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ALGEBRA, CÁLCULO NUMÉRICO Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

Capítulo 1

1

CAPITULO 1

CONICAS

COMENTARIOS GENERALES… .........................................................2 a 3

1. CIRCUNFERENCIA, definición y ejemplos. ....................................... 3 a 6

2. PARABOLA, definición y ejemplos......................................................7 a 12

3. ELIPSE, definición y ejemplos… ........................................................ 12 a 19

4. HIPERBOLA, definición y ejemplos… .............................................. 20 a 25


Capítulo 1

2

Cónicas

Anteriormente estudiamos que una ecuación de primer grado en dos variables:

a x + by + c =0 siempre representa una recta, y toda recta se puede representar por una

ecuación de primer grado en dos variables.

La ecuación general de segundo grado en dos variables tiene la forma

a x2 + b xy + c y2 + dx + ey + f = 0

en la cual a, b y c son números reales que no son cero a la vez.

Las ecuaciones de segundo grado en dos variables representan, con dos excepciones

triviales, a secciones cónicas; esto es, curvas formadas por la intersección de un plano

con un cono circular recto.


Capítulo 1

3

De manera inversa, todas las secciones cónicas se designan mediante ecuaciones de

segundo grado en dos variables. (Analice que representa si b = d = e = f = 0 y si d = e

= f = 0 y si además a = 0 ó c = 0)

Las secciones cónicas tradicionales, o simplemente cónicas, son la elipse, la parábola,

la hipérbola; la circunferencia es un caso especial de la elipse.

A los demás casos se les llama cónicas degeneradas. Existen otros dos casos

representados por ecuaciones de segundo grado: un par de rectas y la carencia de

gráfica, que no se obtienen como intersección de cono y plano.

Un cono tiene dos porciones, o troncos, separados entre sí por el vértice; no tiene base o

extremo, por lo que se prolonga indefinidamente en ambas direcciones; de esta manera,

algunas de las secciones cónicas no están acotadas, eso depende de cómo corte el plano

al cono…


Capítulo 1

4

1. Circunferencia

En este apartado vamos a determinar ecuaciones para las circunferencias, que como

veremos luego es un caso particular (y muy sencillo) de una situación más general.

Dependerá de la posición del centro C y el radio r la ecuación que se obtendrá.

Sea C(, ) y sea r el radio. Si P(x, y) es un punto genérico de la circunferencia por

ello debe cumplir:

d(P,C) = r es decir, aplicando la definición de

distancia :

(x )2 ( y )2

r

por lo cual :

(x )2 ( y )2

r 2

Hemos determinado la expresión

buscada.

(1)

Ecuación canónica de la

circunferencia con

centro C(,) y radio r

EJEMPLO :

Hallar una ecuación de la circunferencia con centro en C(2, 1) y tiene radio 5.

Solución: En este caso = 1 y = 2 , y r = 5, sólo hay que remplazar en la

expresión hallada (1) estos datos:

(x 2)2 + (y (1))2 = 52 o sea:

(x 2)2 + (y +1)2 = 25

EJERCICIO:

Hallar una ecuación de la circunferencia:

a) De centro C(1, 2) y radio1

b) De centro C(0, 0) y radio 3

c) De centro C(0, 0) y radio 1.

d) De centro C( 3, 4) y radio 1.

e) De centro C(5, 0) y radio 31/2.

Una circunferencia es el conjunto de puntos del plano que equidistan (están a igual

distancia) de un punto fijo llamado centro. Esa distancia se llama radio.

(x )2 ( y )2

r 2


Capítulo 1

5

Si se desarrollan los cuadrados en (1) se obtiene: x2 – 2 x+ 2 + y2 – 2 y + 2 = r 2

que se puede llevar a la forma :

(2) a x2 + b y2 + c x + d y + e = 0 para valores convenientes de a, b, c, d y e en R

? Observar que debe ser a = b.

La pregunta es ¿toda expresión de la forma (2) representa una circunferencia?

Analicemos con un ejemplo la respuesta.

EJEMPLO:

Consideremos 2 x2 + 2 y2 + 4 x 8 y 8 = 0 el propósito es llevarla a la forma (1)

para determinar sus elementos; dividimos por 2 miembro a miembro y completamos

cuadrados.

x2 y

2 2x 4 y 4 0

Este artilugio o estrategia, de completación de cuadrados, consiste en tratar que la

expresión en “x”, respectivamente en “y”, que poseemos se parezca a una de la forma

x 2 , pero como x

2 x

2 2x 2

, análogo para y 2 .

