19-9-2015

Trabajo Colaborativo Fase1

Grupo: 100412_128

Williams Ávila PardoOmar Montaño Torres

Nombre del Curso:

ECUACIONES DIFERENCIALES

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD

INTRODUCCION

El presente trabajo pone a prueba lo estudiado en la primera unidad del curso, además de afirma nuestro trabajo como compañeros de grupo.

El curso de ecuaciones diferenciales nos proporciona los conocimientos, métodos, técnicas y criterios para la modelación matemática de fenómenos específicos propios de la ingeniería.

Además Una ecuación diferencial es una ecuación en la que aparecen una función incógnita y alguna de sus derivadas. Si la función es de una variable la ecuación se llama ordinaria (EDO). Si es de varias variables, la ecuación es en derivadas parciales.

Podemos decir que Las ecuaciones diferenciales constituyen uno de los más poderosos instrumentos teóricos para la interpretación y modelación de fenómenos científicos y técnicos de la mayor variedad, a saber, aquellos que contienen dinámicas, que expresan evolución, transformación o cambio en términos de algún conjunto de parámetros

OBJETIVOS

Aplicar los principios fundamentales de las ecuaciones diferenciales de primer orden.

Desarrollar ejercicio específico y aplicativo de las ecuaciones diferenciales

Identificar el objetivo general de las ecuaciones diferenciales y los objetivos de cada una de sus unidades.

Identificar cual es el contenido del curso, su propósito, y la necesidad de ver esta materia para diversos campos que ofrece la ingeniería.

Conocer qué es una Ecuación diferencial y sus procedimientos de investigación, proceso y sus aplicaciones, examinar sus funciones y emplearlas a las técnicas de solución de circuitos, ya que es una herramienta esencial de estudio.

Revisar los aspectos generales del curso ecuaciones diferenciales, planteado en la plataforma virtual.

TRABAJO COLABORATIVO FASE1

Temática: introducción a las ecuaciones diferenciales Indique el orden de la ecuación diferencial y establezca si la ecuación es lineal o no lineal, justifique su respuesta.

ÍTEM ECUACIONES DIFERENCIALES

DESCRIPCIÓN DESARROLLADO POR

A x2 sen ( x )−¿

Ecuación diferencial lineal ya que la variable dependiente no se encuentra dentro de una función y/o elevada a algún exponente.Primer orden ya que solamente existe una

primera derivada. dydx

Omar Montaño Torres

By dydx

+( senx ) y3=ex+1

Ecuación diferencial no lineal debido a que “y” tiene como coeficiente un “3” y por esto no dependen solamente de la variable independiente “X” y es de primer orden ya que solamente existe una primera derivada.

Williams Avila Pardo

Cd2 ydx2

+ dydx

+ y=cos ¿)Ecuación diferencial no lineal de segundo orden ya que existe una segunda

derivada la cual es d2 ydx2

Williams Avila Pardo

Dd2rdu2

=√1+( drdu )2

Ecuación diferencial no lineal de segundo orden ya que existe una segunda

derivada la cual es d2r

du2

Omar Montaño Torres

E ( y2−1 )dx+6 xdy=0

Ecuación diferencial no lineal debido a que “y” tiene como coeficiente un “2” y por esto no dependen solamente de la variable independiente “X” y es de primer orden ya que solamente existe una primera derivada.

Williams Avila Pardo

Temática: ecuaciones diferenciales de primer orden.

