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REN GUNON

Los principios

del

clculo infinitesimal (1946)

REN GUNON: PREFACIO

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PREFACIO

Aunque el presente estudio pueda parecer, a primera vista al menos, no tener mas

que un carcter un poco especial, nos ha parecido til emprenderle para precisar y

explicar ms completamente algunas nociones a las que nos ha sucedido hacer lla-

mada en las diversas ocasiones en las que nos hemos servido del simbolismo

matemtico, y esta razn bastara en suma para justificarle sin que haya lugar a insis-

tir ms en ello. No obstante, debemos decir que a eso se agregan tambin otras razo-

nes secundarias, que conciernen sobre todo a lo que se podra llamar el lado

histrico de la cuestin; en efecto, ste no est enteramente desprovisto de inters

desde nuestro punto de vista, en el sentido de que todas las discusiones que se han

suscitado sobre el tema de la naturaleza y del valor del clculo infinitesimal ofrecen

un ejemplo contundente de esa ausencia de principios que caracteriza a las ciencias

profanas, es decir, las nicas ciencias que los modernos conocen y que incluso con-

ciben como posibles. Ya hemos hecho observar frecuentemente que la mayora de

esas ciencias, en la medida incluso en que corresponden todava a alguna realidad, no

representan nada ms que simples residuos desnaturalizados de algunas de las anti-

guas ciencias tradicionales: es la parte ms inferior de stas, la que, habiendo cesado

de ser puesta en relacin con los principios, y habiendo perdido por eso su verdadera

significacin original, ha acabado por tomar un desarrollo independiente y por ser

considerada como un conocimiento que se basta a s mismo, aunque, ciertamente, su

valor propio como conocimiento, precisamente por eso mismo, se encuentra reducido

a casi nada. Eso es evidente sobre todo cuando se trata de las ciencias fsicas, pero,

como lo hemos explicado en otra parte,1 las matemticas modernas mismas no cons-

tituyen ninguna excepcin bajo este aspecto, si se las compara a lo que eran para los

antiguos la ciencia de los nmeros y la geometra; y, cuando hablamos aqu de los

antiguos, en eso es menester comprender incluso la antigedad clsica, como un

mnimo estudio de las teoras pitagricas y platnicas basta para mostrarlo, o lo

debera al menos si no fuera menester contar con la extraordinaria incomprehensin

de aquellos que pretenden interpretarlas hoy da. Si esa incomprehensin no fuera tan

completa, cmo se podra sostener, por ejemplo, la opinin de un origen emprico

de las ciencias en cuestin, mientras que, en realidad, aparecen al contrario tanto ms

1 Ver El Reino de la Cantidad y los Signos de los tiempos.

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alejadas de todo empirismo cuanto ms atrs nos remontamos en el tiempo, as

como ocurre igualmente con toda otra rama del conocimiento cientfico?

Los matemticos, en la poca moderna, y ms particularmente todava en la

poca contempornea, parecen haber llegado a ignorar lo que es verdaderamente el

nmero; y, en eso, no entendemos hablar slo del nmero tomado en el sentido

analgico y simblico en que lo entendan los Pitagricos y los Kabbalistas, lo que es

muy evidente, sino incluso, lo que puede parecer ms extrao y casi paradjico, del

nmero en su acepcin simple y propiamente cuantitativa. En efecto, los

matemticos modernos reducen toda su ciencia al clculo, segn la concepcin ms

estrecha que uno pueda hacerse de l, es decir, considerado como un simple conjunto

de procedimientos ms o menos artificiales, y que no valen en suma ms que por las

aplicaciones prcticas a las que da lugar; en el fondo, eso equivale a decir que reem-

plazan el nmero por la cifra y, por lo dems, esta confusin del nmero con la cifra

est tan extendida en nuestros das que se la podra encontrar fcilmente a cada ins-

tante hasta en las expresiones del lenguaje corriente2. Ahora bien, en todo rigor, la

cifra no es nada ms que la vestidura del nmero; ni siquiera decimos su cuerpo, ya

que, en ciertos aspectos, es ms bien la forma geomtrica la que puede considerarse

legtimamente como constituyendo el verdadero cuerpo del nmero, as como lo

muestran las teoras de los antiguos sobre los polgonos y los poliedros, puestos en

relacin directa con el simbolismo de los nmeros; y, por lo dems, esto concuerda

con el hecho de que toda incorporacin implica necesariamente una

espacializacin. No obstante, no queremos decir que las cifras mismas sean signos

enteramente arbitrarios, cuya forma no habra sido determinada ms que por la

fantasa de uno o de varios individuos; con los caracteres numricos debe ocurrir lo

mismo que con los caracteres alfabticos, de los que, en algunos lenguas, no se dis-

tinguen3, y se puede aplicar a los unos tanto como a los otros la nocin de un origen

2 Ocurre lo mismo con los pseudoesoteristas que saben tan poco de lo que quieren hablar

que nunca dejan de cometer esta misma confusin en las elucubraciones fantsticas con las que tienen

la pretensin de sustituir a la ciencia tradicional de los nmeros! 3 El hebreo y el griego estn en ese caso, y el rabe lo estaba igualmente antes de la

introduccin del uso de las cifras de origen indio, que despus, modificndose ms o menos, pasaron

de ah a la Europa de la edad media; se puede destacar a este propsito que la palabra cifra misma

no es otra cosa que el rabe ifr, aunque ste no sea en realidad mas que la designacin del cero. Por

otra parte, es verdad que en hebreo, saphar significa contar o nmerar al mismo tiempo que es-

cribir, de donde sepher escritura o libro (en rabe sifr, que designa particularmente un libro sa-

grado), y sephar, numeracin o clculo; de esta ltima palabra viene tambin la designacin de

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jeroglfico, es decir, ideogrfico o simblico, que vale para todas las escrituras sin

excepcin, por disimulado que pueda estar este origen en algunos casos debido a de-

formaciones o alteraciones ms o menos recientes.

Lo que hay de cierto, es que los matemticos emplean en su notacin smbolos

cuyo sentido ya no conocen, y que son como vestigios de tradiciones olvidadas; y lo

que es ms grave, es que no solo no se preguntan cul puede ser ese sentido, sino que

ni siquiera parecen querer que tengan alguno. En efecto, tienden cada vez ms a con-

siderar toda notacin como una simple convencin, por la que entienden algo que

est planteado de una manera enteramente arbitraria, lo que, en el fondo, es una ver-

dadera imposibilidad, ya que jams se hace una convencin cualquiera sin tener al-

guna razn para hacerla, y para hacer precisamente esa ms bien que cualquier otra;

es solo a aquellos que ignoran esa razn a quienes la convencin puede parecerles

arbitraria, de igual modo que no es sino a aquellos que ignoran las causas de un acon-

tecimiento a quienes ste puede parecerles fortuito; en efecto, eso es lo que se pro-

duce aqu, y se puede ver en ello una de las consecuencias ms extremas de la ausen-

cia de todo principio, ausencia que llega hasta hacer perder a la ciencia, o supuesta-

mente tal, pues entonces ya no merece verdaderamente ese nombre bajo ningn as-

pecto, toda significacin plausible. Por lo dems, debido al hecho mismo de la

concepcin actual de una ciencia exclusivamente cuantitativa, ese convencionalis-

mo se extiende poco a poco desde las matemticas a las ciencias fsicas, en sus

teoras ms recientes, que as se alejan cada vez ms de la realidad que pretenden ex-

plicar; hemos insistido suficientemente sobre esto en otra obra como para dispensar-

nos de decir nada ms a este respecto, tanto ms cuanto que es solo de las

matemticas de lo que vamos a ocuparnos ahora ms particularmente. Desde este

punto de vista, solo agregaremos que, cuando se pierde tan completamente de vista el

sentido de una notacin, es muy fcil pasar del uso legtimo y vlido de sta a un uso

ilegtimo, que ya no corresponde efectivamente a nada, y que a veces puede ser in-

cluso completamente ilgico; esto puede parecer bastante extraordinario cuando se

trata de una ciencia como las matemticas, que debera tener con la lgica lazos par-

ticularmente estrechos, y, sin embargo, es muy cierto que se pueden sealar mltiples

ilogismos en las nociones matemticas tales como se consideran comnmente en

nuestra poca.

los Sephiroth de la Kabbala, que son las numeraciones principiales asimiladas a los atributos divi-

nos.

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Uno de los ejemplos ms destacables de esas nociones ilgicas, y que tendremos

que considerar aqu ante todo, aunque no ser el nico que encontraremos en el curso

de nuestra exposicin, es el del pretendido infinito matemtico o cuantitativo, que es

la fuente de casi todas las dificultades que se han suscitado contra el clculo infinite-

simal, o, quizs ms exactamente, contra el mtodo infinitesimal, ya que en eso hay

algo que, piensen lo que piensen los convencionalistas, rebasa el alcance de un

simple clculo en el sentido ordinario de esta palabra; slo hay que hacer una

excepcin con aquellas de las dificultades que provienen de una concepcin errnea

o insuficiente de la nocin de lmite, indispensable para justificar el rigor de este

mtodo infinitesimal y para hacer de l otra cosa que un simple mtodo de

aproximacin. Por lo dems, como lo veremos, hay que hacer una distincin entre los

casos en que el supuesto infinito no expresa ms que una absurdidad pura y simple,

es decir, una idea contradictoria en s misma, como la del nmero infinito, y aque-

llos en los que slo se emplea de una manera abusiva en el sentido de indefinido; pe-

ro sera menester no creer por eso que la confusin misma del infinito y de lo indefi-

nido se reduce a una simple cuestin de palabras, ya que recae verdaderamente sobre

las ideas mismas. Lo que es singular, es que esta confusin, que hubiera bastado di-

sipar para atajar tantas discusiones, haya sido cometida por Leibnitz mismo, a quien

se considera generalmente como el inventor del clculo infinitesimal, y a quien

llamaramos ms bien su formulador, ya que este mtodo corresponde a algunas

realidades, que, como tales, tienen una existencia independiente de aquel que las

concibe y que las expresa ms o menos perfectamente; las realidades del orden

matemtico, como todas las dems, slo pueden ser descubiertas y no inventadas,

mientras que, por el contrario, es de invencin de lo que se trata cuando, as como

ocurre muy frecuentemente en este dominio, uno se deja arrastrar, debido a un jue-

go de notacin, a la fantasa pura; pero, ciertamente, sera muy difcil hacer com-

prender esta diferencia a matemticos que se imaginan gustosamente que toda su

ciencia no es ni debe ser nada ms que una construccin del espritu humano, lo

que, si fuera menester creerles, la reducira ciertamente a ser muy poca cosa en rea-

lidad. Sea como sea, Leibnitz no supo nunca explicarse claramente sobre los princi-

pios de su clculo, y eso es lo que muestra que haba algo en ese clculo que le reba-

saba y que se impona en cierto modo a l sin que tuviera consciencia de ello; si se

hubiera dado cuenta, ciertamente no se hubiera enredado en una disputa de priori-

dad sobre este tema con Newton, y, por lo dems, ese tipo de disputas son siempre

perfectamente vanas, ya que las ideas, en tanto que son verdaderas, no podran ser la

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propiedad de nadie, a pesar del individualismo moderno, ya que es slo el error lo

que puede atribuirse propiamente a los individuos humanos. No nos extenderemos

ms sobre esta cuestin, que podra llevarnos bastante lejos del objeto de nuestro es-

tudio, aunque quizs no sea intil, en algunos aspectos, hacer comprender que el pa-

pel de lo que se llama los grandes hombres es frecuentemente, en una buena medi-

da, un papel de receptores, de suerte que, generalmente, ellos mismos son los pri-

meros en ilusionarse sobre su originalidad.

