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INSTITUCION EDUCATIVA TECNICO INDUSTRIAL

LUZ HAYDEE GUERRERO MOLINA

PROGRAMA MATEMTÁTICAS

1. IDENTIFICACIÓN DE LA GUIA DE APRENDIZAJE DE MATEMÁTICAS

GUÍA No. 1 GRADO 7 DURACIÓN: PRIMER PERIODO

TEMA: NÚMEROS RACIONALES ESTANDAR PENSAMIENTO NUMÉRICO:

1. Utilizo números racionales, en sus distintas expresiones (fracciones, razones, decímales o porcentajes) para resolver problemas en contextos de medida.

2. Formulo y resuelvo problemas en situaciones aditivas y multiplicativas, en diferentes contextos y dominios numéricos.

COMPETENCIA:

1. Establezco diferencias entre los números enteros y los racionales e interpreto el

número racional como parte de un todo.

2. Utilizo las propiedades y relaciones de los números racionales para resolver problemas

en contextos matemáticos y no matemáticos.

2

EL PROBLEMA DE MEDIR Y EL NÚMERO RACIONAL

OBJETIVO GENERAL

Acercar al estudiante a comprender el racional como un número de la forma a/b, donde a ∈ Z, b

∈ Z y b ≠ 0, por medio de situaciones didácticas que involucran segmentos de madera y hojas

milimetradas.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Asignar a una medida no exacta a la unidad PATRÓN, un número de la forma a/b, donde

a ∈ Z, b ∈ Z y b ≠ 0.

Aplicar el concepto de número racional en contextos matemáticos y no matemáticos.

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD

Dibujar en hojas milimetradas, un segmento tomado como unidad patrón y medir con él otros

segmentos mayores que la unidad dada y no exacta a ésta. Posteriormente el estudiante deberá

responder una serie de preguntas previamente diseñadas, que buscan que él construya el

concepto de número racional. A continuación se presenta la actividad:

Tabla No. 1: Patrón de medida

2. SITUACIÓN PROBLEMA

ROJO

AZUL

3

1. ¿Cuántas veces el segmento rojo cabe en el segmento azul? _________________________________________________

2. ¿Te quedó algún pedazo del segmento azul sin ocupar? _________________________________________________

3. ¿En el pedazo azul que te sobró te cabe un segmento rojo completo? _________________________________________________

4. ¿Necesitas pedacitos del segmento rojo para completar el segmento azul?____________________________________________

5. ¿Cómo completarías el segmento azul?_________________

_________________________________________________

6. ¿Qué número representa el segmento rojo? ______________

7. ¿Es necesario conocer otros números que representen segmentos más cortos que el segmento patrón (segmento rojo)?___________________

¿Por qué?_________________________________________________

8. ¿Crees que hay un límite para dividir el segmento patrón?___________

9. ¿Crees que a cada pedacito le corresponde un número?_____________

10. Numéricamente ¿Cómo representarías dicho número?____________________

_______________________________________________________________

Tabla No. 2: Segmento rojo dividido en partes

1. ¿Qué nombre le pondrías al primer y segundo pedacito del segmento rojo que dividieron en diez partes?

2. ¿Qué nombre le pondrías al primer y tercer pedacito del segmento rojo que dividieron en cinco partes?

3. ¿Qué nombre le pondrías al primer pedacito del segmento rojo que dividieron en dos partes?

4

Los números fraccionarios surgen a partir de la comparación de dos cantidades

enteras, es decir, de las razones. Cuando se determina una razón y se halla el

cociente entre dos enteros que la forman, no siempre es posible obtener otro

entero. En ese caso el resultado es un número fraccionario.

Los números fraccionarios son utilizados desde la antigüedad, tal como lo

muestra el papiro de Rhind, que es el documento más antiguo que existe de la

matemática egipcia. En el aparecen operaciones aritméticas que incluyen

fracciones unitarias. 1

2,

1

3,

1

4, …

Pero no fueron los egipcios los únicos que trabajaron con esos números en la

antigüedad. Los babilonios, por ejemplo, trabajaron las fracciones que tenían

como denominador 60 y los romanos cuyo denominador era 12.

La notación actual, un entero sobre otro entero, separados por un segmento, se

debe a Leonardo de Pisa.

En el siguiente enlace https://www.youtube.com/watch?v=bBKF9dwGdWg

encontrarás la historia de los número racionales, haz un breve resumen acerca

de cómo surgieron y en la vida real en qué se aplican.

3. INTRODUCCIÓN

5

Como se observa en la situación problema, hay otros números distintos de los números enteros, estudiados en el curso anterior, pues se necesitan segmentos para completar la unidad denominada patrón. A estos números se les conoce como números racionales, los cuales se representan con la letra Q. Este número se logra a partir de la solución de problemas con la división de dos números enteros, la cual no siempre es exacta.

Por ejemplo el resultado de 5

2= 2,5, no se puede expresar con un número entero,

si se efectúa el cociente entre esas dos números enteros positivos se obtiene una parte entera (2) y una parte decimal (5).

Un número racional es todo número que puede representarse como el cociente entre dos números enteros, así:

𝑎

𝑏, donde a y b son números enteros y b es un número distinto de cero.

Por tanto, Q = {𝑎

𝑏 ̸ 𝑎 ∈ Z, b ∈ Z, b ≠ 0}

El conjunto de los números racionales contiene a los números enteros, ya que todo número entero puede escribirse como el cociente de dos números, donde

el denominador es 1. Esto se denota así: 𝑎

1= 𝑎, donde a es un número entero.

Ejemplo: 8

1= 8 o por ejemplo −

3

1= -3

El número racional por tanto, se puede interpretar como:

1. Una fracción 2. Una razón 3. Una división de dos enteros

NÚMERO RACIONAL COMO FRACCIÓN

Esta es la interpretación más elemental del número racional, por ejemplo si se tiene el siguiente diagrama circular, se observa que está dividido en 6 partes, pero de ellas solo se ha tomado una. Luego la fracción que representa

este diagrama es 1

6 y se lee un sexto.

La unidad sigue siendo la misma, pero se puede dividir en varias partes y se toman las que se quieran.

4. CONCEPTUALIZACIÓN: NÚMEROS RACIONALES

6

NÚMERO RACIONAL COMO UNA RAZÓN

Otra interpretación de los números racionales es como la razón de dos magnitudes, entendiendo magnitud como algo que se puede medir.

Por ejemplo un carro recorre 20 km en 3 horas, luego la razón dada está dada

por la distancia recorrida y el tiempo empleado, es decir, la razón se escribe

como un racional: 20𝑘𝑚

3ℎ.

Otro ejemplo de razón se de en términos de porcentaje, esto es, a un artículo se

le hace el 30% de descuento, este descuento se representa como la razón 30

100.

En las razones se debe tener en cuenta que ellas se escriben como racionales,

pero se leen de forma diferente, en el caso de los kilómetros horas, se leería 20

a 3.

NÚMERO RACIONAL COMO UNA DIVISIÓN

El número racional como división es el cociente entre dos números enteros, así:

12

3= 4, en este caso cuando se realiza la división se observa que el resultado de

esta división es exacto. Ahora bien, no todas las divisiones de dos enteros no

son exactas, por ejemplo 12

8= 1,5, este resultado tiene residuo diferente de cero

y el resultado es 2,4, lo que significa que hay una parte entera que es 1 y una parte decimal que es 5.

La anterior división se puede expresar como un número mixto, en este caso se resuelve la división

12 8

4 1

Una vez resuelta la división, se reescribe el resultado 1 4

8, el número 1 que

corresponde al cociente de la división es la parte entera y la fracción corresponde al residuo como numerador y al dividendo como denominador.

Luego 12

8= 1

4

8

Ejemplo 2

25 3

1 8 Luego 25

3= 8

1

3

7

REPRESENTACIÓN EN LA RECTA NUMÉRICA

Para representar un número fraccionario en la recta numérica, se divide la unidad

en tantas partes como indique el denominador y se toman las partes que indica

el numerador.

