1. MODELAMIENTO DE SISTEMAS: FUNDAMENTOS 1.1 INTRODUCCION Un sistema representa una unidad donde se hacen tratamientos fsicos o qumicos de materiales que puede ser contrastada con un modelo que representa una descripcin matemtica del sistema real. La disposicin de varios sistemas unidos entre s por flujos comunes de materiales y/o informacin constituye un proceso. La salida del proceso es una funcin no solamente de las caractersticas de sus sistemas (o subsistemas) sino tambin de sus interacciones o interrelaciones. Una propiedad del sistema o de su entorno a la que se le puede asignar valores numricos arbitrarios se denomina como un parmetro. Tambin puede ser una constante o el coeficiente de una ecuacin. El estudio de un proceso, mediante la manipulacin de su representacin matemtica o de su modelo fsico, constituye una simulacin. Los estudios clsicos de un proceso en estado estacionario se complementan con un anlisis dinmico, lo que exige un conocimiento de los criterios de estabilidad y de los mtodos de operacin para evaluar exitosamente el funcionamiento del proceso El anlisis de sistemas se refiere al reconocimiento y definicin de problemas, su planteamiento o modelamiento mediante la aplicacin de principios cientficos y el desarrollo de procedimientos de solucin con cuyos resultados se adquiera una total comprensin de la situacin. El anlisis y la simulacin de procesos presentan las siguientes ventajas:

1. Experimentacin Continua: Es posible estudiar procesos existentes en una forma mas rpida, econmica y completa que en la planta real. La simulacin puede aumentar o reducir el tiempo real de una forma anloga a como una cinematogrfica acelera o retarda las imgenes; de esta forma se puede observar ms fcilmente la operacin del sistema.

2. Extrapolacin: Con un modelo matemtico adecuado se pueden ensayar

intervalos extremos de las condiciones de operacin, que pueden ser impracticables o imposibles de realizar en una planta real. Tambin es posible establecer caractersticas de funcionamiento

3. Estudio de conmutabilidad y evaluacin de otros planes de actuacin: Se

pueden introducir nuevos factores o elementos de un sistema y suprimir otros antiguos al examinar el sistema con el fin de ver si estas modificaciones son compatibles. La simulacin permite comparar distintos diseos y procesos

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que todava no estn en operacin y ensayar hiptesis sobre sistemas o procesos antes de llevarlos a la prctica

4. Repeticin de experimentos: La simulacin permite estudiar el efecto de la

modificacin de las variables y parmetros con los resultados producibles. En el modelo matemtico se puede introducir o retirar a voluntad un error, lo cual no es posible en la planta real

5. Control de clculo: La simulacin constituye una importante ayuda material

para el estudio de los sistemas de control con lazos abiertos y cerrados

6. Ensayo de sensibilidad: Se puede ensayar la sensibilidad de los parmetros de costos y bsicos del sistema; por ejemplo, un incremento de un 10 % en la velocidad de alimentacin podr tener, segn los casos, un efecto mnimo o muy importante sobre el funcionamiento del sistema

7. Estudio de la estabilidad del sistema: Se puede examinar la estabilidad de

sistemas y subsistemas frente a diferentes perturbaciones 1.2 TIPOS DE MODELOS DE SISTEMAS Debido a su utilizacin en diversos campos de la ciencia, es imposible incluir dentro de una sola definicin las diferentes acepciones de la palabra modelo. Un sistema se puede modelar mediante, ya sea, una construccin fsica o analgica, una representacin grfica o un mapa, un enunciado terico o un planteamiento matemtico. Es decir, se pueden describir los siguientes tipos de modelos:

1. Modelos Fsicos: Son construcciones materiales que representen sistemas como barcos, plantas pilotos, maquetas de edificios y otros

2. Modelos Analgicos: Son construcciones materiales que representen circuitos

elctricos, electrnicos o mecnicos

3. Teoras Provisionales: Son postulaciones que explican comportamientos fenomenolgicos en sistemas como la de los gases ideales o la de la gota de lquido para la nucleacin

4. Grficos o Mapas: Son representaciones mediante smbolos convencionales

de estructuras de sistemas que explican en algunos casos su organizacin o su distribucin o su logstica, etc. Por ejemplo, la representacin de un proceso qumico mediante su diagrama de flujo

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5. Enunciados matemticos y modelos en forma de smbolos: Son sistemas de ecuaciones que expresan simblicamente el fenmeno que se desarrolla en el sistema. Por ejemplo, el modelamiento matemtico que exprese el flujo y los cambios de materia y energa a travs de un reactor ideal de mezcla completa.

1.3 MODELOS MATEMATICOS Los modelos matemticos son los que mas utiliza el ingeniero qumico para el anlisis de sus procesos. El tipo mas aplicado es el que modela los fenmenos de transporte de masa, energa y cantidad de movimiento a travs de un sistema, pero en algunos casos se hace necesario el planteamiento de un modelo del tipo balance de poblacin o el ajuste de una informacin conocida a un modelo matemtico que empricamente permita su anlisis. La descripcin de cada uno de estos tipos de modelos matemticos es la siguiente:

1. Modelos de Fenmenos de Transporte: Se aplican en sistemas donde se desarrollan fenmenos de transporte de entidades como materia, energa y cantidad de movimiento, como el flujo de fluidos en tuberas y el flujo de materia y calor en reactores y columnas de destilacin.

