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TRABAJO COLABORATIVO FASE 1

CALCULO INTEGRAL

EDGAR FUENTES PEREZ

CODIGO: 18.264.064

JAIR SANABRIA RINCON

CODIGO: 1.120.569.152

LUIS ALEXANDER CIRO JIMENEZ

CÓDIGO: 9.865.775

ALEXIS JOSE FLORIAN

TUTOR:

RODOLFO LOPEZ GARIBELLO

GRUPO: 100411_62

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD)

ABRIL DE 2016

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INTRODUCCIÓN

Este es el trabajo colaborativo de la fase 1 del Curso Calculo Integral que tiene como finenfocarnos en los primeros principios de la integración, además de enseñarnos a utilizar el procedimiento como el del teorema fundamental del cálculo. Aunque primordialmente eltrabajo es sobre la realización de situaciones problemas solucionando integrales indefinidasy definida, aplicando las distintas propiedades que poseen. Haciendo énfasis en temasaplicados en diferentes ciencias y que se presentan en la actualidad como una posibilidad para aproximarse a la ingeniería.

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Desarrollo de la actividad

Hallar la solución de las siguientes integrales paso a paso, teniendo en cuenta las propiedadesde las integrales indefinidas, las cuales son consecuencia de las aplicadas en la diferenciación.

1.  ∫ +−    SOLUCIÓN:

   2   = 2  

  = || 

 2 = 2 2   || 2 

2   2  || RTA:     ||  

2.  ∫    SOLUCIÓN:

  1√   

−

 

−+ 12 1  

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−+ 12 1  

2 tan 

RTA:    

3.  ∫ +√     

SOLUCIÓN:

95

  6

   1√   

 

95 6   1√      95 Sacar constante: 9 ∫  Aplicar la regla de la potencia: 9 +  Simplificar:

 

6 Sacar constante 6 ∫  

6 +23 1 Simplificar

 

  1√     

− Regla de potencia

−+  Simplificar:

 

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RTA:        

4.

∫

 

Por medio de las identidades trigonométricas

tan =   = 1  

Reemplazando

=

 

Descomponiendo la potencia del numerador

.    Usando

,    Por el método de sustitución de variables = → =  

=    Reemplazando en términos de u

1

   

Separando las integrales

 1 1   −2  ||  

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Volviendo a la variable original

12  ||  RTA:

||  

El conjunto de todas las antiderivadas de   se llama integral indefinidad de f respecto ax, y se denota por el símbolo ∫  = . Resolver las siguientes integralesindefinidas:

  Solución Ejercicio N.5.

  √ 

√     

Ahora procedemos a realizar un cambio de variable de la siguiente manera: = 2 9√   Ahora derivamos con respecto a  

 =  2 9   = 93 − =   3√  

 =  3√  

Ahora despejamos el diferencial   √   3   =  Ahora remplazamos los valores hallados en la integral original:

  √ √   √   3    

Simplificamos y resolvemos la integral:

√ 3   = 13 = 13 +12 1 = 29   = 2√9    

Ahora solo resta reestablecer la variable inicial:

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2√9   = 2 ( 2 9 √    )9    

Por tanto:

  √ √    =  ( √    )    

6.

  √ 3  

Se aplicara la sustitucion,

=   = 2 Reemplazando,

12

  1√ 3

 

Sacando el numero 3 de la raiz,

12   1√ 3 1 3  

Sacando las constantes de la integral

12√ 3   1 1 3  

Para la solucion de la integral, se sustituira

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=   √ 3   =   1√ 3

Reemplazando e integrando,

12   √ 1  = 12 sin−  Reemplazando: s=

√  

1

2sin−  

√ 3  

Reemplazando =  12 sin− √ 3  

7. ∫  SOLUCIÓN

4 3 4 32    Sacar la constante

∫ 4 3 4 3 Aplicar la regla de suma:

∫ 4 3 ∫ 4 3 

4 3 = 17 cos7 sin4 3 = cos 

12 17 cos7 cos 

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Constante a la solución:  

8.

∫

+  

 

SOLUCIÓN:

  1 =   11  

 Un teorema generalmente posee un número de premisas que deben ser enumeradas oaclaradas de antemano. Luego existe una conclusión, una afirmación lógica o matemática, lacual es verdadera bajo las condiciones dadas. El contenido informativo del teorema es larelación que existe entre las hipótesis y la tesis o conclusión.

