100412 45 trabajo_fase1 (1)
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ECUACIONES DIFERENCIALES
TRABAJO COLABORATIVO 1
GRUPO 100412_45
ELIZABETH CABALLERO CC. 1116992731
RAMIRO RIVEROS PEREZ
CC.74082764
NELSON YESID MASMELA
CC.
DEYBER PINZON BERNAL
CC.
TUTOR
RAMIRO PEรA
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
CEAD YOPAL CASANARE
ABRIL 2016
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INTRODUCCION
En el presente documento conoceremos y analizaremos conceptos bรกsicos de una
ecuaciรณn diferencial; descubriremos como conocer y diferenciar una ecuaciรณn de
acuerdo a su tipo, orden y linealidad; veremos la importancia de conocer y
manejar los distintos mรฉtodos para dar soluciรณn a las mismas.
Pondremos a prueba nuestro conocimiento de derivadas e integraciรณn con el fin de
poder determinar y hallar ecuaciones diferenciales de primer orden.
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OBJETIVOS
Objetivo general
Resolver y analizar ecuaciones diferenciales de primer orden
Objetivos especรญficos
Conocer la clasificaciรณn de una ecuaciรณn diferencial
Analizar las propiedades y caracterรญsticas de una ecuaciรณn lineal
Determinar si una ecuaciรณn diferencial es exacta
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DESARROLLO ACTIVIDAD
Temรกtica 1: Introducciรณn a las ecuaciones diferenciales Indique el orden de la
ecuaciรณn diferencial y establezca si la ecuaciรณn es lineal o no lineal, justifique su respuesta.
ECUACIรN
OBSERVACIONES: ORDEN DE
ECUACIรN, LINEAL O NO
LINEAL Y JUSTIFICACIรN
ESTUDIANTE
A. ๐ฅ2๐ ๐๐(๐ฅ) โ (๐๐๐ ๐ฅ) ๐ฆ = (๐ ๐๐๐ฅ) ๐๐ฆ
๐๐ฅ Ecuaciรณn de primer orden, lineal
NELSON MASMELA
B. ๐ฆ ๐๐ฆ
๐๐ฅ+ (๐ ๐๐๐ฅ) ๐ฆ3 = ๐๐ฅ + 1 Es una Ecuaciรณn de 1er orden, es
una ecuaciรณn No lineal, ya que cumple con condiciรณn estar
acompaรฑado con funciones de x el รบnico problema es que el coeficiente ๐ฆ que acompaรฑa a
dy/dx no es un coeficiente que depende de x, por lo cual hace
que la funciรณn sea una ecuaciรณn no lineal.
ELIZABETH
CABALLERO
C. ๐2๐ฆ
๐๐ฅ2 +๐๐ฆ
๐๐ฅ+ ๐ฆ = ๐๐๐ (๐ฅ + ๐ฆ) Es una ecuaciรณn de 2do orden, es
una ecuaciรณn Lineal, porque la
variable dependiente es de 1er grado, los coeficientes son constantes y cumple con la
condiciรณn que sus coeficientes solo dependen de x.
ELIZABETH
CABALLERO
D. ๐2 ๐
๐๐ข2 = โ1 + (๐๐
๐๐ข)
segundo orden, no lineal porque el diferencial esta elevado al
cuadrado
NELSON YESID
MASMELA
E. (๐ฆ2 โ 1)๐๐ฅ + 6 ๐ฅ๐๐ฆ = 0 Esta ecuaciรณn lineal es ordinaria de primer orden, pues se deja a y como la variable dependiente y se
divide por dx.
