1.- distancia entre dos puntos - fcfm · 2. hallar los puntos de intersección de la parábola =...

Laboratorios Geometría Analítica Enero 2020

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1.- Distancia entre dos Puntos

I. Verificar si los siguientes puntos dados son o no colineales:

1. A (a,0), B (2a, -b), C (-a,2b)

2. A (0,6), B (2,7), C (-2,3)

II. Indique si los puntos dados forman un triángulo rectángulo, isósceles, equilátero o

escaleno. Y obtener el perímetro para cada triángulo. Si es un triángulo rectángulo

calcular su área.

1. A (2, -2), B (-8, 4), C (5,3)

2. D (0,9), E (-4, -1), F (3,2)

3. G (-2, -1), H (2,2), I (5, -2)

4. 𝐽 (2,5), 𝐾 (8, -1), 𝐿 (10,7)

III. Resuelve los siguientes problemas:

1. Sea A (0,4), B (0,-2) encuentre el punto C de ordenada 2 tal que su distancia al punto

A es la mitad de la distancia del punto B al C.

2. Tres vértices de un rectángulo son los puntos A (2, -1), B (7,-1) y C (7,3). Hallar el

cuarto vértice y el área del rectángulo.

3. Encuentre el punto 𝐴 (−𝑥,𝑥

3) tal que la distancia que hay del punto B al C es el doble

de la distancia que hay del punto A al punto B, siendo 𝐵 (2,1) 𝑦 𝐶 (0,−3).


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2.- Pendiente y Razón

I. Hallar la pendiente e inclinación de la recta que pasa por los puntos dados.

1. B (2, √3) , C (1,0)

2. E ( -1,2), F (3,6)

II. Hallar los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices son los puntos dados.

1. A (2,7), B (0,-2), C (3,5)

2. D (4,2), E (0,1), F (6,-1)

III. Resuelve los siguientes problemas:

1. Las coordenadas de los puntos medios de los lados de un triángulo A (2,5),

B (4,2), C (1,1). Hallar las coordenadas de sus vértices.

2. Hallar la pendiente de la recta que forma un ángulo de 60° con la recta que pasa

por A (2,7) B (5,3).

3. La pendiente de una recta pasa por el punto A (2,3) es 3/5. Sitúa 2 puntos sobre

la recta que disten 6 unidades del punto A.

IV. Hallar las coordenadas del punto P (x, y) que divide el segmento determinado por

P1 y P2 en la razón r = 𝑃1 𝑃→

𝑃 𝑃2→

donde:

𝑃1(-3,2) 𝑃2 (4,3) 𝑟 =2

5

V. Demostrar que las rectas que unen los puntos medios de los lados adyacentes del

cuadrilátero A (-3,2), B (4,3), C (7,-6), D (-5,-4) forman otro cuadrilátero cuyo

perímetro es igual a la suma de las diagonales del primero.


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3.- Gráficas de Funciones

I. Estudiando intercepciones con los ejes coordenados, simetrías, extensiones y

asíntotas, trazar la gráfica de la ecuación dada.

1. 𝑦 = (2 − 𝑥)3

2. 𝑦 = 𝑥3 + 𝑥2 − 9𝑥 − 9

3. 𝑥2 + 4𝑥 + 3𝑦 + 1 = 0 4. 𝑦(𝑥 + 1)(𝑥 − 2) − 2 = 0

II. En el sistema de coordenadas trazar la gráfica de las ecuaciones dadas. Resolver el

sistema algebraicamente.

1. 𝑦2 − 2𝑥 − 5 = 0 ; 3𝑥2 − 2𝑦2 − 1 = 0

2. 2𝑦 + 3𝑥 − 5 = 0 ; 𝑥2 − 2𝑥 − 2𝑦 + 4 = 0


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4.- Lugar Geométrico I. Resuelve según se indique.

1. Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera

que la diferencia de los cuadrados de sus distancias a los dos puntos A(2, -2) y

B(4, 1) es siempre igual a 12. (Dos casos)

2. Hallar la ecuación del lugar geométrico de P(x, y) tal que su distancia al punto

A(-2, -4) siempre es igual a 8.

3. Encuentre la ecuación del lugar geométrico tal que la distancia del punto P(x, y)

al punto B(1, 1) es el doble de la distancia del punto C(2x, 2y) al punto D(3, 3).

4. Dados los puntos A(0,-2), B(0,4) y C(0,0). Hallar la ecuación del lugar

geométrico de los P(x, y) puntos de manera que el producto de las pendientes

de PA y PB sea igual a la pendiente PC.

