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Matemática

Geometría y GeoGebra 3D

Junio 2019

Índice general

1 Primera Clase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1 Introducción a GeoGebra 5

1.2 La Geometría: un poco de historia 11

1.3 Puntos en el plano y en el espacio 12

1.4 Operaciones con vectores 161.4.1 Producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4.2 Producto vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.5 Rectas en el espacio 20

2 Segunda Clase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1 Planos en el espacio 23

2.2 Recta como intersección de dos planos 26

2.3 Superficies en el espacio 302.3.1 Hacia el gráfico de una superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3 Tercera Clase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.1 Superficies esféricas 333.1.1 Posiciones relativas entre un plano y una esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.1.2 Plano tangente a una esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.1.3 Coordenadas esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2 Superficies cilíndricas 353.2.1 Coordenadas cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.3 Superficies Cónicas 38

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4 Geometría y GeoGebra 3D

3.4 Otras superficies 403.4.1 Superficies de revolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.4.2 Superficies regladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4 Cuarta Clase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.1 Superficies Cuádricas 414.1.1 Cuádricas con centro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.1.2 Cuádricas sin centro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.2 Cuerpos y volúmenes 454.2.1 Poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.2.2 Cuerpos redondos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Libros 53


1. Primera Clase

1.1 Introducción a GeoGebra

GeoGebra es un software libre de matemática que puede aplicarse en geometría, álgebray cálculo. Como sistema de geometría dinámica, permite construir figuras con puntos, vectores,segmentos, rectas y cónicas, entre otras, y también gráficas de funciones. Mediante la explicitaciónde fórmulas y coordenadas, ofrece un repertorio de comandos propios del análisis matemático parahallar derivadas e integrales de funciones, e identificar puntos singulares como raíces o extremos,por ejemplo.

Este software se puede descargar en forma gratuita de www.geogebra.org.

La ventana de trabajo de GeoGebra

En la pantalla inicial de GeoGebra encontramos una Vista Gráfica, una numérica, llamadaVista Algebraica, y además, una Vista de Hoja de Cálculo. A continuación describimos algunoselementos de su interfaz básica:

Barra de menú: Contiene diferentes menús desplegables que facilitan el trabajo con archivosy determinan la configuración del programa. Los menús corresponden a Archivo, Edita, Vista,Opciones, Herramientas, Ventana y Ayuda.Barra de herramientas: Contiene distintas opciones para realizar construcciones geométri-cas, información de la herramienta seleccionada y los botones para deshacer y rehacer lasacciones realizadas.Ventana algebraica: Ofrece la información del proceso realizado, indicando los objetoslibres, dependientes y los auxiliares que también se podrán mostrar.Vista gráfica: Es la zona principal de GeoGebra , donde se ven y manipulan los gráficos.Hoja de cálculo: Ofrece funciones similares a las de Microsoft Excel.Campo de entrada: Permite introducir expresiones, además de las opciones para seleccionardistintas funciones, caracteres o comandos.


www.geogebra.org


La barra de menú está ubicada en el margen superior de la ventana de GeoGebra .Las solapas que allí aparecen se despliegan de la siguiente manera:

Comandos del menú Archivo:


Geometría y GeoGebra 3D 7

Comandos del menú Edita:

Comandos del menú Vista:

Trabajaremos fuertemente la vista Gráficas 3D:



Comandos del menú Opciones:

Comandos del menú Herramientas:

Comandos del menú Ventana:

Comandos del menú Ayuda:

A continuación mostramos los botones de la Barra de herramientas para graficar fácilmentediferentes elementos geométricos, como por ejemplo, puntos, rectas, segmentos, polígonos ycircunferencias, etc.



1.2 La Geometría: un poco de historia

La Geometría y la civilización babilónicaDesde los primeros tiempos, el hombre tuvo la necesidad de contar y medir y, probablemente,en esa época remota nació la Matemática. La geometría es una de las ramas más antiguas de laMatemática. La palabra geometría proviene de los vocablos griegos geo (tierra) y metrein (medir).Inicialmente, constituyó un cuerpo de conocimientos prácticos en relación con las longitudes, áreasy volúmenes.A la civilización Babilónica se le atribuye la invención de la rueda y es por eso que además seconsidera que realizaron una importante contribución en la investigación de la longitud de lascircunferencias en relación con sus diámetros. Observaron que la longitud de una circunferenciaes un valor intermedio entre los perímetros de los cuadrados inscriptos y circunscriptos en ella.También se les atribuye el conocimiento de cómo trazar un hexágono regular inscripto y cómohallar el área del trapecio rectángulo.La Geometría en EgiptoEn el antiguo Egipto la geometría estaba muy desarrollada. Los denominados Papiro de Ahmes yPapiro de Moscú, que datan de 1900 años antes de Cristo, muestran conjuntos de métodos prácticospara obtener diversas áreas y volúmenes, destinados al aprendizaje de escribas. Los historiadoresantiguos sostienen que el conocimiento de esta civilización sobre geometría, como los de lasculturas mesopotámicas, pasó íntegramente a la cultura griega a través de Tales de Mileto, lospitagóricos y, esencialmente, de Euclides.La Geometría y la cultura griegaLos antiguos griegos realizaron descubrimientos fundamentales para el desarrollo de la geometría.Estudiaban sobre figuras trazadas con regla y compás, pero siempre buscando la perfecta exactituddel razonamiento lógico.Pitágoras, nacido en el 569 antes de Cristo, fundó la la fraternidad pitagórica y estableció unafilosofía basada en la obediencia, el silencio y la sencillez en el vestir entre otras cosas.Para los pitagóricos, la realidad en su nivel más profundo es de naturaleza matemática y los númerosdeterminan el principio crucial de toda proporción, orden y armonía en el universo.La Geometría ClásicaLa geometría clásica es la rama de la geometría basada en la célebre obra los Elementos delmatemático alejandrino Euclides (330 a.C. - 275 a.C) que es conocido como el “Padre de laGeometría”.Los Elementos es uno de los textos matemáticos más relevantes de la historia del pensamientocientífico hasta el siglo XIX.Están divididos en XIII Libros y constituyen la recopilación más exhaustiva del saber matemáticode esa época, representados en el sistema axiomático conocido como Postulados de Euclides, loscuales de una forma sencilla y lógica dan lugar a la llamada Geometría Euclidiana.Platón y la GeometríaPara Platón, “Dios geometriza eternamente” , de manera que no es el número quien gobierna eluniverso como decían los pitagóricos, sino la geometría.Convencido de la estructura geométrica del universo, Platón estimuló entre sus discípulos laconstrucción de modelos geométricos del mundo, especialmente los que explicasen los movimientosde los planetas.En el dintel de la puerta de la Academia de Platón lucía el texto Que nadie entre aquí, si no sabeGeometría.La Geometría en la Edad MediaDurante los siguientes siglos, la Matemática comienza a recorrer nuevos caminos de la mano dehindúes y árabes.



