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Análisis y diseño de un absorbedor

de vibraciones autoparamétrico

José Cosano García

Índice general

1. Introducción 61.1. Motivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2. Sistemas autoparamétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2. Sistema en estudio 12

3. Análisis del movimiento 173.1. Ecuaciones de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2. Sistema lineal de 3gdl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3. Sistema de segundo orden y 2gdl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.3.1. Ecuaciones y simplificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.3.2. Método de escalas de tiempo múltiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.3.3. Caso 1. ω1 ≈ 2ω2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3.4. Caso 2. ω1 ≈ 12ω2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4. Simulación mediante MSC Adams 394.1. Introducción a MSC Adams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.2. Descripción del modelo empleado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5. Diseño de la máquina de ensayos 42

6. Análisis de resultados 506.1. Caso 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

6.2. Caso 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

7. Conclusiones 61

A. Archivos Octave 62

B. Planos 65

2

Índice de figuras

1.1. Péndulo bidimensional simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2. Absorbedor de vibraciones autoparamétrico simple . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3. Funcionamiento del absorbedor de vibraciones autoparamétrico . . . . . . . 9

1.4. Ala de avión con turborreactores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5. Esquema de movimiento de un barco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1. Sistemas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2. Fotografía de la viga biapoyada presente en el laboratorio . . . . . . . . . . . 13

2.3. Fotografía del apoyo de bolas actual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4. Geometría del absorbedor autoparamétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.5. Esquema de movimiento del apoyo de bolas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.6. Grado de libertad q (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.7. Grados de libertad ϕ (t) y θ (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.1. Frecuencias y modos para condiciones tabla 3.2, k variable . . . . . . . . . . 22

3.2. Frecuencias y modos para condiciones tabla 3.2, k = 600 Nm, E variable . . 24

3.3. Régimen permanente caso 1. p variable; σ1 = σ2 = 0. . . . . . . . . . . . . . . 33

3.4. Régimen permanente caso 1. p variable; σ1 = 0,2. . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.5. Régimen permanente caso 1. Ω variable; σ2 = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.6. Régimen permanente caso 1. Ω variable; σ2 variable. . . . . . . . . . . . . . 34

3.7. Régimen permanente caso Thomsen. p variable; σ1 = σ2 = 0. . . . . . . . . . 35

3.8. Régimen permanente caso Thomsen. p variable; σ1 = 0,2. . . . . . . . . . . . 35

3.9. Régimen permanente caso Thomsen. Ω variable; σ2 = 0. . . . . . . . . . . . 36

3.10.Régimen permanente caso Thomsen. Ω variable; σ2 variable. . . . . . . . . . 36

4.1. Entorno MSC Adams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.2. Modelo generado mediante Adams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.3. Herramientas de generación y análisis de gráficas incluido en Adams . . . . 41

5.1. Diseño del absorbedor de vibraciones autoparamétrico . . . . . . . . . . . . 43

5.2. Frecuencias y modos para condiciones tabla 3.2, mc = 0, k variable . . . . . 45

5.3. Frecuencias y modos para condiciones tabla 5.2, mc variable . . . . . . . . . 45

5.4. Plataforma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.5. Eje y resortes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.6. Péndulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.7. Apoyo izquierdo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3

ÍNDICE DE FIGURAS 4

5.8. Apoyo derecho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6.1. Régimen permanente. Configuración A (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6.2. Transitorios. Configuración A (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6.3. Plano de fase. Configuración A (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52




6.7. Plano de fase. Configuración A (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6.8. Mapa de Poincaré. Configuración A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56


6.10.Régimen permanente. Configuración B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6.11.Transitorios. Configuración B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6.12.Plano de fase. Configuración B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

6.13.Mapa de Poincaré. Configuración B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Índice de cuadros

3.1. Coeficientes adimensionales de las ecuaciones de Rayleigh . . . . . . . . . . 19

3.2. Valores iniciales de diseño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5.1. Lista de partes del absorbedor autoparamétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.2. Valores iniciales de diseño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5

1

Introducción

1.1. Motivación

En el estudio de sistemas vibratorios es frecuente la reducción a un planteamiento

lineal. Sin embargo, generalmente los sistemas físicos son de naturaleza no-lineal. Bien

es cierto que en numerosos casos una linealización adecuada permite obtener resulta-

dos de gran precisión con ahorro en el coste computacional. Un ejemplo claro puede ser

el de un péndulo bidimensional.

La ecuación de movimiento de un péndulo como el de la figura 1.1 es:

θ +g

Rsin θ = 0. (1.1)

Esta ecuación puede linealizarse en torno al equilibrio estable (θ = 0) quedando:

θ +g

Rθ = 0, (1.2)

que es una buena aproximación si θ se mantiene en valores cercanos a los del punto de

equilibrio. Pero este planteamiento no es válido para todos los casos: existen sistemas

vibratorios en los que las no linealidades se hacen necesarias para explicar su respuesta.

El objetivo de este proyecto es diseñar una máquina en la que estudiar un fenómeno

Figura 1.1: Péndulo bidimensional simple

6

1. INTRODUCCIÓN 7

concreto de vibraciones no lineales: el absorbedor de vibraciones autoparamétrico.

Este proyecto comienza planteando un sistema de estudio que presenta absorción

autoparamétrica (capítulo 2). Prosigue con el cálculo de las ecuaciones que gobiernan

el movimiento del sistema (capítulo 3). Mediante un simulador de sistemas mecánicos

se verifican y discuten los resultados obtenidos (capítulos 4 y 6). Posteriormente se

propone un diseño adecuado para la construcción de la máquina de ensayos (capítulo5). Por último se incluyen reflexiones finales y conclusiones (capítulo 7).

El propósito final, por tanto, es permitir la posterior construcción de la máquina de

pruebas. Ésta podrá ser empleada en un contexto didáctico para ilustrar la importancia

de análisis no lineales. Puede además emplearse para estudios más avanzados sobre el

absorbedor de vibraciones autoparamétrico.

El comportamiento de los sistemas no lineales puede ser a priori contraintuitivo. Es

por esto que aunque existan en la literatura numerosos estudios de este fenómeno, la

posibilidad de efectuar experimentos en los que se pueda ver el comportamiento real

beneficia la comprensión. Al fin y al cabo es la comprobación experimental la que valida

al método científico.

1.2. Sistemas autoparamétricos

Una buena descripción de sistemas autoparamétricos la aporta Tondl [2]:

“Los sistemas autoparamétricos son sistemas vibratorios constituidos por

al menos dos subsistemas. Uno de ellos, el sistema primario, generalmente

permanecerá en estado vibratorio. Este sistema primario puede estar excita-

do mediante una fuerza externa, de forma paramétrica, autoexcitado o con

una combinación de los anteriores. [...]. Los sistemas secundarios se acoplan

al sistema primario de forma no-lineal, pero de manera tal que un sistema

secundario puede permanecer en reposo cuando el sistema primario vibra.”

Esto implica que al realizar un análisis lineal del conjunto, el movimiento del sistema

primario coincide con un modo de vibración. El movimiento de los sistemas secundar-

ios viene sin embargo determinado por una combinación de modos independientes al

primero.

Para ilustrar todo lo anterior conviene emplear un ejemplo. El sistema de la figura 1.2

representa el modelo más simplificado de absorbedor de vibraciones autoparamétrico.

En él se tiene un sistema principal: el formado por un bloque de masa M − m que

se encuentra excitado por una fuerza en principio armónica P (t). El sistema primario

tiene un único gdl, coordenada x (t), y se encuentra suspendido mediante un muelle de

rigidez k. Un péndulo de momento de inercia respecto a la articulación mR2, sistema

secundario, aparece unido al centro de gravedad del bloque principal. Se ha llamado

θ (t) al ángulo que marca la posición de dicho péndulo. 1

1Un vídeo que describe el comportamiento de tal sistema ha sido creado por el autor de este proyecto y estádisponible en http://y2u.be/-KbbZZIldp0

http://y2u.be/-KbbZZIldp0

1. INTRODUCCIÓN 8

Figura 1.2: Absorbedor de vibraciones autoparamétrico simple

Un planteamiento lineal, considerando ángulos θ pequeños, de las ecuaciones de

movimiento lleva a:

Mx+ kx = P (1.3)

mR2θ +mgRθ = 0, (1.4)

donde se observa claramente que cada una de las coordenadas x, θ representa un mo-

do de vibración. Partiendo de equilibrio estático, estas ecuaciones predicen un movimien-

to oscilatorio en la coordenada x mientras que θ se mantendrá en reposo. Éste, de hecho,

es el comportamiento habitual del sistema, pero si ciertas relaciones se dan entre los

parámetros del mismo aparece un comportamiento radicalmente distinto.

Supóngase ωx y ωθ las frecuencias naturales correspondientes a los dos modos del

sistema x y θ respectivamente. Supóngase además que la fuerza de excitación es de

la forma P = P0 cos (Ωt), con P0 pequeño. Si la relación entre frecuencia de excitación

y frecuencia natural es tal que Ω ≈ ωx, el sistema primario está en resonancia. Esto

produce vibraciones apreciables en la coordenada x, aun siendo P0 pequeño, mientras

que no hay variación en θ. Una predicción empleando un modelo lineal lleva a esta

conclusión. De hecho esto se corresponde a lo que realmente sucede en un sistema físico

de estas características, sólo siempre que se no se cumpla ωx ≈ 2ωθ. Si esta condición

adicional se da, es decir, si Ω ≈ ωx ≈ 2ωθ y para valores de la amplitud de excitación

mayores que uno crítico P0 > P0 crıtico, entonces el comportamiento del sistema difiere del

anteriormente descrito. En este caso aparece un movimiento vibratorio en el péndulo.

No sólo eso, además la amplitud de movimiento en x decrece para ωx ≈ 2ωθ con respecto

al resto de valores de ωθ (manteniendo el mismo valor de P0).

¿Qué está ocurriendo? Lo que sucede físicamente está ilustrado en la figura 1.3.

Considérese un sistema de referencia inercial (ejes O) y otro ligado ligado al bloque

(ejes Bloque). Al bajar (acelerarse) el bloque respecto a los ejes O, la inercia hace que

el péndulo tienda a permanecer quieto, es decir, subir en ejes Bloque. Así, cuando el

bloque baja, |θ| crece. Además, si el bloque alcanza suficiente aceleración, el equilibrio

estable que formaba el péndulo en la posición θ = 0 se vuelve inestable. Al subir el

bloque en ejes O, el péndulo tiende ahora a bajar en ejes Bloque, |θ| ahora decrece. De

1. INTRODUCCIÓN 9

a) b)

Figura 1.3: Funcionamiento del absorbedor de vibraciones autoparamétrico

esta manera cada vez que el bloque oscila dos veces, el péndulo lo hace una. Esto es así

porque el péndulo está siendo paramétricamente excitado con una frecuencia que es la

mitad de la que lo está siendo el bloque. Al coincidir (aproximadamente) esta frecuencia

de excitación del péndulo ( 12Ω) con su frecuencia natural ωθ tenemos un nuevo fenómeno

de resonancia, esta vez en el péndulo. Esto hace que aunque la fuerza de excitación P0

sea en principio pequeña, existen oscilaciones apreciables en θ. La amplitud de x decrece

simplemente por conservación de la energía. La energía empleada en mover el péndulo

debe restarse de la del sistema primario. Así es lógico que el bloque oscile con menor

amplitud si adicionalmente debe mover al péndulo.

El planteamiento lineal falla a la hora de predecir el comportamiento del sistema

porque el mecanismo de movimiento se refleja en ecuaciones de orden superior a 1. La

relación entre x y θ que produce este movimiento puede aproximarse como mínimo me-

diante términos cuadráticos. Esto es fácil de ver si se tienen en cuenta las ecuaciones de

movimiento completas del sistema. Un estudio bastante exhaustivo del sistema comple-

to puede encontrarse en Tondl [2] empleando en el cálculo el método de los promedios

(averaging). En Thomsen [1] figura un estudio para un sistema similar que al emplear

el método de escalas de tiempo múltiples (método que se empleará más adelante) puede

resultar más claro.

De forma general, un sistema autoparamétrico cualquiera cumple las siguientes car-

acterísticas:

Está compuesto por al menos un sistema primario y otro secundario acoplados

entre sí.

Admite una solución semitrivial en la que el sistema secundario se mantiene en

reposo.

La solución semitrivial puede volverse inestable cuando se cumple determinada

relación entre los parámetros del sistema y sus solicitaciones.

En estas situaciones de inestabilidad, existe resonancia autoparamétrica. Las vi-

braciones del sistema primario actúan como excitación paramétrica del sistema

secundario, que ya no permanecerá en reposo.

Pueden darse varios fenómenos dentro de los sistemas autoparamétricos:

Las vibraciones en un sistema autoparamétrico pueden ser de tipo periódico, cuasi-

periódico, no periódico o incluso caótico.

1. INTRODUCCIÓN 10

Figura 1.4: Ala de avión con turborreactores. Figura obtenida de Tondl [2]

Figura 1.5: Esquema de movimiento de un barco

Pueden existir soluciones semitriviales y con resonancia autoparamétrica estables

simultáneamente.

Los efectos de saturación pueden ocurrir con frecuencia. Al aumentar la energía

en el sistema primario, las deflexiones en el sistema secundario aumentan en gran

medida, por el contrario aumentan en mucha menor medida en el sistema pri-

mario. Es decir, al aumentar la energía proporcionada al sistema global, a partir de

cierta cantidad, esta energía extra se emplea casi completamente en el movimiento

del sistema secundario.