5. Encontrar la ecuación del lugar geométrico de los puntos (𝑥,𝑦) que equidistan de 𝐴(1,3) y de 𝐵(−2,0).

6. Hallar la ecuación del lugar geométrico de (𝑥, 𝑦) tal que la distancia del punto 𝑃 al punto 𝐴(−3,2) es siempre igual al doble de la distancia de 𝑃(𝑥,𝑦) al 𝑒𝑗𝑒 𝑥.


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5.- Línea Recta I. Determinar la ecuación de la recta que satisface las siguientes condiciones y

expresarla en la forma general.

1. Pasa por los puntos 𝐴 (5,1

2) 𝑦 𝐵 (1,

3

4)

2. 𝑚 = −1

2 y pasa por C (-2, 5)

3. 𝑚 = 6 ; 𝑏 =−3

2 (ordenada en el origen)

4. Interseca a los ejes X y Y en 3

2 y

5

3, respectivamente.

II. Resuelve los siguientes problemas.

1. Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es -4, y que pasa por el punto de

intersección de las rectas 2𝑥 + 𝑦 − 8 = 0 y 3𝑥 − 2𝑦 + 9 = 0

2. Halle el valor de “k” tal que 𝑘𝑥 + (2𝑘 − 3)𝑦 = −𝑘2 sea perpendicular a

4𝑥 − 3𝑦 = 8.

3. Dadas las rectas 𝑙1: 𝑎𝑥 + (2 − 𝑏)𝑦 = 23 y 𝑙2: (𝑎 − 1)𝑥 + 𝑏𝑦 + 15 = 0. Halle “a” y

“b” talque las dos rectas pase por (2, -3).

4. Halle el ángulo formado por las rectas 4𝑥 − 9𝑦 + 11 = 0 y 3𝑥 + 2𝑦 − 7 = 0.

III. Para el triángulo cuyos vértices son los puntos A (-6, 6), B (1, 5) y C (-1, -3)

Halle lo siguiente:

1. Las ecuaciones de sus alturas.

2. Las ecuaciones de sus medianas.

3. las ecuaciones de sus mediatrices.

IV. Determine si las siguientes dos rectas son paralelas, perpendiculares, coincidentes o si sólo se tocan en un punto. 1. 𝑙1: 5𝑥 − 𝑦 − 11 = 0 ; 𝑙2: 𝑥 + 3𝑦 + 1 = 0 2. 𝑙1: 𝑥 − 2𝑦 − 1 = 0 ; 𝑙2: 2𝑥 + 𝑦 − 4 = 0 3. 𝑙1: 3𝑥 − 𝑦 = 5 ; 𝑙2: 6𝑥 − 2𝑦 + 7 = 0


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6.- Familia de Rectas

I. Halle la forma normal de las siguientes rectas.

1. 4𝑥 + 𝑦 + 16 = 0

2. 3𝑥 − 4𝑦 − 10 = 0

3. 2𝑥 − 3𝑦 = 0

4. 11𝑥 − 12𝑦 + 1 = 0

II. Escriba la ecuación de la familia de rectas que cumplen con la condición dada.

1. Tiene pendiente igual a −1

2.

2. Pasan por el punto (-3,2).

3. La ordenada al origen es -4.

4. La suma de las coordenadas al origen sea 6.

5. De abscisa al origen igual a 3

2

III. Sin obtener el punto de intersección de las rectas.

1. Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas

𝑥 − 3𝑦 + 1 = 0 y 2𝑥 + 5𝑦 − 9 = 0 cuya distancia al origen es 2.

IV. Resuelva los siguientes problemas.

1. Halle la ecuación de la familia que pasa por el punto de intersección de las rectas

2𝑥 + 𝑦 + 2 = 0 y 𝑥 + 𝑦 + 1 = 0.

2. Halle el elemento de la familia que es perpendicular a la recta 3𝑥 − 2𝑦 = −5.

3. Halle el elemento de la familia que pasa por el punto (-1,3).

4. Halle el elemento de la familia que es paralelo a la recta 4𝑥 + 3𝑦 + 5 = 0.

5. Halle el elemento de la familia cuya distancia al origen es 1.


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7.- Circunferencia

I. Determine si la ecuación dada representa o no una circunferencia. Si lo es, halle el

centro, el radio y su gráfica.

1. 13𝑥2 + 13𝑦2 + 24𝑥 − 68𝑦 − 30 = 0

2. 𝑥2 + 𝑦2 − 16𝑥 − 48𝑦 + 160 = 0

3. 2𝑥2 + 2𝑦2 + 4𝑥 = 0

4. 𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑦 = 0

II. Hallar la ecuación de la circunferencia descrita por las condiciones dadas. 1. Tiene su centro en C (4,2) y pasa por A (7,4). 2. Es tangente a las rectas 5𝑥 − 12𝑦 + 5 = 0 , 4𝑥 + 3𝑦 − 3 = 0 y tiene su centro

sobre la recta 7𝑥 − 2𝑦 − 1 = 0. 3. Pasa por los puntos A (5,3), B (6,2), C (3,-1). 4. Pasa por el punto (-2,1) y es tangente a la recta 3𝑥 − 2𝑦 − 6 = 0 en el punto

(4,3). 5. Un diámetro es el segmento determinado por los puntos P (5,-1) y Q (-3,7).