Así resulta que:

x2 2x y

2 4 y 4 x

2 2x(1) y

2 2.2 y 4 0

Observar que como x2 2x x2 2x(1) x2 2x(1) 12 1 x 1

2 1 (i)

y de igual forma : y2 4 y y2 2.2 y 22 4 y 22 4 (ii)

Luego, la expresión puede escribirse como:

x2 2x y

2 4 y 4

Y por lo observado antes en (i) y (ii) puede reescribirse sumando a ambos miembros 1

unidad para completar las “x” y 4 unidades para completar las “y”.

x2 2x 1 y

2 4 y 4 4 1 4

Con lo que nos queda :

? x 12 y 2

2 9

Observar que el primer miembro es POSITIVO, luego para ser una circunferencia el

segundo miembro que está representando al cuadrado del radio también debe serlo y en

este caso así es.

Por lo tanto la ecuación dada

representa una circunferencia con

centro C( 1, 2) y radio 3, cuya

gráfica es la adjunta.


Capítulo 1

6

EJERCICIO:

Decir, justificando la respuesta, si las siguientes ecuaciones representan o no una

circunferencia.

En caso de serlo hallar sus elementos.

a) x2 + y2 – 2x + 2y = 1

b) x2 + y2 + 2x – 2y = 1

c) x2 + y2 – 2x – 2y – 1 = 0

d) x2 – 2x + y2 = 1

e) 3x2 + 3y2 + 9x – 3y + 21 = 0

f) 6x2 + 6y2 – 12x + 12y – 6 = 0


Capítulo 1

7

2. Parábola

La definición de parábola como lugar geométrico es la siguiente:

Imaginemos que el punto F(c, 0) es el foco y la directriz, x = – c , c 0. Escogemos un

punto P(x, y) de la parábola y vemos que condiciones deben satisfacer x e y.

Al valor c se lo llama distancia focal.

De acuerdo a la definición,

se tiene:

d (P, F ) d (P, D)

Por qué podemos afirmar que D

tiene coordenadas (c, y)?

Aplicando la definición de distancia:

(x c)2

y como las bases son positivas:

(x c)2 y

2 (x c)

2

x 2 2cx c

2 y

2 x

2 2cx c

2

que simplificando nos queda :

y2 = 4cx (1)

Observar que los pasos que realizamos a partir de la definición hasta obtener (1) pueden

revertirse. Porqué?

Por lo tanto si un punto está en la parábola cuyo foco está en (c, 0) y su directriz tiene

ecuación x = – c, satisface la ecuación y2 = 4cx y recíprocamente.

Observación: Comprobar que un punto P(y2 /4c, y ) es tal que d(P, F) = d(P, D), con

F(c,0) el foco y la directriz dada por x = – c , c 0

Una parábola es el conjunto de los puntos de un plano que equidistan (están a igual

distancia) de un punto fijo (foco) y de una recta fija (directriz), que no contiene al foco.

= 4cx y2

Un punto P(x, y) está en la parábola de foco F(c, 0) y directriz d: x = - c si y sólo si

satisface la ecuación

(x c)2 y

2

?


Capítulo 1

8

Veamos algunas propiedades de esta parábola:

Primero observemos que el eje x es eje de simetría de la curva; en otras palabras, la

parte que está abajo del eje x es la imagen especular (en espejo) de la parte de arriba de

él. A esta recta se le llama el eje de la parábola y es perpendicular a la directriz y

contiene al foco.

El punto de intersección del eje de la parábola con la parábola es el vértice V.

El vértice de la parábola dada por y2 = 4cx coincide con el origen del sistema, V(0, 0).

La distancia del vértice al foco es c (por eso su nombre, aunque también es la distancia

de la directriz al vértice….).

Se puede invertir el papel de x e y en lo anterior, se obtendrá:

Acá

trabaje

Un punto P(x, y) se encuentra en la parábola cuyo foco está en F(0, c) y cuya directriz

es d: y = – c, si y sólo si satisface la ecuación

x2 = 4cy

1.2.1EJEMPLO:

Trazar y describir a y2 = 8x.

Solución:

Esta ecuación tiene la forma

y2 = 4cx, siendo entonces c = 2.

De esta manera, representa una parábola cuyo vértice está en el origen (0, 0) y su eje es

el eje x.