9. Hallar el valor medio de la función () =√+ en el intervalo [0, 3].El valor medio es:

. =   1  

. =   13 0    16    

Para resolver, se realiza sustitución simple =   16 = 2  

= 12 √  =   22 ∗ 3 / = /3  

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Reemplazando =   16

= 

  16/

3 

Retomando el valor medio

. =   13 0   16/3   30 . = 1

3∗ 61

3  = 61

9 

10. Si se supone que la población mundial actual es de 7 mil millones y que la poblacióndentro de t años está dada por la ley de crecimiento exponencial ()=.. Encuentre,la población promedio de la tierra en los próximos 30 años.

SOLUCION

 = . Como la población en = 0 es 70 = .∗ = 7 

∗ 1 = 7  = 7 

Luego

 = 7. Para hallar la población promedio dentro de 30 años, se realiza lo siguiente:

̅ =   1  ̅ =   13 0 0 7.  

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̅ =   730 .  Haciendo una sustitución simple

= 0.023 → = 0.023 →   0.023 =  Cuando = 0 → = 0 

= 30 → = 0.023 ∗ 30 = 0.69 Reemplazando:

̅ =   730∗0.023 .  

̅ =   70.69 0.690   =   70.69 .    70.69  ̅ =   70.69 .    70.69  ̅ =   70.69 .    70.69 

 = , 

La población promedio de la tierra en los próximos 30 años es de unos 10,081  mil millonesaproximadamente.

11. si  = ∫   cos . Determinar  =   ∫   cos    

Primero se integra,

c o s   = sin 1  = sin  sin 1 

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Ahora se deriva, sin  sin 1 = 3 cos Entonces,

 = 3 cos 12. Aplicar el segundo teorema fundamental del cálculo para resolver:

sin2   cos2  

Resolviendo,

Aplicando sustitución simple

= 2 = 2 Reemplazando,

12 sin   cosPor sustitución simple,

= sin = cos  Reemplazando, 12   = 12 ∗ 4   = 8  Reemplazando = sin 

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8   =

 sin 8

 

Reemplazando = 2 sin8   = sin28  

Entonces,

sin2   cos2   = sin28   40 

= sin 2 ∗ 4

8   sin08  

= 18

 

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CONCLUSIONES

 

Las integrales son una herramienta que abarca múltiples áreas del conocimientohumano y que busca la simplificación entre cálculos y soluciones.

  El uso de los conocimientos del cálculo pretende que la persona use de maneraeficiente y eficaz los conocimientos teóricos en la práctica para la realización de usosobjetivos.

 

A través de dicha actividad también se lograron adquirir nuevas habilidades, destrezasy conocimientos que fortalecen el proceso de aprendizaje.

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REFERENCIAS

 

Rodríguez, A. (2015, noviembre, 23). Fundamentos de integración. [Video].Recuperado de http://datateca.unad.edu.co/contenidos/100411/Calculo_integral100411_version_AVA/Video_tutoriales/Fundamentos_de_integracion.mp4 

  Rodríguez, A. (23 de Noviembre de 2015). http://datateca.unad.edu.co/Fundamentos de integración. Obtenido de http://datateca.unad.edu.co/:http://datateca.unad.edu.co/contenidos/100411/Calculo_integral- 100411_version_AVA/Video_tutoriales/Fundamentos_de_integracion.mp4.Rondon, J. (2010). Modulo Calculo Integral. Bogota.

http://datateca.unad.edu.co/contenidos/100411/Calculo_integral%20100411_version_AVA/Video_tutoriales/Fundamentos_de_integracion.mp4http://datateca.unad.edu.co/contenidos/100411/Calculo_integral%20100411_version_AVA/Video_tutoriales/Fundamentos_de_integracion.mp4http://datateca.unad.edu.co/contenidos/100411/Calculo_integral%20100411_version_AVA/Video_tutoriales/Fundamentos_de_integracion.mp4http://datateca.unad.edu.co/contenidos/100411/Calculo_integral%20100411_version_AVA/Video_tutoriales/Fundamentos_de_integracion.mp4http://datateca.unad.edu.co/contenidos/100411/Calculo_integral-http://datateca.unad.edu.co/contenidos/100411/Calculo_integral-http://datateca.unad.edu.co/contenidos/100411/Calculo_integral-http://datateca.unad.edu.co/contenidos/100411/Calculo_integral%20100411_version_AVA/Video_tutoriales/Fundamentos_de_integracion.mp4http://datateca.unad.edu.co/contenidos/100411/Calculo_integral%20100411_version_AVA/Video_tutoriales/Fundamentos_de_integracion.mp4