¿cómoves?10

EL

ABUSO DE

UN MAPA

ORIGINALMENTE

CONCEBIDO PARA

HACERLES LA VIDA FÁCIL

A LOS NAVEGANTES NOS HA

DADO UNA IMAGEN

DISTORSIONADA DE LA

GEOGRAFÍA DE LA TIERRA.

¿cómoves?10

El mundoEl mundo

11¿cómoves?

EL PESADO GALEÓN conocido como laNao de China se apresta a zarpar del puer-to novohispano de Acapulco con destinoa Manila, en las islas Filipinas. El capitánse acaricia las barbas. Es su primer viajea Oriente.

—Hum... —dice.Y no es para menos: está a punto de

emprender una travesía larga y peligrosa.El océano equivocadamente llamado Pa-cífico es traicionero y allá, en altamar,aguardan los piratas.

—Hum, hum... —dice el capitán.Más que las marejadas y los fili-

busteros le preocupa un problema prácti-co que se enuncia en cuatro palabras:

¿Hacia dónde está Manila?

El imperio de la brújulaPor suerte el capitán, aunque novato, cuen-ta con todo el arsenal del marino moder-

Sergio de Régules

mentiras y verdades de un mapano es como lo pintan:

no (del siglo XVII). En una cubierta infe-rior de la Nao, junto al timón, se encuen-tra la bitácora, armario en el que se guardala brújula. Al lado de la bitácora hay otroarmario atestado de mapas. La brújula ylos mapas son el tesoro más preciado delmarino.

El capitán saca un rollo y lo extiendesobre una mesa, sujeta las esquinas delplano con lo primero que encuentra y dice:

—Hum, hum, hum...Ante sus ojos se encuentra la máxima

maravilla de la cartografía: el mapa queel cartógrafo flamenco Gerard Mercatorpublicó en 1569. Es un mapa hecho espe-cialmente para la navegación, pilar de laeconomía del mundo de la época. La ima-gen de los accidentes geográficos que pin-ta el mapa atiende únicamente a losintereses y preocupaciones de los nave-gantes. Éstos sólo quieren saber qué rum-

11¿cómoves?

Planisferio según la proyección de Mercator, 1780.

¿cómoves?12

bo tomar para ir del puerto A al puerto B.No les interesa si África es más extensaque Rusia, ni cómo se compara en áreaEuropa con el Reino del Perú. Los tama-ños relativos de países y continentes soncosa de estudiosos, no de marinos.

Tampoco les interesa saber cuál es elcamino más corto entre A y B, sino cuáles el más fácil, dados los instrumentos denavegación con los que cuentan en esaépoca. Uno de los más importantes es,desde luego, la brújula. La forma más fá-cil de navegar de un puerto a otro en elsiglo XVII es seguir una misma direcciónde la brújula, sin desviaciones; es decir,navegar por una trayectoria de rumbo fijo.

Pero, ¿qué rumbo fijo seguir para lle-gar de Acapulco a Manila? El mapa deMercator, esa joya cartográfica, propor-ciona la información deseada. El capitántoma un trozo de carbón y una regla, latiende sobre el mapa entre los dos puertosy traza una recta. La orientación de esarecta da el rumbo fijo que hay que seguir.

Con esta información, bien lo sabe elcapitán, se orienta la nave en la direcciónindicada, se mantiene el rumbo fijo segúnla brújula, se espera el tiempo suficiente

y se acaba por llegar, si no lo impiden lastormentas ni los piratas.

Geometría esféricaLa operación de trazar la recta que uneorigen y destino para saber hacia dón-de dirigirse quizá te parezca sencillay hasta evidente. Después de todo,en un plano la distancia más cortaentre dos puntos es el segmentode recta que los une, y para ir deluno al otro basta seguir esa rec-ta sin desviarse. ¿Por qué ha-brían de ser distintas las cosasen un mapa?

Porque un mapa es un pla-no, en efecto, pero un plano querepresenta la superficie esféricade la Tierra. En las esferas, las lí-neas y figuras de la geometría pla-na tradicional que nos enseñan en

Versión moderna del mapa del mundo de Gerard Mercator, un mapa hecho para facilitarles la vida a los navegantes que usaban brújula.