Ejemplo No.1

Representar en la recta numérica 3

2. Para representar

esta fracción se divide la unidad en dos partes iguales y

luego toma se toman tres partes de ella, tal como lo

muestra la figura.

Ejemplo No. 2

Representar en la recta numérica 4

5. En este caso, se

divide la unidad en cinco partes iguales y de ellas se

toman 4.

FRACCIONES EQUIVALENTES

Dos fracciones son equivalentes si representan la misma cantidad numérica,

pero se escriben de forma diferente.

Se pueden obtener fracciones equivalentes de una fracción dada, multiplicando

el numerador y el denominador por un mismo número.

Ejemplo: Dada la fracción 1

2, de ella se pueden obtener varias fracciones

equivalentes 1

2𝑥

2

2=

2

4

Como se observa en la figura, los tres círculos

representan la misma cantidad, pero se

escriben de forma diferente. Si tomamos 2

4 y

realizamos un proceso de simplificación, se

obtiene 1

2, lo mismo sucede con

4

8; por tanto se

dice que estas fracciones son equivalentes.

8

ORDEN EN Q

Si se tienen las siguientes fracciones 3

2 y

4

5, ¿cómo se puede determinar cuál de

ellos es mayor que el otro?. Si tu respuesta es dibujar ambas fracciones en la

recta y determinar que la fracción que está a la derecha es mayor, se está en lo

correcto.

De lo anterior se puede concluir que si 𝑎

𝑏 y

𝑐

𝑑 son dos fracciones cualquiera, se

dice que 𝑎

𝑏 >

𝑐

𝑑 si y solamente si ad > bc

Entonces del ejemplo anterior 3

2 y

4

5 se tiene que 3x5>4x2 = 15>8

Ejemplo No. 2

Deteminar el orden en las siguientes fracciones 1

4 y

8

7

Al multiplicar las diagonales 1 x 7 y 4 x 8 se observa que los resultados son 7 y

32, por tanto se puede afirmar que 1

4 <

8

7

Ejemplo No. 3

Deteminar el orden en las siguientes fracciones 2

3 y

12

18

Al multiplicar las diagonales 2 x 18 y 3 x 12 se observa que los resultados son

36 y 36 son iguales, por tanto se puede afirmar que las dos fracciones son

equivalentes 2

3=

12

18

Si observas en el ejemplo, se dan dos

fracciones, 3

2 y

4

5, las cuales se han graficado en

la recta numérica, como se puede ver la unidad

sigue siendo la misma y al comparar las

ubicaciones de dichas fracciones podremos

darnos cuenta que 3

2 está a la derecha de

4

5,; por

tanto, 3

2 >

4

5.

9

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE NO. 1

1. Dados los siguientes números racionales, coloca al frente de cada uno de ellos si corresponde a una fracción a una razón o a una división. a. Luis se comió tres cuartas partes del pastel de su cumpleaños._____________ b. En el supermercado “La X” hay un anuncio que dice así: lleve 2 cremas Colgate por $ 2.300______________

c. La profesora le ha pedido a Laura que divida la unidad en 5 partes y tome dos de ellas.______________

d. Un equipo de futbol jugó 4 partidos y ganó uno_________________

e. Sandra compra un equipo de sonido y la empresa le otorga el 20% de descuento por compra en efectivo.___________________

2. María tiene 3

4 de pizza para repartir, si le da

3

8 de pizza a cada persona ¿a cuántas

personas alcanzó a darles pizza?

3. Exprese las siguientes divisiones en forma mixta

a. 10

3 b.

16

5 c.

9

6 d.

13

4

4. Ramón es un estudiante de nuestra institución educativa, el realiza las siguientes

actividades en un día normal

5:30 a.m. se levanta, 5:45 a.m se baña, 6:00 a.m desayuna, 6:15 a.m sale para el

colegio, 6:45 a.m llega al colegio, 7:00 a.m inicia clases, 9:45 a.m sale a descanso,

1:00 p.m termina clase, 1:45 p.m llega a la casa

a. Realiza una línea de tiempo de las actividades que Ramón realiza durante ese

lapso de tiempo.

b. ¿Si Felipe compañero de Ramón le pregunta al inicio de clase a qué hora se

levantó, cuál será la respuesta dada por él?

_____________________________________________________________________

c. Felipe le pregunta a Ramón en cuanto tiempo llega a su casa, este le responde

en 45 minutos, ¿existe otra forma de expresar dicho tiempo?, si la respuesta es

correcta como expresarías los tiempos de las dos respuestas dadas por Ramón.

____________________________________________________________________

10

5. Se realizó una encuesta a dos grupos de 40 y 20 estudiantes, sobre el deporte

que más practicaban, los resultados se muestran a continuación:

DEPORTE GRUPO 1 GRUPO 2

Atletismo 18 9

Natación 9 5

Ciclismo 10 4

Yudo 3 2

a. ¿Qué parte del total de estudiantes del grupo 1 prefiere la natación?____

b. ¿Qué parte del total de estudiantes encuestados prefiere yudo?____

c. ¿Qué parte del total de estudiantes encuestados prefiere atletismo? _____

d. ¿Qué parte del total de estudiantes del grupo 2 prefiere la ciclismo?____

6. Catalina y Andrés son vecinos, fueron juntos al Supermercado y compraron

algunos alimentos, coloca la relación (<,>, =) que corresponda de acuerdo a la

compra hecha.

a. Carne 2 5

8 b. Papa

13

6

1

2 c. Arvejas

5

8

15

3

7. Coloca en cada recta numérica el número racional que corresponda en el

espacio asignado

8. Representa los siguientes racionales en la recta numérica

a. 5

4, −

7

4, −

8

4,

11

4

b. −6

7,

1

7, −

38

7,

8

7

11

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE NO. 2

Recorta las fichas y arma grupo de 4 estudiantes y

resuelve en un octavo de cartulina el dominó fraccionario

que se presenta a continuación

12

Así como en los números enteros se realizan operaciones de suma, resta,

multiplicación, división, potenciación y su inversa, lo mismo sucede con los

números racionales.

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS RACIONALES

Algebraicamente la suma de números racionales se define así:

Ejemplo No. 1

Juan compra 3

4 de carne y decide comprar

5

4 más, como se observa los

denominadores son iguales, por lo tanto, para realizar la suma se coloca el

mismo denominador y se suman los numeradores.

3

4+

5

4=

3 + 5

4=

8

4= 2

Como se puede observar, 4 es el mismo denominador, por tanto se coloca 4 y

se suman los numeradores, el resultado es 2 porque se ha hecho un proceso de

simplificación en la operación.

Ejemplo No. 2

Si Juan en su segunda compra hubiese comprado 5

2, el proceso que se haría

para saber cuánta carne compró es el siguiente

3

4+

5

2=

3𝑥2 + 5𝑥4

4𝑥2=

6 + 20

8=

26

8=

13

4

Ejemplo No. 3

En un tanque había 17

5 m3 de agua y se gastan

8

3, cuánta agua quedó en el tanque,

en este caso se realiza una resta, cuyo proceso es el mismo que se realiza en la

suma.

17

5−

8

3=

17𝑥3 − 8𝑥5

5𝑥3=

51 − 40

15=

11

15

5. CONCEPTUALIZACIÓN: OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES

13

Como se observa es el mismo procedimiento para operaciones con

denominadores diferentes. También se observa que no hubo simplificación

porque no hay factores comunes.

PROPIEDADES DE LA SUMA DE LOS NÚMEROS RACIONALES

Las propiedades de la adición de números naturales y enteros se extienden

también a los números racionales.

Estas propiedades son:

- Clausurativa: Al sumar dos números racionales se obtiene otro número

racional.

Ejemplo

−3

2+

5

4=

−12 + 10

8= −

2

4= −

1

2

- Asociativa: La adición de tres o más números racionales puede

efectuarse realizando distinta agrupaciones y la suma no se altera.

(a + b) + c = a + (b + c)

-

- Conmutativa: Al cambiar el orden de los sumandos la suma no se altera

a + b = b + a

Ejemplo

14

Ejercicio en clase

Realiza dos ejemplos por cada propiedad de la suma de números racionales.