Lo que nos concierne ms directamente por el momento, es esto: si tenemos que

constatar tales insuficiencias en Leibnitz, e insuficiencias tanto ms graves cuanto

que recaen especialmente sobre las cuestiones de principios, qu ser entonces con

los dems filsofos y matemticos modernos, a los que, ciertamente, Leibnitz es muy

superior a pesar de todo? Esta superioridad, se debe, por una parte, al estudio que

haba hecho de las doctrinas escolsticas de la edad media, aunque no siempre las

haya comprendido enteramente, y, por otra, a algunos datos esotricos, de origen o

de inspiracin principalmente rosacruciana4, datos evidentemente muy incompletos e

incluso fragmentarios, y que, por lo dems, a veces le ocurri aplicar bastante mal,

como veremos algunos ejemplos de ello aqu mismo; para hablar como los historia-

dores, es a estas dos fuentes a las que conviene referir, en definitiva, casi todo lo

que hay de realmente vlido en sus teoras, y eso es tambin lo que le permite reac-

cionar, aunque imperfectamente, contra el cartesianismo, que representaba entonces,

en el doble dominio filosfico y cientfico, todo el conjunto de las tendencias y de las

concepciones ms especficamente modernas. Esta precisin basta en suma para ex-

plicar, en pocas palabras, todo lo que fue Leibnitz, y, si se le quiere comprender,

sera menester no perder de vista nunca estas indicaciones generales, que, por esta

razn, hemos credo bueno formular desde el comienzo; pero es tiempo de dejar estas

consideraciones preliminares para entrar en el examen de las cuestiones mismas que

nos permitirn determinar la verdadera significacin del clculo infinitesimal.

4 La marca innegable de ese origen se encuentra en la figura hermtica colocada por Leibnitz

en la portada de su tratado De Arte combinatoria: es una representacin de la Rota Mundi, en la que,

en el centro de la doble cruz de los elementos (fuego y agua, aire y tierra) y de las cualidades (caliente

y fro, seco y hmedo), la quinta essentia est simbolizada por una rosa de cinco ptalos (que corres-

ponde al ter considerado en s mismo como principio de los otros cuatro elementos); naturalmente,

esta signatura ha pasado completamente desapercibida para todos los comentadores universitarios!

REN GUNON: INFINITO E INDEFINIDO

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CAPTULO I

INFINITO E INDEFINIDO

Procediendo en cierto modo en sentido inverso de la ciencia profana, debemos,

segn el punto de vista constante de toda ciencia tradicional, establecer aqu ante todo el

principio que nos permitir resolver despus, de una manera casi inmediata, las dificul-

tades a las que ha dado lugar el mtodo infinitesimal, sin dejarnos extraviar en las dis-

cusiones que de otro modo correran el riesgo de ser interminables, como lo son en efec-

to para los filsofos y los matemticos modernos, que, por eso mismo de que les falta

este principio, no han llegado nunca a aportar una solucin satisfactoria y definitiva a

estas dificultades. Este principio, es la idea misma del Infinito entendido en su nico

sentido verdadero, que es el sentido puramente metafsico, y, por lo dems, sobre este

punto, no tenemos ms que recordar sumariamente lo que ya hemos expuesto ms com-

pletamente en otra parte5: el Infinito es propiamente lo que no tiene lmites, ya que fini-

to es evidentemente sinnimo de limitado; por consiguiente, no se puede aplicar sin

abuso esta palabra a otra cosa que a lo que no tiene absolutamente ningn lmite, es de-

cir, al Todo universal que incluye en s mismo todas las posibilidades, y que, por consi-

guiente, no podra ser limitado de ninguna manera por nada; entendido as, el Infinito es

metafsica y lgicamente necesario, ya que no slo no puede implicar ninguna

contradiccin, puesto que no encierra en s mismo nada de negativo, sino que es al con-

trario su negacin la que sera contradictoria. Adems, evidentemente no puede haber

ms que un Infinito, ya que dos Infinitos supuestos distintos se limitaran el uno al otro,

y por tanto, se excluiran forzosamente; por consiguiente, toda vez que la palabra infi-

nito se emplea en un sentido diferente del que acabamos de decir, podemos estar segu-

ros a priori de que ese empleo es necesariamente abusivo, ya que, en suma, equivale a

ignorar pura y simplemente el Infinito metafsico, o a suponer otro infinito al lado de l.

Es verdad que los escolsticos admitan lo que llamaban infinitum secundum quid,

que distinguan cuidadosamente del infinitum absolutum que es nicamente el Infinito

metafsico; pero en eso no podemos ver ms que una imperfeccin de su terminologa,

ya que, si esta distincin les permita escapar a la contradiccin de una pluralidad de

5 Los Estados mltiples del ser, cap. I

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infinitos entendidos en el sentido propio, por ello no es menos cierto que ese doble em-

pleo de la palabra infinitum corra el riesgo de causar mltiples confusiones, ya que, por

lo dems, uno de los sentidos que le daban as era completamente impropio, puesto que

decir que algo es infinito slo bajo un cierto aspecto, lo que es la significacin exacta de

la expresin Infinitum secundum quid, es decir que en realidad no es infinito de ninguna

manera6. En efecto, no es porque una cosa no est limitada en un cierto sentido o bajo

una cierta relacin por lo que se puede concluir legtimamente que no est limitada de

ninguna manera, lo que sera necesario para que fuera verdaderamente infinita; no solo

puede estar limitada al mismo tiempo bajo otros aspectos, sino que incluso podemos

decir que lo est necesariamente, desde que es una cierta cosa determinada, y que, por

su determinacin misma, no incluye toda posibilidad, ya que eso mismo equivale a decir

que est limitada por lo que deja fuera de ella; al contrario, si el Todo universal es infi-

nito, es precisamente porque no deja nada fuera de l7. As pues, toda determinacin,

por general que se la suponga, y cualquiera que sea la extensin que pueda recibir, es

necesariamente exclusiva de la verdadera nocin de infinito8; una determinacin, cual-

quiera que sea, es siempre una limitacin, puesto que tiene como carcter esencial defi-

nir un cierto dominio de posibilidades en relacin a todo el resto, y porque, por eso

mismo, excluye a todo ese resto. As, hay un verdadero despropsito en aplicar la idea

de infinito a una determinacin cualquiera, por ejemplo, en el caso que vamos a consi-

derar aqu ms especialmente, a la cantidad o a uno u otro de sus modos; la idea de un

infinito determinado es demasiado manifiestamente contradictoria como para que

haya lugar a insistir ms en ello, aunque esta contradiccin haya escapado muy frecuen-

temente al pensamiento profano de los modernos, y aunque aquellos mismos que se

podran llamar semiprofanos como Leibnitz, no hayan sabido apercibirla claramente9.

Para hacer destacar an mejor esta contradiccin, podramos decir, en otros trminos

6 Es en un sentido bastante prximo de ste como Spinoza emple ms tarde la expresin infini-

to en su gnero, que da lugar naturalmente a las mismas objeciones. 7 Se puede decir tambin que no deja fuera de l ms que la imposibilidad, la cual, al ser una pura

nada, no podra limitarle de ninguna manera. 8 Esto es igualmente verdad de las determinaciones de orden universal, y no ya simplemente ge-

neral, comprendido ah el Ser mismo que es la primera de todas las determinaciones; pero no hay que

decir que esta consideracin no interviene en las aplicaciones nicamente cosmolgicas de las que vamos

a ocuparnos en el presente estudio. 9 Si alguien se extraara de la expresin semiprofano que empleamos aqu, diramos que puede

justificarse, de una manera muy precisa, por la distincin de la iniciacin efectiva y de la iniciacin sim-

plemente virtual, sobre la que tendremos que explicarnos en otra ocasin.

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que son equivalentes en el fondo, que es evidentemente absurdo querer definir el Infini-

to: en efecto, una definicin no es otra cosa que la expresin de una determinacin, y las

palabras mismas dicen bastante claramente que lo que es susceptible de ser definido no

puede ser ms que finito o limitado; buscar hacer entrar el Infinito en una frmula, o, si

se prefiere, revestirle de una forma cualquiera que sea, es, consciente o inconsciente-

mente, esforzarse en hacer entrar el Todo universal en uno de los elementos ms

nfimos que estn comprendidos en l, lo que, ciertamente, es efectivamente la ms ma-

nifiesta de las imposibilidades.