La resonancia autoparamétrica puede darse en situaciones prácticas. En general la res-

onancia autoparamétrica puede presentarse en cualquier sistema oscilatorio al que se

le acopla un segundo sistema (por ejemplo un péndulo). La estabilidad de la solución

no-trivial estará determinada por la relación de frecuencias entre el primer sistema y

el segundo. Obsérvese la figura 1.4: el ala de un avión es el sistema primario que vi-

bra debido a las fuerzas aerodinámicas que actúan sobre la misma. Los turborreactores

actúan en este caso como péndulos. En primera aproximación, este conjunto puede

reducirse a un absorbedor autoparamétrico similar al de la figura 1.2. Si las frecuen-

cias naturales de ala y motores son tales que se produce resonancia autoparamétrica,

pueden ocasionarse consecuencias catastróficas. En este caso, al aumentar las solicita-

ciones en el ala, la amplitud de las oscilaciones del ala apenas aumenta transfiriéndose

la energía al péndulo. Ese aumento en las oscilaciones de las góndolas, puede resultar

fatal para su unión con el ala.

También en barcos pueden darse fenómenos de resonancia autoparamétrica. Un

barco puede una vez más reducirse a un absorbedor autoparamétrico. Observando la

1. INTRODUCCIÓN 11

figura 1.5 se aprecia como el movimiento sobre el nivel del agua actúa como sistema pri-

mario. El balanceo del barco en este caso actúa como sistema secundario. En este caso

los sistemas primario y secundario son el mismo elemento físico, sin embargo al desar-

rollar las ecuaciones de movimiento, se observan expresiones similares a las del caso

simple. De hecho, en barcos pueden darse fenómenos de resonancia autoparamétrica

aún más complejas que la anteriormente descrita. Una vez más Tondl [2] ofrece un

análisis completo de distintas situaciones en barcos.

El estudio de la resonancia autoparamétrica en sistemas mecánicos puede ser más

o menos complejo según los grados de libertad de los sistemas en estudio. En lo que

sigue, este proyecto estudiará el comportamiento de un único sistema formado una

barra flexible y péndulo.

2

Sistema en estudio

Para crear una máquina de ensayos con la que poder experimentar el fenómeno del

absorbedor autoparamétrico se ha llegado a un compromiso entre la simplicidad del

modelo matemático y facilidad para su construcción. Como se comentó en la introduc-

ción el modelo más simple de absorbedor autoparamétrico corresponde al descrito en la

figura 1.2. Sin embargo la construcción de dicho modelo presenta dificultades, en con-

creto para impedir los desplazamientos laterales y giros del bloque. Podría introducirse

un bloque en una ranura cuyas paredes evitaran la fricción, esto se podría conseguir

empleando paredes cubiertas por rodamientos, pero presenta problemas constructivos.

Para evitar esto, se decidió sustituir el bloque de 1 gdl por un sistema continuo. La

dinámica de una barra flexible simplemente apoyada que se deforma conforme a su

primer modo es similar a la de un bloque de 1 gdl sustentado por un muelle lineal. Es

decir, que los movimientos de la barra y el bloque vienen determinados por las mis-

mas ecuaciones. En la figura 2.1 se muestra la equivalencia de ambos sistemas. Por

supuesto, lo anterior es válido únicamente para modelos de la barra de 1 gdl coinci-

dentes con su primer modo de vibración libre.

La construcción de la viga biapoyada es mucho más simple que la del bloque con las

restricciones necesarias. De hecho, ya existe en el laboratorio una máquina de ensayos

que consiste precisamente en una viga biapoyada. Ésta se emplea para el estudio de

vibraciones en medios continuos. Sobre la barra hay fijado un motor excéntrico que

sirve para excitar el sistema. La figura 2.2 es una fotografía de dicha máquina. Mediante

pequeñas modificaciones la máquina de la fotografía puede adaptarse para el estudio de

resonancia autoparamétrica. Además puede seguir manteniendo el resto de funciones

que ofrecía hasta ahora.

La primera modificación que hay que realizar (marca roja) es la adición de un pén-

dulo. Dado que la resonancia autoparamétrica depende de la relación de frecuencias

Figura 2.1: Ambos sistemas son dinámicamente equivalentes para M = 12m y k = 48

π2EIL3 .

12

2. SISTEMA EN ESTUDIO 13

Figura 2.2: Fotografía de la viga biapoyada presente en el laboratorio

de los dos subsistemas y que existe un espacio limitado para el péndulo se añadirá un

muelle de torsión a su articulación con el conjunto. De este modo, pueden ajustarse

más fácilmente las frecuencias a la relación deseada.

Además se va a modificar el apoyo que se modela como apoyo de bolas (marca azul).

Con el diseño actual se producen vibraciones por el juego que existe entre los rodamien-

tos y su soporte. Se propondrá un nuevo diseño con dos parejas de rodamientos que

solucionen este problema.

La solución constructiva propuesta se encuentra descrita en detalle en el capítulo 5.

Teniendo en cuenta lo anterior, se propone como modelo el representado en la figu-

ra 2.4. Consta de una barra simplemente apoyada con un péndulo acoplado en su punto

medio. El péndulo está unido a la barra mediante una rótula con rigidez a torsión k. A

su vez, el péndulo consiste en una varilla completamente rígida con una masa, que se

considera puntual, fija en uno de sus puntos. La excitación se produce mediante un

motor desequilibrado situado en el punto central de la barra.

Del mismo modo a como se explica en la página 8, un sistema como éste se com-

porta como un absorbedor de vibraciones autoparamétrico, siempre que la frecuencia

natural del péndulo sea del orden de la mitad de la primera frecuencia fundamental de

la barra, y además la excitación del sistema sea a una frecuencia similar a esta última.

Suponiendo que la barra se deforme principalmente de acuerdo a su primer modo, en-

tonces lo dicho para el absorbedor compuesto por bloque y péndulo sigue siendo válido

para éste formado por una barra.

Pero éste no es el único efecto de resonancia autoparamétrica que puede presentarse

en un modelo como el de la figura 2.4. Considérense los apoyos de la barra; el apoyo de la

izquierda es un apoyo simple que se mantiene estático, en cambio el de la derecha es un

apoyo de bolas que se desplaza horizontalmente. Considerando a la barra inextensible


Figura 2.3: Fotografía del apoyo de bolas actual

Figura 2.4: Geometría del absorbedor autoparamétrico

Figura 2.5: Esquema de movimiento del apoyo de bolas


en longitud, cuando ésta se deforma, el apoyo de bolas se desplaza acercándose al

otro extremo, véase figura 2.5. De este modo, si la barra se encuentra vibrando en su

primer modo de forma armónica, el apoyo de bolas presenta también un movimiento

armónico horizontal. Es fácil ver que en cada oscilación completa de la barra, el apoyo

oscila completamente dos veces. Esto es que el apoyo se desplaza con una frecuencia

que es el doble de la de la barra. Debido al desplazamiento del apoyo, el movimiento

del resto de puntos de la barra en general y su punto medio en particular adquiere

también una componente horizontal. Por tanto, el punto medio de la barra tiene un

movimiento armónico con una componente horizontal de frecuencia el doble que la

vertical. Es decir, aparece sobre el péndulo una acción periódica de frecuencia el doble

de la frecuencia natural de la barra. Es cierto que las acciones que se producen por este

mecanismo son de pequeña magnitud, debido a que los desplazamientos horizontales en

el apoyo son también pequeños, pero las respuestas pueden ser grandes si de producen

fenómenos de resonancia. Si la frecuencia natural del péndulo fuese esta vez del orden

del doble de la frecuencia natural de la barra podría aparecer una respuesta apreciable

en el primero como consecuencia de la resonancia autoparamétrica. Este fenómeno será

también estudiado a lo largo de los siguientes capítulos.

Para el estudio de movimiento de la barra se ha optado por una discretización basada

en sus modos normales de vibración libre. El motor de esta máquina, como ya se ha

dicho, está pensado para girar en condiciones de diseño con una frecuencia cercana a la

frecuencia natural de la barra que lo sustenta. Esto hace pensar que en un principio una

discretización basada únicamente en el primer modo pueda ser suficiente. No obstante,

la inclusión del resorte de torsión en la rótula puede hacer que la respuesta sobre el

segundo modo de la barra deba ser también considerada. Se efectuará un análisis lineal

teniendo en cuenta este modo para comprobar si esto es así en el epígrafe 3.2.

Para recapitular: se va proceder al estudio del sistema de la figura 2.4, con los

parámetros que en ella se muestran. Este sistema se va a tratar como discreto con,

en principio, tres grados de libertad.

Para la barra, se considera un modelo para los desplazamientos v (x, t) basado en sus

dos primeros modos en vibración libre:

v (x, t) ' q (t) sin

(πξ

2L

)+ ϕ (t)

(−Lπ

sin

(πξ

L

)). (2.1)

Siendo ξ la coordenada que recorre la barra. De este modo los tres grados de libertad

son los representados en las figuras 2.6 y 2.7:

q (t): Es la flecha de la sección media de la barra.

ϕ (t): Es el giro de la sección media de la barra respecto a la posición indeformada.

θ (t): Es el ángulo que forma el péndulo con respecto a la posición de equilibrio del

resorte.

En lo siguiente, se tomará la siguiente notación de subíndices para los distintos elemen-

tos del sistema:

b: Para la barra apoyada.


Figura 2.6: Grado de libertad q (t)

Figura 2.7: Grados de libertad ϕ (t) y θ (t)

m: Para el motor.

c: Para la masa concentrada.

v: Para la varilla rígida.

3

Análisis del movimiento

3.1. Ecuaciones de movimiento

A continuación se muestra el desarrollo de las ecuaciones de movimiento del sistema

descrito en el capítulo 2. Éste consiste en una barra de longitud 2L, de sección cuadrada

de área A e inercia I realizada en un material de densidad ρ y módulo elástico E. Dicha

barra se encuentra apoyada con un apoyo simple que permite el giro y un apoyo de bolas

que permite giro y desplazamiento horizontal. Sobre su punto medio descansa un rotor

excéntrico de masa mm que ejerce una fuerza vertical variable P (t). También en el punto

medio de la barra, existe una rótula con rigidez a torsión k y de la que cuelga un péndulo

formado por una varilla rígida y una masa concentrada. La varilla es homogénea de

longitud Rv y masa mv. La masa concentrada, de valor mc, se encuentra en un punto de

la varilla a una distancia Rc de la articulación. Todo esto queda plasmado en la figura

2.4.

Se toman 3 gdl para el sistema: q (t) y ϕ (t) vienen dados por los dos primeros modos

de vibración libre de la barra tal y como se explica en el capítulo anterior. θ (t) es el

ángulo que forma el péndulo con respecto a sección normal de la barra en su punto

medio. Véanse las figuras 2.6 y 2.7.

El desplazamiento vertical de un punto de la barra a una distancia ξ del apoyo de

referencia (el apoyo simple) viene descrito en (2.1). Dado que tal y como se explica en el

capítulo 2 el desplazamiento del apoyo de bolas forma parte del mecanismo de estudio,

es necesario un modelo para el mismo. Llamando u (t) al desplazamiento horizontal del

punto medio de la barra, puede calcularse a través de la siguiente expresión siendo s la

coordenada que recorre la barra en su posición deformada e ídem para ξ con respecto a

la indeformada:

u (t) = L−ˆ L

0

√1−

(∂

∂sv (s, t)

)2

ds ≈ 1

2

ˆ L

0

(∂

∂ξv (ξ, t)

)2dξ. (3.1)

Donde la aproximación es válida para ∂∂ξv (ξ, t) 1. Esta suposición va a consid-

erarse en un principio correcta. De hecho, en lo que sigue se consideran todos los

desplazamientos en general pequeños.

Es también útil la expresión de la velocidad de un punto cualquiera de la varilla r (R).

17

3. ANÁLISIS DEL MOVIMIENTO 18

La posición de un punto de la varilla situado a una distancia R del resorte viene dada

en un sistema inercial por:

r = (q −R cos (θ + ϕ)) ey + (−u+R sin (θ + ϕ)) ex. (3.2)

Por tanto, el módulo de la velocidad:

r (R)2

= u2 + q2 +R2 (θ + ϕ)2 − 2R

(θ + ϕ

)(u cos (θ + ϕ)− q sin (θ + ϕ)) . (3.3)

donde se han suprimido la señalización de dependencias funcionales y el símbolo ()

indica la derivada temporal ∂∂t . En adelante se empleará, por claridad, esta notación.

