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Matemáticas 2 Enero 2016

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Laboratorio #1 Línea Recta I.-Determina la ecuación de la recta que satisface las siguientes condiciones, exprésala en la forma general además de trazar su gráfica.

1) Pasa por el punto (1,5) y tiene pendiente 2 . 2) Pasa por los puntos (-3,-1) y (2,-6) . 3) Pendiente igual a -3 e intercepción con el eje y en -2 . 4) Intercepciones con el eje x y el eje y, respectivamente 2 y -3 .

5) Intercepciones con el eje X y el eje Y, respectivamente − 12⁄ y 3

4⁄ .

II.-Resuelve.

1) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (-6,-3) y tiene un ángulo de inclinación de 45° .

2) Encuentra la ecuación de la recta que pasa por (1, 4) y es paralela a la recta 3𝑥 −

2𝑦 = 40 . 3) Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto (-1,-3) y es perpendicular a la

recta 3𝑥 − 4𝑦 + 11 = 0 . III.-Determina si los siguientes pares de rectas son: paralelas, perpendiculares, coincidentes o se cortan en un punto.

1) 𝑙1: 5𝑥 + 𝑦 − 2 = 0 𝑙2: 10𝑥 + 2𝑦 − 8 = 0

2) 𝑙1: 5𝑥 − 𝑦 − 11 = 0

𝑙2: 𝑥 + 3𝑦 + 1 = 0 3) 𝑙1: 𝑥 − 2𝑦 − 1 = 0

𝑙2: 2𝑥 + 𝑦 − 4 = 0


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Laboratorio #2 Circunferencia I.-Determina si la ecuación dada representa o no una circunferencia. Si lo es hallar el centro, el radio y su gráfica.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

II.- Encuentra la ecuación de la circunferencia dadas las siguientes condiciones.

1) Pasa por lo puntos (0, 0), (3, 6), (7, 0). 2) Un diámetro es el segmento determinado por lo puntos (1,3) y (-1,4). 3) Tiene su centro en (1,1) y pasa por el punto (3,6). 4) Un diámetro es el segmento determinado por los puntos (–2, 6) y (4, –2).


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Laboratorio # 3 Cónicas I.-Encuentre el vértice, el foco y la longitud del lado recto de la parábola dada y además traza su gráfica.

1) 𝑦2 = 12 2) 𝑦2 + 4𝑥 = 7 3) 𝑦2 = 100𝑥 4) 𝑦2 + 14𝑦 + 4𝑥 + 45 = 0

5) 𝑦2 + 8𝑥 = 0 6) 9𝑥2 + 24𝑥 + 72𝑦 + 16 = 0 7) 𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥 + 2

II.- Determina las coordenadas de los vértices de la elipse dada y traza su gráfica.

1) 𝑥2

9+

𝑦2

4= 1 3) 4𝑥2 + 𝑦2 = 16

2) 9𝑥2 + 16𝑦2 + 54𝑥 − 32𝑦 − 47 = 0

III.- Traza la gráfica de la hipérbola dada y encuentra las coordenadas de los vértices.

1) 𝑥2

9−

𝑦2

4= 1 3) 𝑦2 − 4𝑥2 = 16

2) 25𝑥2 − 16𝑦2 + 250𝑥 + 32𝑦 + 109 = 0 4) 4𝑦2 − 𝑥2 + 40𝑦 − 4𝑥 + 60 = 0 IV.-Para cada una de las siguientes ecuaciones: Identifica el tipo de cónica que representa y traza la gráfica. 1) 4𝑦2 − 48𝑥 − 20𝑦 = 71 2) 𝑥2 + 4𝑦2 − 6𝑥 + 16𝑦 + 21 = 0 3) 4𝑥2 − 9𝑦2 + 32𝑥 + 36𝑦 + 64 = 0 4) x2 – 2y2 + 6x + 4y + 5 = 0 5) 𝑦2 − 4𝑦 + 8𝑥 = 28 6) 4𝑦2 + 8𝑥2 − 4𝑦 − 24𝑥 = 13