III. Resuelva los siguientes problemas.

1. Halle la ecuación de la familia de circunferencias que pasan por las

intersecciones de las circunferencias 𝑥2 + 𝑦2 − 8𝑥 − 6𝑦 + 17 = 0 y 𝑥2 + 𝑦2 − 18𝑥 − 4𝑦 + 67 = 0 a. Halle el elemento de la familia que pasa por el punto (-8,5) b. Halle el elemento de la familia cuyo centro esta sobre el eje Y. c. Halle el elemento de la familia cuyo centro esta sobre el eje X. d. Halle el elemento de la familia cuyo centro está en la recta y=x e. Halle el eje radical.

2. Dada la circunferencia 𝑥2 + 𝑦2 = 5, halle los valores de k para los cuales las

rectas de la familia 𝑥 − 2𝑦 + 𝑘 = 0. a. Cortan la circunferencia en dos puntos distintos. b. Son tangentes. c. No se intersectan con la circunferencia.


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8.- Traslación de Cooordenadas

I. Determinar las coordenadas del punto P cuando los ejes coordenados son

trasladados al nuevo origen O’.

1. 𝑃 (-3,2); 𝑂′ (4,1)

2. 𝑃 (3

2𝜋,1

3𝜋); 0′ (-𝜋, 𝜋)

3. 𝑃 (3√2, √2); 0′ (1 + 3√2,−1 + √2)

II. Hallar la transformada de la ecuación dada cuando los ejes son trasladados al nuevo

origen O’ indicado.

1. 𝑥 − 2𝑦 − 4 = 0 ; 𝑂′(3, −2)

2. 2𝑦2 + 3𝑥2 + 8𝑦 + 8 = 0 ; 𝑂′(−2,1)

3. 2𝑥 + 2𝑦 + 7 = 8 ; 𝑂′(1,1

2)

III. Transforme la ecuación dada en otra dada en otra que no contenga términos de

primer grado utilizando una traslación de ejes.

1. 9𝑥2 + 4𝑦2 − 8𝑦 − 32 = 0

2. 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 − 6𝑦 − 3 = 0 3. 𝑥𝑦 + 𝑥 − 2𝑦 = 0

4. 𝑥2 + 4𝑦2 − 8𝑥 − 8𝑦 + 5 = 0


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9.- Parábola

I. En cada uno de los siguientes ejercicios, hallar las coordenadas del foco, vértice la

ecuación de la directriz y la longitud del lado recto para la ecuación dada, y dibujar

la gráfica correspondiente.

1. 𝑦2 − 8𝑥 − 8𝑦 + 64 = 0

2. 6𝑦2 − 12𝑥 = 0

3. 𝑥2 − 2𝑥 − 6𝑦 − 5 = 0

4. 𝑥2 − 6𝑥 − 4𝑦 = −17

II. Hallar la ecuación de la parábola que satisface las condiciones dadas.

1. F (-3,-2), V (-3,-5)

2. F (2,2), La directriz es la recta 𝑦 = 1

3. V(3,3

5) y directriz la recta 𝑦 − 2 = 0

4. V (3, -4), eje paralelo al eje x, y pasa por (2, -5)

III. Resuelva los siguientes problemas.

1. Halle la ecuación de la recta tangente a la parábola 𝑦2 − 2𝑥 + 2𝑦 + 3 = 0 que es perpendicular a la recta 2𝑥 + 𝑦 + 7 = 0.

2. Hallar los puntos de intersección de la parábola 𝑦 = 𝑥2 − 𝑥 − 1 y la recta 𝑦 =𝑥 + 1.

3. Con referencia a la parábola 𝑥2 + 4𝑥 − 𝑦 + 3 = 0 encuentre los valores de “k”

para los cuales las rectas de la familia 3𝑥 + 𝑦 = 2𝑘 cumplen con las condiciones

requeridas:

a. Cortan a la parábola en dos puntos diferentes.

b. Son tangentes a la parábola.

4. Representa la siguiente región:

1. 𝑦 − 𝑥2 + 4 < 0 ; 𝑦2 + 𝑥 < 0


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10.- Elipse

I. Reducir la educación dada la forma ordinaria de la ecuación de la elipse, hallar sus

elementos y trazar la gráfica correspondiente.