Se desarrolla fuertemente la trigonometría y el álgebra. En las escuelas y universidades de Occidentese enseñan los Elementos de Euclides pero casi no se realizan nuevos aportes.La Geometría en el RenacimientoEs en el Renacimiento cuando las nuevas necesidades de representación del arte y de la técnicaempujan a ciertos humanistas a estudiar propiedades geométricas para obtener nuevos instrumentosque les permitan representar la realidad. Se comienza a trabajar con las ideas de perspectiva ysecciones y se sientan las bases de la Geometría Descriptiva cuyos principios fundamentalesaparecen de la mano de Desargues en el siglo XVII.Algunas otras figuras destacadas de esta corriente son Luca Pacioli, Leonardo da Vinci, AlbertoDurero, Leone Battista Alberti, Piero della Francesca.La Geometría AnáliticaLa Geometría Analítica relaciona dos de las ramas principales de la Matemática: el Álgebra y laGeometría.La aparición de la Geometría Analítica se da en la Edad Moderna cuando el matemático y filósofofrancés René Descartes propone un nuevo método de resolver problemas geométricos utilizandoecuaciones algebraicas.Se cambian la regla y compás por expresiones algebraicas. La Geometría Analítica también seconoce como Geometría Cartesiana.La Geometría CartesianaComo es sencillo de comprender, las cosas en nuestro mundo tienen características intrínsecas, esdecir, que no dependen de quien las observa.Por ejemplo, un arco de curva tiene una longitud que le es propia, un cuerpo tiene un volumen queno depende de quien lo mire, ni siquiera de si alguien lo mira; sin embargo, si se quiere apreciar,comparar o reproducir esas características, es necesario un marco de referencia.Para el desarrollo de la Geometría Analítica se necesita contar con dicho marco de referencia.La Geometría en el EspacioLa Geometría del espacio (también llamada geometría espacial o geometría de los cuerpos sólidos)es la rama de la geometría que estudia los puntos, los vectores, las rectas, los planos y sólidosgeométricos en el espacio tridimensional.Algunos de estos sólidos son el cono, el cubo, el cilindro, la pirámide, el prisma, los poliedrosregulares y las llamadas superficies cuádricas entre las cuales se encuentra la esfera. En este cursonos dedicaremos al estudio de estos temas con la incorporación del software GeoGebra .

1.3 Puntos en el plano y en el espacio

Sistema de coordenadas cartesianasPara desarrollar la Geometría Analítica plana, se consideran dos rectas dirigidas perpendiculares

entre sí llamadas ejes cartesianos que se indican como eje x y eje y. El punto de intersección deestos ejes es llamado origen. Cada punto del plano está identificado de manera biunívoca con unpar ordenado de números reales que representan sus coordenadas respecto del sistema cartesianofijado.

La primera coordenada se llama abscisa y la segunda coordenada es llamada ordenada.El plano cartesiano se describe como el conjunto

R2 = {(x,y) / x e y ∈ R}.



Para desarrollar la Geometría Analítica en el espacio se consideran tres planos mutuamenteperpendiculares llamados planos coordenados. El punto de intersección de estos planos es el origen.Las rectas de intersección de estos planos se llaman ejes coordenados y son rectas dirigidas y sedenotan como eje x, eje y y eje z. Los planos coordenados dividen al espacio en ocho regionesllamadas octantes.

Cada punto del espacio está identificado de manera biunívoca con una terna ordenada denúmeros reales que representan sus coordenadas respecto del sistema cartesiano fijado. El espaciose describe como el conjunto



R3 = {(x,y,z) / x, y, z ∈ R}.

Por ejemplo, si queremos ubicar un punto P del primer octante, sea a la distancia del plano yz aP, b la distancia del punto al plano xz y c la distancia al plano xy. Representamos el punto P como(a,b,c), donde a, b y c son las coordenadas de P; a es la coordenada x, b es la coordenada y y c esla coordenada z. Así, para localizar el punto (a,b,c) podemos empezar en el origen O, movernos aunidades a lo largo del eje x, luego b unidades paralelas al eje y y finalmente c unidades paralelas aleje z.

El punto P(a,b,c) determina un prisma, donde las caras son los planos coordenados y planosparalelos a estos que pasan por el punto P.

Distancia entre puntos del espacioLa distancia entre los puntos P1(x1,y1,z1) y P2(x2,y2,z2) está dada por

d(P1,P2) =√(x2− x1)2 +(y2− y1)2 +(z2− z1)2



Ejemplo: La distancia del punto P(2,−1,7) al punto Q(1,−3,5) es

d(P,Q) =√(1−2)2 +(−3+1)2 +(5−7)2 =

√1+4+4 = 3.

En GeoGebra , si queremos calcular la distancia entre los puntos P y Q, basta con ingresarlos puntos y luego utilizar el comando distancia para obtener dicho número.

Por definición, una esfera es el conjunto de todos los puntos P(x,y,z) cuya distancia a un puntofijo C(h,k, l) es un número fijo r > 0. Así, P está sobre la esfera si y sólo si d(P, C) = r. Al elevaral cuadrado ambos lados, se obtiene que d(P, C)2 = r2 o bien

(x−h)2 +(y− k)2 +(z− l)2 = r2.

Esta última ecuación describe una esfera con centro C(h,k, l) y radio r > 0.



Vectores en el espacioEl término vector se utiliza para indicar una magnitud que tiene longitud, sentido y dirección.

Con vectores se indican un desplazamiento, una velocidad, una fuerza, una aceleración, un momentoangular, etc. Un vector ~v es un segmento de recta dirigido. Si un vector ~v comienza en el puntoinicial A y termina en el punto final B se indica como

−→AB. Si el punto inicial o de aplicación A de

un vector es el origen, se dice que el vector está ubicado en posición canónica.La longitud, magnitud o módulo del vector~v =

−→AB, es la distancia entre los puntos A y B y

se denota ||~v||.La dirección del vector

−→AB está dada por el vector

−−−→B−A en su forma canónica. Si dos vectores

tienen la misma dirección, el mismo sentido y la misma longitud se dicen equivalentes.En el espacio euclídeo tres vectores juegan un papel especial. Estos son los versores canónicos,

en las direcciones de los ejes coordenados, que denotamos por

i = 〈1,0,0〉 j = 〈0,1,0〉 k = 〈0,0,1〉

1.4 Operaciones con vectoresSuma de vectoresSi dos vectores ~u y ~v son tales que el punto final de ~u coincide con el punto inicial de ~v, se

define el vector suma de~u y~v como el vector~u+~v cuyo punto inicial es el punto inicial del vector~u y cuyo punto final es el punto final del vector~v.

Esta operación de suma de vectores se conoce como la ley del triángulo.Para sumar dos vectores que tengan el mismo punto inicial, se traslada uno de manera tal que

su punto inicial coincida con el punto final del otro y luego se suman.Cuando se suman dos vectores que tienen el mismo punto inicial, el vector suma tiene igual

punto inicial que los vectores sumandos y se ubica a lo largo de la recta sobre la cual está ladiagonal del paralelogramo que determinan los vectores. A esta suma se la conoce como ley delparalelogramo. En particular, así se suman dos vectores en posición canónica y su suma es otrovector en posición canónica.



Producto por un escalarSi λ es un número real no nulo y~v es un vector se define la multiplicación del escalar λ por el

vector~v como el vector λ .~v que cumple:su longitud es |λ | ‖~v ‖,la dirección de λ .~v es la misma que la dirección de~v,el sentido de λ .~v es el mismo que el de~v si λ es positivo y opuesto si λ es negativo.

Si λ = 0 entonces λ .~v es el vector nulo.

Decimos que dos vectores~v y~u son paralelos, y lo denotamos~v //~u, si existe una constante λ

tal que~v = λ~u.



Diferencia de vectoresLa diferencia entre dos vectores~u y~v se define como la suma entre~u y el múltiplo escalar de~v

por −1.Si representamos los vectores ~v = (v1,v2,v3) y ~u = (u1,u2,u3) en forma canónica y λ es un

número real cualquiera, las operaciones anteriores en coordenadas se escriben de la siguientemanera:

~v+~u = (v1 +u1,v2 +u2,v3 +u3).λ .~v = (λv1,λv2,λv3).~v−~u = (v1−u1,v2−u2,v3−u3).

