Diagnosis de Cojinetes Magnéticos Activos

Ferreiro García R*, Haro Casado M**, Perez Castelo J***, Piñon Pazos A****, Calvo Rolle J.L.**** *ETSNM, UDC,**Fac. Náutica Universidad de Cádiz, ***ETS. Ing. Ind.UDC, **** E. U. Politécnica UDC

Universidade da Coruña A Coruña, España

Resumen En este artículo se trata la tarea de diagnóstico llevada a cabo sobre cojinetes magnéticos activos (CMA) en base a técnicas de redundancia analítica. Partiendo de que los fallos que afectan a los CMA tienen su origen en uno o varios de los siguientes elementos: Circuitería de las bobinas, sensores de posición o rotor de la máquina debidos a perturbaciones mecánicas y/o magnéticas, la corriente a las bobinas es una variable que puede ser medida con fiabilidad y determinada analíticamente de manera simultánea en base a modelos electromagnéticos bien establecidos. La información obtenida es utilizada para diagnosticar el sistema controlado utilizando redundancia analítica mediante aproximaciones a espacios de paridad. Los resultados conseguidos por simulación de un caso se discuten y razonan de modo satisfactorio. Palabras Clave: Cojinetes magnéticos activos, Detección de fallos, Aislamiento, Redundancia analítica, Ecuaciones de paridad. 1 INTRODUCCIÓN La aplicación de cojinetes magnéticos activos (CMA) se funda en el principio por el que un electroimán atrae material ferromagnético (véase la figura 1). Partiendo de que la tendencia natural del stator de la máquina en cuestión es atraer al rotor hasta que entran en contacto mecánico, se requiere una acción enérgica de control que compense este efecto por medio de la modulación del campo magnético de los electroimanes hacia la posición radial central. El tipo mas común de control consiste en la realimentación de la posición radial del eje. Esta información es procesada por el controlador y convenientemente amplificada para proporcionar la corriente necesaria a los electroimanes y mantener el rotor en la posición radial deseada incluso ante cambios de carga y perturbaciones. Cada sistema de CMA consiste en un grupo de electroimanes actuadores, un conjunto de sensores de posición radial y axial del rotor respecto al estator, un sistema realimentado de control y amplificadores de potencia. Los electroimanes

actuadores y los sensores se hallan ubicados en la máquina, mientras que los amplificadores y el sistema de control se hallan remotamente instalados fuera de la misma. Un sistema típico está constituido por dos cojinetes radiales y un cojinete de empuje axial. Cada cojinete radial dispone de un soporte o estator y sensor de posición radial ubicado sobre el estator. El rotor está formado por un paquete de anillos laminados incrustados en la periferia del eje rotor en torno a su periferia. Las láminas tienen el objeto de reducir las pérdidas debidas a remolinos de corriente “eddy currents”. El estator está formado por un conjunto de electroimanes, cada uno de los cuales, constituido por un núcleo de láminas, en torno a las cuales se hallan las bobinas de tales electroimanes actuadores exteriormente a la parte del rotor ferromagnético. Las bobinas de los electroimanes consisten en arrollamientos de hilo de cobre en torno a sus núcleos conformando los polos, de manera que el cojinete queda dividido en un número par de polos, por ejemplo cuatro cuadrantes. Las bobinas en cada cuadrante están conectadas en serie haciendo que cada cuadrante funcionar como cada electroimán. En una instalación típica horizontal los cuadrantes están alineados 45 grados a partir de la vertical. Los cuadrantes en oposición constituyen un eje radial de forma que cada cojinete tiene dos ejes radiales. Los sensores de posición radial se hallan dentro de los anillos del núcleo de los electroimanes. La mayoría de las instalaciones de control utilizan una corriente adicional de “bias” asociada a la corriente de control de posición para linealizar la relación entre la corriente de control y la fuerza desarrollada. La utilización de tal corriente complementaria de bias, aún ante ausencia de carga repercute siempre sobre un consumo extraordinario de corriente. En respuesta a este inconveniente, (Dexter Johnson 1998) ha desarrollado un método alternativo de control denominado Adaptive Variable Bias Control (AVBC). El AVBC opera en principio como un regulador proporcional derivativo con un consumo relativamente pequeño de corriente de bias variante en el tiempo. En (F. Mazenc et all. 2006) se estudia la estabilización de posición con bajos valores de corriente de bias sujeto a la saturación de voltaje en

