7. SISTEMAS DE ORDEN MAYOR Los sistemas de orden mayor son aquellos cuya dinámica se expresa mediante una ecuación diferencial de orden mayor que dos, como por ejemplo un proceso de flujo a través de un sistema constituido de tres o más tanques conectados entre sí. Si en cada uno de ellos las dinámicas son de primer orden, entonces la dinámica global del conjunto es de un orden igual o mayor que tres, según el número total de tanques. Si la variable de salida de uno de los tanques afecta, en un solo sentido, a la variable de salida del siguiente entonces el sistema es no interactuante, pero si el efecto es también en el sentido contrario entonces el sistema es interactuante. 7.1 SISTEMAS NO INTERACTUANTES Proceso de calentamiento de un fluido en cascada Considérese el sistema de tres tanques conectados en serie que se observa en la Figura 7.1 donde se realiza un proceso de calentamiento de un fluido, en cascada, que se alimenta por el primero de ellos y cuya descarga se alimenta al segundo y así sucesivamente, hasta un tercer tanque.

Figura 7.1. Sistema de tres tanques no interactuantes Se deduce del fenómeno que el sistema es no interactuante porque la temperatura en el primer tanque afecta a la temperatura en el segundo tanque, pero la temperatura en el segundo tanque no afecta a su vez a la temperatura en el primer tanque porque

Mach

108

desde el segundo tanque no hay retroalimentación que afecte a la temperatura en el primer tanque. La relación causa-efecto es un solo sentido. Igual comportamiento se observa entre el segundo y el tercer tanque. Descripción del Proceso de Calentamiento El flujo másico de líquido a través del sistema mostrado en la Figura 7.1 es constante e igual a 250 lb/min. La densidad del líquido se asume constante de 50 lb/pie3 y el calor específico se asume constante de 1.3 Btu/lb-°F. El volumen de cada tanque es de 10 pie3. La temperatura de la corriente de alimentación en estado estacionario es de 60 °F. Se pueden despreciar las pérdidas de calor al exterior de los tanques. Se propone el desarrollo de un modelo matemático y la simulación dinámica del sistema de los tres tanques donde se observe el efecto de perturbar la temperatura de alimentación, Ti(t). Modelo matemático – Dominio Tiempo Un balance de energía en estado no estacionario del fluido a través del primer tanque es

)(-)()(1

1 tTCwtTCwdt

tdTVC psipsv =ρ (7.1)

ó )()()(

111

1 tTKtTdt

tdTi=+τ (7.2)

Siendo T1(t), variable de salida y Ti(t), variable de entrada. Con planteamientos similares se obtienen las ecuaciones diferenciales que modelan las dinámicas del transporte de calor en el segundo y tercer tanque así:

Segundo tanque: )()()(

1222

2 tTKtTdt

tdT=+τ (7.3)

Tercer tanque: )()()(

2333

3 tTKtTdt

tdT=+τ (7.4)

Mach

109

Siendo los tanques de un volumen constante e igual a 10 pies3 y la densidad y el calor específico constante e igual en cada uno de los tanques, las constantes de tiempo y las ganancias en cada uno de ellos se calculan con las siguientes expresiones:

min2321 ====ps

v

CwVCρ

τττ (7.5)

1321 ====ps

ps

CwCw

KKK (7.6)

De acuerdo a las ecuaciones diferenciales (7.2), (7.3) y (7.4), la dinámica de cada uno de los tanques es lineal de primer orden y el sistema es no interactuante. Las temperaturas en cada uno de ellos son las variables de estado del sistema. A partir de la ecuación (7.3) se entiende, por ejemplo, que la temperatura en el segundo tanque es afectada por un cambio en la temperatura en el tanque uno pero la temperatura del primer tanque no es afectada por un cambio en la temperatura del segundo tanque. Igual observación se deduce de la ecuación (7.4) entre las temperaturas del segundo y tercer tanque.