Un vector es unitario si su módulo es igual a 1. Dado un vector no nulo~v, el vector unitarioque tiene la misma dirección y sentido que~v está dado por

~uv =~v||~v||

1.4.1 Producto escalarDados los vectores~v = (v1,v2,v3) y~u = (u1,u2,u3), el producto interno o producto escalar

entre ellos es el número real dado por

~v.~u = v1u1 + v2u2 + v3u3.

El producto escalar, que da como resultado un escalar o un número real, también se denominaproducto punto, pues la operación entre los vectores involucrados se simboliza por “.”. Enunciamosalgunas de las propiedades que cumple este producto:

‖~v ‖=√~v.~v

~v.~u =~u.~v~v.~u =‖~v ‖‖~u ‖ cos θ , siendo θ el ángulo comprendido entre~v y~u. Se considera a θ ∈ [0, π].Dos vectores no nulos~v y~u son ortogonales o perpendiculares si y sólo si~v.~u = 0.

Observación: el producto escalar se aplica al cálculo de proyección de un vector sobre otro.



1.4.2 Producto vectorialSean los vectores ~v = (v1,v2,v3) y ~u = (u1,u2,u3). El producto vectorial entre ~v y ~u es un

vector de R3 que es perpendicular a~v y~u a la vez y sigue la regla de la mano derecha.. Está dadopor

~v×~u = (v2u3− v3u2,v3u1− v1u3,v1u2− v2u1).

Este producto verifica las siguientes propiedades~v×~u =−~u×~v||~v×~u||=‖~v ‖‖~u ‖ sen θ siendo θ el ángulo comprendido entre~v y~u.~v y~u no nulos son paralelos si y sólo si~v×~u =~0.El módulo del producto vectorial entre los vectores~v y ~u es el área del paralelogramo quedeterminan~v y~u.

Figura 1.1: ||~v×~u||= ||~v||.||~u||.senθ



Ejercicios 1.11. Graficar los siguientes puntos: A(2,1,3), B(2,1,0), C(−1,2,−4), D(1/2,−1,5), E(3/2,0,−2)

y F(1/2,0,1).2. Dibujar x = 1 en R, R2 y R3.3. Utilizando el comando Distancia o Longitud, calcular las distancias entre los pares de puntos

A y B, C y D, E y F . ¿Cuáles están más alejados?4. Calcular la diagonal de un cubo de lado 2. Para comenzar podemos suponer que un vértice es

el origen y sus aristas son paralelas a los ejes coordenados.5. Construir un tetraedro equilátero.6. Graficar los versores canónicos en R2 y R3.7. Graficar los vectores

−→PQ,−→QS,−→PR y

−→RS, siendo P(1,2), Q(3,3), R(2,5) y S(4,6). Qué polí-

gono forman? Qué comandos puede usar para construirlo? Hay varios procedimientos quepermiten graficar...

8. Construir un paralelogramo en el espacio. Cómo podrían calcular su área?9. Graficar los vectores

−→AB,−→BC y

−→CD, siendo A(1,2,1), B(3,4,1/2), C(2,0,2) y D(−1,1,−1).

10. Graficar los vectores anteriores en posición canónica utilizando dos comandos distintos.11. Calcular sus módulos.12. Buscar vectores unitarios que tengan la misma dirección del vector

−→AB.

13. Sumar y restar de manera gráfica los vectores−→AB y

−→BC.

14. Consideremos los vectores u1 = (−6,1,−1) y u2 = (1,4,−2).a) ¿Cuál es el ángulo entre ellos? Aplicar dos comandos diferentes de GeoGebra .b) Utilizando un comando adecuado, calculen ~u3, con ~u3 un vector perpendicular a ambos.

15. Calcular el producto escalar, el producto vectorial y el ángulo entre los vectores del ejercicio13.

16. Calcular el producto escalar, el producto vectorial y el ángulo entre los versores canónicos.17. Hallar el área del paralelogramo generado por los vectores (2,2,1) y (0,2,3/2).

Los siguientes recursos de GeoGebra nos permiten visualizar el producto escalar y vectorial.

https://www.geogebra.org/m/bcDMusCE

https://www.geogebra.org/m/TQeud2yG

https://www.geogebra.org/m/GuXEVbrZ

1.5 Rectas en el espacioUna manera de describir una recta L en el espacio es considerando un punto que pertenezca a

ella y un vector que la dirija llamado vector director.Sean P0(x0,y0,z0) un punto del espacio y~v = (a,b,c) un vector del espacio en forma canónica.La recta que pasa por P0 y está dirigida por el vector~v es el conjunto de puntos (x,y,z) de la

forma x = x0 +λ ay = y0 +λ bz = z0 +λ c

donde λ toma todos los valores reales. Estas ecuaciones se llaman ecuaciones cartesianasparamétricas de la recta L

Si todas las coordenadas de~v son no nulas podemos escribir las ecuacionesx− x0

a=

y− y0

b=

z− z0

c.


https://www.geogebra.org/m/bcDMusCE

https://www.geogebra.org/m/TQeud2yG

https://www.geogebra.org/m/GuXEVbrZ


Estas ecuaciones se llaman ecuaciones simétricas de L.

Dadas dos rectas en el espacio, del análisis de sus respectivos vectores directores podemosdeducir los siguientes enunciados.

Dos rectas son perpendiculares si sus vectores directores son ortogonales.Dos rectas son paralelas si sus vectores directores son paralelos.Dos rectas son alabeadas si no son paralelas y están contenidas en planos paralelos.

Ejercicios 1.21. Encontrar el vector director de la recta que pasa por los puntos (1,3,−4) y (−1,3,5). Graficar

dicho vector y la recta.

2. Dar ecuaciones paramétricas para la recta L que pasa por el punto P0(2,5,3) y tiene comovector director a~v = (0,−1,0). Graficar.

3. Determinar cuáles de los siguientes puntos pertenecen a las rectas de los ejercicios anteriores:O(0,0,0), A(2,2,2), B(3,3,3), C(2,0,3).Sugerencia: explorar en GeoGebra el comando Están alineados

4. ¿Qué recta es paralela al vector que une los puntos P0(1,0,2) y P1(1,−3,2), y pasa por elorigen? ¿Pertenecen P0 y P1 a esa recta?

5. Dadas las rectas x = 1+2λ

y = 3λ

z = 2+λ

x = λ

y =−1+λ

z = 7−5λ



son paralelas, perpendiculares o alabeadas? Utilizar comandos de GeoGebra adecuados.6. Calcule, si existe la intersección entre las rectas anteriores utilizando el comando Intersección.7. Graficar la recta que pasa por el punto (0,4,0) y es perpendicular a la recta que pasa por el

origen y tiene al (0,2,0) como vector director.


2. Segunda Clase

2.1 Planos en el espacioLa ecuación de un plano en el espacio puede darse a partir de un punto P0(x0,y0,z0) que

pertenezca al plano y un vector~n(A,B,C) que sea perpendicular al plano.La condición de que un vector ~n sea perpendicular a un plano se entiende como que ~n es

perpendicular a todos los vectores contenidos en él.

Dados P0(x0,y0,z0) ∈ R3 y un vector~n(A,B,C), el plano P que pasa por P0 y es normal a~nes el conjunto de todos los puntos P(x,y,z) ∈ R3 tales que el vector

−→P0P es perpendicular a~n. Las



distintas ecuaciones de dicho plano son:

Ecuación vectorial:~n.−→P0P = 0.

Ecuación escalar: A(x− x0)+B(y− y0)+C(z− z0) = 0.Esta última ecuación puede escribirse como

Ax+By+Cz+D = 0

siendo D =−(Ax0 +By0 +Cz0).• Si D = 0 el plano de ecuación Ax+By+Cz+D = 0 pasa por el origen.