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN

Algebraicamente la multiplicación de números racionales se define así:

Consulta las propiedades de los números racionales

Ejemplo

Se tiene un área como muestra la figura, tres cuartos de ella no tiene baldosa y

se quiere colocar dos tercios de tapete al área sin baldosa, ¿Qué parte del área

del piso quedara con tapete?

DIVISIÓN DE NUMEROS RACIONALES

Algebraicamente la división de números racionales se define así:

𝑎

𝑏÷

𝑐

𝑑=

𝑎𝑥𝑑

𝑏𝑥𝑐

Ejemplo No. 1

5

3÷ (−

2

9) = −

5𝑥9

3𝑥2= −

45

6 Se puede realizar el proceso de simplificación

−45

6 = - −

15

2

2

3 𝑋

3

4=

2𝑋3

3𝑋4=

6

12

15

Ejemplo No. 2

Los 8

9 de los ahorros de Ricardo se han destinado para pagar cuatro cuotas del

carro que compró, ¿qué parte de lo ahorrado corresponde a una cuota?

8

9÷

4

1=

8𝑥1

4𝑥9=

8

36=

4

18=

2

9 luego dos novenos corresponde a una cuota de lo

ahorrado.

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACION DE LOS NÚMEROS RACIONALES

- Clausurativa: Al multiplicar dos números racionales se obtiene otro

número racional.

- Conmutativa: Al cambiar el orden de los productos la multiplicación no

se altera

- Asociativa: La multiplicación de tres o más números racionales puede

efectuarse realizando distinta agrupaciones y el producto no se altera.

- Modulativa: La multiplicación obtenida de un racional con uno es siempre

el mismo número racional.

- Anulativa: Al multiplicar todo número racional por cero el producto que se

obtiene es cero.

- Elemento Neutro: Al multiplicar u número racional por uno se obtiene el

mismo número racional.

a ·1 = a

- Distributiva:

a · (b + c) = a · b + a · c

1

8+

3

4=

4+24

32=

28

32=

7

8

16

Ejercicio en clase

Realiza dos ejemplos por cada propiedad de la multiplicación de los números

racionales.

POTENCIACIÑÓN DE NÚMEROS RACIONALES

En los racionales se definen la potenciación y la radicación como se definió en

los números enteros.

17

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE NO. 3

1. Carlos decide realizar una caminata diaria los

días lunes, miércoles y viernes, los siguientes son

los km que él recorrió: 8

5,

7

3,

1

2. ¿Cuántos km en

total recorrió Carlos?

2. Felisa fue a la mina y el día lunes extrajo un cuarto

del grano de platino y el día martes tres cuartos.

¿cuánto de platino extrajo Felisa en los dos días?

3. Cierta madrugada, la temperatura en Bogotá era

de −23

4 oC y, a la misma hora, en barranquilla era

79

3 oC. ¿Cuál es la diferencia de temperatura entre las dos ciudades?

4. El jardín de María tiene dos quintas partes sembradas de rosas, un tercio

sembrada de claveles y el resto de gladiolos. ¿Qué parte del área de

María está sembrada de gladiolos?

5. En un colegio de 910 alumnos, los dos quintos tienen menos de 14 años.

¿Cuántos alumnos tienen menos de 14 años?

6. Resuelve las siguientes operaciones con números racionales

a. −5

2 +

4

3(−

6

9)

b. 1

2−

3

5+

2

7

c. 10

7 ÷(−

8

3)

d. 2

7 +

2

7 +

2

7

7. Escribe F o V y explica con ejemplos tu respuesta

a. El cuadrado de un racional negativo es un racional negativo____

b. Si un racional positivo se eleva a un exponente negativo, el resultado es

positivo____

c. Si un racional negativo se eleva a una potencia impar, el resultado es

positivo____

d. Nunca se puede hallar la raíz cuadrada de un racional negativo___

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INSTITUCION EDUCATIVA TECNICO INDUSTRIAL

LUZ HAYDEE GUERRERO MOLINA

PROGRAMA MATEMTÁTICAS

1. IDENTIFICACIÓN DE LA GUIA DE APRENDIZAJE DE GEOMETRÍA

GUÍA No. 1 GRADO 7 DURACIÓN: PRIMER PERIODO

TEMA: TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS PENSAMIENTO ESPACIAL: 1. Clasifico polígonos en relación con sus propiedades. 3. Represento objetos tridimensionales desde diferentes posiciones y vistas COMPETENCIA: Relaciona figuras de tres y cuatro lados con objetos de su entorno, tales como

ventanas, puertas, pisos, bases de bicicletas, etc. y establece propiedades en dichas figuras

geométricas.

7

19

OBJETIVO GENERAL

Acercar al estudiante a comprender el concepto de triángulos y cuadriláteros y a que establezca

diferencias entre figuras planas y figuras tridimensionales.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Establecer relaciones entre polígonos de tres y cuatro lados por medio de un paralelo

Usar propiedades y relaciones geométricas para solucionar problemas que surgen en

matemáticas y en otros contextos.

ACTIVIDAD 1

Tome una hoja de papel y en ella dibuje tres puntos cualesquiera A, B y C, no colineales, es

decir, que no estén alineados, luego con la regla una los puntos AB, BC y CA, pinte de color azul

la figura que acaba de obtener. Como la hoja representa un plano, ¿entonces en cuántas partes

se ha dividido dicho plano? ¿Cómo se llaman las líneas trazadas de A a B, de B a C y de C a A?

¿Qué nombre reciben los puntos A, B y C? ¿Qué nombre recibe la región azul? ¿Qué

características tiene dicha región? ¿Qué puede concluir del ejercicio anterior?

ACTIVIDAD 2

Las pirámides de Egipto son, de todos los vestigios legados por egipcios de la Antigüedad, los

más portentosos y emblemáticos monumentos de esta civilización, y en particular, las tres

grandes pirámides de Giza, las tumbas o cenotafios de los faraones Keops, Kefrén y Micerino,

cuya construcción se remonta, para la gran mayoría de estudiosos, al periodo denominado

Imperio Antiguo de Egipto. La Gran Pirámide de Giza, construida por Keops (Jufu), es una de las

Siete Maravillas del Mundo Antiguo, además de ser la única que aún perdura. A continuación se

muestran las pirámides:

De acuerdo a las figuras mostradas, responde las siguientes preguntas.

1. ¿Qué polígono se asocia a la parte frontal de las pirámides?

2. ¿Cuántos lados tiene dicho polígono?

3. ¿La base sobre la que se ha levantado la pirámide de la figura 2, que polígono

representa?

2. SITUACIÓN PROBLEMA

Figura 1 Figura 2

20

4. ¿Si la pirámide tiene tres caras, que polígono forma la base sobre la que se encuentra?

5. ¿Todas las pirámides tienen la misma base?

6. Toma cuatro pitillos y únelos con plastilina, luego en cada punta coloca un pitillo de forma

vertical y únelos en un solo punto con plastilina, ¿Qué figura se obtiene?

7. Dibuja en tu cuaderno un polígono de tres lados y uno de cuatro lados. ¿Existen

diferencias entre la figura que construiste con los pitillos y los polígonos que acabas de

dibujar? ¿Qué tipo de diferencias?

8. ¿Toma las medidas del lado AB y el lado AC del triángulo que aparece en la figura?

¿Cómo son dichas medidas? ¿Qué podrías decir respecto del valor de los ángulos?

¿Cómo llamarías a dicho triángulo? ¿Todos los triángulos tienen la misma forma?

9. Realice un paralelo que muestre las diferencias entre las figuras de tres y cuatro lados.

Número de

lados Número de

ángulos

Suma de ángulos

interiores

TRIÁNGULOS

CUADRILÁTEROS

10. Las siguientes son figuras que se pueden realizar con triángulos y cuadriláteros. Dibuja

en tu cuaderno dos figuras que incluyan estos polígonos.

21

La matemática y la geometría han jugado un papel fundamental a través de la historia, se observa

como diferentes civilizaciones hicieron uso de ellas, esto se evidencia en tablillas y papiros que

se han encontrado, así como en esculturas, textiles y arquitectura entre otros.