base a un modelo recientemente propuesto bajo la forma de operación por conmutación. Utilizando una forma de control en adelanto, han logrado estabilizar la posición por medio de funciones de Lyapunov. En (Guang-Ren Duan et all., 2000) se considera el control robusto de CMA construidos con una topología de rotor homopolar externo, la cual está destinada a soportar un volante anular de fibra. El sistema de control formado por un filtro u operador lineal de primer orden utilizando la realimentación de posición bajo la norma H2 estabiliza el sistema de control. Los resultados experimentales y por simulación han demostrado un comportamiento aceptable. En (G.R. Dum et all. 1999) se ha considerado el control robusto de CMA aplicado a modelos linealizados a intervalos. Mediante el análisis de la estabilidad robusta se obtienen todos los compensadores estabilizadores robustos de primer orden. Se consigue asimismo la atenuación del efecto de perturbaciones con un mínimo esfuerzo de control. Los estudios experimentales han demostrado efectividad del sistema de control. En la última década se han llevado a cabo estudios intensivos y exhaustivos para desarrollar CMA exentos de sensores de posición. Entre todos ellos ha sido pionero (Vischer, 1993), quien presenta un sistema de levitación magnética que combina todas las ventajas conocidas de los CMA en una configuración sin sensores de posición. El método consigue la levitación en modo estable y amortiguado sin sensores de posición. Esta característica se ha conseguido utilizando el voltaje de las bobinas como entrada al sistema (tensión en lugar de amplificadores de corriente) y la corriente como salida del sistema. El resultado es un sistema observable y controlable en teoría de control, capaz de ser estabilizado con un compensador lineal utilizando solamente la medida de corriente de alimentación a los electroimanes. En (Mizuno T. and Araki K., 1995) se presenta el estudio de comparación entre controladores que utilizan observadores de orden total y de orden reducido. En este trabajo se muestra que consiguen controladores estabilizadores mediante una modificación en la que se consideran las corrientes “eddy” que fluyen por los núcleos, como una razón para justificar las dificultades de control sin medida de posición. En (Sivadasan 1996) se considera la estimación de la inductancia como método de medida del entrehierro. En (Abdelfatah et all., 1997) se presenta el modelo completo de un CMA de cuatro grados de libertad radiales, el cual incluye todas las interacciones entre todos los grados de libertad. El método utiliza la teoría de parametrización Q en donde el controlador basado en parametrización Q es observable y capaz de estabilizar el proceso en ausencia de sensores de posición radial. El parámetro Q es seleccionado

mediante un proceso de optimización para satisfacer los requerimientos de robustez, cancelación de los efectos de ruidos y capacidad de compensar fuerzas perturbadoras no equilibradas. En (Jung-Sik, et all., 2003) se propone un método novedoso para estimar la posición. De acuerdo con los autores del trabajo, la información sobre la posición del rotor es estimada a partir de las corrientes que alimentan las bobinas que contienen componentes de alta frecuencia debido a la inyección de voltajes de alta frecuencia en ausencia de hardware adicional. En el trabajo de (Mochimitsu Kamori and Chaki Shiraishi, 2003) se desarrollan un AMB con superconductores en donde se aplica el concepto de auto-detección de posición en base al principio del transformador diferencial. En (Lichuan Li et all., 2004) se presenta una tecnología de auto-detección novedosa, en donde demuestran que durante el muestreo, en ciertos instantes de cada ciclo PMW la electrónica proporciona una realimentación de estado completo capaz de estabilizar el rotor. En (D. Visher and H. Bleuler, 1990) se propone un sistema de auto detección de entrehierro en base a una teoría de redes. En (C. W. Lee, et all., 1994) se desarrolla un estudio de diagnosis basado en la medida de fuerzas magnéticas. En el trabajo de (Seung-Jong Kim, 1999), se realiza la tarea de diagnosis en línea aplicada al fallo de sensores en los CMA equipados con sensores de fuerza. El método en cuestión, utilizando señales redundantes, desplazamiento, corriente y fuerza, está basado en el principio de causalidad entre fallos y síntomas. La ventaja principal del método consiste en su sencillez y eficacia. Teniendo en cuenta la revisión de las referencias citadas, en el presente artículo se describe una aproximación al diagnóstico de CMA utilizando redundancia analítica. Ello significa que es necesario hallar suficientes relaciones analíticas a partir de la teoría del electromagnetismo, para formular y predecir fallos en los sensores de posición radial y axial y/o condiciones de operación anormales. 2 MODELIZACIÓN DE UN CMA Un cojinete magnético activo o concretamente un CMA comprende un conjunto de electroimanes radialmente ubicados en torno a un rotor formado por un anillo de laminas ferromagnéticas. Los pares de electroimanes están posicionados en oposición entre sí. Por ejemplo, en un CMA de cuatro electroimanes existe un par de electroimanes en oposición para cada eje formando ángulo de 90 grados de arco o perpendiculares entre sí. Cada electroimán consiste en un núcleo laminado y una o dos bobinas. La fuerza generada por un electroimán de dos polos viene dada por la ecuación (1) en donde I es la

