !olamente en tanto (ue !imple mtodo de apro;imaciónM Ae podr+ob*etar (ue la concepción (ue acabamo! de e;poner Face igualmente impo!ible el "pa!oal límite" &a (ue e!te límite e!t+ *u!tamente caracteri)ado por no poder !er alcan)ado9pero ello no e! #erdad m+! (ue en cierto !entido & !olamente en tanto !e con!idere a la!cantidade! #ariable! como tale! pue! no Femo! dicFo (ue el límite no pudiera !er enab!oluto alcan)ado !ino (ue & e!to e! e!encial no podía !erlo en la #ariación & como

trmino de !ta. Lo (ue #erdaderamente e! impo!ible e! tan !olo la concepción del "pa!oal límite" como con!titu&endo la con!ecuencia de una #ariación continua9 debemo!entonce! !u!tituir a !ta por otra concepción & e! lo (ue a continuación Faremo! deforma m+! e;plícita.

1 CF. de >re&cinet %e l1&nalyse infinitsimale p. /3.

7 Aería m+! e;acto decir (ue uno de ello! puede apro;imar!e cada #e) m+! al otro &a (ue !olouno de e!to! ob*eto! e! #ariable mientra! (ue el otro e! e!encialmente fi*o & a!í en ra)ón mi!made la definición de límite !u acercamiento no puede en ab!oluto !er con!iderado comocon!titu&endo una relación recíproca en la (ue lo! do! trmino! !erían en cierto modointercambiable!9 e!ta irreciprocidad implica por otra parte (ue !u diferencia e! de orden

propiamente cualitati#o.2 I'idem p. /0.

5 er Le Règne de la Quantit et les !ignes des "emps cap. I.

52



Capí!"# +III$ CONTINUIDAD , PASO AL L-MITE

Podemo! retornar aFora al e;amen de la "le& de continuidad" o m+! e;actamente ale;amen del a!pecto de e!ta le& (ue moment+neamente Fabíamo! de*ado a un lado &(ue e! a(uel con el (ue Leibnit) cree poder *u!tificar el "pa!o al límite" pue!to (ue !egúnl "en la! cantidade! continua! el ca!o e;tremo e;clu!i#o puede !er tratado como

inclu!i#o & a!í e!te último ca!o aun(ue de naturale)a totalmente diferente e!t+ comocontenido en e!tado latente en la le& general de lo! re!tante! ca!o!"1. E! *u!tamente enello donde re!ide aun(ue l no pare)ca tener duda! el principal defecto lógico de !uconcepción de la continuidad & ello e! f+cilmente perceptible por la! con!ecuencia! (uee;trae & por la! aplicacione! (ue reali)a9 #eamo! en efecto alguno! e*emplo!@ "En #irtudde mi le& de la continuidad e! lícito con!iderar al repo!o como un mo#imientoinfinitamente pe(ue?o e! decir como el e(ui#alente a una e!pecie de !u contradictorio &a la coincidencia como una di!tancia infinitamente pe(ue?a & a la igualdad como la últimade la! de!igualdade! etc."2. tambin@ "De acuerdo con e!ta le& de la continuidad (uee;clu&e todo !al#o el cambio el ca!o del repo!o puede !er ob!er#ado como un ca!oe!pecial de mo#imiento a !aber como un mo#imiento de!#aneciente o mínimo & el ca!ode la igualdad como un ca!o de de!igualdad de!#aneciente. De ello !e deduce (ue la!

le&e! del mo#imiento deben !er e!tablecida! de tal modo (ue no Fa&a nece!idad deregla! particulare! para lo! cuerpo! en e(uilibrio & en repo!o pue! !ta! !urgen de la!regla! concerniente! a lo! cuerpo! en de!e(uilibrio & en mo#imiento9 o !i !e (uiereenunciar regla! particulare! para el repo!o & el e(uilibrio e! nece!ario tener en cuenta(ue !ta! puedan acordar!e con la Fipóte!i! (ue con!idera al repo!o como unmo#imiento naciente o a la igualdad como la última de!igualdad" 3. ?adiremo! toda#íauna última cita al re!pecto en la (ue encontramo! un nue#o e*emplo de un gnero algodiferente a lo! anteriore! pero no meno! dudo!o de!de el punto de #i!ta lógico@ "un(ueno !ea riguro!amente cierto (ue el repo!o e! una e!pecie de mo#imiento o (ue laigualdad e! una e!pecie de de!igualdad a!í como tampoco e! #erdad (ue el círculo e!una e!pecie de polígono regular no ob!tante puede decir!e (ue el repo!o la igualdad & elcírculo acaban con lo! mo#imiento! la! de!igualdade! & lo! polígono! regulare! (uemediante un cambio continuo llegan a de!#anecer!e. aun(ue e!ta! terminacione! !eane;clu!i#a! e! decir (ue no e!t+n riguro!amente comprendida! en la! #ariedade! (uelimitan po!een !in embargo !u! propiedade! como !i e!tu#ieran allí incluida! !egún ellengua*e de lo! infinito! o infinite!imale! (ue toma al círculo por e*emplo como unpolígono regular cu&o número de lado! e! infinito. De otro modo la le& de continuidad!ería #iolada e! decir (ue pue!to (ue !e pa!a de lo! polígono! al círculo por un cambiocontinuado & !in !alto! e! preci!o tambin (ue no !e produ)ca un !alto en el pa!o de la!propiedade! de lo! polígono! a la! del círculo"4. E! con#eniente decir (ue como por lo dem+! e!t+ indicado en el último pa!a*e (ueacabamo! de citar Leibnit) con!idera e!ta! afirmacione! como !iendo del gnero dea(uella! (ue no !on m+! (ue "toleranter 4erae" & (ue !egún dice en otra parte "!ir#en

!obre todo al arte de in#entar aun(ue a mi *uicio encierran algo ficticio e imaginario (ueno ob!tante puede !er f+cilmente rectificado por la reducción a la! e;pre!ione! ordinaria!a fin de (ue no pueda producir!e ningún error"59 pero en realidad !on de tal modo o

/ +pistola ad >2 Cl2 Christianum Jolfium$ Professorem Matheseos =alensem$ circa !cientiamInfiniti$ en las &cta +ruditorum de Leip8ig /5/4.

: Carta &a citada a arignon : de febrero de /58:.

4 !pecimen %ynamicum obra &a citada anteriormente.

1 ustification du Calcul des infinitsimales par celui de l1&lgè're ordinaire nota ad*unta a la carta

de arignon a Leibnit) del :4 de ma&o de /58: en la (ue e! mencionada como Fabiendo !idoen#iada por Leibnit) para !u inclu!ión en el ournal de "r4ou;2 -Leibnit) toma la palabra"continuado" en el !entido de "continuo".

7 +pistola ad >2 Cl2 Christianum Jolfium anteriormente citada.

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m+! bien no ocultan contradiccione! pura! & !imple!M Ain duda Leibnit) reconoce (ue elca!o e;tremo o el "ultimus casus" e! "e;clusi4us" lo (ue manifie!tamente !upone (ue !eencuentra fuera de la !erie de lo! ca!o! (ue naturalmente entran en la le& general9 peroentonce! con (u derecFo !e puede Facer entrar en e!ta le& & tratarlo "ut inclusi4um"e! decir como !i no fuera m+! (ue un ca!o particular incluido en e!ta !erieM E! #erdad(ue el círculo e! el límite de un polígono regular cu&o número de lado! creceindefinidamente pero !u definición e! e!encialmente diferente de la de lo! polígono!9 &

claramente !e ob!er#a en un e*emplo como !te la diferencia cualitati#a (ue comoFemo! dicFo e;i!te entre el límite & a(uello (ue limita. El repo!o no e! en modo algunoun ca!o particular del mo#imiento ni la igualdad un ca!o particular de la de!igualdad ni lacoincidencia un ca!o particular de la di!tancia ni el paraleli!mo un ca!o particular de lacon#ergencia9 por otra parte Leibnit) no admite (ue lo !ean en un !entido riguro!o perono por ello de*a de !o!tener (ue en cierta manera puedan !er con!iderado! como tale!de modo (ue "el gnero !e termina en la cua!i-e!pecie opue!ta" 6 & (ue algo puede !er "e(ui#alente a una e!pecie de !u contradictorio". Por lo dem+! notmo!lo de pa!o lanoción de "#irtualidad" concebida por Leibnit) en el e!pecial !entido (ue le da como unapotencia (ue !ería un acto (ue comien)a pertenece al mi!mo orden de idea! 7 lo (ue noe! meno! contradictorio (ue lo! re!tante! e*emplo! citado!. De!de cual(uier punto de #i!ta (ue !e con!idere no !e #e del todo cómo una

determinada e!pecie podría !er un "ca!o límite" de la e!pecie o del gnero opue!to pue!no e! en e!te !entido como lo! opue!to! !e limitan recíprocamente !ino m+! bien alcontrario al e;cluir!e & e! impo!ible (ue lo! contradictorio! !ean reductible! uno al otro9& por otra parte la de!igualdad por e*emplo puede tener un !ignificado di!tinto en lamedida en (ue !e opone a la igualdad & e! !u negaciónM Ciertamente no podemo! decir (ue afirmacione! como !ta !ean !i(uiera "toleranter 4erae"9 inclu!o aun(ue no !eadmitiera la e;i!tencia de gnero! ab!olutamente !eparado! no !ería meno! cierto (ueun gnero cual(uiera definido como tal *am+! puede llegar a !er parte integrante de otrognero igualmente definido & cu&a definición no inclu&e la !u&a propia aun(ue no lae;clu&a formalmente como en el ca!o de lo! contradictorio! & (ue !i una comunicaciónpuede e!tablecer!e entre gnero! diferente! !ta no puede dar!e en a(uello en lo (ueefecti#amente difieren !ino !olamente por medio de un gnero !uperior en el (ue entrenigualmente ambo!. na tal concepción de la continuidad (ue termina por !uprimir no !ólotoda !eparación !ino tambin toda di!tinción efecti#a al permitir el pa!o directo de ungnero a otro !in reducción a un gnero !uperior o m+! general e! propiamente lanegación mi!ma de todo principio #erdaderamente lógico9 de aFí a la afirmación Fegelianade la "identidad de lo! contradictorio!" no Fa& m+! (ue un pa!o & adem+! mu& f+cil defran(uear.

2 Initia Rerum Mathematicarum Metaphysica. -Leibnit) dice te;tualmente@ genus in (uasiFspeciem

oppositam desinit & el empleo de e!ta !ingular e;pre!ión de "(ua!i-!pecie!" parece al meno!indicar un cierto embara)o para dar una apariencia plau!ible a tal enunciado.

5 E! e#idente (ue la! palabra! "acto" & "potencia" !on a(uí tomada! en !u !entido ari!totlico &e!col+!tico.

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Capí!"# +I*$ LAS 'CANTIDADES DES*ANECIENTES'

La *u!tificación del "pa!o al límite" con!i!te en !uma para Leibnit) en (ue el ca!oparticular de la! "cantidade! de!#aneciente!" como l dice debe en #irtud de lacontinuidad entrar en cierto !entido en la regla general9 & por otra parte e!ta! cantidade!de!#aneciente! no pueden !er con!iderada! como "ab!olutamente nada" o como puro!

cero! pue! !iempre en ra)ón de la mi!ma continuidad mantienen entre !í unadeterminada relación generalmente diferente de la unidad aún en el mi!mo in!tante en(ue de!aparecen lo (ue !upone (ue toda#ía !on #erdadera! cantidade! aun(ue"ina!ignable!" con re!pecto a la! cantidade! ordinaria!1. No ob!tante !i la! cantidade!de!#aneciente! o lo (ue e! lo mi!mo la! cantidade! infinite!imale! no !on "nada!ab!oluta!" & ello inclu!o cuando !e trata de diferenciale! de órdene! !uperiore! alprimero deben entonce! !er con!iderada! como "nada! relati#a!" e! decir (uemanteniendo !u car+cter de #erdadera! cantidade! pueden e inclu!o deben !er ob#iada!re!pecto a la! cantidade! ordinaria! con la! cuale! !on "incomparable!"29 peromultiplicada! por cantidade! "infinita!" o incomparablemente ma&ore! (ue la! cantidade!ordinaria! reproducen cantidade! ordinaria! lo cual !ería impo!ible !i fueranab!olutamente nula!. Puede #er!e por la! definicione! anteriormente dada! (ue la

con!ideración de la relación entre la! cantidade! de!#aneciente! (ue !e mantienedeterminada !e refiere al c+lculo integral. La dificultad en todo e!to con!i!te en admitir (ue cantidade! (ue no !on ab!olutamente nula! deban no ob!tante !er tratada! comonula! en el c+lculo lo (ue ofrece el rie!go de dar la impre!ión de (ue no !e trata m+! (uede una !imple apro;imación9 toda#ía a e!te re!pecto Leibnit) parece a #ece! in#ocar la"le& de continuidad" por la cual el "ca!o límite" !e Falla reducido a la regla general comoel único po!tulado (ue e;ige !u mtodo9 pero e!te argumento e! por lo dem+! mu&confu!o & m+! bien e! nece!ario #ol#er a la noción de lo! "incomparable!" como por otraparte a menudo Face para *u!tificar la eliminación de la! cantidade! infinite!imale! en elre!ultado del c+lculo.

En efecto Leibnit) con!idera como iguale! no !olamente la! cantidade! cu&adiferencia e! nula !ino tambin a(uella! cu&a diferencia e! incomparable a e!ta! mi!ma!cantidade!9 !obre e!ta idea de lo! "incomparable!" e!t+ ba!ada para l tanto laeliminación de la! cantidade! infinite!imale! (ue de!aparecen a!í ante la! cantidade!ordinaria! como la di!tinción de lo! diferente! órdene! de cantidade! infinite!imale! odiferenciale! &a (ue la! cantidade! de cada uno de e!to! órdene! !on incomparable! conla! del precedente del mi!mo modo (ue la! del primer orden lo !on con la! cantidade!ordinaria! aun(ue !in (ue *am+! !e llegue a "nada! ab!oluta!". "o llamo magnitude!incomparable! dice Leibnit) a a(uella! en la! (ue una de la! mi!ma! multiplicada por cual(uier número finito no podría e;ceder a la otra del mi!mo modo (ue Euclide! loen!e?a en la (uinta definición de !u (uinto libro"3. Nada Fa& a(uí por otra parte (ueindi(ue !i e!ta definición debe entender!e de la! cantidade! fi*a! & determinada! o de la!

cantidade! #ariable!9 pero puede admitir!e (ue en toda !u generalidad debeindi!tintamente aplicar!e a ambo! ca!o!@ toda la cue!tión re!ide entonce! en !aber !i do!cantidade! fi*a! por diferente! (ue !ean en la e!cala de la! magnitude! pueden !er *am+! con!iderada! como realmente "incomparable!" o !i no lo !on m+! (ue con relacióna lo! in!trumento! de medición de (ue di!pongamo!. Pero no cabe a(uí in!i!tir !obre e!te

/ Para Leibnit) 8 B 8 ^ / por(ue !egún dice "una nada #ale lo mi!mo (ue otra"9 pero como por otra parte 8 ; n ^ 8 & ello !ea cual !ea el número n e! e#idente (ue tambin puede e!cribir!e 8 B 8^ n & por ello (ue generalmente !e con!idera a tal e;pre!ión como repre!entando lo (ue !e llamauna "forma indeterminada".

: La diferencia entre e!to & la comparación del grano de arena e! (ue de!de (ue !e Fabla de

"cantidade! de!#aneciente!" ello !upone nece!ariamente (ue !e trata de cantidade! #ariable! &&a no de cantidade! fi*a! & determinada! por pe(ue?a! (ue por lo dem+! !e la! !uponga.

4 Carta al mar(u! del Jo!pital /1-:1 de *unio de /207.

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punto &a (ue el propio Leibnit) Fa declarado por lo dem+! (ue e!te ca!o no e! el de lo!diferenciale!4 de lo cual !e deduce no !ólo (ue la comparación del grano de arena eramanifie!tamente fal!a en !í mi!ma !ino tambin (ue en el fondo no re!pondía deacuerdo con !u propio pen!amiento a la #erdadera noción de lo! "incomparable!" almeno! en tanto (ue e!ta noción deba aplicar!e a la! cantidade! infinite!imale!.

lguno! Fan creído !in embargo (ue el c+lculo infinite!imal no podría !er

perfectamente riguro!o m+! (ue a condición de (ue la! cantidade! infinite!imale!pudieran !er con!iderada! como nula! & al mi!mo tiempo Fan pen!adoe(ui#ocadamente (ue un error podía !er entendido como nulo cuando !e lo pudiera!uponer tan pe(ue?o como !e (ui!iera9 e(ui#ocadamente decimo! pue! ello !ignificaadmitir (ue una #ariable en tanto (ue tal puede alcan)ar !u límite. Je a(uí por otra partelo (ue Carnot dice a e!te re!pecto@ "Ja& per!ona! (ue creen Faber e!tablecido!uficientemente el principio del an+li!i! infinite!imal cuando !e Fan FecFo el !iguientera)onamiento@ e! e#idente & todo el mundo lo reconoce (ue lo! errore! a lo! (ue daríanlugar lo! procedimiento! del an+li!i! infinite!imal !i lo! Fubiera !iempre podrían !er !upue!to! tan pe(ue?o! como !e (ui!iera9 e! e#idente tambin (ue todo error al (uepueda !uponer!e tan pe(ue?o como !e (uiera e! nulo pue! &a (ue !e lo puede !uponer tan pe(ue?o como !e (uiera puede !uponr!ele un #alor cero9 en con!ecuencia lo!

re!ultado! del an+li!i! infinite!imal !on riguro!amente e;acto!. E!te ra)onamientoplau!ible en un primer momento no e! !in embargo *u!to pue! e! fal!o decir (ue &a (uee! po!ible !uponer un error tan pe(ue?o como !e (uiera puede por ello !er FecFo nulo...No! Fallamo! entonce! en la nece!aria alternati#a de cometer un error por pe(ue?o (ue!e le (uiera !uponer o de trope)ar con una fórmula (ue nada en!e?a & tal e!preci!amente el meollo de la dificultad en el an+li!i! infinite!imal"5.