Los sumerios, han dejado su legado sobre tablillas realizadas en arcilla, en ellas se evidencia testimonio de sus conocimientos matemáticos. Por ejemplo se tiene la tablilla YBC 72 que se encuentra fechada entre los años 1900 y 1600 a.C. En ella se presenta una figura que puede asociarse a la representación de un cuadrado en el que puede observase la irregularidad que dicha figura presenta, ya que los segmentos internos darían la idea de la diagonal de dicho cuadrado pero es notorio que sus extremos no coinciden con los vértices del cuadrado.

Por su parte, en el antiguo Egipto, los conocimientos matemáticos se encuentran, mayormente, en los papiros que se han conservado hasta nuestros días, siendo verdaderos testimonios del desarrollo matemático que el pueblo egipcio poseía. Uno de estos papiros es el de Moscú, en él se observa una figura que da la idea de un trapecio rectángulo.

Esta representación no es casual pues el pueblo egipcio tenía por costumbre representar los

cuerpos de tres dimensiones como figuras planas, siendo particular en esta cultura los

bajorrelieves o las pinturas de cuerpos humanos esbozados de frente pero con el rostro de perfil

como así también sus piernas, en la mayoría de los casos, aunque sus ojos se encontraban

como vistos de frente. Si nos centramos en las figuras de los papiros con problemas

matemáticos, puede notarse que las figuras realizadas tienen un alto nivel de imprecisión, dichas

irregularidades geométricas darían la impresión que sólo se realizaron como soporte que guiara

al escriba que resolvía el problema. Se debe recordar que para estos tiempos, la matemática que

este pueblo desarrolló es solo de orden práctico, no había aún teorizado las ideas geométricas,

con lo cual puede llegarse a la conclusión que dichas representaciones corresponden a figuras

de análisis de la situación que puntualmente se plantea y no representan una generalización.

Tomado de LAS FIGURAS DE ANÁLISIS EN LA ANTIGÜEDAD,

http://www.soarem.org.ar/Documentos/52%20Micelli.pdf

3. INTRODUCCIÓN

22

Por otra parte, el arte precolombino, como esculturas, arquitectura, textiles, cerámicas,

orfebrería, entre otros, que realizaron nuestros indígenas durante el periodo precolombino propio

de América, antes de Cristóbal Colón, dan cuenta de la utilización de figuras geométricas en

dichas realizaciones artísticas. Un ejemplo de ello son los de Tierradentro y San Agustin en

Colombia.

.

Los indígenas de Tierradentro utilizaban los hipogeos, que eran unas construcciones

subterráneas o excavadas en una roca con techos abovedados y que utilizaban como vivienda

para sus muertos. Las figuras 2, 3 y 5 muestran hipogeos y en ellas se observan figuras

geométricas con base en cuadrados y triángulos.

En conclusión, nuestros antepasados hicieron uso de las figuras geométricas para realizar sus

representaciones artísticas, los primeros hombres lo hicieron a partir de la observación de las

cosas que veían en la naturaleza y los egipcios la utilizaron para la medición de sus fronteras,

las cuales se borraban a causa del rio Nilo y también para medir los ángulos rectos de las

esquinas de sus edificaciones, de ahí la palabra geometría que significa medida de tierras. Esta

geometría que no estaba sistematizada en ninguna de las civilizaciones egipcias, babilonias y

sumerias, luego fue sistematizada por los griegos, en cabeza de Tales de Mileto, los pitagóricos

y Euclides.

Consulta las biografías de Tales de Mileto, Pitágoras y Euclides y escribe los aportes que cada

uno de ellos hizo a la geometría.

23

Con base en la situación didáctica se puede concluir, que tres puntos cualesquiera no colineales,

A, B y C, determinan un triángulo.

Los triángulos son polígonos que tiene tres lados, tres ángulos interiores cuya suma es igual a

180o, tres ángulos exteriores y tres vértices.

Los puntos de intersección formados por las rectas son los vértices y los segmentos de recta

determinan los lados del triángulo. Los vértices suelen designarse con letras A, B, C,... y los

lados con letras minúsculas a, b, c,… de acuerdo al vértice opuesto, también se denotan, por los

extremos de sus segmentos así: AB, BC y AC.

ACERCA DE LOS LADOS DE UN TRIÁNGULO

En una tabla clave tres chinches tal como lo muestra la figura, luego ate un hilo al punto A y que pase por el punto B y C volviéndose a fijar al punto A, quite el chinche del punto C, observe que el hilo se afloja en los lados a y b, tome la punta del hilo y llévelo hasta el extremo del punto B. ¿Qué puede concluir de dicho experimento? ¿Cómo es el lado c comparado con la suma de los lados a y b? Tomado y adaptado de Lecciones de

Geometría Intuitiva de Juan A. Viedma C.

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS SEGÚN SUS LADOS

4. CONCEPTUALIZACION: TRIÁNGULOS

Como ya se vio en la situación didáctica, todos los

triángulos no son iguales, por lo tanto su clasificación

se hace por la relación entre las longitudes de sus

lados o por la amplitud de sus ángulos.

24

TRIÁNGULO ISÓSCELES: Es aquel que tiene dos de sus lados iguales, a continuación

se muestran los tipos de triángulos isósceles que existen.

Como se observa, en este tipo de triángulos los lados iguales tienen ángulos iguales. En el

caso del triángulo acutángulo los ángulos B y C son iguales, mientras que en el triángulo

C y D son iguales. En el caso del triángulo isósceles rectángulo se obtienen dos ángulos iguales y cuyo valor es de 450. El triángulo isósceles tiene un solo eje de simetría, tal como lo muestra la siguiente figura:

TRIÁNGULO EQUILÁTERO: Es aquel que tiene todos sus lados iguales y todos sus ángulos

iguales.

El triángulo equilátero tiene tres ejes de simetría

Rectángulo

Ejes de simetría: Es una línea

imaginaria que atraviesa una figura de

tal manera que al dividirla, lo hace en

dos partes cuyos puntos opuestos son

equidistantes entre sí, es decir tienen

la misma distancia, por lo que quedan

simétricos.

Leer el artículo: Simetría en un

mundo asimétrico

http://www.cienciateca.com/simet

ria.html

Escribir en forma breve de que

trata dicho artículo.

25

TRIÁNGULO ESCALENO: Es aquel que tiene todos sus lados desiguales y por tano todos

sus ángulos son también desiguales. En este triángulo también se puede observar que todos los lados son desiguales, lo mismo que sus ángulos. El triángulo escaleno no tiene ningún eje de simetría. CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS SEGÚN SUS ÁNGULOS

El siguiente cuadro sinóptico muestra la clasificación de los triángulos de acuerdo a la amplitud

de sus ángulos:

Por la amplitud de sus ángulos los triángulos se clasifican en:

Triángulo rectángulo: si tiene un ángulo interior recto (90°). A los dos lados que conforman el

ángulo recto se les denomina catetos y al otro lado hipotenusa.

Triángulo oblicuángulo: cuando ninguno de sus ángulos interiores son rectos (90°). Por ello,

los triángulos obtusángulos y acutángulos son oblicuángulos.

Triángulo obtusángulo: si uno de sus ángulos interiores es obtuso (mayor de 90°); los otros

dos son agudos (menores de 90°).

Triángulo acutángulo: cuando sus tres ángulos interiores son menores de 90°.

RECTÁNGULOS

OBLICUÁNGULOS

OBTUSÁNGULOS

ACUTÁNGULOS

TRIÁNGULOS

26

El siguiente cuadro muestra la clasificación de los triángulos según la amplitud de sus ángulos.

Rectángulo Obtusángulo Acutángulo

Oblicuángulos

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS SEGÚN SUS LADOS Y SUS ÁNGULOS

El siguiente mentefacto conceptual muestra cómo se clasifican los triángulos según su amplitud de sus ángulos.

CLASIFICACIÓN SEGÚN LOS LADOS Y LOS ÁNGULOS

Los triángulos acutángulos pueden ser:

Triángulo acutángulo isósceles: con todos los ángulos agudos, siendo dos iguales, y el

otro distinto. Este triángulo es simétrico respecto de su altura.