corriente total por cada bobina, z es la distancia del entrehierro, μ0 es la permeabilidad magnética en el aire o espacio del entrehierro, A el área del polo del núcleo, y N es el número de vueltas de la bobina. En consecuencia la fuerza está dada como

2

220

4 zIAN

Fμ

= (1)

La fuerza definida por el modelo estándar (1) es atractiva y crece con la disminución del cuadrado del entrehierro o distancia entre el rotor y la cara activa del núcleo del electroimán. Esta fuerza de atracción da lugar a un sistema inestable en un sistema en lazo abierto. La fuerza neta Fn producida por un par de electroimanes bajo la configuración mostrada en la figura 1 sobre un rotor, es la suma de las fuerzas producidas por cada electroimán teniendo en cuenta la convención de signos:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=

12

21

22

22

20

4 zI

zIAN

Fnμ (2)

Ii es la corriente en el electroimán j, y zi es la distancia del entrehierro del electroimán j. El modelo matemático para un CMA como el mostrado en la figura 1 resulta ser:

FxX

IxX

IANxm +⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−−

= 2

0

12

0

22

0 )()(4

μ&&

(3) donde z2 X0-x entrehierro 2 z1 X0+x entrehierro 1 m masa del rotor (kg); x posición radial del rotor (m); X0 entrehierro nominal (m); μ0 permeabilidad magnética del entrehierro H/m; A área total del polo de cada núcleo (m ); N cantidad de vueltas de cada bobina; I1, I2 corrientes de cada bobina (A); F fuerzas externas actuando sobre el rotor (N). El modelo electromecánico general no lineal de un CMA simple de dos grados de libertad, para un número de bobinas, puede ser dividido entre el subsistema dinámico mecánico, la ecuación de fuerzas magnéticas y la dinámica del sistema eléctrico. El sistema mecánico obedece al siguiente modelo

∑∑ +Φ==

Di

ii FFxm2

1)(&&

(4)

Fig. 1. Principio de un CMA donde m es la nasa del rotor, x representa la posición del centro del rotor, Φi es el flujo magnético en el electroimán ith, Fi denota la fuerza producida por el electroimán, dada como

2,1,)1(

0

21

=Φ−

=+

iA

F ii

i μ (5)

con FD como la carga y fuerza perturbadora. El subsistema eléctrico está modelizado por las ecuaciones

2,1, ==+Φ ivIRN iiii& (6)

donde u es el voltaje de control del electroimán, Ii es la corriente en el electroimán ith, el cual está relacionado con el flujo.