El foco está en F(2, 0) y su directriz esta

determinada por x = – 2.


Capítulo 1

9

1.2.2.EJEMPLO:

Trazar y describir x2 = – 12y

Solución:

Esta ecuación tiene la forma

x2 = 4cy, siendo entonces c = – 3.

Por consiguiente, es una parábola con su vértice en el origen y su eje es el eje y.

El foco está en F(0, – 3) y una ecuación de la directriz es y =3.

Observemos que, de acuerdo con estos dos ejemplos, el signo de c expresa la

dirección hacia la cual se abre la parábola. En general vale (justifique!!!):

Si c es positiva, la parábola se abre en dirección positiva (a la derecha o arriba).

Si c es negativa, la parábola se abre en dirección negativa (a la izquierda o abajo).

EJEMPLO:

Deducir una(s) ecuación(es) de la o las parábolas que tienen su vértice en el origen y su

foco en (– 4, 0).

Solución:

Como el foco y el vértice se encuentran en el eje x, éste es el eje de la parábola.

Por tanto, está representada por una ecuación de la forma y2 = 4cx.

Si el vértice es V(0,0) y el foco está en F(– 4,0) resulta c = – 4 y la ecuación es

y2 = – 16x.

Hay una única parábola con vértice en el origen y foco F(– 4.0), que es la

representada en la figura.


Capítulo 1

10

Respecto a las ecuaciones que la representan son sólo una, salvo por modificaciones

algebraicas equivalentes, por ejemplo:

16 x + y2 =0 , 4 x + y2 /4 =0 , 3 y2 = -48 x , etc.

que son expresiones algebraicas distintas, pero todas equivalentes entre sí.

EJERCICIO:

Trazar y describir las parábolas representadas por las siguientes ecuaciones

a) y2 = – 12x c) x2 = – 8y e) y2 =10x

b) x2 = 5y d) x2 = 6y f) y2+5x =0

1.2.5EJERCICIO:

Deduce una(s) ecuación(es) de la o las parábolas descriptas en los siguientes items:

a) Vértice en (0, 0), eje en el eje x, contiene a (1, 5)

b) Vértice en (0, 0), eje en el eje y, contiene a (1, 5)

c) Foco en (– 3, 0), directriz representada por x = 3.

d) Vértice en (0, 0), contiene a (2, 3) y a (– 2, 3)

e) La directriz es dada por y = 3 y foco en (0, -3)


Capítulo 1

11

Sea ahora una parábola de vértice V , , con eje paralelo al eje x, distancia

focal c, tal como ilustra la figura.

Si planteamos que por la definición la distancia de un punto P x, y al foco es igual a

la distancia del punto P x, y a la recta directriz, resulta que:

EJERCICIO:

Continuar la demostración planteada, llegará a la expresión:

y 2 4c x

EJERCICIO:

Deducir una ecuación de la parábola de vértice V , y con foco F(α , β + c) y

directriz d: y = β - c (la parábola es de eje paralelo al eje y, con distancia focal es

|c|.Representar gráficamente para orientarse!!!

EJERCICIO:

Graficar las parábolas determinadas por las siguientes ecuaciones:

a) y2 = 4(x – 1)

b) y2 = 4(x + 1 ) Qué observa?

Un punto P(x, y) está en la parábola de foco F(α + c, β) y directriz d: x = α - c ,

y vértice V , si y sólo si satisface la ecuación y 2 4c x

(la parábola es de eje paralelo al eje x, con distancia focal c )

x c2

y 2

x c2


Capítulo 1

12

(x c)2 y

2

c) (x+1)2 = 4(y – 1)

d) (x+1)2 = 4(y + 1) Qué observa?

EJERCICIO:

Considere las parábolas del ejercicio anterior y para cada una de ellas:

a) Determine el foco F.

b) Determine la directriz d y una ecuación que la represente.

c) Determine un punto A que esté en la parábola. Compruebe que d(A, F)= d(A, d)

3. Elipse Veremos otra cónica que la circunferencia es un caso particular.

Representaremos a los focos como F1(c, 0) y F2(– c, 0) y a la constante fija como 2 a.

2 a >0 (porqué????)