1. 27𝑥2 + 𝑦2 + 108𝑥 − 10𝑦 + 52 = 0

2. 9𝑥2 + 𝑦2 − 18𝑥 + 1 = 2𝑦

3. 𝑥2 + 27𝑦2 − 6𝑥 + 162𝑦 + 171 = 0

II. Hallar la ecuación de la elipse que satisface las condiciones dadas:

1. 𝑒 =1

6 , V (3,

−5

2), C (3,−1).

2. V (-1,3), V’ (5,3) y 𝐿𝐿𝑅 = 8

3 .

3. F (0, √7), F’ (0, √−7), longitud del eje menor √3.

4. Pasa por los puntos P1 (2, 1), P1 (-1,3), P1 (2, 5), P1 (5, 3) y sus ejes son paralelos

a los ejes coordenados.

III. Resuelve los siguientes problemas.

1. Halle la ecuación de la parábola con vértice en el centro de la elipse

3𝑥2 + 2𝑦2 + 24𝑥 − 32𝑦 + 17 = 0, se abre hacia abajo y pasa por el punto (-2,0).

2. Halle la ecuación de la recta tangente a la elipse 4𝑥2 + 5𝑦2 = 8 que es paralela

a la recta 2𝑥 − 𝑦 = 2.

3. Hallar los puntos de intersección de la elipse 𝑥2 + 4𝑦2 = 20 y la recta 𝑥 + 2𝑦 = 6.


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11.- Hipérbola

I. Reducir la ecuación a la segunda forma ordinaria de la ecuación de la hipérbola,

hallar sus elementos y trazar su gráfica.

1. 9𝑦2 − 16𝑥2 − 54𝑦 + 64𝑥 − 127 = 0.

2. 3𝑥2 − 2𝑦2 + 12𝑥 + 2𝑦 − 14 = 0.

3. 7𝑦2 − 25𝑥2 = 175.

4. 16𝑥2 − 4𝑦2 − 160𝑥 + 24𝑦 + 300 = 0.

II. Encuentre la ecuación de la hipérbola que satisface las siguientes condiciones:

1. V (1, 7), V’ (1, -3) y F (1, 9), F’ (1, -5).

2. C (-5, 3), V (-9,3) y una asíntota 𝑥 + 2𝑦 − 1 = 0.

3. Eje focal 6 y distancia focal 2√34.

4. V (-4, 1), C (-4, 5) y excentricidad 5

4.

III. Resuelva los siguientes problemas:

1. Halle la ecuación de la recta tangente a la hipérbola 7𝑥2 − 12𝑦2 = −80 que es

perpendicular a la recta 6𝑥 − 𝑦 = 4.

2. Determine los valores de “m” para que la recta 𝑦 =5𝑥

2+𝑚 cumpla con las

condiciones dadas:

a. Corte a la hipérbola 𝑥2

9−𝑦2

36= 1.

b. Es tangente a ella.


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12.- Ecuación General de Segundo Grado

I. Halle la transformada de la ecuación dada cuando los ejes coordenados se giran el ángulo indicado.

1. 2𝑥2 + 𝑦2 + 2√3𝑥𝑦 + 4𝑦 = 2 ; 𝜃 =𝜋

6

2. 𝑥 − 𝑦 = 3 ; 𝜃 =𝜋

3

3. 2𝑥2 + 9𝑦2 − 24𝑦 + 5𝑥 = 3 ; 𝜃 =sin-1(4

5).

II. Mediante una rotación de los ejes coordenados transforme la ecuación dada

en otra que no contenga termino en "𝑥𝑦". 1. 2𝑥2 + 2𝑦2 + 2𝑥𝑦 = 3

2. 3𝑥2 + 𝑦2 + 2√3𝑥𝑦 + 4𝑦 = 2 3. 2𝑥2 − 4𝑥𝑦 + 5𝑦2 + 2𝑥 + 3𝑦 = 18

III. Identifique el tipo de cónica representado por la ecuación dada. Reduzca la

ecuación a su forma canónica y trace la gráfica correspondiente. 1. 4𝑥2 − 24𝑥𝑦 + 11𝑦2 + 56𝑥 − 58𝑦 + 95 = 0

2. 3𝑥2 − 2𝑥𝑦 + 3𝑦2 + 2√2𝑥 − 6√2𝑦 + 2 = 0 3. 3𝑥2 − 4𝑥𝑦 − 4𝑦2 + 16𝑥 + 16𝑦 − 12 = 0

4. 7

2𝑥2 + 𝑥𝑦 +

7

2𝑦2 + √2𝑥 − √2𝑦 = 0

5. 𝑥2 + 6𝑥𝑦 + 9𝑦2 = 0

1.- distancia entre dos puntos - fcfm · 2. hallar los puntos de intersección de la parábola =...

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