2. Modelos de Balance de Poblacin: Se aplican en sistemas donde se hace

necesario plantear un modelo de balance de poblacin para describir las propiedades de la masa reaccionante en una localizacin puntual, como su concentracin, temperatura o tiempo de residencia. Por ejemplo, en un reactor agitado que no se cumple el idealismo de un mezclado perfecto y, por lo tanto, no se cumple la consideracin de una igualdad de condiciones en cada una de las localidades en la masa reaccionante.

3. Modelos Empricos: Se aplican a un sistema del que se tiene conjunto de

datos discretos de sus propiedades y pueden ajustarse a una ecuacin matemtica que satisfaga la correspondencia dato a dato. Puede utilizarse como recurso de interpolacin

1.3.1 MODELOS DE FENOMENOS DE TRANSPORTE Para un ingeniero qumico, los sistemas que le competen son aquellos en los que se realizan transformaciones fsicas o qumicas ya sea en forma continua o discontinua. Estos sistemas se pueden modelar aplicando los principios de conservacin de masa, energa y cantidad de movimiento, es decir, como modelos de fenmenos de transporte.

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Los modelos de fenmenos de transporte son representaciones matemticas de los procesos reales en distintos niveles de descripcin que se relacionan con la complejidad del detalle fsico interno. Tipos de Modelos de Fenmenos de Transporte Una clasificacin, en orden descendente, de acuerdo al grado de detalle de la descripcin fisicoqumica es:

1. Descripcin Atmica y Molecular: Se caracteriza porque trata un sistema arbitrario como si estuviese compuesto de entidades individuales, cada una de las cuales sigue ciertas leyes. En consecuencia, las propiedades y las variables de estado del sistema se obtienen como suma de todas las entidades. La mecnica cuntica, la mecnica estadstica de equilibrio y no equilibrio, as como la mecnica clsica constituiran mtodos tpicos de anlisis mediante los cuales se podran calcular tericamente todas las propiedades y formas de respuesta de un sistema.

2. Descripcin Microscpica: Corresponde a un tratamiento fenomenolgico

del problema y admite que el sistema puede considerarse como continuo. Se ignoran las interacciones moleculares detalladas y se plantean ciertas ecuaciones de balance diferencial para materia, energa y cantidad de movimiento. Cada balance, a travs del sistema, puede expresarse en la siguiente forma:

+

=

Consumode

NetaRapidez

Generacinde

NetaRapidez

Salidade

NetoFlujo

Entradade

NetoFlujo

nAcumulacide

NetaRapidez

Al construir el modelo se reemplaza cada uno de los trminos anteriores por expresiones matemticas que sean tan rigurosas y a la vez contengan tan pocos parmetros desconocidos como sea posible. Cada balance se plantea para cada una de las direcciones en el espacio en que se considera el sistema y, por lo tanto, el modelo lo constituye una ecuacin diferencial parcial. Se aplica, por ejemplo, a fenmenos de transporte laminar y teoras estadsticas de la turbulencia.

3. Descripcin de Gradiente Mltiple: En este nivel se incorpora menos informacin detallada acerca de las caractersticas internas del sistema que en

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el caso de la descripcin microscpica. Las formas de las ecuaciones matemticas estn sugeridas y corresponden a las ecuaciones de transporte microscpico pero con coeficientes modificados. La caracterstica esencial de la descripcin de gradiente mltiple es que son importantes uno o ms trminos de dispersin que deben ser retenidos en el modelo, con o sin los trminos convectivos. El modelo de gradiente mltiple se aplica en procesos con flujo turbulento o en el flujo con pasos muy complicados como el que tiene lugar en lechos de relleno o medios porosos, procesos en los que no se puede medir ni calcular el campo de velocidad local.

4. Descripcin de Gradiente Mximo: Es una forma menos detallada de

descripcin que se puede considerar como un modelo simplificado de gradiente mltiple en el que se suprimen los trminos de dispersin y solamente se conserva una derivada en trminos del flujo global. Cuando no se intenta analizar el detalle interno de los modelos de gradiente mltiple se realizan suposiciones simplificables adicionales con lo cual se obtienen ecuaciones matemticas de fcil tratamiento que resultan, no obstante, muy satisfactorias para numerosos fines. En el modelo de gradiente mximo se desprecia toda la dispersin y solamente el mayor componente (unidimensional) del gradiente de la variable independiente se considera en cada balance. Por ejemplo, en la representacin de gradiente mximo de un reactor qumico o sistema de absorcin de gases, solamente se consideran los gradientes de concentracin en la direccin axial originados por el flujo global, mientras que los gradientes que los gradientes radiales, la dispersin, etc, se ignoran. Los modelos de gradiente mximo son los generalmente considerados en los libros elementales para los procesos continuos y se pueden generalizar a un balance con los siguientes trminos:

{ } { } { }

+=+

erficieladetravesa

TransporteGeneracinGlobalTransportenAcumulaci

sup

El balance de materia para cada especie i y el balance de energa se expresan, respectivamente, con las siguientes ecuaciones:

Balance de materia de la especie i, )()( tiiizi mRzcv

tc

+=

+

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Balance de energa )(tRzp ESzTv

tTC +=

+

La descripcin del gradiente mximo reduce los principios fisicoqumicos a ecuaciones diferenciales menos detalladas. El balance de cantidad de movimiento se ignora puesto que normalmente se supone que la velocidad es constante o bien una funcin sencilla de z. En el balance de energa el trmino RS representa la energa neta desprendida por el proceso durante la(s) reaccin(es) que se representa por iR en el balance(s) de materia. El trmino )(tim tiene en cuenta la velocidad de transferencia molar, por unidad de volumen de la especie i, a travs de los lmites del sistema de rea S ( )(tim es positivo cuando se introduce materia). En el balance de energa )(tE representa la transferencia de interfase de energa a travs de los lmites del sistema por unidad de volumen por uno o bien una combinacin de los siguientes mecanismos: conduccin, conveccin, radiacin, trabajo mecnico o transferencia de materia que le acompaa. Finalmente, en el modelo de gradiente mximo es importante recordar que las concentraciones y temperaturas ya no son valores puntuales sino valores promediados para la seccin transversal y son funciones de una sola direccin coordenada. La descripcin del gradiente mximo reduce los principios fisicoqumicos a unas ecuaciones diferenciales menos detalladas.