Ejercicio Resuelto por Williams Avila Pardo

a. Resolver la ecuación diferencial por el método de variables separadas.

e− y+e−2 x− y=ex y dydx⟹ e− y (1+e−2x )=e x y dy

dx

Separando variables tenemos:

1+e−2x

ex dx= ye− y dy⟹ e−x (1+e−2x )dx= y e ydy

Integrando en ambos lados:

∫ e−x (1+e−2x )dx=∫ y ey dy

Resolviendo la integral:

∫ e−x (1+e−2x )dx=∫ e−x dx+∫ e−3x dx=−e− x−13e−3x+C1 ,C1cte

∫ y e y dy , resolvemos integrando por partes , paraesto :

u= y⟹du=dy dv=e y dy⟹ v=∫e y dy=e y

Reemplazando u, du, v, dv en la fórmula de integración por partes:

∫ y e y dy=uv−∫ vdu= ye y−∫ ey dy= y e y−ey+C2 ,C2cte

Luego la solución de la ecuación diferencial es:

∫ e−x (1+e−2x )dx=∫ y ey dy

−e− x−13e−3x+C 1=e y ( y−1 )+c2

−e− x(1+ 13 e−2x)+K=e y ( y−1 ) , k=C1+C2 cte

B. Determine si la ecuación dada es exacta. Si lo es, resuélvala.

Ejercicio Resuelto por Omar Montaño Torres

(1−lnx )dy=(1+lnx+ yx )dx

(1+lnx+ yx )dx−(1−lnx )dy=0

(1+lnx+ yx )dx⏟

M

+( lnx−1 )dy⏟N

=0

∂M∂ y

=1x∂N∂x

=1xes exacta

∫(1+lnx+ yx )dx

x+xlnx−x+ ylnx+h ( y )

xlnx+ ylnx+h ( y )∗¿

∂∗¿∂ y

=lnx+h' ( y )∗¿¿

¿∗¿N

lnx+h ' ( y )=lnx−1

h' ( y )=−1

h ( y )=− y+c

xlnx+ ylnx− y+c

C. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales hallando el factor integrante

. Ejercicio Resuelto por Omar Montaño Torres

6 xydx+(4 y+9 x2)dy=0

Primero se halla el criterio de exactitud

M=(6 xy)dx

N=(4 y+9 X 2)dy

My=Nx

My=6 x

Nx=18x

Se observa que 6 x≠18 x

Por lo tanto la ecuación diferencial no es exacta.

Para llevarla a exacta hace el cálculo de un factor integrante a través de las siguientes pruebas.

My−NxN (x , y)

=g (x)

Nx−MyM (x , y )

=h( y )

Ŋ=g (x)

e∫ŋdŋ

Ŋ=h( y )

My=6 x

Nx=18

Reemplazo

6 x−18x4 y+9 x2

=−12 X¿¿

Observo que no se cumple ya que solo debe dar en función de x.

Lo realizo con de otra manera

18x−6x6 xy

= 2y

Lo cual si me sirve porque está dado solo en función de Y

Procedo al cálculo del factor integrante.

e∫ 2

y dy e2 ln∨ y∨¿❑¿

y2

Así hallo el factor integrante µ=y2

Ahora procedo a la aplicación del factor integrante

( y2 ) (6 xy )dx+( y2 ) (4 y+9 x2 )dy=0

(6 x y3 )dx+(4 y3+9 x2 y2 )dy=0

Verifico que la ecuación sea exacta después de aplicar el factor integrante.

My=18xy2

Nx= 18xy2

Lo cual me indica que tengo una ecuación exacta e inicio a buscar solución a la ecuación diferencial

(6 x y3 )dx+(4 y3+9 x2 y2 )dy=0

Procedo a integrar el término menos complejo que en este caso sería M

Integrando M

∫ (6x y3 )dx→ y3∫6 xdx→3 x2 y3+h ( y)

Como decidí derivar con respecto a x derivo ahora el resultado con respecto a y

3 x2 y3+h ( y )→9 x2 y2+h ( y )

Ahora igualo el resultado con respecto a N

9 x2 y2+h ( y )=4 y3+9 x2 y2

Como el término 9 x2 y2+h ( y ) se repiete en ambos lados de la ecuación lo elimino y obtengo como resultado

h ( y )=4 y3

Obtengo la función derivada por lo tanto debo integrar para obtener la función derivada que estoy buscando integrar el resultado con respecto a Y