2,1,))1((2

0

0 =Φ−+

= iAN

xXI i

i

i μ (7)

y X0 es el entrehierro nominal. 2.1.Análisis del modelo eléctrico En este análisis se asume que el hierro es infinitamente mas permeable que el aire. También se asume que el entrehierro no cambia su perfil regular cuando el rotor se desplace axialmente. Además, las pérdidas de flujo son despreciadas. Asumiendo que la reluctancia del acero puede ser considerada nula, entonces

zAN2

20μφ = (8)

I2

F2F2

z=X0+x

V1 F1

R R

V2

φ φ

I1

0x

Y si u es el voltaje aplicado a las bobinas de resistencia R (Ω)., entonces

dtdNRiu φ

+= (9)

Una vez asumidas las restricciones citadas se tiene para corrientes variables

dtdi

idtdz

z

ti

itd

ddtdiz

∂∂

+∂∂

=

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=→=

φφ

φφφφφ ),( (10)

Diferenciando la expresión (10), parcialmente con respecto a z e i se tiene

2

20

2ziAN

zμφ

−=∂∂

(11)

Lz

ANi

==∂∂

2

20μφ

(12)

Substituyendo (10) y (11) en (9), y asumiendo el entrehierro z como (X0+x), la expresión (8) la cual es la expresión del voltaje resulta como

dtdi

zAN

dtdx

ziAN

Riu22

20

2

20 μμ

+−= (13)

La expresión (12) es generalmente aplicable a todo circuito magnetodinámico. Teniendo en cuenta que el entrehierro para cada bobina está definido como

xXzxXz

+=−=

01

02 (14)

Entonces, resulta para cada par de electroimanes

dtdi

xXAN

dtdxi

xXAN

Riu

dtdi

xXAN

dtdxi

xXAN

Riu

1

0

20

120

20

11

2

0

20

220

20

22

)(2)(2

)(2)(2

−+

+−=

++

−−=

μμ

μμ (15)

Definiendo el parámetro constante k como

205.0 ANk μ=

resulta

dtdi

xXk

dtdxi

xXkRiu

dtdi

xXk

dtdxi

xXkRiu

1

012

011

2

022

022

)()(

)()(

−+

+−=

++

−−=

(16)

3 ARQUITECTURA ESTUDIADA Esta sección concierne a la arquitectura sometida a estudio para implementar el sistema de diagnosis propuesto. La figura 2 muestra un rotor horizontal sostenido por medio de dos cojinetes magnéticos radiales y dos axiales o cojinetes de empuje. De acuerdo con la estructura mostrada, a efectos del estudio propuesto se tiene en cuenta el desplazamiento radial en el plano vertical, para lo cual basta el estudio de dos electroimanes en cada cojinete. Para el desplazamiento axial se toma en consideración la actuación en ambos sentidos, con lo cual se completa el estudio en todos los posibles grados de libertad.

Fig. 2. La estructura básica de un CMA radial y axial

Fig. 3. Estructura del control y asignación de fuerzas 3.1 La estructura de control en lazo cerrado El sistema de control esta constituido por un algoritmo estabilizador denominado Backstepping, el cual está basado en el modelo no lineal del proceso de levitación magnética. El control de posición de cualquiera de los diferentes grados de libertad requiere de hardware adicional de salida para amplificar la corriente de alimentación a los electroimanes. Además, requiere de un medio de administración de la señal de salida para evitar la alimentación simultáneamente de dos bobinas opuestas entre sí. Lo ideal en esta caso consiste en

CMA axial

Back- stepping

SPYSPX

Control axial

Control radial

Y XBack-

stepping CMA radial

administrar la señal de salida del controlador en modo “split-range” La arquitectura del sistema se muestra en la figura 3. Cada salida de controlador Backstepping es administrada entonces para ser amplificada en uno de los dos amplificadores de potencia que siguen al controlador. 4 FORMULACIÓN DEL CONCEPTO DE REDUNDANCIA ANALÍTICA 4.1. Monitorización de la corriente de las bobinas La medida de las corrientes en tiempo real que alimentan las bobinas de los electroimanes supone un método fiable de diagnóstico para CMAs. En condiciones de operación del estado estacionario, la corriente actual es comparada con la corriente nominal, proporcionando un valor que representa el exceso de carga mecánica a la que esta sometido el rotor. Tales cargas pueden proceder del mecanismo acoplado al rotor, por ejemplo, la turbina o impulsor articulado al rotor. Con el objeto de diagnosticar fallos procedentes del desequilibrio mecánico incluyendo vibraciones mecánicas procedentes del eje o del motor, se hace necesaria la monitorización de los componentes de alta frecuencia de las corrientes que alimentan los electroimanes. La frecuencia correspondiente a la velocidad nominal del eje es la mas importante. 4.2 Modelización de las corrientes en las bobinas En este análisis se asumen los modelos hallados hasta (16). De aquí se computa la velocidad radial como la derivada del espacio desplazado de acuerdo con las expresiones

