UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y DISTANCIA

TRABAJO DE RECONOCIMIENTO GENERAL Y DE ACTORES

WILMAR DUEÑAS MARTINEZ

LEIDY MARCELA CALIXTO

1.053.584.894

JUAN PABLO CAMARGO

1053610051

ANDREW MASAMI ASAKURA GARCÍA

1053605825

CÁLCULO DIFERENCIAL

CODIGO: 332571

Abril 20 de 2012

JOHN ALVARO MUNAR

INTRODUCCIÓN

Durante el desarrollo de este aporte para el trabajo colaborativo, se enfatizaron con

gran intensidad los concepto de sucesiones, siendo estas las artífices en la resolución

de nuestras actividades a desarrollar.

Se mostrará en forma integral y convencional a continuación las fases de las

actividades realizadas, conjuntamente se mostrara las explicaciones de cada uno de

los desarrollo, como también ciertos detalles que se tuvieron en cuenta para su ágil

desarrollo. Se trabajó exclusivamente con editor de ecuaciones para garantizar la

muestra de los ejercicios desarrollados más notablemente.

DESARROLLO DE ACTIVIDADES

Fase 1:

1. Hallar los 5 primeros términos de las siguientes sucesiones, ¿La sucesión es

creciente o decreciente? ¿Por qué?

a) U n¿¿ = { n2

1+n }n>3

Reemplazamos los valores n: n=4, n=5, n=6, n=7 ,n=8; no se toma n=3 porque la

condición no la está tomando.

U n¿¿ = {16

5,256,367,

498,649 }

Sucesión creciente porque cada término de la sucesión es mayor que el anterior.

b) U n¿¿ = { 1

1−n2 }n≥2

Reemplazamos los valores n: n=2, n=3, n=4, n=5, n=6; se toma n=2 porque la

condición lo permite.

U n¿¿ = {−1

3,−1

8,− 1

15,− 1

24,− 1

35 }Sucesión creciente porque cada término de la sucesión es mayor que el anterior.

c) U n¿¿ = { 1

n2 }n≥1

Reemplazamos los valores n: n=1, n=2, n=3, n=4, n=5; se toma n=1 porque la

condición lo permite.

U n¿¿ = {1 , 14 , 1

9,

116,

125 }

Sucesión decreciente porque cada término de la sucesión es menor que el

anterior.

2. Halle los términos de las siguientes sucesiones y de termine si ¿la sucesión es

creciente o decreciente? ¿Por qué?, ¿Es monótona o no? ¿Por qué?

a) U n¿¿ = { n

3n – 1 }1<n≤6

Reemplazamos los valores n: 1<2≤6, 1<3≤6, 1<4≤5, 1<5≤6, 1<6≤6; no se toma n=1

porque la condición no la está tomando.

U n¿¿ = {2

5,38,

411,

514,

617 }

Sucesión monótona decreciente porque cada término de la sucesión es menor

que el anterior.

b) U n¿¿ = {3n – 1

n }1≤n<5

Reemplazamos los valores n: 1≤1<5, 1≤2<5, 1≤3<5, 1≤4<5; no se toma n=5 porque

la condición no la está tomando.

U n¿¿ = {2 , 52 , 8

3,

114 }

Sucesión monótona creciente porque cada término de la sucesión es mayor que

el anterior.

c) U n¿¿ = {1+n

n2 }1<n<7

Reemplazamos los valores n: 1<2<7, 1<3<7, 1<4<7, 1<5<7, 1<6<7; no se toman los

valores n=1 y n=7 porque la condición no los está tomando.

U n¿¿ = {3

4,49,

516,

625,

736 }

Sucesión monótona decreciente porque cada término de la sucesión es mayor

que el anterior.

3. Hallar, si las tiene, las cotas superior e inferior de las siguientes sucesiones,

decir si es convergente o divergente, creciente o decreciente:

a) U n¿¿ = {n2– 1

n –2 }n> 4

Reemplazamos los valores n: n=5, n=6, n=7, n=10, n=20, n=50, n=100; no se toma

n=4 porque la condición no lo toma.