∫ h ( y )=∫4 y3dy→h ( y )= y4+C

Ahora combino los resultados

(6 x y3 )dx+(4 y3+9 x2 y2 )dy=0

3 x2 y3+h ( y )=0

Pero como ya tengo

h(y)=y4+C

El resultado final es3 x2 y3+ y4=C

D. Resuelva la ecuación diferencial

Ejercicio Resuelto por Omar Montaño Torres

( y2+ yx )dx−x2dy=0

y=ux ,dy=xdu+udx

(u2 x2+ux2 )dx−x2 (dux+udx )=0

u2 x2dx+ux2dx−x3du−ux2dx=0 Dividiendo entre x2

u2dx+udx−xdu−udx=0

u2dx−xdu=0

u2dx=xdu

duu2

=dxx

∫ duu2

=∫ dxx

−11

u−1=ln ( x )+c

−u−1=ln ( x )+c

u−1=−1lnx+c

u−1=−lnx+c

u= 1−lnx+c

Por lo tanto:

y= x−lnx+c

( y2+ yx )dx−x2dy=0

Comprobación:

( y2+ yx )dx−x2dy=0

( y2+ yx )dx=x2dy

x2dy=( y2+ yx )dx

dydx

=( y2+ yx )

x2

Si y=x

−lnx+c

dydx

=( x−lnx+c )

2

+ x−lnx+c

x

x2

dydx=

x2

(−lnx+c )2+ x2

−lnx+c

x2, dividiendo por x2 arriba y abajo

dydx

= 1(−lnx+c )2

+ 1−lnx+c

dydx

= 1−lnx+c(−lnx+c )2

Comprobación parte 1

.A de más por ley de derivada división de funciones:

y= x−lnx+c

dydx

=1 (−lnx+c )−x(−1x +0)

(−lnx+c )2

dydx

=−lnx+c+1(−lnx+c )2

Comprobación parte 2

Como se puede ver, la comprobación parte 1 es igual a la comprobación parte 2.

E. Resolver el siguiente ejercicio de valor inicial.

Ejercicio Resuelto por Omar Montaño Torres

(x2+2 y2 ) dxdy

−xy=0

(x2+2 y2 ) dxdy

=xy

x= yvdxdy

= y+ dvdy

( y¿¿2v2+2 y2)(v+ ydvdy )= yvy ¿

y2(v2+2)¿

v+ y dvdy

= vv2+2

y dvdy

= vv2+2

−v

dv=( vv2+2

−v)dy / y

dvv

v2+2−v

=dyy

(v¿¿2+2)dy−v3−v

=dyy

¿

(v¿¿2+2)dv−v (v2+1)

=dyy

¿

v2+2=A (v2+1 )−v (BV+C)

v2+2=A V 2+A−BV 2CV

1=A−B

0=C2=A B=1

∫( 2−v+ vv2+1 )dv=∫ dy

y

−∫ 2dvv +∫ vdvv2+1

=∫ dyy

U=v2+1

−2=ln v+du=2vdv=Lny+ lnC1

−2 ln v+∫ du2u

=lnC1∗ y

−2 ln v+ 12lnU=lnC1∗y

−lnu12−ln v2=lnC1∗y

ln (u12−v2)= lnC1∗y

ln v ((v2+1 )12−v2)=lnC1∗y

(v2+1 )1/2−v2=cy

(x2/ y2+1 )1/2− x2

y2=cy

√( x2+ y2

y2− x2

y2 )1 /2

=cy

1y.√x2+ y2− x2

y2=cy

1y.(√ x2+ y2− x2

y )=cy

√ x2+ y2− x2

y=c y2

Ejercicios Colaborativos

Ejercicio 1

Considere un gran tanque que contiene 1000L de agua, dentro del cual una solución salada de salmuera empieza a fluir a una velocidad constante de 6 L/min. La solución dentro del tanque se mantiene bien agitada y fluye hacia el exterior del tanque a una velocidad de 6L/min. SI la concentración de sal en la salmuera que entra en el tanque es de 1Kg/L, determine cuando será de 1/2kg/L la concentración de sal en el tanque.

