110-2736ssk[1]

8. SOLUCIÓN DE EJERCICIOS

8.1. TEORÍA DE LA DEMANDA (D)

Solución: ejercicio D.1

4.1. La utilidad marginal de un bien se obtiene derivando la función deutilidad respecto a ese bien.

UMgX = 8U8x = 2XY2

UM9y = SUSY-=2X2Y

La tasa marginal de sustitución del bien Y respecto del bien X se ob-tiene del cociente de las utilidades marginales de estos bienes.

2XY2 YTMSx =

y 2X2Y _ X

4.2. Si U = 1,000,000, entonces, 1,000,000 = X2 Y2U = 1,000 =XYY= 1,000/X

Si U = 1,210,000, entonces, 1,210,000 = X2 Y2U=1,100=XYY= 1,100/X

4.3. La ecuación de la recta presupuestaria se deriva de la ecuación de larestricción del ingreso del consumidor, IT= P.X+ P, Y, despejando Y Y=(1 / P) IT- (P.l P) X. Para P = $10, P = $5 e IT- $500, esta ecuaciónresulta en:

Y=(1 /5)*500-(10/5)XY= 100-2X

170

8. Solución de ejercicios 171

Ésta es una línea recta con pendiente -2, cortando al eje que se presentael bien Yen IT/ P = $500 / $5 =100, y el eje de Yen -[TI P = $500 / $10 = 50.

4.4. Siendo la condición de equilibrio : EMS , = Y/ X= P / P entonces,

YP = XPY x

Sustituyendo la relación anterior en la ecuación de presupuesto, obte-nemos las cantidades de ambos bienes que maximizan la utilidad delconsumidor:

ir= XP + XPX XIT=2(XP)X=IT/(2P)= 500/(2 * 10)=25

IT= YP + YPIT= 2 (YP )Y=IT/(2P)Y= 500 / (2 * 5) = 50

Sustituyendo las cantidades de equilibrio en la función de utilidad,obtenemos el nivel de utilidad correspondiente:

U= 252 * 502U= 625 * 2,500 = 1,562,500

4.5. Siendo la ecuación de la recta de presupuesto IT=XP + YP, para P = $5,P= $5 eIT= $500, obtenemos la ecuación de la nueva recta dé presupuesto:

500 =5X+5 YY=500/5-5/5XY= 100 - X

si X= 0, entonces Y= 100si Y= 0, entonces X= 100

Al sustituir la condición de equilibrio YP =XP y los precios e ingresoen la ecuación de presupuesto , obtenemos las nuevas cantidades quemaximizan la utilidad del consumidor:

172 Mario Capdevielle y Mario L. Robles Báez

IT= XP + XPx x

IT=2(XP)X= IT/ (2 P) = 5001 (2 * 5) = 50

IT= YP + YP' Y

IT= 2 (YP )Y=IT/(2P,)=500/(2 *5)=50

Sustituyendo las nuevas cantidades de equilibrio en la función de uti-lidad, obtenemos el nivel de utilidad correspondiente:

U= 502 * 502 = 2,500 * 2,500 = 6,250,000

4.6. El efecto total es la variación de la cantidad consumida de un bienante cambios en el precio del mismo.

ET= 50 - 25 = 25

El efecto sustitución es la variación de la cantidad consumida del bienante cambios en el precio del mismo, pero manteniendo el nivel deingreso real del consumidor, o sea, igual nivel de satisfacción.

El efecto ingreso representa la variación en la cantidad consumida porun cambio en el ingreso real del individuo.

Sustituyendo la condición de equilibrio para P = $5, P = $5, X= Y enx j,la ecuación de la curva de indiferencia que corresponde a la primerasituación, U= 1,562,500 = X2 Y2, se obtienen las nuevas cantidades delos bienes respectivos como sigue:

1,562,500 =X2 X2 =X4

X= 35.3553

1,562500 = Y2 72 = Y4

Y= 35.3553


Con la información anterior podernos calcular los efectos sustitución eingreso cuando el precio del bien X pasa de P = $10 a P = $5:

ES= (B-Á) = 35.3553 - 25 = 10.3553EI= (C- B) = 50 - 35 . 3553 = 14.6446ET= (C-A) = 25

4.7.

125 -, FIGURA 1.4: LÍNEA PRECIO-CONSUMO Y LOS EFECTOS

SUSTITUCIÓN, INGRESO Y TOTAL

0

0 25 33.35

A B

50

C x

75 100


Solución: ejercicio D.5

Las fórmulas de las elasticidades -arco de la demanda son

Elasticidad-arco precio = e = SQ / SP * ((Po + P,) l (Q0 + Q,))

Elasticidad -arco ingreso = e, = SQ / SI * ((o + I) / (Q3 + Q,»

o b n) Qo n))Elasticidad -arco cruzada = e b = SQ l SPb * ((P + Pl (Qq o +Elasticidades -arco precio de la demanda:

e_q(to- t,)=(-0 .5/-1)*(17/11 .5)=0.74A es inelástico respecto a su precio

e_b (tO-t2)=(-1.5/-3)* (27 / 8.6) = 1.67B es elástico respecto a su precio

Elasticidades -arco ingreso de la demanda:

el-,(t. - t3) = (0.5 / -5,000) * (11 ,000 / 11 . 5) _ -0.1

A es un bien inferior en (t0 - t3)

efb (tO - t6) = (-0.4 / -5,000) * (11,000 / 6.6) = 0.133B es un bien normal y necesario en (t,, - t6)

Elasticidades -arco cruzadas de la demanda:

e-b(t0-t4(0.5/7 ) * (37/ 11.5)=0.23A es sustituto de B en (t0 - t4)

eb_q(tO-t5)=(1.6/9) * (27/8.6)=0.56B es sustituto de A en (t0 •- t5)


8.2. TEORÍA DE LA PRODUCCIÓN (P)

Solución: ejercicio P.4

4.1. Ésta es una función de producción homogénea porque es posible multi-plicar por una constante cada uno de sus factores variables y despejar

tal multiplicador.