Triángulo acutángulo escaleno: con todos sus ángulos agudos y todos diferentes, no

tiene eje de simetría.

Triángulo acutángulo equilátero: sus tres lados y sus tres ángulos son iguales; las tres

alturas son ejes de simetría (dividen al triángulo en dos triángulos iguales).

RECTANGULO ACUTÁNGULO OBTUSÁNGULO

Según la longitud de sus lados

Cuadriláteros

POLÍGONOS

TRIÁNGULOS

ISÓSCELCES EQUILÁTERO

Es un polígono que tiene tres lados, tres ángulos interiores, tres ángulos exteriores y tres vértices.

ESCALENO

RECTANGULO ACUTÁNGULO OBTUSÁNGULO ACUTÁNGULO

27

Los triángulos rectángulos pueden ser:

Triángulo rectángulo isósceles: con un ángulo recto y dos agudos iguales (de 45° cada

uno), dos lados son iguales y el otro diferente: los lados iguales son los catetos y el

diferente es la hipotenusa. Es simétrico respecto a la altura de la hipotenusa, que pasa por

el ángulo recto.

Triángulo rectángulo escaleno: tiene un ángulo recto, y todos sus lados y ángulos son

diferentes.

Los triángulos obtusángulos pueden ser:

Triángulo obtusángulo isósceles: tiene un ángulo obtuso, y dos lados iguales que son

los que forman el ángulo obtuso; el otro lado es mayor que estos dos.

Triángulo obtusángulo escaleno: tiene un ángulo obtuso y todos sus lados son

diferentes.

El siguiente cuadro muestra cómo se clasifican los triángulos según sus ángulos

Según sus

lados Según sus ángulos

EQUILATERO 3 Lados iguales y 3

ángulos iguales

ISOSCELES 2 lados iguales y 2

ángulos

ESCALENO 3 lados desiguales y 3

ángulos desiguales

ACUTÁNGULO

RECTÁNGULO

No existe

OBTUSÁNGULO

No existe

28

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 1

1. Dibuje un triángulo equilátero, halle el punto medio de cada uno de sus lados y luego

únalos, ¿Qué figura obtienes?

2. ¿De acuerdo a sus ángulos, qué tipo de triángulo es el de la figura 1? ¿Si la base es de

2 unidades, qué se puede decir de su altura?

3. ¿Según sus lados, qué nombre recibe el triángulo de la figura 2? ¿Cuánto mide el ángulo

B de la figura 1 y el ángulo A de la figura 2?

4. ¿Cuántos triángulos tiene la siguiente figura 3?

5. ¿Un triángulo puede ser equilátero y obtusángulo al mismo tiempo?

6. ¿Qué tipo de triángulo es el de la figura 4 y cuál es el valor del ángulo externo?

Figura 4

Competencia: Aplico los conceptos básicos de los triángulos para solucionar

problemas que surgen en contextos matemáticos y no matemáticos

Figura 1 Figura 2

Figura 3

29

Los cuadriláteros, cuadri de cuatro y latero de lado, son polígonos que tienen 4 lados, cuatro

vértices, dos diagonales, cuatro ángulos interiores cuya suma es igual a 360o y cuatro ángulos

exteriores. Su forma varía dependiendo de las relaciones que se establezcan entre sus lados y

entre sus ángulos.

El siguiente mentefacto conceptual muestra la clasificación de los cuadriláteros:

PARALELOGRAMOS

Un paralelogramo es un tipo especial de cuadrilátero cuyos lados opuestos son congruentes y

paralelos dos a dos.

El siguiente mapa muestra cómo se clasifican los paralelogramos:

5. CONCEPTUALIZACION: CUADRILÁTEROS

PARELOGRAMOS

EQUILATEROS NO EQUILATEROS

ROMBO CUADRADOS RECTÁNGULO ROMBOIDE

Según sus lados

Según la relación entre sus

lados y ángulos

Triángulos

POLÍGONOS

CUADRILATEROS

PARALELOGRAMO TRAPECIOS

RECTANGULO CUADRADRO

Es un polígono que tiene cuatro lados y cuatro ángulos.

ROMBO ROMBOIDE RECTANGULO ISÓSCELES ESCALENO

TRAPEZOIDE

30

RECTÁNGULOS

Es un paralelogramo con 4 ángulos internos rectos y los lados opuestos con la misma longitud.

Propiedades de los rectángulos

1. Al trazar una mediatriz a lo largo o a lo ancho del

rectángulo, se observa que hay simetría. El rectángulo

tiene dos ejes de simetría.

1 = 2

2. Al trazar las diagonales se observa que son iguales y se cortan en su punto medio.

3. Los ángulos internos son rectos, es decir, su medida es 90o. por lo que se puede decir

que el rectángulo es equiángulo.

4. Los lados opuestos son paralelos.

c=d y a = b

Nota: Recordar que un eje de simetría es una línea que divide una figura en dos partes simétricas

o que tienen la misma forma.

1

2

1 2

9o

9o

9o

9o

d c

a

b

d c

a

b

31

CUADRADO

Es un paralelogramo que tiene sus cuatro lados iguales y paralelos dos a dos, sus ángulos

internos son iguales y rectos, por lo que es un caso especial del rectángulo y como sus lados

son iguales, es decir, es equilátero, entonces es un caso especial del rombo. La suma de sus

ángulos internos es 360o, ya que cada ángulo mide 90o.

PROPIEDADES DEL CUADRADO

1. Los cuatro lados son iguales y por ser iguales sus lados opuestos son paralelos

a = b = c = d

el lado a es paralelo al lado c

el lado d es paralelo al lado b

2. Los cuatro ángulos internos son iguales y la suma de todos ellos es igual a 360o

A = B= C= D

90o + 90o + 90o + 90o = 360o

3. Tiene dos diagonales iguales por ser rectángulo y perpendiculares por ser rombo

d1 = d2 d1 d2

4. Por ser el cuadrado rombo, sus diagonales son bisectrices de los ángulos por cuyos

vértices pasan, esto es, dividen al ángulo en dos partes iguales.

b d

c

a

90o

90o 90o

90o

d2

90o

90

o

45o

45o

32

5. El cuadrado tiene cuatro ejes de simetría: las paralelas medias de sus

lados por ser rectángulo y sus diagonales por ser rombo.

ROMBO

Es un paralelogramo que se

caracteriza por tener sus cuatros

lados iguales, dos ángulos agudos

(menor de 90o) y dos ángulos

obtusos (mayor de 90o).

Se podría ver al rombo como un

cuadrado deformado así:

PROPIEDADES DEL ROMBO

1. Sus lados opuestos son paralelos

2. Sus ángulos opuestos son iguales, dos de ellos son agudos (menores de 90o) y los otros dos

obtusos (mayores de 90o)

3. Las diagonales del rombo perpendiculares y son ejes de simetría, debido a esto son

bisectrices de los ángulos por cuyos vértices pasan. Es decir, que dividen al ángulo en partes

iguales.

d

D

α es un ángulo agudo

β es un ángulo obtuso

a = b = c = d

El lado a es paralelo al lado c

El lado b es paralelo al lado d

33

ROMBOIDE

El romboide o llamado también paralelogramo, es un cuadrilátero que se caracteriza por sus

ángulos y sus lados iguales dos a dos. El romboide no es ni rectángulo ni rombo.

Se podría ver al romboide como un rectángulo deformado así:

PROPIEDADES DEL ROMBOIDE

1. Tienes dos pares de lados opuestos

Lados opuestos b = d y c = a

2. Los ángulos opuestos son iguales

Ángulos opuestos β iguales

Ángulos opuestos α iguales

La suma de α + β = 1800

A = B= C= D = 360o

3. Tiene dos diagonales y no son perpendiculares porque no es un rombo

TRAPECIO

En geometría, se llama trapecio a un cuadrilátero que tiene dos lados no consecutivos

paralelos llamados bases del trapecio y la distancia entre ellos altura.1 Se denomina

mediana al segmento que tiene por extremos los puntos medios de los lados no

paralelos.