20

1

11

01

)(

)(

xXki

udtdi

xXkRi

x

+

−+

+=& (17)

O alternativamente también

20

2

22

02

)(

)(

xXki

udtdi

xXkRi

x

−

−−

+=& (18)

Una vez determinado el entrehierro actual, tiene que ser comparado con la medida real del desplazamiento radial o axial según se trate de desplazamiento radial o axial. Según se observa por medio de (17) y (18), ambas expresiones son función de las corrientes, voltajes y distancias del entrehierro 4.3. Modelización de la dinámica del parámetro C

El método que se describe a continuación está ideado para cojinetes exentos de sensores de desplazamiento o posición. Por tanto el objetivo consiste en establecer el valor de un parámetro C que es función de las corrientes de control. Así, combinando las expresiones que definen los voltajes de control a dos electroimanes en oposición según (19)

111

222

φ

φ&

&

NRiu

NRiu

+=

+= (19)

y tomando en consideración (20),

11

00

22

00

2

2

iAN

xX

iAN

xX

φμφ

μ

=+

=− (20)

el entrehierro variable x puede ser eliminado del modelo como sigue

)(2

2

)()(

1

1

2

200

00

φφμ iiAN

X

xXxX

+=

=++− (21)

de donde resulta el parámetro C como

1

1

2

2

0

04φφμii

ANXC +≅= (22)

Para establecer espacios de paridad utilizando el parámetro C, se hace necesaria una referencia de comparación denominada Cm, en donde el parámetro actual medido Cm a partir del cómputo en tiempo real de corrientes y voltajes de entrada es

1

1

2

2

φφiiCm −= (23)

El flujo magnético puede ser obtenido dinámicamente como función de sus respectivas corrientes y voltajes.

)(1

)(1

111

222

RiuN

RiuN

−=

−=

φ

φ

&

& (24)

El método de generación de residuos se muestra en la figura 4. Combinando dinámicamente (20) y (23), se obtiene el parámetro Cm como función de las corrientes a las bobinas y voltajes de entrada. En consecuencia, el desvío del valor de C calculado y el medido Cm , proporciona un residuo el cual una vez evaluado dentro del espacio de paridad supone una clara

indicación del desvío del valor de corriente debida a carga mecánica o oscilación procedente de vibraciones ,mecánicas tal como se muestra en la figura 4.

Fig. 4. Generación de residuos mediante solución dinámica por combinación de (20) y (23).

4.3 Monitorización del entrehierro Alternativamente, en el caso de CMA basados en sensores de posición, es posible hallar una relación analítica a partir de (20) como sigue:

)(2

)()(

2

2

1

10

00

φφμ

iiANx

xXxX

−=

=−−+ (25)

)(

2 2

2

1

10

φφμ iiANx −= (26)

Fig.5. Generación de residuos por combinación de las

ecuaciones (18) y (24) Consecuentemente, del mismo modo que en el caso anterior, la solución viene dada directamente tal como se muestra en la figura 5. 5 IMPLEMENTACIÓN DEL MÉTODO DE DIAGNOSIS La implementación del sistema de diagnosis propuesto está realizada por simulación utilizando Los modelos matemáticos descritos en base a la teoría convencional del electromagnetismo teniendo en cuenta asimismo el juego de parámetros mostrados en la tabla I.

