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Algebra y TrigonometrıaCNM-108

Clase 2 – Ecuaciones, desigualdades y funciones

Departamento de Matematicas

Facultad de Ciencias Exactas y NaturalesUniversidad de Antioquia

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Capıtulo 2

Ecuaciones y desigualdades

2.1. Ecuaciones

Una ecuacion es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, que se denominanmiembros de la ecuacion. En ella aparecen numeros y letras (incognitas) relacionadosmediante operaciones matematicas.

Las variables que constituyen los miembros de una ecuacion pueden represen-tar cantidades fısicas que modelan fenomenos particulares o pueden ser cantidadesabstractas.

Ejemplos:

Caida de un cuerpo:

s =1

2gt2 + v0t

Ecuacion en y:3y + 5 = 0

Ecuacion en x:1

x + 1= x + 2

Ecuacion de las lentes:1

f=

1

p+

1

q

1

2 CAPITULO 2. ECUACIONES Y DESIGUALDADES

Ecuacion en z:3z2 + z = 1− z

Capital mas interes:A = P + Prt

Terminologıa Definicion Ejemplo

Ecuacion en x Igualdad que contiene lavariable x

x− x2 = 3x + 1

Solucion o raız,de una ecuacion enx

Un numero, digamos b, queal sustituirlo por x nos dauna igualdad.

b = 2 es solucion de laecuacion:x2 − 16 = −10− x

Resolver unaecuacion en x

Encontrar todas las solu-ciones de la ecuacion

Las soluciones dex2 + x− 2 = 0,

que equivale a resolver(x + 2)(x− 1) = 0,

son x = −2 y x = 1

Teorema 2.1.1 Para todo par de variables P y Q,

PQ = 0 ⇐⇒ P = 0 o Q = 0

Una ecuacion algebraica en x contiene solo expresiones algebraicas comopolinomios, expresiones racionales, radicales y otras.

Ejemplos:

Lineal:2x + 5 = 0

Cuadratica:9x2 − 8x + 1 = 0

Ecuacion en x:1

x + 1= x + 2

2.1. ECUACIONES 3

Expresion racional (reducible a lineal):

3

7x− 2=

6

2x + 1

Expresion racional (reducible a cuadratica):

4

x− 3=

5

6+

5

3x− 9

No es lineal ni cuadratica:

x3 − x2 + x− 1 = 0

2.1.1. Ecuacion lineal

Son ecuaciones que se pueden escribir en la forma

ax + b = 0 (2.1)

donde a 6= 0. Solo poseen como solucion a x = − b

a.

Ejemplo 2.1.2 Resuelva la ecuacion 5x + 3 = −25 + x.

Solucion:

5x + 3 = −25 + x ecuacion original

5x = −28 + x sumamos −3 a ambos lados

4x = −28 sumamos −x a ambos lados

x = −7 dividimos entre 4 a ambos lados

2.1.2. Ecuacion cuadratica

Son ecuaciones que se pueden escribir en la forma

ax2 + bx + c = 0 (2.2)


Esta ecuacion admite tres posibles tipos de soluciones (o raıces): dos numerosreales diferentes; un numero real doble, o dos numeros complejos conjugados, de-pendiendo de que su discriminante

∆ = b2 − 4ac

sea positivo, cero o negativo respectivamente.

Existen varios metodos para encontrar las soluciones de (2.2) y uno de e-llos, el que a continuacion presentamos, se basa en el metodo de “completacion decuadrados”.

Consideramosax2 + bx + c = 0

con a 6= 0. En el caso a = 0, (2.2) se reduce a la ecuacion lineal (2.1). Dividimosentonces ambos lados de (2.2) entre a

x2 +b

ax +

c

a= 0 ,

pasamos a restar el termino independiente

x2 +b

ax = − c

a

y sumamos a ambos lados de la ultima igualdad la mitad del coeficiente que acom-pana a x elevado al cuadrado (“completamos el cuadrado”):

x2 +b

ax +

(b

2a

)2

= − c

a+

(b

2a

)2

(2.3)

El lado izquierdo de (2.3) es un cuadrado perfecto,

x2 +b

ax +

(b

2a

)2

=

(x +

b

2a

)2

(2.4)

y para el lado derecho de (2.3) tenemos

− c

a+

(b

2a

)2

= − c

a+

b2

4a2=−4ac + b2

4a2=

b2 − 4ac

4a2(2.5)