Al combinar las ecuaciones diferenciales (7.2), (7.3) y (7.4) se demuestra que las dinámicas del segundo y tercer tanque expresadas con respecto a la temperatura de alimentación al primer tanque son de segundo y tercer orden sobreamortiguada, respectivamente, así: Segundo tanque:

)()()()()(212

2212

22

21 tTKKtTdt

tdTdt

tTdi=+++ ττττ (7.7)

Tercer tanque:

)()()()()(

)()(

321333213

2

32312133

3

321 tTKKKtTtTdt

tTddt

tTdi=+++++++ ττττττττττττ (7.8)

Mach

110

Respuesta Dinámica del Proceso de Calentamiento La Figura 7.2 muestra la respuesta del sistema de los tres tanques conectados en cascada donde se realiza el proceso de calentamiento modelado de acuerdo a las ecuaciones (7.2), (7.3) y (7.4) para un cambio paso en la temperatura de entrada al primer tanque.

Figura 7.2 Respuesta Paso del Proceso de Calentamiento No Interactuante Para los tres tanques se observa una respuesta monotónica estable con un valor último para la temperatura igual en cada uno de ellos. El primer tanque muestra una dinámica mas rápida característica de un sistema de primer orden, pero el segundo y tercer tanque son de una dinámica más atrasada debido a los dos y tres atrasos dinámicos, respectivamente, en cada uno de ellos. El perfil de la respuesta para el segundo y tercer tanque muestra la característica forma de S itálica que se hace más notoria con el aumento en el atraso de la respuesta Las respuestas rampa y sinusoidal de un sistema de orden mayor se dejan como ejercicio para que el estudiante las desarrolle como un ejercicio y concluya sobre sus características

Mach

111

Modelo matemático – Dominio de Laplace Las funciones de transferencia correspondientes a las ecuaciones (7.2), (7.3) y (7.4) son respectivamente

Primer tanque: )(1

)(1

11 sT

sK

sT i+=

τ (7.9)

Segundo tanque: )(1

)( 12

22 sT

sKsT

+=

τ (7.10)

Tercer tanque: )(1

)( 23

33 sT

sK

sT+

=τ

(7.11)

Un diagrama de bloques que represente al sistema de los tanques en el dominio de Laplace es un conjunto de bloques conectados en serie procesando cada una de las funciones de transferencia y cuyas variables de entrada corresponden a las variables de salida del anterior (Ver figura 7.3).

11

1

+sK

τ 12

2

+sK

τ 13

3

+sK

τ

Figura 7.3 Funciones de Transferencia en Serie

La figura 7.3 permite observar fácilmente las dinámicas de segundo y tercer orden sobreamortiguadas para el segundo y tercer tanque, respectivamente. La función de transferencia resultante de dos o más en serie es la multiplicación de cada una de ellas, de tal manera que para este caso las funciones de transferencia correspondientes son:

Segundo tanque: )()1)(1(

)(21

212 sT

ssKKsT i++

=ττ

(7.12)

Tercer tanque: )()1)(1)(1(

)(321

3213 sT

sssKKK

sT i+++=

τττ (7.13)

Mach

112

Función de Transferencia Matricial Para un sistema lineal multivariable -múltiples variables de entrada y salida- el conjunto de las funciones de transferencia se puede escribir en una forma mas compacta mediante una ecuación matricial que relaciona al vector de las variables de estado con el vector de las variables de entrada: El arreglo matricial de las funciones de transferencia (7.9), (7.10) y (7.11) se construye reordenándolas como un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas que son las variables de entrada y una variable de entrada de la siguiente manera:

)(

0

0

1

)(

)(

)(

11

0

011

0011

1

3

2

1

3

3

2

2

sT

sK

sT

sT

sT

sK

sK

i

+

=

+−

+−

τ

τ

τ (7.14)

La ecuación (7.14) se puede simplificar a la forma compacta:

)()()()( 1 sTsHsGsT i−= (7.15)

Siendo T(s) y Ti(s), los vectores cuyos elementos son las variables de salida y entrada, respectivamente, G-1(s) la inversa de una matriz, G(s), cuyos elementos son las funciones de transferencia con respecto a cada una de las variables de salida y H(s) una matriz cuyos elementos son las funciones de transferencia con respecto a cada una de las variables de entrada. El orden de la matriz cuadrada G(s) es igual al número de variables de salida y H(s) es una matriz de n x m, siendo n el número de variables de salida y m el número de variables de entrada. Para el proceso de calentamiento modelado en esta sección la matriz G(s) es de 3 x 3 y H(s) es una de 3 x 1, porque se tienen tres variables de salida y una variable de entrada.