X=10K U4L114

X*=10(cpK)V4«pL)114=lo(p1/2K114L1/4_(p112X

4.2. Esta función tiene rendimientos decrecientes a escala por la suma delos exponentes de los factores Y= (1/4 + 1/4) = 1/2 < 1, lo que implicaque un incremento de ambos factores en una cantidad dada e igualpara ambos aumentará la producción en forma menos que proporcionala ese incremento.

I/4 1/4L L4.3. PMeL = l OK =10K1/4 L 3/4

PMeK = lOKI/4 LV4

= lOK-3/4I/4

K

PMgL = S = 2.5K1/4L 3/4 = (PMeL)

PMgK = SK = 2.5K- 3/4L1/4 = (PMeK)

4.4. El producto marginal de cualquier factor de producción es igual alproducto medio de ese factor multiplicado por el exponente de ese

factor en la función de producción.

PMgL 2.5K1/4L3/4 KTMgTKI = =

PMgK 2.5K 314L1/4 L

La tasa marginal de sustitución del capital por el trabajo representa lacantidad de insumo capital que puede ser sustituido si se emplea una


unidad adicional de insumo trabajo tal que el volumen físico del pro-ducto total no se altere.

4.5. La condición de equilibrio es TMgSTK, = w / r

K= 1 / 3 L; o bien

L=3K

4.6. Sabemos que las funciones de costo son funciones derivadas que se de-ducen de la función de producción. De aquí que las funciones de costose tengan que expresar en términos de la de producción. Empezamospor reemplazar los precios de los factores w = 1 y r= 3 en la restricciónde costos:

CT= wL+rK=L+3K

Al sustituir la condición de equilibrio en la ecuación anterior , obtenemos:

CT= (1 / 3 L) 3 + L = 2L

L=-

K=

CT

2

CT= K3 + (3K) = 6K

CT

6

Al sustituir L y Ken la función de producción , X= 10 K14 L 14, obtenemosla función de costo total y, a partir de esta última, las otras funcionesde costos:

X= 10 K14L14= 10 (CT/ 6)"4 (CT/2)"4 = 10(1/ 6)"4 (1 / 2)"4 CT "2

X= 10 (0.639) (0.841 ) CT 12 = 5.373 C7111

Costo total = CT= (XI 5.373)2 = (0.186 X)2 = 0.0346 X22

Costo medio total = CMeT = CT = 0.0346XX

SCosto marginal = CMg = CT = 0.0693X

S. Solución de ejercicios 177

Todos los costos son crecientes . Los costos marginales son siempremayores que los costos medios. La situación es de largo plazo dadoque todos los factores son variables , existiendo rendimientosdecrecientes a escala o, lo que es lo mismo, costos medios crecientesa largo plazo.

4.7. Al considerar que uno de los factores es constante , K=100, nos encontra-mos en una situación de corto plazo . Al igual que en la situación anterior,debemos deducir la función de costos a partir de la de producción. Alreemplazar w= 1 , r= 3 y K= 100 en la ecuación de costos , obtenemos:

CT=100r+Lw=300+L

L= CT-300

Al reemplazar L y Ken la función de producción obtenemos la fun-ción de costos totales y, a partir de esta última, todas las otras funcio-nes de costos:

X= 10 K114L114 = 10(100)114L1,4=31.6227L'"4

L = (X/31.6227)4 = X10

4

L=CT-300= 1-X0-,

Costo total = CT = 300 +Xa

106

Costo fijo total = CFT= 300

aCosto variable total = CVT = -X-

106

CT 300 X 3Costo medio total = CMeT = = - - + - - -

X X 106

CFT 300Costo medio fijo = CMeF =

X X


X 3Costo medio variable = CMeV CVT

= X 10`

Costo marginal = CMg =T 4 x3

10,

Los costos fijos medios disminuyen cuando aumenta la producción. Loscostos medios totales disminuyen para luego incrementarse a partir delpunto mínimo. Los restantes costos se incrementan. La situación es decorto plazo porque existe un factor fijo que implica costos fijos y, dadoque la función de producción presenta rendimientos decrecientes a es-cala en el largo plazo, éstos se suman al efecto de proporciones variablesen el corto plazo.

Solución: ejercicio P.5

5.1. El producto medio de un factor de producción es el volumen físicototal producido entre la cantidad empleada de un factor dado. Haytantos productos medios como factores se emplean en la producción.

El producto marginal de un factor de producción es el cambio resul-tante del volumen físico de la producción como consecuencia de laúltima unidad empleada del factor considerado, suponiendo que elfactor es perfectamente divisible, que esta última unidad es muy pe-queña y que todos los demás factores se mantienen constantes.

PMeL = X = 10L I/4K1/2L

PMeK = Y =10L34K-i/2K

PMgL = SL = 7.5Li/4KVV2 = 3/4 PMeL

PMgK = 95X =5L3'4K-''2 =1/2PMeK


5.2. La tasa marginal de sustitución técnica del capital por el trabajo re-presenta la cantidad del insumo capital que puede ser sustituido alemplearse una unidad adicional del insumo trabajo tal que el volu-men físico del producto total elaborado no se altere.

PMgL _ 7.5L',14K1/2TMgSTK,z. = PMgK 5r1 4K -1/2

TMgSTK,L =1.5L

5.3. Los rendimientos a escala que tiene la función de producción son:

3/4 + 1/2 = 5/4 = 1.25 > 1: rendimientos crecientes a escala.