U n¿¿ = {8 , 35

4,485,

998,39918

,249948

,9999

98,…}

Sucesión monótona creciente, cada término de la sucesión es mayor que el anterior.

Sucesión divergente porque no se acerca a ningún valor determinado.

Acotada inferiormente en 8

No tiene acota superior

b) U n¿¿ = { 3n2−1

3n−6n2 }n≥ 1

Reemplazamos los valores n: n=1, n=2, n=3, n=4, n=10, n=1000.

U n¿¿ = {−2

3,−11

18,−26

45,−47

84,−299

570,−2999999

5997000 }Sucesión monótona creciente, cada término de la sucesión es mayor que el anterior.

Sucesión convergente porque se acerca a -0,5.

Acotada inferiormente en -2/3

Acotada superiormente en -0,5

c) U n¿¿ = {3n2−1

n2 }n>3

Reemplazamos los valores n: n=4, n=5, n=6, n=10, n=100, n=1000; no se toma n=3

porque la condición no lo toma

U n¿¿ = {47

16,7425,10736

,299100

,2999910000

,29999991000000

,…}Sucesión monótona creciente, cada término de la sucesión es mayor que el anterior.

Sucesión convergente porque se acerca a 3.

Acotada inferiormente en 47/16

Acotada superiormente en 3

Fase 2

8. Un embalse tiene el primer día del mes septiembre 200.000 litros de agua y

recibe durante el mes, todos los días 3.000 litros de agua. ¿Cuántos litros

de agua tendrá el día 20?

Datos:

a1=200.000 litrosde aguaque inicia

n=20días que transcurriran

d=3litros deaguaque será ladiferencia común por día

an=X cantidad de litros deaguaal día20

an=a1+(n−1 )d

an=200.000+(20−1 )3

an=200.000+(19 ) 3

an=200.000+57

an=200.057

RTA = Para el día 20 el embalse tendrá 200.057 litros de agua.

9. Una empresa le ofrece en alquiler a un ingeniero contratista una

retroexcavadora así: debe pagar $10.000 el primer día, $20.000 el segundo día,

$30.000 el tercer día, $40.000 el cuarto día y así sucesivamente.

Éste a su vez ofrece trabajar para la empresa a cambio del pago del alquiler, así:

$1 el primer día, $2 el segundo día, $4 el tercer día, $8 el cuarto día y así

sucesivamente. Llegan a un acuerdo por 12 días. ¿Para quién y cuánta ganancia

genera el negocio?

Datos: Alquiler

a1=$10.000 seinicia

n=12díasque transcurriran

d=$10.000 serála diferenciacomún por día

an=X valor del alquier a los12días

an=a1+(n−1 )d

an=10.000+(12−1 )10.000

an=10.000+(11 )10.000

an=10.000+110.000

an=120.000

Datos: Trabajo en la empresa

a1=$1 se inicia

n=12díasque transcurriran

r=$2 serála diferenciacomún por día

an=X valor del alquier a los12días

an=a1 r(n−1 )

an=(1 ) (2 )(12−1)

an=(1 ) (2 )(11 )

an=(1 ) (2048 )

an=2.048

RTA = El ingeniero por laborar genera ganancias por &2.048 en los 12 días.

FASE 3

10. El primer día del mes una persona saca de su cuenta de ahorros

$120.000, los siguientes días $10.000 menos que el anterior. Al cabo de 10 días ha

acabado con su dinero. ¿Cuánto tenía inicialmente en su cuenta?

Datos

a1=$120.000 se inicia retirando

n=9días que transcurriran

d=−$10.000 serála diferenciacomún pordía

an=10.000

an=a1+(n−1 )d

an=120.000+(10−1 ) (−10.000 )

an=120.000+(9 ) (−10.000 )

an=120.000−90.000

an=30.000

sn=( a1+an2 )n

sn=( 120.000+30.0002 )10

sn=( 150.0002 )10

sn= (75.000 ) (10 )

sn=750.000

RTA = La persona tenía inicialmente en la cuenta de ahorros $750.000.