Mach

113

Modelo matemático – Espacio de los estados Un sistema multivariable cuyo modelo en el dominio del tiempo es un conjunto de ecuaciones diferenciales lineales se puede escribir en una forma mas compacta mediante una ecuación matricial que exprese la igualdad que relaciona a las rapideces de cambio de las variables de estado con las variables de estado y las variables de entrada. Esta representación constituye la escritura del modelo en la forma del Espacio de los Estados que además, incluye una ecuación matricial algebraica que compacta la representación de las variables de salida en función de las variables de estado y de entrada. La representación del modelo del proceso de calentamiento en la forma del espacio de los estados se construye escribiendo las ecuaciones (7.2), (7.3) y (7.4) en forma explícita con respecto a las derivadas con respecto al tiempo de cada una de las variables de estado y compactándolas en forma matricial de la siguiente manera:

)(

0

0

)(

)(

)(

10

01

001

)(

)(

)(

1

1

3

2

1

33

3

22

2

1

3

2

1

tT

K

tT

tT

tT

K

K

dttdT

dttdT

dttdT

i

+

−

−

−

=

τ

ττ

ττ

τ

(7.16)

La ecuación (7.16) se puede simplificar a la forma compacta:

BuAXX +=& (7.17) Siendo X& y X, los vectores cuyos elementos son las derivadas de las variables de estado y las variables de estado, respectivamente; A es la matriz cuadrada cuyos elementos son los coeficientes de los términos lineales de las variables de estado, B es la matriz cuyos elementos son los coeficientes de los términos lineales de las variables de entrada y u es el vector cuyos elementos son las variables de entrada. El orden de la matriz A es igual al número de variables de estado y B es una matriz de n x m, siendo n el número de variables de estado y m el número de variables de entrada.

Mach

114

En la escritura de un modelo en la forma del Espacio de los Estados, la ecuación (7.17) se combina con una ecuación algebraica matricial que expresa una relación entre las variables de salida que se quieren resolver con las variables de estado y de entrada de la siguiente forma

DuCXY += (7.18) Siendo Y el vector cuyos elementos son las variables de salida y C es una matriz idéntica de orden n x n. Generalmente, la matriz D se introduce cuando se quiere representar el cambio en las variables de entrada. En caso contrario su valor es igual a cero. 7.2 SISTEMAS INTERACTUANTES Proceso de calentamiento de un fluido en cascada y con retroalimentación Considérese el sistema de dos tanques conectados en serie que se observa en la Figura 7.4 donde se realiza un proceso de calentamiento de un fluido, en cascada, que se alimenta por el primero de ellos y cuya descarga se alimenta al segundo. Este, a su vez es cargado con una corriente adicional y su descarga es parcialmente retroalimentada al primer tanque

Figura 7.4. Sistema de dos tanques interactuantes

Mach

115

Se deduce del fenómeno que el sistema es interactuante porque la temperatura en el primer tanque afecta a la temperatura en el segundo tanque y viceversa afecta la del primer tanque porque hay una retroalimentación que afecta a la temperatura en el primer tanque. La relación causa-efecto es en ambos sentidos. Descripción del Proceso de Calentamiento con Retroalimentación En el proceso de calentamiento de un líquido mostrado en la Figura 7.4, la corriente de alimentación al primer tanque se mezcla con un recirculado que es un 20 % de la corriente de salida del segundo tanque y éste se alimenta de una corriente adicional. Las temperaturas de las corrientes de alimentación en estado estacionario son de 130 ºF. Los volúmenes de líquido en los tanques son constantes e iguales a 10 m3 y 12 m3, respectivamente. Se asume que los flujos volumétricos de las corrientes de alimentación al primer y segundo tanque son constantes e iguales a 3 m3/min y 2 m3/min, respectivamente; las densidades y los calores específicos son iguales y constantes con valores de 50 lb/pie3 y 1.3 Btu/lb-°F, respectivamente, y que el calor específico a volumen constante es igual al calor específico a presión constante. Los tanques están bien aislados de tal manera que se considere que no hay pérdidas de calor hacia los exteriores. Se propone el desarrollo de un modelo matemático y la simulación dinámica del proceso de calentamiento en ambos tanques donde se observe el efecto de perturbar las temperaturas de las corrientes de alimentación en el cambio en las temperaturas en los tanques. Modelo matemático – Dominio Tiempo Un balance de energía en estado no estacionario través del primer tanque es