Solución:

Al analizar el ejercicio se sabe que x (t) es la cantidad de sal que hay en el tanque en un instante t .

De acuerdo a lo anterior se puede decir que la velocidad de entrada de la sal al tanque en un instante t es:

e ( t )=6 litromin

∗1 kglitro

En el instante t , el líquido que se encuentra en el tanque es:

V ( t )=1000+(6−6 ) t litros

La concentración de la salmuera es de

x (t )1000+t

kglitros

Por su parte la velocidad de salida de la sal es:

s (t )=6

litrosmin

∗x (t )

1000+tKg

litros

De aquí se determina que la ecuación diferencial es:

dxdt

=6− 6 x1000+t

∗x (0 )=0

Ahora se hace la ecuación homogénea

dxdt

= 6 x1000+t

dxx

= 61000+t

d t

La respuesta de la ecuación homogénea es:

xh (t )= c¿¿

Al hacer variar la constante c=c (t) y al reemplazar en la no homogénea se obtiene:

c ,(x )¿¿

Entonces:

c , ( x )=6¿

c ( t )=¿

Por lo que:

x (t )=1000+ t+ c¿¿

De aquí se puede concluir que la cantidad de sal en el tanque en un instante t es:

1000+t−10006

¿¿ ¿

1− 10006

¿¿

Ahora se debe encontrar t de tal manera que:

1− 10006

¿¿

Por lo que:

12=1000

6

¿¿

¿

Ejercicio 2: Situación y solución planteada.

Enunciado:

Un paracaidista de masa 100 Kg (incluyendo su equipo) se deja caer de un avión que vuela a una altura de 2000 m, y cae bajo la influencia de la gravedad y de la resistencia del aire. Supongamos que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad del paracaidista en cada instante, con constante de proporcionalidad 30 N.s/m con el paracaídas cerrado, y 90 N.s/m con el paracaídas abierto. Si el paracaídas se abre a los diez segundos del lanzamiento, hallar el instante aproximado en el que el paracaidista llega al piso. ¿Cuál es su velocidad en ese instante? (Considere la

gravedad como g=10m

seg2)

SOLUCIÓN PLANTEADA CORRECCIÓN A LA SOLUCIÓN

La fórmula es incorrecta ya que debe llevar el singo menos (-) en vez de más (+)

m dvdt

=mg−kv

La fórmula es incorrecta ya que debe llevar el singo menos (+) en vez de más (-)

dvdt

+ km

v=g

Que equivale a:

ekm .t dv

dt+e

km . t

. km. v=g e

km . t

; ddt

(ekm . t

. v )=gekm .t

Integrando respecto a t

x=mgk

. t−v0mk.e

−km . t

+m2

k2. g . e

−km .t

+c

Entonces,

x0=−vo .mk

+m2

k2. g+c

c=x0+mk.v0−

m2gk2

De donde;

x (t )=mgk

t−mkv0e

−km . t

+m2 gk2

. e−km .t

+ x0+mkv0−

m2 gk2

x (t )=mgk

t−mv (v0−mg

k )e−km .t

+x0+mk (v0−mg

k )Reagrupando,

x (t )=mgk

t+mk (v0−mg

k )(1−e−km .t )+x0

Considerando la gravedad como g=10m

seg2 y la

tapa inicial en la que el paracaídas está cerrado, donde x0=0, v0=0 y k=30Ns/m

v (t )=m. gk

+(v0−m. gk )e

−km .t

R=30. v ;m=100 ; k=30

Entonces

v ( t )=1003

−1003

e−310 t

y

x (t )=1003

. t−10009

.(1−e−310 t)