Triángulo esférico formado por dossegmentos de meridiano y un segmentodel ecuador. Como cada meridiano forma unángulo de 90˚ con el ecuador, la suma de losángulos internos de este triángulo es mayor que180˚. Lo mismo se puede decir de todos lostriángulos esféricos.

90˚90˚

Paralelos

Mer

idia

no

s

13¿cómoves?

la escuela se comportan de maneras ex-trañas. Por ejemplo, en el plano la sumade los ángulos internos de cualquier trián-gulo siempre es igual a 180˚. En la esfera,en cambio, la suma de los ángulos inter-nos de un triángulo siempre es mayor que180˚.

Las rectas también se toman ciertaslibertades al pasar del plano a la esfera,de modo que lo que es recta en el mapaserá otra cosa en la esfera de la Tierra.¿Qué otra cosa? Eso depende de la pro-yección que se haya empleado para trazarel mapa. La proyección es la manera par-ticular en que se llevan los puntos de laesfera al plano, y las hay de muchos ti-pos. El cartógrafo usa la proyección quemás conviene al propósito de su mapa. Laproyección de Gerard Mercator tiene lagracia de transformar en rectas las trayec-torias de rumbo fijo, pero en la superficieterrestre éstas no son rectas. ¿Qué son en-tonces?

Trayectorias de rumbo fijoLos matemáticos saben qué forma tienenlas trayectorias de rumbo fijo en la esferapor lo menos desde 1550, pero yo lo des-cubrí por accidente y de la manera másinsólita hace apenas unos años. Les con-taré.

Soy fanático del simulador de vuelode cierta compañía de software archi-

conocida, lo confieso sin vergüen-za. Un día, adquiridas ya las

habilidades de control y navega-ción del avión virtual —y conmuchas horas de ocio por de-lante—, se me ocurrió hacerel vuelo México-París entiempo real. El programa nocontempla esta clase de lo-curas (me imagino que nodebe ser normal estar dis-puesto a pasarse quién sabecuántas horas delante de lacomputadora esencialmentesin hacer nada). No hay en

su mundo virtual radiofarossuficientes para un vuelo tan

largo (un radiofaro emite unaseñal de radio que permite a los

pilotos orientarse). Tampoco haynada que indique el rumbo a seguir.Pero pulsando un botón sale en la

pantalla de la computadora un mapa conla siguiente propiedad: el avión siempre

trayectoria del avión tiene que torcersecontinuamente hacia el polo conformeaumenta la latitud.

Para entonces he perdido interés en ira París (por lo menos virtualmente) y medispongo a comprobar si sucede lo quecreo que sucede si dejo volar mi avión enpiloto automático hasta las regiones pola-res. Al cabo de muchas horas, cuando lacrucecita que indica la posición del aviónen el mapa está muy cerca del Polo Nor-

45˚Paralelos M

erid

ian

os

45˚

45˚

Trayectoria de rumbo fijo en la proyección deMercator: una línea recta.

aparece al centro, orientadohacia arriba; el resto delmundo se distribuye a sualrededor en un disco.Cuando el avión da vuel-ta, es el mundo el quegira. (No me di cuenta enese momento de que loque tenía ante los ojosera un mapa en una pro-yección interesantísima,de la cual les hablaré másadelante).

De modo que viré ha-cia la derecha y esperé aque París se pusiera justoenfrente de mi avión, lo cualocurrió cuando la nave alcan-zó el rumbo del Noreste, rumboque abreviaremos así: E 45˚ N, yque forma un ángulo de 45˚ con ladirección Norte. Hecho esto, programéel piloto automático para que conservaraese rumbo y fui a hacerme un café.

Bebido el café, consulto el mapa yobservo con asombro que el avión ya nose dirige a París. Qué raro. Corrijo elcurso con el mismo método: virandohacia la derecha y esperando a queParís se me ponga enfrente. Repro-gramo el piloto automático para se-guir el nuevo rumbo y me pongo aleer.

Al rato, lo mismo: el avión vafuera de curso. ¿Qué pasa? ¿No sir-ve el piloto automático? Entonces seme conecta el cerebro: el piloto au-tomático sí sirve y está haciendo sutrabajo a las mil maravillas, ¡pero laTierra es redonda! (No me digan queya lo sabían…).

