1. ecuaciones cap 1

CAPITULO 1. INTRODUCCION A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

Fuente: ECUACIONES DIFERENCIALES. Dennis Zill Apuntes de Clase Prof. JORGE VILLAMIZAR

Grupo de Ecuaciones Diferenciales S1 1er semestre 2011 Sede Socorro

CAPITULO 1. INTRODUCCION A

LAS ECUACIONES

DIFERENCIALES

EL PROPOSITO DE ESTE BREVE CAPITULO ES DOBLE:

PRESENTAR LA TERMINOLOGIA ELEMENTAL DE LAS

ECUACIONES DIFERENCIALES Y ANALIZAR

BREVEMENTE LA FORMA EN QUE SURGEN LAS

ECUACIONES DIFERENCIALES CON EL FIN DE

DESCRIBIR O MODELAR FENOMENOS FISICOS EN

TERMINOS MATEMATICOS.

CONTENIDO

1.1. DEFINICION ECUACIONES DIFERENCIALES

1.2. CLASIFICACION ECUACIONES DIFERENCIALES

1.3. SOLUCION DE UNA ECUACION DIFERENCIAL

1.4. FAMILIAS DE SOLUCIONES

1.5. TEOREMA: EXISTENCIA DE UNICIDAD Y EXISTENCIA

1.6. ECUACIONES DIFERENCIALES COMO MODELOS

MATEMATICOS




1.1 DEFINICION ECUACIONES DIFERENCIALES

Los términos diferencial y ecuación indican, sin lugar a dudas, la resolución de cierto tipo de ecuaciones que contienen derivadas; sin embargo, antes de iniciar la solución de cualquier ecuación, primero se debe aprender las definiciones elementales y terminología del tema. DEFINICION. ECUACION DIFERENCIAL Una ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes es una ECUACION DIFERENCIAL.

1.2 CLASIFICACION ECUACIONES

DIFERENCIALES

CLASIFICACION DE ACUERDO AL TIPO

ORDINARIAS Involucran derivadas ordinarias

PARCIALES Involucran derivadas parciales

CLASIFICACION DE ACUERDO AL ORDEN

ORDEN Lo indica la derivada mayor q aparece en la ED

ORDEN GRADO Grado= potencia

CLASIFICACION POR LINEALIDAD

Para que sea lineal debe satisfacer:

1. La variable dependiente y todas sus derivadas son de grado 1

2. Cada Coef. Depende (esta en función) de la variable independiente




1.3. SOLUCION DE UNA ECUACION DIFERENCIAL

Toda función Ø definida en un intervalo I que posee al menos n derivadas continuas en I, que al

sustituirse en una ecuación diferencial ordinaria de orden n reduce la ecuación a una identidad, es

una solución de la ecuación en el intervalo. En otras palabras la solución de una ecuación

diferencial se limita a encontrar una función que satisfaga la ecuación.

DEFINICION. INTERVALO DE EXISTENCIA No es posible considerar una solución de una ecuación diferencial ordinaria sin pensar al mismo tiempo en un intervalo. El intervalo I de la definición anterior se denomina de diferentes maneras: intervalo de definición, intervalo de existencia, intervalo de validez o dominio de la solución y puede ser abierto (a, b), un intervalo cerrado [a, b], un intervalo infinito , etcétera. DEFINICION. SOLUCION EXPLICITA Una solución en la que la variable dependiente se expresa solo en términos de la variable independiente y constantes se denomina solución explicita. DEFINICION. SOLUCION IMPLICITA Se dice que una relación del tipo es una solución implícita de una ecuación diferencial sobre un intervalo I siempre que exista al menos una función Ø que satisfaga la relación así como la ecuación diferencial sobre I. DEFINICION. SOLUCION PARTICULAR Se obtiene dando un valor al parámetro de una familia de soluciones. DEFINICION. SOLUCION SINGULAR No se obtiene a partir de la familia de soluciones.




1.4. FAMILIA DE SOLUCIONES

CURVA DE SOLUCION. La grafica de una solución Ø de una ECUACION DIFERENCIAL ORDINARIA, donde Ø es una función diferenciable y continua en todo el intervalo de definición I. Ejemplo. FAMILIA DE SOLUCIONES UNIPARAMETRICA

1.5. TEOREMA DE UNICIDAD Y EXISTENCIA

Si son continuas en R, entonces, el teorema garantiza que se puede encontrar un intervalo para algún en el cual se puede encontrar una función que es solución y es única.

Ejemplo. Analizar por el teorema

Grafica: presentara asíntotas en y ningún punto sobre ellas será solución.

0

5

10

15

20

25

-6 -4 -2 0 2 4 6

FAMILIA DE SOLUCIONES

C=0

C=1

C=2

C=6




TIPS PARA UTILIZAR EL TEOREMA DE UNICIDAD Y EXISTENCIA

1. Llevar a la forma

2. Derivar con respecto a la var dep.

3. Analizar donde es continua, establecer I

1.6. ECUACIONES DIFERENCIALES COMO

MODELOS MATEMATICOS

En esta sección se presentara la noción de modelo matemático. En términos generales un modelo es una descripción matemática de algo. Dicha descripción puede será tan simple como una función. Por ejemplo, al analizar la caída de gotas de agua sobre papel secante, Leonardo da Vinci dedujo que la velocidad de caída de un cuerpo está dada por .

Aunque existen muchos tipos de modelos matemáticos, en esta sección solo se estudiaran algunos que tienen relación con ecuaciones diferenciales analizando algunos modelos aplicados en áreas como biología, física y química.

Modelo de crecimiento y decrecimiento

El cambio con el tiempo de una sustancia x es proporcional a la cantidad de sustancia presente en cualquier tiempo. Una sola ecuación puede actuar como modelo matemático para muchos fenómenos distintos. El siguiente modelo es aplicable a:

Dinámicas poblacionales Decaimiento radioactivo Reacciones químicas [primer orden] Vida media Interés continuo




Mezclas

La mezcla de dos soluciones de concentraciones diferentes da lugar a una ecuación diferencial de primer orden para determinar la cantidad de soluto contenida en la mezcla

Circuitos EN SERIE

Si se considera un circuito simple en serie, que contiene al inductor, resistor y capacitor. La corriente que circula en un circuito después de cerrar el interruptor se representa por i(t); la carga sobre un capacitor en un tiempo t está señalada como q(t). Las letras L, C, y R representan inductancia, capacitancia y resistencia respectivamente, y por lo general son constantes. Ahora de acuerdo con la segunda ley de Kirchoff, el voltaje E(t) que se genera en un lazo cerrado debe ser igual a la suma de todas las caídas de voltaje en el lazo. Del proceso anterior se obtiene la ecuación diferencial:

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