Luego a los diez segundos, 𝑡=10

v (10)≈31.6737 ms

Y la distancia recorrida por el paracaidista durante los primeros diez segundos será aproximadamente

x (t)=227,7541m

Para la segunda etapa, es decir, cuando el paracaídas está abierto, se toma como instante t=0 aquel en el que el paracaídas se abre y

k=90 N . sm , con lo que se tiene

x (0 )=227,7541m y v (0 )=31.6737ms

Para esta nueva etapa v0=31,6737m /s

v (t )=m. gk

+(v0−m. gk )e

−km .t

x (t )=m .gk

.t+mk (v0−m. g

k ) (1−e−km t )+x0

x0=227,7741mEntonces,

v (t )=1009

+20,5626 e−910 t

y

x (t )=1009

t−22,8473 e−910 t

+250,6014

Entonces, como 𝑥(𝑡)=2000 tenemos,

Se desprecia 22,8473 e−910 t ya que si t=10, el valor

tiende a cero.

Por lo tanto:

1009

t−0+250,6014=2000

1009

t=2000−250,6014

1009

t=1749,3986

t=1749,3986∗9100

t=157,445874En la anterior ecuación el término 2,0563 e

−910 t se

desprecia para valores de tiempo relativamente grandes (mayores que 10), es decir, este valor tiende a cero, entonces, 𝑡=157,4459 𝑠𝑒𝑔. De aquí se deduce que el paracaidista tarda aproximadamente, 10 𝑠𝑒𝑔 + 157,4459 𝑠𝑒𝑔=167,4459 𝑠𝑒𝑔 en llegar al suelo desde que se arrojó del avión.

La velocidad de éste al llegar al suelo es de

aproximadamente 100Km9 seg

=11,11Kmseg

CONCLUSIONES

Este trabajo es importante para el desarrollo de nuestra vida profesional buscando el desenvolvimiento dentro del ámbito laboral aplicando los diferentes conceptos y conocimientos adquiridos en todo lo relacionado con las ecuaciones diferenciales para tener un conocimiento amplio acerca de las ecuaciones diferenciales aprendiendo su finalidad y tener una proyección del curso para poder resolver las diferentes situaciones presentadas.

Durante la realización del presente trabajo fue posible clasificar las ecuaciones diferenciales por tipo, orden y linealidad, para lo cual se utilizaron los conceptos aprendidos durante el estudio de la primera unidad del módulo del curso.

Por medio de la elaboración de este taller, se desarrollaron ejercicios prácticos utilizando las técnicas adquiridas para la resolución de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden con variables separables y hallando el factor integrante, lo cual permitió la ejecución de problemas prácticos que afianzan la asimilación de las temáticas tratadas.

Finalmente se desarrolló un ejercicio práctico para utilizar los conceptos básicos de las ecuaciones diferenciales.

REFERENCIAS

Hyperphysics.phy-astr.gsu.edu,. (2015). Differential Equations. Recuperado 20 Septiembre 2015, a partir de http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/diff.html

Julioprofe,. (2015). Ecuaciones diferenciales - Julioprofe. Recuperado 20 Septiembre 2015, a partir de http://julioprofe.net/courses/ecuaciones-diferenciales/

Mario Orlando Suárez Ibujes, M. (2015). Introducción a las ecuaciones diferenciales. Teoría y ejemplos resueltos - Monografias.com. Monografias.com. Recuperado 20 Septiembre 2015, a partir de

http://www.monografias.com/trabajos97/introduccion-ecuaciones-diferenciales-teoria-y-ejemplos-resueltos/introduccion-ecuaciones-diferenciales-teoria-y-ejemplos-resueltos.shtml

Matematicas.udea.edu.co,. (2015). Ecuaciones Diferenciales. Recuperado 20 Septiembre 2015, a partir de http://matematicas.udea.edu.co/~jescobar/

Sc.ehu.es,. (2015). Solución numérica de ecuaciones diferenciales. Recuperado 20 Septiembre 2015, a partir de http://www.sc.ehu.es/sbweb/energias-renovables/MATLAB/numerico/diferencial/diferencial.html

YouTube,. (2015). Solución de una ecuación diferencial por separación de variables. Recuperado 20 Septiembre 2015, a partir de https://www.youtube.com/watch?v=v3CsjgKeB7U