RAMIRO RIVEROS
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Temรกtica 2: ecuaciones diferenciales de primer orden
A. Resuelva la siguiente ecuaciรณn diferencial por el mรฉtodo de variables
separables (Nelson Yesid Masmela)
๐โ๐ฆ + ๐โ2๐ฅ โ๐ฆ = ๐๐ฅ ๐ฆ๐๐ฆ
๐๐ฅ
๐โ๐ฆ + ๐โ2๐ฅ ๐โ๐ฆ = ๐๐ฅ ๐ฆ๐๐ฆ
๐๐ฅ
๐โ๐ฆ(1 + ๐โ2๐ฅ ) = ๐๐ฅ ๐ฆ๐๐ฆ
๐๐ฅ
1 + ๐โ2๐ฅ
๐๐ฅ๐๐ฅ =
๐ฆ
๐โ๐ฆ๐๐ฆ
โซ(๐โ๐ฅ + ๐โ3๐ฅ )๐๐ฅ = โซ ๐ฆ๐๐ฆ๐๐ฆ
Primera integral Segunda integral Tercera integral (por partes)
๐ฃ = โ๐ฅ
๐๐ฃ = โ๐๐ฅ
๐ข = โ3๐ฅ
๐๐ข = โ3๐๐ฅ
๐ข = ๐ฆ ๐๐ฃ = ๐๐ฆ๐๐ฆ
๐๐ข = ๐๐ฆ ๐ฃ = ๐๐ฆ
โ โซ ๐๐ฃ๐๐ฃ โ1
3โซ ๐๐ข๐๐ข = ๐ฆ๐๐ฆ โ โซ ๐๐ฆ๐๐ฆ
โ๐โ๐ฅ โ1
3๐โ3๐ฅ + ๐ = ๐ฆ๐๐ฆ โ ๐๐ฆ
โ๐โ๐ฅ (1 + ๐โ2๐ฅ ) + ๐ = ๐๐ฆ(๐ฆ โ 1)
๐ฆ = โ(1 + ๐โ2๐ฅ ) + ๐
๐๐ฅ ๐๐ฆ+ 1
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B. Determine si la ecuaciรณn dada es exacta, si lo es resuรฉlvala (Elizabeth
Caballero)
(1 โ lnx) dy = (1 + lnx +y
x) dx
Es exacta si dM
dy=
dN
dx
M(โ (1 + lnx +y
x)) dx + N(1 โ lnx) dy = 0
dM
dy= โ1 โ ๐๐๐ฅ โ
y
x
dN
dx= 1 โ ๐๐๐ฅ
dM
dy= โ1 โ ๐๐๐ฅ โ
0
x
dN
dx= 1 โ ๐๐0
dM
dy= โ๐๐
dN
dx= โ๐๐
๐(1 โ ln ๐ฅ)
๐๐ฅ= โ
1
๐ฅ=
๐ (โ1 โ ln ๐ฅ โ๐ฆ
๐ฅ)
๐๐ฆ
Es una ecuaciรณn exacta
f(x, y) M(x, y)dx = (โ1 โ ๐๐๐ฅ โy
x) ๐๐ฅ
A partir de la funciรณn integramos
fโ๐ฅ๐๐ฅ + โ๐๐๐ฅ ๐๐ฅ +โ y
x ๐๐ฅ + ๐(๐ฆ)
fโ๐ฅโ๐๐๐ฅ๐ฅ โ ๐ฆ๐๐๐ฅ + ๐(๐ฆ)
f๐๐๐ฅ โ ๐ฆ๐๐๐ฅ + ๐(๐ฆ)
Ahora derivamos f(x, y) con respecto a y por tanto se debe obtener N(x, y)
๐ =df
dy
(1 โ lnx) =dfdy
๐๐๐ฅ + ๐ฆ๐๐๐ฅ + ๐(๐ฆ)
(1 โ lnx) = ๐๐๐ฅ + ๐(๐ฆ) ฬ
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Despejamos๐(๐ฆ)ยด๐(๐ฅ)ยด = 1
g(y)โ (1 โ lnx) dy + ๐๐๐ฅ
g(y)โ 1d๐ฆ โ lnx dy +๐๐๐ฅ
g(y)โ ๐ฆ โ lnxy + ๐๐๐ฅ
g(y)โ ๐ฆ