TABLA I PARAMETROS DEL MODELO DE SIMULACIÓN Parámetro/Notación Valor/Unidad Entrehierro (X0) 0.001m No de vueltas por bobina (N) 400 Resistencia bobinas (Ω) 2 Ohms Área de sección del entrehierro (A) 0.01m2

Masa rotor (m) 10 kg Posición inicial del rotor (-X0) -0.001 m El sistema de lazo cerrado que controla los CMA controla y estabiliza el rotor en torno a la posición deseada de equilibrio mediante algoritmos Backstepping caracterizados por su capacidad para rechazar perturbaciones a la carga y mantener la estabilidad robusta ante variación de parámetros del modelo inherente al algoritmo de control. Bajo este esquema de control, se pueden detectar y aislar varios tipos de fallos de acuerdo con una aproximación general a los espacios de paridad utilizando redundancia analítica. Con la estrategia presentada se puede tomar en consideración los siguientes tipos de fallo: (a).-Cuando el rotor es excitado por una fuerza de perturbación en sentido radial equivalente a aquella generada por el efecto del desequilibrio dinámico del rotor. En consecuencia, tal fallo es detectado mediante la monitorización de las oscilaciones en la corriente de control. (b).-Cuando existe pérdida de corriente debida al aislamiento afectando al campo magnético debe ser detectada por los cambios en la señal de salida del controlador. (c).-Si el impulsor o turbina ensamblada al rotor opera produciendo una fuerza radial anormal por cavitación o desequilibrio, sería detectada monitorizando la corriente de control. El modelo básico de simulación corresponde a la expresión (3), en donde solamente se tiene en cuenta dos bobinas a efectos de prueba de detección de fallos. 6 DISCISIÓN Y CONCLUSIONES El sistema de detección de fallos propuesto ha sido simulado dinámicamente con los modelos estándar de la teoría fundamental del electromagnetismo. Se han introducido dos fuerzas de excitación para analizar sus efectos sobre los CMA de cara a su detección en base a la redundancia analítica. Se ha utilizado el dominio temporal para comparar los desvíos entre diferentes respuestas. En primer lugar, se introduce una fuerza con perfil de escalón, la cual sirva para estudiar de las fuerzas radiales originadas por el impulsor o turbina acoplada al rotor suspendido, y en segundo lugar, se introduce una fuerza de excitación oscilante de alta frecuencia para emular el efecto de las vibraciones radiales.

ANX

0

04μ

U2

U1

+ +

R + -

1N

1S

* /

R + -

1N

1S

* /

φ2

φ1

I1

I2

+ -

residuo

20 ANμ

U2

U1

- +

R + -

1N

1S

* /

R + -

1N

1S

* /

φ2

φ1

I

Ix

+-

X medida

residuo

Fig. 6. Monotirización del entrehierro (x) y la corriente (A) para diagnosticar fallos debidos a carga

mecánica. En la figura 6 se muestra la respuesta temporal del CMA. El estado estacionario es conseguido después del transcurso de unos 50 segundos. A los 50 s el rotor es excitado con una fuerza radial de 50 N y a consecuencia de tal perturbación se verifica un cambio abrupto en la carga. A los 200 s se alcanza de nuevo el estado estacionario, permitiendo la evaluación de la relación corriente/entrehierro, la cual puede ser relacionada con la carga actual. Fig. 7. Monitorización del entrehierro (x) y corriente

(A) por la dinámica de alta frecuencia para diagnosticar vibraciones mecánicas

La fuerza originada por la vibración del rotor puede ser aplicada o añadida a la carga actual o al peso total del rotor si está ubicado en posición horizontal, debido al desequilibrio de partes del rotor. Para evaluar tal efecto el sistema es excitado con la carga o peso constante al que se añade una fuerza oscilante de 50 N de amplitud y frecuencia equivalente a la de

rotación o velocidad angular nominal (20 rps). Bajo la situación descrita, la dinámica del sistema es representado en la figura 7. Debemos destacar que la vibración puede ser producida por el controlador. (p.e. ante altas ganancias, que no es el caso) y aún así la frecuencia de vibración no coincide en general con la de rotación del eje. Los resultados de la figura 7 muestran que el orden de magnitud del entrehierro (x), es demasiado bajo para ser debidamente detectado mediante el sensor de posición del entrehierro. Sin embargo, el análisis de corriente en la bobina activa proporciona un camino para diagnosticar los efectos de que se manifiesten por medio de las vibraciones mecánicas. En este artículo se han presentado varios métodos sistemáticos bien establecidos y conocidos para diagnosticar CMAs controlados en lazo cerrado. Se han propuestos varias soluciones basadas en redundancia analítica partiendo del conocimiento de los modelos fundamentales del electromagnetismo y se han probado por simulación. Los casos simulados prueban que la relación entre corrientes y entrehierro para una bobina activa puede ser asociada a la carga mecánica sobre el rotor. Además en ausencia de ruido excesivo del exterior, la corriente inversa puede ser contrastada con el entrehierro para detectar vibraciones mecánicas procedentes de desequilibrios dinámicos del rotor. Referencias [1] Dexter Johnson and Gerald V. Brown*, Daniel