El cálculo de las ecuaciones de movimiento puede realizarse empleando los métodos

de la mecánica analítica. Para mayor claridad se divide el cálculo de la energía cinética

y de la energía potencial. La energía cinética del conjunto se compone de la suma de la

energía cinética de la masa concentrada Tc, la del motor Tm, la de la varilla Tv y la de la

barra Tb:

Tc =1

2mc

(u2 + q2 +R2

c (θ + ϕ)2 − 2Rc

(θ + ϕ

)(u cos (θ + ϕ)− q sin (θ + ϕ))

)(3.4)

Tm =1

2mm

(q2 + u2

)(3.5)

Tv =mv

2Rv

ˆ Rv

0

r2dR (3.6)

Tb =1

2ρA

ˆ 2L

0

(∂

∂tv

)2

dx (3.7)

T = Tm + Tb + Tv + Tc. (3.8)

El potencial V tiene como origen las fuerzas elásticas Ve, las gravitatorias Vg y la

interacción con el motor Vm:

Ve =

ˆ 2L

0

1

2EI

(1−

(∂v

∂ξ

)2)2(

∂2v

∂ξ2

)2

dξ +1

2kθ2 (3.9)

Vg = ρAg

ˆ 2L

0

v dξ + (mm +mc +mv) gq −mcgRccos (θ + ϕ)− 1

2gmvRvcos (θ + ϕ) (3.10)

Vm = Pq (3.11)

V = Ve + Vg + Vm. (3.12)

Por tanto, el lagrangiano L:

L = T − V. (3.13)

Las ecuaciones de movimiento vienen dadas por:

d

dt

∂L∂qi− ∂L∂qi

= 0 qi = q, θ, ϕ . (3.14)

Al desarrollar (3.14) las ecuaciones resultantes son de una longitud considerable. A


continuación se muestran esas ecuaciones tras un proceso de adimensionalización y de

agrupación de parámetros. El valor de los nuevos parámetros se encuentra recogido en

la tabla 3.1.

x

(1 + µ

(x− 1

3ϕ

)2)

+ ν(θ + ϕ

)(sin (θ + ϕ)−

(x− 1

3ϕ

)cos (θ + ϕ)

)− 1

3µ

(x2 −

(3π2

16+

1

3

)xϕ+

π2

16ϕ2

)ϕ+ µ

(x− 1

3ϕ

)x2 +

π2

16µ

(x− 1

3ϕ

)ϕ2

− 2

3µ

(x− 1

3ϕ

)xϕ+ ν

(θ + ϕ

)2(

cos (θ + ϕ) +

(x− 1

3ϕ

)sin (θ + ϕ)

)+ kxx

(1− 15

2ϕ2 − 24

π2x2 +

243

32ϕ4 +

189

π2x2ϕ2 +

216

π4x4

)+Gx+ p = 0 (3.15)

θ +

(1 + η

(1

3x− π2

16ϕ

)cos (θ + ϕ)

)ϕ+ η

(sin (θ + ϕ)−

(x− 1

3ϕ

)cos (θ + ϕ)

)x

− η cos (θ + ϕ)

(x2 − 2

3xϕ+

π2

16ϕ2

)+ kθθ +Gθ sin (θ + ϕ) = 0 (3.16)

(1 + 2η

(1

3x− π2

16ϕ

)cos (θ + ϕ) +

(1

3x− π2

16ϕ

)2µη

ν+π2

64

(1− µ) η

ν

)ϕ

+

(η

(sin (θ + ϕ)−

(x− 1

3ϕ

)cos (θ + ϕ)

)− ηµ

ν

(1

3x2 −

(π2

16+

1

9

)xϕ+

π2

48ϕ2

))x

−(η cos (θ + ϕ) +

µη

ν

(1

3x− π2

16ϕ

))x2 +

(1 + η

(1

3x− π2

16ϕ

)cos (θ + ϕ)

)θ

−((

1

3x− π2

16ϕ

)(η sin (θ + ϕ) +

π2

16

µη

ν

)+π2

16η cos (θ + ϕ)

)ϕ2

−η(

1

3x− π2

16ϕ

)sin (θ + ϕ) θ2+

2

3η

(cos (θ + ϕ) +

µ

ν

(1

3x− π2

16ϕ

))xϕ−2η sin (θ + ϕ)

(1

3x− π2

16ϕ

)θϕ

Gθ sin (θ + ϕ) +π2

4

η

νkxϕ

(1− 3

2ϕ2 − 30

π2x2 +

27

32ϕ4 +

243

4π2x2ϕ2 +

378

π4x4

)= 0. (3.17)

Se ha cambiado el tiempo dimensional t por uno adimensional τ ; las derivadas tem-

x =q

L0τ =

t

Trefkx =

32

π2

EIT 20

ML30

L0 =8L

π2ν =

12 (mvRv + 2mcRc)

ML0kθ =

kT 20

I0

I0 = 13

(mvR

2v + 3mcR

2c

)η =

ML20

I0ν Gx =

gT 20

ML0

(4πρAL+mv +mm +mc

)M = mm +mc +mv + ρAL p =

PT 20

ML0Gθ = η

gT 20

L0

µ =mc +mv +mm

M

Tabla 3.1: Coeficientes adimensionales de las ecuaciones de Rayleigh


porales señaladas en (3.15)-(3.17) lo son con respecto al nuevo tiempo adimensional τ .

Es decir, en las ecuaciones anteriores y en lo sucesivo el símbolo () representa la deriva-

da con respecto al tiempo adimensional ∂∂τ . La adimensionalización de t se hace con un

tiempo de referencia Tref . No se ha tomado ningún valor para Tref quedando este libre.

Puede elegirse un valor que elimine cualquiera de los parámetros en los que aparece

convirtiéndolos en 1, o puede tomarse un valor que fije las unidades de medición del

tiempo, por ejemplo Tref = 1 s. Obviamente, el empleo de uno u otro no perjudica el

cálculo y puede elegirse a conveniencia.

3.2. Sistema lineal de 3gdl

Como puede observarse, las ecuaciones de movimiento (3.15)-(3.17) no invitan a

trabajar con ellas. Para solucionar esto, y antes de empezar a introducir hipótesis sim-

plificativas sobre los parámetros geométricos, se procederá a la realización de una lin-

ealización del sistema. El tema de este proyecto es el absorbedor de vibraciones au-

toparamétrico, que sólo puede estudiarse mediante análisis no-lineales. ¿Por qué en-

tonces realizar una simplificación de primer orden? Bien, en primer lugar la compara-

ción de la respuesta obtenida mediante las ecuaciones linealizadas con respecto a las

no-lineales es de gran interés. Uno de los objetivos fundamentales a la hora de real-

ización de este proyecto es el diseño de una máquina de ensayos donde comprobar el

fenómeno ya mencionado. La máquina, por consiguiente, tiene un propósito fundamen-

talmente didáctico. La comparación de las dos soluciones, facilita así la percepción de

la necesidad, sólo en algunos casos, de los análisis no-lineales.

Además de esto, el estudio lineal aporta información relevante que será empleada

como base para el estudio de segundo orden. En concreto se busca la justificación para

simplificar las ecuaciones eliminando uno de los grados de libertad (ϕ).

A continuación se procede al desarrollo de la aproximación de las ecuaciones de

movimiento mediante un polinomio de Taylor en torno a su punto de equilibrio. Poste-

riormente se pasará a la realización de un estudio modal de las ecuaciones linealizadas

y de conclusiones.

Haciendo en primer lugar nulas a las fuerzas externas p = 0, se denominan xe, θe, ϕeal valor de las coordenadas en el equilibrio estático . La posición de equilibrio para las

coordenadas θ y ϕ es trivial:

θe = 0; ϕe = 0.

Teniendo en cuenta que se hacen nulas a las derivadas en el equilibrio (x = x = θ =

... = 0), se sustituye en (3.15)-(3.17), para la obtención de xe. De esto se obtiene que, la

posición de equilibrio xe es alguna raíz real positiva del siguiente polinomio de quinto

grado:

kxxe

(216

π4x4e −

24

π2x2e + 1

)= −Gx (3.18)

xe ∼Gxkx.

Realizando una expansión en serie de los términos algebraicos y eliminando términos

no lineales, el sistema (3.15)-(3.17) tras ciertas combinaciones lineales puede reducirse


L = 0,5 m A = 1 cm2 I = 830 mm4 (sección cuadrada)

E = 207 GPa (acero) ρ = 7800 kg/m3

Rv = Rc = 0,8 m mv = 1,27 kg mc = 1 kg

Tabla 3.2: Valores iniciales de diseño

a un sistema de tipo:

Mx + Kx = P (3.19)

x =

x− xeθ

ϕ

, x =

x

θ

ϕ

M =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

, K ∈ R3×3, P ∈ R3×1.

En la que tal y como se indica M puede hacerse matriz identidad. Las expresiones

para K y P son fácilmente obtenibles aunque largas y se ha optado por omitirlas. Las

frecuencias naturales vienen así determinadas por los autovalores de K y los modos de

vibración por sus autovectores.

Es cierto que las coordenadas tomadas q (o x) , θ, ϕ no se corresponden en principio

con los modos de vibración y que en rigor habría que hablar de las frecuencias naturales

asociadas a los modos. No obstante como podrá comprobarse, para los casos de interés,

la identificación de cada coordenada con un modo no será una mala aproximación. Así,

se hablará de las frecuencias naturales asociadas a las coordenadas ωq, ωθ, ωϕ que es

una noción más intuitiva.

Como se ha comentado, interesa realizar un análisis no lineal empleando únicamente

dos coordenadas x, θ. Además, los casos de interés son aquellos en los que la relación

entre frecuencias naturales cumpla alguna de las condiciones:ωq ≈ 2ωθ

2ωq ≈ ωθ.(3.20)

Es decir, hay que buscar una relación entre los parámetros de diseño dentro de loslímites admisibles en la que una de las condiciones (3.20) se cumpla. Dado que se pre-

tende tomar como base de diseño la máquina ya presente en el laboratorio, se buscarán

soluciones de dimensiones similares a ésta.

Como punto de partida de los valores iniciales de diseño se tomarán los indicados en

la tabla 3.2. Como longitud inicial de la barra se tomará 1 m, que es un valor adecuado

para las necesidades de espacio en el laboratorio. La longitud del péndulo se ha tomado


Figura 3.1: Frecuencias y modos para condiciones tabla 3.2, k variable

0,8m también para ajustarse a las necesidades de espacio. Nótese que no se ha fijado el

valor para la rigidez del resorte k. En primer lugar se buscarán los valores de k en los

que se cumplen las condiciones (3.20). Para ello, se emplearán diagramas como el de

la figura 3.1. Antes de continuar, puede ser conveniente realizar algunas explicaciones

acerca de este tipo de diagramas.

Estos diagramas están formados por dos gráficas que comparten un eje de abscisas.

Dicho eje corresponde a un parámetro de diseño que se considera la variable independi-

ente. En la gráfica superior se da información sobre los modos de vibración del sistema

y en la inferior el valor de las frecuencias naturales. Es decir, considérese que se han

fijado todos los parámetros que definen la mecánica del sistema excepto uno (k en el

caso de la figura 3.1). Tras la linealización puede llegarse a una matriz de rigidez K (k)

normalizada (tal que M sea la matriz identidad) como lo expuesto en (3.19). Los auto-

valores y autovectores de K (k) pueden llamarseω2

1 , ω22 , ω

23

y φ1, φ2, φ3, que siguen

siendo funciones de k. Los modos de vibración pueden entonces identificarse con la

coordenada q (o x)1, θ, ϕ que mejor les representa. ¿Qué quiere decir esto? Tómese

un autovector cualquiera φi con i = 1, 2, 3, este autovector tiene tres componentes

φi =[φiq φiθ φiϕ

]T. Supóngase que φi∗ es la componente de mayor valor abso-

luto φi∗ = max (|φiq| , |φiθ| , |φiϕ|), entonces puede decirse que ∗ es la coordenada que

mejor representa al modo φi que ahora puede pasar a llamarse φ∗. El valor φi∗ es lo

que ha venido en llamarse la fracción de identificación coordenada-modo para ∗, con

∗ = q, θ, ϕ. De este modo, si el valor φi ha pasado a llamarse φ∗, lo mismo le ocurre

1En rigor, debería hablarse de q = q−qe o equivalentemente x = x−xe, pero por simplicidad se han omitidolas tildes.


a la frecuencia ωi que pasa a llamarse ω∗. En los diagramas lo que se muestra es pre-

cisamente la variación de los |φi∗| en la gráfica superior y los ω∗ en la inferior con un

parámetro de diseño, que resulta ser k en la figura 3.1. El valor de |φi∗| es de gran interés

ya que indica cómo de buena es la aproximación consistente en identificar un modo con

cada coordenada, siendo mejor la aproximación cuanto estos valores sean más cercanos

a la unidad. Nótese que un valor del orden de ∼ 0,7 indica una mala aproximación, ya

que puede indicar que dicho modo está igualmente identificado mediante dos coorde-

nadas.

Probablemente, el área sombreada sea una de las que antes captan la atención. No

obstante esta zona no tiene gran interés en el marco de este proyecto; se corresponde a

valores de la variable independiente en la que dos autovalores coinciden. Dado que esta

zona queda fuera del comportamiento no-lineal (no se cumplen las condiciones (3.20)),

la respuesta del sistema puede hallarse empleando el análisis lineal habitual.

Volviendo a la figura 3.1, obsérvese que se ha marcado en la gráfica de las frecuen-

cias naturales el valor 2ωq, puesto que se desea conseguir ωθ = 2ωq (conseguir la otra

condición, ωq = 2ωθ, puede hacerse con mayor facilidad). Como se observa son

necesarios valores de k muy altos para conseguir que se cumpla la primera de las condi-

ciones 3.20. De hecho, aparece un comportamiento asintótico con respecto a k y para

estos parámetros no existe ningún valor de k tal que esta condición se cumpla (aunque

para valores muy altos se queda cerca). Suponiendo que se quedase lo suficientemente

cerca y que fuese factible la construcción de un muelle de dichas características, la

solución no sería válida. El cambio de color repentino en la gráfica de verde a rojo indica

que el modo asociado a esa frecuencia natural, a partir de cierto valor de k crítico, deja

de estar representado principalmente por la coordenada θ. Esto puede apreciarse con

claridad mediante la ayuda del gráfico superior. Lo que está sucediendo es que el resorte

se hace más rígido que la barra, lo que implica que para que el péndulo se deflecte con

respecto a la vertical es menos costoso variar ϕ que θ. Esto hace que φϕ se convierta en

el segundo modo, a la vez que se produce un efecto de saturación con respecto a k. En

cualquier caso incluso antes de este k crítico, los valores de la fracción de identificacióncoordenada-modo para θ indican que la aproximación es pobre y por tanto no válida.

Para obtener una mayor profundidad sobre el comportamiento del sistema puede ser

interesante cambiar el parámetro que se toma como variable independiente, por ejemplo,

si se cambia el material de la barra. Los resultados obtenidos para ese escenario se

recogen en la figura 3.22. En esta figura, puede observarse un efecto complementario

del anterior, para valores muy bajos de la rigidez de la barra, resulta más económico

doblar la sección central de la misma que girar el péndulo respecto a la sección central.

Un razonamiento más desarrollado sobre la elección de los parámetros finales puede

leerse en el capítulo 5.