๐น/ F= ๐(๐ฆ) +g (y)โ = ๐ ๐๐ โ ๐ ๐๐๐ + ๐
C. Resuelva la siguiente ecuaciรณn diferencial hallando el factor integrante
6๐ฅ๐ฆ๐๐ฅ + (4๐ฆ โ 9๐ฅ 2)๐๐ฆ = 0
๐(6๐ฅ๐ฆ)
๐๐ฆ= 6๐ฅ
๐(4๐ฆ โ 9๐ฅ 2)
๐๐ฅ= 18๐ฅ
Las derivadas parciales no son iguales
Procedemos a hallar el factor integrante
๐๐ฅ โ ๐๐ฆ
๐๐ฅ๐ฆ
=18๐ฅ โ 6๐ฅ
6๐ฅ๐ฆ=
12๐ฅ
6๐ฅ๐ฆ=
2
๐ฆ
๐๐ฅ = ๐โซ
2
๐ฆ๐๐ฆ
= ๐2 ln ๐ฆ = ๐ ln ๐ฆ2= ๐ฆ2
๐ฆ2(6๐ฅ๐ฆ๐๐ฅ) + ๐ฆ2(4๐ฆ โ 9๐ฅ 2)๐๐ฆ = 0
6๐ฅ๐ฆ3๐๐ฅ + (4๐ฆ3 โ 9๐ฅ 2๐ฆ2)๐๐ฆ = 0
โซ 6๐ฅ๐ฆ3๐๐ฅ = 3๐ฅ 2๐ฆ3
๐(๐ฅ,๐ฆ) = 3๐ฅ 2๐ฆ3 + โ(๐ฆ)
โ9๐ฅ 2๐ฆ2 + โโฒ(๐ฅ) = 4๐ฆ3 โ 9๐ฅ 2๐ฆ2
โโฒ(๐ฅ) = 4๐ฆ3
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Integrando
โ(๐ฅ) = ๐ฆ4
๐(๐ฅ, ๐ฆ) = 3๐ฅ 2๐ฆ3 + ๐ฆ4 + ๐
E. Resuelva el siguiente ejercicio de valor inicial (Ramiro Riveros)
(๐ฅ 2 + 2๐ฆ2)๐๐ฅ
๐๐ฆโ ๐ฅ๐ฆ = 0
๐ฆ(โ1) = 1
Respuesta
Nombre estudiante que realiza el ejercicio: Ramiro Riveros Pรฉrez
PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESIรN
MATEMรTICA
RAZON O EXPLICACION
Despejemos dy/dx para verificar si es
homogรฉnea:
Se remplaza en la ecuaciรณn y=ay y x=ax
Luego, la ecuaciรณn diferencial es
homogรฉnea; dividimos entrex2:
Ahora:
Se deriva con respecto a:
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Se separa las variables:
Integrando:
Resolvemos:
Se remplaza en la integral:
Se reemplaza (**) en (*):
ln|1 + ๐ง2| = 2 ln|๐ฅ| + ๐ถ โ ln|1 + ๐ง2| = ๐๐|๐ฅ2| + ๐ถ
๐ln |1+๐ง2| = ๐ln|๐ฅ2|+๐ โ 1 + ๐ง2 = ๐๐๐ฅ2
1 + ๐ง2 = ๐ถ๐ฅ2
Entonces:
๐ง =๐ฆ
๐ฅ
1 + (๐ฆ
๐ฅ)
2
= ๐๐ฅ2
๐ฆ2
๐ฅ2= ๐๐ฅ2 โ 1
๐ฆ2 = ๐ฅ2(๐๐ฅ2 โ 1)
๐ฆ = ยฑ๐ฅโ๐๐ฅ2 โ 1
Reemplazamos y resolvemos:
1 = (1) โ๐(1)2 โ 1 1 = ๐ โ 1
๐ = 2
Hallando el valor de la contaste
๐ฆ = ๐ฅโ๐๐ฅ2 โ 1 Ecuaciรณn diferencial.