Cuando un avión vuela con rum-bo fijo su trayectoria forma el mis-mo ángulo con todos los meridianosque cruza, sin importar la latitud. Seencuentre donde se encuentre —enel ecuador o en las regiones polares—, miavión debe cortar los meridianos a 45˚ paradirigirse siempre al Noreste. En el mapade Mercator los meridianos son rectasparalelas, de modo que la trayectoria derumbo constante E 45˚ N es una recta in-clinada a 45˚.

Pero en la superficie esférica de la Tie-rra los meridianos convergen en un puntoen los polos. Para cortar los meridianoscon el mismo ángulo en todas partes, la

¿cómoves?14

te, el disco mundial empieza a girar másy más rápido: el avión se aproxima al poloen círculos cada vez más apretados. ¡Hedescubierto que en la esfera las trayecto-rias de rumbo fijo son espirales que se

Madrid

México, D.F.

Dos rutas de México, D.F. a Madrid. La recta es la trayectoria de rumbo fijo (loxodromia), la curva es el segmento de círculo máximo(geodésica). Aunque en el mapa de Mercator la geodésica se ve más larga, es más corta en la superficie terrestre (loxodromia = 9 411kilómetros, geodésica = 9 068 kilómetros).

45˚

45˚

45˚

Trayectoria de rumbo fijo en la superficie terrestre: una espiral que se enrosca alrededor delos polos.

enroscan alrededor de los polos sin jamástocarlos! (¿Quién dijo que los videojuegoseran una pérdida de tiempo?)

Desde luego, en la práctica, uno nun-ca sigue una trayectoria de rumbo fijo en

toda su extensión (que, por cierto, es infi-nita porque la curva nunca llega al polo),sino sólo un segmento.

Las curvas menos curvasLas trayectorias de rumbo fijo también

se llaman loxodromias (de loxós,oblicuo, y dromos, carrera). Las es-tudió el matemático y cartógrafo por-tugués Pedro Nunes en 1550. Nunespensaba que la distancia más cortaentre dos puntos de la superficie te-rrestre era el segmento de loxodromiaque los une, lo cual parece muy ra-

zonable —sobre todo sabiendo que losrumbos fijos se transforman en rectas enel mapa de Mercator—, pero es falso. Lasloxodromias te llevarán de A a B por elcamino más fácil, pero no el más corto.

El camino más corto entre dos puntosde la esfera es un segmento de la curvamenos curva que se puede trazar en unasuperficie esférica: el círculo máximo. Enuna pelota puedes dibujar círculos demuchos tamaños, pero los más grandesposibles —los círculos máximos— son los

15¿cómoves?

que tienen el mismo diámetro que lapelota.

Los meridianos y el ecuador son cír-culos máximos de la superficie terrestre,pero hay una infinidad de círculos máxi-mos posibles, orientados no sólo de Nor-te a Sur y de Este a Oeste, sino en todasdirecciones. Es más, dados dos puntoscualesquiera de la superficie terrestre,siempre se puede encontrar un círculomáximo que pasa por ambos. El segmen-to de círculo máximo que los une es elcamino más corto entre esos puntos.

Fíjate cómo se parece este resultadoal teorema de geometría plana que diceque entre dos puntos del plano siempre sepuede trazar una recta y que la distanciamás corta entre dos puntos es el segmen-to de recta que los une. En la esfera o enel plano (o, en general, en cualquier espa-cio, pero eso es harina de otro costal) lascurvas que dan la distancia mínima entredos puntos se llaman geodésicas. Las rec-tas son las geodésicas del plano, los cír-

15¿cómoves?

México, D.F.

Curv

aseq

uid

ista

nte

s

Círculos máximos

Antípodas

Los caminos más cortos de México, D.F. a todas partes. Las líneas que salen de la ciudad soncírculos máximos, es decir, trayectorias de distancia mínima. Las otras curvas representan puntosque están a una misma distancia de la Ciudad de México. Los círculos máximos se juntan denuevo en las antípodas, el lugar al que llegarías si cavaras un hoyo que atravesara la Tierra porel centro (por cierto, ¡no es China!). Detalle curiosísimo: los segmentos que van de la ciudad asus antípodas son todos de la misma longitud en la esfera, lo cual no es nada evidente en laproyección de Mercator.

culos máximos son las geodésicas de laesfera. Como sería de esperarse, en elmapa de Mercator los círculos máximosno están representados como rectas (conexcepción de los meridianos y el ecuador).