5. Descripcin Macroscpica: En este nivel se ignora todo detalle dentro del

subsistema especificado y, en consecuencia, en el planteamiento matemtico no intervienen gradientes espaciales. En los balances generales, solamente el tiempo permanece como una variable diferencial independiente. Las variables dependientes, tales como concentracin y temperatura, no son funciones de la posicin y, por tanto, representan valores medios para todo el volumen del subsistema. Esta prdida de detalle simplifica grandemente la descripcin matemtica, pero como contrapartida, lleva consigo una prdida de informacin concerniente a las caractersticas del comportamiento del sistema. Este tipo de modelo es el que se plantear en los siguientes captulos para el anlisis dinmico de sistemas.

1.4 CARACTERIZACION DE UN MODELO MATEMATICO Diferentes criterios son significativos para la caracterizacin de un modelo matemtico como determinstico o probabilstico, de variable continua o discreta, en estado estacionario o dinmico, de parmetro globalizado o distribuido.

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Segn la caracterizacin del modelo se requerirn procedimientos y restricciones matemticas especficas para su solucin. Un modelo de parmetro globalizado se plantea con una ecuacin diferencial ordinaria mientras que uno de parmetro distribuido se expresa mediante una ecuacin diferencial parcial. Un modelo en estado estacionario no incluye las variaciones de las propiedades del sistema en el tiempo y, por lo tanto, su descripcin puede ser una ecuacin algebraica en el caso de un modelo de parmetro globalizado o una ecuacin diferencial en el caso de un modelo de parmetro distribuido Modelo Determinstico y Modelo Probabilstico Los modelos determinsticos son aquellos en los que cada variable y parmetro puede asignarse a un nmero fijo definido o una serie de nmeros fijos para una serie dada de condiciones. Por el contrario, en los modelos probabilsticas o estocsticos se introduce el principio de incertidumbre y, por lo tanto, las variables o parmetros utilizados para describir las relaciones entrada-salida y la estructura de los elementos (y las restricciones) no son conocidos con precisin. Modelo de Variable Continua Modelo de Variable Discreta Un modelo es de variacin continua si su variable dependiente puede asumir cualquier valor incluido dentro de un intervalo de la variable independiente, pero si solo puede tomar algunos valores, entonces el modelo es de variacin discreta, por ejemplo, una variable que solo puede tomar valores enteros. En los procesos propios de la ingeniera qumica suelen encontrarse tanto variables continuas como discretas en un mismo problema, Por ejemplo, al optimizar un sistema de compresin de un gas se deben seleccionar un nmero entero de etapas de compresin (variable discreta) adems de las presiones de succin y descarga en cada etapa (variables continuas). Modelo en Estado Estacionario Modelo en Estado Dinmico El modelamiento de un sistema en estado estacionario se refiere a su planteamiento considerando que los trminos correspondientes a la acumulacin en los distintos balances son iguales a cero. Otra forma equivalente de expresar la misma idea consiste en decir que cuando el tiempo tiende hacia el infinito desaparecen los estados transitorios y el sistema es invariante con respecto al tiempo y, por lo tanto, los trminos derivativos se hacen iguales a cero Los procesos en estado no estacionario tambin se pueden llamar transitorios o dinmicos.

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Aun cuando ha sido una prctica usual de los procedimientos de diseo de procesos, desarrollarlos para la operacin en estado estacionario, cuando comenz a estudiarse ampliamente el control de procesos se encontr que la operacin en estado no estacionario era muy importante. Por supuesto que el anlisis y el diseo de un proceso en estado no estacionario requiere mas tipos diferentes y detallados de informacin que en el caso de estado estacionario, pero el anlisis dinmico de la operacin prolongada suele con frecuencia conducir a un mejor diseo desde el punto de vista econmico, que al fin y al cabo, es lo que importa. Un ejemplo tpico de un proceso en estado no estacionario puede ser la puesta en marcha de una columna de destilacin, que alcanzar eventualmente un conjunto de condiciones de operacin en estado estacionario. De hecho, cuando se examina con ms detalle, se encuentra que la columna siempre opera en estado estacionario con pequeas fluctuaciones de temperatura y concentracin, que se producen en todo momento, pero que posiblemente oscilan alrededor de los valores medios en estado estacionario. El anlisis dinmico ayuda a minimizar las desviaciones de las especificaciones del producto durante la puesta en marcha, parada o cambios en los niveles de operacin. Modelo de Parmetro Globalizado Modelo de Parmetro Distribuido En un modelo de parmetro globalizado se ignoran las variaciones espaciales y las distintas propiedades y las variables dependientes se pueden considerar homogneas en todo el sistema. En un modelo de parmetro distribuido se tienen en cuenta en forma detallada las variaciones en el comportamiento del sistema en todo su conjunto. Todos los sistemas reales son, por supuesto, distribuidos porque existen algunas variaciones en todo el conjunto. Sin embargo, las variaciones son con frecuencia relativamente pequeas de tal forma que se pueden ignorar y, entonces, el sistema se puede considerar globalizado. La respuesta a la pregunta de si la globalizacin de parmetros es vlida dista mucho de ser sencilla. Una buena regla aproximada es que si la respuesta del elemento, para todos los fines prcticos, es instantnea en el conjunto de todo el elemento, entonces el parmetro del elemento puede ser globalizado. Si la respuesta presenta diferencias instantneas a lo largo del elemento, ya no sera globalizado. Por respuesta se entiende la velocidad de propagacin de la seal de entrada a travs del elemento. As, para ver si debe utilizarse una ecuacin de parmetro distribuido o globalizado, es necesario conocer algo acerca de los detalles internos del elemento en cuestin. Debido a que los procedimientos matemticos para la resolucin de sistemas de parmetro globalizado son ms sencillos que para los sistemas de parmetro distribuido, con frecuencia se aproxima este ltimo por un sistema equivalente de