E! cierto (ue una fórmula en la (ue entre una relación (ue !e pre!enta ba*o la forma 8B8 "no en!e?a nada" & puede decir!e inclu!o (ue no po!ee !entido alguno en !í mi!ma9 noe! !ino en #irtud de una con#ención por lo dem+! *u!tificada (ue puede dar!e un !entidoa la forma 8B 8 con!ider+ndola como un !ímbolo de indeterminación 69 pero e!ta mi!maindeterminación Face (ue la relación (ue tomada en e!ta forma podría !er igual acual(uier #alor deba por el contrario en cada ca!o particular con!er#ar un #alor determinado@ e! la e;i!tencia de e!te #alor determinado lo (ue alega Leibnit) 7 & e!teargumento e! en !í mi!mo perfectamente inatacable8. Pero e! preci!o reconocer (ue lanoción de la! "cantidade! de!#aneciente!" tiene !egún la e;pre!ión de Lagrange "elgran incon#eniente de con!iderar a la! cantidade! en el e!tado en (ue de*an por a!ídecir de !er cantidade!"9 ma! contrariamente a lo (ue pen!aba Leibnit) no Fa&nece!idad de con!iderarla! preci!amente en el in!tante en (ue !e de!#anecen pue! ene!e ca!o de*arían efecti#amente de !er cantidade!. E!to adem+! e!encialmente (ue noFa& nada "infinitamente pe(ue?o" tomado "en rigor" pue! lo "infinitamente pe(ue?o" o almeno! lo (ue !e llamaría a!í !egún el lengua*e de Leibnit) no podría !er !ino cero aligual (ue lo "infinitamente grande" entendido en el mi!mo !entido no podría !er !ino el

"número infinito"9 pero en realidad el cero no e! un número & no Fa& "cantidad nula" delmi!mo modo (ue no Fa& "cantidad infinita". El cero matem+tico en !u acepción e!tricta &


7 Rfle;ions sur la Mtaphysi(ue du Calcul infinitsimal p. 42.

2 er la nota anterior a e!te re!pecto.

5 Con la diferencia de (ue para l la relación 8 B 8 no e! indeterminada !ino !iempre igual a / talcomo anteriormente Femo! dicFo mientra! (ue el #alor de (ue !e trata difiere en cada ca!o.

3

Cf. CF. de >re&cinet %e l1&nalyse infinitsimale pp. 17-12@ "Ai lo! crecimiento! !on reducido! ale!tado de puro! cero! de*an de tener !ignificado. Lo propio de ello! e! !er no riguro!amentenulo! !ino indefinidamente menguante! !in llegar *am+! a poder !er confundido! con el cero en#irtud del principio general de (ue una #ariable nunca puede coincidir con !u límite".

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riguro!a e! una negación al meno! ba*o el a!pecto cuantitati#o & no puede decir!e (uela au!encia de cantidad con!titu&a una cantidad9 e! !te un punto !obre el cualdeberemo! pronto incidir para de!arrollar m+! completamente la! di#er!a! con!ecuencia!(ue de l re!ultan.

En !uma la e;pre!ión de "cantidade! de!#aneciente!" tiene !obre todo elincon#eniente de pre!tar!e a un e(uí#oco & de Facer creer (ue !e con!idera a la!

cantidade! infinite!imale! como cantidade! (ue !e anulan efecti#amente pue! a meno!de cambiar el !entido de la! palabra! e! difícil comprender (ue "de!#anecer!e" cuando!e trata de cantidade! pueda (uerer decir otra co!a (ue anular!e. En realidad e!ta!cantidade! infinite!imale! entendida! como cantidade! indefinidamente menguante! locual e! !u #erdadero !ignificado *am+! pueden !er llamada! ""de!#aneciente!" en el!entido propio de la palabra & !eguramente Fubiera !ido preferible no introducir e!tanoción (ue en el fondo tiende a la concepción (ue Leibnit) !e Facía de la continuidad &(ue como tal ine#itablemente implica un elemento de contradicción (ue e! inFerente alilogi!mo de e!ta mi!ma concepción. Fora bien !i un error aún pudiendo !er FecFo tanpe(ue?o como !e (uiera *am+! puede llegar a !er ab!olutamente nulo cómo el c+lculoinfinite!imal podría !er #erdaderamente riguro!oM !i de FecFo el error e!pr+cticamente de!preciable deber+ deducir!e de ello (ue e!te c+lculo !e reduce a un

!imple mtodo de apro;imación o al meno! como dice Carnot de "compen!ación"M `!tae! una cue!tión (ue deberemo! re!ol#er a continuación9 pero pue!to (ue Femo! !idolle#ado! a Fablar a(uí del cero & de la pretendida "cantidad nula" m+! #ale tratar primeroe!te otro a!unto cu&a importancia como !e #er+ e!t+ le*o! de !er de!de?able.

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Capí!"# +*$ CERO NO ES UN N(MERO

El decrecimiento indefinido de lo! número! no puede de!embocar en un "númeronulo" del mi!mo modo (ue !u indefinido crecimiento no puede llegar a un "númeroinfinito" & ello por la mi!ma ra)ón &a (ue uno de e!to! número! debería !er el in#er!o delotro9 en efecto !egún lo (ue anteriormente di*imo! re!pecto a lo! número! in#er!o! (ue

e!t+n igualmente ale*ado! de la unidad en !u! do! !erie! una creciente & otramenguante & (ue tienen por punto de partida común a dicFa unidad dado (uenece!ariamente debe Faber el mi!mo número de trmino! en amba! !erie! lo! último!trmino! (ue !erían el "número infinito" & el "número nulo" deberían de e;i!tir e!tar igualmente ale*ado! de la unidad luego !er recíprocamente in#er!o!1. En e!ta!condicione! !i el !igno no e! en realidad m+! (ue el !ímbolo de la! cantidade!indefinidamente creciente! el !igno 8 debería lógicamente poder !er igualmenteentendido como el !ímbolo de la! cantidade! indefinidamente menguante! a fin dee;pre!ar en la notación la !imetría (ue e;i!te como &a Femo! dicFo entre una! & otra!9pero lamentablemente el !igno 8 po!ee &a otro !ignificado pue! !ir#e originalmente parade!ignar la au!encia de toda cantidad mientra! (ue el !igno no po!ee ningún !entidoreal (ue corre!ponda correlati#amente a !te. Ae trata de una nue#a fuente de

confu!ione! como la! (ue !e producen a propó!ito de la! "cantidade! de!#aneciente!" &!ería nece!ario para e#itarla! crear para la! cantidade! indefinidamente menguante!otro !ímbolo diferente al cero pue!to (ue dicFa! cantidade! !e caracteri)an por no poder *am+! anular!e en !u #ariación9 en todo ca!o con la notación actualmente empleada por lo! matem+tico! parece ca!i impo!ible (ue no !e produ)can tale! confu!ione!.

Ai in!i!timo! en la ob!er#ación de (ue el cero en tanto (ue repre!enta la au!encia detoda cantidad no e! un número & no puede !er con!iderado como tal aun(ue ello puedaen !uma parecer ba!tante e#idente a (uiene! *am+! Fan tenido oca!ión de conocer cierta! di!cu!ione! e! por(ue de!de el momento en (ue !e admite la e;i!tencia de un"número nulo" (ue debe !er el "menor de lo! número!" for)o!amente !e e!t+ obligado a!uponer correlati#amente como !u in#er!o un "número infinito" en el !entido del "ma&or de lo! número!". De modo (ue !i !e acepta el po!tulado de (ue el cero no e! un númeroel argumento en fa#or del "número infinito" puede !er en con!ecuencia perfectamentelógico29 pero e! preci!amente e!te po!tulado lo (ue debe !er recFa)ado pue! !i la!con!ecuencia! (ue de l !e deducen !on contradictoria! & Femo! #i!to (ue la e;i!tenciadel "número infinito" efecti#amente lo e! e! por(ue en !í mi!mo implica unacontradicción. Efecti#amente la negación de la cantidad no puede en modo alguno !er a!imilada a una cantidad9 la negación del número o de la magnitud no puede en ningún!entido ni en grado alguno con!tituir una e!pecie de número o de magnitud9 pretender locontrario implica el !o!tenimiento de (ue algo puede !er !egún la e;pre!ión de Leibnit)"e(ui#alente a una e!pecie de !u contradictorio" & tanto #aldría decir a continuación (uela negación de la lógica e! la propia lógica.

E! entonce! contradictorio Fablar del cero como de un número o !uponer un "cero demagnitud" (ue !ería a!ími!mo una magnitud de donde for)o!amente re!ultaría lacon!ideración de otro! tanto! cero! di!tinto! como diferente! e!pecie! de magnitude!Fa&a9 en realidad no puede e;i!tir !ino el cero puro & !imple (ue no e! m+! (ue la

/ E!to e!taría repre!entado !egún la notación ordinaria por la fórmula 8 ; ^ /9 pero de FecFola forma 8 ; e! al igual (ue 8 B 8 una "forma indeterminada" & puede e!cribir!e 8 ; ^ nde!ignando n un número cual(uiera lo (ue por lo dem+! demue!tra (ue en realidad 8 e nopueden !er con!iderado! como repre!entando número! determinado!9 #ol#eremo! po!teriormente!obre e!te punto. E! de !e?alar por lo dem+! (ue 8 ; corre!ponde con re!pecto a lo! "límite!de la! !uma!" del c+lculo integral lo (ue 8 B 8 e! con re!pecto a lo! "límite! de la! relacione!" del

c+lculo diferencial.: De FecFo !obre e!te po!tulado !e ba!a en gran parte el argumento de L. Couturat en !u te!i! %el1infini mathmati(ue.

5%



negación de la cantidad ba*o cual(uier forma (ue por lo dem+! !e le con!idere3. Pue!to(ue tal e! el #erdadero !entido del cero aritmtico entendido "riguro!amente" e! e#idente(ue e!te !entido no tiene nada en común con la noción de la! cantidade! indefinidamentemenguante! (ue !on !iempre cantidade! & no una au!encia de cantidad & tampoco !etrata de algo (ue !ea en cierta manera mediador entre el cero & la cantidad lo (uetambin !ería una concepción perfectamente ininteligible & (ue en !u orden recordaríaba!tante adem+! a la idea de la "#irtualidad" de Leibnit) de la cual &a Femo! dicFo

anteriormente alguna! palabra!.

Podemo! aFora #ol#er al otro !ignificado (ue po!ee el cero en la notación Fabitual a finde #er cómo Fan podido tener lugar la! confu!ione! de la! (ue Femo! Fablado@ &a Femo!dicFo (ue un número puede !er con!iderado en cierto modo como pr+cticamenteindefinido de!de el momento en (ue &a no no! e! po!ible e;pre!arlo o repre!entarlodi!tintamente de una manera cual(uiera9 tal número !ea cual !ea !olamente podr+ en elorden creciente !er !imboli)ado por el !igno en tanto (ue !te repre!enta loindefinidamente grande9 no !e trata entonce! a(uí de un número determinado !ino m+!bien de todo un dominio lo (ue por lo dem+! e! nece!ario para (ue !ea po!iblecon!iderar en lo indefinido de!igualdade! e inclu!o órdene! diferente! de magnitude!.Jaría falta en la notación matem+tica otro !ímbolo (ue repre!enta!e el dominio (ue

corre!ponde a !te en el orden menguante e! decir lo (ue puede !er de!ignado como eldominio de lo indefinidamente pe(ue?o9 pero como un número perteneciente a e!tedominio e! de FecFo pre!cindible en lo! c+lculo! !e Fa ad(uirido la co!tumbre decon!iderarlo como pr+cticamente nulo aun(ue !ta no !ea !ino una !imple apro;imaciónre!ultante de la ine#itable imperfección de nue!tro! medio! de e;pre!ión & de medida &!in duda por tal ra)ón !e Fa llegado a !imboli)ar con el mi!mo !igno 8 (ue en realidadrepre!enta la au!encia riguro!a de toda cantidad. Aólo en e!te !entido el !igno 8 !e tomaen cierta manera como !imtrico del !igno & (ue pueden !er !ituado! re!pecti#amenteen lo! do! e;tremo! de la !erie de lo! número! tal como anteriormente la Femo!con!iderado e;tendindo!e indefinidamente por lo! número! entero! & por !u! in#er!o!en lo! do! !entido! creciente & menguante. E!ta !erie !e pre!enta entonce! ba*o la forma!iguiente@ 8... .../B1 /B4 /B: / : 4 1... ... 9 pero e! preci!o ad#ertir (ue 8 e

repre!entan no do! número! determinado! (ue terminarían la !erie en lo! do! !entido!!ino do! dominio! indefinido! en lo! (ue por el contrario no podrían Faber último!trmino! en ra)ón de !u propia indefinidad5 e! entonce! e#idente (ue el cero no podría!er a(uí ni un "número nulo" (ue con!tituiría el último trmino en la !erie menguante niuna negación o una au!encia de toda cantidad (ue no puede tener ningún lugar en e!ta!erie de cantidade! numrica!.

En e!ta mi!ma !erie como Femo! e;plicado anteriormente do! número! e(uidi!tante!de la unidad central !on in#er!o! o complementario! uno de otro e! decir (uereproducen la unidad por !u multiplicación@ /Bn ; n ^ / de forma (ue para la! do!e;tremidade! de la !erie debería e!cribir!e tambin 8 ; ^ /9 pero debido a (ue lo!

!igno! 8 e (ue !on lo! do! factore! de e!te último producto no repre!entan número!determinado! la propia e;pre!ión 8 ; con!titu&e un !ímbolo de indeterminación o lo(ue !e denomina una "forma indeterminada" & debe entonce! e!cribir!e 8 ; ^ n !iendon un número cual(uiera49 no e! meno! cierto (ue de toda! forma! !e llega a!í a un finito

4 <ambin re!ulta de ello (ue el cero no puede !er con!iderado como un límite en el !entidomatem+tico de la palabra pue! un #erdadero límite e! !iempre por definición una cantidad9 e! por lo dem+! e#idente (ue una cantidad (ue mengua indefinidamente no tiene m+! límite (ue unacantidad (ue cre)ca indefinidamente o (ue al meno! amba! no pueden tener otro! límite! (ue lo!(ue nece!ariamente re!ultan de la naturale)a mi!ma de la cantidad como tal lo (ue e! unaacepción ba!tante diferente de la mi!ma palabra "límite" aun(ue e;i!ta entre amba! unadeterminada relación (ue m+! tarde indicaremo!9 matem+ticamente no puede Fablar!e m+! (ue

del límite de la relación de do! cantidade! indefinidamente creciente! o de do! cantidade!indefinidamente menguante! & no del límite de tale! cantidade! en !í mi!ma!.

1 er la nota anterior.

6&



ordinario &a (ue la! do! indefinidades opue!ta! !e neutrali)an por a!í decir una a otra.Ae #e entonce! mu& claramente una #e) m+! (ue el !ímbolo no repre!enta al Infinitopue! !te en !u #erdadero !entido no puede tener ni opue!to ni complementario & nopuede entrar en correlación con nada ni con el cero en cual(uier !entido (ue !e locon!idere ni con la unidad ni con un número cual(uiera ni por lo dem+! con nadaparticular !ea del orden (ue !ea cuantitati#o o no9 !iendo el <odo uni#er!al & ab!olutocontiene tanto al No-Aer como al Aer de modo (ue el cero de!de el in!tante en (ue e!

con!iderado como una pura nada debe nece!ariamente entender!e tambin comocomprendido en el Infinito. l Facer a(uí alu!ión al No-Aer tocamo! otro !ignificado del cero mu& diferente de lo!(ue acabamo! de con!iderar & (ue e! adem+! el m+! importante de!de el punto de #i!tade !u !imboli!mo metafí!ico9 pero a e!te re!pecto e! nece!ario para e#itar todaconfu!ión entre el !ímbolo & lo (ue !te repre!enta preci!ar bien (ue el Cero metafí!ico(ue e! el No-Aer no e! un cero cuantitati#o a!í como la nidad metafí!ica (ue e! el Aertampoco e! la unidad aritmtica9 lo (ue a!í e! de!ignado por tale! trmino! no puede!ignificarlo m+! (ue por una tran!po!ición analógica &a (ue al !ituar!e en lo ni#er!al!e e!t+ e#identemente m+! all+ de todo dominio e!pecial como el de la cantidad. No e!por otra parte en tanto (ue repre!enta a lo indefinidamente pe(ue?o como el cero puedemediante tal tran!po!ición !er tomado como !ímbolo del No-Aer !ino en tanto (ue

!egún !u acepción matem+tica m+! riguro!a repre!enta la au!encia de cantidad lo (ueen efecto !imboli)a en !u orden la po!ibilidad de no manife!tación al igual (ue la unidad!imboli)a la po!ibilidad de manife!tación !iendo el punto de partida de la multiplicidadindefinida de lo! número! del mi!mo modo (ue el Aer e! el principio de todamanife!tación5. E!to no! lle#a aún a !e?alar (ue de cual(uier manera (ue !e con!idere el cero enningún ca!o podría !er tomado por una pura nada lo (ue metafí!icamente nocorre!ponde !ino a la impo!ibilidad & !ta por otra parte no puede lógicamente !er repre!entada por nada. Ello e! dema!iado e#idente cuando !e trata de lo indefinidamentepe(ue?o9 e! #erdad (ue !te no con!titu&e !i !e (uiere m+! (ue un !entido deri#adodebido como acabamo! de decir a una e!pecie de a!imilación apro;imati#a de unacantidad de!preciable para no!otro! a la au!encia mi!ma de cantidad9 pero en lo (ueconcierne a la au!encia de cantidad lo (ue e! nulo ba*o e!te a!pecto bien puede no !erloba*o otro! a!pecto! como claramente !e #e mediante un e*emplo como el del punto (ue!iendo indi#i!ible e! por ello mi!mo ine;ten!o e! decir e!pacialmente nulo 6 aun(ue nopor ello de*a de !er tal como en otro lugar Femo! e;pue!to el principio mi!mo de toda lae;ten!ión7. E! por lo dem+! #erdaderamente e;tra?o (ue lo! matem+tico! tengangeneralmente la co!tumbre de con!iderar al cero como una pura nada & (ue no ob!tantele! !ea impo!ible no con!iderarlo al mi!mo tiempo como dotado de una potenciaindefinida &a (ue !ituado a la derecFa de otra cifra "!ignificati#a" contribu&e a formar larepre!entación de un número (ue mediante la repetición de e!te mi!mo cero puedecrecer indefinidamente como ocurre por e*emplo en el ca!o del número die) & de !u!!uce!i#a! potencia!. Ai realmente el cero no fue!e !ino una pura nada e!to no podría

tener lugar & adem+! a decir #erdad no !ería entonce! m+! (ue un !igno inútilenteramente de!pro#i!to de todo #alor efecti#o9 Fa& entonce! en la! concepcione!matem+tica! moderna! una incon!ecuencia m+! a a?adir a toda! a(uella! (ue &a Femo!tenido oca!ión de !e?alar Fa!ta el momento.