• Si D 6= 0 el plano de ecuación Ax+By+Cz+D = 0 no pasa por el origen y su ecuaciónpuede escribirse como

xa+

yb+

zc= 1

siendo (a,0,0), (0,b,0) y (0,0,c) los puntos de intersección con los ejes coordenados.

Esta ecuación se llama segmentaria.

Posiciones relativas entre planosSean P1 y P2 dos planos de ecuacionesA1x+B1y+C1z+D1 = 0 y A2x+B2y+C2z+D2 = 0

P1 y P2 son paralelos si sus vectores normales (A1,B1,C1) y (A2,B2,C2) son paralelos.Es decir, si existe λ ∈ R tal que (A1,B1,C1) = λ (A2,B2,C2)P1 y P2 son perpendiculares si sus vectores normales (A1,B1,C1) y (A2,B2,C2) sonperpendiculares.Es decir, (A1,B1,C1).(A2,B2,C2) = 0.P1 y P2 son coincidentes si existe λ ∈ R tal que A1 = λA2, B1 = λB2, C1 = λC2 yD1 = λD2



Por ejemplo, los planos x+2y−3z = 4 y 2x+4y−6z = 3 son paralelos porque sus vectoresnormales ~n1 = (1,2,−3) y ~n2 = (2,4,−6) son paralelos o colineales.

Ángulo entre planosSean P1 y P2 dos planos de ecuacionesA1x+B1y+C1z+D1 = 0 y A2x+B2y+C2z+D2 = 0.

El ángulo θ determinado por los planos P1 y P2 está dado por

cosθ =A1A2 +B1B2 +C1C2√

A21 +B2

1 +C21

√A2

2 +B22 +C2

2

.

Distancia de un punto a un planoSean el punto P0(x0,y0,z0) y P el plano de ecuación Ax+By+Cz+D = 0.



La distancia de P0 a P está dada por

d(P0,P) =|Ax0 +By0 +Cz0 +D|√

A2 +B2 +C2

2.2 Recta como intersección de dos planos

De la ecuación paramétrica de la recta

x = x0 +λ ay = y0 +λ bz = z0 +λ c

se puede ver que, eliminando λ se llega a las siguientes ecuaciones lineales

x− x0

a=

y− y0

b=

z− z0

c

según sean a, b y c no nulos.Es decir, una recta puede ser representada como la intersección de dos planos.En general, una recta puede escribirse como intersección de dos planos

{Ax+By+Cz+D = 0A′x+B′y+C′z+D′ = 0



Posiciones entre una recta y un plano

Sean l una recta cuyo vector director es (a,b,c) y P el plano de ecuación Ax+By+Cz+D = 0.

l y P son paralelos si (a,b,c) y~n(A,B,C) son ortogonales.Es decir, Aa+Bb+Cc = 0.

l y P son perpendiculares si (a,b,c) y~n(A,B,C) son paralelos.Es decir, existe λ ∈ R tal que A = λa, B = λb y C = λc.



Ángulo entre una recta y un planoEn general, el ángulo que forman la recta dirigida por el vector (a,b,c) y el plano de ecuación

Ax+By+Cz+D = 0 está dado por

senφ =|Aa+Bb+Cc|√

A2 +B2 +C2√

a2 +b2 + c2.

El ángulo determinado por los vectores (a,b,c) y~n(A,B,C) está dado por

cosθ =|Aa+Bb+Cc|√

A2 +B2 +C2√

a2 +b2 + c2



Ejercicios 2.11. Muestre en GeoGebra con un deslizador, la ecuación de los planos paralelos a los

coordenados.2. Con un deslizador “a”, considere la ecuación

x+12

y+ z = a.

a) ¿Qué lugar geométrico describe?b) ¿Qué sucede cuando a = 0?c) ¿Qué sucede cuando varía el valor de a?

3. Con un deslizador “b”, considere la ecuación

bx+12

y+ z = 1.

a) ¿Qué lugar geométrico describe?b) ¿Qué sucede cuando b = 0?c) ¿Qué sucede cuando varía el valor de b?

4. Encontrar la ecuación segmentaria del plano 2x+3y− z = 8 utilizando el comando Inter-sección.

5. Dados los vectores ~u1 = (−6,1,−1) y ~u2 = (1,4,−2).a) Utilizando un comando adecuado, calculen ~u3, con ~u3 un vector perpendicular a ambos.b) Con el comando

Plano (< Punto >,< Punto >,< Punto >),

construyan un plano que pase por el origen y por los puntos finales de ~u1 y ~u2.c) ¿Qué pasa si escriben Plano (~u1, ~u2,(0,0,0))? ¿Por qué?d) Con un comando, construyan un vector normal al plano que sea unitario. ¿Tiene alguna

relación con ~u3, donde ~u3 es el vector calculado en el inciso 5a? Sugerencia: usar elcomando Vectornormalunitario.

6. Hallar la ecuación del plano que verifica:a) pasa por los puntos (3,2,−1), (0,1,−2) y (−2,−4,0),b) pasa por los puntos (1,2,3), (0,−5,4) y (6,0,9/4),c) pasa por P0(3,2,2) y es perpendicular al vector~n(2,3,−1),d) pasa por P0(1,−1,3) y es paralelo al plano 2x− y+ z = 0,e) contiene a las rectas ~r1(t) = (1,1,0)+ t(1,−1,2) y ~r2(t) = (2,0,2)+ t(−1,1,0).

7. Construir un plano paralelo y un plano perpendicular al plano 3x− y− z = 2.8. Resolver gráfica y analíticamente el sistema

5x− y+2z−12 = 0

x−24

=y+3−2

=z−1

7

9. ¿Está la rectax−3

2=

y+23

=z+1

4contenida en el plano −x+2y− z = 5 ?

Ejercicios 2.2Describir una estrategia para calcular la distancia entre:

1. la recta~r(t) = (1/2,0,3)+ t(0,1/4,7) y el punto (2,1/2,−1).2. las rectas ~r1 y ~r2,



3. las rectas {3x− y− z = 0

8x−2y−3z+1 = 0

{x−3y+ z+3 = 0

3x− y− z+5 = 0

4. el plano 2x+5y−3z = 10 y el punto (0,1,0),

Sugerencias: explorar en GeoGebra , entre otros, los comandos Plano, Plano paralelo, Planoperpendicular, son paralelos, son concurrentes.

Los siguientes recursos de GeoGebra nos permiten visualizar rectas y planos en el espacio ysus intersecciones.

https://www.geogebra.org/m/Ght27Hfp

https://www.geogebra.org/m/ZaN2jUtF

2.3 Superficies en el espacio

Una superficie en el espacio puede definirse como el conjunto de puntos (x,y,z) ∈ R3 queverifican una ecuación de la forma

F(x,y,z) = 0.

Los tres grados de libertad que tiene un punto del espacio (x,y,z) se limitan por una relaciónentre las tres variables x, y y z y este vínculo entre ellas da como resultado un lugar geométrico delespacio “de dimensión 2”.

Este razonamiento es análogo al planteado al estudiar curvas del plano, recordemos que unacurva en R2 puede describirse como el conjunto de puntos del plano (x,y) que verifican unaecuación de la forma H(x,y) = 0. Aquí el lugar geométrico del plano es “unidimensional”. En elcaso particular del gráfico de una función de una variable, y = f (x) define una curva del plano dadapor la ecuación

H(x,y) = y− f (x) = 0.