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Elizabeth Caballero Ramiro Riveros
Nelson Masmela Deyber Pinzon
EVALUACIรN Y ANรLISIS DE SOLUCIรN PLANTEADA
Enunciado 1:
Considere un gran tanque que contiene 1000L de agua, dentro del cual una
soluciรณn salada de salmuera empieza a fluir a una velocidad constante de 6 L/min. La soluciรณn dentro del tanque se mantiene bien agitada y fluye hacia el exterior del tanque a una velocidad de 6L/min. SI la concentraciรณn de sal en la salmuera que
entra en el tanque es de 1Kg/L, determine cuando serรก de 1/2kg/L la concentraciรณn de sal en el tanque. PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA
๐(0) = 1000๐ฟ
๐ถ๐ = ๐พ๐ ๐ฟโ (๐ถ๐๐๐๐๐๐ก๐๐๐๐รณ๐ ๐๐ ๐๐๐ก๐๐๐๐)
๐๐ธ = 6๐ฟ ๐๐๐โ (๐ ๐๐งรณ๐ ๐๐ ๐๐๐ก๐๐๐๐)
๐๐ = 6๐ฟ ๐๐๐โ (๐ ๐๐งรณ๐ ๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐)
๐ฅ(0) = ๐(๐ถ๐๐๐ก๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐ ๐๐๐๐ข๐๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐ก๐๐๐๐ข๐)
๐(๐ก) = 1 2โ ๐พ๐ ๐ฟโ
๐๐๐ข๐๐ข๐๐๐๐๐๐ = ๐๐๐(๐ก)
๐๐ก
Debido a que el volumen es constante el caudal de entrada y de salida es el mismo
๐๐๐ก๐๐๐๐ = ๐๐๐๐ = 6๐ฟ
๐๐๐ร 1
๐๐
๐ฟ= 6 ๐๐/๐๐๐
La salida de sal que sale por minuto seria
๐ ๐๐๐๐๐ = ๐๐ ๐(๐ก) = 6๐ฟ
๐๐๐ ๐(๐ก) = 6 ๐(๐ก) ๐๐/๐๐๐
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La fรณrmula general para hallar la cantidad de soluto en un tiempo nos quedarรญa.
๐๐
๐๐ก= ๐๐ธ . ๐ถ๐ โ ๐๐
๐(๐ก)
(๐๐ธ โ ๐๐ )๐ก + ๐0
Reemplazamos los valores conocidos
๐๐
๐๐ก= 6(1) โ
6๐(๐ก)
(6 โ 6)๐ก + 1000
Resolvemos
๐๐
๐๐ก= 6 โ
6๐(๐ก)
(0)๐ก + 1000
Quedarรญa la ecuaciรณn diferencial
๐๐
๐๐ก= 6 โ
6๐(๐ก)
1000
Organizamos dejando a Q de un lado de la ecuaciรณn
๐๐
๐๐ก+
6๐(๐ก)
1000= 6
Simplificamos
๐๐
๐๐ก+
3๐(๐ก)
500= 6
Utilizamos mรฉtodo de factor integrante
๐โซ1
500๐๐ฅ = ๐โซ
๐ก
500
Multiplicamos toda la ecuaciรณn por el factor integrante
๐๐ก
500 (๐๐
๐๐ก) + ๐
๐ก
500 (3๐
500) = ๐
๐ก
500 (6)
Derivamos
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๐
๐๐ก(๐
๐ก
500 ๐) = 6. ๐๐ก
500
Integramos con respecto a t ambos lados
(๐๐ก
500 ๐) = โซ 6. ๐๐ก
500 ๐๐ก
Resolvemos
(๐๐ก
500 ๐) = 6. ๐๐ก
500 (500) + ๐
Reescribimos
(๐๐ก
500 ๐) = 3000. ๐๐ก
500 + ๐
Multiplicamos a ambos lados por ๐โ๐ก
500
๐(๐ก) = 3000 + ๐. ๐โ๐ก
500
Reemplazamos los valores de ๐(0)๐ ๐ก(0)
๐(๐ก) = 3000 + ๐. ๐0
500
Hallamos el valor de c.
๐(0) = 3000 + ๐.1
0 = 3000 + ๐
๐ = โ3000
Reemplazamos el valor de c en la ecuaciรณn.
๐(๐ก) = 3000 โ 3000(๐โ๐ก
500 )
Hallamos el valor de t despejando la ecuaciรณn y sustituyendo los valores de ๐(๐ก)
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1
2= 3000 โ 3000 (๐
โ๐ก
500 )
Ahora t es
๐ก = โ500 ln (5999
6000) โ 0,083
RAZON O EXPLICACION
Respuesta: Cuando t valga 0,083 min, entonces en el tanque habrรก una
concentraciรณn de 1โ2 KgโL de sal.