5.4.a. La ecuación general de las isocuantas se obtiene despejando Xde lafunción de producción dada, X= 10 L 314 X 112:

K1/2X

2

K = (X/10Ly4)2 = Xl Oorl2

K = O.^1Xz = 0.01X2L 3/2

5.4.b. Para X= 100, la ecuación de la isocuanta es

KK=loo = 0.01(100)2L 3/2 =100L 3/2 = 100L

Para X= 200, la ecuación es

400232 E3 2 = 400E 3KK-200 = 0.01 (200) =

Para X= 300, la ecuación es

900L3322L3^2900

=Kx=3 = 0.01(300)L3 2=


Para graficarlas tomaremos los siguientes valores de L.-

L K,=100 K=200 K=300

1.000 100.000 400.000 900.0005.000 8.944 35.777 80.498

6.310 6.31010.000 3.162 12.649 28.460

10.986 10.98615.000 1.721 6.885 15.49215.195 15,19520.000 1.118 4.472 10.062

25.000 0.800 3.200 7.200

30.000 0.608 2.434 5.47735.000 0.483 1.932 4.34640.000 0.395 1.581 3.55745.000 0.331 1.325 2.985

50.000 0.283 1.313 2.545100.000 0.100 0.400 0.900

FIGURA 1.5: ISOCUANTAS (NIVELES X= 100, 200 Y 900)

X= 100100

20

0 20 40 60

L


5.5. La curva de isocosto es el lugar geométrico de todas las combinacio-nes de factores que la empresa puede comprar con un determinadodesembolso monetario.

Siendo los precios de los factores w = $1.5 y r = $1 , la función deisocosto es:

CT=wL+r K=1.5L+K

K=CT-1.5L

FIGURA 1.1: OFERTA Y DEMANDA DE LA INDUSTRIA

200 i

5.6.a. Las cantidades de los factores que representan la combinación ópti-ma (el equilibrio de la empresa), para cualquier nivel de producción,se obtienen a partir de la condición de equilibrio:


PMgLTMgSTK ,

PMgK

w

r

K 1.5-TMgSTK , =1.5= 1

K=L

Al reemplazar cada uno de los niveles de producción y la condiciónde equilibrio en la función de producción, X=10 L 3/4 K'/2, obtenemoslas cantidades óptimas de los factores para cada uno de los nivelesmencionados:Para X= 100: 100 = 10 LK3/4 K " 2 = 10 K5/4

10 = Á'1/4

K= 104'5

K= 6.3095; dado que K= L, entonces,L = 6.3095

Comprobación: 100 = 10 (6.3095)3'4 (6.3095)12100 = 10 (3.9810) (2.5118)

Para X= 200: 200 = 10 K3/4 K 112 = 10 K5/420 =K5'4

K= 204/5


Comprobación: 200 = 10 (10.9856)3'4 (10.9856)'/2200 = 10 (6.0341) (3.3144)

Para X=300: 300 = 10K3/4K"2= 10K5'430 = K5/4

K= 304/5



Comprobación: 300 = 10 (15.1948)'4 (15.1948)"2300 = 10 (7.6961) (3.8980)

5.6.b. Siendo la ecuación de costos CT= wL + rKy los precios de los factoresw= 1.5 y r= 1, los niveles de costo para X= 100, 200 y 300 son:

Para X= 100: CT= 1.5 (6.3095) + 6.3095 = 15. 7739

Para X= 200: CT= 1.5 (10.9856) + 10.9856 = 27.4640

Para X= 300: CT= 1.5 (15.1948) + 15.1948 = 37.9871

5.6.c.

-------------------------------------- ------------- - -- - --- -------------

FIGURA 3.5: EQUILIBRIO DE LA EMPRESA

Y SENDERO DE EXPANSIÓN

0 6.31 10.98 15.19 20

L

---------------

40


5.7. Sustituyendo la condición de equilibrio , Á'= L, y los precios de losfactores , ) r = 1.5 y r = 1, en la ecuación de costos , obtenemos:

CT=1.5L+L=2.5LI- - ','7/ 2.5

CT 1.5K+K=2.5KK= ú7/2.5

Reemplazando esta relación en la función de producción obtenemosla función de costos totales y, a partir de ésta, podemos obtener lasotras funciones:

,I' =- 10 (CT/ 2.5)3/4 (CT/ 15)'/` = 10 (CT/ 2.5)5'-0 = 10 (1 / 2.5)51 CT514

= 10 (0.4)5`4 CT 5'4

X= 10(0.3181)CT5`4=3.1810C-Ts/4

X4`CT= (X;3.1810)4r5=

2.5238

Costo total = CT= 0.3962 X4'5

Costo medio total = CMeT = CT _ 0.3962X4 5 = 0.3962X J5X x

Costo marginal = CMg = SC T = 4/5(0.3962)X-1i5 =0.3169X_`3

Los costos medios totales y marginales son decrecientes , reflejandouna situación de largo plazo con rendimientos crecientes a escala.

5.8. Para los niveles de producción X= 0, X= 100, X= 200 y ,Y= 300, loscostos totales, costos medios totales y costos marginales son:

X CT CMeT CMg

0 0 00 00

100 15.774 0. 1577 0.1262200 27.464 0.1373 0.1098300 37.987 0.1266 0.1013


5.9. Suponiendo que Kes fijo y es = 6.30957344 , las cantidades del factortrabajo que se requerirían para los niveles de producción X= 100, X=

200 y X= 300 se obtienen de la siguiente manera:

Para X= 100

X= 100 = 10 L 314 (6.30957344Y11 = 25.1188 L 314

L^ 4 = _ 100 = 3.981025.1188

L = 3.98104'3 = 6.30957344

Para X= 200

X= 200 = 10 L 314 (6.30957344)"2 = 25.1188 L 314

L 14 = 200 _ _ = 7.962125.1188

L = 7.96214/3 = 15.90

Para X= 300

X= 300 = 10 L 314 (6.30957344) 112 = 25.1188 L 3^4

L314 _ 300 =11.943225.1188

L = 11.94324'3 = 27.30


20

K 10

KF= 6.369

FIGURA 4.5: EQUILIBRIO DE LA EMPRESA: CASO KF= 6.039

(NIVELES: X= 100, 200 Y 300)