2.3.1 Hacia el gráfico de una superficiePara construir el gráfico de una superficie analizaremos sus intersecciones con los ejes coor-

denados, sus intersecciones con los planos coordenados (que llamaremos trazas) y sus seccionespor planos paralelos a los planos coordenados. También estudiaremos sus simetrías con respecto alos ejes coordenados, a los planos coordenados y al origen y la extensión de la superficie. Es decir,resolveremos las siguientes ecuaciones:

x / F(x,0,0) = 0, y / F(0,y,0) = 0, z / F(0,0,z) = 0F(x,y,0) = 0, F(0,y,z) = 0, F(x,0,z) = 0F(±x,±y,±z) = 0F(x,y,z) = 0 y x = k, y = k, z = k

Gráfico de funciones de dos variablesEs claro que el gráfico de una función de dos variables z = f (x,y) es una superficie dada por la

ecuaciónF(x,y,z) = z− f (x,y) = 0.


https://www.geogebra.org/m/Ght27Hfp

https://www.geogebra.org/m/ZaN2jUtF


Sea P un plano de ecuación Ax+By+Cz+D = 0. Si C 6= 0, P es el gráfico de una función linealde las variables x e y

P =

{(x,y,z) / z =−A

Cx− B

Cy− D

C

}Es decir, la función lineal de dos variables cuya gráfica es un plano está dada por f (x,y) =

−AC

x− BC

y− DC

.Veamos algunos ejemplos de gráficas de funciones de dos variables:

Figura 2.1: z = x2 + seny

Figura 2.2: z = cos(xy)



Ejercicios 2.3Graficar en GeoGebra las funciones dadas debajo. Analizar las gráficas de f (x,y) = c para

c cualquier número real fijo. ¿Qué observa?1. f (x,y) = 4−3x+2y.2. f (x,y) = x2 + xy.3. f (x,y) =

xy

.

4. f (x,y) = 3x2−2y2.5. f (x,y) = sen(x2 + y2).


3. Tercera Clase

3.1 Superficies esféricasUna esfera en el espacio es el lugar geométrico formado por los puntos P(x,y,z) cuya distancia

a un punto C(α,β ,γ) fijo llamado centro de la esfera es constante e igual a un número r > 0llamado radio de la esfera. Es decir, dados un punto C(α,β ,γ) y un número r > 0, la esfera decentro C y radio r es el conjunto S = {(x,y,z) / d((x,y,z),(α,β ,γ)) = r}.

Figura 3.1: Esfera con centro en el origen

Como d(P,C) =√

(x−α)2 +(y−β )2 +(z− γ)2, la ecuación que describe a esta esfera es

(x−α)2 +(y−β )2 +(z− γ)2 = r2.

Si una esfera está centrada en el origen, de la forma de su ecuación es claro que resulta simétricarespecto de los tres ejes coordenados, los tres planos coordenados y el origen.

En general, la simetría se presenta respecto del centro, y las rectas y planos que pasan por elcentro y son paralelos a los ejes y planos coordenados.



3.1.1 Posiciones relativas entre un plano y una esfera

Un plano y una esfera en el espacio pueden:

no tener intersección. En este caso el plano se dice exterior.tener un único punto de intersección. En este caso el plano se dice tangente.intersecarse en todos los puntos de una circunferencia. En este caso el plano se dice secante.

3.1.2 Plano tangente a una esfera

Sean P un plano y S una esfera centrada en C(α,β ,γ).

Si P es tangente a S en (x0,y0,z0), el vector normal que dirige a P está dado por ~CP0 =−−−−−−−−−−−−−−−→(x0−α,y0−β ,z0− γ).

3.1.3 Coordenadas esféricas

Sea S2 ={(x,y,z) ∈ R3 / x2 + y2 + z2 = 1

}la esfera centrada en el origen y de radio 1. Para

describir sus puntos, es natural considerar otro sistema de coordenadas diferente al de las coordena-das cartesianas llamadas coordenadas esféricas. Dado (x,y,z) ∈ S2, se consideran los ángulos θ yφ definidos como

θ es el ángulo sobre el plano xy determinado por el semieje positivo x y el vector proyecciónde (x,y,z) sobre el plano xy que está dado por (x,y,0), medido en sentido antihorario vistodesde el semieje positivo z.φ es el ángulo en el espacio determinado por el semieje positivo z y el vector

−−−−→(x,y,z).

ρ es la distancia al origen del punto (x,y,z) ( ρ = 1 en S2).



Entonces, para cualquier punto P(x,y,z) del espacio se tiene quex = ρ cosθ senφ

y = ρ senθ senφ

z = ρ cosφ

donde ρ ≥ 0, 0≤ θ ≤ 2π y 0≤ φ ≤ π .Ejercicios 3.1

1. Encontrar los puntos que equidistan de (2,0,2) en 1 en forma analítica y utilizando elcomando Esfera.

2. Dar las coordenadas esféricas de dos puntos de la superficie anterior.3. Para qué valores de k el plano x+ z = k es tangente a la esfera? Ayuda: crear un deslizador

para k y elegir los valores máximo, mínimo y el incremento adecuadamente.

3.2 Superficies cilíndricasUna superficie cilíndrica es aquella que está generada por una recta que se mueve sobre una

curva plana fija de manera tal que siempre se mantiene paralela a una recta fija dada. La recta móvilse llama generatriz y la curva fija se llama directriz de la superficie cilíndrica.

Si las generatrices son perpendiculares al plano de la directriz, la superficie cilíndrica se llamasuperficie cilíndrica recta. Un ejemplo de superficie cilíndrica es el llamado cilindro circular rectocuya directriz es una circunferencia y su generatriz una recta perpendicular al plano donde estácontenida la directriz.

A partir de las ecuaciones de la directriz y la generatriz se puede entonces encontrar la ecuacióndel cilindro.

En la ecuación que representa un cilindro recto no aparece la variable que es nula en el planodonde está contenida la directriz. Por ejemplo, sea C el cilindro circular recto cuya directriz es lacircunferencia unitaria x2 + y2 = 1 en el plano z = 0, su ecuación etá dada por x2 + y2 = 1.



Figura 3.2: Cilindro circular recto

Si la directriz de una superficie cilíndrica o cilindro es unacircunferencia, el cilindro es circularelipse, el cilindro es elípticohipérbola, el cilindro es hiperbólicoparábola, el cilindro es parabólicorecta, el cilindro es un plano

Figura 3.3: Cilindro hiperbólico



Figura 3.4: Cilindro parabólico

3.2.1 Coordenadas cilíndricasEn este cilindro circular recto suelen ser muy útiles las llamadas coordenadas cilíndricas.Dado un punto P(x,y,z) ∈ R3, consideremos su proyección sobre el plano xy y el ángulo θ que

queda determinado por el semieje positivo x y el vector−−→(x,y) en el plano z = 0, medido en sentido

antihorario visto desde el eje z positivo. El punto P puede representarse como la terna

(rcosθ ,rsenθ ,z)

con 0≤ θ ≤ 2π , r =√

x2 + y2 (r = 1 si P(x,y,z) ∈C.)



Ejercicios 3.21. Graficar

z = x2

y = cosxx = 1− y2

Qué tipo de superficies son? Mostrar la generatriz y una directriz de la misma.2. Describir las coordenadas cilíndricas de los puntos que pertenecen a la superficie x2−6x+

y2 = 0.3. Describir las coordenadas cilíndricas de los puntos que pertenecen a la superficie x2+y2 = r2,

para r ≥ 0.4. Calcular las coordenadas cilíndricas de un punto cualquiera usando GeoGebra .5. Explorar en GeoGebra los comandos Cilindro, Cilindro infinito.6. a) Graficar la curva intersección de 4x2 + y2 = 1, z = 0 utilizando un comando adecuado.