4.Las diagonales no son iguales porque no es un

rectángulo

D1 no es igual a D2

5.El romboide tiene dos ejes de simetría

34

Esta definición de trapecio determina tres clases de cuadriláteros convexos:

trapezoides, ningún par de lados paralelos; trapecios, un solo par de lados paralelos;

paralelogramos, dos pares de lados paralelos. 2

Los trapecios respecto a sus ángulos internos, pueden ser rectángulos, isósceles o

escalenos:

Trapecio rectángulo: Trapecio rectángulo es el que tiene un lado

perpendicular a sus bases. Tiene dos ángulos internos rectos,

uno agudo y otro obtuso.

Trapecio isósceles: Trapecio isósceles es el que tiene los lados no paralelos de igual medida. Tiene dos ángulos internos agudos y dos obtusos, que son iguales entre sí.

Las diagonales son congruentes. La suma de los ángulos opuestos es 180°.

Trapecio escaleno: es el que no es isósceles ni rectángulo, la

medida de sus lados da como resultado medidas diferentes. Sus

cuatro ángulos internos poseen diferentes medidas.

TRAPEZOIDE

El trapezoide es un polígono con cuatro costados (cuadrilátero) no teniendo ningún costado

paralelo a otro.

Elementos y propiedades del trapezoide

Lados: el trapezoide tiene cuatro lados (a, b, c y d), no siendo

paralelos entre ellos.

Ángulos: tiene cuatro ángulos (α1, α2, α3 y α4). Los ángulos

interiores, como en todo cuadrilátero, suman 360º (2π

radianes).

Diagonales: las diagonales (D1 y D2) son segmentos que unen

dos vértices no consecutivos. Tiene dos diagonales.

35

Ejes de simetría: son líneas imaginarias que dividirían el trapezoide en dos partes

simétricas respecto a dicho eje. El trapezoide no tiene ningún eje de simetría, excepto

el trapezoide simétrico (o deltoide) que tiene uno.

Trapezoide simétrico (o deltoide)

El trapezoide simétrico (o deltoide) es un caso particular de trapezoide. Tiene los

lados iguales dos a dos, de forma que son iguales los lados consecutivos y diferentes

los opuestos. Es decir, DA=CD y AB=BC.

Las diagonales son perpendiculares. El trapezoide es simétrico respecto a la diagonal

mayor (BD), que es el eje de simetría.

El siguiente cuadro presenta un resumen de los paralelogramos:

CUADRILATERO FIGURA EJES DE

SIMETRÍA LADOS DIAGONALES ÁNGULOS ÁREA

Cuadrado 4 4 lados iguales

2 iguales y perpendiculares

Se bisecan 4 rectos LxL=L2

Rectángulo

2 4 lados iguales

2 diferentes y perpendiculares

Se bisecan

2 agudos y 2 obtusos

𝐷𝑥𝑑

2

Rombo

2 Lados

iguales 2 a 2

2 iguales y oblicuas

Se bisecan 4 rectos bxh

Romboide

2 Lados

iguales 2 a 2

2 desiguales y oblicuas

Se bisecan

2 agudos y 2 obtusos

bxh

Trapecio rectángulo

No tiene 2 lados

paralelos

2 desiguales y oblicuas

No se bisecan

2 ángulos rectos

(𝐵 + 𝑏)ℎ

2 Trapecio isósceles

1 2 lados

paralelos

2 iguales y oblicuas

No se bisecan

2 ángulos iguales dos

a dos

Trapecio escaleno

No tiene 2 lados

paralelos

2 desiguales y oblicuas

No se bisecan

4 ángulos desiguales

Trapezoide

No tiene Ningún lado es paralelo

2 desiguales y Oblicuas

No se bisecan

4 ángulos desiguales

36

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 2

1. Dibuja un rombo y señala los puntos medios de cada uno de sus lados. Si unes los

puntos medios ¿qué figura obtienes, un rectángulo o un cuadrado? Demuéstralo.

2. Calcular el área y el perímetro de las siguientes figuras

3. El siguiente es un plano de una casa, escribe al frente de cada parte del plano el nombre

del cuadrilátero al que corresponde:

4. ¿Si unieras los puntos medios de los lados de un rectángulo ¿Qué obtendrías: un rombo,

otro rectángulo o un cuadrado? Demuéstralo.

5. Dibuja un rectángulo de base 6 cm y de altura 3 cm,

traza las diagonales ¿cuántos triángulos obtenemos y

qué tipo de triángulo es cada uno de ellos teniendo en

cuenta sus lados? Demuéstralo hallando el valor de

los ángulos con el transportador

6. ¿Cuántos cuadriláteros tiene la figura?

7. Coloca verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

a. Los cuadriláteros son todos paralelogramos ( )

b. Los trapecios son un tipo especial de paralelogramo ( )

c. Todo rombo es un cuadrado ( )

d. Algunos trapecios son rectángulos ( )

e. Un trapezoide tiene dos lados paralelos ( )

8. Dibuja un rombo de lado 8 cm ¿Puede tener un ángulo de 90º? Razona tu respuesta.

Hab. 1_________________

Hab. 3 _________________

Terraza ________________

Aseo __________________

Pasillo _________________

37

9. Recorta el tangram que tiene forma de personas y construye una figura de animal

(caballo, gato, pato, etc.)

10. Recorta las figuras dadas y arma un cuadrado con ellas.

38

INSTITUCION EDUCATIVA TECNICO INDUSTRIAL

LUZ HAYDEE GUERRERO MOLINA

DEPARTAMENTO DE

MATEMTÁTICAS

1. IDENTIFICACIÓN DE LA GUIA DE APRENDIZAJE

GUÍA No. 1 GRADO 7 DURACIÓN:

PRIMER PERIODO ESTADÍSTICA

TEMA: ELEMENTOS BÁSICOS DE LA ESTADÍSTICA PENSAMIENTO ALEATORIO Y SISTEMAS DE DATOS:

1. Interpreto analítica y críticamente información estadística proveniente de diversas fuentes (prensa, revistas, televisión, experimentos, consultas, entrevistas).

2. Interpreto, produzco y comparo representaciones graficas adecuadas para presentar diversos tipos de datos. (diagramas de barras, diagramas circulares.)

3. Resuelvo y formulo problemas a partir de un conjunto de datos presentados en tablas, diagramas de barras, diagramas circulares.

COMPETENCIA:

1. Clasifico variables estadísticas de acuerdo a su característica.

2. Caracterizo variables cualitativas a partir de un conjunto de datos relacionados con

su vida cotidiana y su quehacer educativo.

39

HISTORIA DE LA ESTADÌSTICA

Observa el siguiente video acerca del tema de la historia de la estadística y escribe un resumen

acerca de él.

https://www.youtube.com/watch?v=v011Aq_cE7k

1.1 DEFINICIÓN DE ESTADÍSTICA

La estadística se define entonces como el método científico que ordena, organiza, procesa e

interpreta la información para poder deducir o inferir una conclusión acerca de ella.

Se divide en dos ramas: la estadística descriptiva o deductiva que se encarga de analizar y

representar datos por medio de tablas y gráficos, mientras que la estadística inferencial o

inductiva es el proceso por el cual se deducen (infieren) propiedades o características de una

población a partir de una muestra significativa.

El siguiente es un mentefacto conceptual sobre el concepto de estadística y su clasificación.

2. ELEMENTOS BÁSICOS DE LA ESTADÍSTICA.

Los elementos de la estadística descriptiva son:

2. INTRODUCCIÓN

3. CONCEPTUALIZACIÓN: ELEMENTOS BASICOS

MATEMÁTICAS

ESTADISTICA

INFERENCIAL DESCRIPTIVA

SEGÚN EL TIPO DE

ESTUDIO

Método científico que ordena,

organiza, procesa e interpreta la

información para poder deducir o

inferir una conclusión acerca de

ella.

OBTIENE CONCLUSIONES

SOBRE UN CONUNTO DE

DATOS SIN HACER

GENERALIZACIONES A

PARTIR DE ELLOS

SE OCUPA DE GENERALIZAR A

TODA LA POBLACION LOS

RESULTADOS Y CONCLUSIONES

OBTENIDOS A PARTIR DE

MUESTRAS.