X= 100 X= 200 X= 300

0 6.309 15.90 20

L

27.30 40

5.10. Dado que K= 6.30957344 es constante, la situación corresponde alcorto plazo. Las funciones de costo total, costo fijo total, costo varia-ble total, costo medio total, costo medio fijo, costo medio variable ycosto marginal se obtienen de la siguiente manera:

Primero, sustituimos los valores de w, ry Ken la ecuación de costos:

CT= 1.5 L + 6.30957344L = CT/ 1.5 - 6.30957344 / 1.5 = 0.6666 CT- 4.2063

Segundo, reemplazando L y Ken la función de producción, X= 10 L 31

K 12, obtenemos:

X= 10 (0.6666 CT- 4.2063 )3'4 (6.3095)12


X= 25.1188 (0.6666 CT- 4.2063)314

x= (0.6666 CT- 4.2063)3/4

25.1188

(X/ 25.1188)413 = 0.6666 C- 4.2063

(X/25.1188)4/'+4.2063 (0.0398X)43CT = _ ----- +6.3095

0.6666 0.6666

Costo total = CT= 0.0203 ~y 411 + 6.3095

Costo fijo total = CFT= 6.3095

Costo variable total = CVT= 0.0203 X413

0 . 0203 X4j1 + 6.3095Costo medio total= - - 0.0203X u3 + 6.3095X-'

X

Costo medio fijo = CMeF= 6.3095 X-'

Costo medio variable = CMeF= 0.0203 X113

Costo marginal = CMg= 1.3333 (0.0203 ) X 113 = 0.0271 X113

8.3. TEORÍA TRADICIONAL DE COSTOS (C)

Solución: ejercicio C.3

3.1. Dada la función de costo total CT= 1,000 + 250 ,Y- 5 X2 + 0.5 X3, lasfunciones de costo medio total , costo medio variable, costo medio fijoy costo marginal son

CMeT= 1,000 /X+250-5 X+0.5X2CMeV=250-5X+0.5X2CMeF= 1,000 / XCMg=250-10X+1.5X2

188

3.2.

Mario Capdevielle y Mario L. Robles Báez

X Cr CFT CYT C11fef CAfeK C1IeF C f

0.00 1,000 .0 1,000 0.0 250.0 250.00

1.00 1,245.0 1,000 245.5 1,245.50 245 . 5 1,000.0 241.5

2.00 1,484 . 0 1,000 484 .0 742.00 242.0 500 . 0 236.03.00 1,718 . 5 1,000 718 . 5 572.80 239.5 333 . 3 233.5

3.33 1,796.3 1,000 796 . 3 538.80 238 . 8 300.0 233.34.00 1,952 . 0 1,000 952.0 488.00 238.0 250 . 0 234.05.00 2,187 . 5 1,000 1 , 187.5 437 . 50 237 . 5 200 . 0 237.56.00 2,428.0 1,000 1 ,428.0 404 . 60 238.0 166.6 244.07.00 2,676. 5 1,000 1,676 . 5 382 .40 239 . 5 142 . 8 253.58.00 2 , 936.0 1,000 1 ,936.0 367.00 242.0 125.0 266.09.00 3 , 209.5 1 1,000 2 , 209.5 356.60 245 . 5 11.1.1 281.5

10.00 3 , 500.0 1 ,000 2 , 500.0 350.00 250.0 100.0 300.011.00 3,810 . 5 1,000 2 , 810.5 346 .41 255.5 90.9 321.511.97 345.33 345.312.00 4 , 144.0 1,000 3 , 144.0 345.33 262.0 83.3 346.013.00 4,503.5 1,000 3 ,503.5 346.45 269 . 5 76.9 373.514.00 4 ,892.0 1 ,000 3 ,892.0 349 .40 278 . 0 71.4 404.015.00 5 , 312.5 1,000 4,312 . 5 354.16 287 . 5 66.6 437.5

Los costos medios totales, medios variables y marginales mínimos seobtienen derivando sus respectivas funciones e igualándolas a cero;esto es,

8CMeT=_1,000X-2-SX+X=1 000+5X2+X3=0 X=11.974,

8XBCMe v =_5 + X = 0

X= 58X

BCM9 =-10+3X=0 X=3.3338X

S. Solución de ejercicios

3.3.

0

FIGURA 1.3: COSTOS TOTALES

3.33 5

X

10 11.97

FIGURA 2.3: COSTOS MEDIOS Y MARGINALES

1,000 CMe^ MeT

C 500

0 3.33 5

X

10 11.97

189

15

CMg

3.4. Los resultados se corresponden con lo señalado por la teoría. Los cos-tos totales son siempre crecientes, por su componente variable. Loscostos medio total, medio variable y marginal tienen forma de U, de-crecen para luego incrementarse debido a las proporciones variables


en el uso de los insumos, que denota la existencia de costos fijos. En supunto mínimo los costos medios total y variable son iguales al costo mar-ginal (por ser variables discretas, no es exacto en el caso del costo mediototal), mientras que el costo fijo medio decrece a lo largo de todos losniveles de producción.

Solución: ejercicio C.4

4.1. y 4.2. De acuerdo con el cuadro de costos fijos y variables, los costostotales, medios totales, medios fijos, medios variables y marginales(definidos como el cambio del costo total por una unidad de produc-ción adicional) son los siguientes:

X CFT CYT CT CMeF CMeY CiWeT CM

0 60 0.0 60.0 m 0.001 60 30.0 90.0 60.0 30.00 90.0 30.02 60 40.0 100.0 30.0 20.00 50.0 10.03 60 45.0 105.0 20.0 15.00 3.5.0 5.0

4 60 50.0 110.0 15.0 12.00 27.5 5.05 60 60.0 120.0 12.0 12.00 24.0 10.06 60 75.0 135.0 10.0 12.0 22.5 22.57 60 97.5 157.5 8.6 13.93 22.5 22.58 60 140.0 200.0 7.5 17.00 25.0 42.5


1

200

180

160 -----------------------------------------------------------------------

140

120

C 100

80

60

40

20

0

0

----------------------------

X

2

FIGURA 1.4: COSTOS TOTALES

3 4 5 6 7

FIGURA 2.4: COSTOS MEDIOS Y MARGINALES

8

CT


4.3. Los resultados se corresponden con lo señalado por la teoría. Los cos-tos totales son siempre crecientes por su componente variable. Loscostos medio total, medio variable y marginal tienen forma de U, de-crecen para luego incrementarse debido a las proporciones variablesen el uso de los insumos, que denota la existencia de costos fijos. En supunto mínimo los costos medios total y variable son iguales al costo mar-ginal (por ser variables discretas no es exacto en el caso del costo mediototal), mientras que el costo fijo medio decrece a lo largo de todos losniveles de producción.