7 Aobre e!te tema #er Les 9tats multiples de l1:tre cap. III.

2 Por ello como &a di*imo! el punto no puede en modo alguno !er con!iderado comocon!titu&endo un elemento o una parte de la e;ten!ión.

5 er Le !ym'olisme de la Croi; cap. %I.

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62



Capí!"# +*I$ LA NOTACIÓN DE LOS N(MEROS NEGATI*OS

Ai #ol#emo! de nue#o a la !egunda de la! do! !ignificacione! matem+tica! del cero e!decir al cero con!iderado como repre!entando lo indefinidamente pe(ue?o lo (ueimporta retener bien ante todo e! (ue el dominio de !te comprende en la !uce!ión

doblemente indefinida de lo! número! todo lo (ue e!t+ m+! all+ de nue!tro! medio! dee#aluación de un cierto !entido del mi!mo modo (ue el dominio de lo indefinidamentegrande comprende en e!ta mi!ma !uce!ión todo lo (ue e!t+ m+! all+ de e!to! mi!mo!medio! de e#aluación en el otro !entido. DicFo e!to e#identemente no Fa lugar a Fablar de número! m+! pe(ue?o! (ue cero$ como tampoco de número! m+! grande! (ue elinfinito$9 & e!o e! aún m+! inaceptable !i e! po!ible cuando el cero en !u otra!ignificación repre!enta pura & !implemente la au!encia de toda cantidad &a (ue unacantidad (ue fuera m+! pe(ue?a (ue nada e! propiamente inconcebible. No ob!tantee!to e! lo (ue !e Fa (uerido Facer en un cierto !entido al introducir en matem+tica! lacon!ideración de lo! número! llamado! negati#o! & al ol#idar por un efecto delcon#encionali!mo$ moderno (ue e!to! número! en el origen no !on nada m+! (ue laindicación del re!ultado de una !u!tracción realmente impo!ible por la cual un número

m+! grande debería !er !u!traído de un número m+! pe(ue?o9 por lo dem+! &a Femo!FecFo ob!er#ar (ue toda! la! generali)acione! o la! e;ten!ione! de la idea de número nopro#ienen de FecFo m+! (ue de la con!ideración de operacione! impo!ible! de!de elpunto de #i!ta de la aritmtica pura9 pero e!ta concepción de lo! número! negati#o! & la!con!ecuencia! (ue entra?a re(uieren aún alguna! otra! e;plicacione!. Jemo! dicFo ante! (ue la !uce!ión de lo! número! entero! !e forma a partir de launidad & no a partir de cero9 en efecto dada la unidad toda la !uce!ión de lo! número!!e deduce de ella de tal !uerte (ue !e puede decir (ue toda la !uce!ión e!t+ &a implicada& contenida en principio en e!ta unidad inicial 1 mientra! (ue de cero e#identemente no !epuede !acar ningún número. El pa!o de cero a la unidad no puede Facer!e de la mi!mamanera (ue el pa!o de la unidad a lo! dem+! número! o de un número cual(uiera alnúmero !iguiente & en el fondo !uponer po!ible e!te pa!o del cero a la unidad e! Faber e!tablecido &a implícitamente la unidad2. En fin poner cero al comien)o de la !uce!ión delo! número! como !i fuera el primero de e!ta !uce!ión no puede tener m+! (ue do!!ignificacione!@ o bien e! admitir realmente (ue cero e! un número contrariamente a lo(ue Femo! e!tablecido & por con!iguiente (ue puede tener con lo! dem+! número!relacione! del mi!mo orden (ue la! relacione! de e!to! número! entre !í lo (ue no puede!er pue!to (ue cero multiplicado o di#idido por un número cual(uiera da !iempre cero9 obien e! un !imple artificio de notación (ue no puede !ino entra?ar confu!ione! m+! omeno! ine;tricable!. De FecFo el empleo de e!te artificio no !e *u!tifica apena! !i no e!para permitir la introducción de la notación de lo! número! negati#o! & !i el u!o de e!tanotación ofrece !in duda alguna! #enta*a! para la comodidad de lo! c+lculo!con!ideración completamente pragm+tica$ (ue no e!t+ en litigio a(uí & (ue carece

inclu!o de importancia #erdadera ba*o nue!tro punto de #i!ta e! f+cil dar!e cuenta de (ueno de*a de pre!entar por otra parte gra#e! incon#eniente! lógico!. La primera de toda!la! dificultade! a la! (ue da lugar a e!te re!pecto e! preci!amente la concepción de la!cantidade! negati#a! como menore! (ue cero$ (ue Leibnit) colocaba entre la!afirmacione! (ue no !on m+! (ue $toleranter 4erae$ pero (ue en realidad como lodecíamo! Face un momento e!t+ de!pro#i!ta de toda !ignificación. delantar (ue unacantidad negati#a ai!lada e! menor (ue cero Fa dicFo Carnot e! cubrir la ciencia de la!matem+tica! (ue debe !er la de la e#idencia de una nube impenetrable &comprometer!e en un laberinto de parado*a! a cual m+! e;tra#agante$3. Aobre e!te puntopodemo! atenerno! a e!te *uicio (ue no e! !o!pecFo!o & (ue ciertamente no tiene nada

/ Del mi!mo modo por tran!po!ición analógica toda multiplicidad indefinida de la! po!ibilidade! de

manife!tación e!t+ contenida en principio & eminentemente$ en el Aer puro o la nidad metafí!ica.: E!o aparece de una manera completamente e#idente !i conforme a la le& general de formaciónde la !uce!ión de lo! número! !e repre!enta e!te pa!o por la fórmula 8[/^/.

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de e;agerado9 por lo dem+! en el u!o (ue !e Face de e!ta notación de lo! número!negati#o! no !e debería ol#idar nunca (ue en e!o no !e trata de nada m+! (ue de una!imple con#ención. La ra)ón de e!ta con#ención e! la !iguiente@ cuando una !u!tracción e!aritmticamente impo!ible !u re!ultado e! no ob!tante !u!ceptible de una interpretaciónen el ca!o en el (ue e!ta !u!tracción !e refiera a magnitude! (ue pueden !er contada! endo! !entido! opue!to! como por e*emplo la! di!tancia! medida! en una línea o lo!

+ngulo! de rotación alrededor de un punto fi*o o tambin lo! tiempo! contado! a partir deun cierto in!tante Facia el futuro o Facia el pa!ado. De aFí la repre!entación geomtrica(ue !e da Fabitualmente de e!to! número! negati#o!@ !i !e con!idera una recta enteraindefinida en lo! do! !entido! & no &a !olo una !emirrecta como lo Fabíamo! FecFoprecedentemente la! di!tancia! !obre e!ta recta !e cuentan como po!iti#a! o comonegati#a! !egún !ean recorrida! en un !entido o en el otro & !e fi*a un punto tomadocomo origen a partir del cual la! di!tancia! !e llaman po!iti#a! de un lado & negati#a! delotro. cada punto de la recta corre!ponder+ un número (ue !er+ la medida de !udi!tancia al origen & (ue para !implificar el lengua*e podemo! llamar !u coeficiente9 elorigen mi!mo en e!te ca!o tambin tendr+ naturalmente como coeficiente cero & elcoeficiente de cual(uier otro punto de la recta !er+ un número afectado por el !igno [ ó -!igno (ue en realidad indicar+ !implemente de (u lado e!t+ !ituado e!e punto en

relación al origen. Aobre una circunferencia !e podr+ di!tinguir de igual modo un !entidode rotación po!iti#o & un !entido de rotación negati#o & contar a partir de una po!icióninicial del radio lo! +ngulo! como po!iti#o! o como negati#o! !egún !e de!criban en unou otro de e!to! do! !entido! lo (ue daría lugar a una! preci!ione! an+loga!. Paraatenerno! a la con!ideración de la recta do! punto! e(uidi!tante! del origen por una &otra parte de !te tendr+n por coeficiente el mi!mo número pero con !igno! contrario! &un punto m+! ale*ado (ue otro del origen tendr+ naturalmente como coeficiente en todo!lo! ca!o! un número m+! grande9 por e!to !e #e (ue !i un número n e! m+! grande (ueotro número m e! ab!urdo decir como !e Face ordinariamente (ue -n e! m+! pe(ue?o(ue -m pue!to (ue repre!enta al contrario una di!tancia m+! grande. Por lo dem+! el!igno colocado a!í delante de un número no puede modificar!e realmente de ningunamanera de!de el punto de #i!ta de la cantidad pue!to (ue no repre!enta nada (ue !erefiera a la medida de la! di!tancia! en !í mi!ma! !ino !olamente la dirección en la (ue!on recorrida! e!ta! di!tancia! dirección (ue e! un elemento de orden propiamentecualitati#o & no cuantitati#o4. Por otra parte pue!to (ue la recta e! indefinida en lo! do! !entido! uno e! lle#ado acon!iderar un indefinido po!iti#o & un indefinido negati#o (ue !e repre!entanre!pecti#amente por lo! !igno! + ¥ & -¥ & (ue !e de!ignan comúnmente por la!e;pre!ione! ab!urda! de m+! infinito$ & meno! infinito$9 uno !e pregunta lo (ue podría!er en efecto un infinito negati#o o tambin lo (ue podría !ub!i!tir !i de algo o inclu!o denada pue!to (ue lo! matem+tico! con!ideran el cero como nada !e re!tara el infinito9!ta! !on co!a! (ue ba!ta enunciar en lengua*e claro para #er inmediatamente (ue e!t+nde!pro#i!ta! de toda !ignificación. E! mene!ter agregar tambin (ue !eguidamente uno

e! lle#ado en particular en el e!tudio de la #ariación de la! funcione! a con!iderar loindefinido negati#o como confundindo!e con lo indefinido po!iti#o de tal !uerte (ue unmó#il (ue parte del origen & (ue !e ale*a con!tantemente de l en el !entido po!iti#o#ol#ería de nue#o Facia !te por el lado negati#o o in#er!amente !i !u mo#imiento !epro!iguiera durante un tiempo indefinido de donde re!ulta (ue la recta o lo (ue !econ!idera como tal debe !er en realidad una línea cerrada aun(ue indefinida. Por lodem+! !e podría mo!trar (ue la! propiedade! de la recta en el plano !on enteramente

4 Nota !obre la! cantidade! negati#a!$ colocada al final de la! Rfle;ions sur la Mtaphysi(ue duCalcul infinitsimal p. /54.

1 er Le Règne de la Quantit et les !ignes des "emps cap. I. no podría preguntar!e !i no

Fa& como una e!pecie de recuerdo incon!ciente de e!te car+cter cualitati#o en el FecFo de (ue lo!matem+tico! de!ignen toda#ía a #ece! lo! número! tomado! con !u !igno$ e! decircon!iderado! como po!iti#o! o negati#o! ba*o el nombre de número! cualificado!$ aun(ue por lodem+! no pare)can dar ningún !entido mu& claro a e!ta e;pre!ión.

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an+loga! a la! de un gran círculo o círculo diametral !obre la !uperficie de una e!fera &(ue a!í el plano & la recta pueden !er a!imilado! a una e!fera & a un gran círculo de radioindefinidamente grande & por con!ecuencia de cur#atura indefinidamente pe(ue?a!iendo a!imilado! entonce! lo! círculo! ordinario! del plano a lo! círculo! pe(ue?o! dee!ta mi!ma e!fera9 por lo dem+! e!ta a!imilación para !er riguro!a !upone un pa!o allímite$ &a (ue e! e#idente (ue por grande (ue de#enga el radio en !u crecimientoindefinido !e tiene !iempre una e!fera & no un plano & (ue e!ta e!fera !olo tiende a

confundir!e con el plano & !u! grande! círculo! con recta! de tal !uerte (ue el plano & larecta !on a(uí límite! de la mi!ma manera (ue el círculo e! el límite de un polígonoregular cu&o número de lado! crece indefinidamente. Ain in!i!tir m+! en ello !oloFaremo! ob!er#ar (ue !e perciben en cierto modo directamente por la! con!ideracione!de e!te gnero lo! límite! mi!mo! de la indefinidad e!pacial9 a!í pue! !i !e (uiereguardar alguna apariencia de lógica cómo !e puede Fablar toda#ía de infinito en todoe!toM l con!iderar lo! número! po!iti#o! & negati#o! como acabamo! de decirlo la !erie delo! número! toma la forma !iguiente@- ¥ ... ...-1 -4 -: -/ 8 / : 4 1 ... ... + ¥ donde el orden de e!to! número! e! elmi!mo (ue el de lo! punto! corre!pondiente! !obre la recta e! decir de lo! punto! (uetienen e!to! mi!mo! número! por coeficiente! re!pecti#o! lo (ue por lo dem+! e! la

marca del origen real de la !erie a!í formada. E!ta !erie aun(ue !ea igualmenteindefinida en lo! do! !entido! e! completamente diferente de la (ue Femo! con!ideradoprecedentemente & (ue comprendía lo! número! entero! & !u! in#er!o!@ e! !imtrica no&a en relación a la unidad !ino en relación al cero (ue corre!ponde al origen de la!di!tancia!9 & !i do! número! e(uidi!tante! de e!te trmino central le reproducen tambin&a no e! por multiplicación como en el ca!o de lo! número! in#er!o! !ino por adiciónalgebraica$ e! decir efectuada teniendo en cuenta !u! !igno! lo (ue a(uí e!aritmticamente una !u!tracción. Por otra parte e!ta nue#a !erie no e! como lo era laprecedente indefinidamente creciente en un !entido e indefinidamente decreciente en elotro o al meno! !i !e pretende con!iderarla a!í no e! m+! (ue por una manera deFablar$ de lo m+! incorrecto (ue e! la mi!ma por la (ue !e con!ideran lo! número! m+!pe(ue?o! (ue cero$9 en realidad e!ta !erie e! indefinidamente creciente en lo! do!!entido! igualmente pue!to (ue lo (ue comprende por una parte & por otra del cerocentral e! la mi!ma !uce!ión de lo! número! entero!9 lo (ue !e llama el #alor ab!oluto$e;pre!ión ba!tante !ingular tambin debe tomar!e en con!ideración !ólo ba*o la relaciónpuramente cuantitati#a & lo! !igno! po!iti#o! o negati#o! no cambian nada a e!tere!pecto pue!to (ue en realidad no e;pre!an otra co!a (ue la! relacione! de !ituación$(ue Femo! e;plicado Face un momento. Lo indefinido negati#o no e! pue! a!imilable deninguna manera a lo indefinidamente pe(ue?o9 al contrario como ocurre con lo indefinidopo!iti#o e! indefinidamente grande9 la única diferencia (ue no e! de orden cuantitati#oe! (ue !e de!arrolla en otra dirección lo (ue e! perfectamente concebible cuando !e tratade magnitude! e!paciale! o temporale! pero totalmente de!pro#i!to de !entido paramagnitude! aritmtica! para la! cuale! un tal de!arrollo e! nece!ariamente único & no

puede !er otro (ue el de la !erie de lo! número! entero!. Entre la! otra! con!ecuencia! e;tra#agante! o ilógica! de la notación de lo! número!negati#o! !e?alaremo! tambin la con!ideración introducida por la re!olución de la!ecuacione! algebraica! de la! cantidade! llamada! imaginaria!$ (ue Leibnit) como loFemo! #i!to colocaba de la mi!ma manera (ue la! cantidade! infinite!imale! entre lo(ue llamaba ficcione! bien fundada!$9 e!ta! cantidade! o !upue!ta! tale! !e pre!entancomo raíce! de lo! número! negati#o! lo (ue en realidad no re!ponde tampoco m+!(ue a una impo!ibilidad pura & !imple pue!to (ue aun(ue un número !ea po!iti#o onegati#o !u cuadrado e! !iempre nece!ariamente po!iti#o en #irtud de la! regla! de lamultiplicación algebraica. Inclu!o !i dando a e!a! cantidade! imaginaria!$ otro !entido!e pudiera lograr Facerla! corre!ponder a algo real lo (ue no e;aminaremo! a(uí e! biencierto en todo ca!o (ue !u teoría & !u aplicación a la geometría analítica tal como !on

e;pue!ta! por lo! matem+tico! actuale! no aparecen apena! m+! (ue como un#erdadero te*ido de confu!ione! e inclu!o de ab!urdidade! & como el producto de unanece!idad de generali)acione! e;ce!i#a! & completamente artificiale! (ue no retrocede!i(uiera ante el enunciado de propo!icione! manifie!tamente contradictoria!9 alguno!