Al igualar (2.4) y (2.5) obtenemos(x +

b

2a

)2

=b2 − 4ac

4a2

2.1. ECUACIONES 5

luego

x +b

2a= ±

√b2 − 4ac

4a2= ±√

b2 − 4ac

2a

y por tanto

x = − b

2a±√

b2 − 4ac

2a=−b±

√b2 − 4ac

2a

Las soluciones van a estar dadas por

x =−b +

√b2 − 4ac

2ay x =

−b−√

b2 − 4ac

2a. (2.6)

y van a depender del signo del discrimante ∆ = b2 − 4ac:

Si ∆ = b2 − 4ac > 0 la ecuacion tiene dos soluciones reales y distintas.

Si ∆ = b2 − 4ac = 0 la ecuacion tiene solo una solucion que es real.

Si ∆ = b2 − 4ac < 0 la ecuacion tiene dos soluciones complejas.

Ejemplo 2.1.3 Resuelva la ecuacion

x + 1

3x + 2=

x− 2

2x− 3

Solucion:

x + 1

3x + 2=

x− 2

2x− 3ecuacion original

(x + 1)(2x− 3) = (x− 2)(3x + 2) pasamos a multiplicar los denominadores

2x2 − x− 3 = 3x2 − 4x− 4 desarrollamos los productos

x2 − 3x− 1 = 0 pasamos todo al lado izquierdo

Al aplicar (2.6) a la ultima ecuacion con a = 1, b = −3 y c = −1 obtenemoslas soluciones

x =3 +√

13

2y x =

3−√

13

2.


2.1.3. Solucion de problemas

Las siguientes son algunas recomendaciones para la solucion de problemas.

Lea cuidadosamente el problema, identificando los datos y la cantidad descono-cida (o incognita).

Relacione los datos conocidos con la incognita a traves de una ecuacion.

Resuelva la ecuacion y compruebe las soluciones obtenidas.

Ejemplo 2.1.4 Una caja sin tapa se elabora recortando cuadrados de 3 cm en lasesquinas de una pieza rectangular de hojalata, cuya longitud es el doble de su ancho.¿Cuales son las dimensiones de la lamina para hacer una caja que tenga un volumende 60 cm3?

Solucion:

Paso 1. identificamos los datos e incognitas delproblema:

Ancho = L cm

Largo = 2L cm

Cortes = 3 cm

Paso 2. Relacionamos los datos y las incognitas atraves de una ecuacion:

Volumen de la caja = base× altura

2.2. DESIGUALDADES 7

Paso 3. Planteamos la ecuacion, la resolvemos yverificamos las soluciones:

3(2L− 6)(L− 6) = 60

L2 − 9L + 8 = 0

(L− 8)(L− 1) = 0

y entonces L = 8 o L = 1. Con L = 1 no es posibleconstruir una caja con las dimensiones pedidas,mientras que con L = 8 sı. La solucion es por tantoL = 8.

2.2. Desigualdades

Una desigualdad es un enunciado en el que dos cantidades o expresiones noson necesariamente iguales. Como ejemplos podemos citar x < 2, a ≤ b + c, 3x2 −x + 5 > 0, etc.

Al sustituir las variables de una desigualdad por numeros podemos obtenerexpresiones verdaderas o falsas. Por ejemplo, al sustituir x = 2 en 4x − 1 > 0obtenemos la proposicion verdadera 7 > 0, mientras que al sustituir x = 0 obtenemosla proposicion falsa −1 > 0.

Si al sustituir un numero en una desigualdad obtenemos una proposicion ver-dadera, se dice que dicho numero es una solucion de la desigualdad. Resolver unadesigualdad signfica encontrar todas sus soluciones.

Algunas desigualdades no poseen soluciones, por ejemplo x2 < 0 no poseesoluciones reales porque todo numero real al cuadrado es mayor o igual a cero.Otras desigualdades como −1 < x < 3 poseen infinitas soluciones, a saber, todonumero real x entre −1 y 3. Al conjunto formado por todas las soluciones de estadesigualdad lo denotamos por (−1, 3) y se le denomina intervalo abierto.

Si a y b son numeros reales tales que a < b, los siguientes son otros posiblestipos de intervalos:

(a, b) = {x ∈ R : a < x < b}.

[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}.

[a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b}.

(a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}.