Lo que acabamos de decir basta para establecer, sin dejar lugar a la menor duda, y

sin que haya necesidad de entrar en ninguna otra consideracin, que no puede haber un

infinito matemtico o cuantitativo, que esta expresin no tiene ningn sentido, porque la

cantidad misma es una determinacin; el nmero, el espacio, el tiempo, a los que se

quiere aplicar la nocin de ese pretendido infinito, son condiciones determinadas, y que,

como tales, no pueden ser ms que finitas; son, si se quiere, ciertas posibilidades, o cier-

tos conjuntos de posibilidades, junto a los cuales y fuera de los cuales existen otros, lo

que implica evidentemente su limitacin. En este caso, hay todava algo ms: concebir

el Infinito cuantitativamente, no solo es limitarle, sino que es tambin, por aadidura,

concebirle como susceptible de aumento o de disminucin, lo que no es menos absurdo;

con semejantes consideraciones, se llega a considerar rpidamente no slo varios infini-

tos que coexisten sin confundirse ni excluirse, sino tambin infinitos que son ms gran-

des o ms pequeos que otros infinitos, e incluso, puesto que en estas condiciones el

infinito ha devenido tan relativo que ya no basta, se inventa el transfinito, es decir, el

dominio de las cantidades ms grandes que el infinito; y, en efecto, es de una

invencin de lo que se trata propiamente entonces, ya que tales concepciones no

podran corresponder a nada real: A tantas palabras, otras tantas absurdidades, incluso

al respecto de la simple lgica elemental, lo que no impide que, entre aquellos que las

sostienen, se encuentren quienes tienen la pretensin de ser especialistas de la lgica,

tan grande es la confusin intelectual de nuestra poca!

Debemos hacer observar que hace un momento hemos dicho, no slo concebir un

infinito cuantitativo, sino concebir el Infinito cuantitativamente, y esto requiere al-

gunas palabras de explicacin: con eso hemos querido hacer alusin ms particularmen-

te a aquellos que, en la jerga filosfica contempornea, se llaman los infinitistas; en

efecto, todas las discusiones entre finitistas e infinitistas muestran claramente que

los unos y los otros tienen al menos en comn esta idea completamente falsa de que el

Infinito metafsico es solidario del infinito matemtico, si es que incluso no se identifica

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con l pura y simplemente10. As pues, todos ignoran igualmente los principios ms

elementales de la metafsica, puesto que es al contrario la concepcin misma del verda-

dero Infinito metafsico la nica que permite rechazar de una manera absoluta todo in-

finito particular, si puede se expresar as, tal como el pretendido infinito cuantitativo, y

estar seguro de antemano de que, por todas partes donde se le encuentre, no puede ser

ms que una ilusin, a cuyo respecto ya no habr ms que preguntarse lo que ha podido

darle nacimiento, a fin de poder sustituirla por otra nocin ms conforme a la verdad.

En suma, toda vez que se trate de una cosa particular, de una posibilidad determinada,

por eso mismo estamos ciertos a priori de que es limitada, y, podemos decir, limitada

por su naturaleza misma, y esto permanece igualmente verdadero en el caso donde, por

una razn cualquiera, no podamos alcanzar actualmente sus lmites; pero es precisamen-

te esta imposibilidad de alcanzar los lmites de algunas cosas, e incluso a veces de con-

cebirlos claramente, la que causa, al menos en aquellos a quienes les falta el principio

metafsico, la ilusin de que esas cosas no tienen lmites, y, lo repetimos an, es esta

ilusin, y nada ms, la que se formula en la afirmacin contradictoria de un infinito

determinado.

Es aqu donde interviene, para rectificar esa falsa nocin, o ms bien para reempla-

zarla por una concepcin verdadera de las cosas11, la idea de lo indefinido, que es preci-

samente la idea de un desarrollo de posibilidades cuyos lmites no podemos alcanzar

actualmente; y por eso consideramos como fundamental, en todas las cuestiones donde

aparece el pretendido infinito matemtico, la distincin del Infinito y de lo indefinido.

Es sin duda a eso a lo que responda, en la intencin de sus autores, la distincin

escolstica de infinitum absolutum y del infinitum secundum quid; y es ciertamente de-

plorable que Leibnitz, que no obstante ha tomado tanto de la escolstica, haya descuida-

do o ignorado sta, ya que, por imperfecta que fuera la forma bajo la que estaba expre-

10 Aqu citaremos slo, como ejemplo caracterstico, el caso de L. Couturat que concluye su tesis

De linfini mathmatique, en la que se ha esforzado en probar la existencia de un infinito de nmero y de

magnitud, declarando que su intencin en eso ha sido mostrar que, a pesar del neocriticismo (es decir,

de las teoras de Renouvier y de su escuela), es probable una metafsica infinitista! 11 En todo rigor lgico, hay lugar a hacer una distincin entre falsa nocin (o, si se quiere,

pseudonocin) y nocin falsa: una nocin falsa es la que no corresponde adecuadamente a la rea-

lidad, aunque se le corresponde no obstante en una cierta medida; al contrario, una falsa nocin es la

que implica contradiccin, como es el caso aqu, y la que as no es verdaderamente una nocin, ni siquiera

falsa, aunque tenga la apariencia de ello para los que no se dan cuenta de la contradiccin, ya que, puesto

que no expresa ms que lo imposible, que es lo mismo que nada, no corresponde absolutamente a nada;

una nocin falsa es susceptible de ser rectificada, pero una falsa nocin no puede ser ms que recha-

zada pura y simplemente.

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sada, hubiera podido servirle para responder bastante fcilmente a ciertas de las obje-

ciones suscitadas contra su mtodo. Por el contrario, parece que Descartes haba inten-

tado establecer la distincin de que se trata, pero est muy lejos de haberla expresado e

incluso concebido con una precisin suficiente, puesto que, segn l, lo indefinido es

aquello cuyos lmites no vemos, y que en realidad podra ser infinito, aunque no poda-

mos afirmar que lo sea, mientras que la verdad es que, al contrario, podemos afirmar

que no lo es, y que no hay necesidad ninguna de ver sus lmites para estar ciertos de que

esos lmites existen; as pues, se ve cuan vago y embarullado est todo esto, y siempre a

causa de la misma falta de principio. Descartes dice en efecto: Y para nosotros, al ver

cosas en las que, segn algunos sentidos12, no observamos lmites, no aseguramos por

eso que sean infinitas, sino que las estimaremos solamente indefinidas13. Y da como

ejemplos de ello la extensin y la divisibilidad de los cuerpos; no asegura que estas co-

sas sean infinitas, pero no obstante no parece tampoco querer negarlo formalmente, tan-

to ms cuanto que llega a declarar que no quiere enredarse en las disputas del infinito,

lo que es una manera demasiado simple de sortear las dificultades, y aunque diga un

poco ms adelante que si bien observamos en ellas propiedades que nos parecen no

tener lmites, no dejaremos de reconocer que eso procede del defecto de nuestro enten-

dimiento, y no de su naturaleza14. En suma, con justa razn, quiere reservar el nombre

de infinito a lo que no puede tener ningn lmite; pero, por una parte, no parece saber,

con la certeza absoluta que implica todo conocimiento metafsico, que lo que no tiene

ningn lmite no puede ser nada ms que el Todo universal, y por otra, la nocin misma

de lo indefinido tiene necesidad de ser precisada mucho ms de lo que la precisa l; si lo

hubiera sido, sin duda un gran nmero de confusiones ulteriores no se habran produci-

do tan fcilmente15.

Decimos que lo indefinido no puede ser infinito, porque su concepto conlleva siem-

pre una cierta determinacin, ya se trate de la extensin, de la duracin, de la divisibili-

12 Estos trminos parecen querer recordar el secundum quid escolstico y as, pudiera ser que la

intencin primera de la frase que citamos haya sido criticar indirectamente la expresin infinitum secun-

dum quid. 13 Principes de la Philosophie, I, 26. 14 Ibid., I, 27. 15 Es as como Varignon, en su correspondencia con Leibnitz, al respecto del clculo infinitesimal,

emplea indistintamente las palabras infinito e indefinido, como si fueran ms o menos sinnimos, o

como si al menos fuera en cierto modo indiferente tomar uno por otro, mientras que, al contrario, es la

diferencia de sus significaciones la que, en todas estas discusiones, hubiera debido ser considerada como

el punto esencial.

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dad, o de cualquier otra posibilidad; en una palabra, lo indefinido, cualquiera que sea y

bajo cualquier aspecto que se lo considere, es todava finito y no puede ser ms que fini-

to. Sin duda, sus lmites se alejan hasta encontrarse fuera de nuestro alcance, al menos

en tanto que busquemos alcanzarlos de una cierta manera que podemos llamar

analtica, as como lo explicaremos ms completamente a continuacin; pero por eso

no son suprimidos de ninguna manera, y, en todo caso, si las limitaciones de un cierto

orden pueden ser suprimidas, subsisten todava otras, que estn en la naturaleza misma

de lo que se considera, ya que es en virtud de su naturaleza, y no simplemente de alguna

circunstancia ms o menos exterior y accidental, por lo que toda cosa particular es fini-

ta, y ello, sea cual sea el grado al que pueda ser llevada efectivamente la extensin de la

que es susceptible. Se puede destacar a este propsito que el signo , por el que los

matemticos representan su pretendido infinito, es l mismo una figura cerrada, y por

consiguiente, visiblemente finita, tanto como lo es el crculo del que algunos han queri-

do hacer un smbolo de la eternidad, mientras que no puede ser ms que una figuracin

de un ciclo temporal, indefinido solamente en su orden, es decir, en el orden de lo que

se llama propiamente la perpetuidad16; y es fcil ver que esta confusin de la eternidad y

de la perpetuidad, tan comn entre los Occidentales modernos, se emparenta estrecha-

mente a la del Infinito y de lo indefinido.

Para hacer comprender mejor la idea de lo indefinido y la manera en que ste se

forma a partir de lo finito entendido en su acepcin ordinaria, se puede considerar un

ejemplo tal como la sucesin de los nmeros: en sta, evidentemente no es posible nun-

ca detenerse en un punto determinado, puesto que, despus de todo nmero, hay siem-

pre otro que se obtiene agregndole la unidad; por consiguiente, es menester que la

limitacin de esa sucesin indefinida sea de un orden diferente del que se aplica a un

conjunto definido de nmeros, tomados entre dos nmeros determinados cualesquiera;

as pues, es menester que esa limitacin est, no en algunas propiedades particulares de

ciertos nmeros, sino en la naturaleza misma del nmero en toda su generalidad, es de-

cir, en la determinacin que, al constituir esencialmente esta naturaleza, hace a la vez

que el nmero sea lo que es y que no sea otra cosa. Podra repetirse exactamente la

misma observacin si se tratara, no ya del nmero, sino del espacio o del tiempo consi-

16 Conviene observar tambin que, como lo hemos explicado en otra parte, un tal ciclo no es nunca

verdaderamente cerrado, sino que parece serlo solamente en tanto que uno se coloca en una perspectiva

que no permite percibir la distancia que existe realmente entre sus extremidades, de igual modo que una

espira de hlice segn el eje vertical aparece como un crculo cuando es proyectada sobre el plano hori-

zontal.