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teorema! !obre la! a!íntota! del círculo$ por e*emplo ba!tarían ampliamente paraprobar (ue no e;ageramo! nada. Ae podr+ decir e! cierto (ue en e!o no !e trata degeometría propiamente dicFa !ino !olamente como en la con!ideración de la cuartadimen!ión$ del e!pacio5 de +lgebra traducida a lengua*e geomtrico9 pero lo (ue e!gra#e preci!amente e! (ue por(ue una tal traducción a!í como !u !entido in#er!o !eapo!ible & legítima en una cierta medida !e la (uiera e;tender tambin a lo! ca!o! en lo!(ue &a no puede !ignificar nada &a (ue e!o e! en efecto el !íntoma de una e;traordinaria

confu!ión en la! idea! al mi!mo tiempo (ue la e;trema conclu!ión de uncon#encionali!mo$ (ue llega Fa!ta perder el !entido de toda realidad.

7 er Le Règne de la Quantit et les !ignes des "emps.

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Capí!"# +*II$ REPRESENTACIÓN DEL E.UILI)RIO DE LAS FUER/AS

propó!ito de lo! número! negati#o! & aun(ue no !ea m+! (ue una digre!ión enrelación al tema principal de nue!tro e!tudio Fablaremo! tambin de la! con!ecuencia!mu& conte!table! del empleo de e!to! número! de!de el punto de #i!ta de la mec+nica9

en realidad por !u ob*eto !ta e! una ciencia fí!ica & el FecFo mi!mo de tratarla comouna parte integrante de la! matem+tica! con!ecuencia del punto de #i!ta e;clu!i#amentecuantitati#o de la ciencia actual no de*a de introducir en ella !ingulare! deformacione!. e!te re!pecto decimo! !olamente (ue lo! pretendido! principio!$ !obre lo! (ue lo!matem+tico! moderno! Facen repo!ar e!ta ciencia tal como la conciben & (ue no !ellaman a!í m+! (ue de una manera completamente abu!i#a no !on propiamente m+! (ueFipóte!i! m+! o meno! bien fundada! o tambin en el ca!o m+! fa#orable !imple! le&e!m+! o meno! generale! (ui)+! m+! generale! (ue otra! !i !e (uiere pero (ue en todoca!o no tienen nada en común con lo! #erdadero! principio! uni#er!ale! & (ue en unaciencia con!tituida !egún el punto de #i!ta tradicional no !erían m+! (ue aplicacione! dee!to! principio! a un dominio toda#ía mu& e!pecial. Ain (uerer entrar en de!arrollo!dema!iado largo! citaremo! como e*emplo del primer ca!o el !upue!to principio de

inercia$ (ue no podría *u!tificar nada ni la e;periencia (ue mue!tra al contrario (ue noFa& inercia en ninguna parte de la naturale)a ni el entendimiento (ue no puede concebir e!ta pretendida inercia pue!to (ue !ta no puede con!i!tir m+! (ue en la au!enciacompleta de toda propiedad9 !ólo !e podría aplicar legítimamente una tal palabra a lapotencialidad pura de la !ub!tancia uni#er!al o de la materia prima de lo! e!col+!tico!(ue por lo dem+! por e!ta ra)ón mi!ma e! propiamente ininteligible$9 pero e!ta materia prima e! ciertamente otra co!a (ue la materia$ de lo! fí!ico! 1. n e*emplo del !egundoca!o e! lo (ue !e llama el principio de la igualdad de la acción & de la reacción$ (ue e!en tan poca medida un principio como !e deduce inmediatamente de la le& general dele(uilibrio de la! fuer)a! naturale!@ cada #e) (ue e!te e(uilibrio !e rompe de una maneracual(uiera tiende inmediatamente a re!tablecer!e producindo!e una reacción cu&ainten!idad e! e(ui#alente a la de la acción (ue lo Fa pro#ocado9 a!í pue! e!o no e! m+!(ue un !imple ca!o particular de lo (ue la tradición e;tremo oriental llama la! accione! &reaccione! concordante!$ (ue no conciernen !olo al mundo corporal como la! le&e! de lamec+nica !ino al con*unto de la manife!tación ba*o todo! !u! modo! & en todo! !u!e!tado!9 e! preci!amente !obre e!ta cue!tión del e(uilibrio & de !u repre!entaciónmatem+tica !obre lo (ue no! proponemo! in!i!tir a(uí un poco &a (ue e! ba!tanteimportante en !í mi!ma como para merecer (ue uno !e detenga en ella un in!tante. Ae repre!entan Fabitualmente do! fuer)a! (ue !e e(uilibran por do! #ectore!$opue!to! e! decir por do! !egmento! de recta de igual longitud pero dirigido! en!entido! contrario!@ !i do! fuer)a! aplicada! en un mi!mo punto tienen la mi!mainten!idad & la mi!ma dirección pero en !entido! contrario! e!ta! fuer)a! !e e(uilibran9como e!t+n entonce! !in acción !obre !u punto de aplicación !e dice comúnmente (ue

!e de!tru&en !in atender a (ue !i !e !uprime una de e!ta! fuer)a! la otra actúainmediatamente lo (ue prueba (ue no e!taba de!truida en realidad. Ae caracteri)an la!fuer)a! por coeficiente! numrico! proporcionale! a !u! inten!idade! re!pecti#a! & do!fuer)a! de !entido! contrario! e!t+n afectada! de coeficiente! de !igno! diferente! unopo!iti#o & el otro negati#o@ !i uno e! f el otro !er+ -f ¢ . En el ca!o (ue acabamo! decon!iderar pue!to (ue la! do! fuer)a! tienen la mi!ma inten!idad lo! coeficiente! (ue la!caracteri)an deben !er iguale! en #alor ab!oluto & !e tiene f ^ f ¢ de donde !e deducecomo condición del e(uilibrio f - f ¢ ^ 8 e! decir (ue la !uma algebraica de la! do!fuer)a! o de lo! do! #ectore! (ue la! repre!entan e! nula de tal !uerte (ue ele(uilibrio !e define a!í por cero. Pue!to (ue a!í como lo Femo! dicFo &a m+! atr+! lo!matem+tico! cometen el error de con!iderar el cero como una !uerte de !ímbolo de lanada como !i la nada pudiera !er !imboli)ada por algo parece re!ultar de e!o (ue el

e(uilibrio e! el e!tado de no e;i!tencia lo (ue e! una con!ecuencia ba!tante !ingular9 e!

/ er Le Règne de la Quantit et les !ignes des "emps cap. II.

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por e!ta ra)ón !in duda por lo (ue en lugar de decir (ue do! fuer)a! (ue !e e(uilibran!e neutrali)an lo (ue !ería e;acto !e dice (ue !e de!tru&en lo (ue e! contrario a larealidad a!í como acabamo! de Facerlo #er por una ob!er#ación de lo m+! !imple. La #erdadera noción del e(uilibrio e! mu& diferente (ue e!a@ para comprenderla ba!tade!tacar (ue toda! la! fuer)a! naturale! & no !ólo la! fuer)a! mec+nica! (uerepit+mo!lo toda#ía no !on nada m+! (ue un ca!o mu& particular de ella! !ino la!fuer)a! del orden !util tanto como la! del orden corporal !on o atracti#a! o repul!i#a!9 la!

primera! pueden !er con!iderada! como fuer)a! compre!i#a! o de contracción la!!egunda! e;pan!i#a! o de dilatación29 & en el fondo e!o no e! otra co!a (ue unae;pre!ión en e!te dominio de la dualidad có!mica fundamental mi!ma. E! f+cilcomprender (ue en un medio primiti#amente Fomogneo a toda compre!ión (ue !eprodu)ca en un punto corre!ponder+ nece!ariamente una e;pan!ión e(ui#alente en otropunto e in#er!amente de !uerte (ue !e deber+n con!iderar !iempre correlati#amente do!centro! de fuer)a! de lo! (ue cada uno no puede e;i!tir !in el otro9 e!o e! lo (ue !epuede llamar la le& de la polaridad (ue e! ba*o forma! di#er!a! aplicable a todo! lo!fenómeno! naturale! por(ue deri#a ella tambin de la dualidad de lo! principio! mi!mo!(ue pre!iden toda manife!tación9 e!ta le& en el dominio e!pecial del (ue !e ocupan lo!fí!ico! e! !obre todo e#idente en lo! fenómeno! elctrico! & magntico! pero no !elimita de ninguna manera a !to!. Ai do! fuer)a! una compre!i#a & la otra e;pan!i#a

actúan !obre un mi!mo punto la condición para (ue la! mi!ma! !e e(uilibren o !eneutralicen e! decir para (ue en e!e punto no !e produ)ca ni contracción ni dilatacióne! (ue la! inten!idade! de e!a! do! fuer)a! !ean e(ui#alente!9 no decimo! iguale!pue!to (ue e!ta! fuer)a! !on de e!pecie! diferente! & &a (ue en e!o !e trata de unadiferencia realmente cualitati#a & no !implemente cuantitati#a. Ae pueden caracteri)ar la!fuer)a! por coeficiente! proporcionale! a la contracción o a la dilatación (ue producen detal !uerte (ue !i !e con!ideran una fuer)a compre!i#a & una fuer)a e;pan!i#a la primerae!tar+ afectada de un coeficiente n > / & la !egunda de un coeficiente n¢ < /9 cada uno dee!to! coeficiente! puede !er la relación entre la den!idad (ue toma el medio ambiente enel punto con!iderado ba*o la acción de la fuer)a corre!pondiente & la den!idad primiti#ade e!te mi!mo medio !upue!to Fomogneo a e!te re!pecto cuando no !ufre la acción deninguna fuer)a en #irtud de una !imple aplicación del principio de ra)ón !uficiente 3.Cuando no !e produce ni compren!ión ni dilatación e!ta relación e! for)o!amente igual ala unidad pue!to (ue la den!idad del medio no e!t+ modificada9 a!í pue! para (ue do!fuer)a! (ue actúan en un punto !e e(uilibren e! nece!ario (ue !u re!ultante tenga por coeficiente la unidad. E! f+cil #er (ue el coeficiente de e!ta re!ultante e! el producto & no&a la !uma como en la concepción ordinaria de lo! coeficiente! de la! do! fuer)a!con!iderada!9 por con!iguiente e!to! do! coeficiente n & n¢ deber+n !er número!

in#er!o! el uno del otro@ n¢ ^n

1 & !e tendr+ como condición del e(uilibrio n ; n¢^ /9 a!í

el e(uilibrio e!tar+ definido no &a por el cero !ino por la unidad4. Ae #e (ue e!ta definición del e(uilibrio por la unidad (ue e! la única real corre!pondeal FecFo de (ue la unidad ocupa el medio en la !uce!ión doblemente indefinida de lo!

número! entero! & de !u! in#er!o! mientra! (ue e!te lugar central e!t+ en cierto modou!urpado por el cero en la !uce!ión artificial de lo! número! po!iti#o! & negati#o!. u&

: Ai !e con!idera la noción ordinaria de la! fuer)a! centrípeta! & centrífuga! uno puede dar!ecuenta !in e!fuer)o de (ue la! primera! !e reducen a la! fuer)a! compre!i#a! & la! !egunda! a la!fuer)a! e;pan!i#a!9 del mi!mo modo una fuer)a de tracción e! a!imilable a una fuer)a e;pan!i#apue!to (ue !e e*erce a partir de !u punto de aplicación & una fuer)a de impul!ión o de cFo(ue e!a!imilable a una fuer)a compre!i#a pue!to (ue !e e*erce al contrario Facia e!e mi!mo punto deaplicación9 pero !i !e con!ideran en relación a !u punto de emi!ión e! lo in#er!o lo (ue !ería#erdad lo (ue por lo dem+! e! e;igido por la le& de la polaridad. En otro dominio la coagulación$& la !olución$ Fermtica! corre!ponden tambin re!pecti#amente a la compre!ión & a lae;pan!ión.4

Entinda!e bien (ue cuando Fablamo! a!í del principio de ra)ón !uficiente le con!ideramo!únicamente en !í mi!mo fuera de toda! la! forma! e!peciali)ada! & m+! o meno! conte!table!(ue Leibnit) u otro! Fan (uerido darle.1 E!ta fórmula corre!ponde e;actamente a la concepción del e(uilibrio de lo! do! principio!complementario! yang & yin en la co!mología e;tremo oriental.

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le*o! de !er el e!tado de no e;i!tencia el e(uilibrio e! al contrario la e;i!tenciacon!iderada en !í mi!ma independientemente de !u! manife!tacione! !ecundaria! &múltiple!9 por lo dem+! entinda!e bien (ue no e! el No-Aer en el !entido metafí!ico dee!ta palabra &a (ue la e;i!tencia inclu!o en e!e e!tado primordial e indiferenciado no e!toda#ía m+! (ue el punto de partida de toda! la! manife!tacione! diferenciada! como launidad e! el punto de partida de toda la multiplicidad de lo! número!. E!ta unidad talcomo acabamo! de con!iderarla & en la cual re!ide el e(uilibrio e! lo (ue la tradición

e;tremo oriental llama el In#ariable edio$9 & !egún e!ta mi!ma tradición e!te e(uilibrioo e!ta armonía e! en el centro de cada e!tado & de cada modalidad del !er el refle*o dela cti#idad del Cielo$.

6%



7&



Capí!"# +*III$ CANTIDADES *ARIA)LES , CANTIDADES FI0AS

ol#amo! aFora a la cue!tión de la *u!tificación del rigor del c+lculo infinite!imal@Femo! #i!to &a (ue Leibnit) con!idera como iguale! la! cantidade! cu&a diferencia !in!er nula e! incomparable a e!a! cantidade! mi!ma!9 en otro! trmino! la! cantidade!

infinite!imale! (ue no !iendo nihila a'soluta !on no ob!tante nihila respecti4a & comotale! deben !er de!de?ada! al re!pecto de la! cantidade! ordinaria!. Por de!gracia lanoción de lo! incomparable!$ permanece dema!iado impreci!a como para (ue unra)onamiento (ue no !e apo&a m+! (ue !obre e!ta noción pueda ba!tar plenamente parae!tablecer el car+cter riguro!o del c+lculo infinite!imal9 ba*o e!te a!pecto e!te c+lculo no!e pre!enta en !uma m+! (ue como un mtodo de apro;imación indefinida & no!otro! nopodemo! decir con Leibnit) (ue !entado e!o no !ólo !e !igue (ue el error e!indefinidamente pe(ue?o !ino (ue e! enteramente nulo$19 pero no Fabría otro mediom+! riguro!o de llegar a e!ta conclu!iónM En todo ca!o debemo! admitir (ue el error introducido en el c+lculo puede Facer!e tan pe(ue?o como !e (uiera lo (ue &a e! mucFo9pero no !e !uprime completamente e!te car+cter infinite!imal del error preci!amentecuando !e con!idera no &a el cur!o mi!mo del c+lculo !ino lo! re!ultado! a lo! (ue

permite llegar finalmenteM na diferencia infinite!imal e! decir indefinidamente decreciente no puede !er m+!(ue la diferencia de do! cantidade! #ariable! &a (ue e! e#idente (ue la diferencia de do!cantidade! fi*a! no puede !er en !í mi!ma m+! (ue una cantidad fi*a9 a!í pue! lacon!ideración de una diferencia infinite!imal entre do! cantidade! fi*a! no podría tener ningún !entido. De!de entonce! tenemo! el derecFo de decir (ue do! cantidade! fi*a!!on riguro!amente iguale! entre !í de!de el momento en (ue !u diferencia pretendidapuede !uponer!e tan pe(ue?a como !e (uiera$29 aFora bien el c+lculo infinite!imal comoel c+lculo ordinario no tiene en #i!ta realmente m+! (ue cantidade! fi*a! &determinada!$39 en !uma no introduce la! cantidade! #ariable! m+! (ue a título deau;iliare! con un car+cter puramente tran!itorio & e!ta! #ariable! deben de!aparecer delo! re!ultado! (ue no pueden e;pre!ar m+! (ue relacione! entre cantidade! fi*a!. !ípue! para obtener e!to! re!ultado! e! mene!ter pa!ar de la con!ideración de la!cantidade! #ariable! a la de la! cantidade! fi*a!9 & e!te pa!o tiene por efectopreci!amente eliminar la! cantidade! infinite!imale! (ue !on e!encialmente #ariable! &(ue no pueden pre!entar!e m+! (ue como diferencia! entre cantidade! #ariable!. Fora e! f+cil comprender el por(u Carnot en la definición (ue Femo! citado ante!in!i!te !obre la propiedad (ue tienen la! cantidade! infinite!imale! tal como !e empleanen el c+lculo de poder Facer!e tan pe(ue?a! como !e (uiera !in (ue !e e!t obligadopor e!o a Facer #ariar la! cantidade! cu&a relación !e bu!ca$. E! por(ue en realidad!ta! última! deben !er cantidade! fi*a!9 e! cierto (ue en el c+lculo !e con!ideran comolímite! de cantidade! #ariable! pero !ta! no *uegan m+! (ue el papel de !imple!au;iliare! del mi!mo modo (ue la! cantidade! infinite!imale! (ue introducen con ella!.

Para *u!tificar el rigor del c+lculo infinite!imal el punto e!encial e! (ue en lo! re!ultado!no deben figurar m+! (ue cantidade! fi*a!9 a!í pue! en definiti#a al trmino del c+lculoe! mene!ter pa!ar de la! cantidade! #ariable! a la! cantidade! fi*a! & e!o e! en efectoun pa!o al límite$ pero concebido de modo mu& diferente a como lo Facía Leibnit)pue!to (ue no e! una con!ecuencia o un último trmino$ de la #ariación mi!ma9 aForabien & e!o e! lo m+! importante la! cantidade! infinite!imale! en e!te pa!o !e eliminanpor !í mi!ma! & e!o !implemente en ra)ón de la !u!titución de la! cantidade! #ariable!por la! cantidade! fi*a!4.