[ ] )()(2.0-)()(2.0)()(1211221101

11 tTCffftTCfftTCf

dttdTCV pppv ρρρρ ++++= (7.19)

ó (t))()()(1010211

11 TKtTKtT

dttdT

+=+τ (7.20)

Se deduce de la ecuación (7.20) que la temperatura del segundo tanque influye en la temperatura del primer tanque. Las expresiones para la constante de tiempo y las ganancias son:

Mach

116

[ ] min5.2)(2.0 211

11 =

++=

fffCCV

p

v

ρρ

τ (7.21)

75.0)(2.0 211

110 =

++=

ffffK (7.22)

25.0)(2.0

)(2.0

211

211 =

+++

=fff

ffK (7.23)

Un balance de energía en estado no estacionario a través del segundo tanque es:

[ ] )()(2.1)()()(2.0)(2212021211

22 tTCfftTCftTCfff

dttdTCV pppv ρρρρ +−+++= (7.24)

ó )()()()(2020122

22 tTKtTKtT

dttdT

+=+τ (7.25)

Se deduce de la ecuación (7.25) que la temperatura del primer tanque influye en la temperatura del segundo tanque y viceversa. Las expresiones para la constante de tiempo y las ganancias son:

min 2)(2.1 21

22 =

+=

ffCCV

p

v

ρρτ (7.26)

333.0)(2.1 21

220 =

+=

fffK (7.27)

666.0)(2.1

)(2.0

21

2112 =

+++

=ff

fffK (7.28)

De acuerdo a las ecuaciones diferenciales (7.20) y (7.25), la dinámica de cada uno de los tanques es lineal de primer orden y el sistema es interactuante, porque la temperatura en el segundo tanque es afectada por un cambio en la temperatura en el primer tanque y viceversa

Mach

117

Respuesta Dinámica del Proceso de Calentamiento La Figura 7.5 muestra la respuesta del sistema de los dos tanques conectados en cascada con retroalimentación desde el segundo hasta el primer tanque donde se realiza el proceso de calentamiento modelado de acuerdo a las ecuaciones (7.20) y (7.25) para un cambio paso en la temperatura de entrada a ambos tanques de 20 ºF.

Figura 7.5 Respuesta Paso del Proceso de Calentamiento Interactuante Para los dos tanques se observa una respuesta monotónica estable con un valor último para la temperatura igual en cada uno de ellos. El primer tanque muestra una dinámica más rápida que la del segundo tanque. Las respuestas rampa y sinusoidal de un sistema de orden mayor se dejan como ejercicio para que el estudiante las desarrolle como un ejercicio y concluya sobre sus características La Figura 7.6 muestra la respuesta del sistema para cuando se perturba con un cambio paso en la temperatura de entrada al primer tanque de 20 ºF manteniendo constante la temperatura de entrada al segundo tanque. La respuesta dinámica del primer tanque es más rápida que la del segundo tanque. La Figura 7.7 muestra la respuesta del sistema para una perturbación paso de 20 ºF en la temperatura de

Mach

118

entrada al segundo tanque manteniendo constante la temperatura de entrada al primer tanque.

Figura 7.6 Cambio Paso en la Temperatura del Primer Tanque

Figura 7.7 Cambio Paso en la Temperatura del Segundo Tanque

Mach

119

Modelo matemático – Dominio de Laplace Las funciones de transferencia correspondientes a las ecuaciones (7.20) y (7.25) son respectivamente

Primer tanque: )(1

)(1

)( 101

102

1

11 sT

sKsT

sKsT

++

+=

ττ (7.29)

Segundo tanque: )(1

)(1

)( 202

201

2

22 sT

sKsT

sKsT

++

+=

ττ (7.30)

Un diagrama de bloques que represente al sistema de los tanques en el dominio de Laplace es un conjunto de bloques conectados en paralelo donde se observa que la temperatura del segundo bloque se retroalimenta al primero. (Ver figura 7.8).