Si P(x, y) representa a un punto de la elipse, entonces

d (P, F1 ) d (P, F2 ) 2.a

que por la definición de distancia se

puede expresar como :

2.a

Pasando una raíz al otro miembro:

elevando al cuadrado ambos miembros y haciendo cuentas:

2.a

x 2 2cx c

2 y

2 4a

2 4a. (x c)

2 y

2 x

2 2cx c

2 y

2

cancelando y pasando de miembro convenientemente:

4a. (x c)2 y

2 4a

2 4cx

dividiendo ambos miembros por 4a (Cómo es a??):

a cx

a

elevando nuevamente al cuadrado ambos miembros:

Una elipse es el conjunto de los puntos P(x, y), tales que la suma de las distancias de

P(x, y) a un par de puntos fijos distintos (los focos) es una constante fija.

(x c)2 y

2

(x c)2 y

2 (x c)

2 y

2

( x c)2 y

2


Capítulo 1

13

2

x 2 2cx c

2

y 2

a 2

2cx c 2 x 2

a 2

Cancelando, agrupando y dividiendo ambos miembros por a2 c

2 (cómo es a

2 c

2 ????):

x y 2

a 2 a 2 c 2 1

El triángulo cuyos vértices están en (c, 0), (– c, 0) y P(x, y), tiene uno de sus lados de

longitud 2 c . La suma de las longitudes de los otros dos lados es 2.a. Así,

2a > 2 c

a > c

a2 > c2

a2 – c2 > 0

Como a2 – c2 es positivo, lo podemos llamar b2 .

Por lo tanto, al reemplazar obtenemos:

𝑥2

𝑎2+

𝑦2

𝑏2= 1

en donde b2 = a2 - c2

Observemos que hemos elevado al

cuadrado ambos lados de la igualdad al

efectuar dos pasos, y como hemos

partido de distancias que son positivas

y por la definición de la elipse ambos

lados de la igualdad son positivos. En

consecuencia, no hemos introducido

raíces extrañas y esos pasos se pueden

invertir.

Algunas propiedades de esta elipse:

Vemos que hay dos ejes de simetría: el eje x y el eje y.

Además, ( a, 0) son las abscisas al origen,

(0, b) son las ordenadas al origen.

Como a > b (porque b2 = a2 - c2 ).

Por ello, al eje x se le llama eje mayor, y al eje y se le llama eje menor de la elipse.

Los puntos ( a, 0) en el eje mayor se llaman vértices y los puntos (0, b),

covértices.

Al punto de intersección de los ejes, (0, 0) en este caso, se le llama centro.


Capítulo 1

14

Los focos están en el eje mayor, están en ( c, 0).

1.3.1EJEMPLO:

Describir la curva determinada por 9 x2 + 25 y2 = 225

Solución: Primero pasaremos esta ecuación a su forma estándar; para ello dividimos

ambos miembros por 225:

𝑥2

25+

𝑦2

9= 1

De inmediato surge la pregunta acerca de cómo podemos saber que estamos manejando,

si

𝑥2

𝑎2 +𝑦2

𝑏2 = 1 o 𝑦2

𝑎2 +𝑥2

𝑏2 = 1

Los números en los denominadores no tienen etiquetas que digan cuál es a y b, de

modo que ¿cómo sabemos cuál es a y cuál es b? La respuesta es “el tamaño”.

En ambos casos, a > b. Así, el denominador mayor será a2 y el menor b2.

Entonces,

a2 = 25, b2 = 9,y c2 = a2 – b2 = 16.

Esta elipse tiene su centro en (0, 0), sus vértices en (5, 0), sus covértices (0, 3), y sus

focos en ( 4, 0). Una representación grafica de la elipse es la siguiente:

Un punto P(x, y) está en la elipse con vértices en ( a, 0) y focos en ( c, 0) si y sólo si

satisface la ecuación 𝑥2

a2 b2 1

y2

en la cual b = a – c (ecuación en forma 2 2 2

canónica o estándar) ????

Para pensar: Que ocurre si impone a b ?

También en este caso los papeles de x e y se pueden invertir.

Trabaje!!!!

!

Un punto P(x, y) está en la elipse con vértices en (0, a) y focos en (0, c) si y sólo si

satisface la ecuación

canónica o estándar)

y 2

a 2 b2 1 en la cual b = a - c (ecuación en forma

x 2 2 2 2

1


Capítulo 1

15

1.3.2 EJEMPLO:

Trazar y describir la curva dada por la ecuación 25 x2 + 16 y2 = 400.