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parmetro globalizado. Mientras que la globalizacin resulta, con frecuencia, posible es preciso tener mucho cuidado en evitar el enmascaramiento de las caractersticas sobresalientes del elemento distribuido (lo que dar lugar a la construccin de un modelo inadecuado) debido a la globalizacin. Adems, la variabilidad o no linealidad del modelo de parmetro globalizado puede dar lugar a un tratamiento matemtico tan difcil como el modelo original no globalizado. Un ejemplo importante es el tanque de mezcla que se emplea para el mezclado de fluidos o para efectuar reacciones qumicas. Generalmente, se basan los clculos en la suposicin de que el tanque est perfectamente agitado de forma que todo el volumen del mismo consiste en un material homogneo de caractersticas idnticas al producto que sale del tanque. Ahora bien, en un tanque real existen placas deflectoras, esquinas, etc., y la mezcla no es perfecta en todas las regiones, lo que conduce a falta de uniformidad en el tanque. Con frecuencia se ignoran estas variaciones y se emplean ciertos valores medios para las propiedades del material contenido en el tanque. Para muchos propsitos la suposicin globalizada resulta bastante satisfactoria, aunque para ciertos tipos de reacciones qumicas el mezclado no ideal puede tener efectos importantes. Las variaciones espaciales consideradas en los modelos de parmetro distribuido pueden ser para una dimensin solamente o para dos o tres. Por ejemplo, en los mtodos habituales de diseo de un absorbedor de gases con relleno se supone que las concentraciones varan en forma continua en la direccin axial o de flujo, pero en cambio se ignoran en la direccin radial. En un reactor tubular o de partculas de relleno se le considera, generalmente, en la misma forma pero en este caso los gradientes radiales de temperatura pueden ser importantes. Para tener en cuenta lo anterior se hace necesario utilizar un modelo de parmetro distribuido de dos o tres dimensionasen el que se consideren las variaciones radial y axial de la temperatura y la concentracin. 1.5 ESTRUCTURA MATEMATICA DE UN MODELO Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Algebraicas El modelamiento de un sistema en estado dinmico se plantea mediante sistemas de ecuaciones diferenciales o ecuaciones de diferencias de acuerdo a que el sistema sea de variacin continua o discreta. Los modelos de variacin continua tambin se pueden plantear mediante ecuaciones integrales. Los modelos de variacin continua tanto de parmetro globalizado en estado no estacionario como de parmetro distribuido en estado estacionario se expresan

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mediante ecuaciones diferenciales ordinarias. En los de parmetro globalizado la variable independiente es el tiempo mientras que en los de parmetro distribuido es una direccin espacial. Los modelos de variacin continua de parmetro distribuido se expresan mediante ecuaciones diferenciales parciales tanto para descripcin en estado estacionario como no estacionario. Si el modelo se describe en estado estacionario, las variables independientes son las direcciones espaciales y si su descripcin es en estado no estacionario se agrega el tiempo como variable independiente. Los modelos de variacin discreta se expresan mediante ecuaciones de diferencias finitas, que tambin pueden ser unidimensionales o multidimensionales segn el nmero de conexiones entre los subsistemas de parmetro globalizado. En condiciones estacionarias, las ecuaciones diferenciales de un modelo de parmetro globalizado se transforman en ecuaciones algebraicas mientras que las ecuaciones diferenciales parciales de un modelo de parmetro distribuido se transforman en ecuaciones diferenciales que expresan las variaciones del sistema con respecto a las direcciones espaciales 1.6 MODELOS DE PARAMETRO GLOBALIZADO Los modelos de parmetro globalizado son modelos matemticos de fenmenos de transporte descritos macroscpicamente, es decir, que solo se consideran las variaciones del sistema con el tiempo y se omiten las variaciones espaciales. En su planteamiento se aplican un conjunto de leyes fundamentales de la fsica y la qumica como los principios de conservacin de la masa, energa o cantidad de movimiento, las ecuaciones de transporte superficial, las ecuaciones de estado, las ecuaciones de equilibrio qumico y fsico y las ecuaciones cinticas de reacciones. Ecuacin de balance de materia total En el flujo total de materia a travs de un sistema se cumple el principio de conservacin y su balance se puede expresar de la siguiente manera:

=

a

MasdenAcumulacideRapidez

SalidadeMsicoFlujo

EntradadeMsicoFlujo

(1.1)

