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Ing. Oscar Galvez Pgina 1

TEORA DE CIRCUITOS II

Ao Ingeniera Electrnica F R T U T N

Funciones de variables complejas o funciones complejas

(Colaboracin JANET VALLAVELA)

Planos complejos

Todo nmero complejo del que se den sus

componentes real e imaginaria, puede

localizarse como un punto en el plano xy.

Algunos autores designan por z al complejo

resultante.

z= x + j y

Y por lo tanto cualquier numero complejo especifico consiste en una parte real

(x) y una parte imaginaria (y) y ocupa una posicin definida en el plano complejo. El

plano particular utilizado para situar los valores de z se denominar, plano z.

x

jy

Y=x -2

f(x)

x

f(x)=sen x

4+j3

real4

3

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Plano s

El nuevo plano s se trazara en lneas verticales y horizontales igual que el plano z,

pero ahora las coordenadas de situacin de los puntos se darn como (sigma) en el

eje horizontal y (omega) en el vertical.

Por definicin: s= +j.

Relaciones entre los planos z y s

Supongamos que s es una funcin de z s = f(z) .

Esta es una relacin general y dice muy poco, excepto que habr algn punto

complejo en el planosque corresponda a otro cierto punto en el plano z.

Ejemplo:

S = z2

Por definicin + j= (x +j y) 2

+j= x2 + 2jxy y2 agrupamos reales e imaginarios

+j = x2 -y2 + j2xy

igualando = x2y 2 se relaciona la funcin s en la funcin z

= 2xy

x

jy

Plano z

j

Plano s

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Transformar la siguiente figura del planoz al plano s

Una muy interesante y til transformacin entre el plano zyses:

z = e s reemplazando por sus componentes,

x + jy = e (+j)

x + jy = e . ej

Nos quedara x+ jy = e

o x + jy = e(cos +j sen )

donde ees la magnitud del vector que va del origen del plano s y es el ngulo

director o direccin del mismo.

jy

x

a b

d c

pto x y =x2-y

2 =2xy +j

1221

1122

030-3

2484

O+j23+j40+j8-3+j4

abcd

j

a

d

c

Coordenadas depuntos en el plano z

Mdulo Argumento

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Igualando ambos miembros:

x = ecos

y = e

sen por lo tanto si se da un punto o un conjunto de puntos en el plano s, se puede utilizar

las ecuaciones anteriores y obtener los valores x e y para situar el punto en el plano z.

Otra funcin puede ser z= ln s y se puede hacer el mismo anlisis.

Funciones en el plano complejo

En el plano z, yes una funcin de xy suele designarse por f(x). Donde la x es una

variable real y la f(x) se llama funcin de variable real.

Ahora bien, es posible definir una funcin de las variables complejas zo s, por ejemplo

puede darse la funcin F de s

ssF 1)(

En este caso se ve que en lugar de ser slo una curva por encima del eje real como es

en el caso de f(x) esta funcin F (s) tiene un valor para cada punto del plano s.

Por lo tanto, la magnitud de F(s) puede considerarse como una superficie.

En primer lugar hay que llevarla en la forma de una magnitud absoluta.

jsF

1)(

22

1)(sF

Para graficar F(s) conviene seleccionar una recta 1=ctte y luego hallar los valores de

|F(s)| a lo largo de esta recta a medida que varia. El procedimiento puede repetirse

a lo largo de otra recta, 2= ctte, de manera que se determine finalmente toda la

superficie.

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Descomposicin en parte Real e Imaginaria

Sea F(s) una funcin de variable compleja, lamisca se puede descomponer en una

parte real y otra imaginaria.

F(s)= F( +j ) = F1(1 ; 1) + j F2(2; 2)

Las funciones F1y F2son funciones reales de variables reales y .

Para representar estas funciones se procede del modo explicado antes, es decir,

tomando distintos valores de y para los cuales se halla el valor de la funcin.

j

Real Imaginaria

|F(s)|

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Si bien F1 y F2 no determinan la F(s) sus grficas no son usadas para el estudio de

circuitos.

Lo que se usa muy convenientemente son el mdulo y la fase de F(s).

Mdulo y fase

El modulo y la fase o argumento de una funcin F(s) estn determinados del siguiente

modo:

Mdulo )(),()()( 21 FFsFsF Funcin Par

Fase),(

),()()(

1

2

F

FarctgsFsF Funcin Impar

Los siguientes grficos son las representaciones del modulo y la fase determinada

funcin F(s).

F2(2, 2)

F1(1, 1)

F1(, )F2(, )

F2(, )

F1(, )

Superficie

j

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Las caractersticas del mdulo y la fase de F(s) es que la interseccin de sus grficas

con el plano =0 es una curva cuya funcin es par e impar respectivamente:

)()( FF Funcin Par

)()( FF Funcin Impar

Polos de funciones complejas

Decimos que la funcin F(s) tiene polos en ciertos valores de s, siempre que la

magnitud de F(s) se haga infinita en dichos valores.

=0

F s

|F()|

Funcin par

=0

F s

F()

FuncinImpar

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Ejemplo:

)2(

1)(

sssF tiene polos en 2

0

s

s

En ambos puntos la superficie asciende hasta infinito

Se acostumbra indicar con una pequea cruz la localizacin de un polo en el plano s.

Ceros de funciones complejas

Un cero de una funcin compleja se define como un valor de s que hace a la funcin

igual a cero.

Ejemplo:

)4(

)1)(2()(

s

sssF

j

j

F(S)

Plano s

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Los ceros de una funcin se encuentran igualando a cero cada factor del numerador y

despejando a s. Los ceros se indican en el plano s por medio de pequeos crculos.

Diagramas de polos y ceros

Una funcin dada de ssiempre puede representarse por un diagrama de polos y ceros,

que es la representacin con cruces y crculos en el plano s que localizan los polos y

los ceros.

Ejemplo:)4(

)3()(

2s

ssF cero en s= -3

Plos en j2 y j2

j

-3

j2

-j2

j

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Si se da el diagrama de polos y ceros, es fcil determinar la funcin de s

correspondiente:

(s-1)

Cero

(s+2)

(s j)

Polos(s+ j)

1

2

))((

)2)(1()(

2

2

s

ss

sjs

sssF

j

-j

j

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