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derados igualmente en toda la extensin de la que son susceptibles17; esa extensin, por

indefinida que se la conciba y que lo sea efectivamente, no podr hacernos salir nunca

de ninguna manera de lo finito. Es que, en efecto, mientras que lo finito presupone ne-

cesariamente el Infinito, puesto que ste es lo que comprende y envuelve todas las posi-

bilidades, lo indefinido procede al contrario de lo finito, de lo que no es en realidad ms

que un desarrollo, y a lo que, por consiguiente, es siempre reductible, ya que es evidente

que no se puede sacar de lo finito, por cualquier proceso que sea, nada ms que lo que

ya estaba contenido en l potencialmente. Para retomar el mismo ejemplo de la sucesin

de los nmeros, podemos decir que esta sucesin, con toda la indefinidad que conlleva,

nos est dada por su ley de formacin, puesto que es de esta ley misma de donde resulta

inmediatamente su indefinidad; ahora bien, esta ley consiste en que, dado un nmero

cualquiera, se formar el nmero siguiente agregndole la unidad. As pues, la sucesin

de los nmeros se forma por adiciones sucesivas de la unidad a s misma indefinida-

mente repetida, lo que, en el fondo, no es ms que la extensin indefinida del procedi-

miento de formacin de una suma aritmtica cualquiera; y aqu se ve muy claramente

como lo indefinido se forma a partir de lo finito. Por lo dems, este ejemplo debe su cla-

ridad particular al carcter discontinuo de la continuidad numrica; pero, para tomar las

cosas de una manera ms general y aplicable a todos los casos, bastara, a este respecto,

insistir sobre la idea de devenir que est implicada por el trmino indefinido, y que

hemos expresado ms atrs al hablar de un desarrollo de posibilidades, desarrollo que,

en s mismo y en todo su curso, conlleva siempre algo de inacabado18; la importancia de

la consideracin de las variables, en lo que concierne al clculo infinitesimal, dar a

este ltimo punto toda su significacin.

17 As pues, no servira de nada decir que el espacio, por ejemplo, no podra estar limitado ms que

por algo que sera tambin el espacio, de suerte que el espacio en general ya no podra estar limitado por

nada; al contrario, est limitado por la determinacin misma que constituye su naturaleza propia en tanto

que espacio, y que deja lugar, fuera de l, a todas las posibilidades no espaciales. 18 Cf. la precisin de A. K. Coomaraswamy sobre el concepto platnico de medida, que hemos

citado en otra parte (El Reino de la Cantidad y los Signos de los Tiempos, cap. III): Lo no medido es lo

que todava no ha sido definido, es decir, en suma lo indefinido, y es, al mismo tiempo y por eso mismo,

lo que no est ms que incompletamente realizado en la manifestacin.

REN GUNON: LA CONTRADICCIN DEL NMERO INFINITO

Dic-00 (r)

14

CAPTULO II

LA CONTRADICCIN DEL NMERO INFINITO

Como lo veremos todava ms claramente a continuacin, hay casos en los que

basta reemplazar la idea del pretendido infinito por la de lo indefinido para hacer

desaparecer inmediatamente toda dificultad, pero hay otros donde eso mismo no es

posible, porque se trata de algo claramente determinado, fijado de alguna manera

por hiptesis, y que como tal, no puede llamarse indefinido, segn la observacin

que hemos hecho en ltimo lugar: as, por ejemplo, se puede decir que la sucesin de

los nmeros es indefinida, pero no se puede decir que un cierto nmero, por grande

que se le suponga y cualquiera que sea el rango que ocupe en esta sucesin, es inde-

finido. La idea del nmero infinito, entendida como el ms grande de todos los

nmeros, o el nmero de todos los nmeros, o tambin el nmero de todas las

unidades, es una idea verdaderamente contradictoria en s misma, cuya imposibili-

dad subsistira incluso si se renunciara al empleo injustificable de la palabra infini-

to: no puede haber un nmero que sea ms grande que todos los dems, ya que, por

grande que sea un nmero, siempre se puede formar uno ms grande agregndole la

unidad, conformemente a la ley de formacin que hemos formulado ms atrs. Eso

equivale a decir que la sucesin de los nmeros no puede tener un ltimo trmino, y

es precisamente porque no est terminada por lo que es verdaderamente indefini-

da; como el nmero de todos sus trminos no podra ser ms que el ltimo de entre

ellos, no se puede decir tampoco que no es numerable, y esa es una idea sobre la

que tendremos que volver ms ampliamente a continuacin.

La imposibilidad del nmero infinito puede establecerse an con diversos ar-

gumentos; Leibnitz, que al menos la reconoca muy claramente19, empleaba el que

consiste en comparar la sucesin de los nmeros pares a la de todos los nmeros en-

teros: a todo nmero corresponde otro nmero que es igual a su doble, de suerte que

se pueden hacer corresponder las dos sucesiones trmino a trmino, de donde resulta

que el nmero de los trminos debe ser el mismo en uno y otro caso; pero, por otra

19 A pesar de mi clculo infinitesimal, escriba concretamente, yo no admito ningn verdadero

nmero infinito, aunque confieso que la multitud de las cosas sobrepasa todo nmero finito, o ms

bien todo nmero.

REN GUNON: LA CONTRADICCIN DEL NMERO INFINITO

Dic-00 (r)

15

parte, evidentemente hay dos veces ms nmeros enteros que nmeros pares, puesto

que los nmeros pares se colocan de dos en dos en la sucesin de los nmeros ente-

ros; por consiguiente, as se concluye en una contradiccin manifiesta. Se puede ge-

neralizar este argumento tomando, en lugar de la sucesin de los nmeros pares, es

decir, de los mltiplos de dos, la de los mltiplos de un nmero cualquiera, y el razo-

namiento es idntico; se puede tomar tambin de la misma manera la sucesin de los

cuadrados de los nmeros enteros20, o ms generalmente, la de sus potencias de un

exponente cualquiera. En todos los casos, la conclusin a la que se llega es siempre

la misma: una sucesin que no comprende ms que una parte de los nmeros enteros

debera tener el mismo nmero de trminos que la que los comprende a todos, lo que

equivaldra a decir que el todo no sera ms grande que su parte; y, desde que se ad-

mite que hay un nmero de todos los nmeros, es imposible escapar a esta

contradiccin. No obstante, algunos han credo poder escapar a ella admitiendo, al

mismo tiempo, que hay nmeros a partir de los que la multiplicacin por un cierto

nmero o la elevacin a una cierta potencia ya no sera posible, porque dara un re-

sultado que rebasara el pretendido nmero infinito; hay inclusos quienes han sido

conducidos a considerar en efecto nmeros llamados ms grandes que el infinito,

de donde teoras como la del transfinito de Cantor, que pueden ser muy ingeniosas,

pero que por eso no son ms vlidas lgicamente21: es concebible que se pueda pen-

sar en llamar infinito a un nmero que, al contrario, es tan finito que no es ni

siquiera el ms grande de todos? Por lo dems, con semejantes teoras, habra

nmeros a los que ninguna de las reglas del clculo ordinario se aplicaran ya, es de-

cir, en suma, nmeros que no seran verdaderamente nmeros, y que no seran lla-

mados as ms que por convencin22; es lo que ocurre forzosamente cuando, al bus-

car concebir el nmero infinito de otro modo que como el ms grande de los

20 Esto es lo que haca Cauchy, que, por lo dems, atribua este argumento a Galileo (Sept

leons de Physique gnrale, 3 leccin). 21 Ya, en la poca de Leibnitz, Wallis consideraba spatia plus quam infinita; esta opinin,

denunciada por Varignon como implicando contradiccin, fue sostenida igualmente por Guido Grandi

en su libro De Infinitis infinitorum. Por otra parte, Jean Bernoulli, en el curso de sus discusiones con

Leibnitz, escriba: Si dantur termini infiniti, datibur etiam terminus infinitesimus (non dico ultimus)

et qui eum sequuntur, lo que, aunque no se explique ms claramente ah, parece indicar que admita

que pueda haber en una serie numrica trminos ms all del infinito. 22 En eso no se puede decir de ninguna manera que se trate de un empleo analgico de la idea

del nmero, ya que esto supondra una transposicin a un dominio diferente del de la cantidad, y, al

contrario, es a la cantidad, entendida en su sentido ms literal, a la que se refieren exclusivamente

todas las consideraciones de este tipo.

REN GUNON: LA CONTRADICCIN DEL NMERO INFINITO

Dic-00 (r)

16

nmeros, se consideran diferentes nmeros infinitos, supuestos desiguales entre s,

y a los que se atribuyen propiedades que ya no tienen nada en comn con las de los

nmeros ordinarios; as, no se escapa a una contradiccin ms que para caer en otras,

y en el fondo, todo eso no es ms que el producto del convencionalismo ms vaco

de sentido que se pueda imaginar.