De esta manera deducimos la ecuaciรณn diferencial
๐๐(๐ก)
๐๐ก=
6 โ 6๐(๐ก)
1000
๐โฒ = (1 โ ๐)3
500
1
1 โ ๐๐๐ =
3
500๐๐ก
โซ1
1 โ ๐๐๐ = โซ
3
500๐๐ก
โ ln(1 โ ๐) =3
500๐ก + ๐
๐โ ln(1โ๐) = ๐(
3
500๐ก+๐)
1 โ ๐ = ๐3
500๐ก๐๐
๐ = ๐โฒ๐โ
3
500๐ก
โ 1
๐(๐ก) = 1 โ ๐ โฒ๐โ3
500๐ก
๐โฒ = 0
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Porque ๐(0) = 0
Entonces
๐(๐ก) = 1 โ ๐โโ3
500๐ก
Como ๐(๐ก) =1
2
1
2= 1 โ ๐โโ
3
500๐ก
๐โ3
500๐ก =
1
2
โ3
500๐ก = ln
1
2
๐ก = โ500
3ln
1
2
๐ก = 115,52 ๐๐๐๐ข๐ก๐๐
Enunciado 2:
Un objeto de masa 3 Kg se libera desde el reposo a 500 m sobre el piso y se le permite caer bajo la influencia de la gravedad. Suponga que la fuerza gravitacional es constante, con ๐=9,81 ๐๐ 2 y que la fuerza debida a la resistencia del aire es
proporcional a la velocidad del objeto con constante de proporcionalidad ๐=3 ๐๐ ๐.
Determinar el momento en el que el objeto golpearรก el suelo.
Soluciรณn a evaluar:
Datos:
M=3kg
Reposo= 500 m
g=9,81 m/s2
b=3 Ns/m
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Al realizar el diagrama de fuerzas, nos damos cuenta que hay dos fuerzas
actuando sobre el objeto. Una fuerza constante debida al empuje hacia abajo de la
gravedad y una fuerza debida a la resistencia del aire que es proporcional a la
velocidad del objeto, actuando en forma opuesta al movimiento del objeto. Por lo
tanto, el movimiento del objeto se realizarรก a lo largo de un eje vertical.
Elegimos como origen el punto desde donde el objeto fue lanzado inicialmente. Definimos (๐ก) la distancia que ha caรญdo el objeto hasta el instante ๐ก.
Las fuerzas que actรบan sobre el objeto a lo largo de este eje son: El peso, ๐น1=๐=๐๐ donde ๐ es la aceleraciรณn de la gravedad.
Fuerza debida a la resistencia del aire, ๐น2=โ๐ (๐ก) con ๐>0
De esta manera, la fuerza neta ๐น que actรบa sobre el sistema es
๐ญ=๐๐+๐๐(๐)
Aplicando la segunda ley de Newton tenemos:
Al resolver la ecuaciรณn anterior por el mรฉtodo de variables separables, podemos
colegir que
Como
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(0)=๐ฃ0 , que es una de las condiciones iniciales del problema (cuando el tiempo es cero el objeto tiene una velocidad inicial), el valor de la constante ๐ se halla
reemplazando en la ecuaciรณn anterior ๐ก=0 ; ๐ฃ=๐ฃ0
De donde
Reemplazando la ecuaciรณn 2 en la ecuaciรณn 1 se deduce que la ecuaciรณn de la
velocidad
Como hemos considerado que ๐ฅ0=0 cuando ๐ก=0, determinamos la ecuaciรณn del
movimiento integrando (๐ก), respecto al tiempo.
Reemplazando por los valores iniciales ๐ฅ=0 ๐ ๐๐ก=0
De donde
Reemplazando la ecuaciรณn 4 en la ecuaciรณn 3 tenemos
De donde la ecuaciรณn del movimiento es
Utilizando este modelo con ๐ฃ0=0, ๐=3, ๐=3 ๐ฆ๐=9,81 y reemplazando en la
ecuaciรณn de movimiento, obtenemos
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Entonces
Como el objeto se libera a 500 m sobre el piso, podemos determinar el momento en que el objeto golpea el suelo haciendo (๐ก)=500, y despejando ๐ก. Asรญ,
escribimos
O lo que es lo mismo
Como esta รบltima ecuaciรณn no se puede resolver de manera explรญcita en tรฉrminos
de ๐ก. Podrรญa tratar de aproximarse ๐ก mediante el mรฉtodo de aproximaciรณn de
Newton, pero en este caso, no es necesario. Como ๐โ๐ก serรก muy pequeรฑo para ๐ก
cercano a 51,97 (๐โ51,97โ10โ22) simplemente ignoramos el tรฉrmino ๐โ๐ก y
obtenemos como aproximaciรณn ๐ก=49,968 ๐ ๐๐๐ข๐๐๐๐
๐น๐ = ๐น1 โ ๐น2
๐น๐ = ๐๐ โ ๐ ๐ฃ(๐ก)la formula el rozamiento es negativo ya que es contraรญa a la fuerza de
gravedad.