11. A Isabel y a Santiago a las 8 de la mañana les han contado un secreto con la

advertencia que no se lo contaran a nadie. Cada uno de ellos, al cuarto de hora,

se lo contaron solamente a tres amigos suyos, por supuesto, de toda confianza,

que no lo sabían y que, un cuarto de hora después, se lo contaron a otros tres

amigos. Éstos a su vez, lo vuelven a contar a otros tres amigos. Y así

sucesivamente cada cuarto de hora. ¿Cuánta gente lo sabrá a las 9 a. m.?

Datos

2a1=Se inicia con2 personas ,3cadauna .

r=3 personas

Cuartos dehora=1 X 4=4 ;n=4

an=a1 r(n−1 )

an=(2.3 ) (34−1)

an=(6 ) (3 )( 3)

an=(6 ) (27 )

an=162

RTA: Para las 9 am ya lo sabía 162 personas.

12. Entre Bogotá e Ibagué hay aproximadamente 165 kilómetros. Dos

caminantes parten cada uno de una ciudad hacia la otra. ¿A los cuántos

días se encuentran si el que va de Ibagué a Bogotá camina 1 km el primer día, 2

km el segundo día, 3 km el tercer día y así sucesivamente, el otro en sentido

contrario, es decir Bogotá – Ibagué, camina 20 km el primer día, 18 km el

segundo día, 16 km el tercer día y así sucesivamente?, ¿Cuántos kilómetros

recorre cada uno?

Datos – Ibagué - Bogotá

a1=1km que inicia

n=X días que transcurren

d=1km será la diferenciacomún por día

an=X distancia recorrida

an=a1+(n−1 )d

an=1+(n−1 )d

an=1+n−1

an=n

El valor de an queda indicado equivaliendo a n, seguiremos desarrollando a partir de

la otra fórmula.

sn=( 1+n2 )n

sn=(1+n )n

2

Tendremos los siguientes ejercicios.

sn=( 1+n2 )n

sn=( 1+102 )10

sn=( 112 )1

sn= (5,5 ) (10 )

sn=55

Quedando la fórmula para la suma de progresiones aritméticas. Dejamos estos

resultados indicados y seguimos desarrollando la otra parte de la tesis del problema.

Datos – Bogotá - Ibagué

a1=20km

n=X días que transcurren

d=−2km serála diferenciacomún por día

an=2km

En esta parte del problema nos dice que la persona empieza caminando con 20 km y

cada

día así sucesivamente va reduciendo de 2 en 2, por lo tanto se concluye que el último

día recorrerá 2 km.

an=a1+(n−1 )d

an=20+(n−1 ) (−2 )

2n=20−2+2

n=10

Ahora debemos tener en cuenta para la llegada el vehículo que ira a pesar y pasar de

por la colinas del recorrido; tenemos la siguiente formula.

sn=( 1+n2 )n

sn=( 20+102 )10

sn=( 2212 )1

sn=55 M

Como tenemos 2 resultados, el primer dato averiguado de arriba hace parte de la

distancia que ha recorrido la persona de Ibagué a Bogotá.

Rta: el primer resultado es para compartir un espacio especial para amaña

El segundo resultado hace parte de la distancia recorrida Bogotá e Ibagué.

55 Km para Ibagué - Bogotá y 110 Km para Bogotá.

13. Halla la suma de los números pares: 2, 4, 6,…….100.

Primero debemos hallar la cantidad “n” de números pares comprendidos entre 2 y

100. Entonces hallamos “n” con la fórmula del término general de una progresión

aritmética: an=a1+(n−1 )d

Conocemos el dato a1 = 2 por ser el primer término; an = 100 por ser el ultimo

término;

d = 2 por ser la diferencia común par.

an=a1+(n−1 )d

100=2+ (n−1 )2

100−2=(n−1 )2

98=(n−1 )2

49=n−1

n=50

Ahora proseguimos a averiguar la suma de los cincuenta primeros números pares con

la siguiente formula:

sn=( a1+an2 )n

sn=( 2+1002 )50

sn=( 1022 )50

sn= (51 ) (50 )

sn=2550

RTA = La suma de los números pares comprendidos entre 2 y 100 es 2550.