11

1

+sK

τ

12

20

+sK

τ

11

10

+sK

τ

12

2

+sK

τ

Figura 7.8 Diagrama de bloques de un sistema interactuante

La combinación de las ecuaciones (7.29) y (7.30) permite la obtención de las funciones de transferencia para las temperaturas en cada uno de los tanques en función de las temperaturas de entrada así:

Mach

120

Primer tanque:

)()1)(1(

)()1)(1(

)1()( 202121

12010

2121

2101 sT

KKssKKsT

KKsssKsT

−+++

−+++

=ττττ

τ (7.31)

Segundo tanque:

)()1)(1(

)1()()1)(1(

)( 202121

12010

2121

2102 sT

KKsssKsT

KKssKKsT

−+++

+−++

=ττ

τττ

(7.32)

A partir de las ecuaciones (7.31) y (7.32) se deduce que las dinámicas de las respuestas tanto en el primer como en el segundo tanque son de segundo orden con respecto a las variables de entrada. Además, muestran que con respecto a una variación en T10, manteniendo a T20 constante, la dinámica de la respuesta en el primer tanque es más rápida que en el segundo porque en la función de transferencia de T1 con respecto a T10, se incluye un término en el numerador, es decir, un zero. En forma similar, se muestra que con respecto a una variación en T20, manteniendo a T10 constante, la dinámica de la respuesta en el segundo tanque es más rápida que en el primero porque en la función de transferencia de T2 con respecto a T20, se incluye un término en el numerador, es decir, un zero. Función de Transferencia Matricial El arreglo matricial de las funciones de transferencia (7.29) y (7.30) se construye reordenándolas como un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas que son las variables de entrada y dos variables de entrada de la siguiente manera:

+

+=

+−

+−

)(

)(

10

01

)(

)(

11

11

20

10

2

20

1

10

2

1

2

2

1

1

sT

sT

sK

sK

sT

sT

sK

sK

τ

τ

τ

τ (7.33)

La ecuación (7.33) se puede simplificar a la forma compacta:

Mach

121

)()()()( 1 sUsHsGsT −= (7.34) Siendo T(s) y U(s), los vectores cuyos elementos son las variables de salida y entrada, respectivamente, G-1(s) la inversa de una matriz, G(s), cuyos elementos son las funciones de transferencia con respecto a cada una de las variables de salida y H(s) una matriz cuyos elementos son las funciones de transferencia con respecto a cada una de las variables de entrada. El orden de la matriz cuadrada G(s) es igual al número de variables de salida y H(s) es una matriz de n x m, siendo n el número de variables de salida y m el número de variables de entrada. Para el proceso de calentamiento modelado en esta sección la matriz G(s) es de 2 x 2 y H(s) es una de 2 x 2, porque se tienen dos variables de salida y dos variables de entrada. Modelo matemático – Espacio de los estados La representación del modelo del proceso de calentamiento en la forma del espacio de los estados se construye escribiendo las ecuaciones (7.20) y (7.25) en forma explícita con respecto a las derivadas con respecto al tiempo de cada una de las variables de estado y compactándolas en forma matricial de la siguiente manera:

+

−

−

=

)(

)(

0

0

)(

)(

1

1

)(

)(

20

10

2

20

1

10

2

1

22

2

1

1

1

2

1

tT

tT

K

K

tT

tT

K

K

dttdT

dttdT

τ

τ

ττ

ττ (7.35)

La ecuación (7.35) se puede simplificar a la forma compacta de un modelo en el espacio de los estados:

BuAXX +=& (7.36)

DuCXY += (7.37) Los símbolos utilizados en las ecuaciones (7.36) y (7.37) son los empleados en las ecuaciones (7.17) y (7.18) con el mismo significado. Para el proceso de

Mach

122

calentamiento con retroalimentación, X& y X, son vectores 2 x 1 porque las variables de estado son tres, A y B son matrices cuadradas de 2 x 2 porque son dos las variables de entrada y u es un vector de 2 x 1, Y es un vector de 2 x 1 cuyos elementos son las variables de salida y C es una matriz idéntica de 2 x 2. La matriz D se introduce cuando se quiere representar el cambio en las variables de entrada. En caso contrario su valor es igual a cero. 7.3 MATLAB: FUNCIONES DE TRANSFERENCIA EN SERIE Matlab dispone del comando “series” para hallar la función de transferencia generalizada de dos funciones de transferencia en serie. Este comando realiza la multiplicación de dos funciones de transferencia, expresadas en modelos LTI. La sintaxis del comando “series” es