(a,∞) = {x ∈ R : x > a}.

[a,∞) = {x ∈ R : x ≥ a}.

(−∞, b) = {x ∈ R :< x < b}.

(−∞, b] = {x ∈ R :< x ≤ b}.

(−∞,∞) = {x : −∞ < x <∞}.


Las siguientes propiedades nos ayudaran a resolver desigualdades.

Proposicion 2.2.1 (Propiedades de las desigualdades) Para todo a, b, c ∈ Rse satisfacen las siguientes propiedades.

a2 ≥ 0.

a < b =⇒ a + c > a + b.

c > 0 y a < b =⇒ ac < bc.

c < 0 y a < b =⇒ ac > bc.

a > 0 =⇒ 1

a> 0.

a < 0 =⇒ 1

a< 0.

Ejemplo 2.2.2 Resuelva la desigualdad

x2 − x− 6

1− x≥ 0 .

Solucion:

Factorizamos el numerador y aplicamos la ley de los signos a

(x + 2)(x− 3)

(1− x)≥ 0 .

La imagen presentada a continuacion muestra como cambian los signos paracada una de las expresiones que componen la fraccion.

La solucion esta dada por el conjunto

(−∞,−2] ∩ (1, 3]

2.2. DESIGUALDADES 9

Recordemos que el valor absoluto de un numero real x esta dado por

|x| ={

x si x ≥ 0−x si x < 0

Las siguientes propiedades relacionan el valor absoluto con las desigualdades.

Proposicion 2.2.3 (Desigualdades con valor absoluto)

|x| ≤ a ⇐⇒ −a < x < a

|x| ≥ a ⇐⇒ x ≤ −a o x ≥ a

Estas propiedades nos permiten resolver el siguiente tipo de desigualdades convalor absoluto.

Ejemplo 2.2.4 Encuentre los valores de x que satisfacen∣∣∣∣x + 4

x− 2

∣∣∣∣ < 2 (2.7)

Solucion:

La primera propiedad de la proposicion (2.2.3) nos permite escribir (2.7) como

−2 <x + 4

x− 2< 2

que equivale a

−2 <x + 4

x− 2y

x + 4

x− 2< 2

y resolvemos cada una de estas desigualdades con el metodo grafico mostrado en elejemplo anterior. La solucion total sera la interseccion de las soluciones de cada unade las desigualdades.

Para la primera desigualdad tenemos

0 < 2 +x + 4

x− 2=⇒ 0 <

3x

x− 2

Los cambios de signo para cada una de las expresiones que componen la frac-cion se muestran a continuacion


y el conjunto solucion esta dado por

S1 = (−∞, 0) ∪ (2, +∞) (2.8)

Para la segunda desigualdad tenemos

x + 4

x− 2− 2 < 0 =⇒ 8− x

x− 2< 0

Los cambios de signo para cada una de las expresiones que componen la frac-cion se muestran a continuacion

y el conjunto solucion esta dado por

S2 = (−∞, 2) ∪ (8, +∞) (2.9)

La solucion de (2.7) esta dada por la interseccion de las soluciones (2.8) y(2.9)

S = S1 ∩ S2 = (−∞, 0) ∩ (8, +∞)

2.3. SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES 11

2.3. Sistema de coordenadas rectangulares

Vimos ya como a cualquier numero real se le puede asociar un punto sobre larecta numerica y cualquier punto sobre la recta puede representarse como un numeroreal de manera unica.

En esta seccion veremos como asociar a un par ordenado (x, y) de numerosreales un punto en el plano y viceversa.

Iniciamos introduciendo un par de rectas numericas perpendiculares que secortan en el origen. A la recta horizontal se le denomina eje x y a la recta vertical sele denomina eje y y dividen el plano coordenado en cuatro partes llamadas primercuadrante, segundo cuadrante, tercer cuadrante y cuarto cuadrante que seenumeran en el sentido contrario a las manecillas del reloj.

A cada punto del plano se le puede asignar un par ordenado (a, b) donde a esla coordenada x (absisa) y b es la coordenada y (ordenada). Por ejemplo, al puntoP que aparece en la figura le asignamos el par ordenado (3, 5).


Ası como a un par de puntos a y b de la recta numerica se le puede asignaruna distancia d(a, b) = |b− a|, a un par de puntos P1 y P2 en el plano se les puedeasignar una distancia d(P1, P2) por medio del teorema de Pitagoras.