J. Inman**,(1998) “Adaptive Variable Bias Magnetic Bearing Control”, Proceedings of the American Control Conference, Philadelphia, Pennsylvania June 1998, *National Aeronautics and Space Administration, Lewis Research Center, Cleveland, Ohio 44135, **Virginia Polytechnic Institute and State University, Blacksburg, Virginia 24061,USA

[2] F. Mazenc, M. S. de Queiroz, M. Malisoff, and F. Gao(2006), “Further Results on Active Magnetic Bearing Control With Input Saturation”, IEEE Transactions on Control Systems Technology, Vol 14, No. 5, September 2006

[3] Guang-Ren Duan, Senior Member, IEEE, Zhan-Yuan Wu, Chris Bingham, Member, IEEE, and David Howe, “Robust Magnetic Bearing Control Using Stabilizing Dynamical Compensators” (2000), IEEE Transactions on Industry Applications, Vol. 36, No. 6, November/december 2000

[4] G.R. Dum, Z.Y. Wu, C.M. Bingharn and D. Howe (1999), “Robust Active Magnetic Bearing Control Using Stabilizing Dynamical Compensators”, Electrical Machines and Drives Group, Department of Electrical and Electronic Engineering, The University of Sheffield,

Mappin Street, Sheffield S 1 3JD, UK., 0-7803-5293-9/99 $10.00 0 1999 IEEE

[5] Vischer, 1993. “Self-Sensing Active Magnetig Levitation”. IEEE Transactions on Magnetics, Vol. 29, No. 2, March 1993.

[6] Mizuno T. and Araki K., 1995, “On theSstability of Controllers for Self-Sensing Magnetic Bearings”. PR001-3/95/0000 1599 $4.00 © 1995 SICE. SICE’95, July 26.28, Sapporo. Pp 1599-1603

[7] Sivadasan 1996, “Analysis of Self-Sensing Active Magnetic Bearings Working on Inductance Measurement Principle. IEEE Transactions on Magnetics, Vol. 32, No. 2, March 1996

[8] Abdelfatah et all., 1997, “Modelling and Robustr Control of Self-Sensing Magnetic Bearings With unbalance Compensation”. Proceedings of the 1997 IEEE International Conference on Control Applications. Hartford, CT October 5-7, 1977. pp 586-691.

[9] Jung-Sik, et all., 2003, “Sensorless Position Control of Active Magnetic Bearings Based on High Frequency Signal Processing Method”. 0-7803-7768-0/$17.00 © 2003 IEEE. Pp83-88.

[10] Mochimitsu Kamori and Chaki Shiraishi, 2003, “A Levitated Motor With superconducting Magnetic Bearings Assisted by Self-Sensing AMBs”. IEEE Transactions on Applied Supoerconductivity, Vol. 13, No 2, June 2003.pp 2189-2192.

[11] Lichuan Li et all., 2004, “State Feedback control for Active magnetic Bearings Based on Current Change Rate Alone”. IEEE Transactions on Magnetics, Vol. 40., No 6, November 2004. pp 3512-3517.

[12] Seung-Jong Kim and Chong-Won Lee (1999), “Diagnosis of Sensor Faults in Active Magnetic Bearing System Equipped With Built-In Force Transducers”, IEEE/ASME TRANSACTIONS ON MECHATRONICS, VOL. 4, NO. 2, JUNE 1999

[13] C. W. Lee, Y. H. Ha, and C. S. Kim, “Identification of active magnetic bearing system using magnetic force measurement,” in Proc. 4th Int. Symp. Magnetic Bearings, 1994, pp. 305–309.

[14] D. Visher and H. Bleuler, “A new approach to sensorless and voltage controlled AMB’s based on network theory concept,” in Proc. 2nd Int. Symp. Magnetic Bearings, 1990, pp. 301–306.