No muestre las superficies originales.b) Crear un deslizador k en el intervalo [0,2π] y el punto A(cosk/2,senk,0). Verificar que

el punto se mueve en la curva del inciso anterior.c) Graficar el vector~u(1,1/2,2) y la recta que pasa por el punto A y es dirigida por~u.d) Mostrar el rastro de la recta y deslizar k para obtener un cilindro. Si es necesario

disminuya el incremento del deslizador.

3.3 Superficies CónicasUna superficie cónica es aquella que está generada por una recta que se mueve sobre una curva

plana fija de manera tal que siempre pasa por un punto fijo que no pertenece al plano donde estácontenida la curva. La recta móvil se llama generatriz, la curva fija se llama directriz y el puntofijo se llama vértice.

Si se conocen la ecuación de la directriz y las coordenadas del vértice se puede encontrar laecuación de la superficie cilíndrica que también se suele llamar cono.

Una función f (x,y,z) es homogénea de grado n en sus tres variables si

f (tx, ty, tz) = tn f (x,y,z) ∀ t ∈ R, t 6= 0



Se puede ver que una superficie definida por la ecuación F(x,y,z) = 0 es un cono si y sólo si lafunción F es homogénea de grado 2 en todas sus variables.

La superficie cónica típica es aquella cuyo vértice es el origen y su directriz una circunferenciacontenida en un plano paralelo al plano xy . Dicha superficie es llamada cono circular recto y suecuación es

x2 + y2− z2 = 0.

Ejercicios 3.3

1. Graficar x2 = y2 + z2

2. Explorar los comandos Cono, Cono infinito.3. Conos y cónicas

Las llamadas secciones cónicas, o simplemente cónicas, son ciertas curvas particulares cuyaspropiedades son conocidas desde la antigüedad clásica. Su nombre se debe a que estas curvaspueden obtenerse al realizar la intersección de un cono circular con un plano en distintasposiciones. Ellas son la parábola, la circunferencia, la elipse y la hipérbola. Para visualizarlasconstruiremos un cono, un plano y haremos su intersección, utilizando herramientas deGeoGebra , siguiendo estos pasos:

a) En el menú vista active la Vista Gráfica 3D.b) Use la barra de comandos para dar entrada, de cada uno de los comandos:

a=ConoInfinito[(0, 0, 0), (0, 0, 3), 45o]A= (2,2,0)B=(0,-2,0)C=(0,0,2)b=Plano[A,B,C]Mueva los puntos A, B y C en la Vista Gráfica 3D y observe la intersección delcono con el plano.

c) Determine la intersección del cono con el plano, usando la herramienta Intersección dedos superficies o escribiendo c=Interseca[a,b] o IntersecaRecorridos[a, b].

d) Active la representación 2d de la cónica c.e) Mueva los puntos A, B y C en la Vista Gráfica 3D y observe las distintas cónicas en la

vista 2D de la curva c.



3.4 Otras superficies3.4.1 Superficies de revolución

Una superficie es una superficie de revolución si está generada por la rotación de una curvaplana alrededor de una recta contenida en el plano que contiene a la curva. La curva plana que rotase llama generatriz y la recta alrededor de la cual rota la generatriz se llama eje de rotación.

Cualquier posición de la curva generatriz se llama meridiano y cada circunferencia descriptapor un punto de la generatriz se llama paralelo.

Las esferas, el cilindro circular recto y el cono circular recto son superficies de revolución.La ecuación de una superficie de revolución se puede conocer a partir de la ecuación de la

directriz y el eje de revolución.Por ejemplo, si se considera la hipérbola de ecuación y2−4x2 = 4 contenida en el plano xy que

rota alrededor del eje y, se llega a que la ecuación de la superficie de revolución es

y2−4x2−4z2 = 4

reemplazando√

x2 + z2 (el módulo del vector (x,0,z) que se obtiene anulando la variable querepresenta el eje de rotación) en lugar de x que es la variable que está libre sobre el eje de rotación.En el siguiente recurso puede visualizarse un toro como una superficie de revolución.

https://www.geogebra.org/m/Fz8xUTMW

3.4.2 Superficies regladasUna superficie reglada es aquella que se genera con el movimiento de una recta.La recta móvil, en cualquiera de sus posiciones, se llama generatriz de la superficie. Los

planos, los cilindros y los conos son superficies regladas.En el recurso https://www.geogebra.org/m/xtYMbnKn podemos observar distintas super-

ficies regladas.


https://www.geogebra.org/m/Fz8xUTMW

https://www.geogebra.org/m/xtYMbnKn

4. Cuarta Clase

4.1 Superficies CuádricasUna propiedad importante de las superficies cuádricas es que cuando se considera su intersec-

ción con un plano cualquiera, la curva intersección es una cónica. Mediante una transformaciónconveniente de coordenadas la ecuación general de una cuádrica

Ax2 +By2 +Cz2 +Dxy+Eyz+Fxz+Gx+Hy+ Iz+ J = 0

puede escribirse de alguna de estas dos maneras

Mx2 +Ny2 +Pz2 = R ó Mx2 +Ny2 = Sz

con M,N,P,R y S constantes definidas a partir de A,B,C,D,E,F,G,H, I y J.Las superficies del tipo Mx2 +Ny2 +Pz2 = R tienen un centro de simetría y se llamancuádricas con centro.

Las superficies del tipo Mx2 +Ny2 = Sz no tienen un centro de simetría y se llaman cuádricassin centro.

Una esfera es una cuádrica con centro y un plano es una cuádrica sin centro.

4.1.1 Cuádricas con centroDe acuerdo a los coeficientes de la ecuación de una cuádrica con centro Mx2 +Ny2 +Pz2 = R

se puede ver que esta superficiees un elipsoidees un hiperboloide de una hojaes un hiperboloide de dos hojases un cilindro recto, circular, hiperbólico o elípticoson dos planos paralelosno es ningún lugar geométrico



Figura 4.1: Elipsoide

Figura 4.2: Hiperboloide una hoja

La ecuación de una cuádrica con centro que tiene todos los coeficientes no nulos puede escribirseen forma canónica

± x2

a2 ±y2

b2 ±z2

c2 = 1.

Los puntos (±a,0,0), (0,±b,0) y (0,0,±c) son los puntos de intersección de la cuádrica conlos ejes x, y y z.

Si todos los términos son positivos la cuádrica es elipsoide, la esfera es un caso particular.

Si uno de los términos es negativo y los otros dos son positivos, la cuádrica es un hiperboloidede una hoja.La variable correspondiente al signo negativo es la del eje alrededor del cual se desarrolla lacuádrica.Si dos de los términos son negativos y uno es positivo, la cuádrica es un hiperboloide dedos hojas.

La variable correspondiente al signo positivo es la del eje alrededor del cual se desarrolla la



Figura 4.3: Hiperboloide de dos hojas

cuádrica.

4.1.2 Cuádricas sin centroDe acuerdo a los coeficientes de la ecuación de una cuádrica sin centro Mx2 +Ny2 = Sz se

puede ver que esta superficie esun paraboloide elípticoun paraboloide hiperbólicoun eje coordenadoun cilindro parabólico rectodos planos que se cortanun plano coordenado

La ecuación de una cuádrica sin centro que tiene todos los coeficientes no nulos puede escribirseen forma canónica

± x2

a2 ±y2

b2 = cz.

Si los coeficientes de los términos cuadráticos tienen el mismo signo es un paraboloideelíptico.Si los coeficientes de los términos cuadráticos tienen signos contrarios es un paraboloidehiperbólico.