Proposicion 2.3.1 (Formula de la distancia) La distancia d(P1, P2) entre dospuntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) del plano cartesiano esta dada por

d(P1, P2) =√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 (2.10)

Observemos que d(P1, P2) > 0 y d(P1, P2) = d(P2, P1). Consideremos el si-guiente ejemplo.

Ejemplo 2.3.2 Determine la distancia entre los puntos A(−3, 6) y B(5, 1).

Solucion:

d(A, B) =√

(5− (−3))2 + (1− 6)2

=√

82 + (−5)2

=√

64 + 25

=√

89

Para un par de puntos a y b en la recta numerica podemos encontrar el puntomedio entre a y b por medio de a+b

2. De manera analoga, para un par de puntos P1

y P2 en el plano es posible encontrar el punto medio del segmento de recta que unedichos puntos.

Proposicion 2.3.3 (Formula del punto medio) El punto medio M del segmen-to de recta con extremos en P1(x1, y1) y P2(x2, y2) esta dado por(

x1 + x2

2,y1 + y2

2

)(2.11)

2.4. GRAFICAS DE ECUACIONES 13

Consideremos los siguientes ejemplos.

Ejemplo 2.3.4 Halle el punto medio del segmento con extremos en A(−5, 0) yB(−3,−2).

Solucion:

Por la formula de punto medio (2.11) tenemos(x1 + x2

2,y1 + y2

2

)=

(−5 + (−3)

2,0 + (−2)

2

)= (−4,−1)

Ejemplo 2.3.5 Dado A(−3, 8), encuentre las coordenadas del punto B tal que C(5,−10)es el punto medio del segmento AB.

Solucion:

La incognita del problema es el punto B(x, y). Como C es el punto medio del seg-mento AB, por (2.11)

(5,−10) =

(−3 + x

2,8 + y

2

)por lo cual

5 =−3 + x

2=⇒ 10 = −3 + x =⇒ x = 13 ,

−10 =8 + y

2=⇒ −20 = 8 + y =⇒ y = −28 ,

y por tanto el punto solicitado es B(13,−28).

2.4. Graficas de ecuaciones

Aunque en los ejemplos antes vistos, las ecuaciones resueltas involucraban solouna variable, existe una gran variedad de situaciones donde dos o mas variables serelacionan por medio de una ecuacion.

Las variables relacionadas en una ecuacion pueden representar cantidades quesirven para modelar fenomenos de la vida diaria. Resolver una ecuacion nos puedepermitir modelar fenomenos de interes. Por ejemplo, las soluciones de una ecuacionque relaciona el flujo de temperatura a lo largo de una barra metalica durante eltiempo nos puede permitir conocer la temperatura en un punto de la barra en untiempo futuro.


En ocasiones, la informacion numerica contenida en una ecuacion resulta masilustrativa cuando se presenta por medio de graficas. Podemos citar por ejemplo elCOL20, un indicador de rentabilidad o liquidez que refleja las variaciones de losprecios de las 20 acciones mas liquidas de la Bolsa de Valores de Colombia, dondeel nivel de liquidez de cada companıa determina su ponderacion.

La figura muestra las fluctuaciones del COL20 durante octubre y noviembredel 2008. Su valor inicial es equivalente a 1.000 puntos y su primer calculo se realizael dıa 15 de Enero de 2008.

La grafica de una ecuacion en dos variables x e y es el conjunto de todoslos pares ordenados (x, y) que satisfacen la ecuacion. Por ejemplo el punto (1, 0)pertenece a la grafica de la ecuacion x2 + y2 = 1 mientras que (2, 3) no, puesto que22 + 32 6= 1.

Surge entonces la pregunta de como trazar la grafica de una ecuacion.

Ejemplo 2.4.1 Trace la grafica de la ecuacion y = x + 1.

Solucion:

Ubicaremos algunos puntos de la grafica por medio de la ecuacion. Por ejemplo, six = 1, y = 1 + 1 = 2.

x y−3 −2−2 −1−1 0

0 11 22 3


Ejemplo 2.4.2 Trace la grafica de la ecuacion y = x2 − 1.