H = series (h1, h2) Los argumentos del comando son funciones de transferencia que pueden expresarse en cualquiera de las formas posibles en Matlab. 7.4 MATLAB: SOLUCION DE LOS MODELOS La respuesta paso del sistema de calentamiento con tres tanques no interactuantes se desarrolla en el dominio del tiempo con los archivos nointertime.m y solnointertime.m. Los archivos nointerlap.m y nointermatriz.m solucionan el modelo en el dominio de Laplace utilizando, en el primero, las funciones de transferencia en cada uno de los tanques en serie y, en el segundo, la forma matricial de la función de transferencia. El archivo nointerss.m es la solución expresando el modelo en la forma del espacio de los estados Para la respuesta paso del sistema de calentamiento con dos tanques interactuantes se procede de manera similar con archivos para solucionar el modelo en el dominio del tiempo, Laplace y espacio de los estados con los nombres intertime.m, solintertime.m, intermatriz.m y interss.m En la sección 2.8 se incluyen los códigos de los archivos mencionados en la sección anterior y se deja como ejercicio para el estudiante la revisión de ellos y la construcción de los correspondientes para la obtención de las respuestas rampa y sinusoidal para tanto el sistema no interactuante como el interactuante

Mach

123

2.8 MATLAB - PROGRAMAS CODIFICADOS Archivo nointertime.m function dy = nointertime(t,y) global Ti K1 K2 K3 rho V Cv Cp w tau1 tau2 tau3 dy = [(K1*Ti - y(1))/tau1; (K2*y(1) - y(2))/tau2; (K3*y(2) - y(3))/tau3]; Archivo solnointertime.m function f = solnointertime(t,y) global Ti K1 K2 K3 rho V Cv Cp w tau1 tau2 tau3 Rango Inicio rho = input('Valor de la densidad, lb/pie3 = '); V = input('Volumen de los tanques, pie3 = '); Cv = input('Calor especifico a volumen constante, Btu/lb-°F = '); w = input('Flujo masico, lb/min = '); Ti = input('Valor de Ti, °F = '); Rango = input('Intervalo de tiempo = '); Inicio = input('Condiciones iniciales = '); Cp = Cv; tau1 = rho*V*Cv/(w*Cp) tau2 = tau1 tau3 = tau2 K1 = w*Cp/(w*Cv) K2 = K1 K3 = K2 [t,y] = ode45('nointertime', Rango, Inicio); plot(t,y) Archivo nointerlap.m function f = nointerlap(t,s) global K1 K2 K3 rho V h Cv Cp w tau1 tau2 tau3 rho = input('Valor de la densidad, lb/pie3 = '); V = input('Volumen de los tanques, pie3 = '); Cv = input('Calor especifico a volumen constante, Btu/lb-°F = '); w = input('Flujo masico, lb/min = '); t0 = input('Tiempo de Simulacion, min = '); Cp = Cv; tau1 = rho*V*Cv/(w*Cp) tau2 = tau1 tau3 = tau2 K1 = w*Cp/(w*Cv) K2 = K1 K3 = K2 h = [1 2 3]

Mach

124

h = input('Caso a simular = '); switch h case 1 x1 = tf([K1], [tau1 1]); step(x1,t0) xlabel('Tiempo', 'FontSize', 14) ylabel('Temperatura', 'FontSize', 14) title('Respuesta', 'FontSize', 14) case 2 x1 = tf([K1], [tau1 1]); x2 = tf([K2], [tau2 1]); x12 = series(x1,x2); step(x1,t0); hold on step(x12,t0); xlabel('Tiempo', 'FontSize', 14) ylabel('Temperatura', 'FontSize', 14) title('Respuesta Paso', 'FontSize', 14) case 3 x1 = tf([K1], [tau1 1]); x2 = tf([K2], [tau2 1]); x3 = tf([K3], [tau3 1]); x12 = series(x1,x2); x123 = series(x12,x3); step(x1,t); hold on step(x12,t0); step(x123,t0); xlabel('Tiempo', 'FontSize', 14) ylabel('Temperatura', 'FontSize', 14) title('Respuesta Paso', 'FontSize', 14) end Archivo nointermatriz.m function f = nointermatriz(t,s) global n m rho V Cv Cp w K1 K2 K3 tau1 tau2 tau3 g11 g12 g13 g21 g22 g23 g31 g32 g33 G h11 h21 h31 H GH n = input('Numero de variables de estado = '); m = input('Numero de variables de entrada = '); rho = input('Valor de la densidad, lb/pie3 = '); V = input('Volumen de los tanques, pie3 = '); Cv = input('Calor especifico a volumen constante, Btu/lb-°F = '); w = input('Flujo masico, lb/min = '); t0 = input('Tiempo de Simulacion, min = '); Cp = Cv;