8.4. TEORÍA DEL MERCADO DE COMPETENCIA PERFECTA (CP)

Solución: ejercicio C.P.5

5.1. La cantidad de equilibrio de la industria es aquella que iguala la ofertay la demanda de mercado, Q°r = Q°. .

20,000 - 0.2 Pr = 500 P - 30,000P =100

Sustituyendo P,.en Q°o Q° obtenemos X = 19,980

5.2. Como las empresas individuales son tomadoras de precios, la condi-ción de equilibrio que define la cantidad que deberá producir cadaempresa en el nivel de precios determinado por el mercado es:

Dado que CNIge = P., entonces : 20 + 2 X = 100 X1= 40

Dado que CMg, = Pr entonces : 60 + 4 X2= 100 X2 =10

Dado que CMg3 = Pr entonces : 475 - 70 ,Y3+ 3 ~y2 == 100 X33= 1

BENEFICIOS (B)

B,=IT-CT=( 100*40)-[800+(20*40)+40] = 800B2 = IT - C2 = (100 * 10) - [300 + (60 * 10) +(2 * 102)] = -100B3 =17-3- CT = ( 100 * 15)- [ 150+(475 * 15)-(35 * 152)+ 153] =-1,275


5.3. Al precio PY = 100, las condiciones de las empresas son las siguientes:

La empresa 1 opera con ganancias excedentarias = 800, por lo que le esconveniente seguir produciendo en el corto plazo.

La empresa 2, aun teniendo pérdidas = -100, es conveniente que sigaproduciendo en el corto plazo, dado que éstas son menores que el cos-to fijo total, 100 < 300 , o, lo que es igual , en el nivel de producciónóptimo de X2= 10, el precio es mayor que el costo medio variable:

CMeT2= 60+(2 * 10)= 80< 100

Al producir 15 unidades, la empresa 3 tendría pérdidas superiores a suscostos fijos totales, 1,275 > 150, por lo que le convendrá cerrar y dejar deoperar aun en el corto plazo. O, lo que es lo mismo, sus costos mediosvariables son mayores que el precio para el nivel de producción 15:

CMey= 475-35* 15+152 =175>100

5.4.

FIGURA 1.5: EQUILIBRIO DE LA EMPRESA 1

250 - -CMeT

Curva de ofert

0 10 30 40



CMgz

0 10 30


-----------------------------------------------

50

40

0 10 20 30 40

X


5.5. Ninguna de estas situaciones podría corresponder con el equilibrio delargo plazo puesto que, en el largo plazo para un modelo de compe-tencia perfecta, no pueden existir pérdidas ni ganancias para las em-presas.

Solución: ejercicio C.P.6

CASO 3: 1. Industria de costos constantes : los precios de los factores semantienen constantes.

2. Empresa con una función de costos de corto plazo.

Con respecto a la función de costos totales de corto plazo, la empresa queopera en un mercado de competencia perfecta es:

CT= 1,000+100X-IOX+X

Donde CT= costo totalX = cantidad producida

SITUACIÓN 1

6.1.1. Siendo las funciones de la oferta y la demanda de la industria origi-nales en que opera la empresa:

QD1 X = 8,280 - 10 P

Q01X=280+30P

El precio y la cantidad de equilibrio de la industria se obtienen igua-lando ambas funciones: QD'X = QO'X

8,280 - 10 P = 280 + 30 P40 P = 8,000P = 8,000 / 40 = 200

Al sustituir P = 200 en cualquiera de las dos funciones , se obtiene lacantidad de equilibrio:


QD I = 8,280 - 10 (200) = 6,280

QO1 X = 280 + 30 (200) = 6,280

6.1.2. La cantidad producida y los beneficios de la empresa se obtienen a par-tir de la condición de equilibrio : CMeT, = CMeT,, = CMg, = CMg,, =IMg=P.

CMg= 100-20X+ 3X2 =2003X2-20X-100=0

La solución de esta ecuación de segundo grado es

X= 10

Beneficios = IT- CT,• donde IT= XP

B = (10) 200 - [ 1,000 + 100 ( 10) - 10 (10)2 + 103]B = 2,000 - 2,000 = 0

613. Gráficas de los equilibrios de la industria y de la empresa:

400 i QD1

350

300

250P -- 200

P 200 ---------------------------

150-

100

50

0

0

FIGURA 1.6: EQUILIBRIO DE LA INDUSTRIA / SITUACIÓN I

Qoi

12,000 16,0004,000 X, = 6,280 8,000

X


400

350 i

300

250

FIGURA 2.6: EQUILIBRIO DE LA EMPRESA / SITUACIÓN 1

CMeTTP CMg, .