Solucion:

En la tabla aparecen algunos de los puntos que utilizamos para trazar la grafica.Por ejemplo, si x = 2, y = 22 − 1 = 3.

x y−2 3−1,5 1,25

1 00 10 −11 0

−1,5 1,252 3

La grafica de la figura anterior es una parabola. El punto mas bajo (0,−1)es el vertice de la parabola.

Ejemplo 2.4.3 Encuentre los puntos de corte de la grafica de la ecuacion y =4x2 − 5 con el eje x y el eje y.

Solucion:

Para los puntos de interseccion con el eje x, tenemos que y = 0 y por tanto

y = 4x2−5 =⇒ 0 = 4x2−5 =⇒ 4x2 = 5 =⇒ x2 =5

4=⇒ x = ±

√5

2

y ası los puntos de corte de la parabola y = 4x2 − 5 con el eje x estan dados por(−√

5

2, 0

)y

(√5

2, 0

).

Para los puntos de interseccion con el eje y, tenemos que x = 0, por lo cual

y = 4x2 − 5 =⇒ y = −5

y por tanto solo hay un corte con el eje y dado por (0,−5).


Ejemplo 2.4.4 Trace la grafica de la ecuacion y = x3.

Solucion:

En la tabla aparecen algunos de los puntos que utilizamos para trazar la grafica.Por ejemplo, si x = 1, y = 13 = 1.

x y−1,5 −3,375−1,2 −1,728−1 −1

0 01 1

1,2 1,7281,5 3,375

Las graficas de las ecuaciones anteriores presentan cierta “simetrıa”. Por ejem-plo, para la parabola y = x2 − 1, su grafica esta dada por el conjunto

G = {(x, y) : y = x2 − 1}

y observemos que la parte izquierda de la grafica (cuando x < 0) coincide con suparte derecha (cuando x > 0). Esto es ası porque

(x, y) ∈ G =⇒ y = x2 − 1 =⇒ (−x)2 − 1 = x2 − 1 = y =⇒ (−x, y) ∈ G .

Se dice que la grafica G de una ecuacion en dos variables x e y es simetricacon respecto al eje y si

(x, y) ∈ G =⇒ (−x, y) ∈ G .

Para la ecuacion y = x3, su grafica esta dada por el conjunto

G = {(x, y) : y = x3}


y observemos la simetrıa de la parte izquierda de la grafica (cuando x < 0) con suparte derecha (cuando x > 0). En este caso

(x, y) ∈ G =⇒ y = x3 =⇒ (−x)3 = −x3 = −y =⇒ (−x,−y) ∈ G .

Se dice que la grafica G de una ecuacion en dos variables x e y es simetricacon respecto al origen si

(x, y) ∈ G =⇒ (−x,−y) ∈ G .

Finalmente, la grafica G de una ecuacion tambien puede ser simetrica conrespecto al eje x si se satisface:

(x, y) ∈ G =⇒ (x,−y) ∈ G .

Como ejemplo consideremos

Ejemplo 2.4.5 Trace la grafica de la ecuacion y2 = x.

Solucion:

2.4.1. Ecuacion de la circunferencia

Sea C(h, k) un punto del plano y r > 0. Una circunferencia con centro enC y radio r es el conjunto de todos los puntos del plano que se encuentran a unadistancia r del punto C. Por consiguiente, un punto del plano P (x, y) esta sobre lacircunferencia si, y solo si, d(P, C) = r, i.e.,√

(x− h)2 + (y − k)2 = r


y por tanto la circunferencia esta formada por todos los puntos del plano (x, y) quesatisfacen

(x− h)2 + (y − k)2 = r2 (2.12)

Ejemplo 2.4.6 Encuentre la ecuacion de la circunferencia que pasa por el puntoP (0, 3) y tiene como centro a C(3, 0).

Solucion:

Conocemos el centro de la circunferencia (h = 3, k = 0) y el radio esta dado porr = d(C(3, 0), P (0, 3)). Luego

r = d(C(3, 0), P (0, 3))

=√

(3− 0)2 + (0− 3)2

= 3√

2

y por tanto

(x− 3)2 + (y − 0)2 =(

3√

2)2

(x− 3)2 + y2 = 18 .

A la ecuacion (2.12) se le denomina ecuacion estandar de la circunferen-cia. En el ejemplo anterior la ecuacion estandar viene dada por (x− 3)2 + y2 = 18


que tambien se puede expresar como

x2 − 6x + y2 − 9 = 0 .

