Colores de Aportes

SANDRA GALLO GÓMEZ 1 SANDRA GALLO GÓMEZ 2

MILLER MAURICIO RODRIGUEZ

YON IVAN MARQUEZ

Actividad colaborativa*

Se plantea una situación problema y el grupo de realizar los aportes respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las características del problema que se ha planteado y buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de orden superior:

Una masa que pesa 4 lb, estira un resorte 3 pulgadas al llegar al reposo en equilibrio y se le aplica una velocidad de √2 pies/seg dirigida hacia abajo. Despreciando todas las fuerzas de amortiguación o externas que puedan estar presentes, determine la ecuación de movimiento de la masa junto con su amplitud, periodo y frecuencia natural. Cuánto tiempo transcurre desde que se suelta la masa hasta que pasa por la posición de equilibrio?

REFERENCIA 3

Escobar, J. (2004).   Ecuaciones diferenciales con aplicaciones en maple. Leer páginas 81 a 100.   Texto completo en  http://matematicas.udea.edu.co/~jescobar/ 

Estaríamos en el caso de una vibración simple no amortiguada.

d2 xdt2

+ kmx=0

La solución general seria:

x (t )=c1 cos (√ km t )+c2 sen(√ km t) , c1c2∈ R

Primero debemos encontrar k, la mas de 4lb estira el resorte de 3 pulgadas (1/4 pie).

Se emplea la ley de Hooke:

4=mg=k 14,

K=16 lb / pie, g=32pie

seg2, por lo tantom= 4

32=1

8slug

√ km=√ 161/8

=8√2

Entonces: x (t )=c1 cos ( 8√2 t )+c2 sen (8√2t )

Teniendo en cuenta las condiciones iniciales x (0 )=3 pulgadas=14pie y x ' (0 )=√2 pies/seg,

entonces:

14=x (0 )=c1

√2=x ' (0 )=8√2c2

Entonces c1=14

y c2=18

La ecuación del movimiento de la masa

x (t )= 14

cos (8√2t )+ 18sen (8√2t )

Quedando al ecuación diferencial como:

x ´ ´+1618

x=0

x ' '+128 x=0

Del enunciado del problema las condiciones iniciales son:

x ´ (0 )=√2 ft / s

x (0 )=0 ft

Solución a la ecuación diferencial:

La solución es de la forma:

x (t )=e∝ t (C1 cos (βt )+C2 sin (βt ) )

Y la ecuación a resolver es:

x ' '+128 x=0

La solución se basa en:

m2+128=0

Factorizando como:

(m−(√128 i ) ) (m+(√128 i ) )=0

m2−(√128 i )2=0

m 1=(√128 i)

∝=0

β=√128

Quedando la solución de la ecuación diferencial como:

x (t )=(C1 cos (√128 t )+C 2sin (√128 t ) )

Usando las condiciones iniciales:

0=(C1cos (√128 (0))+C2 sin (√128(0)))

√2=(−√128 sin (√128(0))+√128 cos (√128 (0)))C1=0

C2=√( 164 )

Finalmente se tiene entonces que la soluciona la ecuación diferencial es:

x (t )=√( 164 )sin (√128 t )

Donde la amplitud es:√( 164 )

El periodo es:( 2π

√128 )Y La frecuencia es:(√128

2π )¿Cuánto tiempo transcurre desde que se suelta la masa hasta que pasa por la posición de equilibrio?

x (t )=√( 164 )sin (√128 t )

La posición de equilibrio es cuando x=0 para ese resorte y esa masa, en ese orden de ideas:

0=√( 164 )sin (√128 t )

sin−1(√( 164 ))=√128 t

t=[sin−1(√( 1

64 ))]√128

De forma colaborativa deben evaluar y analizar toda la solución a la situación plantea, si consideran que todo el proceso y respuesta se encuentra de manera correcta, deben realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante y fórmulas utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras a la solución. Si el grupo considera que el proceso y/o respuesta se encuentra incorrecto, deben realizar la observación y corrección al error o errores encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes extras a la solución. Situación y solución planteada:

Enunciado: El movimiento de un sistema masa-resorte con amortiguación está regido por la ecuación diferencial:

d2 xdt2

+b dxdt

+25 x=0

En donde, x (0 )=1 , x' (0 )=0 encuentre la ecuación del movimiento para los siguientes casos

Caso 1: Movimiento subamortiguado: .b=6

Caso 2: Movimiento críticamente amortiguado b=10

Caso 3: Movimiento sobreamortiguado: b=14

Solución

Caso 1: b=6 la ecuación característica es:

λ2+bλ+25=0 Cuyas raíces son

−6±√62−1002

=−3±4 i

Como son raíces complejas conjugadas se usa:

x (t )=C1 eαt cosβt+C2 e

αt senβt

La ecuación de movimiento tiene la forma:

x (t )=C1 e−4 t sen3 t+C2e

−4 t cos3 t

x ' (t )=−31 e−4 t (C1 sen3 t+C2 cos3 t )+4e−3 t (−C1 cos3 t+C2 sen3 t)

Para x (0 )=1 y x ' (0 )=0, se tiene el sistema: 1=C1, 0=−3C1+4C2

Por tanto: C1=1 y C2=34

Con las condiciones iniciales se debe reemplazar en la ecuación y se deriva para hallar la solución

Finalmente, la ecuación de movimiento tiene la forma

x (t )=e−4 t(sen3 t+ 34

cos3 t)Caso 1 (Alternativo): x(0)= 6 pulgadas= ½ pie y x’(0) = √2 pies/seg

12=x (0 )=c1

√2=x ' (0 )=8√2c2

Lo que implica que c1=12

y c2=18

por consiguiente, la ecuación del movimiento de la

masa es

x (t )=12

cos (8√2t )+sin (8√2t )

Para expresar la solución en forma senoidal se hace lo siguiente:

A=√c12+c2

2=√178

, tan (θ )=c1

c2

=1 /21/8

=4

Entonces

x (t )=√178

sin ( 8√2 t )+θ

Con θ=arctan ( 4 )=1.326

Por tanto, la amplitud es A=√178

,, el periodo es T= 2π

8√2= π

4 √2 y la frecuencia es f

4 √2π

El tiempo t que transcurre desde que se suelta la masa hasta que pasa por la posición de

equilibrio verifica 8√2 t+θ=π , lo que implica que t=π−θ8√2

=0.16042

Caso 2: b=10

La ecuación característica es:

λ2+bλ+25=0 Cuyas raíces son

−10±√102−1002

=5

Como en el resultado, las raíces son repetidas se usa:

x (t )=C1 eαt cosβt+C2 e

αt senβt

Reemplazando y con las condiciones iniciales tenemos la solución:

La ecuación de movimiento tiene la forma:

x (t )=C1 e5 t+C2 te

5 t=(C1+C2t )e5 t

x ' (t )=C2e5 t−5 (C1+C2 t )e5 t

Para x (0 )=1 y x ' (0 )=0, se tiene el sistema: 1=C1, 0=C2−5C1

Por tanto: C1=1 y C2=5

Finalmente, la ecuación de movimiento tiene la forma

x (t )=e5 t (1+5 t )

Caso 3: b=14

La ecuación característica es:

λ2+bλ+25=0 Cuyas raíces son

−14±√142−1002

=−7±√24

Al ser raíces combinadas, se usara la ecuación:

x (t )=C1 eαt cosβt+C2 e

αt senβt

La ecuación de movimiento tiene la forma:

x (t )=C1 e(−7±√24 )t+C2 e

(−7± √24) t

x ' (t )=C1 (−7±√24 )e (−7± √24)−C2 (−7±√24 ) e(−7±√24 )t

Para x (0 )=1 y x ' (0 )=0, se tiene el sistema: 1=C1+C2

0=C1 (−7±√24 )+C2 (−7±√24 )

Por tanto: C1=24+7√24

48 y C2=

24−7 √2448

Finalmente la ecuación de movimiento tiene la forma:

x (t )=( 24+7 √2448 )e(−7−√24) t+( 24−7√24

48 )e (−7+√24) t