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En la ecuacin (1.1) cada uno de los trminos expresa unidades de masa por unidad de tiempo. El miembro derecho de la ecuacin corresponde a un trmino rapidez de cambio de masa, es decir, a una derivada con respecto al tiempo Ecuaciones de balance de materia de componente En el flujo de materia a travs de un sistema, el principio de conservacin de cada componente se plantea mediante un balance que se puede expresar de la siguiente manera:

=

+

nicAcumulade

MolarRapidez

Consumode

MolarRapidez

Generacinde

MolarRapidez

Salidade

MolarFlujo

Entradade

MolarFlujo

(1.2)

En la ecuacin (1.2) cada uno de los trminos expresa una cantidad de moles de componente por unidad de tiempo. Los flujos molares de entrada y salida son tanto convectivos como difusivos. Los trminos Rapidez de Generacin, Rapidez de consumo y Rapidez de Acumulacin se expresan como derivadas con respecto al tiempo. En el planteamiento de un modelo se requieren tantos balances de materia como componentes estn presentes en el sistema. Ecuacin de balance de energa En el modelamiento de un sistema abierto, el principio de la conservacin de la energa se expresa mediante la primera ley de la termodinmica de la siguiente manera:

=

+

SistemaelenEnergade

CambiodRapidez

Sistemaelpor

alizadoTrabajo

SistemaalAadido

CalorFlujo

SalidaEnergiade

TotalFlujo

EntradaEnergiade

TotalFlujo

e

Re

de

(1.3)

En la ecuacin (1.3) cada uno de los trminos expresa una cantidad de energa por unidad de tiempo. Los flujos energticos totales de entrada y salida incluyen energa interna, cintica y potencial tanto por conveccin como difusin. El flujo calrico

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aadido al sistema incluye las transferencias por conduccin, radiacin y de reaccin. El trabajo realizado por el sistema sobre los alrededores incluye trabajo de eje y de tipo presin por flujo volumtrico. El trmino rapidez de cambio de energa en el sistema es la del cambio en energa interna y potencial del sistema. Ecuaciones de transferencia de masa y energa Para modelamiento de parmetro globalizado, la ecuacin de transferencia de masa relaciona el flujo msico superficial con el cambio de concentracin mientras que la ecuacin de transferencia de energa relaciona el flujo superficial de calor con el cambio de temperatura. Las constantes de proporcionalidad son los coeficientes globales de transferencia. Las ecuaciones de transferencia de masa y energa se pueden escribir as:

{ }{ }nncentraciCambiodeCoiaransferenceGlobaldeTCoeficientlSuperficia

aFlujodeMas=

(1.4)

{ }{ }mperaturaCambiodeTeiaransferenceGlobaldeTCoeficientlSuperficiaorFlujodeCal

=

(1.5)

Ecuaciones de estado En el planteamiento de un modelo pueden necesitarse las relaciones entre algunas propiedades fsicas o termodinmicas con la temperatura, presin o concentracin. Lo anterior se puede plantear con respecto a la densidad y a la entalpa de la siguiente forma:

{ } ),,( iL xTPfquidoDensidadL == (1.6) { } ),,( iV yTPfporDensidadVa == (1.7) { } ),,( ixTPfhquidoEntalpaL == (1.8) { } ),,( iyTPfHporEntalpaVa == (1.9)

Algunas simplificaciones que suelen hacerse sin afectar considerablemente la exactitud del modelo son:

TCh P= (1.10)

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VPTCH += (1.11) Si se considera la influencia de la temperatura en el valor del calor especfico, se plantea algo ms riguroso as:

=T

T PodTTCh )( (1.10)

Suele considerarse una relacin polinomial entre el calor especfico y la temperatura, de tal manera que disponiendo de los coeficientes de cada uno de los trminos se puede integrar la ecuacin (1.10) y expresar una relacin entre la entalpa de lquido y la temperatura. La entalpa de una mezcla de N componentes lquidos se puede calcular, despreciando los efectos calricos de mezclado, mediante un promedio de la siguiente manera:

=

== N

iii

N

iiii

Mx

Mhxh

1

1 (1.11)

Las densidades de los lquidos pueden asumirse como constantes siempre y cuando no se observen grandes cambios en ellas con los cambios de temperatura y composicin. Las densidades de los vapores no pueden considerarse constantes y para sus clculos se aplica, generalmente, una ecuacin de estado. Considerando un comportamiento ideal, la densidad de un vapor se puede calcular con la ecuacin

RTMP

VnM

V == (1.12)

Estado de Equilibrio La segunda ley de la termodinmica nos facilita las ecuaciones que nos expresan las condiciones de un sistema para que se mantenga en estado de equilibrio, ya sea que

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se trate del equilibrio de un sistema reaccionante (Equilibrio Qumico) o del equilibrio entre varias fases (Equilibrio Fsico) Equilibrio Qumico En una reaccin qumica en estado de equilibrio se cumple que la suma total de los potenciales qumicos de cada uno de los componentes de la reaccin es igual a cero (considerando al potencial de los reaccionantes con signos negativos y el de los productos con signos positivos). La forma usual de aplicar lo anterior es en trminos de la constante de equilibrio para una reaccin. Para una reaccin en fase acuosa de la forma

dDcCbBaA ++ (1.13) La expresin para la constante de equilibrio es una relacin entre las concentraciones de los componentes de la reaccin en equilibrio escrita de la siguiente manera:

[ ] [ ][ ] [ ]beae

de

ce

e BADCK = (1.14)

Para una reaccin en fase gaseosa, se puede transformar la expresin en trminos de las presiones parciales de la siguiente manera:

beb

aea

ded

cec

e PPPP

K.,

,,= (1.15)