Uno de los objetivos fundamentales de esta sección es la justificación de usar un

sistema de 2 gdl, para el análisis no lineal. Teniendo en cuenta que por planteamiento,

2Es cierto que: Primero, el módulo E no puede escogerse entre cualquier valor, existe un conjunto finitode materiales que se pueden emplear. Y segundo, al variar el material (cambiar E) varía necesariamente ladensidad ρ. Esto implica que aunque aporte conocimiento sobre el comportamiento de las ecuaciones demovimiento, este análisis no es interesante desde el punto de vista del diseño (hasta cierto punto, ya que lainercia de la sección I, que actúa de modo similar a E, sí que puede variarse).


Figura 3.2: Frecuencias y modos para condiciones tabla 3.2, k = 600 Nm, E variable

la fuerza externa P (t) es una fuerza armónica, puede escribirse:

p (τ) = p cos (Ωτ) . (3.21)

Como ya se explicó en la introducción la excitación externa debe producir una respuesta

de resonancia en el sistema primario (la barra). Por lo cual se asume que Ω ≈ ωq. Los

valores de ωϕ son tan altos que no se muestran en las figuras 3.1 o 3.2, en general se

obtienen valores de ωϕ ωq. Por lo que no es esperable una respuesta apreciable en φϕ

originada por P (t).

Una justificación algo más detallada de ωϕ ωq, puede efectuarse para un caso

general. Esto se hace despreciando los términos en x2e ∼

G2x

k2x∼ g2

E2I2 frente a los términos

en kx. De este modo el problema 3.19 obedece a:

Mx + Kx = P (3.22)

M =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

K ≈

kx (kθ +Gθ) νxe Gθνxe

ηkxxe64(2kθ+Gθ)ηνxe+192kθν+3π2(νkθ+ηGθ)µb

3π2ηµb

16(4νGθ−π2ηkx)xe−48π2kx

3π2ηµb+Gθ

0 − 64ν((kθ+Gθ)ηxe+3kθ)3π2ηµb

16(−4νGθxe+3π2kx)3π2ηµb

.


De este modo, puede resolverse el problema de autovalores y autovectores de forma

analítica, pero una vez más las expresiones resultantes quedan demasiado largas para

obtener una idea de las características del sistema. Lo que sí puede hallarse y resultar

útil son los órdenes de magnitud de los parámetros. De este modo, empleando la misma

notación:ω2

1 ∼ kx ω22 ∼ ε

kx1− µ

ω21 ∼ 16

kx1− µ .

Donde el multiplicador ε indica un orden de magnitud menor del factor al que acom-

paña.3

3.3. Sistema de segundo orden y 2gdl

3.3.1. Ecuaciones y simplificación

Para el estudio no-lineal, van a emplearse únicamente 2 gdl, los correspondientes

a x y θ, dado que se espera ϕ ≈ 0. Un modelo de este tipo, conduce a las siguientes

ecuaciones de movimiento:

(µx2 + 1

)x+ ν (sin θ − x cos θ) θ + µxx2 + ν (x sin θ + cos θ) θ2+

+kxx

(216

π4x4 − 24

π2x2 + 1

)+ p (τ) +Gx = 0 (3.23)

θ + η (sin θ − x cos θ) x− ηx2 cos θ + kθθ +Gθ sin θ = 0. (3.24)

En un estudio lineal, se realizaría una expansión en serie de (3.23)-(3.24) y se trun-

caría en los términos de primer orden. Pero como se ha comentado, la naturaleza de este

problema no se puede explicar mediante una simplificación lineal del mismo: los térmi-

nos de segundo orden, tienen una importancia crucial. La expansión en serie de Taylor

sigue siendo una simplificación válida, pero es necesario retener términos de orden 2.

De este modo, y realizando una manipulación previa para aislarx, θ

, (3.23)-(3.24)

pueden simplificarse como:

x+ ω21x = kxθ θ + γxxx

2 + γxθ θ2 + γxxθxθ

+δxx x2 + δxθ θ

2 + (fx + fxxx+ fxθ θ) p (τ)− 2ζxx (3.25)

θ + ω22θ = kθxx+ γθxx

2 + γθθθ2 + γθxθxθ

+δθxx2 + δθθ θ

2 +(fθ + fθxx+ fθθ θ

)p (τ)− 2ζθ θ. (3.26)

Con p (τ) = p cos (Ωτ), y donde para tener en cuenta posibles efectos disipativos, se han

añadido los términos 2ζxx y 2ζθ θ. El valor de cada uno de estos coeficientes es función

de los parámetros del problema y de xe. Teniendo en cuenta el orden de magnitud de

xe, se tendrán en cuenta únicamente los términos de orden de magnitud relevante. Así,

3En realidad, para despreciar completamente ϕ habría que tener en cuenta su influencia en términos nolineales. Realizando una expansión en términos de hasta segundo orden, pueden aparecer términos propor-cionales a xϕ o θϕ y por tanto pequeños. Estos pueden verse en las ecuaciones como excitaciones armónicasde frecuencias ω1 + ω3, |ω1 − ω3|, ω2 + ω3, |ω2 − ω3|. Si alguna de estas frecuencias fuese del orden de ω1 oω2, podrían producir una respuesta no pequeña por fenómeno de resonancia. Dado que ω3 ω1, ω2, no seproducirá este tipo de situación y la simplificación a dos grados de libertad sigue siendo posible.


una buena aproximación para los coeficientes de las ecuaciones (3.25) y (3.26) es4:

ω21 =

(1− 72

π2x2e

)kx

ω22 = kθ +Gθ − ηGx − ηkxxekxθ = − (kθ − 2ηGx +Gθ) νxe

kθx = −ηGx − 2ηkxxe

γxx = 72π2xekx

γθx = −(1− 144

π2 ηx2e

)ηkx

γxθ = (kθ − ηGx +Gθ) ν − ηνkxxeγθθ = (2ηνkθ − (6ην − 1) ηGx + 4ηνGθ)xe

γxxθ = − (kθ − 2ηGx +Gθ) ν − 192π2

(π2 − 48x2

e

)ηνkxxe

γθxθ = ηkx − (2kθ − 4ηGx + 2Gθ) ηνxe

δxx = − (µ− ην)xe δθx = η

δxθ = −ν δθθ = −ηνxefx = −1 fθ = −ηxefxx = 2 (µ− ην)xe fθx = −ηfxθ = 2ηνxe fθθ = η

Comparando el orden de magnitud de algunos de estos coeficientes, puede reducirse el

número de términos en las ecuaciones:

δxxδxθ

=(µ− ην)

νxe ∼ ε

g

EI 1

δθθδθx

= νxe ∼mcRcg

ML0EI∼ 10−2 1

fxxfx

= 2 (µ− ην)xe ∼ εg

EI 1

fxθfx

= 2ηνxe ∼mcg

MEI∼ 10−2 1

fθ

fθx= xe ∼

g

EI∼ 1

20 1.

De este modo, el problema (3.25), (3.26); queda simplificado a:

x+ ω21x = kxθ θ + γxxx

2 + γxθ θ2 + γxxθxθ − νθ2 − 2ζxx− p cos (Ωτ) (3.27)

θ + ω22θ = kθxx+ γθxx

2 + γθθθ2 + γθxθxθ + ηx2 − 2ζθ θ − η (x− θ) p cos (Ωτ) . (3.28)

Existen varios métodos para aproximar las soluciones (resolver) ecuaciones de este tipo,

Thomsen [1] explica varias: Escalas múltiples, método de los promedios averaging, ex-

pansión directa. Es el primero de estos métodos el que va a emplearse, dado que se ha

pensado que resulta el método más intuitivo de todos.

4No se muestran las expresiones completas para los coeficientes por ser demasiado largas. No obstante,estas expresiones no son más que cocientes de polinomios en xe. Así, para los cálculos numéricos posterioresse han tomado las expresiones completas.


3.3.2. Método de escalas de tiempo múltiples

El método de que va a emplearse para resolver el problema no lineal que forman

las ecuaciones (3.25) y (3.26) es el de escalas de tiempo múltiples. Este método parte de

una formulación lineal del problema que sea lo suficientemente buena, para que el resto

de términos no lineales actúen como una variación pequeña con respecto a la solución

lineal.

Se puede entonces estimar el orden de magnitud de cada término. Se tomarán como

términos de orden ε (de un orden de magnitud inferior al resto) los siguientes términos.

Los términos de segundo ordenx2, θ2, xθ

Los términos de amortiguamiento

2ζx, 2ζθ

Los términos de excitación (se presuponen excitaciones pequeñas) p, px, pθ

Los términos lineales multiplicados por un factor de orden de magnitud inferior al

del resto de términos lineales. En este casokxθ , k

θx

. Ya que kxθ

ω21∼ Gx

kx 1.

Teniendo en cuenta lo anterior y , las ecuaciones (3.27) y (3.28) pueden indicarse como:

x+ ω21x = ε

(kxθ θ + γxxx

2 + γxθ θ2 + γxxθxθ − νθ2 − 2ζxx− p cos (Ωτ)

)(3.29)

θ + ω22θ = ε

(kθxx+ γθxx

2 + γθθθ2 + γθxθxθ + ηx2 − 2ζθ θ − η (x− θ) p cos (Ωτ)

). (3.30)

Representando ε el orden de magnitud de los términos. En rigor ε = 1 pero se toma

como indicador de que los términos a los que acompaña son de un orden de magnitud

inferior del resto tratándose así como a una variable más. Esta formulación favorece

el desarrollo del análisis, al final del mismo basta con hacer ε = 1 para obtener los

resultados finales.5

Para la integración de las ecuaciones se tomarán dos escalas de tiempo T0, T1. T0 es

la escala de baja frecuencia (valores de τ altos) y T1 la de alta frecuencia (bajos valores

de τ ). Así se puede escribir:

T0 = τ (3.31)

T1 = ετ. (3.32)

Introduciendo la notación D0 = ∂∂T0

, D1 = ∂∂T1

, las derivadas temporales quedan en-

tonces:

∂

∂τ=∂T0

∂τ

∂

∂T0+∂T1

∂τ

∂

∂T1= D0 + εD1

∂2

∂τ2= D0 + ε2D0D1 +O

(ε2).

5Una formulación más rigurosa puede ser emplear un ε que se identifique con un número cualquieramucho menor que la unidad (ε 1). Entonces si en una expresión X + Y quiere expresarse que O (Y ) <

O (X), puede hacerse mediante X + εY en la que Y = εY (así O (X) ∼ O(Y)). Aunque este método parezca

matemáticamente más correcto que el método las expresiones finales son idénticas aunque el cómo se llega aellas resulta más enrevesado.


Desarrollando x y θ como funciones de (T0, T1, ε), pueden eliminarse términos de

orden ε2:

x (T0, T1, ε) = x0 (T0, T1) + εx1 (T0, T1) +O(ε2)

(3.33a)

θ (T0, T1, ε) = θ0 (T0, T1) + εθ1 (T0, T1) +O(ε2). (3.33b)

Sustituyendo en las ecuaciones de movimiento y separando términos en ε0 y ε1, se

obtienen los siguientes grupos de ecuaciones:

D20x0 + ω2

1x0 = 0 (3.34a)

D20θ0 + ω2

2θ0 = 0 (3.34b)

D20x1 + ω2

1x1 = −2D0D1x0 + kxθ θ0 + γxxx20 + γxθ θ

20 + γxxθx0θ0 − ν (D0θ0)

2 − 2ζxD0x0 −1

2p cos (Ωt)

(3.35a)

D20θ1 + ω2

2θ1 = −2D0D1θ0 + kθxx0 + γθxx20 + γθθθ

20 + γθxθx0θ0

+ η (D0x0)2 − 2ζθ (D0θ0)− η (x0 − θ0) p cos (Ωt) . (3.35b)

Las ecuaciones (3.34) pueden integrarse en T0:

x0 = Aeiω1T0 + cc (3.36a)

θ0 = Beiω2T0 + cc (3.36b)

A, B = A (T1) , B (T1) ∈ C.

donde +cc indica la suma de los complejos conjugados de todos los sumandos anteri-

ores.

Teniendo en cuenta que el caso de estudio es de resonancia, se analizarán valores de

Ω ≈ ω1. Empleando un parámetro de ajuste σ1 que controle cómo de próximo es Ω a ω1,

puede entonces escribirse:

Ω = ω1 + εσ1.

Dado que interesan valores tales que σ1 Ω, ω1. Entonces separando en escalas de

tiempo:

Ωτ = ω1T0 + σ1T1.

Sustituyendo los valores de x0 y θ0 dados por (3.36) en las ecuaciones (3.35), se obtiene:

D20x1 + ω2

1x1 =

(−i2ω1A

′ − i2ζxω1A−1

2peiσ1T1

)eiω1T0 + kxθBe

iω2T0

+ γxxA2ei2ω1T0 +

(γxθ + νω2

2

)B2ei2ω2T0 + γxxθABe

i(ω1+ω2)T0

+ γxxθABei(ω1−ω2)T0 + γxxAA+

(γxθ − νω2

2

)BB + cc (3.37a)


D20θ1 + ω2

2θ1 = (−i2ω2B′ − i2ζθω2B) eiω2T0 + kθxAe

iω1T0

+ γθθB2ei2ω2T0 +

((γθx − ηω2

1

)A2 − 1

2ηpAeiσ1T1

)ei2ω1T0 +

(γθxθAB +

1

2ηpBeiσ1T1

)ei(ω1+ω2)T0

+

(γθxθAB +

1

2ηpBeiσ1T1

)ei(ω1−ω2)T0 +

(γθx + ηω2

1

)AA− 1

2ηpAe−iσ1T1 + γθθBB + cc, (3.37b)

con A′ = dAdT1

y B′ = dBdT1

.

Estas ecuaciones presentan términos seculares. Es decir, existen términos de ex-

citación a la frecuencia natural. Estos términos deberían producir respuesta de valor

alto, pero esto no sucede en la realidad. De hecho x1, θ1 son pequeñas por hipótesis.