7) 𝑥2 + 10𝑥 − 20𝑦 + 25 = 0


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Laboratorio # 4 Desigualdades I.-Encuentre los valores de x que satisfacen simultáneamente las 2 condiciones dadas. 1) x – 5 > 3 - 4x y 2x + 1 < 3x - 1 2) x - 2/3 > 2x + 4/3 y x + 4 < 3 3) 4x + 10 > 4 - 2x y x + 1/2 < 2 + x/4 4) 6x + 3 > 5 y 7x + 10 > 0 II.- Determina los valores de “x” que satisfacen al menos una de las condiciones indicadas. 1) 2x – 5 > – 4 ó 3x + 9 < 3 2) 6x + 3 > -6 ó x + 5 < 0 3) 5x + 3 < 2 ó 5x + 6 < -3 4) 6x + 4 > 3 ó x + 2 > 5

III.- Resuelve las siguientes inecuaciones.

1) 3𝑥 + 5 ≥1

4(𝑥 − 2)

2) -4 < 1-x 3

3) 1 ≤2𝑥+14

3< 2

4) 𝑥2 − 4𝑥 ≤ 0

5) 1

3𝑥−5< 2

6) |2x - 3| < 5 7) |3 − 4𝑥| ≥ |4𝑥|

8) 10

7𝑥 + 2 < −

1

5−

4

7𝑥

9) x 3x+2 x+6 10) 6x2 – 5x + 1 > 0

11) −𝑥2 − 𝑥 > 14⁄

12) 𝑥

𝑥−5≥

1

4

13) |4𝑥

3+ 2| ≥ 2

14) 𝑥2 ≤ 9


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Laboratorio #5 Funciones I.- Determina cuales de las siguientes gráficas representan una función.

1) 3)

2) 4)

II.- Determina si la ecuación dada, representa una función. 1) – x2 + 3 – y = 0 4) – 3x + 2 = 2y 2) y = 2x + 3y 5) 𝑥2 + 𝑦2 = 4 3) 9𝑥2 + 4𝑦2 = 36 III.- Determina el dominio de las funciones siguientes.

1) f(x) = 4x + 6 6) 𝑓(𝑥) = −√3𝑥 + 5 − 1 2) f(x) = 3x2 + 2x – 1 7) f(x) = – 4

3) ℎ(𝑥) =5

6𝑥2+𝑥−2 8) 𝑓(𝑥) = √𝑥3 − 4𝑥

3

4) 𝑔(𝑡) = 3𝑡3 + 2 9) f(x) = 2x + 2

5) 𝑓(𝑥) = |𝑥 + 2| + 1 10) 𝑔(𝑥) =𝑥2−6𝑥+5

𝑥−1


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Laboratorio #6 Operaciones con funciones I.- Calcula las funciones 𝑓 + 𝑔, 𝑓 − 𝑔, 𝑓. 𝑔 , 𝑓 ÷ 𝑔, 𝑓°𝑔 especificando el dominio en cada caso. 1) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2 , 𝑔(𝑥)𝑥 − 3 2) 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 5 , 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 1

3) 𝑓(𝑥) =𝑥+1

𝑥−1 , 𝑔(𝑥) = 1

𝑥⁄

4) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1 , 𝑔(𝑥) = 3𝑥 − 2

5) 𝑓(𝑥) =1

𝑥+1 , 𝑔(𝑥) =

1

𝑥−2

II.- Para la función dada determina f(0) y los valores de x para los cuales f(x)=0.

1) 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 2𝑥 + 10

2) 𝑓(𝑥) =2𝑥−3

3𝑥+5

3) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 5𝑥 + 6

4) 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 16

5) f(x) = |x + 5|

6) 𝑓(𝑥) =𝑥2+3

3𝑥+7

7) 𝑓(𝑥) =𝑥2−1

3𝑥+1

III.- Determina si la función dada es par, impar o ninguna de las dos.

1) f(x) = 8

2) 𝑔(𝑥) =2𝑥

𝑥3+1

3) 𝑓(𝑥) = 5𝑥3 − 7𝑥

4)

5) 𝑓(𝑥) = 2𝑥4 − 3𝑥2 + 1

6) 𝑓(𝑤) =5𝑤3

3

7) 𝑓(𝑦) =𝑦2−𝑦

𝑦2+1


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Laboratorio #7 Gráfica de funciones I.- Traza la gráfica de la función dada señalando su dominio y rango. Si es posible encuentra las intersecciones con los ejes coordenados.