C 200CMg,, = hVg,, = %^ 200

------------------------------------------ -----------------

150

100

50 -

5

X

X= 10

197

15

SITUACIÓN II

6.11.1. Siendo la nueva ecuación de la demanda de mercado del bien X •

QD2X = 10,280 - 10 P

y la misma ecuación de la oferta de mercado de la situación anteriorQO1X = 280 + 30 J. el nuevo precio y la nueva cantidad de equilibrio dela industria se obtienen igualando ambas ecuaciones : QD2X = QO1 X

10,280 - 10 P = 280 + 30 P40 P = 10,000P = 10,000 / 40 = 250

Al sustituir J. = 250 en cualquiera de las dos ecuaciones, obtenemosla cantidad de equilibrio correspondiente:

QD2X = 10,280 - 10 (250) = 7,780

QO1 X = 280 + 30 (250) = 7,780


6.11.2. La nueva cantidad producida y los beneficios actuales de la empresase obtienen a partir de la condición de equilibrio : CVeT, = CMeT, _

CMg,1 ,, = CA 1911 = IMg= 11 ^

CMg= 100-20X+3X2=2503X2-20X-150=0


X= 11.1506

Dado que los beneficios = IT- CT, donde IT= XP

B = (11.15) 200 - [1000 + 100(11.15) - 10 (11.15)2 + 11.153]B = 2,787.5 - 2,258.144 = 529.356

6.11.3. Gráficas de los equilibrios de la industria y de la erripresa:

FIGURA 3.6: EQUILIBRIO DE LA INDUSTRIA / SITUACIÓN II

400350300

^D I

P,.z - 250250 ----- -----------------------

P 200 -------------------------------15010050 á0i

Qozx

12,000 16,0000 4,000 X = 7,780

X

8. Solución de ejercicios

400

350

300

FIGURA 4.6: EQUILIBRIO DE LA EMPRESA / SITUACIÓN II

CMg 1, = IMgcP = IL250 -------------

C 200 -

150

100

50

0

0

Beneficios

5

X

SITUACIÓN III

10 X= 11.15

199

15

6.111.1 Siendo la nueva ecuación de la oferta del mercado que resulta de laentrada de nuevas empresas a la industria:

Q°2X = 2,280 + 30 P

y la misma ecuación de la demanda de mercado de la situación an-terior QD = 10,280 - 10 P

el nuevo precio y la nueva cantidad de equilibrio de la industria, seobtiene igualando ambas ecuaciones : QD2x = 02x

10,280 - 10 P = 2,280 + 30 P40 P = 8,000P = 8,000 / 40 = 200

Al sustituir P = 200 en cualquiera de las dos ecuaciones, obtenemosla cantidad correspondiente:


QD2a = 10,280 - 10 (200) = 8,280

QO2X = 2,280 + 30 (200) = 8,280

6.111 .2. La nueva cantidad producida y los beneficios actuales de la empresase obtienen a partir de la condición de equilibrio CÁteTc, = CMeT P =CMg,1 = CMggp=IMg=P

CM=100-20X+3X2 =2009

3X222-20X-100=0


X= 10

Siendo los beneficios = IT- CT, donde IT= XP

B = (10) 200 - [1000 + 100(10) - 10 (10)2 + 1031B = 2,000 - 2,000 = 0

6.III.3. Gráficas de los equilibrios de la industria y de la empresa:

FIGURA 5.6: EQUILIBRIO DE LA INDUSTRIA / SITUACIÓN III

400

350

300

250IP=200

P 200 +---------------------------------

150 -I

100 11

50

0

0 4,000 X= 8,280

X

12,000 16,000


400

350

300

201

FIGURA 4.6: EQUILIBRIO DE LA EMPRESA / SITUACIÓN III

CMeTTP CMgcP

250 ------------------------------------ ---------------- ---------

CMgcP = IMgc,= ,é% = 200,C 200 ---- -------------------------------------------------------

150

100

50

0 5 15

x

SITUACIÓN IV

6.IV.1 Siendo la nueva ecuación de la demanda de mercado:

Qo3X = 16,280 - 10 P

y la misma ecuación de la oferta de mercado de la situación anteriorQD2X = 2,280 + 30 P el nuevo precio y la nueva cantidad de equilibriode la industria se obtienen igualando ambas ecuaciones: Q03 = Q02

16,280 - 10P =2,280+30P40 P = 14,000

P = 14,000 / 40 = 350

Al sustituir P,= 350 en cualquiera de las dos ecuaciones , obtenemosla cantidad correspondiente:

Qo3x = 16,280 - 10 (350) = 12,780QO7X= 2,280 + 30 (350) = 12,780


6.1V.2. La nueva cantidad producida y los beneficios actuales de la empresase obtienen a partir de la condición de equilibrio : Cller0,= CMeTP=CMg 1,= CMggP=IMg=P

CM=100-20X+3X2 =350

3X2-20X-250=0


X= 13.0515

Siendo los beneficios = IT- CT, donde IT= XP

B = (13.051 ) 350 - [1,000 + 100(13.051) - 10 (13.051)2 + 13.0513]B = 4, 568.0552 - 2,825.0730 = 1,742.9822

6.IV.3. Gráficas de los equilibrios de la industria y de la empresa:

FIGURA 7.6: EQUILIBRIO DE LA INDUSTRIA / SITUACIÓN IV

400 -P =350

350 - --------------------------

3 00

250

P 200 r----------------------------------

150

100 j

50

0

/]DIr n02r 01r )2

0 4,000 8,000 X= 12,780 16,000

X


FIGURA 8.6: EQUILIBRIO DE LA EMPRESA / SITUACIÓN IV

CMeTT,400

CMg,.1 = IMg,.P 350---- - - ----- --------350 -- --- •-- ---

300

250

150

100

50

0 F

0 5

X

SITUACIÓN V

10

CMggP

X= 13.05

203

6.V.1. Siendo la nueva ecuación de la oferta del mercado que resulta de laentrada de nuevas empresas a la industria:

Qo3x = 8,280 + 30 P

y la misma ecuación de la demanda de mercado de la situación an-terior, QD3X = 16,280 - 10 P , el nuevo precio y la nueva cantidad deequilibrio de la industria se obtienen igualando ambas ecuaciones:QD3 = Q03x x

16,280 - 10 P = 8,280 + 30 P40 P = 8,000P = 8,000 / 40 = 200

Al sustituir P = 200 en cualquiera de las dos ecuaciones , obtenemosla cantidad correspondiente:

QD3X = 16,280 - 10 (200) = 14,280Qo3x = $ 280 + 30 (200) = 14,280


6.V.2. La nueva cantidad producida y los beneficios actuales de la empresase obtienen a partir de la condición de equilibrio CMeTCI, = CMeTLP =CMgC,= CMgcPIMg=P

CMg = 100 - 20,Y + 3X2 = 200

3X1-20X-100=0


X= 10

Siendo los beneficios = IT- Cr, donde: IT= XP.