La joya de la cartografíaQue la distancia mínima entre dos puntosde la Tierra es un segmento de círculomáximo ya lo sabían los matemáticos deantes de la época de Cristóbal Colón (aun-que, al parecer, Pedro Nunes lo ignorabaen 1550), pero fue hasta el siglo XVIIIcuando la técnica permitió calcular losrumbos perpetuamente cambiantes de unaruta geodésica. Hasta entonces los mari-nos se conformaron con emplear rutas derumbo fijo.

Para enderezar los rumbos fijosMercator enderezó primero los meridia-nos convirtiéndolos en rectas verticalesparalelas que se extendían hasta el infini-to. Con esta operación introdujo una dis-torsión de las distancias en la dirección

¿cómoves?16

Este-Oeste que aumentaba de nula en elecuador (donde no había sido necesariohacerles nada a los meridianos) a infinitaen los polos. Al separar los meridianos enforma creciente con la latitud, Mercatordeformó los continentes en el sentido ho-rizontal como si fueran figuras pintadasen una membrana de hule que se estirahacia los lados. Para corregir la deforma-ción se vio obligado a estirar cada gradode latitud en la misma proporción en quehabía estirado los de longitud para ende-rezar los meridianos. Como resultado deestas manipulaciones las loxodromias seconvertían en rectas, pero las distancias(y por lo tanto los tamaños de los conti-nentes) se inflaban desmesuradamente enlas latitudes superiores. Ni modo. Si que-ría mostrar los rumbos fijos como rectas,tenía que sacrificar la veracidad de las dis-tancias.

Eso quiere decir que los tamaños delos continentes en el mapa de Mercatorson puras mentiras. Alaska no es más ex-tensa que México ni Europa más que

Sudamérica, como puedes comprobar con-sultando un globo terráqueo. Pero aMercator y sus clientes, los marinos, noles interesaban los tamaños relativos de

¿Qué ciudad está más lejos? En la proyección de Mercator San Petersburgo se ve más lejosde la Ciudad de México que Roma, pero a lo largo de círculos máximos San Petersburgo estáa 10 093 kilómetros y Roma a 10 250 kilómetros. El mapa de Mercator distorsiona lasdistancias, sobre todo en latitudes elevadas.

Mapamundi de Battista Agnese, 1540.

Roma

San Petersburgo

México, D.F.

17¿cómoves?

las tierras, sino las direcciones relativas,y ésas sí se conservan en el mapa deMercator. Los cartógrafos no mienten pormaldad, sino por necesidad. Es matemá-ticamente imposible hacer un mapa planosin introducir deformaciones. El cartógra-fo escoge cómo va a mentir según el pro-pósito de su mapa. Mercator queríaconservar las direcciones y para eso tuvoque sacrificar las distancias.

La metáfora extendidaEl mapa de Mercator adquirió mucha po-pularidad y prestigio en los siglos XVII yXVIII. Era el mapa de los navegantes yéstos gozaban de mucha estimación en unaépoca en que el barco era el medio detransporte más socorrido, tanto para mer-cancías valiosas como para ejércitos con-quistadores.

Junto con su religión y cultura (y co-dicia y violencia, hay que decirlo), lasnaciones europeas de la época colonial lle-

Planisferio de Cantino, 1502.

varon a las tierras conquistadas su mapapreferido. Con el tiempo, el mapa queGerard Mercator ideó inocentemente enel siglo XVI para ayudar a los navegan-tes, y que era uno de tantos mapas delmundo, se impuso —con sus verdades ymentiras— como la descripción por an-tonomasia de todas las tierras del orbe.

Un mapa es una metáfora. No es elmundo, sólo una representación del mun-do, e inevitablemente muestra sólo uno delos muchos aspectos de lo representado.Si lo quieres ver desde otra perspectivanecesitas otro mapa. Un mapa, como unametáfora, dice verdades en cierto contex-to y mentiras fuera de él.

