100411_10_trabajo_fase_3
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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
TRABAJO COLABORATIVO FASE 3
CALCULO INTEGRAL
TUTOR:
NELSON HUMBERTO ZAMBRANO CORTES
CAROLINA UNDA MOTTA COD 1.033.691.699
VIVIANA CAROLINA VARGAS JIMENEZ COD 1.035.859.18
ROSA MELINA MURILLO COD 1.051.316.318
GRU!O 100"11#10
DICIEMBRE 01"
BOGOT$ D.C.
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INTRODUCCION
C%& '()* *+),-,* */,+*'2%( ' +%&%+,2,'&)% *4,,% /** I&)'*'( ',&,*(7 ,&',&,*(7 A&),',-**( *4&%( )'%'2*( '& * (%4+,& ' %( ''+,+,%( /%/4'()%(. I4*2'&)'7 */'&''2%( *)*;** '& '4,/% * %2'&)* ' */'&,+4% I&)'* '( * *2* ' *( M*)'2>),+*( 24 4),,),+% !*&,,+*%7 /** /%' +42/, ' /%+'(% 4&*2'&)* '7 )@+&,+*( 4' /'2,)'& (%4+,%&* /%;'2*( ' '()%( +*2/%(. !% '%7 *,&)'*+,& '( &'+'(*,* /** %)*( >'*( 2*)'2>),+*( 2>( *-*&
-
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1. Hallar el área que hay entre las gráficas de f ( x )= x2+2 y g ( x )=1− x entre x=0 y
x=1 .
!** ** ' >'* (%2;'** '& * ,4* (' *+' % (,4,'&)':
A=∫a
b
[ f ( x )−g( x )]dx
A=∫0
1
[ x2+2−(1− x )]dx
A=∫0
1
[ x2+2−1+ x ]dx
A=∫0
1
[ x2+ x+1]dx
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A= x
3
3+
x2
2+ x|10=13+ 12 +1−0−0−0=116 unidadescuadradas
2. Hallar el área de la región limitada por las gráficas de f ( x )=( x−1)2
y g ( x )=− x+3
!,2'% ')'2,&*2%( %( /4&)%( ' ,&)'('++,& /** ')'2,&* %( ?2,)'( ' * ,&)'* ' *(,4,'&)' 2*&'*:
( x−1)2=− x+3
x2−2 x+1=− x+3
x2−2 x+1+ x−3=0
x2− x−2=0
U(*&% * %24* +4*>),+*:
-
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x1,2=−b ±√ b2−4ac
2a
x1=1+√ 1+4∗2
2=
1+√ 92
=1+32
=2
x2=1−√ 1+4∗2
2=
1−√ 92
=1−32
=−1
A%* /** ')'2,&* ' >'* )'&'2%(:
A=∫a
b
[g ( x )−f ( x )]dx
A=∫−1
2
[− x+3−( x−1)2]dx
A=∫−1
2
[− x+3−( x2−2 x+1)]dx
¿
A=∫−1
2
¿ dx¿
¿
A=∫−1
2
¿ dx¿
A=− x3
3+
x2
2+2 x| 2−1=−2
3
3+22
2+2∗2−(−(−1 )
3
3+12
2+2 (−1 ))=92
A=9
2unidadescuadradas
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3. Hallar el área de superficie lateral del sólido que se obtiene al rotar la gráfica de y=2√ x
entre x=3 y x=8 alrededor del eje x.