Figura 4.4: Paraboloide elíptico

Figura 4.5: Paraboloide hiperbólico

Ejercicios 4.1

1. Graficar en GeoGebra las siguientes superficies y sus trazas.a) x2 + y2 +2z2 = 4.b) x2 + y2 +1 = z2.c) y2− x2− z2 = 2.d) z = 3(x2 + y2).e) y =−2x2−4z2.f ) z = y2− x2.

2. El siguiente recurso de GeoGebra nos permite visualizar las trazas de un cilindrohiperbólico https://www.geogebra.org/m/b9SZ9fgg


https://www.geogebra.org/m/b9SZ9fgg


4.2 Cuerpos y volúmenes

Un cuerpo geométrico es una figura geométrica con tres dimensiones: altura, longitud y ancho(o profundidad).

Entendido como lugar geométrico, un cuerpo sólido es una región del espacio con volumendelimitada o cerrada por superficies. Los sólidos o cuerpos geométricos se clasifican en poliedros ycuerpos redondos.

4.2.1 Poliedros

Un poliedro es, en el sentido dado por la geometría clásica al término, un cuerpo geométricocuyas caras son planas y encierran un volumen finito. La palabra poliedro viene del griego clásicopolyedron, de la raíz polys, muchas y de edra, base, asiento, cara. Los poliedros se conciben comocuerpos tridimensionales, pero hay semejantes topológicos del concepto en cualquier dimensión.Así, el punto o vértice es el semejante topológico del poliedro en cero dimensiones, una aristao segmento lo es en 1 dimensión, el polígono para 2 dimensiones; y el polícoro el de cuatrodimensiones. Todas estas formas son conocidas como politopos, por lo que podemos definir unpoliedro como un polítopo tridimensional. Se llama poliedro a todo cuerpo acotado, limitado por unnúmero finito de superficies planas. Los poliedros tienen como elementos comunes caras, vértices yaristas.

Las caras son los polígonos que forman su superficie.Las aristas son segmentos, son los lados de las caras. Cada arista hace frontera de dos caras.Los vértices son los puntos extremos de las aristas. En cada vértice concurren tres o máscaras.

Se ha demostrado que las superficies planas que limitan un poliedro son polígonos.

Un poliedro convexo es un poliedro P, que a su vez es un conjunto convexo; es decir si contienedos puntos A y B, incluye al segmento que ellos determinan. Los poliedros son denominados deacuerdo a su número de caras y pueden ser clasificados según distintas características que presentan,por ejemplo si sus caras son regulares (todas las caras del poliedro son polígonos regulares) ouniformes (todas las caras del poliedro son iguales), si sus aristas son uniformes (los pares de carasque se reúnen en cada arista son iguales) o lo son sus vértices (en todos los vértices del poliedroconvergen el mismo número de caras y en el mismo orden).

Se dice que un poliedro regular es aquel que tiene caras y ángulos iguales, por ejemplo uncubo o hexaedro (seis caras). El cubo posee seis polígonos con lados iguales. Podría pensarse quecon polígonos regulares iguales como caras se podrían construir infinidad de cuerpos. Sin embargo,los únicos cuerpos posibles son 5. Estos poliedros eran conocidos antiguamente como sólidosplatónicos.

Los sólidos platónicos o sólidos de Platón son poliedros regulares y convexos. Solo existencinco de ellos:

el tetraedro formado por 4 caras que son triángulos equiláteros;el hexaedro formado por 6 caras que son cuadrados;el octaedro formado por 8 caras que son triángulos equiláteros;el dodecaedro formado por 12 caras que son pentágonos yel icosaedro formado por 20 caras que son triángulos equiláteros.

En el diálogo Timeo del filósofo Platón, en el que explica la construcción del Universo, dice “Elfuego está formado por tetraedros; el aire, de octaedros; el agua de icosaedros; la tierra, de cubos; ycomo aún es posible una quinta forma, Dios ha utilizado ésta, el dodecaedro pentagonal, para quesirva de límite al mundo”.



El nombre del grupo proviene del hecho de que los griegos adjudicaban a cada uno de estoscuerpos uno de los elementos fundamentales: tierra, agua, aire y fuego, y el restante, al dodecaedro,la divinidad. Los sólidos platónicos son el inicio del estudio de los poliedros.

En 1750, Leonhard Euler publicó su teorema para poliedros, el cual indica la relación entre elnúmero de caras, aristas y vértices de un poliedro convexo. El famoso teorema o fórmula expresauna constante que no se altera en caso de rotaciones o traslaciones de dichos poliedros. En laproposición también concluye que solo pueden ser cinco los sólidos regulares y establece para ellosvarias relaciones. Entre ellas

cantidad de caras + cantidad de vértices = cantidad de aristas + 2

Repasamos las áreas y volúmenes de los polígonos regulares de lado l:

Poliedro Area VolumenTetraedro

√3l2

√2

12 l3

Cubo 6l2 l3

Octaedro 2√

3l2√

23 l3

Dodecaedro 3√

25+10√

5l2 15+7√

54 l3

Icosaedro 5√

3l2 5(3+√

15)12 l3

Se dice que un poliedro irregular es aquel que tiene caras o ángulos desiguales. Entre ellospodemos mencionar a los prismas y a las pirámides.

Los prismas son poliedros formados por dos bases iguales y por caras laterales que sonparalelogramos. Los prismas se nombran según sea el polígono de sus bases: prisma triangular,cuadrangular, pentagonal, hexagonal, etc.



Si cortamos un prisma por una de sus aristas laterales y por las de sus bases, y lo extendemossobre una superficie plana, obtenemos su desarrollo. Si lo hacemos al revés, primero dibujamossu desarrollo y luego lo recortamos del papel, lo podremos construir uniéndolo por sus aristas. Sedenomina desarrollo plano de un cuerpo a una distribución de sus caras en una sola pieza de modotal que, al plegarlo por la líneas interiores, sea posible armarlo.

Las pirámides son poliedros con una sola base formada por un polígono cualquiera, y sus caraslaterales son triángulos. Las pirámides se nombran por el polígono de base, por ejemplo, pirámidetriangular, cuadrangular, pentagonal, hexagonal, etc.

Al cortar una pirámide por una de sus aristas laterales y por las de su base, y extenderla sobreuna superficie plana, obtenemos su desarrollo. El desarrollo de una pirámide recta está formado porla base y por tantos triángulos como lados tenga el polígono de la base.

4.2.2 Cuerpos redondos

Los cuerpos redondos son aquellos que tienen, al menos, una de sus caras o superficies deforma curva. El cilindro y el cono son cuerpos redondos porque sus superficies laterales son curvas.Otro ejemplo es la esfera.

Como mencionamos anteriormente, un cilindro es una superficie de las denominadas cuádricasformada por el desplazamiento paralelo de una recta llamada generatriz a lo largo de una curvaplana, denominada directriz del cilindro. El sólido encerrado por esta superficie y por dos planosperpendiculares a la generatriz también es llamado cilindro.



El cilindro circular está formado por 2 bases iguales, que son círculos, y una superficie lateralcurva. Si el radio de la base es R y la altura del cilindro es h, la superficie de un cilindro circularrecto está dada por

2πR2 +2πRh.

El volumen de un cilindro es el producto del área de la base por la altura del cilindro. En elcaso de un cilindro circular su volumen es

πR2h.

Como vimos en la clase anterior, se denomina superficie cónica a toda superficie regladaconformada por el conjunto de rectas que tienen un punto común (el vértice) e intersecan a unacircunferencia contenida en un plano que no contiene al vértice. El sólido encerrado por estasuperficie y un plano paralelo al que contiene a la circunferencia también es llamado cono.

El cono tiene una sola base, que es un círculo, y una superficie lateral curva. Supongamos quelo delimitamos por el plano que contiene a la directriz, entonces tenemos un sólido en el espacio.