Solución: Pasamos esta ecuación a su forma canónica, dividimos ambos miembros por

400, obtenemos:

𝑥2

16+

𝑦2

25= 1

Entonces

a2 = 25 y b2 = 16, por lo tanto c2 = a2 – b2 = 9.

Esta elipse tiene su centro en (0, 0), sus vértices en (0, 5), sus covértices en ( 4, 0) y

sus focos en (0, 3).

Haga un dibujo de la misma.

1.3.4EJERCICIO:

Trazar y describir las elipses de los siguientes apartados:

x 2

a) 169

x 2

y

2

25

y 2

x 2

c) 144

2

y

2

169

2

b) 1 25 49

d) 4x + 25y = 100

Durante dos mil años, se creyó que los planetas se movían en órbitas circulares,

alrededor de la Tierra, según el llamado modelo aristotélico. Después de todo, el

universo debe ser perfecto y el círculo es la figura perfecta (o lo que ello signifique).

Estos argumentos filosóficos se tomaron como demostración suficiente de la hipótesis.

Sin embargo, Johannes Kepler, en el siglo XVII, demostró que las órbitas son elípticas y

que el Sol está en uno de los focos, por esta razón se abandonó el modelo aristotélico

del sistema solar. No obstante, es posible que hayan órbitas circulares, y algunas (entre

ellas la Tierra) son casi circulares. De hecho, si redujéramos la órbita de la Tierra de tal

modo que el eje mayor tuviera 8 pulgadas de longitud, el eje menor tendría 7.8

pulgadas. Con esa diferencia tan pequeña era difícil reconocer que la órbita es una

elipse y no una circunferencia. (Una pulgada es 2,54 cm)

1 1


Capítulo 1

16

x c2

y 2

1.3.5EJERCICIO:

Representar y deducir una ecuación de la o las elipses descriptas en los siguientes

casos:

a) Centro en (0, 0), vértice en (0, 13), foco en (0, -5).

b) Centro en (0, 0), covértice en (0, 5), foco en (-12, 0).

c) Ejes sobre los ejes coordenados, un vértice en (0,4) y otro en (3, 0).

Sea una elipse con centro en C , , de ejes paralelos a los ejes coordenados,

con distancia focal c y semiejes a y b.

Supongamos además que el eje mayor de la elipse es paralelo al eje x, tal como se indica

en la figura.

Se quiere encontrar una ecuación que determine a la elipse del dibujo anterior.

Si P(x, y) representa a un punto de la elipse, entonces por definición:

d (P, F1 ) d (P, F2 ) 2.a

Reemplazando por la fórmula de la distancia entre puntos se tiene:

2.a

EJERCICIO:

Continuar la demostración planteada, siguiendo las ideas que hemos empleado para la

elipse centrada en el origen de coordenadas, para llegar a la expresión:

x 2

a2

y 2

1 b2

x c2

y 2


Capítulo 1

17

2 2 2

EJERCICIO:

Deducir una ecuación de la elipse con centro en C , , de ejes paralelos a los ejes

coordenados, con distancia focal c y semiejes a y b, con el eje mayor de la elipse

paralelo al eje y.

Representar gráficamente.

(Idea: haga un dibujo de la situación y siga pasos similares al ejercicio anterior)

EJERCICIO:

Graficar las elipses dadas por las siguientes ecuaciones y sacar conclusiones:

a) x

y

1 4 9

(x 2)2

b) 4

y

2

9

c) x 4

( y 2)2

1 9

Comparar las gráficas de las mismas.

EJERCICIO:

Para cada una de las elipses determinadas por las ecuaciones del EJERCICIO anterior:

a) Determinar un punto E que esté en la elipse.

b) Hallar las coordenadas de los focos F1 y F2 .

c) Verificar que d(E, F1) + d(E, F2)=2a

1 siendo b2 = a2 - c2 (ecuación en forma canónica o estándar) y

2

b2

x 2

a2

Un punto P(x, y) está en la elipse con centro en C , , de ejes paralelos a los ejes


paralelo al eje x si y sólo si sus coordenadas satisfacen la ecuación

1 siendo b2 = a2 - c2 (ecuación en forma canónica o estándar) y

2

a2

x 2

b2

Un punto P(x, y) está en la elipse con centro en C , , de ejes paralelos a los ejes


paralelo al eje y si y sólo si sus coordenadas satisfacen la ecuación

1


Capítulo 1

18

1

1.3.11EJERCICIO:

Hallar los elementos de las elipses dadas por las siguientes ecuaciones (si es que

corresponde) y representar:

x 12

a) y

2

x 3

2

b) y 2

2

4 4 16 9 4

c) x2 4 y

2 2x y 8 0 d) 3x

2 2 y

2 6x 4 y 124 0


Capítulo 1

19

( x c)2 y

2

4. Hipérbola

Otra vez representaremos a los focos como F1(c, 0) y F2(– c, 0) y la constante como 2.a

Si P(x, y) representa un punto de la hipérbola, se cumplirá lo siguiente.