Geometría

Matemáticas

Cálculo

Trigonometría

40

2.1 POBLACIÓN

Es el conjunto de todos los elementos, individuos u objetos que van a ser estudiados y que tienen

una característica común.

Ejemplo: La población de estudiantes de la Institución Educativa Técnico Industrial Luz Haydee

Guerrero Molina.

2.2 CENSO

Son todos los elementos de la población, sin excepción alguna. Ejemplo: Censo Nacional

realizado en el año 2005, con el objetivo de determinar entre otros datos el número de habitantes

de Colombia.

2.3 MUESTRA

Es un subconjunto de la población, sobre esta muestra se realiza el estudio estadístico y debe

escogerse de manera representativa según las características de la población. Entre más

homogénea sea la población más pequeña es la muestra.

Ejemplo: Los estudiantes de grado octavo de la Institución Técnico Industrial Luz Haydee

Guerrero Molina.

2.4 MUESTREO: Procedimiento mediante el cual se extrae una muestra de la Población. Esta

técnica permite obtener el tamaño de la muestra y se realiza con el fin de ahorrar recursos cuando

no se puede realizar el estudio estadístico a toda la población.

2.5 CARACTERÍSTICA: Es el aspecto de interés o el objeto de estudio en la población.

2.6 VARIABLE Y DATO:

Se llama variable estadística a las variables que expresan cualidades o características que

poseen los individuos de la población objeto de estudio. Los estudios estadísticos normalmente

tienen preguntas y de acuerdo al tipo de respuesta es que se define que tipo de variable

estadística se necesita para la caracterización de dicho estudio. De acuerdo a lo anterior se

pueden clasificar las variables estadísticas en:

Variables cualitativas

Variables cuantitativas

2.6.1 VARIABLES CUALITATIVAS

Las variables cualitativas son aquellas variables que hacen referencia a una cualidad, preferencia

o gusto del individuo que se va a encuestar. Como por ejemplo: ¿Qué marca de lapicero

41

compras?, ¿Cuál es tu artista favorito?, ¿Le gusta el cine? Las respuestas son nombres de

personas, cosas, o respuestas como si, no. Por eso se llaman cualitativas, porque hacen

referencia a cualidades de los individuos y en ningún caso las respuestas son de tipo numérico.

2.6.2 VARIABLES CUANTITATIVAS

Las variables cuantitativas son aquellas variables cuya respuesta a la pregunta es un número.

Ejemplo 1: ¿Cuántos hermanos tienes? La respuesta puede ser ninguno, uno, dos, etc., como

se ve los números son enteros, hay partes enteras y ninguna parte decimal, por lo tanto, es una

variable cuantitativa discreta.

Ejemplo 2: ¿Cuánto pesas? La respuesta puede ser un número entero como por ejemplo 40 kg

o también puede ser un número decimal 40,5 kg, este tipo de variables son conocidas como

variables cuantitativas continuas pues el número está en un rango

Ejemplo 3: ¿Cuál es tu estatura? La respuesta puede ser 1 metro, pero puede ser 1,75 metros.

Hay una respuesta que puede ser entera como lo es 1 metro, pero también puede ser un decimal

como 1,75 m. Por lo tanto, este tipo de ejemplos cuya respuesta está en un rango que va entre

1m y 2m representa a variable cuantitativa continua.

Como se observa en los tres ejemplos hay una respuesta de tipo numérico, en este caso la

respuesta a la primera pregunta es un número entero y la respuesta a las preguntas 2 y 3 son

números decimales, de ahí que las variables cuantitativas se clasifiquen en:

El siguiente es un mentefacto conceptual sobre las variables estadísticas.

SON VALORES

NUMÉRICOS

VARIABLE

CUANTITATIVA CUALITATIVA

SEGÚN SU CARACTERÍSTICA

ES UNA CARACTERÍSTICA

QUE INTERESA ESTUDIAR EN

UNA POBLACIÓN.

SON CUALIDADES O

CARACTERÍSTICAS NO

NUMÉRICAS

CONTINUA DISCRETA

Variable matemática

42

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE No. 1

1. ¿Qué diferencia hay entre una variable cualitativa y una cuantitativa?

______________________________________________________

______________________________________________________

______________________________________________________

______________________________________________________

______________________________________________________

2. ¿Qué diferencia hay entre una variable cuantitativa discreta y cuantitativa continua?

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

3. El sicólogo de la institución educativa desea hacer un estudio socioeconómico a los

estudiantes, clasifique las variables según sean cualitativas o cuantitativas

a. Ingresos y gastos por familia ______________________

b. Número de personas que conforman la familia _____________________________

c. Estado civil de los padres _____________________________

d. Estrato social _______________________________

e. Comuna a la que pertenecen _______________________

4. Clasifique cada una de las siguientes variables, según sean cualitativas, cuantitativas

discretas o cuantitativas continuas

a. Número de gaseosas que se producen diariamente en Postobón_______________

b. Estilos de muebles de la fábrica La bodega del Mueble______________________

c. Tiempo de respuesta al cliente cuando se hace un reclamo__________________

d. Profesión de una persona______________________

e. Masa de los quesos producidos por la quesera La María.____________________

f. Tipos de cemento de una ferretería ___________________________

g. Temperatura interna de un horno cuando hacen el pan______________________

h. Tiempo de espera en un consultorio médico____________________

i. Tipos de defectos en la producción de zapatos escolares___________________

j. Géneros musicales___________________

43

SITUACIÓN PROBLEMA

Se hace una encuesta a los estudiantes de grado octavo de la Institución Educativa Técnico

Industrial Luz Haydee Guerrero Molina, acerca de su materia favorita, los resultados se muestran

en la siguiente tabla:

Artística Edufísica Sociales Edufísica Edufísica

Matemáticas Biología Edufísica Edufísica Biología

Biología Edufísica Biología Artística Edufísica

Edufísica Matemáticas Edufísica Edufísica Edufísica

Sociales Edufísica Artística Biología Artística

Edufísica Matemáticas Edufísica Edufísica Matemáticas

1. ¿Qué tipo de variable muestra la tabla?

_____________________________________________________________________

2. ¿Cuál es el tamaño de la muestra?

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

3. ¿Cómo organizarías los datos presentados?

_____________________________________________________________________

4. ¿Cuál es la materia favorita de los estudiantes de grado octavo de la Institución

Educativa Técnico Industrial Luz Haydee Guerrero Molina?

_____________________________________________________________________

5. Organiza los datos dados en el espacio asignado.

4. CARACTERIZACIÓN DE VARIABLES CUALITATIVAS

44

VARIABLES CUALITATIVAS Y SU CARACTERIZACIÓN

Una variable cualitativa es la que no aparece en forma numérica sino como una categoría o

atributo. Ejemplos: materia favorita, música que me gusta, tipo de películas que veo, etc.

Para caracterizar esta variable se usan los siguientes métodos: elaborar una tabla de frecuencias

y elaborar un diagrama de barras o histograma de frecuencias.

TABLA DE FRECUENCIAS

La distribución de frecuencias o tabla de frecuencias es una ordenación en forma de tabla de los

datos estadísticos, asignando a cada dato su frecuencia correspondiente.

Los elementos de una tabla de frecuencia son:

Frecuencia absoluta: es el número de veces que aparece un determinado dato en un

estudio estadístico. Se representa por la letra h

Frecuencia relativa: Es el cociente entre la frecuencia absoluta de un determinado valor

y el número total de datos. Se puede expresar en tantos por ciento y se representa por

hi.

ℎ𝑖 =ℎ

𝑛∗ 100

Donde h es la frecuencia absoluta y n el tamaño de la muestra.