Equilibrio Fsico El equilibrio entre dos fases ocurre cuando el potencial qumico de cada componente es el mismo en ambas fases. Para un sistema de dos fases lquido y vapor se pueden aplicar las siguientes leyes o considerandos:

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Ley de Dalton: Para una fase vapor con comportamiento ideal se aplica la ley de Dalton que calcula la presin parcial de cada componente como el producto de la fraccin molar del componente en la fase vapor y la presin total

Tii PyP = (1.16) Ley de Raoult: Para una fase lquida con comportamiento ideal se aplica la ley de Raoult en la cual se iguala la presin parcial de un componente en la fase vapor con la presin de saturacin del componente puro en la fase lquida de la siguiente manera:

oiiTi PxPy = (1.17) De lo anterior se puede demostrar que la presin total de la fase vapor se puede calcular en funcin de la composicin de la fase lquida con la siguiente ecuacin:

=

=N

i

oiiT PxP

1 (1.18)

Las presiones de vapor son funcin de la temperatura, solamente; y esta dependencia se puede expresar mediante relaciones como la de Antoine. Volatilidad Relativa: La volatilidad relativa ij del componente i con respecto al componente j se define mediante la siguiente relacin;

jj

iiij xy

xy//

= (1.19)

Las volatilidades relativas son constantes en un cierto nmero de sistemas y son frecuentemente usadas debido a esta ventaja.

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Al aplicar la ecuacin (1.19) a un sistema binaria para el componente ms voltil con respecto al menos voltil se demuestra una ecuacin muy usual para calcular las composiciones de la fase vapor en equilibrio con una fase lquida y que es la siguiente:

xxy

)1(1 +=

(1.20)

Constantes de distribucin de fases: Las relaciones entre la composicin de la fase vapor y la de la fase lquido en equilibrio son las denominadas Constantes de distribucin de fases, Se utilizan ampliamente, especialmente en la industria del petrleo

i

ii x

yK = (1.21)

Las constantes de distribucin de fases dependen de la temperatura y la composicin y en menor extensin de la presin Cintica Qumica El modelamiento de reactores requiere del manejo de las relaciones y la terminologa que se utiliza al describir la cintica de las reacciones qumicas mediante sus ecuaciones de velocidad de reaccin. Estas ecuaciones expresan la dependencia de la velocidad de una reaccin con la concentracin de los reaccionantes y la temperatura de la reaccin. Ley de accin de masas Esta ley establece que la velocidad global de una reaccin depende de la temperatura y de la concentracin de los reaccionantes elevada a sus respectivas potencias. Si la velocidad depende de la concentracin de los reaccionantes A y B, suele expresarse mediante la denominada ecuacin de velocidad de reaccin con la siguiente forma:

[ ] [ ]ba BAkr = (1.22)

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Los exponentes a y b son los rdenes de la reaccin con respecto a cada uno de los reaccionantes Con esta definicin suelen caracterizarse las reacciones desde el punto de vista cintico como de primer orden, segundo orden, etc. Ecuacin de Arrhenius La dependencia de la velocidad de reaccin con la temperatura se incluye en la constante especfica de velocidad de reaccin. La ecuacin de Arrhenius es muy usual para considerar la influencia de la temperatura en la constante de velocidad de reaccin de la siguiente forma:

=

RTEAk exp (1.23)

A es el denominado factor preexponencial y E es la energa de activacin de la reaccin, R es la constante de los gases (1.99 cal/mol-K) y T es la temperatura en grados K 1.6.1 MODELOS DE PARAMETRO GLOBALIZADO: Caractersticas Al analizar un modelo de parmetro globalizado y para el desarrollo de su posible solucin, se hace necesario identificar los parmetros, las constantes, las variables y el tipo de ecuaciones que lo conforman. Esto hace que el sistema modelado se pueda caracterizar como univariable o multivariable y lineal o no lineal Constantes, Parmetros y Variables Las constantes son los trminos fsicos o qumicos independientes del tiempo, las direcciones espaciales y las condiciones del sistema como la constante de los gases o el peso mol de una sustancia. Los parmetros son todos aquellos valores que pueden ser variables pero que en el sistema se toman como constantes como el dimetro y la altura de un recipiente cilndrico. Las variables son aquellas propiedades del sistema que pueden cambiar mediante algn efecto externo sobre ellas mismas o como consecuencia de los cambios externos realizados sobre algunas propiedades del sistema. A las primeras se les llama variables de entrada y a las segundas variables de salida

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Sistemas univariables (SISO) y multivariables (MIMO) Un modelo de parmetro globalizado univariable se expresa mediante una ecuacin diferencial con una variable de entrada y una variable de salida. Esto suele referirse como un modelo SISO (Single Input Single Output). Un modelo multivariable incluye varias variables de entrada o salida y se refiere como un modelo MIMO (Multiple Input Multiple Output). Se requieren tantas ecuaciones diferenciales como variables de salida se identifiquen en el sistema. Las variables de salida son las propiedades que cambian con el tiempo y, por lo tanto, los trminos derivadas de dichas propiedades con respecto al tiempo se observan en las ecuaciones diferenciales. Orden y Linealidad de un sistema El orden de la dinmica de un sistema univariable est dado por el orden de la ecuacin diferencial que expresa su modelamiento. Si la ecuacin diferencial es lineal el sistema es lineal, en caso contrario es no lineal. La siguientes ecuaciones diferenciales son las forma estndares de escribir los modelos dinmicos de un sistema univariable lineal de primer y segundo orden, respectivamente.