As, la idea del pretendido nmero infinito, de cualquier manera que se presen-

te y por cualquier nombre que se la quiera designar, contiene siempre elementos con-

tradictorios; por lo dems, no hay ninguna necesidad de esa suposicin absurda desde

que uno se hace una justa concepcin de lo que es realmente la indefinidad del

nmero, y desde que se reconoce adems que el nmero, a pesar de su indefinidad,

no es aplicable de ninguna manera a todo lo que existe. No vamos a insistir aqu so-

bre este ltimo punto, puesto que ya lo hemos explicado suficientemente en otra par-

te: el nmero no es ms que un modo de la cantidad, y la cantidad misma no es ms

que una categora o un modo especial del ser, no coextensivo de ste, o, ms preci-

samente an, no es ms que una condicin propia de un cierto estado de existencia en

el conjunto de la existencia universal; pero es eso justamente lo que la mayora de los

modernos tienen dificultad para comprender, habituados como estn a querer reducir

todo a la cantidad e incluso evaluar todo numricamente23. No obstante, en el domi-

nio mismo de la cantidad hay cosas que escapan al nmero, as como lo veremos

cuando tratemos del continuo; e incluso, sin salir de la consideracin de la cantidad

discontinua, uno est ya forzado a admitir, al menos implcitamente, que el nmero

no es aplicable a todo, cuando se reconoce que la multitud de todos los nmeros no

puede constituir un nmero, lo que, por lo dems, no es en suma ms que una

aplicacin de la verdad incontestable de que lo que limita un cierto orden de posibili-

dades debe estar necesariamente fuera y ms all de ese orden24. Solamente, debe

23 Es as como Renouvier pensaba que el nmero es aplicable a todo, al menos idealmente, es

decir, que todo es numerable en s mismo, aunque nosotros seamos incapaces de numerarlo efec-

tivamente; tambin se ha equivocado completamente sobre el sentido que Leibnitz da a la nocin de la

multitud, y nunca ha podido comprender como la distincin de sta con el nmero permite escapar

a la contradiccin del nmero infinito. 24 Hemos dicho, sin embargo, que una cosa particular o determinada, cualquiera que sea, est

limitada por su naturaleza misma, pero en eso no hay absolutamente ninguna contradiccin: en efecto,

es por el lado negativo de esta naturaleza como ella est limitada (ya que, como ha dicho Spinoza,

omnis determinatio negatio est), es decir, en tanto que sta excluye a las dems cosas y las deja

fuera de ella, de suerte que, en definitiva, es la coexistencia de esas otras cosas la que limita a la cosa

considerada; por lo dems, es por lo que el Todo universal, y solo l, no puede ser limitado por nada.

REN GUNON: LA CONTRADICCIN DEL NMERO INFINITO

Dic-00 (r)

17

entenderse bien que una tal multitud, ya se la considere en el discontinuo, como en el

caso cuando se trata de la sucesin de los nmeros, o ya se la considere en el conti-

nuo, sobre lo que tendremos que volver un poco ms adelante, no puede ser llamada

de ninguna manera infinita, y que en eso no se trata nunca ms que de lo indefinido;

por lo dems, es esta nocin de la multitud lo que vamos a tener que examinar ahora

ms cerca .

REN GUNON: LA MULTITUD INNUMERABLE

Dic-00 (r)

18

CAPTULO III

LA MULTITUD INNUMERABLE

Como hemos visto, Leibnitz no admite de ningn modo el nmero infinito,

puesto que, al contrario, declaraba expresamente que ste, en cualquier sentido que

se le quiera entender, implica contradiccin; pero por el contrario, admite lo que lla-

ma una multitud infinita, sin precisar siquiera, como lo habran hecho al menos los

escolsticos, que, en todo caso, eso no puede ser ms que un infinitum secundum

quid; y, para l, la sucesin de los nmeros es un ejemplo de una tal multitud. Sin

embargo, por otro lado, en el dominio cuantitativo, e incluso en lo que concierne a la

magnitud continua, la idea del infinito le parece siempre sospechosa de contradiccin

al menos posible, ya que, lejos de ser una idea adecuada, conlleva inevitablemente

una cierta parte de confusin, y nosotros no podemos estar ciertos de que una idea no

implica ninguna contradiccin ms que cuando concebimos distintamente todos sus

elementos25; esto apenas permite acordar a esa idea ms que un carcter simblico,

diramos ms bien representativo, y es por eso por lo que Leibnitz no se atrevi

nunca, as como lo veremos ms adelante, a pronunciarse claramente sobre la reali-

dad de los infinitamente pequeos; pero esta dificultad misma y esta actitud dubi-

tativa hacen que se destaque mejor todava la falta de principio que le haca admitir

que se pueda hablar de una multitud infinita. Uno podra preguntarse tambin,

despus de eso, si no pensaba que una tal multitud, para ser infinita como l dice,

no slo no deba ser numerable, lo que es evidente, sino que ni siquiera deba ser

de ninguna manera cuantitativa, tomando la cantidad en toda su extensin y bajo to-

25 Descartes hablaba slo de ideas claras y distintas; Leibnitz precisa que una idea puede ser

clara sin ser distinta, slo si permite reconocer su objeto y distinguirle de todas las dems cosas, mien-

tras que una idea distinta es la que no slo es distinguiente en este sentido, sino distinguida en sus

elementos; por lo dems, una idea puede ser ms o menos distinta, y la idea adecuada es la que lo es

completamente y en todos sus elementos; pero, mientras que Descartes crea que se podan tener ideas

claras y distintas de todas las cosas, Leibnitz estima al contrario que las ideas matemticas son las

nicas que pueden ser adecuadas, puesto que sus elementos son en cierto modo en nmero definido,

mientras que todas las dems ideas envuelven una multitud de elementos cuyo anlisis no puede ser

acabado nunca, de tal suerte que las mismas permanecen siempre parcialmente confusas.

REN GUNON: LA MULTITUD INNUMERABLE

Dic-00 (r)

19

dos sus modos; eso podra ser verdad en algunos casos, pero no en todos; sea lo que

sea, ese es tambin un punto sobre el que nunca se ha explicado claramente.

La idea de una multitud que sobrepasa todo nmero, y que por consiguiente no es

un nmero, parece haber sorprendido a la mayora de aquellos que han discutido las

concepciones de Leibnitz, ya sean finitistas o infinitistas; sin embargo, esta idea

est lejos de ser propia de Leibnitz como parecen haberlo credo generalmente, y,

antes al contrario, era una idea completamente corriente en los escolsticos26. Esta

idea se entenda propiamente de todo lo que no es ni nmero ni numerable, es de-

cir, de todo lo que no depende de la cantidad discontinua, ya se trate de cosas que

pertenecen a otros modos de la cantidad o de lo que est enteramente fuera del domi-

nio cuantitativo, ya se trate de una idea del orden de los transcendentales, es decir,

de los modos generales del ser, que, contrariamente a sus modos especiales como la

cantidad, le son coextensivos27. Es lo que permite hablar, por ejemplo, de la multitud

de los atributos divinos, o tambin de la multitud de los ngeles, es decir, de seres

que pertenecen a estados que no estn sometidos a la cantidad y donde, por consi-

guiente, no puede tratarse de nmero; es tambin lo que nos permite considerar los

estados del ser o los grados de la existencia como siendo en multiplicidad o en multi-

tud indefinida, mientras que la cantidad no es ms que una condicin especial de uno

solo de entre ellos. Por otra parte, puesto que la idea de multitud, contrariamente a la

de nmero, es aplicable a todo lo que existe, debe haber forzosamente multitudes de

orden cuantitativo, concretamente en lo que concierne a la cantidad continua, y es

por eso por lo que decamos hace un momento que no sera verdadero considerar, en

todos los casos, la supuesta multitud infinita, es decir, la que sobrepasa todo

nmero, como escapando enteramente al dominio de la cantidad. Adems, el nmero

mismo puede ser considerado tambin como una especie de multitud, pero a

condicin de agregar que, segn la expresin de Santo Toms de Aquino, es una

multitud medida por la unidad; puesto que toda otra suerte de multitud no es nu-

merable, es no medida, es decir, que no es infinita, sino propiamente indefinida.

26 Citaremos slo un texto tomado entre muchos otros, y que es particularmente claro a este

respecto: Qui diceret aliquan multitudinem esse infinitam, nom diceret eam esse numerum, vel nume-

rum habere; addit etiam numerus super multitudinem rationem mensurationis. Est enim numerus mul-

titudo mensurata per unum,...et propter hoc numerus ponitur species quantitatis discretae, non autem

multitudo, sed est de transcendentibus (Santo Toms de Aquino, in III Phys., 1, 8). 27 Se sabe que los escolsticos, incluso en la parte propiamente metafsica de sus doctrinas,

nunca han ido ms all de la consideracin del Ser, de suerte que, de hecho, la metafsica se reduce

para ellos nicamente a la ontologa.

REN GUNON: LA MULTITUD INNUMERABLE

Dic-00 (r)

20

A este propsito, conviene observar un hecho bastante singular: para Leibnitz, es-

ta multitud, que no constituye un nmero, es no obstante un resultado de las unida-

des28; qu es menester entender por eso, y de qu unidades puede tratarse? Esta

palabra unidad puede tomarse en dos sentidos completamente diferentes: por una

parte, hay la unidad aritmtica o cuantitativa, que es el elemento primero y el punto

de partida del nmero, y, por otra, lo que se designa analgicamente como la Unidad

metafsica, que se identifica al Ser puro mismo; no vemos que haya ninguna otra

acepcin posible fuera de stas; pero, por lo dems, cuando se habla de las unida-

des, empleando esta palabra en plural, eso no puede ser evidentemente ms que en

el sentido cuantitativo. nicamente, si ello es as, la suma de las unidades no puede

ser otra cosa que un nmero, y no puede rebasar de ninguna manera el nmero; es

cierto que Leibnitz dice resultado y no suma, pero esta distincin, inclusive si es

querida expresamente, por eso no deja subsistir menos una enojosa obscuridad. Por

lo dems, declara en otra parte que la multitud, sin ser un nmero, se concibe no obs-

tante por analoga con el nmero: Cuando hay ms cosas, dice, de las que pueden

ser comprendidas por ningn nmero, no obstante nosotros les atribuimos

analgicamente un nmero, que llamamos infinito, aunque no se trate ms que una

manera de hablar, un modus loquendi29, e incluso, bajo esta forma, una manera de

hablar muy incorrecta, puesto que, en realidad, eso no es de ninguna manera un

nmero; pero, cualesquiera que sean las imperfecciones de la expresin y las confu-

siones a las que puede dar lugar, debemos admitir, en todo caso, que una

identificacin de la multitud con el nmero no estaba ciertamente en el fondo de su

pensamiento.