Dado que A, B no están definidas, esto quiere decir que deben ser tales que la suma

de los términos seculares sea idénticamente nula para cada ecuación.

Los términos seculares para la primera ecuación (ídem segunda) son aquellos de

forma Ceiω1T0+cc (Ceiω2T0+cc). Vemos que aparecen más términos para los casos ω1 ≈ 2ω2

y 2ω1 ≈ ω2. Estos casos son los correspondientes a resonancia interna y son los que se

van a estudiar.

3.3.3. Caso 1. ω1 ≈ 2ω2

Para este caso, puede escribirse:

ω1 = 2ω2 + εσ2

ω1T0 = 2ω2T0 + σ2T1,

donde σ2 es el parámetro de ajuste interno. Reescribiendo las ecuaciones (3.37) para

este caso:

D20x1 + ω2

1x1 =

(−i2ω1A

′ − i2ζxω1A−1

2peiσ1T1 +

(γxθ + νω2

2

)B2e−iσ2T1

)eiω1T0

+(kxθBe

−i 12σ2T1 + γxxθABei 12σ2T1

)ei

12ω1T0 + γxxθABe

−i 12σ2T1ei32ω1T0

+ γxxA2ei2ω1T0 + γxxAA+

(γxθ − νω2

2

)BB + cc (3.38a)

D20θ1 + ω2

2θ1 =

(−i2ω2B

′ − i2ζθω2B + γθxθABeiσ2T1 +

1

2ηpBei(σ1+σ2)T1

)eiω2T0

+(kθxAe

iσ2T1 + γθθB2)ei2ω2T0 +

(γθxθAB +

1

2ηpBeiσ1T1

)eiσ2T1ei3ω2T0 + γθθBB

+

((γθx − ηω2

1

)A2 − 1

2ηpAeiσ1T1

)ei2σ2T1ei4ω2T0 +

(γθx + ηω2

1

)AA− 1

2ηpAe−iσ1T1 + cc. (3.38b)

Los términos que acompañan a eiω1T0 en la primera ecuación y a eiω2T0 en la segunda

producirían una respuesta de gran amplitud por ser seculares. Esto no es consistente

con que x1, θ1 ∼ ε, por tanto estos términos deben ser idénticamente nulos. Las ecua-


ciones (3.38) quedan entonces tras eliminar términos seculares:

D20x1 + ω2

1x1 =(kxθBe


)ei

12ω1T0 + γxxθABe

−i 12σ2T1ei32ω1T0

+ γxxA2ei2ω1T0 + γxxAA+

(γxθ − νω2

2

)BB + cc (3.39a)

D20θ1 + ω2

2θ1 =(kθxAe

iσ2T1 + γθθB2)ei2ω2T0 +

(γθxθAB +

1

2ηpBeiσ1T1

)eiσ2T1ei3ω2T0 + γθθBB

+

((γθx − ηω2

1

)A2 − 1

2ηpAeiσ1T1

)ei2σ2T1ei4ω2T0 +

(γθx + ηω2

1

)AA− 1

2ηpAe−iσ1T1 + cc. (3.39b)

La solución a las ecuaciones: (3.39) es

x1 =4

3ω21

(kxθBe


)ei

12ω1T0 − 4γxxθ

5ω21

ABe−i12σ2T1ei

32ω1T0

− γxx3ω2

1

A2ei2ω1T0 +γxxω2

1

AA+1

ω21

(γxθ − νω2

2

)BB + cc (3.40a)

θ1 = − 1

3ω22

(kθxAe

iσ2T1 + γθθB2)ei2ω2T0 − 1

8ω22

(γθxθAB +

1

2ηpBeiσ1T1

)eiσ2T1ei3ω2T0 +

γθθω2

2

BB

− 1

15ω22

((γθx − ηω2

1

)A2 − 1

2ηpAeiσ1T1

)ei2σ2T1ei4ω2T0 +

1

ω22

(γθx +

1

2ηω2

1

)AA− ηp

ω22

Ae−iσ1T1 +cc.

(3.40b)

Donde A y B deben ser tales que se anulen los términos seculares. Para ello, deben

satisfacer:

− i2ω1A′ − i2ζxω1A−

1

2peiσ1T1 +

(γxθ + νω2

2

)B2e−iσ2T1 = 0 (3.41a)

−i2ω2B′ − i2ζθω2B + γθxθABe

iσ2T1 +1

2ηpBei(σ1+σ2)T1 = 0, (3.41b)

escribiendo A y B como

A =1

2aeiα (3.42a)

B =1

2beiβ (3.42b)

a, b, α, β = a (T1) , b (T1) , α (T1) , β (T1) ∈ R.

Sustituyendo y separando partes real e imaginaria en (3.41) se obtienen las siguientes


ecuaciones de modulación:

a′ = −γxθ + νω2

2

4ω1b2 sinψ2 −

p

2ω1sinψ1 − ζxa (3.43a)

b′ =γθxθ4ω2

ab sinψ2 +ηp

4ω2b sin (ψ1 + ψ2)− ζθb (3.43b)

aα′ = −γxθ + νω2

2

4ω1b2 cosψ2 +

p

2ω1cosψ1 (3.43c)

bβ′ = − γθxθ

4ω2ab cosψ2 −

ηp

4ω2b cos (ψ1 + ψ2) (3.43d)

ψ1 = σ1T1 − α (3.44a)

ψ2 = σ2T1 + α− 2β. (3.44b)

Las ecuaciones (3.33) pueden finalmente escribirse en términos de a, b, ψ1, ψ2. Com-

binando (3.42) y (3.44) con las soluciones de orden 0 (3.36) y 1 (3.40), se obtiene la

aproximación de primer orden:

x (τ) = a cos (Ωτ − ψ1)

+ ε2

ω21

[(2

3kxθ b cos

(1

2Ωτ − 1

2(ψ1 + ψ2)

)+

1

3γxxθab cos

(1

2Ωτ − 1

2(ψ1 − ψ2)

))−γ

xxθ

5ab cos

(3

2Ωτ − 3

2ψ1 −

1

2ψ2

)− γxx

12a2 cos (2Ωτ − 2ψ1) +

γxx4a2 +

1

4

(γxθ − νω2

2

)b2]

+O(ε3)

(3.45a)

θ (τ) = b cos

(1

2Ωτ − 1

2(ψ1 + ψ2)

)+ ε

2

ω22

[−1

6kθxa cos (Ωτ − ψ1)− 1

12γθθb

2 cos (Ωτ − ψ1 − ψ2) +1

4γθθb

2 − 1

4ηpa cos (ψ1)

− 1

32γθxθab cos

(3

2Ωτ − 3

2ψ1 −

1

2ψ2

)− 1

32ηpb cos

(3

2Ωτ − 1

2(ψ1 − ψ2)

)− 1

60

(γθx − ηω2

1

)a2 cos (2Ωτ − 2ψ1) +

1

60ηpa cos (2Ωτ − ψ1) +

1

4

(γθx + ηω2

1

)a2

]+O

(ε3).

(3.45b)

La evolución de a, b, ψ1, ψ2 viene descrita por las ecuaciones (3.43). Éste es un

conjunto de ecuaciones diferenciales en T1. Para conocer los estados estables en régimen

permanente, se plantea el siguiente sistema de ecuaciones algebraicas derivado de hacer


nulas las derivadas en las ecuaciones (3.43):

0 = −γxθ + νω2

2

4ω1b2 sinψ2 −

p

2ω1sinψ1 − ζxa (3.46a)

0 =γθxθ4ω2

ab sinψ2 +ηp

4ω2b sin (ψ1 + ψ2)− ζθb (3.46b)

0 = −γxθ + νω2

2

4ω1b2 cosψ2 +

p

2ω1cosψ1 − σ1a (3.46c)

0 = − γθxθ

4ω2ab cosψ2 −

ηp

4ω2b cos (ψ1 + ψ2)− 1

2(σ1 + σ2) b. (3.46d)

El sistema (3.46) posee una solución semi-trivial o lineal que coincide con la solu-

ción del problema planteado únicamente en términos de primer orden. Esta solución se

caracteriza por la ausencia de movimiento en el péndulo:

al =p

2ω1

√ζ21 + σ2

1

(3.47a)

bl = 0. (3.47b)

La solución lineal (3.47) no es la única solución permanente del sistema (3.43), es

más, para ciertas condiciones en el resto de los parámetros ni siquiera es una solución

estable. Encontrando para cada caso las soluciones estables para a, b, ψ1, ψ2 la solu-

ción permanente del sistema se obtiene fácilmente sustituyendo estos valores en (3.45).

Obsérvese que la primera línea de cada ecuación de (3.45) representa los términos de

mayor orden de magnitud (el resto de términos es de orden ε). Así a y b son una buena

aproximación a la amplitud de x y θ respectivamente.

A continuación, en las figuras 3.3-3.6 se muestran las soluciones permanentes en

forma de gráficas para distintos valores del resto de los parámetros. En línea gruesa se

muestran las soluciones estables, en línea fina las inestables.

Las figuras 3.7-3.10 representan las mismas situaciones que en el caso anterior en

un caso más simple, en el que nos se considera el movimiento del apoyo. Este caso

corresponde a un modelo similar al propuesto por Thomsen [1] en el que se describe

el movimiento de un absorbedor autoparamétrico simple similar al de la figura 1.2.

Las diferencias (ligeras) , por tanto que existen entre ambos modelos provienen del

movimiento horizontal de la base del péndulo.

3.3.4. Caso 2. ω1 ≈ 12ω2

A continuación se considera el segundo caso en el que aparece resonancia interna.

En este caso la relación entre ω1 y ω2 es de la forma:

ω1 =1

2ω2 + εσ2

ω1T0 =1

2ω2T0 + σ2T1.


0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

a; b

p

Régimen permanente. w1=gqxq=h= gxq=n=1; zx=zq=0.05; s1=s2=0

ab

Figura 3.3: Amplitudes a y b como función de la fuerza de excitación p en régimen per-manente. Coeficientes de ajuste σ nulos.

0

0.5

1

1.5

2

0 0.05 0.1 0.15 0.2

a; b

p

Régimen permanente. w1=gqxq=eta=gxq=n=1; zx=zq=0; s1=0; s2=0.2

ab

Figura 3.4: Amplitudes a y b como función de la fuerza de excitación p en régimen per-manente. Coeficiente de ajuste interno σ2 nulo y externo σ1 no nulo nulos.


0

0.5

1

1.5

2

0 0.5 1 1.5 2

a; b

w 1/W

Régimen permanente. gqxq=h=gxq=n=1; zx=zq=0.05; s2=0; p=[0.05, 0.10, 0.15]

ab

Figura 3.5: Amplitud a como función de la frecuencia de excitación Ω para tres niveles deexcitación p en régimen permanente. Coeficiente de ajuste interno σ2 nulo.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.5 1 1.5 2

a; b

w 1/W

Régimen permanente. gqxq=h=gxq=n=1; zx=zq=0.05; p=0.1; s2=[-0.2, 0, 0.2]

ab

Figura 3.6: Amplitud a como función de la frecuencia de excitación Ω para tres niveles dedesajuste externo σ2 en régimen permanente.


Figura 3.7: Ejemplo absorbedor simple en función de la fuerza de excitación p. Coefi-cientes de ajuste σ nulos.

Figura 3.8: Ejemplo absorbedor simple en función de la fuerza de excitación p. Coeficientede ajuste interno σ2 nulo y externo σ1 no nulo nulos.


Figura 3.9: Ejemplo absorbedor simple en función de la frecuencia de excitación Ω.Coeficiente de ajuste interno σ2 nulo.

Figura 3.10: Ejemplo absorbedor simple en función de la frecuencia de excitación Ω paratres niveles de desajuste externo σ2.


En este caso las ecuaciones (3.37) quedan reagrupando términos:

D20x1 + ω2

1x1 =

(−i2ω1A

′ − i2ζxω1A−1

2peiσ1T1 + γxxθABe

−i2σ2T1

)eiω1T0

+(kxθBe

−i2σ2T1 + γxxA2)ei2ω1T0 + γxxθABe

−i2σ2T1ei3ω1T0

+(γxθ + νω2

2

)B2e−i4σ2T1ei4ω1T0 + γxxAA+

(γxθ − νω2

2

)BB + cc (3.48a)

D20θ1 + ω2

2θ1 =

(−i2ω2B

′ − i2ζθω2B +

((γθx − ηω2

1

)A2 − 1

2ηpAeiσ1T1

)ei2σ2T1

)eiω2T0

+

(kθxAe

iσ2T1 +

(γθxθAB +

1

2ηpBe−iσ1T1

)e−iσ2T1

)ei

12ω2T0 + γθθB

2ei2ω2T0

+

(γθxθAB +

1

2ηpBeiσ1T1

)eiσ2T1ei

32ω2T0 +

(γθx + ηω2

1

)AA− 1

2ηpAe−iσ1T1 + γθθBB + cc.