Ejemplo

El profesor de educación física de la institución, decide realizar un estudio estadístico a sus

alumnas, para determinar el tipo de deporte que les gusta, ya que los encuentros deportivos y

los intercolegiados siempre tienen participación masculina. El profesor toma una muestra de 30

estudiantes y el resultado es el siguiente:

Baloncesto Natación Voleibol Tenis de mesa Baloncesto

Fútbol Baloncesto Fútbol Fútbol Voleibol

Voleibol Voleibol Baloncesto Voleibol Natación

Fútbol Fútbol Voleibol Baloncesto Voleibol

Fútbol Voleibol Tenis de mesa Natación Natación

Voleibol Fútbol Voleibol Voleibol Baloncesto

Para construir la tabla se cuenta cuantas veces se repite cada deporte, una vez se tenga el dato

de cuantas veces se repite cada deporte, entonces se calcula la frecuencia relativa multiplicando

45

la frecuencia absoluta por cien y luego este valor se divide por el número de datos. Luego la tabla

de frecuencia es:

DEPORTE FAVORITO h hi

Baloncesto 6 6

30∗ 100 =

600

30= 20%

Natación 4 4

30∗ 100 =

400

30= 13,3%

Tenis de mesa 2 2

30∗ 100 =

200

30= 6,6%

Voleibol 11 11

30∗ 100 =

1100

30= 36,6%

Fútbol 7 7

30∗ 100 =

700

30= 23,3%

EL DIAGRAMA DE BARRAS

Un histograma es una representación gráfica de una variable en forma de barras, donde la

superficie de cada barra es proporcional a la frecuencia de los valores representados. Las barras

tienen el mismo ancho y van separadas. El histograma se representa en una semiplano

cartesiano, en el eje x se coloca la variable y en el eje y la frecuencia absoluta.

DIAGRAMA CIRCULAR

Estos diagramas circulares son también llamados diagramas de sectores, gráficos

de pastel o de tortas y son utilizados para representar porcentajes o porciones, en

este tipo de diagramas se puede visualizar mejor la proporción de la característica

estudiada frente al total de datos.

02468

1012

Baloncesto Natación Tenis demesa

Voleibol Fútbol

Series1 6 4 2 11 7

Nú

mer

o d

e es

tud

ian

tes Deporte favorito

46

Para construir un diagrama circular se debe tener en cuenta que el círculo tiene 360 grados,

luego la fórmula matemática para calcular la porción que corresponde del círculo es:

á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 =360 ∗ ℎ𝑖

𝑛

Donde hi es la frecuencia absoluta y n el tamaño de la muestra. A continuación se realiza el

ejercicio para el caso del profesor de educación física:

Luego para realizar el diagrama circular, se dibuja el círculo y se toma un transportador y se

reparten las porciones de acuerdo a los resultados mostrados en la tabla anterior.

Baloncesto 360

30∗ 6 = 72°

Natación 360

30∗ 4 = 48°

Tenis de mesa 360

30∗ 2 = 24°

Voleibol 360

30∗ 11 = 132°

Fútbol 360

30∗ 7 = 84°

Baloncesto20%

Natación13%

Tenis de mesa

7%

Voleibol37%

Fútbol23%

DEPORTE FAVORITO

Primer gráfico circular conocido de la obra de

William Playfair Breviario Estadístico (1801),

mostrando las proporciones del Imperio turco

localizado en Asia, Europa y África, antes de

1789.

47

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE No. 1

1. La secretaría de movilidad de la ciudad de Cali, hizo un estudio

estadístico a un grupo de motociclistas para saber si están usando

el nuevo casco, que cubre desde la cabeza hasta el mentón y que

su entró en rigor a partir de enero de 2020. Los resultados se

muestran a continuación:

SI NO NO SI NO NO

NO NO SI NO SI NO

NO SI NO NO NO SI

SI SI NO NO NO SI

NO NO SI SI NO NO

2. El director de grupo de los grados séptimos pregunta a sus estudiantes acerca del tipo de servicio de televisión que tienen en su casa. Los resultados se muestran en la siguiente tabla:

N S S S S S C N N C

S C N N C C C C C S

C C C C N N C C C C

N= No tiene C= Televisión por cable S=Televisión Satelital

a. Construir la tabla de frecuencias b. Realizar el diagrama de barras y el diagrama circular c. Escribir una conclusión acerca de los resultados del estudio

3. El diagrama de barras muestra un estudio realizado en una peluquería sobre el color de

tinte para cabello que más utilizan sus clientas. Realice el diagrama circular, la tabla de

frecuencias y escriba una conclusión sobre los resultados mostrados.

Realiza:

a. La tabla de frecuencias

b. El diagrama de barras y el

diagrama circular

c. Escribe una conclusión acerca

del estudio realizado

15

25

4

9

4. Realice un estudio

estadístico con sus

compañeros de clase

sobre el tipo de películas

que más les gusta ver.

48

5. RÚBRICA DE EVALUACIÓN

Indicador/Categoría EXCELENTE BUENO INCOMPLETO DEFICIENTE VALOR

Comprensión del concepto de número racional

La explicación demuestra completo entendimiento del concepto de número racional como el cociente de dos números enteros

La explicación demuestra entendimiento parcial del concepto de número racional como el cociente de dos números enteros

La explicación demuestra algún entendimiento del concepto de número racional como el cociente de dos números enteros

La explicación demuestra poco entendimiento del concepto de número racional como el cociente de dos números enteros

Ubica números racionales en la recta numérica

Es capaz de ubicar números racionales en la recta numérica

Es capaz de ubicar parcialmente números racionales en la recta numérica

Tiene dificultad para ubicar números racionales en la recta numérica

No es capaz de ubicar números racionales en la recta numérica.

Utiliza las operaciones básicas de los números racionales para resolver problemas en contextos matemáticos y no matemáticos

Es capaz de utilizar las operaciones básicas de los números racionales para resolver problemas de su vida cotidiana

Utiliza parcialmente las operaciones básicas de los números racionales para resolver problemas de su vida cotidiana

Demuestra dificultad para utilizar las operaciones básicas de los números racionales para resolver problemas de su vida cotidiana

No es capaz de utilizar las operaciones básicas de los números racionales para resolver problemas de su vida cotidiana

Usa propiedades y relaciones geométricas para solucionar problemas que surgen en contextos matemáticos y no matemáticos relacionados con los triángulos y los cuadriláteros

Es capaz de usar propiedades y relaciones geométricas para solucionar problemas que surgen en contextos matemáticos y no matemáticos relacionados con los triángulos y los cuadriláteros

Es capaz de usar parcialmente propiedades y relaciones geométricas para solucionar problemas que surgen en contextos matemáticos y no matemáticos relacionados con los triángulos y los cuadriláteros

Demuestra dificultad para usar propiedades y relaciones geométricas para solucionar problemas que surgen en contextos matemáticos y no matemáticos relacionados con los triángulos y los cuadriláteros

No es capaz de usar propiedades y relaciones geométricas para solucionar problemas que surgen en contextos matemáticos y no matemáticos relacionados con los triángulos y los cuadriláteros

Diferencia variables cualitativas de variables cuantitativas

La explicación demuestra que puede diferenciar variables cualitativas de variables cuantitativas

La explicación demuestra entendimiento parcial para diferenciar variables cualitativas de variables cuantitativas

La explicación demuestra algún entendimiento para diferenciar variables cualitativas de variables cuantitativas

La explicación demuestra poco entendimiento para diferenciar variables cualitativas de variables cuantitativas

Interpreto información proveniente de diversas fuentes como periódicos, revistas, etc.

La explicación demuestra que puede interpretar información proveniente de diversas fuentes como periódicos, revistas, etc.

La explicación demuestra entendimiento parcial para interpretar información proveniente de diversas fuentes como periódicos, revistas, etc.

La explicación demuestra algún entendimiento para interpretar información proveniente de diversas fuentes como periódicos, revistas, etc.

La explicación demuestra poco entendimiento para interpretar información proveniente de diversas fuentes como periódicos, revistas, etc.

Caracteriza variables cualitativas haciendo uso de las herramientas dadas

La explicación demuestra que puede caracterizar variables cualitativas haciendo uso de las herramientas dadas

La explicación demuestra entendimiento parcial para caracterizar variables cualitativas haciendo uso de las herramientas dadas

La explicación demuestra algún entendimiento para caracterizar variables cualitativas haciendo uso de las herramientas dadas

La explicación demuestra poco entendimiento para caracterizar variables cualitativas haciendo uso de las herramientas dadas