Mach

125

tau1 = rho*V*Cv/(w*Cp) tau2 = tau1 tau3 = tau2 K1 = w*Cp/(w*Cv) K2 = K1 K3 = K2 g11 = 1; g12 = 0; g13 = 0; g21 = tf([-K2],[tau2 1]); g22 = 1; g23 = 0; g31 = 0; g32 = tf([-K3], [tau3 1]); g33 = 1; G = [g11 g12 g13; g21 g22 g23; g31 g32 g33] h11 = tf([1],[2 1]); h21 = 0; h31 = 0; H = [h11; h21; h31]; GH = 70*inv(G)*H step(GH,t0) figure [y,t] = step(GH,t0); plot(t,y) Archivo nointerss.m function f = nointerss(t,s) global n m rho V Cv Cp w K1 K2 K3 tau1 tau2 tau3 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 A b11 b21 b31 B C D n = input('Numero de variables de estado = '); m = input('Numero de variables de entrada = '); rho = input('Valor de la densidad, lb/pie3 = '); V = input('Volumen de los tanques, pie3 = '); Cv = input('Calor especifico a volumen constante, Btu/lb-°F = '); w = input('Flujo masico, lb/min = '); t0 = input('Tiempo de Simulacion, min = '); Cp = Cv; tau1 = rho*V*Cv/(w*Cp); tau2 = tau1; tau3 = tau2; K1 = w*Cp/(w*Cv); K2 = K1; K3 = K2; a11 = -1/tau1;

Mach

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a12 = 0; a13 = 0; a21 = K1/tau2; a22 = -1/tau2; a23 = 0; a31 = 0; a32 = K2/tau3; a33 = -1/tau3; A = [a11 a12 a13; a21 a22 a23; a31 a32 a33] b11 = K1/tau1; b21 = 0; b31 = 0; B = [b11; b21; b31] C = [1 0 0; 0 1 0; 0 0 1] D = 0 gh = 70*ss(A,B,C,D); step(gh,t0) figure [y,t] = step(gh,t0); plot(t,y) Archivo intertime.m function dy = intertime(t,y) global f1 f2 T10 T20 K10 K20 K1 K2 rho V1 V2 Cv Cp tau1 tau2 dy = [(K10*T10 + K1*y(2)- y(1))/tau1; (K20*T20 + K2*y(1) - y(2))/tau2]; Archivo solintertime.m function f = solintertime(t,y) global f1 f2 T10 T20 K10 K20 K1 K2 rho V1 V2 Cv Cp tau1 tau2 Rango Inicio rho = input('Valor de la densidad, lb/pie3 = '); V1 = input('Volumen del primer tanque, pie3 = '); V2 = input('Volumen del segundo tanque, pie3 = '); f1 = input('Flujo volumetrico de entrada al primer tanque, pie3/min= '); f2 = input('Flujo volumetrico de entrada al segundo tanque, pie3/min= '); Cv = input('Calor especifico a volumen constante, Btu/lb-°F = '); T10 = input('Temperatura de la corriente de entrada al primer tanque T10, °F = '); T20 = input('Temperatura de la corriente de entrada al segundo tanque T20, °F = '); Rango = input('Intervalo de tiempo = '); Inicio = input('Condiciones iniciales = '); Cp = Cv; tau1 = rho*V1*Cv/(rho*Cp*(f1 + 0.2*(f1 + f2))) tau2 = rho*V2*Cv/(1.2*rho*Cp*(f1 + f2)) K10 = f1/(f1 + 0.2*(f1 + f2)) K20 = f2/(1.2*(f1 + f2))