Aplicando la definición (y haciendo un proceso similar al de la deducción en el caso de la elipse):

d (P, F1 ) d (P, F2 ) 2a

El signo es debido a que la expresión correcta sería

d (P, F1 ) d (P, F2 ) 2a , pero

para facilitar las cuentas, trabajamos sin valor absoluto. Aplicando la definición de

distancia:

pasando una raíz al otro miembro :

2a

2a

elevando al cuadrado y haciendo cuentas:

x 2 2cx c

2 y

2 x

2 2cx c

2 y

2 4a.

cancelando y pasando de miembro convenientemente:

(x c)

2 y

2 4a

2

4a. (x c)2 y

2 4a

2 4acx

Dividiendo ambos miembros por 4a :

a cx

a

elevando al cuadrado nuevamente:

x 2 2cx c

2 y

2 a

2 2cx

c 2 x 2

a 2

Pasando de miembro y agrupando convenientemente:

Otra cónica importante es la hipérbola. En este Curso no estudiaremos la

deducción de las fórmulas que la representa pero si daremos cuales son esas

expresiones que las representan.

Una hipérbola es el conjunto de todos los puntos P(x, y) en el plano, tales que la

diferencia positiva entre las distancias de P(x, y) a un par de puntos fijos distintos (los

focos) es igual a una constante.

y

F2

F2 (c,0 )

P(x, y)

F1

F1 (c,0)

x

(x c)2 y

2 (x c)

2 y

2

(x c)2 y

2 (x c)

2 y

2


Capítulo 1

20

c 2 a

2

a 2

x 2 y

2

c 2

a 2

Dividiendo por c2 a

2 ambos miembros:

𝑥2

𝑎2 − 𝑦2

𝑐2−𝑎2 = 1

En el triángulo PF1F2, (En todo triángulo la longitud de un lado es menor que la

suma de las longitudes de los otros dos lados) se 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 que :

PF2 PF1 F1 F2

Por lo cual

PF2 PF1

2a < 2c

a < c

F1 F2

entonces 0 < c2 – a2

Como c2 – a2 es positivo, podemos llamarlo b2, entonces:

siendo b2 = c2 – a2

luego 𝑥2

𝑎2 −𝑦2

𝑏2 = 1

Otra vez hemos elevado al cuadrado ambos miembro de una igualdad en dos pasos de la

deducción. La primera vez los dos lados eran positivos, y la segunda podían ser

positivos o negativos. Así, no hemos introducido raíces extrañas y los pasos se pueden

invertir. Por ello se concluye:

Y también, los ejes x e y son ejes de simetría, y una vez más las abscisas al origen están

en ( a, 0). En este caso no hay ordenadas al origen.

El eje x, que contiene dos puntos de la hipérbola, se llama eje transversal; el eje y, que

no tiene puntos de intersección con la hipérbola, se llama eje conjugado.

Los puntos ( a, 0) del eje transversal son los vértices, y el punto de intersección de los

ejes (0,0), se llama centro.

Para toda hipérbola existen dos rectas a las que la curva se acerca cada vez más. A esas

rectas se les denomina asíntotas.

Debemos decir las parábolas no tienen asíntotas. Por consiguiente, la hipérbola no es,

como podría suponerse al ver diagramas de hipérbolas, un par de parábolas.

a 2 b2

2 2 2 x 2 y 2

si satisface la ecuación 1 en donde b = c – a .