/ >ragmento fecFado el :2 de mar)o de /252.

: Carnot Rfle;ions sur la Mtapysi(ue du Calcul infinitsimal p. :0.

4 CF. de >re&cinet %e lA&nalyse infinitsimale Prefacio p. III.

1 Cf. CF. de >re&cinet i'id . p. ::8@ $La! ecuacione! llamada! imperfecta! por Carnot !onFablando propiamente ecuacione! de e!pera o de tran!ición (ue !on riguro!a! en tanto (ue no !e

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Ja& (ue #er no ob!tante en e!ta eliminación como lo (uerría Carnot m+! (ue elefecto de una !imple compen!ación de errore!$M No lo pen!amo! a!í & parece (ue enrealidad !e puede #er en e!o algo m+! de!de (ue !e Face la di!tinción de la! cantidade!#ariable! & de la! cantidade! fi*a! como con!titu&endo en cierto modo do! dominio!!eparado! entre lo! cuale! e;i!te !in duda una correlación & una analogía lo (ueadem+! e! nece!ario para (ue !e pueda pa!ar efecti#amente del uno al otro decual(uier manera (ue !e efectúe e!te pa!o pero !in (ue !u! relacione! reale! puedan

e!tablecer nunca entre ello! una interpretación o inclu!o una continuidad cual(uiera9 por lo dem+! entre e!ta! do! e!pecie! de cantidade! e!o implica una diferencia de ordene!encialmente cualitati#o conformemente a lo (ue Femo! dicFo m+! atr+! al re!pecto dela noción del límite. E! e!ta di!tinción la (ue Leibnit) no Fa FecFo nunca claramente &a(uí tambin e! !in duda !u concepción de una continuidad uni#er!almente aplicable la(ue !e lo Fa impedido9 Leibnit) no podía #er (ue el pa!o al límite$ implica e!encialmenteuna di!continuidad pue!to (ue para l no Fabía di!continuidad en ninguna parte. Ainembargo e!ta di!tinción e! la única (ue no! permite formular la propo!ición !iguiente@ !ila diferencia de do! cantidade! #ariable! puede Facer!e tan pe(ue?a como !e (uiera la!cantidade! fi*a! (ue corre!ponden a e!ta! #ariable! & (ue !e con!ideran como !u!límite! re!pecti#o! !on riguro!amente iguale!. !í una diferencia infinite!imal no puedede#enir nunca nula pero no puede e;i!tir m+! (ue entre #ariable! & entre la! cantidade!

fi*a! corre!pondiente! la diferencia debe !er nula9 de aFí re!ulta inmediatamente (ue unerror (ue puede Facer!e tan pe(ue?o como !e (uiera en el dominio de la! cantidade!#ariable! donde no puede tratar!e efecti#amente en ra)ón del car+cter mi!mo de e!ta!cantidade! de nada m+! (ue de una apro;imación indefinida corre!pondenece!ariamente a un error riguro!amente nulo en el dominio de la! cantidade! fi*a!9 e!únicamente en e!o & no en otra! con!ideracione! (ue cuale!(uiera (ue !ean e!t+n!iempre m+! o meno! fuera o al lado de la cue!tión donde re!ide e!encialmente la#erdadera *u!tificación del rigor del c+lculo infinite!imal.

la! Faga !er#ir m+! (ue al c+lculo de lo! límite! & (ue al contrario !erían ab!olutamenteine;acta! !i lo! límite! no debieran alcan)ar!e efecti#amente. Va!ta Faber pre!entado al e!pírituel de!tino efecti#o de lo! c+lculo! para no !entir ninguna incertidumbre !obre el #alor de la!relacione! por la! (ue !e pa!a. Jace falta #er en cada una de ella! no lo (ue parece e;pre!ar actualmente !ino lo (ue e;pre!ar+ m+! adelante cuando !e llegue a lo! límite!$.

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Capí!"# +I+$ LAS DIFERENCIACIONES SUCESI*AS

Lo (ue precede de*a !ub!i!tir toda#ía una dificultad en lo (ue concierne a lacon!ideración de lo! diferente! órdene! de cantidade! infinite!imale!@ cómo !e puedenconcebir cantidade! (ue !ean infinite!imale! no !olo en relación a la! cantidade!

ordinaria! !ino en relación a otra! cantidade! (ue !on ella! mi!ma! infinite!imale!M (uítambin Leibnit) Fa recurrido a la noción de lo! incomparable!$ pero e!ta noción e!dema!iado #aga para (ue podamo! contentarno! con ella & no e;plica !uficientemente lapo!ibilidad de la! diferenciacione! !uce!i#a!. Ain duda e!ta po!ibilidad puedecomprender!e me*or por una comparación o un e*emplo !acado de la mec+nica@ Encuanto a la! d d ; !on a la! d ; como lo! conato! de la pe!ante) o la! !olicitacione!centrífuga! !on a la #elocidad$1. Leibnit) de!arrolla e!ta idea en !u re!pue!ta a la!ob*ecione! del matem+tico Foland! NieuOenti*t (ue aun(ue admitía la! diferenciale! delprimer orden !o!tenía (ue la! de lo! órdene! !uperiore! no podían !er m+! (ue nula!@La cantidad ordinaria la cantidad infinite!imal primera o diferencial & la cantidaddiferencio-diferencial o infinite!imal !egunda !on entre !í como el mo#imiento la#elocidad & la !olicitación (ue e! un elemento de la #elocidad 2. El mo#imiento de!cribe

una línea la #elocidad un elemento de línea & la !olicitación un elemento de elemento$ 3.Pero e!o no e! m+! (ue un e*emplo o un ca!o particular (ue no puede !er#ir en !umam+! (ue de !imple ilu!tración$ & no de argumento & e! nece!ario proporcionar una *u!tificación de orden general (ue e!te e*emplo en un cierto !entido contiene por lodem+! implícitamente. En efecto la! diferenciale! del primer orden repre!entan lo! incremento! o me*or la!#ariacione! pue!to (ue pueden !er tambin !egún lo! ca!o! en el !entido decrecientetanto como en el !entido creciente (ue reciben a cada in!tante la! cantidade! ordinaria!@tal e! la #elocidad en relación al e!pacio recorrido en un mo#imiento cual(uiera. De lami!ma manera la! diferenciale! de un cierto orden repre!entan la! #ariacione!in!tant+nea! de la! del orden precedente tomada! a !u #e) como magnitude! (uee;i!ten en un cierto inter#alo@ tal e! la aceleración en relación a la #elocidad. !í pue! e!!obre la con!ideración de diferente! grado! de #ariación m+! bien (ue de magnitude!incomparable! entre !í donde repo!a #erdaderamente la di!tinción de lo! diferente!órdene! de cantidade! infinite!imale!. Para preci!ar la manera en (ue debe entender!e e!to Faremo! !implemente lapreci!ión !iguiente@ entre la! #ariable! mi!ma! !e pueden e!tablecer di!tincione!an+loga! a la (ue Femo! e!tablecido anteriormente entre la! cantidade! fi*a! & la!#ariable!9 en e!ta! condicione! para retomar la definición de Carnot !e dir+ (ue unacantidad e! infinite!imal en relación a otra! cuando !e la pueda Facer tan pe(ue?a como!e (uiera !in (ue !e e!t obligado por e!o a Facer #ariar e!a! otra! cantidade!$. E! (ueen efecto una cantidad (ue no e! ab!olutamente fi*a o inclu!o (ue e! e!encialmente#ariable lo (ue e! el ca!o de la! cantidade! infinite!imale! de cual(uier orden (ue !ean

puede !er con!iderada no ob!tante como relati#amente fi*a & determinada e! decir como!u!ceptible de *ugar el papel de cantidad fi*a en relación a alguna! otra! #ariable!. E! !óloen e!ta! condicione! como una cantidad #ariable puede !er con!iderada como el límite deotra #ariable lo (ue !egún la definición mi!ma del límite !upone (ue e! con!ideradacomo fi*a al meno! ba*o una cierta relación e! decir relati#amente a a(uella de la cual e!el límite9 in#er!amente una cantidad podr+ !er #ariable no !olo en !í mi!ma o lo (uee(ui#ale a lo mi!mo en relación a la! cantidade! ab!olutamente fi*a! !ino tambin enrelación a otra! #ariable! en tanto (ue e!ta! última! pueden !er con!iderada! comorelati#amente fi*a!.

/ Carta a Ju&gen! /-// de octubre de /204. :

E!ta !olicitación$ e! lo (ue !e de!igna Fabitualmente por el nombre de aceleración$.4 Responsio ad nonnullas difficultates a %n2 ,ernardo NieuKentiHt circa Methodum differentialemseu infinitesimalem motas en la! &cta +ruditorum de Leip)ig /207.

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En lugar de Fablar a e!te re!pecto de grado! de #ariación como acabamo! de Facerlo!e podría Fablar tambin de grado! de indeterminación lo (ue en el fondo !eríae;actamente la mi!ma co!a con!iderada !olamente de!de un punto de #i!ta un pocodiferente@ una cantidad aun(ue indeterminada por !u naturale)a puede no ob!tante e!tar determinada en un !entido relati#o por la introducción de alguna! Fipóte!i! (ue de*an!ub!i!tir al mi!mo tiempo la indeterminación de otra! cantidade!9 a!í pue! !i puededecir!e e!ta! última! !er+n m+! indeterminada! (ue la! otra! o indeterminada! a un

grado !uperior & a!í podr+n tener con ella! una relación comparable a la (ue tienen la!cantidade! indeterminada! con la! cantidade! #erdaderamente determinada!. No!limitaremo! a e!ta! poca! indicacione! !obre e!te tema &a (ue por !umaria! (ue !eanpen!amo! (ue !on al meno! !uficiente! para Facer comprender la po!ibilidad de lae;i!tencia de la! diferenciale! de di#er!o! órdene! !uce!i#o!9 pero en cone;ión con e!tami!ma cue!tión toda#ía no! (ueda mo!trar m+! e;plícitamente (ue no Fa& realmenteninguna dificultad lógica en con!iderar grado! múltiple! de indefinidad tanto en el ordende la! cantidade! decreciente! (ue e! a(uel al (ue pertenecen lo! infinite!imale! o lo!diferenciale! como en el de la! cantidade! creciente! donde !e pueden con!iderar igualmente integrale! de diferente! órdene! !imtrica! en cierto modo de la!diferenciale! !uce!i#a! lo (ue por lo dem+! e! conforme a la correlación (ue e;i!te a!ícomo lo Femo! e;plicado entre lo indefinidamente creciente & lo indefinidamente

decreciente. Entinda!e bien e! de grado! de indefinidad de lo (ue !e trata en e!o & node grado! de infinitud$ tal como lo! entendía ean Vernoulli cu&a concepción a e!tere!pecto Leibnit) no !e atre#ía ni a admitirla ni a recFa)arla9 & e!te ca!o e! tambin dea(uello! (ue !e encuentran re!uelto! inmediatamente por la !u!titución de la noción delpretendido infinito por la noción de lo indefinido.

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Capí!"# ++$ DIFERENTES ÓRDENES DE INDEFINIDAD

La! dificultade! lógica! e inclu!o la! contradiccione! con la! (ue cFocan lo!matem+tico! cuando con!ideran cantidade! infinitamente grande!$ o infinitamentepe(ue?a!$ diferente! entre !í & perteneciente! inclu!o a órdene! diferente! #ienen

únicamente de (ue con!ideran como infinito lo (ue e! !implemente indefinido9 e! cierto(ue en general parecen preocupar!e ba!tante poco de e!ta! dificultade! (ue por ello noe;i!ten meno! & no !on meno! gra#e! & (ue mue!tran !u ciencia plagada de un montónde ilogi!mo! o !i !e prefiere de paralogi!mo!$ (ue la Facen perder todo #alor & todoalcance !erio a lo! o*o! de a(uello! (ue no !e de*an ilu!ionar por la! palabra!. Je a(uíalguno! e*emplo! de la! contradiccione! (ue introducen a!í lo! (ue admiten la e;i!tenciade magnitude! infinita! cuando !e trata de aplicar e!ta noción a la! magnitude!geomtrica!@ !i !e con!idera una línea una recta por e*emplo como infinita e!te infinitodebe !er m+! pe(ue?o e inclu!o infinitamente menor (ue el (ue e! con!tituido por una!uperficie tal como un plano en el (ue e!ta línea e!t+ contenida con una infinitud deotra! & e!te !egundo infinito a !u #e) !er+ infinitamente m+! pe(ue?o (ue el de lae;ten!ión de tre! dimen!ione!. La po!ibilidad mi!ma de la coe;i!tencia de todo! e!to!

pretendido! infinito! de lo! cuale! alguno! lo !on al mi!mo grado & lo! otro! a grado!diferente! debería ba!tar para probar (ue ninguno de ello! puede !er #erdaderamenteinfinito inclu!o a falta de toda con!ideración de un orden m+! propiamente metafí!ico9 enefecto repit+mo!lo toda#ía &a (ue en e!o !e trata de #erdade! !obre la! cuale! nunca !epodría in!i!tir dema!iado e! e#idente (ue !i !e prefiere una pluralidad de infinito!di!tinto! cada uno de ello! !e encuentra limitado por lo! otro! lo (ue e(ui#ale a decir (ue!e e;clu&en lo! uno! a lo! otro!. decir #erdad lo! infiniti!ta!$ en (uiene! e!taacumulación puramente #erbal de una infinitud de infinito!$ parece producir como unae!pecie de into;icación mental$ !i e! permi!ible e;pre!ar!e a!í no retroceden en modoalguno ante !eme*ante! contradiccione! pue!to (ue como &a lo Femo! dicFo no !ientenninguna dificultad en admitir (ue Fa& diferente! número! infinito! & (ue por con!ecuencia un infinito puede !er m+! grande o m+! pe(ue?o (ue otro infinito9 pero laab!urdidad de tale! enunciado! e! mu& e#idente & el FecFo de (ue !on de un u!oba!tante corriente en la! matem+tica! actuale! no cambia en nada el tema !ino (uemue!tra !olamente Fa!ta (u punto !e Fa perdido el !entido de la lógica m+! elementalen nue!tra poca. Wtra contradicción toda#ía no meno! manifie!ta (ue la! precedente!e! la (ue !e pre!enta en el ca!o de una !uperficie cerrada & por con!iguiente e#idente &#i!iblemente finita & (ue debería contener no ob!tante una infinitud de línea! como por e*emplo una e!fera (ue contiene una infinitud de círculo!9 !e tendría a(uí un continentefinito cu&o contenido !ería infinito lo (ue tiene lugar igualmente por lo dem+! cuando !e!o!tiene como lo Face Leibnit) la infinitud efecti#a$ de lo! elemento! de un con*untocontinuo. Por el contrario no Fa& ninguna contradicción en admitir la coe;i!tencia de

indefinidade! múltiple! & de diferente! órdene!@ e! a!í como la línea indefinida !egún una!ola dimen!ión puede !er con!iderada a e!te re!pecto como con!titu&endo unaindefinidad !imple o del primer orden9 la !uperficie indefinida !egún do! dimen!ione! &(ue comprende una indefinidad de línea! indefinida! !er+ entonce! una indefinidad del!egundo orden & la e;ten!ión de tre! dimen!ione! (ue puede comprender unaindefinidad de !uperficie! indefinida! !er+ del mi!mo modo una indefinidad del tercer orden. (uí e! e!encial de!tacar tambin (ue decimo! (ue la !uperficie comprende unaindefinidad de línea! pero no (ue e!t con!tituida por una indefinidad de línea! delmi!mo modo (ue la línea no e!t+ compue!ta de punto! !ino (ue comprende una multitudindefinida de ello!9 & ocurre lo mi!mo tambin con el #olumen en relación a la! !uperficie!pue!to (ue la e;ten!ión de la! tre! dimen!ione! mi!ma no e! otra co!a (ue un #olumenindefinido. Por lo dem+! en el fondo e!o e! lo (ue Femo! dicFo m+! atr+! al re!pecto de

lo! $indi#i!ible!$ & de la compo!ición del continuo$9 la! cue!tione! de e!te gnero enra)ón de !u comple*idad mi!ma !on de a(uella! (ue Facen !entir me*or la nece!idad deun lengua*e riguro!o. gregamo! tambin a e!te propó!ito (ue !i de!de un cierto puntode #i!ta !e puede con!iderar legítimamente la línea como engendrada por un punto la

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!uperficie por una línea & el #olumen por una !uperficie e!o !upone e!encialmente (uee!e punto e!a línea o e!a !uperficie !e de!pla)an por un mo#imiento continuo (uecomprende una indefinidad de po!icione! !uce!i#a!9 & e!o e! mu& di!tinto (ue con!iderar e!a! po!icione! tomada! ai!ladamente la! una! de la! otra! e! decir lo! punto! la!línea! & la! !uperficie! con!iderada! como fi*o! & determinado! como con!titu&endore!pecti#amente parte! o elemento! de la línea de la !uperficie & del #olumen. Del mi!momodo cuando !e con!idera en !entido in#er!o una !uperficie como la inter!ección de

do! #olúmene! una línea como la inter!ección de do! !uperficie! & un punto como lainter!ección de do! línea! entinda!e (ue e!ta! inter!eccione! no deben concebir!e deninguna manera como parte! comune! a e!o! #olúmene! a e!a! !uperficie! o a e!a!línea!9 !on !ólo como lo decía Leibnit) límite! o e;tremidade!. Aegún lo (ue Femo! dicFo Face un momento cada dimen!ión introduce en ciertomodo un nue#o grado de indeterminación en la e;ten!ión e! decir en el continuoe!pacial con!iderado como !u!ceptible de crecer indefinidamente en e;ten!ión & !eobtiene a!í lo (ue !e podrían llamar potencia! !uce!i#a! de lo indefinido19 & !e puededecir tambin (ue una indefinidad de un cierto orden o de una cierta potencia contieneuna multitud de indefinido! de un orden inferior o de una potencia menor. ientra! en todoe!to no !e trate m+! (ue de indefinido toda! e!ta! con!ideracione! & la! del mi!mognero permanecen pue! perfectamente aceptable! &a (ue no Fa& ninguna

incompatibilidad lógica entre indefinidade! múltiple! & di!tinta! (ue aun(ue !onindefinida! no por e!o !on meno! de naturale)a e!encialmente finita & por con!iguienteperfectamente !u!ceptible! de coe;i!tir como otra! tanta! po!ibilidade! particulare! &determinada! en el interior de la Po!ibilidad total (ue e! la única (ue e! infinita por(uee! idntica al <odo uni#er!al2. E!ta! mi!ma! con!ideracione! no toman una formaimpo!ible & ab!urda m+! (ue por la confu!ión de lo indefinido con el infinito9 a!í a(uítenemo! tambin uno de e!o! ca!o! donde como ocurría cuando !e trataba de lamultitud infinita$ la contradicción inFerente a un pretendido infinito determinado ocultadeform+ndola Fa!ta Facerla ca!i irreconocible otra idea (ue en !í mi!ma no tiene nada decontradictorio. cabamo! de Fablar de diferente! grado! de indeterminación de la! cantidade! en el!entido creciente9 e! por e!ta mi!ma noción con!iderada en el !entido decreciente por la(ue Femo! *u!tificado m+! atr+! la con!ideración de lo! di#er!o! órdene! de cantidade!infinite!imale! cu&a po!ibilidad !e comprende a!í m+! f+cilmente toda#ía al ob!er#ar lacorrelación (ue Femo! !e?alado entre lo indefinidamente creciente & lo indefinidamentedecreciente. Entre la! cantidade! indefinida! de diferente! órdene! la! de un ordendiferente del primero !on !iempre indefinida! tanto en relación a la! de lo! órdene!precedente! como en relación a la! cantidade! ordinaria!9 e! completamente legítimotambin con!iderar del mi!mo modo en !entido in#er!o cantidade! infinite!imale! dediferente! órdene! donde la! de cada orden !on infinite!imale! no !ólo en relación a la!cantidade! ordinaria! !ino tambin en relación a la! cantidade! infinite!imale! de lo!órdene! precedente!3. No Fa& Feterogeneidad ab!oluta entre la! cantidade! indefinida! &la! cantidade! ordinaria! & no la Fa& tampoco entre !ta! & la! cantidade! infinite!imale!9

en e!o no Fa& en !uma m+! (ue diferencia! de grado no diferencia! de naturale)a/ Cf. Le !ym'olisme de la Croi; cap. %II.