๐. ๐ = ๐๐ โ ๐ ๐ฃ(๐ก)
๐๐๐ฃ
๐๐ก= ๐๐ โ ๐ ๐ฃ(๐ก)el diferencial
๐๐ฅ
๐๐ก esta mal expresado porque la aceleraciรณn no debe ser en
funciรณn de la distancia sino de la velocidad.
1
๐(๐
๐๐ฃ
๐๐ก) =
1
๐(๐๐ โ ๐ ๐ฃ(๐ก))
๐๐ฃ = (๐ โ (๐ ๐ฃ(๐ก))/๐) ๐๐ก
๐๐ฃ/ (๐ โ ๐ ๐ฃ
๐) = ๐๐ก
Integramos
โซ1
(๐โ ๐ ๐ฃ
๐)
. ๐๐ฃ โ 1
๐โซ
1
(1โ ๐ ๐ฃ
๐.๐)
. ๐๐ฃ
๐ข = 1 โ (๐
๐๐๐ฃ)
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๐๐ข =๐
๐๐๐๐ฃ
โ๐๐
๐โซ
1
๐ข. ๐๐ข = ๐ โซ ๐๐ก โ ln (1 โ
๐
๐๐๐ฃ)= (
โ๐
๐) ๐ก + ๐ โ
โb
๐๐ก + ๐
1 โ๐
๐๐v = k ๐
โ๐
๐๐ก โ ๐ฃ =
๐๐
๐โ ๐
๐๐
๐๐
โ๐
๐๐ก
๐ฃ0 =๐๐
๐โ ๐
๐๐
๐= ,
Despejamos k
k = 1 โ๐
๐๐๐ฃ๐
๐ฃ =๐๐
๐โ ๐
๐๐
๐๐
โ๐
๐๐ก
X(t)= โซ ๐ฃ. ๐๐ก = โซ๐๐
๐๐๐ก โ
๐๐
๐๐๐ก โซ ๐
โ๐
๐๐ก
๐๐ก
๐ฅ =๐๐
๐๐ก โ
๐2
๐2๐ ๐
โ๐
๐๐ก
๐ฅ =๐๐
๐๐ก โ
๐2
๐2๐ ๐
โ๐
๐๐ก
๐ฅ = 9.8๐ก + 9.8 ๐โ๐ก
500
9.8= ๐ก + ๐โ๐ก
51.02 = ๐ก + ๐โ๐ก
El objeto golpeara el piso en 51.02 segundos
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CONCLUSIONES
Con el desarrollo del presente trabajo, estamos en condiciones de identificar el
mรฉtodo o caso que se debe utilizar para dar la soluciรณn general a una ecuaciรณn
diferencial de primero orden.
En la resoluciรณn del presente trabajo nos apropiamos de los conceptos bรกsicos y
terminologรญas de las ecuaciones diferenciales de primer orden, aplicando
diferentes casos en la resoluciรณn de los problemas analizando propiedades y
caracterรญsticas de una ecuaciรณn lineal.
Las ecuaciones diferenciales nos permiten solucionar ejercicios planteados en
todos los estudios de ingenierรญa y otras รกreas.
Se reconocieron los diferentes casos de soluciรณn de las ED de primer orden.
Se plantearon mรฉtodos situaciรณn y soluciรณn a ED de primer orden.
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BIBLIOGRAFIA
1. MANUAL EDITOR DE ECUACIONES, Microsoft Word, Universidad
tecnolรณgica de Chile, INACAP SEDE VIRTUAL, www.inacap.cl.
2. Garcรญa, A. (2014). Ecuaciones diferenciales. Larousse - Grupo Editorial
Patria. 2-30. Recuperado de:
http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docID=11
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3. Alonso, A., รlvarez, J. Calzada, J. (2008). Ecuaciones diferenciales
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Delta Publicaciones. 1-4. Recuperado de:
http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/id/10876923.
4. Mesa, F. (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias: una introducciรณn.
Colombia: Ecoe Ediciones. 1-18. Recuperado de:
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