El área de esta superficie cónica se calcula mediante la siguiente expresión

πR(R+a)



donde R es el radio de la base y a la longitud de la generatriz del cono recto que verifiquea2 = R2 +h2, siendo h la altura del cono.

El desarrollo plano de un cono recto es un sector circular y un círculo. El sector circularestá delimitado por dos generatrices, siendo la medida del lado curvo igual a la longitud de lacircunferencia de la base.

El volumen de un cono de radio R y altura h es 1/3 del volumen del cilindro que posee lasmismas dimensiones:

13

πR2h.

El sólido encerrado por una esfera es un cuerpo redondo, sin caras, formado por una solasuperficie curva y también se llama esfera. Dada una esfera de radio R, su volumen es 4

3 πR3 y suárea está dada por 4πR2.Ejercicios 4.2

1. Construcción de un cuboEn la Barra de Entrada escriba a = 3. Abra la vista gráfica 3D.Se definen los vértices del cubo a partir del vértice A, sumando un vector de norma aen las tres direcciones de los ejes coordenados. Ingresamos en la barra de entrada, porejemplo, los siguientes puntos:

A = (0,0,0), B = A+(a,0,0), C = A+(a,a,0), D = A+(0,a,0), E = A+(0,0,a).

Por último el cubo es definido como un prisma de vértices A,B,C y D la base, uncuadrado, con lado de arista [AE] que mide a ingresando Prisma(A,B,C,D,E).Una construcción alternativa, usando la herramienta Cubo, es la secuencia de comandos:A = (0,0,0), B = A+(a,0,0), E = A+(0,0,a), Cubo(A,B,Vector[A,E])¿Puede construir el mismo cubo utilizando de otra forma la herramienta Cubo?

2. Seleccione el cubo construido y utilice el comando Desarrollo.3. Seleccione una de las caras del cubo construido en 1, y aplique la herramienta Prisma o

Cilindro desde su base, usando para la medida de la altura el valor de a para construir cubosde aristas congruentes.

4. Con la herramienta Tetraedro, construir en la vista gráfica 3D un tetraedro de vérticesA = (0,0,0) y B = (2,0,0). Aplicar en el mismo la herramienta Desarrollo y darle unaanimación al deslizador b en la vista gráfica 2D.¿Qué ocurre cuando aplica la herramienta Prisma o Cilindro desde su base con altura 2 endistintas caras de esta construcción?

5. Explore los comandos Octaedro, Dodecaedro e Icosaedro para construir otros sólidosplatónicos.

En el siguiente recurso se pueden observar los desarrollos de los sólidos platónicos.https://www.geogebra.org/m/pyN8dcap

Ejercicios 4.31. Con un deslizador “a” de GeoGebra , y el comando

Prisma(< Punto >,< Punto >, · · ·)

construyan el prisma que contiene los puntos (0,0,0), (2,0,0), (2,3,0), (0,3,0) y (0,0,a).a) ¿Cuáles son sus vértices?b) ¿Cuál es el volumen del prisma?c) ¿Cuál es el volumen del prisma cuando a=1? ¿Y cuando a=-1? ¿Por qué esos valores?d) ¿Hay algo que quieran modificar en la respuesta del inciso 1b?¿Por qué?


https://www.geogebra.org/m/pyN8dcap


e) ¿Pueden decir qué información da GeoGebra cuando el comando

Prisma(< Punto >,< Punto >, · · ·)

es utilizado?¿Qué información da cuando a=-1?

f ) ¿Hay algo que quieran modificar en la respuesta del inciso 1b?¿Por qué?2. Consideremos los puntos P1 = (3,0,0), P2 = (2,2,0) y P3 = (0,0,1) y los vectores v1,2 y v1,3

los vectores que tienen como punto inicial P1 y como punto final P2 y P3 respectivamente.a) ¿A qué plano pertenecen? Den la ecuación del mismo.b) Con un comando, calculen el área del paralelogramo que tiene por lados a v1,2 y v1,3 y

a dos vectores paralelos a éstos, de igual longitud que los mismos. ¿Cuál es el área deltriángulo que tiene por vértices a P1, P2 y P3?

c) Con el comandoPrisma(< Polígono >,< Punto >)

trazar prisma con base el triángulo que tiene por vértices a P1, P2 y P3 y usar alguno delos vértices como punto. ¿Qué información da?

3. Utilizaremos el polígono de 2.a) Con este polígono y el comando

Prisma(< Polígono >,< Punto >)

tracen el prisma que denominaremos p1 cuyo punto es el (0,0,4).¿Se formó el prisma que esperaban?¿Por qué GeoGebra dibujó ese prisma?

b) Seleccionando de la barra de herramientas Volumen, calculen el volumen de p1.¿Pueden decir qué información da GeoGebra cuando el comando

Prisma(< Polígono >,< Punto >)

es utilizado?c) Con los mismos polígonos y comandos, tracen el polígono p2 cuyo punto es (3,0,4).

¿Cuál es su volumen?¿Qué relación encuentran con el volumen de p1? Justificar.

4. Vamos a redescubrir con GeoGebra algo que ya sabíamos:a) Con la herramienta Deslizador, generen un deslizador, llamado “r”. Por defecto, el

intervalo para r es [−5,5]. Pueden modificarlo si quieren.b) Construyan un cilindro:

I) Con la herramienta Cilindro, construyan un cilindro seleccionando los puntos(0,0,4) y (0,0,0), y como radio, r.

Observen qué pasa si cambia el orden de elección de los puntos.¿Tiene sentido que r tome valores negativos? Pueden editarlo si quieren.

II) Con el comando Volumen, calculen el volumen del cilindro.Si quieren, puede renombrarlo como VolCilindro, o algo que les sirva paraidentificarlo fácilmenteObserven que este valor cambia si modifican el valor de r con el deslizador.

c) Construyan un cono:I) Con la herramienta Cono, construyan un cono seleccionando los puntos (0,0,4) y

(0,0,0), y como radio, r.Observen qué pasa si cambian el orden de elección de los puntos. ¿Es igualque con el cilindro?



II) Con el comando Volumen, calculen el volumen del cono.Si quieren, puede renombrarlo como VolCono, o algo que les sirva paraidentificarlo fácilmente.Observen que este valor también cambia si modifica el valor de r con eldeslizador.

d) Ahora, en la Entrada, para r=1, dividan el valor del Volumen del cilindro por el delcono. Es decir, renombrándolos como antes, escribirían

Cociente =VolCilindro/VolCono

¿Cuánto da? ¿Qué pasa si modifican el valor de r?e) I) ¿Qué pasa con el cociente si al punto (0,0,4), mediante click derecho, le dan

Animación?II) ¿Qué conclusiones pueden sacar?

5. Calculen el área del cono y del cilindro del ejercicio anterior. Pueden utilizar el comandoArea?

a) ¿Hay alguna relación entre estos nuevos valores?b) ¿Qué sucede si modifica el valor de r?


Bibliografía

Kurzrok, L., Altman S., Arnejo, M., Comparatore, C., Matemática ES 1, editorial Tinta Fresca,2008.

Larson, R., Hostetler, R., Edwards, B.; Cálculo y Geometría Analítica, Mc Graw-Hill, 1999.

Lehmann, Charles H., Geometría analítica, editorial Limusa, 2012.

Leithold, L.; El Cálculo, con Geometría Analítica, 7ma. edición, Oxford University Press,1994.

Sadosky, M., Guber, R.; Elementos de cálculo diferencial e integral, Librería Editorial Alsina,2004.

Stewart, J.; Cálculo de una variable trascendentes tempranas, International Thomson Editores,2001.


Responsables: Dra. Claudia B. Ruscitti

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