1) f(x) = 3x - 1

2) 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 3 + 1 3) 𝑓(𝑥) = −(𝑥 − 3)2 4) f(x) = -|x - 1| + 6

5) 𝑓(𝑥) = {𝑥, 𝑥 < 0

𝑥2, 0 ≤ 𝑥 ≤ 12𝑥, 𝑥 > 1

6) 𝑓(𝑥) = {𝑥 + 4, 𝑥 < 0

4 − 𝑥, 0 ≤ 𝑥 < 4𝑥, −4, 𝑥 ≥ 4

7) 𝑓(𝑡) = cos (𝑡 −𝜋

6)

8) h(x) = |x - 3|

9) 𝑓(𝑥) = {−2 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 32 𝑠𝑖 3 < 𝑥

10) f(x) = sen (2x)

11) g(x)= 1 + 2cos (x)

12) h(x) = 3- sen (x)


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Laboratorio #8 Limites I.- Calcula los siguientes límites. 1) lim

𝑥→4(2𝑥 + 1)

2) lim

𝑥→−4(25)

3) lim𝑥→−1

𝑥2−1

𝑥+1

4) lim𝑦→−3

√𝑦2−9

2𝑦2+7𝑦+3

5) lim

𝑡→8(cos 3 𝜋)

6) lim𝑤→8

√3𝑤 − 8

7) lim𝑥→4

𝑥2−4𝑥

𝑥2−10+7

8) lim

𝑥→02 cos 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥

9) lim𝑥→2

𝑥+2

𝑥−2

10) lim𝑥→3

(𝑥 + 6)5

2(2𝑥 + 2)1

3⁄

11) lim𝑥→2

4𝑥−8

16𝑥2−64

12) lim𝑡→4

√𝑡−2

𝑡−4


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Laboratorio #9 Limites Unilaterales, Infinitos, en el Infinito y continuidad

I.- Calcula los siguientes límites. 1) lim

𝑥→5+|𝑥 − 5|

2) lim𝑥→1

(7

9−𝑥2)

3) lim𝑥→0−

|𝑥|

𝑥

4) lim

𝑥→2−𝑥2 − 4

5) lim𝑥→1+

2

(𝑥−1)2

6) lim𝑥→5−

4

(𝑥+5)3

II.- Traza la gráfica de las siguientes funciones utilizando asíntotas verticales y horizontales.

1) 𝑓(𝑥) =1

𝑥

2) 𝑔(𝑥) =1

𝑥−3

3) 𝐺(𝑥) =𝑥

𝑥2−4

4) 𝑔(𝑥) =1

(𝑥+2)(𝑥−3)

5) ℎ(𝑥) =1

𝑥2

6) 𝐻(𝑥) =𝑥

𝑥+1

7) 𝑓(𝑥) =1

𝑥2−4


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Laboratorio #10 Derivadas I I.- Determina la derivada de las funciones siguientes y simplifica cada resultado. 1) 𝑃(𝑟) = 5𝑟2 + 2𝑥𝑟 + 𝑥4 2) 𝑔(𝑥) = 1 − 2𝑥 − 𝑥2

3) 𝑔(𝑟) = (3 +2

𝑟) (3𝑟 −

1

𝑟2)

4) 𝑔(𝑥) =𝑥2−15𝑥+3

𝑥(𝑥2+2)

5) 𝑔(𝑥) = (2𝑥3 − 3𝑥2)6

6) ℎ(𝑥) =3+

1

𝑥2

2−1

𝑥3

7) 𝑓(𝑠) = √3(𝑠3 − 𝑠2) II.- Resuelve los siguientes problemas.

1) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de y = 9 – x2 que pasa por el punto (2,5) .

2) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de y = 1 – x3, que pasa por el punto

(2,-7) . 3) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de y = 2x2 + 4x que pasa por el

punto (-2,0) .

4) Encuentre una ecuación de la recta normal a la curva 𝑦 = 2 −1

3𝑥2 que sea paralela

a la recta x – y = 0 . 5) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la ecuación 𝑦 = 𝑥3 + 2𝑥2 −

4𝑥 + 5, en la que la recta tangente es: a) horizontal. b) paralela a la recta 2y + 8x – 5 = 0


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Laboratorio #11 Derivadas II I.- Determinar la derivada de las funciones siguientes y simplifica cada resultado.