En general, al desarrollar los productos en la ecuacion estandar (2.12), todacircunferencia se puede expresar matematicamente como

x2 + y2 + ax + by + c = 0 . (2.13)

El procedimiento de “completacion de cuadrados” nos permite obtener laecuacion estandar de una circunferenca (2.12) a partir de una ecuacion como en(2.13), como lo ilustra el ejemplo dado a continuacion.

Ejemplo 2.4.7 Encuentre el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuaciones

2x2 + 2y2 − 12x + 4y − 15 = 0 .

Solucion:

Empezamos simplificando la ecuacion (dividimos entre 2 a amabos lados):

x2 + y2 − 6x + 2y − 15

2= 0 ,

agrupamos

(x2 − 6x) + (y2 + 2y) =15

2,

completamos cuadrados(x2 − 6x + 9

)+(y2 + 2y + 1

)=

15

2+ 9 + 1 ,

por lo cual

(x− 3)2 + (y + 1)2 =35

2

y por tanto, al comparar con la ecuacion estandar (2.12) obtenemos que el centrode la circunferencia esta dado por

C(h, k) = C(3,−1)

y su radio esta dado por

r =

√35

2=

√70

2


2.4.2. Rectas

Consideraremos rectas en el plano cartesiano y utilizaremos los metodos al-gebraicos ya vistos para estudiar sus propiedades. Dada una recta ` en el plano,buscamos una ecuacion general cuya grafica corresponda con ` y recıprocamente,dada una ecuacion de una recta, nos interesa determinar su grafica.

En el ejemplo (2.4.1) se muestra una recta que corresponde a la grafica de laecuacion y = x+ 1. Esta ecuacion es un caso particular de una ecuacion general quea continuacion veremos.

Sea ` una recta no paralela al eje y y P1(x1, y1) y P2(x2, y2) puntos distintossobre `. La pendiente m de ` se define como

m =y2 − y1

x2 − x1

Si ` es paralela al eje y, la pendiente no esta definida. La pendiente nos indicaque tan inclinada puede estar una recta. Rectas horizontales tienen pendiente cero,mientras que para rectas verticales no esta definida la pendiente. El siguiente ejemploilustra algunas de las situaciones que se pueden presentar.

Ejemplo 2.4.8 Trace la recta que pasa por cada par de puntos y encuentre su pen-diente m.

1. P1(−4,−1) y P1(3, 4).

2. P1(−3, 3) y P2(1, 1).

3. P1(−3, 3) y P2(2, 3).

4. P1(−2, 1) y P2(−2, 3).

Solucion:


(a) m = 4−(−1)3−(−4) = 5

7(b) m = 1−3

1−(−3) = −24 = − 1

2

(c) m = 2−22−(−3) = 0 (d) Pendiente no definida

La pregunta ahora es como hallar la ecuacion de una recta. Supongamos que` es una recta no vertical que pasa por P1(x1, y1) con pendiente m y que P (x, y) esun punto arbitrario de ` distinto de P1. Por la definicion de pendiente,

m =y − y1

x− x1

y por tanto

y − y1 = m(x− x1) . (2.14)

A la ecuacion (2.14) se le conoce como la forma punto-pendiente para laecuacion de una recta.

Ejemplo 2.4.9 Encuentre la ecuacion de la recta que interseca al eje y en 2 y tienependiente m = −4/5.


Solucion:

La recta pasa por el punto P1(0, 2). De (2.14) con m = −4/5 obtenemos

y − 2 = −4

5(x− 0) =⇒ y = −4

5x + 2 .

La forma punto-pendiente (2.14) de una recta puede epxresarse como

y − y1 = m(x− x1) =⇒ y − y1 = mx−mx1 =⇒ y = mx + y1 −mx1︸︷︷︸constante

y obtenemos una ecuacion de la forma

y = mx + b (2.15)

con b = y1 −mx1 constante. A (2.15) se le llama forma pendiente-interseccionpara la ecuacion de la recta. Cuando x = 0, y = b y por tanto b representa el puntode interseccion de la grafica con el eje y. En el ejemplo anterior la recta corta al ejey en (0, 2).

2.5. Funciones

Las funciones son un tipo de correspondencia matematica que establece unarelacion entre elementos de dos conjuntos.

Podemos encontrar situaciones por ejemplo en las que se establecen diversostipos de relaciones:

A cada ciudadano se le asigna un unico numero de identificacion (cedula, etc.)