S%4+,&:
+%2%(*;'2%( /**** '>'* '4&*(4/',+,''
'-%4+,& * ')'2,&*2%( ' * (,4,'&)' 2*&'*:
S=2 π ∫a
b
f ( x )√ 1+[ f ' ( x ) ]2 dx
!% )*&)% /** '()' ''+,+,% (' ),'&':
S=2 π ∫3
8
2√ x√ 1+[1/√ x]2
dx
S=2 π ∫3
8
2√ x√1+ 1 x dx
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S=2 π ∫3
8
2√ x√ x+1 x dx
S=2 π
∫3
8
2√ x
√ x √ x+1dx
S=2 π ∫3
8
2√ x+1dx
H*+,'&% (4(),)4+,& (,2/' (' ),'&':
u= x+1→ du=dx
∫2√ x+1dx=∫2√ u du= 2u1
2+1
1
2+1
=4
3 u
3/2
V%-,'&% * * ,&)'* -*,*;' %,,&* )'&'2%(:
S=2 π ∫3
8
2√ x+1dx=2π [ 43 ( x+1 )3
2 ]|83=2π [ 43 (8+1)3
2− 4
3(3+1 )
3
2 ]S=
152π
3=159,17 unidades cuadradas
4. Hallar la longitud de y= x
3
6+ 1
2 x entre x=1 y x=3
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S%4+,&
A +%&(,'* 4&* +4-* ',&,* /% 4&* 4&+,& (4 '(/'+),-* ',-** 4' (%&+%&),&4*( '& 4& ,&)'-*% *7 ;7 * %&,)4 L ' *+% ',2,)*% /% * ; '( ** /% * '+4*+,&:
L=∫a
b
√ 1+[ f ' ( x ) ]2
dx
!% )*&)% (' %;),'&' * ',-** ' * 4&+,&:
y= x
3
6+ 1
2 x
y' =
x2
2−
1
2 x2
R''2/*
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. !a región limitada por las graficas
∫0
2
[ f ( x )]2−[g ( x )]2 dx=∫0
2
( x)2−(0,5 x2)2 dx
x
(¿¿2−0,25 x4)dx
∫0
2
[f ( x )]2−[g ( x)]2 dx=∫0
2
¿
∫0
2
[ f ( x)]2−[g ( x)]2 dx=| x33 −
1
4∗ x5
5 |
0
2
∫0
2
[ f ( x )]2−[g ( x )]
2dx=
| x
3
3−
x5
20
|0
2
∫0
2
[ f ( x )]2−[g ( x )]2 dx=|( 23
3− 2
5
20 )−(03
3− 0
5
20)|
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∫0
2
[ f ( x )]2−[g ( x)]2 dx=|( 83−3220 )−( 03− 020 )|
∫0
2
[ f ( x )]2−[g ( x ) ]2 dx=|( 83−85 )−(0−0)|
∫0
2
[f ( x )]2−[g ( x )]2 dx=|( 40−2415 )−(0)|
∫0
2
[ f ( x )]2−[g ( x )]2 dx=|( 1615 )−0|
∫0
2
[ f ( x )]2−[g ( x )]2 dx=16
15
". !a región limitada por las gráficas de
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(1+ x)¿
x−1¿¿2¿¿¿
∫0
3
[f ( x )]2−[g ( x)]2 dx=∫0
3
¿
(1+ x)2−( x−1)4
[¿ ]dx
∫0
3
[ f ( x )]2−[g ( x )]2 dx=∫0
3
¿
∫0
3
[ f ( x )]2−[g ( x )]2 dx=
∫0
3
[(1+2 x+ x2)−( x4+6 x3+4 x2+1)]dx
∫0
3
[ f ( x )]2−[g ( x )]2 dx=∫0
3
(1+2 x+ x2− x4−6 x3−4 x2−1)dx
∫0
3
[ f ( x )]2−[g ( x )]2 dx=∫0
3
(2 x−3 x2−6 x3− x4)dx
∫0
3
[ f ( x )]2−[g ( x )]
2dx=
| x
2− x3−3 x
4
2
− x
5
5
|0
3
∫0
3
[ f ( x )]2−[g ( x )]2 dx=|(32−33−3∗34
2−
35
5 )−(02−03−3∗04
2−
05
5 )|
∫0
3
[ f ( x )]2−[g ( x )]2 dx=|(9−27−2432 −2435 )−(0−0−02−05 )|
∫0
3
[ f ( x )]2−[g ( x )]2 dx=
|(−18−
243
2
−243
5
)−(0−0−0−0 )
|∫0
3
[ f ( x )]2−[g ( x )]2 dx=|(−180+1215+48610 )−(0 )|
-
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∫0
3
[ f ( x)]2−[g ( x )]2 dx=|(−188110 )−0|
∫0
3
[ f ( x )]2−[g ( x )]2 dx=−1881
10
#. Hallar el centroide de la región limitada por la gráfica de y= x2
el eje x y la recta x$2
S%4+,&
-
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A=∫0
2
x2
dx= x
3
3 |20=23
3−
03
3=
8
3
C ex= 1
A∫0
2
x [ x2]dx=3
8∫0
2
x3
dx=3
8∙ x
4
4 |20=38 ∙ 24
4=
3
2
C ey= 1
A∫0
2
x2
2dx=
3
8∫0
2
x2
2dx=
3
8∙ x
3
6 |20=38 ∙ 23
6=
1
2
L4'% ' +'&)%,' (' '&+4'&)* '& 371.