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K1 = 0.2*(f1 + f2)/(f1 + 0.2*(f1 + f2)) K2 = (f1 + 0.2*(f1 + f2))/(1.2*(f1 + f2)) [t,y] = ode45('intertime', Rango, Inicio); plot(t,y) Archivo intermatriz.m function f = intermatriz(t,y) global n m f1 f2 T10 T20 K10 K20 K1 K2 rho V1 V2 Cv Cp tau1 tau2 g11 g12 g21 g22 G h11 h12 h21 h22 H GH n = input('Numero de variables de estado = '); m = input('Numero de variables de entrada = '); rho = input('Valor de la densidad, lb/pie3 = '); V1 = input('Volumen del primer tanque, pie3 = '); V2 = input('Volumen del segundo tanque, pie3 = '); f1 = input('Flujo volumetrico de entrada al primer tanque, pie3/min= '); f2 = input('Flujo volumetrico de entrada al segundo tanque, pie3/min= '); Cv = input('Calor especifico a volumen constante, Btu/lb-°F = '); T10 = input('Temperatura de la corriente de entrada al primer tanque T10, °F = '); T20 = input('Temperatura de la corriente de entrada al segundo tanque T20, °F = '); t0 = input('Tiempo de Simulacion, min = '); Cp = Cv; tau1 = rho*V1*Cv/(rho*Cp*(f1 + 0.2*(f1 + f2))) tau2 = rho*V2*Cv/(1.2*rho*Cp*(f1 + f2)) K10 = f1/(f1 + 0.2*(f1 + f2)) K20 = f2/(1.2*(f1 + f2)) K1 = 0.2*(f1 + f2)/(f1 + 0.2*(f1 + f2)) K2 = (f1 + 0.2*(f1 + f2))/(1.2*(f1 + f2)) g11 = 1; g12 = tf([-K1],[tau1 1]); g21 = tf([-K2], [tau2 1]); g22 = 1; G = [g11 g12; g21 g22] h11 = tf([K10],[tau1 1]); h12 = 0; h21 = 0; h22 = tf([K20],[tau2 1]); H = [h11 h12; h21 h22]; GH = inv(G)*H*[T10; T20] step(GH,t0) Archivo interss.m function f = interss(t,s) global n m f1 f2 T10 T20 K10 K20 K1 K2 rho V1 V2 Cv Cp tau1 tau2 a11 a12 a21 a22 A h11 h12 h21 h22 H GH

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n = input('Numero de variables de estado = '); m = input('Numero de variables de entrada = '); rho = input('Valor de la densidad, lb/pie3 = '); V1 = input('Volumen del primer tanque, pie3 = '); V2 = input('Volumen del segundo tanque, pie3 = '); f1 = input('Flujo volumetrico de entrada al primer tanque, pie3/min= '); f2 = input('Flujo volumetrico de entrada al segundo tanque, pie3/min= '); Cv = input('Calor especifico a volumen constante, Btu/lb-°F = '); T10 = input('Temperatura de la corriente de entrada al primer tanque T10, °F = '); T20 = input('Temperatura de la corriente de entrada al segundo tanque T20, °F = '); t0 = input('Tiempo de Simulacion, min = '); Cp = Cv; tau1 = rho*V1*Cv/(rho*Cp*(f1 + 0.2*(f1 + f2))) tau2 = rho*V2*Cv/(1.2*rho*Cp*(f1 + f2)) K10 = f1/(f1 + 0.2*(f1 + f2)) K20 = f2/(1.2*(f1 + f2)) K1 = 0.2*(f1 + f2)/(f1 + 0.2*(f1 + f2)) K2 = (f1 + 0.2*(f1 + f2))/(1.2*(f1 + f2)) a11 = -1/tau1; a12 = K1/tau1; a21 = K2/tau2; a22 = -1/tau2; A = [a11 a12; a21 a22] b11 = K10/tau1; b12 = 0; b21 = 0; b22 = K20/tau2; B = [b11 b12; b21 b22] C = [1 0; 0 1] D = 0 gh1 = ss(A,B,C,D); gh = gh1*[T10; T20]; step(gh,t0)