(3.48b)

Del mismo modo que en el apartado anterior, los términos seculares deben ser nu-

los, eliminando dichos términos, las ecuaciones (3.48) quedan reducidas al siguiente

sistema resoluble analíticamente:

D20x1 + ω2

1x1 =(kxθBe

−i2σ2T1 + γxxA2)ei2ω1T0 + γxxθABe

−i2σ2T1ei3ω1T0

+(γxθ + νω2

2

)B2e−i4σ2T1ei4ω1T0 + γxxAA+

(γxθ − νω2

2

)BB + cc (3.49a)

D20θ1 + ω2

2θ1 =

(kθxAe

iσ2T1 +

(γθxθAB +

1

2ηpBe−iσ1T1

)e−iσ2T1

)ei

12ω2T0 + γθθB

2ei2ω2T0

+

(γθxθAB +

1

2ηpBeiσ1T1

)eiσ2T1ei

32ω2T0 +

(γθx + ηω2

1

)AA− 1

2ηpAe−iσ1T1 + γθθBB + cc,

(3.49b)

que es fácilmente integrable en función de A, B.Por tanto la solución para las ecuaciones completas (3.29)-(3.30), en este caso es:

x (τ) = a cos (Ωτ − ψ1)

+1

ω21

[−1

6γxxa

2 cos (2Ωτ − 2ψ1)− 1

3kxθ b cos (2Ωτ − 2ψ1 − ψ2)

− 1

16γxxθab cos

(3Ωτ − 3ψ1 − ψ2 −

1

30

(γxθ + νω2

2

)b2 cos (4Ωτ − 4ψ1 − 2ψ2)

)+

1

2a2γxx +

1

2

(γxθ − νω2

2

)b2]

+O(ε3)

(3.50a)


θ (τ) = b cos (2Ωτ − 2ψ1 + ψ2)

+4

ω22

[−1

3kθxa cos (Ωτ − ψ1)− 1

6γθxθab cos (Ωτ − ψ1 − ψ2) +

1

6ηpb cos (Ωτ − 2ψ1 − ψ2)

− 1

10ηpb cos (3Ωτ − 2ψ1 − ψ2)− 1

10γθxθab cos (3Ωτ − 3ψ1 − ψ2)

− 1

24γθθb

2 cos (4Ωτ − 4ψ1 − 2ψ2)− 1

8ηpa cosψ1 +

1

8

(γθx + ηω2

1

)a2 +

1

8γθθb

2

]+O

(ε3). (3.50b)

Una vez más, A y B deben ser tales que se anulen los términos seculares, por lo que

debe satisfacerse:

−i2ω1A′ − i2ζxω1A−

1

2peiσ1T1 + γxxθABe

−i2σ2T1 = 0

−i2ω2B′ − i2ζθω2B +

((γθx − ηω2

1

)A2 − 1

2ηpAeiσ1T1

)ei2σ2T1 = 0.

Empleando de nuevo el cambio (3.42) y procediendo del mismo modo que como se

hizo para obtener las ecuaciones (3.43), se obtiene el siguiente conjunto de ecuaciones

de modulación:

a′ = − γxxθ

4ω1ab sinψ2 −

1

2ω1p sinψ1 − ζxa (3.51a)

b′ =γθx − ηω2

1

4ω2a2 sinψ2 −

η

4ω2pa sin (ψ1 + ψ2)− ζθb (3.51b)

aα′ = − γxxθ

4ω1ab cosψ2 +

1

2ω1p cosψ1 (3.51c)

bβ′ = −γθx − ηω2

1

4ω2a2 cosψ2 +

η

4ω2pa cos (ψ1 + ψ2) . (3.51d)

En este caso, el cambio de variable empleado es:

ψ1 = σ1T1 − α

ψ2 = 2σ2T1 + 2α− β.

De este modo, puede realizarse un análisis similar al del caso anterior. Para un estado

de equilibrio deben cumplirse:

0 = − γxxθ

4ω1ab sinψ2 −

1

2ω1p sinψ1 − ζxa (3.52a)

0 =γθx − ηω2

1

4ω2a2 sinψ2 −

η

4ω2pa sin (ψ1 + ψ2)− ζθb (3.52b)

0 = − γxxθ

4ω1ab cosψ2 +

1

2ω1p cosψ1 − σ1a (3.52c)

0 = −γθx − ηω2

1

4ω2a2 cosψ2 +

η

4ω2pa cos (ψ1 + ψ2)− 2 (σ1 + σ2) b. (3.52d)

4

Simulación mediante MSCAdams

4.1. Introducción a MSC Adams

El objetivo final de este proyecto es la construcción del banco de pruebas descrito en

el capítulo 5. Este banco de pruebas es el que en última instancia verificará la fiabilidad

del modelo matemático empleado. No obstante, existen herramientas de simulación que

permiten verificar con gran fiabilidad el comportamiento de sistemas dinámicos. Adams

es un software de análisis de movimiento de sistemas dinámicos de uso general en la

ingeniería.

De este modo Adams es un buen candidato para realizar experimentos previos antes

de las primeras construcciones. Un análisis de elementos finitos se ajusta bien a un

estudio de vibraciones lineales, pero no es eficiente para analizar grandes deformaciones

u otros movimientos no lineales de sistemas mecánicos completos. Adams incorpora

un motor de física que resuelve simultáneamente ecuaciones cinemáticas, estáticas y

dinámicas. Además es capaz de analizar dinámica no lineal en una fracción del tiempo

requerido por métodos de elementos finitos.

En el modelado en Adams se emplean bloques que simulan los sólidos. Estos blo-

ques vienen definidos por su geometría y masa. Existe disponible una biblioteca de

geometrías simples (barra, ortoedro, esfera, ...) que mediante combinaciones permiten

la creación de sistemas complejos.

Existe otra biblioteca de vínculos dinámicos que pueden emplearse para modelar

elementos como muelles o fuerzas. Las geometrías en Adams son indeformables, sin

embargo uno de los vínculos dinámicos que pueden crearse es el de viga sin masa

(massless beam). Este elemento establece una rigidez tridimensional entre dos pun-

tos que pertenezcan a sólidos distintos. Se establece entre las coordenadas de los dos

puntos un vínculo lineal mediante una matriz de rigidez similar a a la de una viga

biempotrada.

Por último pueden aplicarse restricciones cinemáticas para incluir uniones o restric-

ciones en desplazamientos.

El análisis del movimiento se configura en duración e intervalo de discretización,

39

4. SIMULACIÓN MEDIANTE MSC ADAMS 40

Figura 4.1: Entorno MSC Adams

existiendo varios métodos de cálculo disponibles. Para la obtención de resultados, Adams

proporciona una herramienta de creación de gráficas bastante completa. Además es

posible la visualización del comportamiento del sistema en la pantalla de simulación.

4.2. Descripción del modelo empleado

Para el estudio del sistema se ha realizado un modelo similar al indicado en la figura

2.4.

Para el modelo de la barra se ha realizado una discretización en 11 bloques tipo

barra (link). Cada uno de estos bloques aporta la masa al sistema, no la rigidez. Ésta

se modela añadiendo vínculos de tipo viga (massless beam) entre los centros de masas

de cada elemento barra con su contigua. El péndulo ha sido modelado como una barra

rígida unida a una esfera. La unión con la barra se hace en el centro de masas del

elemento central mediante una restricción de giro a la que se le añade un resorte de

torsión. El motor se ha realizado mediante un bloque cúbico al que se le ha aplicado

una fuerza vertical alternativa que modela la excitación externa del sistema.

Los apoyos se han construido empleando elementos tipo link de masa muy reducida

al que se le aplican los vínculos cinemáticos correspondientes.

El modelo final puede observarse en la figura 4.2.

La respuesta del modelo puede graficarse en función de cualquier variable. Una grá-

fica que muestra el comportamiento del sistema pueden verse en la figura 4.3

4. SIMULACIÓN MEDIANTE MSC ADAMS 41

Figura 4.2: Modelo generado mediante Adams

Figura 4.3: Herramientas de generación y análisis de gráficas incluido en Adams

5

Diseño de la máquina de ensayos

El proceso seguido para el diseño final de esta máquina no ha sido en absoluto se-

cuencial. Se ha alternado entre el análisis lineal expuesto en la sección 3.2 y los análisis

no lineales mediante predicciones empleando el modelo matemático de la sección 3.3

con las simulaciones numéricas descritas en el capítulo 4. La combinación de lo ante-

rior con las herramientas CAD (en este caso se ha empleado CATIA) permite comprobar

la factibilidad de la construcción. Es mediante estas iteraciones que se llega al modelo

final expuesto en la figura 5.1. Una lista de partes de este esquema figura en la tabla

5.1. Una breve descripción del proceso de diseño se muestra a continuación. Seguido a

esto, se presenta una descripción de los elementos que constituyen el sistema.

Para determinar el valor de los determinados parámetros del sistema se ha empleado

fundamentalmente el análisis lineal introducido en la sección 3.2. Los valores iniciales

de cálculo fueron los ya descritos en la tabla 3.2 y comentados en la misma sección.

Por limitaciones de espacio la longitud total de la barra se dejará fija y de valor un

metro (L = 0,5 m, recuérdese que L es la semilongitud). Como se comentó, la figura 3.1

indica que es necesario reducir la frecuencia natural del sistema primario para poder

conseguir la condición ω1 ≈ 2ω2.

Eliminando la pesa (mc = 0) y empleando de nuevo la rigidez del muelle como variable

de diseño se obtiene la gráfica 5.2. Aquí puede observarse que la solución sigue siendo

insuficiente y que es necesario aumentar aún más la frecuencia natural del péndulo.

No obstante, la eliminación de masa en el péndulo sí supone una mejora respecto a la

configuración anterior.

Tras un largo proceso iterativo finalmente se consiguen condiciones aceptables. Para

ello se han realizado los siguientes cambios en el diseño: Era necesario aumentar la

frecuencia natural del péndulo a la vez que se reducía la de la barra, por esta razón se

ha elegido cambiar el péndulo por uno menor y realizado en aluminio. Ciertamente esto

puede acarrear problemas de corrosión debido al acero por lo que será necesario aislar

todas las zonas de contacto de estos metales. Además, se emplearán dos muelles para

conservar la simetría respecto al plano vertical. Estos muelles permanecerán fijos en

ambas configuraciones. Para crear las distintas configuraciones ω1 ≈ 12ω2 (A) y ω1 ≈ 2ω2

(B) se emplearán distintas pesas que se acoplarán al extremo del péndulo. Los valores

finales de diseño aparecen reflejados en la tabla 5.2. Empleando la figura 5.3 puede

comprobarse el valor de mc necesario para cada uno de los casos. De este modo, se

42

5. DISEÑO DE LA MÁQUINA DE ENSAYOS 43

Figura 5.1: Diseño del absorbedor de vibraciones autoparamétrico


Ítem Designación Cantidad Plano Dimensiones (mm)1 Motor 1 — —2 Barra 1 — 22,5× 22,5× 10003 Péndulo 1 03 800× 70× 404 Pesa 2 — —5 HS_M5x401 7 — M5× 406 HN_M5 34 — M57 Eje 1 04 114× 10× 108 HS_M5x20 12 — M5× 209 Abrazadera 8 — —10 Rodamiento D (oculto) 1 — Dext = 30; Dint = 10; h = 41 2

11 Resorte 2 05 —12 Casquillo (oculto) 2 05 Dext = 30; Dint = 10; h = 4113 Placa (oculto) 1 — Dext = 40; Dint = 5; h = 214 Plataforma 1 — 152× 152× 12015 HS_M10x20 2 — M10× 2016 CS_M5x25 10 — M5× 2517 Base soporte derecho 1 06 137× 166× 11618 Inferior soporte derecho 1 07 131× 166× 11619 Rodamiento C 2 — Dext = 30; Dint = 10; h = 520 Rodamiento A 2 — Dext = 67; Dint = 20; h = 1021 Rodamiento B 2 — Dext = 44; Dint = 20, h = 1022 Apoyo 2 08 50× 120× 5023 Anclaje 2 09 116× 20× 11624 HS_M5x30 6 — M5× 3025 Rodamiento E 2 — Dext = 40; Dint = 20, h = 2026 Base soporte izquierdo 1 10 142× 96× 116

1

HS: Tornillo de cabeza hexagonalCS: Tornillo de cabeza avellanadaHN: Tuerca hexagonalMX × Y : Rosca métrica de X mm . Longitud Y mm

2

Para elementos con forma de cilindro huecoDext: Diámetro exteriorDint: Diámetro interiorh : Altura del cilindro

Tabla 5.1: Lista de partes del absorbedor autoparamétrico

L = 0,5 m A = 1 cm2 I = 830 mm4 (sección cuadrada)

E = 207 GPa (acero) ρ = 7800 kg/m3 k = 280 Nm

Rv = Rc = 0,6 m mv = 0,44 kg (aluminio) mc = 1,9, 0 kg

Tabla 5.2: Valores iniciales de diseño


0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 2000 4000 6000 8000 10000

w[r

ad/s

]

k [Nm]

Frecuencia natural

qqf

2 wq

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 2000 4000 6000 8000 10000

Fraccion de identificacion coordenada-modo

qqf

Figura 5.2: Frecuencias y modos para condiciones tabla 3.2, mc = 0, k variable

0

20

40

60

80

100

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

w[r

ad/s

]

m c [kg]

Frecuencia natural

qqf

2 wq(1/2)· w1

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Fraccion de identificacion coordenada-modo

qqf

Figura 5.3: Frecuencias y modos para condiciones tabla 5.2, mc variable


Figura 5.4: Plataforma

emplea una pesa de 1,9 kg para obtener ω1 ≈ 12ω2 (Configuración A) y para ω1 ≈ 2ω2 no se

emplearán pesas (Configuración B).

Como puede observarse, se ha diseñado una plataforma para ser fijada en el punto

medio de la barra. El propósito de esta plataforma es doble: que el motor pueda ser fijado

sobre ella y servir como eje para el péndulo. Las dimensiones de la plataforma se han

realizado de tal manera que puedan acomodarse los resortes de torsión. La plataforma

cuenta en su lateral con un taladro en el que se introduce el eje. Un taladro roscado

se realiza en el uno de los extremos del eje para efectuar la unión a la plataforma tal y

como muestra la figura 5.4 .

Se ha optado por emplear dos resortes en lugar de uno solo para mantener simetría

en el plano vertical. Los resortes descansan sobre unos casquillos introducidos en el

eje, véase figura 5.5. La unión de los extremos de los muelles con la plataforma y con el

péndulo se realiza mediante abrazaderas con forma de Ω. Para el diseño de los muelles

se ha tenido en cuenta la norma DIN 2088, que proporciona las restricciones y algo-

ritmos de diseño de muelles de torsión. En concreto, de especial utilidad ha sido la

fórmula empírica que permite el cálculo de la rigidez del muelle. La fórmula se indica a

continuación ya que puede ser útil en caso de que un rediseño futuro se haga necesario:

k =1

67,86

Ed4

NtD. (5.1)

E: Módulo de elasticidad del material en MPa.

d: Diámetro del alambre que forma el muelle en mm.