A cada producto en un supermercado se le asigna un numero (codigo de bar-ras).

A cada punto del espacio en una habitacion se le asigna una temperatura.

Una funcion f de un conjunto X en un conjunto Y es una correspondenciadenotada por

f : X → Y

tal que a todo elemento x ∈ X le asigna exactamente un elemento y ∈ Y .

Al conjunto X (“conjunto de salida”) se le denomina dominio de la funcionmientras que al conjunto Y (“conjunto de llegada”) se le denomina codominio. A

2.5. FUNCIONES 23

un elemento x ∈ X del dominio se le denomina argumento de la funcion f y elelemento que se le asigna a x se le denomina la imagen de x a traves de f y sedenota por f(x).

El conjunto de todas las imagenes de una funcion es un subconjunto del codo-minio Y llamado rango de la funcion y esta dado por

R = {f(x) : x ∈ X} .

y se le acostumbra a denotar por f(X).

Dos funciones f y g son iguales si tienen los mismos dominios y codominiosy si f(x) = g(x) para todo x en el dominio.

Consideremos los siguientes ejemplos.

Ejemplo 2.5.1

Dominio = X = {1, 2, 3, 4}.

Codominio = Y = {a, b, c, d}.

Rango = f(X) = {b, d}.

Los valores de la funcion vienen indica-dos por las flechas:

f(1) = b, f(2) = c, f(3) = d y f(4) = b .

En este ejemplo dos elementos distintos del dominio tienen la misma imagen:f(1) = f(4) = b, mientras que a ningun elemento del dominio se le asigno el elementoa ∈ Y del codominio. Esta correspondencia es una funcion.

Ejemplo 2.5.2

En este ejemplo al elemento 1 ∈ X no se leasigno elemento alguno en Y y por tanto estacorrespondencia no es una funcion. Lo mismoocurre con el elemento 4 ∈ X.


Ejemplo 2.5.3

En este ejemplo a diferencia del anterior, a to-do elemento en X se le asignan elementos enY sin embargo al elemento 3 ∈ X se le asignandos elementos distintos en Y y por tanto estacorrespondencia no es una funcion.

Ejemplo 2.5.4 Considere la funcion f : R→ R tal que f(x) = −x2 + 4. Evalue lafuncion en los puntos a continuacion pedidos y determine el rango de la funcion.

f(−1)

f(√

2)

f(−x)

f(a + b)

f(a + h)− f(a)

h

Solucion:

f(x) = −x2 + 4 implica

f(−1) = −(−1)2 + 4 = −1 + 4 = 3

f(√

2) = −(√

2)2 + 4 = −2 + 4 = 2

f(−x) = −(−x)2 + 4 = −x2 + 4 = f(x)

f(a + b) = −(a + b)2 + 4 = −a2 − 2ab− b2 + 4

y para el ultimo punto

f(a + h)− f(a)

h=−(a + h)2 + 4− (−a2 + 4)

h

=−a2 − 2ah− h2 + 4 + a2 − 4

h

=−2ah− h2

h=

h(−2a− h)

h= −2a− h .

2.5. FUNCIONES 25

Finalmente, como x2 ≥ 0 para todo x ∈ R,

−x2 ≤ 0 =⇒ x2 + 4 ≤ 4

y por tanto el rango de la funcion es el conjunto de todos los reales positivos menoreso iguales a cuatro:

(−∞, 4)

Si una funcion se define por medio de una expresion tipo y = f(x), comoen el ejemplo anterior, y no se especifique el dominio de la misma, asumieremosque este viene dado por el conjunto de todos los valores de x para los cuales f(x)este definida.

Ejemplo 2.5.5 Determine el dominio de la siguientes funciones.

g(x) = x2h(x) =

3

x2 − 3f(x) =

√x + 5

Solucion:

g(x) = x2.

El dominio de g es R y su rango (o imagen) es R+ ∪ {0}.

h(x) =3

x2 − 9.

Su dominio son todos los reales, excepto aquellos que hacen que el denominadorsea 0. Es decir,

{x ∈ R : x 6= 3 o x 6= −3}.

f(x) =√

x + 5.

El dominio de f son los reales x tales que x + 5 ≥ 0. Es decir,

{x ∈ R : x ≥ −5} = [−5, +∞)

clase 2 { ecuaciones, desigualdades y...

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