1. Interpretacin de grficos
LF 100 Lic. Marlon Recarte
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2. Al hacer un grafico se deben tomar en cuanta ciertas cosas
Los grficos se hacen en papel milimetrado
Seleccionar una escala adecuada para ambos ejes
x variable independiente
y variable dependiente
Los grficos deben quedar en el centro del papel
Se debern colocar nombre a los ejes y adems las unidades de las variables en los ejes (m, seg, m/s etc.)
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3. 3
4. Existen muchas relaciones entre variables,algunos ejemplos son:
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1.Relacin lineal
Es aquella cuya grafica es una lnea recta
5. Relacin lineal
En este tipo, la relacin entre las variables es:
Donde al nmero m se le conoce como pendiente y a b se le conoce como intercepto en el eje y
Cmo se obtienem y b?
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6. b es el punto sobre el cual la grfica corta al eje y
b
6
7. (x2, y2)
y = y2-y1
(x1, y1)

x = x2-x1
Lo anterior indica que para encontrar la pendiente se necesitan 2 puntos sobre la recta o el ngulo de esta con el eje horizontal
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8. 2.Relacin cuadrtica
Tambin es conocida como parbola, la relacin entre las variables tiene la forma
b
b es el intercepto en el eje y , k es una constante
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9. 3.Relacin inversa
Tambin es conocida como hiprbola, la relacin entre las variable tiene la forma
Esta grafica no tiene intercepto en el eje y
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10. Ajuste de curvas
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11. Supongamos que tenemos una serie de mediciones
Deseamos determinar la relacin entre variables que mejor se ajusta a los datos.
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12. Al graficar
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13. Supongamos que una relacin lineal es la que mejor se ajusta a los datos .
Obviamente una recta no pasar por todos los puntos, por lo que debemos seleccionar una recta que pase por la mayor cantidad de puntos tal que los errores (separacin entre el punto y la recta) sean mnimos, aunque el criterio mas fuerte debe ser el de minimizar el error.
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14. Tracemos varias rectas y veamos la separacin entre la recta y los puntos que no estn en la recta (errores)
Primer ajuste
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15. Segundo ajuste
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16. Tercer ajuste
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17. Cuarto ajuste
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18. Quinto ajuste
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19. 20. Cul de los ajustes es mejor?
Eso depender de la visualizacin de la persona, pero vemos quelosmejores ajustes son el primero y el cuarto.
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21. Debemos tener claro que al calcular la pendiente se deben tomar los puntos que estn en la recta, es decir que no se consideran los puntos que no pasan por la misma, estos puntos se deben encerrar (puntos error)
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22. La misma idea se debe seguir en el caso que la relacin no sea lineal, Que la curva toque la mayor cantidad de puntos y que el error sea lo mas pequeo posible
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23. Ecuaciones empricas
Una ecuacin emprica se encuentra a partir de datos experimentales observados. Usualmente la ecuacin emprica se puede encontrar examinado la grafica.
Cuando la grafica de la ecuacin emprica es una lnea rectaes sencillo determinar las constantes de la ecuacin, es decir el intercepto y la pendiente
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24. Pero en el caso de una curva de la forma
Es fcil determinar el intercepto pero hasta el momento no tenemos una forma de determinar k, no podemos usar la formula de pendiente porque esta es solo para relaciones lineales, entonces Cmo podemos determinar k?
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25. La formula de pendiente es valida solo para relaciones lineales entonces podramos utilizar dicha formula si transformramos la relacin no lineal en una relacin lineal
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26. Muchas ecuaciones no lineales se pueden transformar en lineales al cambiar las variables con las cuales se grafican, ha esto se le conoce como linealizacin
Relacin no lineal, variables x,y
Relacin lineal, nuevas variables x*,y*
Lo que debemos aprender, es como seleccionar las nuevas variables a fin de linealizar grficos
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27. Linealizar:
Mtodo para obtener una relacin lineal a partir de una relacin no lineal, y consiste en una correcta seleccin de variables independientes dependientes o ambas a fin de obtener la forma:
y*yx*son variables
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28. Supongamos que queremos linealizar una relacin cuadrtica (nota: tenemos la tabla de datos)
Debemos seleccionar nuevas variables para que la ecuacin anterior tenga la forma:
Lo mas sensato es mantener a y como variable dependiente y considerar a x2como variable independiente, por lo que para linealizar deberamos graficar:
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29. 29
Veamos ejemplos de seleccin de variables
30. 30
31. 31
pendiente
intercepto
32. Veamos un ejemplo
Determinar la ecuacin emprica de la siguientelista de datos.