Un punto P(x, y) está en la hipérbola con vértices en ( a, 0) y focos en ( c, 0) si y sólo


Capítulo 1

21

Cambiando x por y, en el razonamiento anterior se puede llegar a la siguiente

conclusión:

EJEMPLO:

Describir

𝑥2

9−

𝑦2

16= 1

Solución: Vemos que a2 = 9, b2 = 16 y c2 = a2 + b2 = 25. Esta hipérbola tiene su centro

en (0, 0), sus vértices en ( 3, 0) y sus focos en ( 5, 0). Las asíntotas están dadas por:

y 4

x 3

EJEMPLO:

Trazar y describir lo representado por

16x

2 9 y

2 144 0

Solución: Pasaremos esta ecuación a su forma estándar. Para ello podemos transformar

la ecuación separando los términos con variables de los números sin variables:

16x2 9 y

2 144

Que dividiendo ambos miembros por – 144 se obtiene:

16

144 x

2

9

144 y

2 1

y simplificando convenientemente obtenemos:

𝑦2

16−

𝑥2

9= 1

Vemos que a2 = 16, b2 = 9 y c2 = a2 + b2 = 25. Esta hipérbola tiene su centro en (0, 0),

sus vértices en (0, 4) y sus focos en (0, 5). Sus asíntotas se representan mediante

y 4

x 3

y b

x a

a 2 b2

x 2 y 2

Si la hipérbola está determinada por 1 tiene asíntotas representadas por

2 2 2 siendo b = c – a 1 a 2 b2

y 2 x 2

sólo si satisface la ecuación

Un punto P(x, y) está en la hipérbola con vértices en (0, a) y focos en (0, c) si y

b a 2 b2

a y 2 x 2

Las asíntotas de la hipérbola de ecuación 1 se representan y x


Capítulo 1

22

2 2 2

1.4.3.EJERCICIO:

Trazar y describir lo que representan las ecuaciones de los siguientes apartados:

a). x

y 2

16 9 b)

y

x 1

1 9 c) 4x2 – y2 = 4

d) x2 – y2 = 0 e) 16x2 – 9y2 = – 36 f) 5x2- 5 y2+ 5=0

EJERCICIO:

Deducir una ecuación que represente a las hipérbolas descriptas en los siguientes casos:

a) Vértices en ( 2, 0), foco en (-4, 0)

b) Asíntotas: y 2

x , vértice en (6, 0). 3

EJERCICIO:

Para cada una de las hipérbolas determinadas por las ecuaciones de los incisos a), b), c)

y e) del EJERCICIO 1.4. 3:

a) Determinar un punto H que esté en la hipérbola.

b) Considerar los focos F1 y F2 .

c) Verificar que |d(H, F1) – d(H, F2) |= 2a

Sea una hipérbola de centro C , y de ejes paralelos a cada uno de los ejes

coordenados, con distancia focal c y semiejes a y b.

Supongamos además que el transverso es paralelo al eje x, tal como muestra la figura.

Se ha dibujado un rectángulo

que sirve de guía para el dibujo

de las asíntotas dela hipérbola.

Son las diagonales de ese

rectángulo (0, 4)

(0,-4)

1


Capítulo 1

23

Por la definición de hipérbola:

d (P, F1 ) d (P, F2 ) 2a

Usando la definición de distancia entre dos puntos se tiene:

EJERCICIO:

2a

Continuar la demostración planteada, siguiendo las ideas que hemos empleado para la

hipérbola centrada en el origen de coordenadas, para llegar a la expresión:

x 2

a2

y 2

1 b2

EJERCICIO:

Deducir una ecuación de la hipérbola de centro C(, ) y de ejes paralelos a cada uno

de los ejes coordenados, con distancia focal c y semiejes a y b, siendo su eje transversal

paralelo al eje y. Representar gráficamente. (Idea: haga un dibujo de la situación y siga

pasos similares al ejercicio anterior).

Un punto P(x, y) está en la hipérbola con centro en C , , de ejes paralelos a cada

uno de los ejes coordenados, con distancia focal c y semiejes a y b, siendo su eje

transversal paralelo al eje y si y sólo si sus coordenadas satisfacen la ecuación

y 2

a2

x 2

1 b2

siendo b2 = c2 – a2

Sus asíntotas son determinadas por: ( y ) b

(x ) a

a Sus asíntotas son determinadas por: ( y )

b (x )

1 siendo b2 = c2 – a2. y

2

b2

x 2

a2

Un punto P(x, y) está en la hipérbola con centro en C , , de ejes paralelos a cada

uno de los ejes coordenados, con distancia focal c y semiejes a y b, siendo su eje

transversal paralelo al eje x si y sólo si sus coordenadas satisfacen la ecuación

x c2

y 2 x c

2

y 2


Capítulo 1

24

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