1) g(x) = tan (x) + cot( x) 2) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 cos(𝑥) − 2𝑥 𝑠𝑒𝑛 (𝑥) − 2 cos( 𝑥) 3) f(x) = 3 sec (x) tan (x)

4) 𝑓(𝑥) =sen( 𝑥)

1−cos(𝑥)

5) 𝑓(𝑥) = (𝑡𝑎𝑛2(𝑥) − 𝑥2)3 6) 𝑓(𝑥) = cot(𝑥) + (𝑡𝑎𝑛𝑥)2

7) 𝑔(𝑥) = csc(𝑠𝑒𝑛(𝑥)) + 2 sec (𝑥)

II.- Usa la diferenciación implícita para obtener .

1) x2 + y2 = 16

2) 1

𝑥+

1

𝑦= 1

3) x2y2 = x2 + y2 4) 4x2 – 9y2 = 1 5) x3 + y3 = 8xy


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Laboratorio #12 Aplicaciones de la Derivada I I.- Para la función dada determina lo siguiente:

a) Sus valores máximos y mínimos relativos . b) Los intervalos donde es creciente y los cuales donde es decreciente. c) Sus puntos de inflexión . d) Los intervalos donde es cóncava hacia arriba y donde es cóncava hacia abajo. e) Traza la gráfica correspondiente.

1) 𝑓(𝑥) =1

4𝑥4 +

4

3𝑥3 + 2𝑥

2) f(x) = 8x3 – 32x 3) f(x) = x3 – 6x2 + 20 4) f(x) = (x - 1)3

5) 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 + 3𝑥2 − 12𝑥 − 4 6) 𝑓(𝑥) = 4𝑥3 − 3𝑥 − 2

7) 𝑓(𝑥) = 𝑥4 −1

3𝑥3 −

3

2𝑥2

8) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 6𝑥2 + 9𝑥 + 1


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Laboratorio #13 Aplicaciones de la Derivada II I.-Resuelve los siguientes problemas.

1) Se quiere diseñar una caja abierta con una lámina cuadrada de 42 cm de lado, cortando cuadrados iguales en cada esquina y doblando hacia arriba los bordes. Encuentra las dimensiones de la caja de mayor volumen que pueda hacerse de esta manera.

2) Se van a usar 200 m de alambre para formar un rectángulo. ¿Cuál es el área máxima

que puedes encerrar y cuáles son las dimensiones? 3) Las páginas de un libro deben contener un área impresa de 216cm², con márgenes

superiores e inferiores de 3cm y los laterales de 2cm. Encuentra las dimensiones de la página para que su área total sea mínima.

4) Un granjero tiene 2400m de material para cercar un terreno rectangular, ¿Cuáles

deben ser las dimensiones del terreno para que el área sea máxima? 5) Una ventana consiste de un rectángulo coronado por un triángulo equilátero.

Encuentra las dimensiones de la ventana con área máxima si su perímetro es de 3m. 6) Supón que eres un granjero y tienes que hacer un corral rectangular junto a un río,

pero solo dispones de 100 m de malla. Asumiendo que a lo largo del río no se requiere cerca, ¿cuáles deberán ser las dimensiones para que tu corral tenga el área máxima?

7) Se van a construir cajas abiertas usando piezas rectangulares de cartón, cortando un

cuadrado en cada esquina y doblando hacia arriba los lados. Las piezas de cartón son de 30 x 40 cm. ¿Cuáles deben ser las dimensiones que permiten obtener el máximo volumen en las cajas?

8) Una página de un libro debe tener 48 pulgadas cuadradas de área impresa. Los

márgenes superior e inferior deben ser de 3 pulgadas y los márgenes laterales de 1 pulgada. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de la página para que el consumo de papel sea mínimo?

9) Encuentra las dimensiones de la lata cilíndrica para jugo que utilice la menor

cantidad de material cuando el volumen del envase es de 32 pulgadas cúbicas. 10) Una persona desea cortar un pedazo de alambre de 1 metro de largo en 2 trozos.

Uno de ellos se va a doblar en forma de circunferencia y el otro en forma de un cuadrado. ¿Cómo debe cortarse el alambre para que la suma de las área se máxima.

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