: Cf. Les +tats multiples de l/0tre cap. I.

4 'e!er#amo! como !e Face por lo dem+! mu& Fabitualmente la denominación deinfinite!imale!$ a la! cantidade! indefinidamente decreciente! con la e;clu!ión de la! cantidade!indefinidamente creciente! (ue para abre#iar podemo! llamar !implemente indefinida!$9 e!ba!tante !ingular (ue Carnot Fa&a reunido la! una! & la! otra! ba*o el mi!mo nombre deinfinite!imale!$ lo (ue e! contrario no !olo al u!o !ino al !entido mi!mo (ue e!te trmino !aca de!u formación. un(ue con!er#amo! la palabra infinite!imal$ de!pu! de Faber definido !u!ignificación como lo Femo! FecFo no podemo! di!pen!arno! de Facer de!tacar (ue e!te trmino

tiene el gra#e defecto de deri#ar e#identemente de la palabra infinito$ lo (ue le Face mu& pocoadecuado para la idea (ue e;pre!a realmente9 para poder emplearlo a!í !in incon#eniente e!preci!o en cierto modo ol#idar !u origen o al meno! no atribuirle m+! (ue un car+cter únicamenteFi!tórico$ como pro#iniendo de FecFo de la concepción (ue Leibnit) !e Facía de !u! ficcione!bien fundada!$.

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pue!to (ue en realidad la con!ideración de lo indefinido de cual(uier orden (ue !ea o acual(uier potencia (ue !ea no no! Face !alir nunca de lo finito9 e! tambin la fal!aconcepción del infinito la (ue introduce en apariencia entre e!to! diferente! órdene! decantidade! una Feterogeneidad radical (ue en el fondo e! completamentecompreFen!ible. l !uprimir e!ta Feterogeneidad !e e!tablece a(uí una !uerte decontinuidad pero mu& diferente de la (ue con!ideraba Leibnit) entre la! #ariable! & !u!límite! & mucFo me*or fundada en la realidad &a (ue la di!tinción de la! cantidade!

#ariable! & de la! cantidade! fi*a! implica al contrario e!encialmente una #erdaderadiferencia de naturale)a. En e!ta! condicione! la! cantidade! ordinaria! mi!ma! al meno! cuando !e trata de#ariable! pueden !er con!iderada! en cierto modo como infinite!imale! en relación acantidade! indefinidamente creciente! &a (ue !i una cantidad puede Facer!e tan grandecomo !e (uiera en relación a otra !ta de#iene in#er!amente por e!o mi!mo tanpe(ue?a como !e (uiera con relación a la primera. Introducimo! e!ta re!tricción de (uedebe tratar!e a(uí de #ariable! por(ue una cantidad infinite!imal debe !iempre !er concebida como e!encialmente #ariable & por(ue e!o e! algo #erdaderamente inFerentea !u naturale)a mi!ma9 por otra parte cantidade! (ue pertenecen a do! órdene!diferente! de indefinidad !on for)o!amente #ariable! la una con relación a la otra & e!tapropiedad de #ariabilidad relati#a & recíproca e! perfectamente !imtrica &a (ue !egún lo

(ue acabamo! de decir e!o e(ui#ale a con!iderar una cantidad como creciendoindefinidamente en relación a otra o a !ta como decreciendo indefinidamente en relacióna la primera9 !in e!ta #ariabilidad relati#a no Fabría ni crecimiento ni decrecimientoindefinido !ino m+! bien relacione! definida! & determinada! entre la! do! cantidade!. E! de la mi!ma manera como cuando Fa& un cambio de !ituación entre do! cuerpo! & V al meno! en tanto (ue no !e con!idere aFí nada m+! (ue e!e cambio en !í mi!moe!o e(ui#ale a decir (ue el cuerpo e!t+ en mo#imiento con relación al cuerpo V oin#er!amente (ue el cuerpo V e!t+ en mo#imiento con relación al cuerpo 9 la noción delmo#imiento relati#o no e! meno! !imtrica a e!te re!pecto (ue la de la #ariabilidadrelati#a (ue Femo! con!iderado a(uí. Por ello !egún Leibnit) (ue mo!traba a!í lain!uficiencia del mecanici!mo carte!iano como teoría fí!ica (ue pretende proporcionar una e;plicación de lo! fenómeno! naturale! no !e puede e!tablecer ninguna di!tinciónentre un e!tado de mo#imiento & un e!tado de repo!o !i uno !e limita únicamente a lacon!ideración de lo! cambio! de !ituación9 para e!o e! mene!ter Facer inter#enir algo deotro orden a !aber la noción de la fuer)a (ue e! la cau!a pró;ima de e!o! cambio! & laúnica (ue al !er atribuida a un cuerpo m+! bien (ue a otro permite encontrar en e!ecuerpo & !olo en l la #erdadera ra)ón del cambio4.

1 er Leibnit) %iscours de Mtaphysi(ue cap. %III9 cf. Le Règne de la Quantit et les !ignes des"emps cap. %I.

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Capí!"# ++I$ LO INDEFINIDO ES INAGOTA)LE ANAL-TICAMENTE

En lo! do! ca!o! (ue acabamo! de con!iderar el de lo indefinidamente creciente & elde lo indefinidamente decreciente una cantidad de un cierto orden puede !er con!ideradacomo la !uma de una indefinidad de elemento! de lo! (ue cada uno e! una cantidad

infinite!imal en relación a e!ta !uma. Por lo dem+! para (ue !e pueda Fablar decantidade! infinite!imale! e! nece!ario (ue !e trate de elemento! no determinado! enrelación a !u !uma & ello e! a!í de!de (ue e!ta !uma e! indefinida en relación a lo!elemento! de (ue !e trata9 e!o re!ulta inmediatamente del car+cter e!encial de loindefinido mi!mo en tanto (ue !te implica for)o!amente como lo Femo! dicFo la ideade un de#enir$ & por con!iguiente de cierta indeterminación. Por lo dem+! entinda!ebien (ue e!ta indeterminación puede no !er m+! (ue relati#a & no e;i!tir m+! (ue ba*o uncierto punto de #i!ta o en relación a una cierta co!a@ tal e! por e*emplo el ca!o de una!uma (ue !iendo una cantidad ordinaria no e! indefinida en !í mi!ma !ino !ólo enrelación a !u! elemento! infinite!imale!9 pero en todo ca!o !i fuera de otro modo & !i no!e Ficiera inter#enir e!ta noción de indeterminación !eríamo! conducido! !implemente ala concepción de lo! incomparable!$ interpretada en el !entido gro!ero del grano de

arena con re!pecto a la tierra & de la tierra con re!pecto al firmamento. La !uma de la (ue Fablamo! a(uí no puede !er efectuada en modo alguno a lamanera de una !uma aritmtica por(ue para e!o !ería mene!ter (ue una !erie indefinidade adicione! !uce!i#a! pudiera !er acabada lo (ue e! contradictorio9 en el ca!o donde la!uma e! una cantidad ordinaria & determinada como tal e! mene!ter e#identementecomo &a lo Femo! dicFo al formular la definición del c+lculo integral (ue el número o m+!bien la multitud de lo! elemento! cre)ca indefinidamente al mi!mo tiempo (ue la magnitudde cada uno de ello! decrece indefinidamente & en e!te !entido la indefinidad de e!to!elemento! e! #erdaderamente inagotable. Pero !i e!ta !uma no puede !er efectuada dee!ta manera como re!ultado final de una multitud de operacione! di!tinta! & !uce!i#a!puede !erlo por el contrario de un !olo golpe & por una operación única (ue e! laintegración19 e!a e! la operación in#er!a de la diferenciación pue!to (ue recon!titu&e la!uma a partir de !u! elemento! infinite!imale! mientra! (ue la diferenciación #a alcontrario de la !uma a lo! elemento! proporcionando el medio de formular la le& de la!#ariacione! in!tant+nea! de una cantidad cu&a e;pre!ión e!t+ dada. !í de!de (ue !e trata de indefinido la noción de !uma aritmtica &a no e! aplicable& Fa& (ue recurrir a la de integración para !uplir a e!ta impo!ibilidad de numerar$ lo!elemento! infinite!imale! impo!ibilidad (ue bien entendido re!ulta de !u naturale)ami!ma & no de una imperfección cual(uiera por nue!tra parte. Podemo! de!tacar depa!ada (ue en lo (ue concierne a la aplicación a la! magnitude! geomtrica! (ue e! por lo dem+! en el fondo la #erdadera ra)ón de !er de todo el c+lculo infinite!imal Fa& unmtodo de medida (ue e! completamente diferente del mtodo Fabitual fundado !obre ladi#i!ión de una magnitud en porcione! definida! mtodo del (ue &a Femo! Fablado ante!

a propó!ito de la! unidade! de medida$. En !uma !te último e(ui#ale !iempre a !u!tituir de alguna manera el continuo por el di!continuo por e!e troceado$ en porcione! iguale!de la magnitud de la mi!ma e!pecie tomada como unidad 2 a fin de poder aplicar directamente el número a la medida de la! magnitude! continua! lo (ue no puedeFacer!e efecti#amente m+! (ue alterando a!í !u naturale)a para Facerla a!imilable por a!í decir a la del número. l contrario el otro mtodo re!peta tanto como e! po!ible elcar+cter propio del continuo con!ider+ndole como una !uma de elemento! no &a fi*o! &

/ Lo! trmino! integral$ e integración$ cu&o u!o Fa pre#alecido no !on de Leibnit) !ino de eanVernoulli9 Leibnit) no !e !er#ía en e!te !entido m+! (ue de la! palabra! !uma$ & !umación$ (uetienen el incon#eniente de parecer indicar una a!imilación entre la operación de (ue !e trata & laformación de una !uma aritmtica9 por lo dem+! decimo! !olo parecer &a (ue e! mu& cierto (ue

la diferencia e!encial de e!ta! do! operacione! no Fa podido e!capar realmente a Leibnit).: W por una fracción de e!ta magnitud pero poco importa &a (ue e!ta fracción con!titu&e entonce!una unidad !ecundaria m+! pe(ue?a (ue !u!titu&e a la primera en el ca!o donde la di#i!ión por !ta no !e Face e;actamente para obtener un re!ultado e;acto o al meno! m+! apro;imado.

7%



determinado! !ino e!encialmente #ariable! & capace! de decrecer en !u #ariación por deba*o de toda magnitud a!ignable & (ue permiten por e!o mi!mo Facer #ariar lacantidad e!pacial entre límite! tan pró;imo! como !e (uiera lo (ue e! teniendo encuenta la naturale)a del número (ue a pe!ar de todo no puede !er cambiada larepre!entación meno! imperfecta (ue !e pueda dar de una #ariación continua. E!ta! ob!er#acione! permiten comprender de una manera m+! preci!a en (u !entidopuede decir!e como lo Femo! FecFo al comien)o (ue lo! límite! de lo indefinido no

pueden !er alcan)ado! nunca por un procedimiento analítico o en otro! trmino! (ue loindefinido e! no inagotable ab!olutamente & de cual(uier manera (ue !ea pero !í almeno! inagotable analíticamente. Naturalmente debemo! con!iderar como analítico ae!te re!pecto el procedimiento (ue con!i!tiría para recon!truir un todo en tomar !u!elemento! di!tinta & !uce!i#amente@ tal e! el procedimiento de formación de una !umaaritmtica & e! en e!o preci!amente en lo (ue la integración difiere e!encialmente deella. E!to e! particularmente intere!ante de!de nue!tro punto de #i!ta &a (ue aFí !e #epor un e*emplo mu& claro lo (ue !on la! #erdadera! relacione! del an+li!i! & de la!ínte!i!@ contrariamente a la opinión corriente !egún la cual el an+li!i! !ería en ciertomodo preparatorio a la !ínte!i! & conduciría a !ta de !uerte (ue !ería !iempre mene!ter comen)ar por el an+li!i! inclu!o cuando uno no entiende (uedar!e aFí la #erdad e! (ueno !e puede llegar nunca efecti#amente a la !ínte!i! partiendo del an+li!i!9 toda !ínte!i!

en el #erdadero !entido de e!ta palabra e! por a!í decir algo inmediato (ue no e!precedido de ningún an+li!i! & (ue e! enteramente independiente de l como laintegración e! una operación (ue !e efectúa de un !olo golpe & (ue no pre!upone enmodo alguno la con!ideración de elemento! comparable! a lo! de una !uma aritmtica9 &como e!ta !uma aritmtica no puede dar el medio de alcan)ar & de agotar lo indefinidoFa& en todo! lo! dominio! co!a! (ue re!i!ten por !u naturale)a mi!ma a todo an+li!i! &cu&o conocimiento no e! po!ible m+! (ue por la !ínte!i! únicamente3.

4 (uí & en lo (ue #a a !eguir debe entender!e bien (ue tomamo! lo! trmino! an+li!i!$ &!ínte!i!$ en !u acepción #erdadera & original (ue e! nece!ario tener buen cuidado de di!tinguir dea(uella completamente diferente & ba!tante impropia en la (ue !e Fabla corrientemente del

an+li!i! matem+tico$ & !egún la cual la integración mi!ma a pe!ar de !u car+cter e!encialmente!inttico e! con!iderada como formando parte de lo (ue !e llama el an+li!i! infinite!imal$9 por lodem+! e! por e!ta ra)ón por lo (ue preferimo! e#itar el empleo de e!ta última e;pre!ión &!er#irno! !olo de la! de c+lculo infinite!imal$ & de mtodo infinite!imal$ (ue al meno! no podríanpre!tar!e a ningún e(uí#oco de e!te gnero.