B = (10) 200 -- [ 1,000 + 100 ( 10) - 10 (10)2 + 1031B = 2,000 - 2,000 = 0

6.V.3. Gráficas de los equilibrios de la industria y de la empresa

400

350 •------------------ -------=

300

250

P 200

150

100

50

FIGURA 9.6: EQUILIBRIO DE LA INDUSTRIA / SITUACIÓN V

r-----------------------P,=200

--------------------------------


400

FIGURA 10.6: EQUILIBRIO DE LA EMPRESA / SITUACIÓN V

CMeTcP

3 0 ------------------------ -5

300

250 - ------------------------------------

CMgcP=IMgcP= Pñ=200C 200 --------------------------------------------

150

100

50

0-

0 5

x

X= 10

CMgg1

205

6.V.4. La curva de la oferta de la industria en el largo plazo está dada poruna línea recta (subrayada en la figura siguiente) paralela, en estecaso, al eje de las abscisas que corresponde a los equilibrios de lassituaciones 1, III y V, cuya ecuación es Q°LP = 200.

FIGURA 11.6: OFERTA DE LARGO PLAZO DE LA INDUSTRIA

DI 1,12400

350 --------------------------- ---------- ---------------------L:4

300 E

250 -------------------------------- ----------

P200

9

------------------------------------ =i200

150

1001 „

50

0

0 4,000 8,000 12,000

X

16,000


8.5. TEORÍA DEL MERCADO MONOPÓLICO (M)

Solución: ejercicio M.3

3.1. El monopolista que opera con dos plantas, con distintas estructurasde costos , tiene que tomar dos decisiones para maximizar sus benefi-cios: 1) qué cantidad de productos producirá en conjunto y a qué pre-cio y 2 ) de qué modo habrá que distribuir la producción óptima entreambas plantas. Esto se logra por medio de la condición de equilibrio:CMg7 = CMg2=IMg

a) Ingreso marginal:

Dado que la función de la demanda es Q° =,Y= 1,780 - 0.2 P y Y= X +X, su inversa es

P =8,900 -5X=8,900-5X-5Xx

Al sustituir la ecuación anterior en la del ingreso total, .17 = P * X,obtenemos:

IT = X(8,900-5X) = 8,900X -5X2

Derivando la función de ingreso total anterior, obtenemos la del in-greso marginal:

IMg= I =8900-10X=8,900-10X,-10X2

b) Costo marginal:

Siendo las funciones de costos totales de las dos plantas, Cr, =1,512,500 +100 X, + X2 y CT1= 777,500 -100 X2+ 7.5 X2, respectivamente, las funcio-nes de costos marginales correspondientes se obtienen derivando estasfunciones:

CMg1 = 8 ' =100+ 2X,

CMg2 = SXz =-100+15X2


c) Igualando las dos funciones de costos anteriores con la del ingresomarginal, CMg1 = CMg2 = IMg, obtenemos las cantidades de equili-brio correspondientes a cada una de las plantas:

(1)8,900 -10x-10X2=+100+ 2X2(2)8,900 -10X, - 1 0X2 =-100 +1 5X2

(1)8,800 -12X2-10X2=0(2)9,000 -10X2-25X2 =0

Multiplicamos la ecuación (2) por -1.2:

(1) 8,800 - 12X2-10X2=0(2)-10,800 + 12X2 +30X2=0

-2,000 + 0X2+20X2=0

X2 = 100X=650

X=750

d) Sustituyendo X= 750 en la ecuación inversa de la demanda, obte-nemos su precio:

P = 8,900 - 5 (750)P=5,150

3.2. Como CMg1 = CMg2 = IMg, podemos obtener su valor, que debe resul-tar ser el mismo, sustituyendo las cantidades de equilibrio correspon-dientes en las funciones respectivas:

CMg1 = 100 + 2 (650) = 1,400CMg2 = -100 + 15 (100) = 1,400IMg= 8,900 - 10 (750) = 1,400

3.3. a) Los beneficios totales del monopolista que opera con dos plantasson iguales a,&-Tm = IT- (CTI + C72):

208

3.4.


17-= XPr = (750 * 5,150) = 3,862,500

CT = 1,512,500 + 100 X +X2C7-1= 1,512,500 + (100 * 650) + 6502 = 2,000,000

CT = 777,500 - 100 X, + 7.5X2CT = 777,500 - ( 100 * 100) + (7.5 * 1002) = 862,500

BTm = 3,862,500 - (2,000 ,000 + 862,500 ) = 1,000,000

b) Los beneficios que obtiene el monopolista en cada planta son igua-les Bm .= CT - IT .•

IT =X * P,= 650 * 5 , 150 = 3,347,500Bm^ = IT - C:T = 3,347,500 - 2,000,000

IT = X * Pr = 100 * 5,150 = 515,000

= 1,347,500

Bmn2 = IT - CT = 515,000 - 862,500 = -347,500 (pérdidas)

BTm= Bml + Bine = 1,347 , 500 - 347,500 = 1,000,000

FIGURA 1.3: EQUILIBRIO DEL MERCADO MONOPÓLICO

10,0008,900

8,000

6,000P. = 5,150 ------------- -------------

P,C 4,000

CMg=IMg= 1'

CMg


0

CMg2

Pérdidas:

FIGURA 2.3: EQUILIBRIO DE LA PLANTA 1

100 200 300 400

X

500

209

X= 650 700

FIGURA 3.3: EQUILIBRIO DE LA PLANTA 2

----------1

6,000p,CP = 5,1501

4,000

0 r2=100 200 300 400 500 600 700

X


Solución: ejercicio M.4

MODELO SIN DISCRIMINACIÓN DE PRECIOS

4.1. Dado que la maximización del monopolista que opera sin discrimina-ción de precios se obtiene a partir de la condición de equilibrio CMg=IMg, debemos primero deducir sus funciones respectivas:

a) Ingreso marginal, MM.-

Siendo la función de la demanda X =100 - 0. 1 P, su función inversa es:

P = 1,000 - 10 X

Al sustituir la ecuación anterior en la del ingreso total , 17 = P * X,obtenemos:

IT= 1,000 X- 10 Xz

Derivando la función de ingreso total anterior, obtenemos la del in-greso marginal:

IMg = 8 ' =1,000 - 20X

b) Costo marginal, CMg.

Siendo la función de costos totales, CT= 14,300 - 80X+ 2 XL, la funcióndel costo marginal correspondiente se obtiene derivando la primera:

8CTCMg= =-80+4X

8X

c) Igualando las dos funciones anteriores , IMg = CIIg, obtenemos lacantidad de equilibrio correspondiente:

1,000 - 20X= -80 + 4 X1,080 = 24 X

X= 45


sustituyendo la cantidad de equilibrio de la función inversa de la de-manda, obtenemos el precio correspondiente:

P = 550x

d) Dado que los beneficios del monopolista (Bm) son iguales a (IT-CT), es decir, (XP) - (14,300 - 80X+ 2 X2):

Bm = (45 * 550) - [14,300 - (80 * 45) + (5* 452)]Bm = 24,750 - (14,300 - 3,600 + 4,050)Bm = 24,750 - 14,750Bm = 10,000

FIGURA 1.4: MERCADO DE MONOPOLIO / MODELO

SIN DISCRIMINACIÓN DE PRECIOS

CMeT

P=550

P,C Beneficios

327.77

200 I,

!CMg=IMg

MODELO CON DISCRIMINACIÓN DE PRECIOS

CMg

4.2. La maximización del monopolista que opera con discriminación de pre-cios se obtiene a partir de la condición de equilibrio -Mg, = IMg2 = CMg.•


a) Ingresos marginales:

Siendo las funciones de las demandas de los submercados X, = 50 -, y X = 50 - 0.02 P2 , sus funciones inversas son0.08 P

P,=625-12.5XP2=2,500-50X

Al sustituir cada una de las ecuaciones anteriores en la de los ingresostotales respectivos IT, = P, * X obtenemos:

IT=625X-12.5X2

17 2 = 2500 ,Y2 -50 XZ

Derivando las funciones de ingresos totales anteriores, obtenemos lasde los ingresos marginales respectivos:

IMg1 = SIT, = 625-25X 1

IMg2 = '5,T2, = 2,500 -100X2áz

b) Costo marginal:

Siendo la función de costos totales, CT= 14,300 - 80 X-+- 2 X2, la funcióndel costo marginal correspondiente se obtiene derivando la primera:

TCMg= - =-80+4X =-80+4(X,+X2)

c) Igualando la función de costo marginal con cada una de las del in-greso marginal , CMg = IMg, y CMg = IMg2 , obtenemos las cantida-des de equilibrio correspondientes:

(1) 625-25X=-80+4(X+X)(2) 2,500 - 100 X = -80 + 4 (X +,Y2)

(1) 705-29X- 4X=0(2)2,580 - 4X-104X=0


Multiplicando la ecuación (1) por -26

(1) -18,330 + 754 X + 104 X = 0(2) 2,580 - 4 X - 104 X = 0

-15,750 + 750 X + O X = 0

X=21X=24

X=45

Reemplazando las cantidades de equilibrio anteriores en la funcióninversa de la demanda respectiva, obtenemos los precios correspon-dientes:

P = 625 - 12.5 (21) = 362.5P2 = 2,500 - 50 (24) = 1,300

d) Dado que los beneficios del monopolista que discrimina (Bmd) son igua-les a CT], es decir, [(X P 1) + (X P2) - (14,300 - 80X+ 2X2)]:

Bmd = (21)(362.5) + (24)(1,300) - [(14,300 - 80 (45) + 2 (45)2Bmd = 7,612.5 + 31,200 - (14,300 - 3,600 + 4,050)Bmd = 24,062.5

Siendo los costos medios totales = CMeT= 14,300 / X- 80 + 2 X

CMeT= 14,300 / 45 - 80 + 2 (45)CMeT= 327.7777

los beneficios por planta se obtienen por la siguiente ecuación: Bmd. _(P.-ClleT)X

Bmd = (362 .5 - 327.777) (21)Bmd = 729.1666

Bmd2 = (1,300 - 327.7777) (24)Bmd2 = 23,333.333

214

1,500

P2 = 1,300

P,c


FIGURA 2.4: MERCADO DE MONOPOLIO / MODELO

CON DISCRIMINACIÓN DE PRECIOS

CMg

D'4,

(250)

X= 21 `"2 2-4 Y= 45 50 ^'.

IMg2 IMg1 X ¡Mg

4.3. Elasticidad = E

E, =(SX/ 5P,) (P1/X)=0. 08 (362.5 / 21)= 1.3809E2=(8X/8Pz)(PZ/X)=0.02( 1,300/24)= 1.0833

100¡

Con lo que se demuestra la relación inversa existente entre el precio yla elasticidad precio de la demanda.

4.4. La cantidad ofrecida en el mercado total es igual en ambos modelos,con y sin discriminación , X= 45. Los beneficios son siempre mayoresen el caso en que hay discriminación, dado que el monopolista


discriminador se apropia de una parte del excedente de los consumi-dores discriminados.

Bmd= 24,062.5Bm = 10,000Bmd- Bm = 14,062.5

110-2736ssk[1]

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