Primer Orden: )()()( tKXtYdt

tdY=+ (1.24)

Segundo Orden: )()(2)(22

2 tKXtYdtdY

dttYd

=++ (1.25)

Siendo , y K, parmetros que caracterizan dinmicamente al sistema y que se calculan con algunas de sus caractersticas fsicas. Y(t) es la variable de salida y X(t) es la variable de entrada Por ejemplo, la dinmica de algunas vlvulas de control es de un modelo lineal de segundo orden con la forma de la ecuacin (1.25) pero con algunas consideraciones se puede ajustar a un modelo lineal de primer orden con la forma de la ecuacin (1.24) y hasta en algunos casos se puede despreciar el parmetro y, entonces, su dinmica solo se caracteriza por el parmetro K. Algunos sistemas de flujo a travs de un tanque se ajustan a un modelo no lineal porque al introducir algunas consideraciones fsicas en su planteamiento, su

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descripcin matemtica es una ecuacin diferencial no lineal de primer orden, como por ejemplo, la siguiente:

)()()( tKXtYdt

tdY=+ (1.26)

La solucin de un modelo no lineal puede hacerse en algunos casos por mtodos analticos, pero en casos complejos se tiene que recurrir a la solucin mediante mtodos numricos. Es una prctica importante la linearizacin de los sistemas no lineales alrededor de un valor de referencia y la comparacin de los resultados encontrados en ambos casos. Lo anterior, es necesario para simplificar el diseo de los lazos de control de sistemas no lineales. 1.7 ANALISIS DINAMICO DE UN SISTEMA El anlisis dinmico de un sistema consiste en su modelamiento y la solucin matemtica correspondiente para un determinado cambio en algunas de sus variables de entradas con respecto a sus valores invariantes en el tiempo mientras se encuentre en estado estacionario. En sistemas lineales es usual expresar sus ecuaciones diferenciales de tal manera que las variables representen los cambios con respecto a sus valores iniciales o en estado estacionario. Estas representaciones se denominan Variables Desviacin y se simbolizan, generalmente, con el mismo de la variable pero en mayscula. Es decir, que:

)o()()( xtxtX = (1.27) De la definicin (1.27) se deduce que el valor inicial de una variable desviacin es igual a cero. Esta transformacin permite que se analice la dinmica de un sistema observando las desviaciones de sus variables de salida cuando las variables de entrada se desvan de sus valores iniciales. 1.7.1 PERTURBACION Y RESPUESTA DE UN SISTEMA Se emplean los trminos Perturbacin y Respuesta para referirse al tipo de cambio considerado en la variable de entrada y al perfil que muestran las variables

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desviacin de salida, respectivamente. Algunas perturbaciones con respuestas de sencilla solucin matemtica para el anlisis dinmico de un sistema son las denominadas Paso, Pulso, Impulso, Rampa y Sinusoidal. Respuesta Paso o Escaln (Step) Las perturbaciones paso son funciones que cambian instantneamente desde un valor a otro y son, por lo tanto, constantes. Si el cambio paso es de un tamao x , la perturbacin se denomina Funcin Paso, x(t), y se define como:

0 )( >= tparaxtx (1.28)

0 0)( = tparatx La funcin paso en trminos desviacin es:

0 )( >= tparaxtX (1.29) La representacin grfica de una funcin paso es una lnea recta horizontal como se observa en la Figura 1.1.:

Figura 1.1. Funcin Paso (Rojo) Si el tamao del paso es igual a la unidad, la perturbacin se Funcin Paso Unitario y se simboliza

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0 1)( >= tparatU (1.30)

La respuesta de un sistema a una perturbacin paso en su variable de entrada se denomina Respuesta Paso o Respuesta Paso unitario segn el tamao del cambio paso. Respuesta Pulso (Pulse) Un pulso es una funcin de forma arbitraria (usualmente rectangular) que comienza y termina en el mismo valor. Un pulso rectangular es, simplemente, la suma de una funcin paso positiva a partir de un tiempo cero y una funcin paso negativa a partir de ot minutos despus, siendo ot el denominado Tiempo Muerto. Por lo tanto, una Funcin Pulso de altura h y anchura ot se expresa como

)()()( otththtx = (1.31) La representacin grfica de una funcin pulso rectangular con altura h y una anchura igual ot se observa en la Figura 1.2:

Figura 1.2 Funcin Pulso Rectangular La funcin pulso rectangular de altura uno y anchura ot se expresa como

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)()()( ottututx = (1.32) Respuesta Impulso (Impulse) La funcin impulso es un pulso de altura infinita, longitud cero y rea igual a k unidades. Es como una ficcin puramente matemtica pero de mucha utilidad en ciertos tratamientos matemticos para el anlisis dinmico de sistemas. Cuando el rea del impulso es igual a la unidad, la funcin se define como la Funcin Delta Dirac, )(t . La funcin impulso de rea k suele escribirse como un factor de la funcin Delta Dirac de la siguiente manera:

)()( tktx = (1.33) La representacin grfica de una funcin impulso de rea k se observa en la Figura 1.3:

Figura 1.3 Funcin Impulso de rea k Respuesta Rampa (Ramp) Las variaciones rampas son funciones que cambian linealmente con el tiempo de la siguiente manera:

kttx =)( (1.34)

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Siendo k, una constante. Este tipo de cambio se aplica, por ejemplo, en el modo de variar con el tiempo del valor deseado de la presin o de la temperatura de un reactor operado por lotes La representacin grfica de una funcin rampa de pendiente k se observa en la Figura 1.4:

Figura 1.4. Funcin rampa de pendiente k Respuesta Sinusoidal La variacin sinusoidal de una variable de entrada se expresa como una funcin seno con una determinada frecuencia, w, y amplitud, A, de la siguiente manera:

)()( wtASentx = (1.35) La representacin grfica de la funcin (1.35) se observa en la Figura 1.5. Las variaciones sinusoidales son muy poco aplicadas en los procesos de la ingeniera qumica. Sin embargo, las respuestas de un sistema a un cambio sinusoidal en sus variables de entrada son de una importancia tan grande que su estudio ha introducido unas estrategias adicionales para el anlisis dinmico de sistemas conocido como las respuestas en el dominio de la frecuencia.