Al graficar
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33. Si prolongamos la grafica observamos que el intercepto en el eje y es cero, es decir b=0 ademsasumamos que es una relacin cuadrtica
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34. 34
Considerando a x2 como variable independiente
35. La ecuacin emprica es
Y=(x2) es una relacin lineal por lo k ser igual a la pendiente del grfico linealizado
Si seleccionamos dos puntos sobre el grafico linealizado
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36. 36
37. La ecuacin emprica es
Y=(x2) es una relacin lineal por lo k ser igual a la pendiente del grfico linealizado
Si seleccionamos dos puntos sobre el grafico linealizado
Por la tanto
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38. Otro ejemplo
Determinar la ecuacin emprica de la siguientelista de datos.
Graficando
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Si prolongamos la grafica vemos que el intercepto b es igual a 0.5
39. La forma de la ecuacin emprica es
Para linealizar se debe seleccionar a xn como variable independiente y graficar
El problema es que no sabemos el valor de n, pero sabemos que al seleccionar el n correcto la grafica resultante debera ser lineal
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Veamos lo siguiente
40. 40
41. 41
42. 42
43. 43
44. Vemos que la grafica es lineal para
y = (x0.5)
Por lo que con seguridad podemos decir que n=0.5
Entonces k es igual a la pendiente del grafico linealizado
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45. 45
El problema de esto es que tendramos que probarvarios n hasta que la grafica sea una lnea recta, lo cual es un poco complicado porquen es un numero real y sabemos que hay infinitos nmeros reales, aunque algunas veces nos darn sugerencias.Debemos entonces utilizar un mtodo que nos ahorre todo esto, aunque cuando conocemos el n debemos hacerlo como se explico.
46. Si tenemos una ecuacin emprica
Sabemos que con la grafica y=(x)lo nico que podemos encontrar es el valor de b (ya que no conocemos n), entonces b es conocido, si despejamos
Aplicando logaritmo base 10
Usando propiedades de logaritmos
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47. Notemos que tiene la forma
Por lo que debemos seleccionar a log(y-b) como variable dependienteyalog(x)como variable independiente y graficar
Adems la pendiente de este grafico es igual al valor de ny el intercepto es igual a log(k)
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48. Resolvamos el ejemplo anterior ahora por este mtodo
Recordando que b=0.5
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49. 49
50. Entonces
El interceptoen el eje y es 0.3 por lo tanto
Log(k)=0.3
K=100.3 = 1.995 2
Que son los mismos resultados que habamos obtenido.
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51. Notemos que se deben hacer evaluaciones de logaritmos las cuales pueden llevar algo de tiempo,podemos evitar esto usando un papel especial que esta en escala logartmica, dicho papel se conoce como papel LOG-LOG
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52. 52
53. De la hoja anterior podemos ver que la escala de los ejes es diferente a la de papel milimetrado normal, esto es por que, es una escala en potencias de 10
10n
10n+1
10n+2
ciclo
ciclo
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54. Por ejemplo, si iniciamos con100 =1
100
5
3
102
2
101
30
40
20
Cada lnea representa un valor de 1 unidad es decir 2,3,4 hasta 10
Cada lnea representa un valor de 10 unidades es decir 20,30,40 hasta 100
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55. Por ejemplo, si iniciamos con10-2 =0.01
0.01
1
0.03
0.02
0.1
0.4
0.2
0.3
Cada lnea representa un valor de 0.01 es decir 0.02, 0.03, 0.04 hasta 0.1
Cada lnea representa un valor de 0.1es decir 0.2, 0.3 hasta 1
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56. La escala en el otro eje se nombra de manera similar.
Segn los datos que tengamos nombraremos la escala y graficamos y-b=(x)
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57. 57
58. Resolvamos el ejemplo que hicimos por el mtodo log(y-b) =(log(x))
3
2
1
0.1
10
1
2
0.1
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59. Recordando la formula
El valor de n seria la pendiente del grafico, pero hay una pequea variante
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60. 3
2
d2
1
d1
0.1
10
1
2
0.1
60
61. Las distancias d1 y d2 las encontramos midiendo su dimensin con la regla
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62. Si evaluamos en x=1
Quiere decir que k lo encontramos proyectando la grafica en el eje y-b cuando x=1
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63. 3
2
1
0.1
10
1
2
Obtenemos que k=2
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64. 64
Qu pasa si el 1 no esta en nuestro eje?
Para este caso se deben hacer un cambio de escalas en los valores a graficar, ejemplo si estn en centmetros pasar a metros, o ...
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66. 66
NO VENGO A VER SI PUEDO,SI NO PORQUE PUEDO VENGO.
Nunca tomis el estudio como una obligacin, sino como la envidiable oportunidad de aprender, como medio de conseguir una gran alegra personal, de la que participarn vuestros padres, y como beneficio de la sociedad a la que pertenece vuestro trabajo futuro.
Albert Einstein
67. Gracias por su atencin