La proyección de Mercator trascendióel mundillo de marinos y navegantes y seempleó para todo. Extraída del contextoen el que surgió, produjo equívocos quepersisten hasta hoy. En mi escuela habíamapas colgados en las paredes. Todos eranproyecciones de Mercator, por lo tanto

¿cómoves?18

Sergio de Régules siguió una trayectoria geodésica dela física a la divulgación de la ciencia. Es autor de loslibros El Sol muerto de risa, El renovador involuntario,Cuentos cuánticos y El piropo matemático. Trabaja enel Museo Universum.

durante mucho tiempo viví convencido deque Groenlandia era la isla más grande delmundo y de que la Antártida superaba enárea a los demás continentes juntos. ¿Tepasó a ti también?

Por supuesto, Mercator no tiene la cul-pa de nuestras falsas impresiones geográ-ficas. La culpa es de las vicisitudes de lahistoria, que elevaron su mapa a una po-sición que ni buscaba ni se merecía, y quehicieron olvidar a muchas personas que,como dice Lloyd A. Brown, autor de unlibro de historia de la cartografía, “no exis-te el mapa ideal, bueno para cualquierpropósito; toda proyección tiene que sa-crificar la exactitud y tolerar distorsionesde uno u otro tipo”.

Si tú también has caído en la trampainvoluntaria de Mercator, te invito a con-

Para nuestros suscriptoresLa presente edición va acompañada por una guíadidáctica, en forma de separata, para abordaren el salón de clases el tema de este artículo.

Mapa acimutal equidistante centrado en la Ciudad de México. En esta proyección lastrayectorias mínimas desde el centro del mapa son rectas. Las regiones que están máslejos de la Ciudad de México están muy aumentadas: Madagascar se ve más grandeque Sudamérica. Todos los mapas deforman los continentes de alguna manera.

sultar un globo terráqueo y hacer compa-raciones. Te vas a llevar varias sorpresas.

Otro mapaY hablando de sorpresas… Hace dos añosencontré en Internet el programa Globe(se distribuye gratuitamente en esta direc-ción: www.beanpaste.com/BSG/globe.htm), que sirve para trazar trayectoriasloxodrómicas y geodésicas en la superfi-cie terrestre y que usé como base para ha-cer los mapas de este artículo. Entre lasdiversas proyecciones cartográficas quecontiene como opciones se encuentra lallamada proyección acimutal equidistan-te, que resulta ser precisamente la que vien la pantalla de mi computadora aqueldía aciago en que se me ocurrió volar aParís.

Hechos asombrosos que sólo nos parecen asom-brosos por estar acostumbrados a la proyecciónde Mercator. Compruébalos usando el mapaacimutal equidistante.

• Roma está más lejos de México que SanPetersburgo.

• Cualquier punto del sur de Italia está máslejos de nosotros que cualquier punto deFinlandia.

• Córcega y Cerdeña, en el mar Mediterrá-neo, están a la misma distancia que la Pe-nínsula Antártica y la isla Sajalin.

• El camino más corto de la Ciudad de Méxi-co a la India y Sri Lanka es hacia el norte,pasando por el polo.

• El camino más corto a Japón pasa por elnorte de California y las islas Aleutianas.

• Europa está más lejos que el Polo Norte.

• El punto más alejado de la Ciudad de Méxi-co (sus antípodas) se encuentra en mediodel océano Índico.

• Para viajar a las antípodas por el caminomás corto no importa en qué dirección par-tamos.

• La distancia de cualquier punto a sus antí-podas sobre la superficie de la Tierra es deunos 20 000 kilómetros. Si pudiéramos ir allíatravesando el centro del planeta tendría-mos que recorrer sólo 12 800 kilómetros (eldiámetro del planeta).

La proyección acimutal equidistante,que ideó el matemático árabe Al-Birunihace mil años, se hace escogiendo un cen-tro y proyectando el resto del mundo a sualrededor de tal manera que toda recta tra-zada desde el centro sea un círculo máxi-mo y que las distancias desde el centroestén correctamente representadas. Cuan-do orienté mi avión hacia París en el si-mulador de vuelo estaba enfilando latrayectoria de distancia mínima a París,no la de rumbo fijo. Por lo general, paraseguir una trayectoria de distancia míni-ma hay que cambiar de rumbo constante-mente. ¡Por eso el avión se desviaba de laruta indicada cuando volaba en piloto au-tomático!

Sorpresas geográficas

Madrid

San Petersburgo

PoloNorteTokio

Isla Sajalin

Roma

Islas Aleutianas

India

Mad

agas

car