Otro punto al que Leibnitz parece prestar una gran importancia, es que el infini-

to, tal como lo concibe, no constituye un todo30; sta es una condicin que l consi-

dera como necesaria para que esta idea escape a la contradiccin, pero se trata de

otro punto que no deja de ser tambin pasablemente obscuro. Cabe preguntarse de

qu suerte de todo se trata aqu, y, primeramente, es menester descartar enteramen-

28 Systme nouveau de la nature et de la communication des substances. 29 Obsevatio quod rationes sive proportiones non habeant locum circa quantitates nihilo mino-

res, et de vero sensu Methodi infinitesimalis, en las Acta Eruditorum de Leipzig, 1712. 30 Cf. concretamente ibid.: Infinitum continuum vel discretum proprie nec unum, nec totum,

nec quantum est, donde la expresin nec quantum parece querer decir que para l, como lo

indicbamos ms atrs, la multitud infinita no debe ser concebida cuantitativamente, a menos, no

obstante, de que por quantum no haya entendido solamente aqu una cantidad definida, como lo habra

sido el pretendido nmero infinito cuya contradiccin ha demostrado.

REN GUNON: LA MULTITUD INNUMERABLE

Dic-00 (r)

21

te la idea del Todo universal, que, al contrario, como lo hemos dicho desde el co-

mienzo, es el Infinito metafsico mismo, es decir, el nico verdadero Infinito, y que

no podra estar en causa aqu de ninguna manera; en efecto, ya se trate del continuo o

del discontinuo, la multitud infinita que considera Leibnitz se queda, en todos los

casos, en un dominio restringido y contingente, de orden cosmolgico y no

metafsico. Por lo dems, se trata evidentemente de un todo concebido como com-

puesto de partes, mientras que, as como lo hemos explicado en otra parte31, el Todo

universal es propiamente sin partes, en razn misma de su infinitud, puesto que,

debiendo esas partes ser necesariamente relativas y finitas, no podran tener con l

ninguna relacin real, lo que equivale a decir que no existen para l. Por consiguien-

te, en cuanto a la cuestin planteada, debemos limitarnos a la consideracin de un

todo particular; pero aqu tambin, y precisamente en lo que concierne al modo de

composicin de un tal todo y a su relacin con sus partes, hay que considerar dos ca-

sos, que corresponden a dos acepciones muy diferentes de esta misma palabra to-

do. Primeramente, si se trata de un todo que no es nada ms que la simple suma de

sus partes, de las que est compuesto a la manera de una suma aritmtica, lo que dice

Leibnitz es evidente en el fondo, ya que ese modo de formacin es precisamente el

que es propio del nmero, y no nos permite rebasar el nmero; pero, a decir verdad,

esta nocin, lejos de representar la nica manera en que puede concebirse un todo, no

es siquiera la de un todo verdadero en el sentido ms riguroso de esta palabra. En

efecto, un todo que no es as ms que la suma o el resultado de sus partes, y que, por

consiguiente, es lgicamente posterior a stas, no es otra cosa, en tanto que todo, que

un ens rationis, ya que no es uno y todo ms que en la medida en que le conce-

bimos como tal; en s mismo, no es, hablando propiamente, ms que una

coleccin, y somos nosotros quienes, por la manera en que le consideramos, le

conferimos, en un cierto sentido relativo, los caracteres de unidad y de totalidad. Al

contrario, un todo verdadero, que posee esos caracteres por su naturaleza misma, de-

be ser lgicamente anterior a sus partes y ser independiente de ellas: tal es el caso de

un conjunto continuo, que podemos dividir en partes arbitrarias, es decir, de una

magnitud cualquiera, pero que no presupone de ninguna manera la existencia efecti-

va de esas partes; aqu, somos nosotros quienes damos a las partes como tales una

realidad, por una divisin ideal o efectiva, y as este caso es exactamente inverso del

precedente.

31 Sobre este punto, ver tambin Los Estados mltiples del ser, cap. I.

REN GUNON: LA MULTITUD INNUMERABLE

Dic-00 (r)

22

Ahora, toda la cuestin se reduce en suma a saber si, cuando Leibnitz dice que

el infinito no es un todo, excluye este segundo sentido tanto como el primero; as

lo parece, e incluso eso es probable, puesto que es el nico caso en que un todo es

verdaderamente uno, y en que el infinito, segn l, no es nec unum, nec totum. Lo

que lo confirma tambin, es que este caso, y no en el primero, es el que se aplica a un

ser vivo o a un organismo cuando se le considera desde el punto de vista de la totali-

dad; ahora bien, Leibnitz dice: Incluso el Universo no es un todo, y no debe ser

concebido como un animal cuya alma es Dios, as como lo hacan los antiguos32.

Sin embargo, si ello es as, uno no ve demasiado como las ideas del infinito y del

continuo pueden estar conectadas como lo estn muy frecuentemente para l, ya que

la idea del continuo se vincula precisamente, en un cierto sentido al menos, a esta

segunda concepcin de la totalidad; pero ste es un punto que podr comprenderse

mejor a continuacin. Lo que es cierto en todo caso, es que, si Leibnitz hubiera con-

cebido el tercer sentido de la palabra todo, sentido puramente metafsico y superior

a los otros dos, es decir, la idea del Todo universal tal como la hemos planteado pri-

mero, no habra podido decir que la idea del infinito excluye la totalidad, ya que de-

clara: El infinito real es quizs lo absoluto mismo, que no est compuesto de partes,

pero que, teniendo partes, las comprende por razn eminente y como en el grado de

perfeccin33. Aqu hay al menos un vislumbre, se podra decir, ya que esta vez,

como por excepcin, toma la palabra infinito en su verdadero sentido, aunque sea

errneo decir que este infinito tiene partes, de cualquier manera que se lo quiera

entender; pero es extrao que tampoco entonces exprese su pensamiento ms que

bajo una forma dubitativa e indecisa, como si no estuviera exactamente fijado sobre

la significacin de esta idea; y quizs no lo ha estado nunca en efecto, ya que de otro

modo no se explicara que la haya desviado tan frecuentemente de su sentido propio,

y que sea a veces tan difcil, cuando habla de infinito, saber si su intencin ha sido

tomar este trmino con rigor, aunque fuera equivocadamente, o si no ha visto en l

ms que una simple manera de hablar.

32 Carta a Jean Bernoulli. Leibnitz presta aqu bastante gratuitamente a los antiguos en gene-

ral, una opinin que, en realidad, no ha sido ms que la de algunos de entre ellos; tiene manifiesta-

mente en vista la teora de los Estoicos, que conceban a Dios como nicamente inmanente y le identi-

ficaban al Anima Mundi. Por lo dems, no hay que decir que aqu no se trata ms que del Universo

manifestado, es decir, del Cosmos, y no del Todo universal que comprende todas las posibilidades,

tanto no manifestadas como manifestadas. 33 Carta a Jean Bernoulli, 7 de junio de 1698.

REN GUNON: LA MEDIDA DEL CONTINUO

Dic-00 (r)

23

CAPTULO IV

LA MEDIDA DEL CONTINUO

Hasta aqu, cuando hemos hablado del nmero, hemos tenido en vista exclusiva-

mente el nmero entero, y ello deba ser as lgicamente, desde que consideramos la

cantidad numrica como siendo propiamente la cantidad discontinua: en la sucesin

de los nmeros enteros, hay siempre, entre dos trminos consecutivos, un intervalo

perfectamente definido, que est marcado por la diferencia de una unidad existente

entre esos dos nmeros, y que, cuando uno se atiene a la consideracin de los

nmeros enteros, no puede ser reducida de ninguna manera. Por lo dems, en reali-

dad, el nmero entero es el nico nmero verdadero, lo que se podra llamar el

nmero puro; y, partiendo de la unidad, la serie de los nmeros enteros va creciendo

indefinidamente, sin llegar nunca a un ltimo trmino cuya suposicin, como ya lo

hemos visto, es contradictoria; pero no hay que decir que se desarrolla toda entera en

un solo sentido, y as el otro sentido opuesto, que sera el de indefinidamente decre-

ciente, no puede encontrar su representacin en ella, aunque, desde otro punto de vis-

ta, como lo mostraremos ms adelante, haya una cierta correlacin y una suerte de

simetra entre la consideracin de las cantidades indefinidamente crecientes y la de

las cantidades indefinidamente decrecientes. Sin embargo, nadie se ha atenido a eso,

y se ha llegado a considerar diversas suertes de nmeros, diferentes de los nmeros

enteros; son, se dice habitualmente, extensiones o generalizaciones de la idea de

nmero, y eso es verdadero de una cierta manera; pero, al mismo tiempo, esas exten-

siones son tambin alteraciones de esa idea, y es eso lo que los matemticos moder-

nos parecen olvidar muy fcilmente, porque su convencionalismo les hace desco-

nocer su origen y su razn de ser. De hecho, los nmeros que no son enteros se pre-

sentan siempre, ante todo, como la figuracin del resultado de operaciones que son

imposibles cuando uno se atiene al punto de vista de la aritmtica pura, puesto que,

en todo rigor, sta no es ms que la aritmtica de los nmeros enteros: as, por ejem-

plo, un nmero fraccionario no es otra cosa que la representacin del resultado de

una divisin que no se efecta exactamente, es decir, en realidad de una divisin que

se debe llamar aritmticamente imposible, lo que, por lo dems, se reconoce

implcitamente al decir, segn la terminologa matemtica ordinaria, que uno de los

REN GUNON: LA MEDIDA DEL CONTINUO

Dic-00 (r)

24

dos nmeros considerados no es divisible por el otro. Desde ahora hay lugar a obser-

var que la definicin que se da comnmente de los nmeros fraccionarios es absurda:

las fracciones no pueden ser de ninguna manera partes de la unidad, como se dice,

ya que la unidad aritmtica verdadera es necesariamente indivisible y sin partes; y,

por lo dems, es de eso de donde resulta la discontinuidad esencial del nmero que se

forma a partir de ella; pero vamos a ver de dnde proviene esta absurdidad.