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Figura 1.5. Funcin Seno de amplitud A y frecuencia w

1.7.2 DOMINIOS PARA EL ANALISIS DINAMICO DE UN SISTEMA El estudio de la dinmica de un sistema en el Dominio del Tiempo significa que las ecuaciones diferenciales que constituyen el modelo matemtico se resuelven directamente, es decir, en trminos de las funciones dependientes del tiempo. Pero si las ecuaciones diferenciales se transforman segn la definicin de Laplace el anlisis dinmico o el comportamiento del sistema se estudia en el Dominio de Laplace. En captulos posteriores, se explican los fundamentos que facilitan un conjunto de conceptos y propiedades para el anlisis dinmico de un sistema en el Dominio de la Frecuencia y para el caso de sistemas cuyos modelos son multivariables se hace uso del lgebra matricial para el anlisis dinmico de su respuesta en lo que se denomina el Espacio de los Estados. Dominio Tiempo En el dominio del tiempo, las variables se manejan directamente en funcin del tiempo y los mtodos de solucin de las ecuaciones diferenciales, tanto analticos como numricos, se resuelven directamente en trminos del tiempo. Para cada uno de los cambios descritos anteriormente para una variable de entrada, las funciones empleadas son las definidas en funcin del tiempo. Dominio Laplace Al aplicar transformada de Laplace tanto a las variables de entrada como a las ecuaciones diferenciales, el anlisis no se plantea en trminos del tiempo sino de una nueva variable s. Para cada una de las perturbaciones anteriores las correspondientes transformadas de Laplace son:

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Respuesta Paso: sxsX =)( (1.36)

Respuesta Pulso: )1()()()( stst

oo

esh

sesh

sshsX

== (1.37)

Respuesta Impulso: ksX =)( (1.38)

Respuesta Rampa: 2)( sksX = (1.39)

Respuesta Seno: 22)( wsAwsX+

= (1.40)

La transformada de Laplace solo puede aplicarse a ecuaciones diferenciales lineales y es de mucha utilidad para el anlisis dinmico de sistemas lineales porque transforma una ecuacin diferencial de tal manera que su representacin es mucho ms compacta y conveniente que la correspondiente representacin en funcin del tiempo. Por ejemplo, la ecuacin diferencial en trminos del tiempo que modela a un sistema lineal de primer orden con una variable de entrada y una variable de salida suele escribirse en su forma estndar de la siguiente manera:

)()()( tKXtYdt

tdY=+

La correspondiente transformada de Laplace se expresa de tal manera que muestre una relacin entre las variables de entrada y salida del sistema y que escrita como una funcin de transferencia es la descripcin del sistema en el dominio de Laplace:

1)()(

+=

sK

sXsY

Dominio Frecuencia El estudio dinmico de un sistema en el dominio de la frecuencia se fundamenta en las caractersticas que muestra la respuesta de un sistema de primer orden lineal ante una perturbacin sinusoidal de cierta frecuencia y amplitud en su variable de

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entrada. A partir de estas caractersticas se definen unas propiedades que dependen de la frecuencia de la onda sinusoidal de entrada como son la relacin entre las amplitudes entre la funcin sinusoidal de entrada y la respuesta del sistema y el desfase entre ellas y a partir de estas se plantean unos conceptos como los de Bode y Nyquist muy tiles y aplicables en el anlisis de cualquier sistema.Los mtodos de anlisis en el dominio de la frecuencia son un poco ms abstractos que los correspondientes en los otros dominios y se apoyan en el concepto de funcin de transferencia propio de los estudios en el dominio de Laplace. Espacio de los Estados La escritura de un modelo en forma del Espacio de los Estados se puede aplicar a sistemas lineales con mltiples variables de entrada y salida. Lo anterior significa que el modelo lo constituyen tantas ecuaciones diferenciales lineales como variables de salida hayan y este conjunto puede compactarse en una escritura matricial de la siguiente forma:

BuAXX +=& DuCXY +=

Cada una de las letras A, B, C, D representa una matriz. X es el vector de las variables de estado del sistema y el punto arriba simboliza el vector de sus derivadas con respecto al tiempo; Y es el vector de las variables de salida del sistema y u es el vector de las variables de entrada. A y B son las matrices de los coeficientes de cada uno de los trminos lineales en cada una de las ecuaciones diferenciales. C y D son matrices que expresan una relacin entre las variables de estado y de entrada con las de salida Bibliografa Bequette W.B. Process Dynamics. Modeling, Analysis and Simulation. Prentice Hall International Series. 1998 Edgar T.F., Himmelblau D.M. Optimization of Chemical Processes. McGraw-Hill International Editions. 1989 Himmelblau D.M., Bischoff K.B. Anlisis y Simulacin de Procesos. Editorial Reverte S.A. 1976 Luyben W.L. Process Modeling, Simulation and Control for Chemical Engineers. Second Edition. McGraw-Hill International Editions. 1990