8&



Capí!"# ++II$ CARÁCTER SINTÉTICO DE LA INTEGRACIÓN

l contrario de la formación de una !uma aritmtica (ue tiene como acabamo! dedecirlo un car+cter propiamente analítico la integración debe !er con!iderada como unaoperación e!encialmente !inttica pue!to (ue en#uel#e !imult+neamente todo! lo!

elemento! de la !uma (ue !e trata de calcular con!er#ando entre ello! la indi!tinción$(ue con#iene a la! parte! del continuo de!de (ue e!ta! parte! a con!ecuencia de lanaturale)a mi!ma del continuo no pueden !er algo fi*o & determinado. Por lo dem+! lami!ma indi!tinción$ debe mantener!e igualmente aun(ue por una ra)ón algo diferente alre!pecto de lo! elemento! di!continuo! (ue forman una !erie indefinida cuando !e (uierecalcular !u !uma &a (ue !i la magnitud de cada uno de e!to! elemento! !e concibeentonce! como determinada !u número no lo e!t+ e inclu!o podemo! decir m+!e;actamente (ue !u multitud reba!a todo número9 & no ob!tante Fa& ca!o! donde la !umade lo! elemento! de una tal !erie tiende Facia un cierto límite definido cuando !u multitudcrece indefinidamente. un(ue e!ta manera de Fablar pare)ca (ui)+! un poco e;tra?a aprimera #i!ta !e podría decir (ue tal !erie di!continua e! indefinida por e;trapolación$mientra! (ue un con*unto continuo lo e! por interpolación$9 lo (ue acabamo! de decir con

e!to e! (ue !i !e toma en una !erie di!continua una porción comprendida entre do!trmino! cuale!(uiera en e!o no Fa& nada de indefinido pue!to (ue e!ta porción e!t+determinada a la #e) en !u con*unto & en !u! elemento! mientra! (ue e! al e;tender!em+! all+ de e!ta porción !in llegar nunca a un último trmino como e!ta !erie e!indefinida9 al contrario en un con*unto continuo determinado como tal e! en el interior mi!mo de e!te con*unto donde lo indefinido !e encuentra comprendido por(ue lo!elemento! no e!t+n determinado! & por(ue al !er el continuo !iempre di#i!ible no Fa&último! elemento!9 a!í ba*o e!ta relación e!to! do! ca!o! !on en cierto modo in#er!o! eluno del otro. La !umación de una !erie numrica indefinida no !e acabaría nunca !i todo!lo! trmino! debieran !er tomado! uno a uno pue!to (ue no Fa& ningún último trmino enel (ue pueda terminar9 a!í pue! en lo! ca!o! donde tal !umación e! po!ible no puede!erlo m+! (ue por un procedimiento !inttico (ue en cierto modo no! Face apreFender de un !olo golpe toda una indefinidad con!iderada en !u con*unto !in (ue e!opre!uponga en modo alguno la con!ideración di!tinta de !u! elemento! (ue por lodem+! e! impo!ible por e!o mi!mo de (ue !on en multitud indefinida. Del mi!mo modotambin cuando una !erie indefinida !e no! da implícitamente por !u le& de formacióncomo Femo! #i!to un e*emplo de ello en el ca!o de la !uce!ión de lo! número! entero!podemo! decir (ue !e no! da a!í toda entera !intticamente & (ue no puede !erlo de otromodo9 en efecto dar una tal !erie analíticamente !ería dar di!tintamente todo! !u!trmino! lo (ue e! una impo!ibilidad. Por lo tanto cuando tengamo! (ue con!iderar una indefinidad cual(uiera &a !ea la deun con*unto continuo o la de una !erie di!continua Far+ falta en todo! lo! ca!o! recurrir a una operación !inttica para poder alcan)ar !u! límite!9 una progre!ión por grado! !ería

a(uí !in efecto & no podría Facerno! llegar a ello! nunca &a (ue una tal progre!ión nopuede de!embocar en un trmino final m+! (ue ba*o la doble condición de (ue e!tetrmino & el número de lo! grado! a recorrer para alcan)arle !ean uno & otrodeterminado!. Por e!o e! por lo (ue no Femo! dicFo (ue lo! límite! de lo indefinido nopodían !er alcan)ado! de ninguna manera impo!ibilidad (ue !ería in*u!tificable de!de(ue e!o! límite! e;i!ten !ino !olamente (ue no pueden !er alcan)ado! analíticamente@una indefinidad no puede !er agotada por grado! pero puede !er comprendida en !ucon*unto por una de e!a! operacione! tran!cendente! de la! (ue la integración no!proporciona el tipo en el orden matem+tico. Ae puede de!tacar (ue la progre!ión por grado! corre!pondería a(uí a la #ariación mi!ma de la cantidad directamente en el ca!ode la! !erie! di!continua! & en lo (ue concierne al ca!o de una #ariación continua!iguindola por a!í decir en la medida en (ue lo permite la naturale)a di!continua del

número9 por el contrario por una operación !inttica uno !e coloca inmediatamente fuera& m+! all+ de la #ariación a!í como debe !er nece!ariamente !egún lo (ue Femo! dicFom+! atr+! para (ue el pa!o al límite$ pueda !er reali)ado efecti#amente9 en otro!trmino! el an+li!i! no alcan)a m+! (ue a la! #ariable! tomada! en el cur!o mi!mo de !u

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#ariación & únicamente la !ínte!i! alcan)a !u! límite! lo (ue e! a(uí el único re!ultadodefiniti#o & realmente #+lido pue!to (ue e! mene!ter for)o!amente para (ue !e puedaFablar de un re!ultado de!embocar en algo (ue !e refiera e;clu!i#amente a cantidade!fi*a! & determinada!. Por lo dem+! entinda!e bien (ue !e podría encontrar el an+logo de e!ta!operacione! !inttica! en otro! dominio! di!tinto! (ue el de la cantidad &a (ue e!t+ claro(ue la idea de un de!arrollo indefinido de po!ibilidade! e! aplicable tambin a cual(uier

otra co!a adem+! de la cantidad por e*emplo a un e!tado cual(uiera de e;i!tenciamanife!tada & a la! condicione! cuale!(uiera (ue !ean a la! (ue e!e e!tado e!t+!ometido &a !e con!idere en e!o el con*unto có!mico en general o un !er particular e!decir &a !ea (ue uno !e colo(ue en el punto de #i!ta macrocó!mico$ o en el punto de#i!ta microcó!mico$1. Ae podría decir (ue el pa!o al límite$ corre!ponde a la fi*acióndefiniti#a de lo! re!ultado! de la manife!tación en el orden principial9 en efecto e! !olopor e!o como el !er e!capa finalmente al cambio o al de#enir$ (ue e! nece!ariamenteinFerente a toda manife!tación como tal9 & !e #e a!í (ue e!ta fi*ación no e! de ningunamanera un último trmino$ del de!arrollo de la manife!tación !ino (ue !e !itúae!encialmente fuera & m+! all+ de e!te de!arrollo por(ue pertenece a otro orden derealidad tran!cendente en relación a la manife!tación & al de#enir$9 a!í pue! la di!tincióndel orden manife!tado & del orden principial corre!ponde analógicamente a e!te re!pecto

a la (ue Femo! e!tablecido entre el dominio de la! cantidade! #ariable! & el de la!cantidade! fi*a!. dem+! de!de (ue !e trata de cantidade! fi*a! e! e#idente (ue nopodría !er introducida ninguna modificación en ella! por ninguna operación cual(uiera (ue!ea & (ue por con!iguiente el pa!o al límite$ no tiene como efecto producir alguna co!aen e!te dominio !ino !olamente darno! !u conocimiento9 del mi!mo modo pue!to (ue elorden principial e! inmutable no !e trata para llegar a l de efectuar$ algo (ue noe;i!tiría toda#ía !ino m+! bien de tomar efecti#amente con!ciencia de lo (ue e! de unamanera permanente & ab!oluta. Dado el tema de e!te e!tudio Femo! debidonaturalmente con!iderar a(uí m+! particularmente & ante todo lo (ue !e refierepropiamente al dominio cuantitati#o en el (ue la idea del de!arrollo de la! po!ibilidade!!e traduce como lo Femo! #i!to por una noción de #ariación &a !ea en el !entido de loindefinidamente creciente &a !ea en el de lo indefinidamente decreciente9 pero e!ta!poca! indicacione! mo!trar+n (ue toda! e!ta! co!a! !on !u!ceptible! de recibir por unatran!po!ición analógica apropiada un alcance incomparablemente m+! grande (ue el (ueparecen tener en !í mi!ma! pue!to (ue en #irtud de una tal tran!po!ición la integración& la! dem+! operacione! del mi!mo gnero aparecen #erdaderamente como un !ímbolode la reali)ación$ metafí!ica mi!ma. Con e!to !e #e toda la amplitud de la diferencia (ue e;i!te entre la ciencia tradicional(ue permite tale! con!ideracione! & la ciencia profana de lo! moderno!9 & a e!tepropó!ito a?adamo! tambin otra preci!ión (ue !e refiere directamente a la di!tinción delconocimiento analítico & del conocimiento !inttico@ en efecto la ciencia profana e!e!encial & e;clu!i#amente analítica@ no con!idera nunca lo! principio! & !e pierde en eldetalle de lo! fenómeno! cu&a multiplicidad indefinida e indefinidamente cambiante e!

#erdaderamente inagotable para ella de !uerte (ue no puede llegar nunca en tanto (ueconocimiento a ningún re!ultado real & definiti#o9 !e (ueda únicamente en lo! fenómeno!mi!mo! e! decir en la! apariencia! e;teriore! & e! incapa) de alcan)ar el fondo de la!co!a! a!í como Leibnit) !e lo reprocFaba &a al mecanici!mo carte!iano. Por lo dem+!e!a e! una de la! ra)one! por la! (ue !e e;plica el agno!tici!mo$ moderno &a (uepue!to (ue Fa& co!a! (ue no pueden conocer!e m+! (ue !intticamente (uien(uiera (ueno procede m+! (ue por el an+li!i! e! lle#ado por e!o mi!mo a declararla!incogno!cible!$ por(ue lo !on en efecto de e!a manera del mi!mo modo (ue el (ue !e(ueda en una #i!ión analítica de lo indefinido puede creer (ue e!e indefinido e!ab!olutamente inagotable mientra! (ue en realidad no lo e! m+! (ue analíticamente. E!cierto (ue el conocimiento !inttico e! e!encialmente lo (ue !e puede llamar unconocimiento global$ como lo e! el de un con*unto continuo o el de una !erie indefinida

cu&o! elemento! no !e dan & no pueden dar!e di!tintamente9 pero adem+! de (ue e!o e!todo lo (ue importa #erdaderamente en el fondo !iempre !e puede pue!to (ue todo e!t+

/ Aobre e!ta aplicación analógica de la noción de la integración cf. Le !ym'olisme de la Croi; cap. %III & %%.

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contenido aFí en principio rede!cender de!de aFí a la con!ideración de tale! co!a!particulare! como !e (uiera del mi!mo modo (ue !i por e*emplo una !erie indefinida e!t+dada !intticamente por el conocimiento de !u le& de formación !iempre !e puedecuando Fa& lugar a ello calcular en particular cual(uiera de !u! trmino! mientra! (uepartiendo al contrario de e!a! mi!ma! co!a! particulare! con!iderada! en !í mi!ma! & en!u detalle indefinido uno no puede ele#ar!e nunca a lo! principio!9 & e! en e!o en lo (uea!í como lo decíamo! al comien)o el punto de #i!ta & la marcFa de la ciencia tradicional

!on en cierto modo in#er!o! de lo! de la ciencia profana como la !ínte!i! mi!ma e!in#er!a del an+li!i!. Por lo dem+! e!o e! una aplicación de la #erdad e#idente de (ue !i!e puede !acar lo meno!$ de lo m+!$ por el contrario no !e puede Facer !alir nunca lom+!$ de lo meno!$9 !in embargo e!to e! lo (ue pretende Facer la ciencia moderna con!u! concepcione! mecanici!ta! & materiali!ta! & !u punto de #i!ta e;clu!i#amentecuantitati#o9 pero e! preci!amente por(ue e!o e! una impo!ibilidad por lo (ue enrealidad e! incapa) de dar la #erdadera e;plicación de nada2.

: Aobre e!te último punto !e podr+n con!ultar tambin la! con!ideracione! (ue Femo! e;pue!toen Le Règne de la Quantit et les !ignes des "emps.

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Capí!"# ++III$ LOS ARGUMENTOS DE /ENÓN DE ELEA

La! con!ideracione! (ue preceden contienen implícitamente la !olución de toda! la!dificultade! del gnero de la! (ue ,enón de Elea por !u! argumento! clebre! oponía ala po!ibilidad del mo#imiento al meno! en apariencia & a *u)gar !olo por la forma ba*o la

(ue e!o! argumento! !on pre!entado! Fabitualmente &a (ue !e puede dudar (ue talFa&a !ido en el fondo !u #erdadera !ignificación. En efecto e! poco #ero!ímil (ue ,enónFa&a tenido realmente la intención de negar el mo#imiento9 lo (ue parece m+! probablee! (ue !ólo Fa&a (uerido probar la incompatibilidad de !te con la !upo!ición admitidaconcretamente por lo atomi!ta! de una multiplicidad real e irreductible e;i!tente en lanaturale)a de la! co!a!. !í pue! e! contra e!a multiplicidad mi!ma a!í concebidacontra la (ue e!o! argumento! en el origen debían e!tar dirigido! en realidad9 nodecimo! contra toda multiplicidad &a (ue e! e#idente (ue la multiplicidad e;i!te tambinen !u orden del mi!mo modo (ue el mo#imiento (ue por lo dem+! como todo cambio decual(uier gnero (ue !ea la !upone nece!ariamente9 pero del mi!mo modo (ue elmo#imiento en ra)ón de !u car+cter de modificación tran!itoria & moment+nea no podríaba!tar!e a !í mi!mo & no !ería m+! (ue una pura ilu!ión !i no !e #inculara a un principio

!uperior tran!cendente en relación a l tal como el motor inmó#il$ de ri!tótele! a!ítambin la multiplicidad !ería #erdaderamente ine;i!tente !i e!tu#iera reducida a !í mi!ma& !i no procediera de la unidad a!í como tenemo! una imagen matem+tica de ello !egúnlo Femo! #i!to en la formación de la !erie de lo! número!. dem+! la !upo!ición de unamultiplicidad irreductible e;clu&e for)o!amente todo la)o real entre lo! elemento! de la!co!a! & por con!iguiente toda continuidad &a (ue la continuidad no e! m+! (ue un ca!oparticular o una forma e!pecial de un tal la)o9 preci!amente como lo Femo! &a dicFoprecedentemente el atomi!mo implica nece!ariamente la di!continuidad de toda! la!co!a!9 e! con e!ta di!continuidad con la (ue en definiti#a el mo#imiento e! realmenteincompatible & #amo! a #er (ue e! e!o lo (ue mue!tran en efecto lo! argumento! de,enón. Ae Face por e*emplo un ra)onamiento como !te@ un mó#il no podr+ pa!ar nunca deuna po!ición a otra por(ue entre e!a! do! po!icione! por pró;ima! (ue e!tn Fabr+!iempre !e dice una infinitud de otra! po!icione! (ue deber+n !er recorrida!!uce!i#amente en el cur!o del mo#imiento & cual(uiera (ue !ea el tiempo empleado pararecorrerla! e!ta infinitud no podr+ !er agotada nunca. Ciertamente a(uí no podríatratar!e de una infinitud como !e dice lo (ue realmente no tiene ningún !entido9 pero nopor e!o e! meno! cierto (ue Fa& (ue con!iderar en todo inter#alo una indefinidad#erdadera de po!icione! del mó#il indefinidad (ue en efecto no puede !er agotada dee!a manera analítica (ue con!i!te en ocuparla! di!tintamente una a una como !etomarían uno a uno lo! trmino! de una !erie di!continua. nicamente (ue e! e!taconcepción mi!ma del mo#imiento la (ue e! errónea &a (ue e(ui#ale en !uma acon!iderar el continuo como compue!to de punto! o de último! elemento! indi#i!ible! lo

mi!mo (ue en la concepción de lo! cuerpo! como compue!to! de +tomo!9 & e!o e(ui#alea decir (ue en realidad no Fa& continuo &a (ue &a !e trate de punto! o de +tomo! e!to!último! elemento! no pueden !er m+! (ue di!continuo!9 por lo dem+! e! cierto (ue !incontinuidad no Fabría mo#imiento po!ible & e!o e! todo lo (ue e!te argumento pruebaefecti#amente. Wcurre lo mi!mo con el argumento de la flecFa (ue #uela & (ue noob!tante e!t+ inmó#il por(ue a cada in!tante no !e la #e m+! (ue en una !ola po!iciónlo (ue e(ui#ale a !uponer (ue cada po!ición en !í mi!ma puede !er con!iderada comofi*a & determinada & por(ue a!í la! po!icione! !uce!i#a! forman una !uerte de !eriedi!continua. Por otro lado Fa& (ue de!tacar (ue no e! #erdad de FecFo (ue un mó#il !e#ea nunca a!í como ocupando una po!ición fi*a & (ue inclu!o ante! al contrario cuandoel mo#imiento e! ba!tante r+pido !e llega a no #er &a di!tintamente el mó#il mi!mo !ino!olamente una e!pecie de ra!tro de !u de!pla)amiento continuo@ a!í por e*emplo !i !e

Face girar r+pidamente un ti)ón encendido &a no !e #e la forma de e!e ti)ón !ino !ólo uncírculo de fuego9 por lo dem+! &a !e e;pli(ue e!te FecFo por la per!i!tencia de la!impre!ione! retiniana! como lo Facen lo! fi!iólogo! o de cual(uier otra manera (ue !e(uiera e!o importa poco &a (ue no por ello e! meno! e#idente (ue en !eme*ante ca!o

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!e apreFende en cierto modo directamente & de una manera !en!ible la continuidadmi!ma del mo#imiento. dem+! cuando al formular un tal argumento !e dice a cadain!tante$ con e!o !e !upone (ue el tiempo e!t+ formado de una !erie de in!tante!indi#i!ible! a cada uno de lo! cuale! corre!pondería una po!ición determinada del mó#il9pero en realidad el continuo temporal no e!t+ m+! compue!to de in!tante! (ue elcontinuo e!pacial de punto! & como &a lo Femo! indicado e! mene!ter la reunión o m+!bien la combinación de e!ta! do! continuidade! del tiempo & del e!pacio para dar cuenta

de la po!ibilidad del mo#imiento. Ae dir+ tambin (ue para recorrer una determinada di!tancia Fa& (ue recorrer primero la mitad de e!ta di!tancia de!pu! la mitad de la otra mitad de!pu! la mitad delo (ue (ueda & a!í !uce!i#a e indefinidamente 1 de modo (ue uno !e encontrar+ !iempreen pre!encia de una indefinidad (ue con!iderada a!í !er+ en efecto inagotable. Wtroargumento ca!i e(ui#alente e! !te@ !i !e !uponen do! mó#ile! !eparado! por una ciertadi!tancia uno de ello! aun(ue #a&a m+! r+pido (ue el otro no podr+ alcan)arle nunca&a (ue cuando llegue al punto donde !te !e encontraba el otro e!tar+ en una !egundapo!ición !eparada de la primera por una di!tancia menor (ue la di!tancia inicial9 cuandollegue a e!ta !egunda po!ición el otro e!tar+ en una tercera !eparada de la !egunda por una di!tancia toda#ía menor & a!í !uce!i#a e indefinidamente de !uerte (ue la di!tanciaentre e!to! do! mó#ile! aun(ue decre)ca !iempre no de#endr+ nunca nula. El defecto

e!encial de e!to! argumento! a!í como el del precedente con!i!te en (ue !uponen (uepara alcan)ar un cierto trmino todo! lo! grado! intermediario! deben !er recorrido!di!tinta & !uce!i#amente. Fora bien una de do!@ o el mo#imiento con!iderado e!#erdaderamente continuo & entonce! no puede !er de!compue!to de e!ta manerapue!to (ue el continuo no tiene último! elemento!9 o !e compone de una !uce!ióndi!continua o (ue al meno! puede !er con!iderada como tal de inter#alo! de lo! (uecada uno tiene una magnitud determinada como lo! pa!o! de un Fombre en marcFa 2 &entonce! la con!ideración de e!to! inter#alo! !uprime e#identemente la de toda! la!po!icione! intermedia! po!ible! (ue no tienen (ue !er recorrida! efecti#amente comootra! tanta! etapa! di!tinta!. dem+! en el primer ca!o (ue e! propiamente el de una#ariación continua el trmino de e!ta #ariación !upue!to fi*o por definición no puede !er alcan)ado en la #ariación mi!ma & el FecFo de alcan)arle efecti#amente e;ige laintroducción de una Feterogeneidad cualitati#a (ue con!titu&e e!ta #e) una #erdaderadi!continuidad & (ue !e traduce a(uí por el pa!o del e!tado de mo#imiento al e!tado derepo!o9 e!to no! conduce a la cue!tión del pa!o al límite$ cu&a #erdadera nocióndebemo! toda#ía acabar de preci!ar.