En efecto, no es arbitrariamente como se llega a considerar as el resultado de las

operaciones de que acabamos de hablar, en lugar de limitarse a considerarlas pura y

simplemente como imposibles; de una manera general, eso es a consecuencia de la

aplicacin que se hace del nmero, cantidad discontinua, a la medida de magnitudes

que, como las magnitudes espaciales por ejemplo, son del orden de la cantidad conti-

nua. Entre estos modos de la cantidad, hay una diferencia de naturaleza tal que la co-

rrespondencia de la una y la otra no podra establecerse perfectamente; para reme-

diarlo hasta un cierto punto, y en tanto que sea posible al menos, se busca reducir de

alguna manera los intervalos de este discontinuo que est constituido por la serie de

los nmeros enteros, introduciendo entre sus trminos otros nmeros, y primeramen-

te los nmeros fraccionarios, que no tendran ningn sentido fuera de esta

consideracin. Desde entonces es fcil comprender que la absurdidad que

sealbamos hace un momento, en lo que concierne a la definicin de las fracciones,

proviene simplemente de una confusin entre la unidad aritmtica y lo que se llama

las unidades de medida, unidades que no son tales ms que convencionalmente, y

que son en realidad magnitudes de otro tipo que el nmero, concretamente magnitu-

des geomtricas. La unidad de longitud, por ejemplo, no es ms que una cierta longi-

tud escogida por razones extraas a la aritmtica, y a la que se hace corresponder el

nmero 1 a fin de poder medir en relacin a ella todas las dems longitudes; pero,

por su naturaleza misma de magnitud continua, toda longitud, aunque sea representa-

da as numricamente por la unidad, por eso no es menos divisible siempre e indefi-

nidamente; as pues, al compararla a otras longitudes que no sean mltiplos exactos

de ella, se podr tener que considerar partes de esta unidad de medida, pero que, por

eso, no sern de ninguna manera partes de la unidad aritmtica; y es slo as como se

introduce realmente la consideracin de los nmeros fraccionarios, como

representacin de relaciones entre magnitudes que no son exactamente divisibles las

unas por las otras. La medida de una magnitud no es en efecto otra cosa que la

expresin numrica de su relacin con otra magnitud de la misma especie tomada

como unidad de medida, es decir, en el fondo, como trmino de comparacin; y es

REN GUNON: LA MEDIDA DEL CONTINUO

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por eso por lo que el mtodo ordinario de medida de las magnitudes geomtricas se

funda esencialmente sobre la divisin.

Por lo dems, es menester decir que, a pesar de eso, subsiste siempre forzosamen-

te algo de la naturaleza discontinua del nmero, que no permite que se obtenga as un

equivalente perfecto del continuo; pueden reducirse los intervalos tanto como se

quiera, es decir, en suma reducirlos indefinidamente, hacindolos ms pequeos que

toda cantidad que se haya dado de antemano, pero no se llegar nunca a suprimirlos

enteramente. Para hacerlo comprender mejor, tomaremos el ejemplo ms simple de

un continuo geomtrico, es decir, una lnea recta: consideremos una semirrecta que

se extiende indefinidamente en un cierto sentido34, y convengamos hacer que corres-

ponda a cada uno de sus puntos el nmero que expresa la distancia de ese punto al

origen; ste ser representado por cero, puesto que su distancia a s mismo es eviden-

temente nula; a partir de ese origen, los nmeros enteros correspondern a las extre-

midades sucesivas de segmentos todos iguales entre s e iguales a la unidad de longi-

tud; los puntos comprendidos entre stos no podrn ser representados ms que por

nmeros fraccionarios, puesto que sus distancias al origen no son mltiplos exactos

de la unidad de longitud. Es evidente que a medida de que se tomen nmeros frac-

cionarios cuyo denominador sea cada vez ms grande, y, por consiguiente, cuya dife-

rencia sea cada vez ms pequea, los intervalos entre los puntos a los que correspon-

den estos nmeros se encontrarn reducidos en la misma proporcin; as se puede

hacer decrecer estos intervalos indefinidamente, tericamente al menos, puesto que

los denominadores de los nmeros fraccionarios posibles son todos los nmeros ente-

ros, cuya sucesin crece indefinidamente35. Decimos tericamente, porque, de hecho,

puesto que la multitud de los nmeros fraccionarios es indefinida, no se podr llegar

nunca a emplearla as toda entera; pero supongamos no obstante que se haga corres-

ponder idealmente todos los nmeros fraccionarios posibles a puntos de la semirrecta

considerada: a pesar del decrecimiento indefinido de los intervalos, quedarn todava

en esta lnea una multitud de puntos a los que no corresponder ningn nmero. Esto

puede parecer singular e incluso paradjico a primera vista, y sin embargo es fcil

darse cuenta de ello, ya que un tal punto puede ser obtenido por medio de una

34 Se ver despus, a propsito de la representacin geomtrica de los nmeros negativos, por-

que no debemos considerar aqu ms que una semirrecta; por lo dems, el hecho de que la serie de los

nmeros no se desarrolle ms que en un solo sentido, as como lo decamos ms atrs, basta ya para

indicar la razn de ello. 35 Esto ser precisado todava cuando hablemos de los nmeros inversos.

REN GUNON: LA MEDIDA DEL CONTINUO

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construccin geomtrica muy simple: construyamos el cuadrado que tenga por lado

el segmento de recta cuyas extremidades son los puntos cero y uno, y tracemos la

diagonal de este cuadrado que parte del origen, y despus la circunferencia que tiene

el origen como centro y esta diagonal como radio; el punto donde esta circunferencia

corta a la semirrecta no podr ser representado por ningn nmero entero o fraccio-

nario, puesto que su distancia al origen es igual a la diagonal del cuadrado y puesto

que sta es inconmensurable con su lado, es decir, aqu con la unidad de longitud.

As, la multitud de los nmeros fraccionarios, a pesar del decrecimiento indefinido

de sus diferencias, no puede bastar todava para llenar, si se puede decir, los interva-

los entre los puntos contenidos en la lnea36, lo que supone decir que esta multitud no

es un equivalente real y adecuado del continuo lineal; as pues, para expresar la me-

dida de algunas longitudes, uno est forzado a introducir todava otros tipos de

nmeros, que son lo que se llama los nmeros inconmensurables, es decir, aquellos

que no tienen comn medida con la unidad. Tales son los nmeros irracionales, es

decir, aquellos que representan el resultado de una extraccin de raz aritmticamente

imposible, por ejemplo la raz cuadrada de un nmero que no es un cuadrado perfec-

to; es as como, en el ejemplo precedente, la relacin de la diagonal del cuadrado con

su lado, y por consiguiente el punto cuya distancia al origen es igual a esta diagonal,

no pueden ser representados ms que por el nmero irracional 2 , que es en efecto

verdaderamente inconmensurable, ya que no existe ningn nmero entero o fraccio-

nario cuyo cuadrado sea igual a 2; y, adems de estos nmeros irracionales, hay

todava otros nmeros inconmensurables cuyo origen geomtrico es evidente, como

por ejemplo el nmero que representa la relacin de la circunferencia con su

dimetro.

Sin entrar todava en la cuestin de la composicin del continuo, se ve pues

que el nmero, cualquiera que sea la extensin que se de a su nocin, no le es nunca

perfectamente aplicable: esta aplicacin equivale en suma siempre a reemplazar el

continuo por un discontinuo cuyos intervalos pueden ser muy pequeos, e incluso

devenir cada vez ms pequeos por una serie indefinida de divisiones sucesivas, pero

sin poder ser suprimidos nunca, ya que, en realidad, no hay ltimos elementos en

los que esas divisiones pueden concluir, ya que, por pequea que sea, siempre queda

una cantidad continua indefinidamente divisible. Es a estas divisiones del continuo a

36 Importa destacar que no decimos los puntos que componen o que constituyen la lnea, lo que

respondera a una concepcin falsa del continuo, as como lo muestran las consideraciones que ex-

pondremos ms adelante.

REN GUNON: LA MEDIDA DEL CONTINUO

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lo que responde propiamente la consideracin de los nmeros fraccionarios; pero, y

eso es lo que importa destacar particularmente, una fraccin, por nfima que sea, es

siempre una cantidad determinada, y entre dos fracciones, por poco diferentes que se

las suponga la una de la otra, siempre hay un intervalo igualmente determinado. Aho-

ra bien, la propiedad de la divisibilidad indefinida que caracteriza a las magnitudes

continuas exige evidentemente que se puedan tomar siempre de ellas elementos tan

pequeos como se quiera, y que los intervalos que existen entre esos elementos pue-

dan hacerse tambin ms pequeos que toda cantidad dada; pero adems, y es aqu

donde aparece la insuficiencia de los nmeros fraccionarios, y podemos decir incluso

de todo nmero cualquiera que sea, esos elementos y esos intervalos, para que haya

realmente continuidad, no deben ser concebidos como algo determinado. Por consi-

guiente, la representacin ms perfecta de la cantidad continua ser obtenida por la

consideracin de magnitudes, no ya fijas y determinadas como las que acabamos de

tratar, sino antes al contrario variables, porque entonces su variacin podr conside-

rarse ella misma como efectundose de una manera continua; y estas cantidades

debern ser susceptibles de decrecer indefinidamente, por su variacin, sin anularse

nunca ni llegar a un mnimo, que no sera menos contradictorio que los ltimos

elementos del continuo: esa es precisamente, como lo veremos, la verdadera nocin

de las cantidades infinitesimales.

REN GUNON: CUESTIONES PLANTEADAS POR EL MTODO INFINITESIMAL

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CAPTULO V

CUESTIONES PLANTEADAS POR EL MTODO INFINITESI-

MAL

Cuando Leibnitz dio la primera exposicin del mtodo infinitesimal37, e incluso

tambin en otros varios trabajos que siguieron38, insisti sobre todo en los usos y las

aplicaciones del nuevo clculo, lo que era bastante conforme a la tendencia moderna

de atribuir ms importancia a las aplicaciones prcticas de la ciencia que a la ciencia

misma como tal; por lo dems, sera difcil decir si esta tendencia exista verdadera-

mente en Leibnitz, o si, en esta manera de presentar su mtodo, no haba ms que una

suerte de concesin por su parte. Sea como sea, para justificar un mtodo, no basta

ciertamente mostrar las ventajas que puede tener sobre los dems mtodos anterior-

mente admitidos, y las comodidades que puede proporcionar prcticamente para el

clculo, ni tampoco los resultados que ha podido dar de hecho; es lo que los adversa-

rios del mtodo infinitesimal no dejaron de hacer valer, y son solo sus objeciones las

que decidieron a Leibnitz a explicarse sobre los principios, e incluso sobre los

orgenes de su mtodo. Por lo dems, sobre este ltimo punto, es muy posible que

nunca lo haya dicho todo, pero eso importa poco en el fondo, ya que, muy frecuen-

temente, las causas ocasionales de un descubrimiento no son ms que circunstancias

bastante insignificantes en s mismas; en todo caso, todo lo que hay que retener para

nosotros en las indicaciones que da sobre este punto39, es que ha partido de la

consideracin de las diferencias asignables que existen entre los nmeros, para

pasar de ah a las diferencias inasignables que pueden ser concebidas entre las

magnitudes geomtricas en razn de su continuidad, y que daba incluso a este orden

una gran importancia, como siendo en cierto modo exigido por la naturaleza de las

cosas. De ah resulta que las cantidades infinitesimales, para l, no se presentan na-

turalmente a nosotros de una manera inmediata, sino slo como un resultado del paso

37 Nova Methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, qu nec fractas nec irrationa-

les quantitates moratur, et singulare pro illis calculi genus, en las Acta eruditorum de Leipzig, 1864. 38 De Geometra recondita et Analysi indivisibilium atque infinitorum, 1886. Los trabajos

siguientes se refieren todos a la solucin de problemas particulares. 39 En su correspondencia primero, y despus en Historia et origo Calculi differencialis, 1714.