%. Hallar el centro de masa &'e( de un objeto cuya función densidad es) ρ= x6 +2 para
0≤ x ≤6
S%4+,&
C e=∫
a
b
x ρ ( x ) dx
∫a
b
ρ ( x ) dx
S%4+,%&*&% +** ,&)'*:
∫a
b
x ρ ( x ) dx=∫0
6
x ( x6 +2)dx= x3
6∗3+2 x
2
2 |60= x3
18+ x2|60
∫a
b
x ρ ( x ) dx= 6
3
18+62−0−0=48
∫a
b
ρ ( x )dx=∫0
6
( x6 +2)dx= x2
6∗2+2 x|60= 6
2
12+2∗6−0−0=15
!% )*&)%
-
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C e= 48
15=16
5
*. +n objeto se empuja en el plano desde x=0 hasta x=10 , pero debido al -iento la fuera
que debe aplicarse en el punto x es) F ( x )=3 x2− x+10 /'uál es el trabajo realiado al recorrer
esta distancia0 specificar el trabajo en ulios.
w ( x)=∫0
10
(3 x2− x+10)dx
w ( x )= x3− x
2
2+10 x|100 =103−10
2
2+1010−0+0−0
w ( x)=1050 J
1. U& '(%)' ),'&' 4&* %&,)4 &*)4* ' 8 /4**(. S, 4&* 4'
-
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11. D**( *( 4&+,%&'( '2*&* ! ( x )=50− x
2
2 %')* S x) 6 x, ' '+''&)' '
+%&(42,% '& ' /4&)% ' '4,,;,% '(:
50− x
2
2=26+ x
100− x2=52+2 x
x2+2 x−48=0
( x+8 ) ( x−6 )
x "=8 y "=(8+26 )=34
#=(8,34)
12. H** ' E+''&)' ' !%4+)% E!7 ' E+''&)' ' +%&(42,% EC ' !4&)% ' E4,,;,%
!E ' S= x y ! ( x )=
− x3 +4
#"=s ( x )= ! ( x )
x=− x3
+4 x+ x3
=4
4 x
3=4 x=
12
4
"C =∫0
3
(−33 +4)dx−(3)(3)
∫0
3
(− x3 +4)dx−9
-
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"C =(− x2
6+4 x )∫
0
3
−9=( 32
6+4 (3 ))−9
"C =
(
−3
2
+12
)−9=
21
2
−9=3
2
"#=(3 ) (3 )−∫0
3
xdx 9−∫0
3
xdx
"#=9−( x2
2 )∫0
3
xdx9−∫0
3
( 32
2 )−2
"#=9−9
2 "#=9
2=4.5
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
E4+*),&*. 01 ' ';'% ' 01. A/,+*+,& ' ,&)'*: +>+4% ' >'*( *&>,(,( 2*)'2>),+%.V,'%. D,(/%&,;' '& ))/:.%4)4;'.+%2*)+-J0ITPP8E
http://www.youtube.com/watch?v=J0QhITKrK8Ehttp://www.youtube.com/watch?v=J0QhITKrK8E
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T*'*( !4(. 8 ' *%()% ' 01. V%42'& ' (,%( * ,&)'* ',&,* +%&+'/)%(. -,'%.D,(/%&,;' '& ))/:.%4)4;'.+%2*)+-3C*PQ5J6U
T*'*( !4(. 9 ' *%()% ' 01. V%42'& ' 4& (,% ' '-%4+,& ''2/% 1. -,'%.D,(/%&,;' '& ))/:.%4)4;'.+%2*)+-4Y&GG3I*MI
A**7 J. 6 ' ';'% ' 013. A/,+*+,& ' * ,&)'* * * ?(,+* )*;*% 2'+>&,+%. -,'%.
D,(/%&,;' '& ))/:.%4)4;'.+%2*)+-4-DU8R0D'*%7 R. 0" ' &%-,'2;' ' 01. I&)'* */,+** * * '+%&%2?*. -,'%. D,(/%&,;' '&))/:.%4)4;'.+%2*)+-5I(C56C5A
R4,