Nt: Número de espiras que forman el muelle.

D: Diámetro medio de la espira.

La mayoría de los fabricantes aportan más información sobre el diseño de muelles.

MITCalc [5] y Newcomb Spring [4] proporcionan en sus páginas web información rele-


Figura 5.5: Eje y resortes

Figura 5.6: Péndulo

vante.

El péndulo está formado por una barra con una crecida en uno de sus extremos

(véase figura 5.6). En su otro extremo se efectúa un taladro para acoplar una pesa.

El material empleado para la fabricación del péndulo es aluminio. Dado que el resto

del montaje está efectuado en acero es necesario emplear juntas que aislen a los difer-

entes elementos para evitar corrosión. Para permitir el giro del péndulo se emplea un

rodamiento que irá soportado por el eje.

El diseño de los apoyos se ha realizado teniendo en cuenta los presentes en la

máquina de pruebas presente en el laboratorio. No se han efectuado modificaciones

importantes para el apoyo simple (apoyo izquierdo), figura 5.7. La unión de los apoyos

al resto de la estructura puede realizarse del mismo modo que ya se ha empleado:

Uniones atornilladas apoyadas mediante soldadura.

Sin embargo para el apoyo de bolas, que debe permitir el desplazamiento horizontal,

sí se han hecho cambios en el diseño. Uno problema en el modelo existente presente

es que el juego entre los rodamientos y las solapas que los sostienen permiten la vi-


Figura 5.7: Apoyo izquierdo

bración del apoyo. Para remediar esto se empleará un nuevo diseño con dos pares de

rodamientos de distinto diámetro tal y como se indica en la figura 5.8. Para evitar el

desplazamiento lateral de los rodamientos exteriores se ha instalado un tercer par de

rodamientos que actúan como tope. De esta forma cada rodamiento de los dos pares

principales sólo se desplaza por una de las solapas y puede reducirse el juego que per-

mitía la vibración. Para facilitar la fabricación se propone construir el apoyo a partir

de dos piezas principales designadas como base e inferior. Estas dos piezas van unidas

mediante uniones atornilladas. Empleando tornillos de cabeza avellanada la superficie

posterior de la pieza base puede permanecer plana sin ningún saliente permitiendo la

posterior unión al resto de la estructura.


Figura 5.8: Apoyo derecho

6

Análisis de resultados

En este capítulo se presentan y discuten los resultados para el comportamiento del

sistema. Fijados los parámetros geométricos tal y como se describe en el capítulo 5, se

emplean distintos métodos de cálculo para la predicción de la respuesta. Los métodos de

cálculo empleados son el de Escalas de Tiempo Múltiples (ETM) descrito en la sección 3.3

y la simulación numérica empleando Adams (véase capítulo 4). Además se ha emplea-

do un tercer método numérico para proporcionar robustez al análisis. Se ha realizado

integración numérica de las ecuaciones del sistema no lineal de 2 gdl (3.25) y (3.26). El

algoritmo empleado para la integración de las ecuaciones es el método DASPK1.

Como ya se ha comentado, son fundamentalmente dos los casos de interés. (Los que

figuran como caso 1 y caso 2 en la sección 3.3). El estudio de estos casos se realiza em-

pleando la máquina de ensayos diseñada en el capítulo 5 en una de sus configuraciones

A o B. La diferencia de estas configuraciones consiste en la inclusión de una pesa en

el extremo del péndulo (Configuración A) o la ausencia de dicha pesa (Configuración B).La presencia o no de este elemento modifica las frecuencias propias de los subsistemas

cambiando la fenomenología observada. Es decir, de este modo, pueden estudiarse los

casos 1 y 2 respectivamente. Para los valores de los parámetros geométricos consúltese

la tabla 5.2.

6.1. Caso 1

La figura 6.1 muestra las predicciones de comportamiento del sistema en régimen

permanente para la Configuración A cuando el sistema se excita a una frecuencia Ω

constante, suponiendo la fuerza de excitación de la forma P (t) = P0 sin (Ωt), para val-

ores de la amplitud de excitación P0 crecientes. La frecuencia de excitación empleada

coincide con la frecuencia propia de la viga o subsistema primario ω1. De este modo los

parámetros de ajuste σ1 y σ2 son bajos (∣∣ σ

Ω

∣∣ < 5 %).

Como puede observarse, las aproximaciones son en general muy buenas y tanto

la integración numérica como la simulación proporcionan resultados similares. Es por

1Para una descripción del algoritmo DASPK puede consultarse Brenan[3]. Un paquete con el algoritmoimplementado en Fortran y (en el que también se describe el algoritmo en su documentación) está disponiblepara su libre uso en http://www.cs.ucsb.edu/∼cse/software.html

50

http://www.cs.ucsb.edu/~cse/software.html

6. ANÁLISIS DE RESULTADOS 51

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0 50 100 150 200 250 300

Q [m

]; Q

[rad

]

P 0 [N]

Amplitudes en régimen permanente. Configuración A. W=38.28 rad/s

Q ETMQ ETM

Q AdamsQ Adams

Q DASPKQ DASPK

Figura 6.1: Comportamiento en régimen permanente del sistema en Configuración A ysintonía perfecta (

∣∣σ1

Ω

∣∣ ≈ 0,1 %,∣∣σ2

Ω

∣∣ ≈ 5 %).

tanto esperable que el sistema en configuración A se comporte de la manera predicha

por el método ETM.

Sin embargo, si se observan los transitorios predichos por cada método fijando la

amplitud de la fuerza externa (figura 6.2), puede comprobarse que no existe esta coin-

cidencia entre los métodos. Ambos métodos, Adams y DASPK, realizan una integración

de numérica de las ecuaciones de movimiento. No obstante, existen diferencias funda-mentales en los modelos empleados para la generación de estas ecuaciones. En primer

lugar, el cálculo mediante Adams es mucho más rico en grados de libertad. Mediante

la simulación con Adams, el sistema queda dividido en una serie de sólidos rígidos in-

terrelacionados mediante restricciones. En segundo lugar, el modelo empleado como

deformada de la viga que se emplea para generar las ecuaciones (3.25)-(3.26) no es óp-

timo. Se ha empleado una función sinusoidal como deformada que corresponde a una

carga uniforme y no puntual como es el caso. Aún así, como puede observarse, las

aproximaciones son lo suficientemente buenas para el cálculo del régimen permanente.

La figura 6.3 se ha incluido para ilustrar la relación 1:2 de frecuencias entre los

subsistemas. Se muestra el plano de fase para una fuerza de excitación fija una vez

se ha llegado a régimen permanente. Este diagrama resulta muy descriptivo para el

comportamiento global del sistema, ya que resulta apreciable el desfase que aparece

entre el movimiento de los dos subsistemas primario y secundario.

Si bien es cierto que para el régimen permanente las aproximaciones obtenidas son

buenas para el caso en que los coeficientes de ajuste externo σ1 e interno σ2 son reduci-

dos, esto deja de ser así con coeficientes de ajuste mayores. En la figura 6.4 se observan

las diferencias en las predicciones de los tres métodos empleados. En general, no hay


-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0 1 2 3 4 5 6

q [m

]

t [s]

q(t). Configuración A. P 0=175 N W=38.28 rad/s

ETM (R. perm.)Adams

DASPK

-1

-0.5

0

0.5

1

0 1 2 3 4 5 6

q[r

ad]

t [s]

q (t). Configuración A. P0=175 N W=38.28 rad/s

ETM (R. perm.)Adams

DASPK

Figura 6.2: Transitorios para el sistema en configuración A y sintonía perfecta.

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2

q[r

ad]

q [m]

Plano de fase q- q (DASPK). Configuración A. P=175 N; W=38.28 rad/s

Figura 6.3: Plano de fase para las variables q y θ en régimen permanente. (>10 ciclos).Configuración A, sintonía perfecta.


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 50 100 150 200 250 300

Q [m

]; Q

[rad

]

P 0 [N]

Amplitudes en régimen permanente. Configuración A. W=33 rad/s

Q ETMQ ETM

Q AdamsQ Adams

Q DASPKQ DASPK

Figura 6.4: Comportamiento en régimen permanente del sistema en Configuración A ycoeficientes de ajuste mayores (

∣∣σ1

Ω

∣∣ ≈ 15 %,∣∣σ2

Ω

∣∣ ≈ 5 %).

grandes problemas en la zona de comportamiento lineal, donde sí hay coincidencia. La

primera discrepancia se encuentra en la zona de transición de comportamiento lineal

a no lineal. El método DASPK indica una transición de lineal a no-lineal para ampli-

tudes de excitación menores que las indicadas para el resto de métodos. Las figuras

6.5 y 6.6 muestran los transitorios para distintos valores de P0. La figura 6.5 corre-

sponde a valores en la amplitud del entorno de la zona de transición y es donde se

observan las mayores diferencias entre los tres métodos. Para valores mayores de la

excitación la coincidencia es mejor sin ser del todo clara entre los tres métodos. Para

tener una idea más clara de lo que ocurre, obsérvense los planos de fase los planos de

fase para este caso en el que nos encontramos en un comportamiento no-lineal claro

(P0 = 275N ), véase figura 6.7. En los planos de fase se observan órbitas que pueden

ser cerradas. Para comprobar si existe periodicidad en el movimiento se han empleado

mapas de Poincaré. 2El tiempo de muestreo elegido corresponde al periodo de la fuerza

excitadora (tmuestreo = T = 0,190 s). Los mapas (figura 6.8) indican un comportamiento

cuasi-periódico. La respuesta que proporciona ETM es periódica (aunque tiene múlti-

ples periodos). Lo que puede estar ocurriendo es que la formulación ETM haya perdido

validez al aumentar el valor de los parámetros σ. La discrepancia entre los resultados

de Adams y DASPK debe estar originada en la eliminación de grados de libertad en las

ecuaciones de movimiento (ya que los dos métodos se basan en la integración de las

ecuaciones no linealizadas).

2Para los mapas se ha empleado una frecuencia de excitación ligeramente superior (Ωnueva ≈ 33,07 rad/s) alcaso anteriormente descrito. Se ha procedido de esta manera para reducir errores de redondeo y debido a quelas variaciones entre las frecuencias de excitación son muy reducidas, los mapas siguen siendo válidos paraun análisis cualitativo de la respuesta.


-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0 1 2 3 4 5 6 7 8

q [m

]

t [s]

q(t). Configuración A. P 0=175 N W=33 rad/s

ETM (R. perm.)Adams

DASPK

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0 1 2 3 4 5 6 7 8

q[r

ad]

t [s]

q (t). Configuración A. P0=175 N W=33 rad/s

ETM (R. perm.)Adams

DASPK

Figura 6.5: Transitorios para el sistema en configuración A.∣∣σ1

Ω

∣∣ ≈ 15 %,∣∣σ2

Ω

∣∣ ≈ 5 % ;P0 = 175 N.

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0 2 4 6 8 10

q [m

]

t [s]

q(t). Configuración A. P 0=275 N W=33 rad/s

ETM (R. perm.)Adams

DASPK

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 2 4 6 8 10

q[r

ad]

t [s]

q (t). Configuración A. P0=275 N W=33 rad/s

ETM (R. perm.)Adams

DASPK

Figura 6.6: Transitorios para el sistema en configuración A.∣∣σ1

Ω

∣∣ ≈ 15 %,∣∣σ2

Ω

∣∣ ≈ 5 % ;P0 = 275 N.


-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4

q[r

ad]

q [m]

Plano de fase q- q (DASPK). Configuración A. P=275 N; W=33 rad/s

-10

-5

0

5

10

-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2

q' [m

/s]

q [m]

Plano de fase q-q' (DASPK). Configuración A. P=275 N; W=33 rad/s

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

-1 -0.5 0 0.5 1

q' [

rad/

s]

q [rad]

Plano de fase q-q' (DASPK). Configuración A. P=275 N; W=33 rad/s

Figura 6.7: Plano de fase para en régimen permanente (>10 ciclos). Configuración A.∣∣σ1

Ω

∣∣ ≈ 15 %,∣∣σ2

Ω

∣∣ ≈ 5 % ; P0 = 275 N.


-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

-0.2 -0.19 -0.18 -0.17 -0.16 -0.15

q[r

ad]

q [m]

Mapa de Poincaré q- q. Configuración A. P0=275 N;P0=275 N; T=0.19 s

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

-0.2 -0.19 -0.18 -0.17 -0.16 -0.15

q' [m

/s]

q [m]

Mapa de Poincaré q-q'. Configuración A. P 0=275 N;P0=275 N; T=0.19 s

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4

q' [

rad/

s]

q [rad]

Mapa de Poincaré q-q'. Configuración A. P0=275 N;P0=275 N; T=0.19 s

Figura 6.8: Mapas de Poincaré. Configuración A.∣∣σ1

Ω

∣∣ ≈ 15 %,∣∣σ2

Ω

∣∣ ≈ 5 % ; P0 = 275 N.


0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0 50 100 150 200 250 300

Q [m

]; Q

[rad

]

P 0 [N]

Amplitudes en régimen permanente. Configuración A. W=36 rad/s

Q ETMQ ETM

Q AdamsQ Adams

Q DASPKQ DASPK

Figura 6.9: Comportamiento en régimen permanente del sistema en Configuración A yligero desajuste en la sintonía (

∣∣σ1

Ω

∣∣ ≈ 6 %,∣∣σ2

Ω

∣∣ ≈ 5 %).