REN GUNON: CUESTIONES PLANTEADAS POR EL MTODO INFINITESIMAL

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de la variacin de la cantidad discontinua a la de la cantidad continua, y de la

aplicacin de la primera a la medida de la segunda.

Ahora bien, cul es exactamente la significacin de estas cantidades infinitesi-

males cuyo empleo se ha reprochado a Leibnitz sin haber definido previamente lo

que entenda por ellas?, y, le permita esa significacin considerar su clculo como

absolutamente riguroso, o slo, al contrario, como un simple mtodo de

aproximacin? Responder a estas dos preguntas, sera resolver por eso mismo las ob-

jeciones ms importantes que se le hayan dirigido; pero, desafortunadamente, l nun-

ca lo hizo muy claramente, e incluso sus diversas respuestas no parecen siempre per-

fectamente conciliables entre s. Por lo dems, a este propsito, es bueno destacar

que Leibnitz tena, de una manera general, el hbito de explicar diferentemente las

mismas cosas segn las personas a quienes se diriga; ciertamente, no somos nosotros

quienes le reprochamos esta manera de actuar, irritante solamente para los espritus

sistemticos, ya que, en principio, con eso no haca ms que conformarse a un pre-

cepto inicitico y ms particularmente rosacruciano, segn el cual conviene hablar a

cada uno su propio lenguaje; solamente que a veces le ocurra que le aplicaba bastan-

te mal. En efecto, si es evidentemente posible revestir una misma verdad de diferen-

tes expresiones, entindase bien que eso debe hacerse sin deformarla ni menguarla

nunca, y que es menester abstenerse siempre cuidadosamente de toda manera de

hablar que pudiera dar lugar a concepciones falsas; eso es lo que Leibnitz no ha sabi-

do hacer en muchos casos40. As pues, lleva la acomodacin hasta parecer dar a

veces la razn a aquellos que no han querido ver en su clculo ms que un mtodo de

aproximacin, ya que le ocurre presentarle como no siendo otra cosa que una suerte

de abreviado del mtodo de exhaustin de los antiguos, propio para facilitar los

descubrimientos, pero cuyos resultados deben ser despus verificados por ese mtodo

si se quiere dar de ellos una demostracin rigurosa; y, sin embargo, es muy cierto que

ese no era el fondo de su pensamiento, y que, en realidad, vea en su mtodo mucho

ms que un simple expediente destinado a abreviar los clculos.

Leibnitz declara frecuentemente que las cantidades infinitesimales no son ms

que incomparables, pero, en lo que concierne al sentido preciso en el que debe en-

tenderse esta palabra, le ha ocurrido dar de ella una explicacin no solo poco satis-

factoria, sino incluso muy deplorable, ya que con ello slo poda proporcionar armas

40 En lenguaje rosacruciano, tanto ms todava que el fracaso de sus proyectos de characteris-

tica universalis, se dira que eso prueba que si tena alguna idea terica de lo que es el don de len-

guas, estaba muy lejos de haberle recibido efectivamente.

REN GUNON: CUESTIONES PLANTEADAS POR EL MTODO INFINITESIMAL

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a sus adversarios, que, por lo dems, no dejaron de servirse de ellas; en eso tampoco

ha expresado ciertamente su verdadero pensamiento, y podemos ver en ello otro

ejemplo, an ms grave que el precedente, de esa acomodacin excesiva que hace

sustituir una expresin adaptada de la verdad por puntos de vista errneos. En

efecto, Leibnitz escribi esto: Aqu no hay necesidad de tomar el infinito rigurosa-

mente, sino slo como cuando se dice en ptica que los rayos del sol vienen de un

punto infinitamente alejado y as son estimados paralelos. Y cuando hay varios gra-

dos de infinito o de infinitamente pequeo, es como el globo de la tierra se estima

como un punto respecto a la distancia de las estrellas fijas, y como una bola que ma-

nejamos es todava un punto en comparacin con el semidimetro del globo de la

tierra, de suerte que la distancia a las estrellas fijas es como un infinito del infinito en

relacin al dimetro de la bola. Ya que en lugar de infinito o de infinitamente

pequeo, se toman cantidades tan grandes y tan pequeas como sea menester para

que el error sea menor que el error dado, de suerte que no se difiere del estilo de

Arqumedes ms que en las expresiones que son ms directas en nuestro mtodo, y

ms conformes al arte de inventar41. No se dej de hacer observar a Leibnitz que,

por pequeo que sea el globo de la tierra en relacin al firmamento, o un grano de

arena en relacin al globo de la tierra, por eso no son menos cantidades fijas y deter-

minadas, y que, si una de estas cantidades puede ser considerada como prcticamente

desdeable en comparacin con la otra, en eso no se trata, no obstante, ms que de

una simple aproximacin; l respondi que slo haba querido evitar las sutilezas y

hacer el razonamiento sensible a todo el mundo42, lo que confirma en efecto nues-

tra interpretacin, y lo que, adems, es ya como una manifestacin de la tendencia

vulgarizadora de los sabios modernos. Lo que es bastante extraordinario, es que

haya podido escribir despus: Al menos no haba la menor evidencia que debiera

hacer juzgar que yo entenda una cantidad muy pequea en verdad, pero siempre fija

y determinada, a lo que agrega: Adems, ya haba escrito hace algunos aos a M.

Bernoulli de Groningue que los infinitos e infinitamente pequeos podan ser toma-

dos por ficciones, semejantes a las races imaginarias43, sin que eso debiera causar

perjuicio a nuestro clculo, puesto que esas ficciones son tiles y estn fundadas en

41 Mmoire de M. G. G. Leibnitz touchant son sentiment sur le Calcul diffrentiel, en el Jour-

nal de Trevoux, 1701. 42 Carta a Varignon, 2 de febrero de 1702. 43 Las races imaginarias son las races de los nmeros negativos; hablaremos ms delante de la

cuestin de los nmeros negativos y de las dificultades lgicas a las que da lugar.

REN GUNON: CUESTIONES PLANTEADAS POR EL MTODO INFINITESIMAL

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realidad44. Por lo dems, parece que no haya visto nunca exactamente en qu era

defectuosa la comparacin de la que se haba servido, ya que la reprodujo tambin en

los mismos trminos una decena de aos ms tarde45; pero, puesto que al menos de-

clara expresamente que su intencin no ha sido presentar las cantidades infinitesima-

les como determinadas, debemos concluir de ello que, para l, el sentido de esa

comparacin se reduce a esto: un grano de arena, aunque no es infinitamente

pequeo, puede no obstante, sin inconveniente apreciable, ser considerado como tal

en relacin a la tierra, y as no hay necesidad de considerar infinitamente pequeos

en rigor, que uno puede incluso, si se quiere, no considerar ms que como ficcio-

nes; pero, entindase como se quiera, una tal consideracin no es por eso menos ma-

nifiestamente impropia para dar del clculo infinitesimal otra idea, ciertamente insu-

ficiente a los ojos de Leibnitz mismo, que la de un simple clculo de aproximacin.

44 Carta a Varignon, 14 de abril de 1702. 45 Memoria ya citada ms atrs, en las Acta Eruditorum de Leipzig, 1712.

REN GUNON: LAS FICCIONES BIEN FUNDADAS

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CAPTULO VI

LAS FICCIONES BIEN FUNDADAS

El pensamiento que Leibnitz expresa de la manera ms constante, aunque no lo

afirma siempre con la misma fuerza, y aunque incluso a veces, pero excepcionalmen-

te, parece no querer pronunciarse categricamente a ese respecto, es que, en el fondo,

las cantidades infinitas e infinitamente pequeas no son ms que ficciones; pero,

agrega, son ficciones bien fundadas, y, con ello no entiende simplemente que son

tiles para el clculo46, o incluso para hacer encontrar verdades reales, aunque le

ocurre insistir igualmente sobre esta utilidad; sino que repite constantemente que esas

ficciones estn fundadas en la realidad, que tienen fundamentun in re, lo que

implica evidentemente algo ms que un valor puramente utilitario; y, en definitiva,

para l, este valor mismo debe explicarse por el fundamento que esas ficciones tienen

en la realidad. En todo caso, para que el mtodo sea seguro, estima que basta consi-

derar, no cantidades infinitas e infinitamente pequeas en el sentido riguroso de estas

expresiones, puesto que este sentido riguroso no corresponde a realidades, sino can-

tidades tan grandes o tan pequeas como se quiera, o como sean necesarias para que

el error sea hecho ms pequeo que cualquier cantidad dada; todava sera menester

examinar si es cierto que, como declara, este error es nulo por s mismo, es decir, si

esta manera de considerar el clculo infinitesimal le da un fundamento perfectamente

riguroso, pero tendremos que volver ms tarde sobre esta cuestin. Sea lo que sea de

este ltimo punto, los enunciados donde figuran las cantidades infinitas e infinita-

mente pequeas entran para l en la categora de las aserciones que, dice, no son ms

que toleranter verae, o lo que se llamara (en espaol) pasables, y que tienen

necesidad de ser rectificadas por la explicacin que se da de ellas, del mismo mo-

do que cuando se consideran las cantidades negativas como ms pequeas