/ E!to corre!ponde a lo! trmino! !uce!i#o! de la !erie indefinida 2...

1

!

1

2

1

1

1 dada como

e*emplo por Leibnit) en un pa!a*e (ue Femo! citado anteriormente.

:

En realidad lo! mo#imiento! de lo! (ue !e compone la marcFa !on continuo! como todomo#imiento pero lo! punto! donde el Fombre toca el !uelo forman una !uce!ión di!continua de!uerte (ue cada pa!o marca un inter#alo determinado & e! a!í como la di!tancia recorrida puede!er de!compue!ta en tale! inter#alo! pue!to (ue el !uelo no e! tocado en ningún puntointermediario.

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Capí!"# ++I*$ *ERDADERA CONCEPCIÓN DEL PASO AL L-MITE

La con!ideración del pa!o al límite$ Femo! dicFo m+! atr+! e! nece!aria !i no a la!aplicacione! pr+ctica! del mtodo infinite!imal !i al meno! a !u *u!tificación teórica &e!ta *u!tificación e! preci!amente la única co!a (ue no! importa a(uí &a (ue la! !imple!

regla! pr+ctica! de c+lculo (ue aciertan de una manera en cierto modo empírica$ & !in(ue !e !epa mu& bien por (u ra)ón no tienen e#identemente ningún inter! de!denue!tro punto de #i!ta. Ain duda para efectuar lo! c+lculo! e inclu!o para lle#arlo! Fa!ta!u trmino no Fa& ninguna nece!idad de plantear!e la cue!tión de !aber !i la #ariablealcan)a !u límite & cómo puede alcan)arlo9 pero !in embargo !i no lo alcan)a e!to!c+lculo! no tendrían nunca m+! #alor (ue el de !imple! c+lculo! de apro;imación. E!cierto (ue a(uí !e trata de una apro;imación indefinida pue!to (ue la naturale)a mi!made la! cantidade! infinite!imale! permite Facer el error tan pe(ue?o como !e (uiera !in(ue por e!o !ea po!ible no ob!tante !uprimirle enteramente pue!to (ue e!ta! mi!ma!cantidade! infinite!imale! en !u decrecimiento indefinido no de#ienen nunca nula!. Aedir+ (ui)+! (ue pr+cticamente e!o e! el e(ui#alente de un c+lculo perfectamenteriguro!o9 pero adem+! de (ue no e! de e!o de lo (ue !e trata para no!otro! e!a

apro;imación indefinida mi!ma puede guardar un !entido !i en lo! re!ultado! en lo! (ue!e debe de!embocar no Fan de con!iderar!e &a #ariable! !ino m+! bien únicamentecantidade! fi*a! & determinada!M En e!ta! condicione! de!de el punto de #i!ta de lo!re!ultado! no !e puede !alir de e!ta alternati#a@ o no !e alcan)a el límite & entonce! elc+lculo infinite!imal no e! ma! (ue el meno! gro!ero de lo! mtodo! de apro;imación9 o!í !e alcan)a el límite & entonce! !e trata de un mtodo (ue e! #erdaderamente riguro!o.Pero Femo! #i!to (ue el límite en ra)ón de !u definición mi!ma no puede !er alcan)adonunca e;actamente por la #ariable9 cómo pue! tendremo! el derecFo de decir (ue noob!tante puede !er alcan)adoM Puede !erlo preci!amente no en el cur!o del c+lculo !inoen lo! re!ultado! por(ue en !to! no deben figurar m+! (ue cantidade! fi*a! &determinada! como el límite mi!mo & &a no #ariable!9 a!í pue! e! la di!tinción de la!cantidade! #ariable! & de la! cantidade! fi*a! di!tinción adem+! propiamente cualitati#ala (ue e! como &a lo Femo! dicFo la única #erdadera *u!tificación del rigor del c+lculoinfinite!imal. !í lo repetimo! toda#ía el límite no puede !er alcan)ado en la #ariación & comotrmino de !ta9 no e! el último de lo! #alore! (ue debe tomar la #ariable & la concepciónde una #ariación continua (ue de!emboca en un último #alor$ o en un último e!tado$!ería tan incompreFen!ible & contradictoria como la de una !erie indefinida (uede!emboca en un último trmino$ o como la de la di#i!ión de un con*unto continuo (uede!emboca en último! elemento!$. !í pue! el límite no pertenece a la !erie de lo!#alore! !uce!i#o! de la #ariable9 e!t+ fuera de e!ta !erie & e! por e!o por lo (ue Femo!dicFo (ue el pa!o al límite$ implica e!encialmente una di!continuidad. Ai fuera de otromodo e!taríamo! en pre!encia de una indefinidad (ue podría !er agotada analíticamente

& e!o e! lo (ue no puede tener lugar9 pero e! a(uí donde la di!tinción (ue Femo!e!tablecido a e!te re!pecto cobra toda !u importancia &a (ue no! encontramo! en uno delo! ca!o! donde !e trata de alcan)ar !egún la e;pre!ión (ue &a Femo! empleado lo!límite! de una cierta indefinidad9 a!í pue! no e! !in ra)ón (ue la mi!ma palabra delímite$ !e encuentra con otra acepción m+! e!pecial en el ca!o particular (uecon!ideramo! aFora. El límite de una #ariable debe limitar #erdaderamente en el !entidogeneral de e!ta palabra la indefinidad de lo! e!tado! o de la! modificacione! po!ible!(ue conlle#a la definición de e!ta #ariable9 & e! *u!tamente por e!o por lo (ue !e preci!anece!ariamente (ue !e encuentre fuera de lo (ue debe limitar a!í. No podría tratar!e deninguna manera de agotar e!ta indefinidad por el cur!o mi!mo de la #ariación (ue lacon!titu&e9 de lo (ue !e trata en realidad e! de pa!ar m+! all+ del dominio de e!ta#ariación dominio en el (ue el límite no !e encuentra comprendido & e! e!te re!ultado el

(ue !e obtiene no analíticamente & por grado! !ino !intticamente & de un !olo golpe de

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una manera en cierto modo !úbita$ por la (ue !e traduce la di!continuidad (ue !eproduce entonce! por el pa!o de la! cantidade! #ariable! a la! cantidade! fi*a!1. El límite pertenece e!encialmente al dominio de la! cantidade! fi*a!@ por e!o el pa!o allímite$ e;ige lógicamente la con!ideración !imult+nea en la cantidad de do! modalidade!diferente! en cierto modo !uperpue!ta!9 no e! otra co!a entonce! (ue el pa!o a lamodalidad !uperior en la (ue !e reali)a plenamente lo (ue en la modalidad inferior noe;i!te m+! (ue en el e!tado de !imple tendencia & e!o para emplear la terminología

ari!totlica e! un #erdadero pa!o de la potencia al acto lo (ue ciertamente no tiene nadaen común con la !imple compen!ación de errore!$ (ue con!ideraba Carnot. Por !udefinición mi!ma la noción matem+tica del límite implica un car+cter de e!tabilidad & dee(uilibrio car+cter (ue e! el de algo permanente & definiti#o & (ue e#identemente nopuede !er reali)ado por la! cantidade! en tanto (ue !e la! con!idere en la modalidadinferior como e!encialmente #ariable!9 a!í pue! no puede !er alcan)ado nuncagradualmente !ino (ue lo e! inmediatamente por el pa!o de una modalidad a la otra (uee! el único (ue permite !uprimir toda! la! etapa! intermediaria! por(ue comprende &en#uel#e !intticamente toda !u indefinidad & por el (ue lo (ue no era & no podría !er m+! (ue una tendencia en la! #ariable! !e afirma & !e fi*a en un re!ultado real & definido.De otro modo el pa!o al límite$ !ería !iempre un ilogi!mo puro & !imple &a (ue e!e#idente (ue en tanto (ue !e permane)ca en el dominio de la! #ariable! no puede

obtener!e e!ta fi*e)a (ue e! lo propio del límite donde la! cantidade! (ue erancon!iderada! precedentemente como #ariable! Fan perdido preci!amente e!e car+cter tran!itorio & contingente. El e!tado de la! cantidade! #ariable! e! en efecto un e!tadoeminentemente tran!itorio & en cierto modo imperfecto pue!to (ue no e! m+! (ue lae;pre!ión de un de#enir$ cu&a idea la Femo! encontrado igualmente en el fondo de lanoción de la indefinidad mi!ma (ue por lo dem+! e!t+ e!trecFamente ligada a e!ee!tado de #ariación. !í el c+lculo no puede !er perfecto en el !entido de#erdaderamente acabado m+! (ue cuando Fa llegado a re!ultado! en lo! cuale! &a noentra nada #ariable ni indefinido !ino !ólo cantidade! fi*a! & definida!9 & &a (ue Femo!#i!to como e!o mi!mo e! !u!ceptible de aplicar!e por tran!po!ición analógica m+! all+del orden cuantitati#o (ue &a no tiene entonce! m+! (ue un #alor de !ímbolo & Fa!ta enlo (ue concierne directamente a la reali)ación$ metafí!ica del !er.

/ propó!ito de e!te car+cter !úbito$ o in!tant+neo$ !e podr+ recordar a(uí a título decomparación con el orden de lo! fenómeno! naturale! el e*emplo de la ruptura de una cuerda (ueFemo! dado m+! atr+!@ e!ta ruptura e! tambin el límite de la ten!ión pero no e! a!imilable deninguna manera a una ten!ión a cual(uier grado (ue !ea.

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Capí!"# ++*$ CONCLUSIÓN

No Fa& nece!idad de in!i!tir !obre la importancia (ue la! con!ideracione! (ue Femo!e;pue!to en el cur!o de e!te e!tudio pre!entan de!de el punto de #i!ta propiamentematem+tico pue!to (ue aportan la !olución de toda! la! dificultade! (ue !e Fan !u!citado

a propó!ito del mtodo infinite!imal &a !ea en lo (ue concierne a !u #erdadera!ignificación o &a !ea en lo (ue concierne a !u rigor. La condición nece!aria & !uficientepara (ue pueda dar!e e!ta !olución no e! otra (ue la e!tricta aplicación de lo! #erdadero!principio!9 pero !on *u!tamente lo! principio! lo! (ue lo! matem+tico! moderno! lo mi!mo(ue lo! dem+! !abio! profano! ignoran enteramente & e!ta ignorancia e! en el fondo laúnica ra)ón de tanta! di!cu!ione! (ue en e!ta! condicione! pueden pro!eguir!eindefinidamente !in de!embocar nunca en ninguna conclu!ión #+lida & (ue no Facen por el contrario m+! (ue embarullar m+! la! cue!tione! & multiplicar la! confu!ione! como la(uerella de lo! finiti!ta!$ & de lo! infiniti!ta!$ lo mue!tra con ba!tante claridad9 noob!tante Fubiera !ido mu& f+cil cortar el a!unto de raí) !i !e Fubiera !abido plantear claramente ante todo la #erdadera noción del Infinito metafí!ico & la di!tinciónfundamental del Infinito & de lo indefinido. Leibnit) mi!mo !i bien tu#o al meno! el mrito

de abordar francamente alguna! cue!tione! lo (ue no Fan FecFo !i(uiera lo! (ue Fan#enido de!pu! de l frecuentemente no di*o !obre e!te tema m+! (ue co!a! mu& pocometafí!ica! & a #ece! inclu!o ca!i tan claramente antimetafí!ica! como la!e!peculacione! ordinaria! de la generalidad de lo! filó!ofo! moderno!9 a!í pue! e! &a lami!ma falta de principio! lo (ue le impidió re!ponder a !u! contradictore! de una manera!ati!factoria & en cierto modo definiti#a & la (ue por e!o mi!mo abrió la puerta a toda!la! di!cu!ione! ulteriore!. Ain duda puede decir!e con Carnot (ue !i Leibnit) !e Fae(ui#ocado !ería únicamente al albergar duda! !obre la e;actitud de !u propio an+li!i! !ie! (ue tu#o realmente e!ta! duda!$19 pero inclu!o !i no la! tenía en el fondo tampocopodía en todo ca!o demo!trar riguro!amente e!ta e;actitud por(ue !u concepción de lacontinuidad (ue no e! ciertamente metafí!ica & ni !i(uiera lógica le impedía Facer la!di!tincione! nece!aria! a e!te re!pecto & por con!iguiente formular la noción preci!a dellímite (ue e! como lo Femo! mo!trado de una importancia capital para el fundamentodel mtodo infinite!imal. !í pue! !e #e por todo e!o de (u inter! puede !er la con!ideración de lo!principio! inclu!o para una ciencia e!pecial con!iderada en !í mi!ma & !in (ue uno !eproponga ir apo&+ndo!e en e!ta ciencia m+! all+ del dominio relati#o & contingente al(ue ella !e aplica de una manera inmediata9 e! e!o bien entendido lo (ue de!conocentotalmente lo! moderno! (ue por !u concepción profana de la ciencia !e *actangu!to!amente de Faber FecFo a !ta independiente de la metafí!ica e inclu!o de lateología2 cuando la #erdad e! (ue con e!o no Fan FecFo m+! (ue pri#arla de todo #alor real en tanto (ue conocimiento. dem+! !i !e comprendiera la nece!idad de #incular laciencia a lo! principio! e! e#idente (ue de!de entonce! no Fabría ninguna ra)ón para

(uedar!e aFí & (ue !e !ería conducido naturalmente a la concepción tradicional !egún lacual una ciencia particular cual(uiera (ue !ea #ale meno! por lo (ue e! en !í mi!ma (uepor la po!ibilidad de !er#ir!e de ella como un !oporte$ para ele#ar!e a un conocimientode orden !uperior 3. Jemo! (uerido dar a(uí preci!amente por un e*emplo caracterí!ticouna idea de lo (ue !ería po!ible Facer en alguno! ca!o! al meno! para re!tituir a unaciencia mutilada & deformada por la! concepcione! profana! !u #alor & !u alcancereale! a la #e) de!de el punto de #i!ta del conocimiento relati#o (ue repre!enta

/ Rfle;ions sur la Mtaphysi(ue du Calcul infinitsimal p. 44.

: 'ecordamo! Faber #i!to en alguna parte a un cientifici!ta$ contempor+neo indignar!e de (ue por e*emplo en la edad media !e Fa&a podido encontrar un medio de Fablar de la <rinidad a propó!ito

de la geometría del tri+ngulo9 por lo dem+! probablemente no !o!pecFaba (ue ello e! toda#ía a!íactualmente en el !imboli!mo del Compa?era)go.

4 er por e*emplo a e!te re!pecto !obre el a!pecto e!otrico e inici+tico de la! arte! liberale!$ enla Edad edia L/9sotrisme de %ante pp. /8-/7.

8%



directamente & de!de el del conocimiento !uperior al (ue e! !u!ceptible de conducir por tran!po!ición analógica9 !e Fa podido #er concretamente lo (ue e! po!ible !acar ba*oe!te último a!pecto de nocione! como la! de la integración & del pa!o al límite$. Por lodem+! e! preci!o decir (ue la! matem+tica! m+! (ue cual(uier otra cienciaproporcionan a!í un !imboli!mo mu& particularmente apto para la e;pre!ión de la!#erdade! metafí!ica! en la medida en la (ue !ta! !on e;pre!able! a!í como puedendar!e cuenta de ello a(uello! (ue Fa&an leído alguna! de nue!tra! anteriore! obra!9 e!

por e!o por lo (ue e!te !imboli!mo matem+tico e! de un u!o tan frecuente &a !ea de!deel punto de #i!ta tradicional en general &a !ea de!de el punto de #i!ta inici+tico enparticular 4. nicamente para (ue ello pueda !er a!í entinda!e bien (ue e! nece!arioante todo (ue e!ta! ciencia! !ean limpiada! de lo! errore! & de la! confu!ione! múltiple!(ue Fan !ido introducido! en ella! por la! opinione! fal!a! de lo! moderno! & !eríamo!felice! !i el pre!ente traba*o pudiera contribuir de alguna manera al meno! a e!ere!ultado.

1 Aobre la! ra)one! de e!te #alor e!pecial (ue a e!te re!pecto tiene el !imboli!mo matem+ticotanto numrico como geomtrico !e podr+n #er concretamente la! e;plicacione! (ue Femo! dadoen Le Règne de la Quantit et les !ignes des "emps.

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15a-guénon, rené -los principios cálculo infinitesimal

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