Como se ha observado, a partir de ciertos valores de σ no se consiguen buenos re-

sultados en cuanto a predicción del comportamiento del sistema. Para ilustrar que se

obtienen mejores resultados con valores de σ menores véase la figura 6.9. Aquí, vuelven

a mostrarse las amplitudes para régimen permanente para valores de σ intermedios a

los anteriores. Dado que estos coeficientes sigma siguen siendo pequeños, las aproxima-

ciones vuelven a ser buenas. No obstante, aparecen ciertas discrepancias en cuanto al

valor de P0 para el que la solución no-lineal se vuelve estable. Esto, una vez más, tiene

que deberse a las distintas simplificaciones que se tomaron para cada modelo.

6.2. Caso 2

Los resultados para el caso 2 están plasmados en la figura 6.10. Se ha añadido a la

figura la respuesta lineal del sistema para la coordenada q. (la respuesta de un sistema

de 1gdl similar en el que el movimiento del péndulo estuviese impedido, por ejemplo).

Esta solución no es en el caso 2 un equilibrio del sistema, como sí lo es en el caso 1.

No obstante es interesante comparar respuestas por dos motivos. En primer lugar se

aprecian las diferencias entre resultados obtenidos empleando teoría lineal y no lineal.

En segundo, se observa el amortiguamiento que se produce en el sistema no lineal por

el movimiento del péndulo.

Como puede observarse, existe de nuevo una gran discrepancia entre los resultados

obtenidos con cada uno de los métodos. Los resultados procedentes de Adams predicen

un comportamiento cercano al lineal para q, aunque con oscilación en θ. Por el con-

trario en la predicción de DASPK existen amortiguamientos mayores que en los de ETM.


0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0 50 100 150 200 250 300

Q [m

]; Q

[rad

]

P 0 [N]

Amplitudes en régimen permanente. Configuración B. W=46.81 rad/s

Q ETMQ ETM

Q AdamsQ Adams

Q DASPKQ DASPK

Figura 6.10: Comportamiento en régimen permanente del sistema en Configuración B ysintonía perfecta (

∣∣σ1

Ω

∣∣ ≈ ∣∣σ2

Ω

∣∣ ≈ 0,1 %).

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

q [m

]

t [s]

q(t). Configuración A. P 0=150 N W=46.81 rad/s

ETM (R. perm.)Adams

DASPK

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

q[r

ad]

t [s]

q (t). Configuración A. P0=150 N W=46.81 rad/s

ETM (R. perm.)Adams

DASPK

Figura 6.11: Transitorios para el sistema en configuración B y sintonía perfecta. P0 =150 N.


-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2

q[r

ad]

q [m]

Plano de fase q- q (DASPK). Configuración B. P=150 N; W=46.81 rad/s

-6

-4

-2

0

2

4

6

-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2

q' [m

/s]

q [m]

Plano de fase q-q' (DASPK). Configuración B. P=150 N; W=46.81 rad/s

-6

-4

-2

0

2

4

6

-0.1 -0.05 0 0.05 0.1

q' [

rad/

s]

q [rad]

Plano de fase q-q' (DASPK). Configuración B. P=150 N; W=46.81 rad/s

Figura 6.12: Planos de fase para en régimen permanente (>10 ciclos). Configuración A.∣∣σ1

Ω

∣∣ , ∣∣σ2

Ω

∣∣ ≈ 0,1 % ; P0 = 150 N.

-0.05

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.058 0.06 0.062 0.064 0.066 0.068 0.07 0.072

q[r

ad]

q [m]

Mapa de Poincaré q- q. Configuración B. P0=100 N; T=0.134 s

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

0.058 0.06 0.062 0.064 0.066 0.068 0.07 0.072

q' [m

/s]

q [m]

Mapa de Poincaré q-q'. Configuración B. P 0=100 N; T=0.134 s

-1.3

-1.28

-1.26

-1.24

-1.22

-1.2

-0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0

q' [

rad/

s]

q [rad]

Mapa de Poincaré q-q'. Configuración B. P0=100 N; T=0.134 s

Figura 6.13: Mapas de Poincaré q–θ, q–q y θ–θ. Configuración B.∣∣σ1

Ω

∣∣ ≈ ∣∣σ2

Ω

∣∣ ≈ 0,1 % ;P0 = 100 N.


Además DASPK, proporciona una respuesta más uniforme que la procedente de ETM en

la que se exhiben múltiples períodos, véase figura 6.11 y fórmulas (3.50). De hecho, el

método DASPK produce respuestas que vienen marcadas por un único periodo, lo que

puede observarse con ayuda de los mapas de Poincaré (figura 6.13). Los planos de fase,

figura 6.12, se proporcionan igualmente por la claridad que aportan a la compresión del

movimiento.

Resulta complicado determinar cual de los métodos empleados proporciona las res-

puestas que mejor describen la realidad. En primer lugar es necesario tener en cuenta

que el método ETM precisa que los valores de q y θ3 no pueden ser grandes; debe

cumplirse que O (x) > O(x2)

(ídem para θ). Pero no es aquí donde parece estar el pro-

blema ya que las discrepancias aparecen aún para valores de q y θ pequeños. Dado que

las hipótesis iniciales en cuanto a orden de magnitud de los parámetros se cumplen y

que la calibración del sistema (parámetros σ) es muy próxima a la ideal, no es desca-

bellado sugerir que existe un error en el planteamiento del método EMT. Aún así siguen

existiendo discrepancias entre Adams y DASPK. Todo parece indicar que existen otros

mecanismos que influyen en la mecánica del sistema para este caso 2. Tras la construc-

ción del sistema puede verificarse experimentalmente cuáles son los resultados que más

se aproximan a la realidad. Posteriormente, a raíz de esos datos pueden buscarse los

errores en los planteamientos que permitan comprender la discrepancia de resultados.

3En realidad de x, de acuerdo a la formulación empleada. Recuérdese que x = qL0

, siendo L0 una longitudde referencia

7

Conclusiones

En la introducción de este proyecto se estableció como objetivo fundamental el diseño

de una máquina ensayos en la que estudiar el fenómeno de absorción autoparamétrica

de vibraciones. Para llevar esto a cabo se ha partido de la comprensión de la física del

problema y se ha realizado una formulación matemática del mismo. Se han empleado

diferentes métodos de cálculo para conocer el comportamiento del sistema. Todo ello, ha

hecho posible el diseño de esta máquina que se describe en el capítulo 5 y en los planos

anexos. Este diseño propuesto ha intentado ser lo suficientemente riguroso para que

pueda ser seguido en la construcción de la máquina sin que surjan dificultades, pero

también ha intentado ser lo suficientemente sencillo para que pueda ser modificado

fácilmente en caso de necesidad en cualquier momento antes o después de su montaje.

Es cierto que a la luz de los resultados expuestos en el capítulo 6, no se ha podido

determinar una respuesta clara del sistema en algunas situaciones. No obstante, el

análisis empleado sí que resulta adecuado para el estudio del movimiento en el caso

principal. Además, en cualquier caso, sí que se ha detectado un comportamiento lineal

en dos situaciones distintas. Teniendo en cuenta que el propósito de esta máquina

es principalmente didáctico, sigue siendo un mecanismo muy potente para explicar la

necesidad del empleo de teorías no lineales en el modelado de sistemas dinámicos.

Para terminar me gustaría incidir en las posibilidades que esta máquina ofrece una

vez construida. En primer lugar, y como se ha comentado, esta máquina es un ejemplo

claro de vibraciones no lineales y como tal puede emplearse para una primera intro-

ducción a este tipo de fenómenos. Esto puede efectuarse mediante la realización de

prácticas simples en las que se ponga de manifiesto que la respuesta obtenida difiere

totalmente de lo esperado tras un estudio lineal, o mediante formulaciones más com-

plicadas que introduzcan métodos de análisis no-lineal. Además puede realizarse un

estudio exhaustivo sobre la distinta casuística del sistema analizando equilibrios, bifur-

caciones, etc. Por último, por supuesto, sería procedente realizar un estudio sobre la

fenomenología que en este proyecto se ha llamado caso 2 y realizar comprobaciones ex-

perimentales del comportamiento del sistema. De este modo, puede determinarse cuál

de los métodos empleados produce un mejor resultado y determinar qué originan las

discrepancias entre los métodos.

61

Apéndice A

Archivos Octave

Durante el transcurso de este proyecto se han empleado principalmente para la rea-

lización de cálculos: Catia V5, para los cálculos de geometría durante la fase de diseño;

MSC Adams, para la simulación de la dinámica del sistema; y GNU Octave, para el resto

de cálculos, que incluyen la resolución de ecuaciones mediante el método DASPK y la

aplicación del método de Escalas de Tiempo Múltiples (ETM).

GNU Octave es un lenguaje de alto nivel pensado para la realización de cálcu-

los numéricos. Su funcionamiento es similar al probablemente más conocido Matlab.

De hecho, es en gran medida compatible con este último. Es decir, la mayoría de

archivos “*.m” creados en Octave pueden ser ejecutados directamente en entorno Mat-

lab sin necesidad de conversión. En cualquier caso, debe tenerse en cuenta que es-

ta compatibilidad no está garantizada. GNU Octave se distribuye mediante una licen-

cia GPL que permite su obtención, distribución y modificación de forma gratuita. Oc-

tave es multiplataforma y puede obtenerse a través de la página web de su proyecto:

http://www.gnu.org/software/octave.

Todas las funciones creadas están disponibles en el CD adjunto en la carpeta Fun-ciones Octave.

Para la implementación del método ETM ha sido necesario la creación de diversas

funciones que son las que en adelante se detallan. Las funciones caa11.m, caa12.m,

caa13.m, caa21.m, caa22.m, caa23.m son las que realizan los cálculos.

Una función caaXY.m realiza los cálculos para el caso X y dónde Y indica:

Y=1. Los cálculos se realizan en función de la amplitud de la fuerza de excitación

P0.

Y=2. Los cálculos se realizan en función de la frecuencia de la fuerza de excitación Ω

para tres valores de la fuerza de excitación. Estos tres valores deben ser cambiadosdesde el código fuente.

Y=3. Los cálculos se realizan en función de la frecuencia de la fuerza de excitación

Ω para tres valores del parámetro de desajuste σ2. Estos tres valores deben sercambiados desde el código fuente.

Para introducir los datos de entrada a las funciones caaXY.m pueden emplearse las

funciones crear_dimen.m y crear_opciones.m. Al ejecutar crear_dimen.m, Octave pedirá

62

http://www.gnu.org/software/octave

APÉNDICE A. ARCHIVOS OCTAVE 63

en pantalla los valores de distintos parámetros del problema y generará un archivo

var_dimen.variable con dicha información. La función crear_opciones.m toma la infor-

mación de este archivo y la procesa para poder transmitirla a las funciones caaXY.m.Lo que hace es crear un nuevo archivo opciones.variable que contiene un workspacecon las variables opciones1 y opciones2 que son los argumentos de entrada que deben

otorgarse a las funciones caa1Y.m y caa2Y.m respectivamente.

Además se proporcionan dos funciones grfx.m y grfy.m que realizan las gráficas de

los cálculos utilizados. grfx.m se utiliza para los cálculos de caa11.m y caa21.m; grfy.m,

para los cálculos de caa12.m, caa13.m, caa22.m y caa23.mPor ejemplo, si quiere realizarse los cálculos del absorbedor de autoparamétrico en

el caso 1 en función de la fuerza de excitación deben ejecutarse las siguientes líneas de

comandos:

crear_dimen();%Introducir los valores que se piden

crear_opciones();

load opciones.variable,%Carga las variables opciones1 y opciones2

caa11(opciones1);

grfx();%Para realizar las gráficas

El código fuente de todas las funciones empleadas se encuentra disponible en la carpe-

ta Funciones Octave. Además mediante el comando help puede obtenerse información

sobre el uso de cada función. Por ejemplo,

help crear_dimen

muestra la siguiente información en pantalla:

Crea un archivo "var_dimen.variable" que contiene las variables di-

mensionales del problema. Si se da un vector argumento de entrada

"argin", asigna los valores de cada elemento del vector a las dis-

tintas variables, en orden:

L - Semilongitud de la barra flexible

E - Módulo elástico de la barra flexible

rho - Densidad del material de la barra flexible

A - Área transversal de la barra flexible

I - Inercia de área de la barra flexible

Rv - Longitud del péndulo

Rc - Longitud a la que se encuentra la masa concentrada

mc - Masa concentrada

mv - Masa de la varilla

mm - Masa del motor

k - Rigidez a torsión del resorte

r - Amortiguamiento de la barra rígida

ca - Amortiguamiento del péndulo

P - Amplitud de la fuerza de excitación (máxima)

Omega - Frecuencia de la fuerza de excitación

APÉNDICE A. ARCHIVOS OCTAVE 64

T0 - Tiempo de referencia

En caso de que no se aporte argumento de entrada, se piden en pan-

talla el valor para cada variable por separado

Los parámetros deben introducirse en sistema

internacional m, kg, s.

Apéndice B

Planos

65

APÉNDICE B. PLANOS 66

Bibliografía

[1] Jon Juel Thomsen: Vibrations and Stability. Springer, 2003

[2] Aleš Tondl et al: Autoparametric Resonance in Mechanical Systems. Cam-

bridge University Press, 2000

[3] Brenan K.E.; Campbell S.L.; Petzold L.R.: Numerical Solution of Initial-Value Problems in Differential-Algebraic Equations. Revised and correctedreprint of the 1989 original, with an additional chapter and additional ref-erences. 1996 Classics in Applied Mathematics, 14. Society for Industrial

and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA.

[4] Newcomb Spring Corp. Página web de empresa fabricante de muelles.http://www.newcombspring.com/torsionsprings.html

[5] MITCalc. Página web de empresa desarrol-ladora de métodos de cálculo para ingeniería.http://www.mitcalc.com/doc/sprtorsion/help/en/sprtorsiontxt.htm

77

http://www.newcombspring.com/torsionsprings.html

http://www.mitcalc.com/doc/sprtorsion/help/en/sprtorsiontxt.htm

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