14. Halla la suma de todos los números impares de 2 cifras.

Primero debemos hallar la cantidad “n” de números impares de dos cifras

comprendidos entre 11 y 99. Entonces hallamos “n” con la fórmula del término

general de una progresión aritmética: an=a1+(n−1 )d

Conocemos el dato a1 = 11 por ser el primer término; an = 99 por ser el ultimo

término;

d = 2 por ser la diferencia común impar.

an=a1+(n−1 )d

99=11+(n−1 ) 2

99−11= (n−1 ) 2

88=(n−1 )2

44=n−1

n=45

Ahora proseguimos a averiguar la suma de los cuarenta y cinco primeros números

impares de dos cifras con la siguiente fórmula:

sn=( a1+an2 )n

sn=( 11+992 )45

sn=( 1102 )45

sn= (55 ) ( 45 )

sn=2475

RTA = La suma de los números impares de dos cifras es 2475.

15. ¿Cuántos números impares consecutivos a partir de 1 es preciso tomar para

que su suma sea igual a 1521?

Primero debemos hallar la cantidad “an” correspondiente al último término para

sucesión. Utilizaremos la fórmula del término general de una progresión aritmética:

an=a1+(n−1 )d

Conocemos el dato a1 = 1 y d = 2 por ser la diferencia común impar proseguimos a

desarrollar.

an=a1+(n−1 )d

an=1+(n−1 )2

an=1+2n−2

an=2n−1

La respuesta quedara en forma algebraica ya que no tenemos más datos para su

solución; por es emplearemos una de las propiedades de la ecuaciones lineales para

despejar el valor de “n” que en esto momentos lo tenemos de incógnita. Vamos a

sustituir el valor dado de an en la otra fórmula de progresión aritmética.

sn=( a1+an2 )n

Siendo an=2n−1, entonces:

sn={a1+(2n−1 )2 }n

Ahora proseguimos con el desarrollo de la ecuación para despejar nuestra incógnita

“n”

1521={1+ (2n−1 )2 }n

1521={1+2n−12 }n

1521={2n2 }n

1521= (n ) (n )

1521=n2

n=39

Tenemos del desarrollo de la ecuación da como resultado que la cantidad de números

impares consecutivos necesarios para que su suma de 1521 es = 39; realizaremos la

verificación con la siguiente prueba:

an=a1+(n−1 )d

an=1+(39−1 )2

an=1+78−2

an=77

Tenemos que an = 77; que sería el último término de la sucesión; entonces seguimos

comprobando los datos obtenidos.

sn=( a1+an2 )n

1521=( 1+772 )39

1521=( 782 )39

1521= (39 ) (39 )

1521=1521

RTA = La cantidad de números impares consecutivos necesarios para que la

suma de 1521 es 39.

CONCLUSIONES

Se realizó en base a las exigencias del trabajo colaborativo la aplicación de los

conceptos de sucesiones en los diferentes ejercicios.

Se realizó el aprendizaje autónomo adecuado para determinar las fortalezas y

debilidades de los conceptos de Sucesión, dando las respectivas explicaciones en

cada uno de los procedimientos realizados.

Se encontró dificultad en el desarrollo de uno de los problemas de aplicación de

progresiones geométricas esperando a ser corroboradas con el grupo colaborativo,

dando como resolución plena y satisfactoria en sus resultados.

Se desarrolló debidamente la solución a las preguntas exigidas por el trabajo,

basándonos en lo criterios anteriormente nombrados.

Se cumplió con el modelo del trabajo escrito a base de las normas APA.

BIBLIOGRAFÍA

GUERRERO, Omar Eraso. 2008. Procesos De Manufactura En Ingeniería

Industrial. UNAD.

NORMAS APA. Trabajos de investigación: American Psychological Association,

2007.