Centro de Masa

Sólido Rígido

El centro de masa de un sistema de partículas es un punto en el cual parecería estar concentrada toda la masa del sistema.

En un sistema formado por partículas discretas el centro de masa se calcula mediante la siguiente fórmula:

Mm

mm ii

i

iiCM

∑∑∑ ==

rrr

m1

m2

mn

mi

r1

r2 ri

rn

rCM

x

y

z

?==∑∑

i

iiCM m

m rr

m1

m2

mn

mi

r1

r2 ri

rn

rCM

x

y

z

Mm

mm ii

i

iiCM

∑∑∑ ==

rrr

r1

r2 ri

rn x

y

z

Centro de masa de un objeto extendido

rCM

x

y

z

ri

∆mi

El centro de masa de un objeto extendido se calcula mediante la integral:

∫= dmMCM rr 1

El centro de masa de cualquier objeto simétrico se ubica sobre el eje de simetría y sobre cualquier plano de simetría.

Movimiento de un sistema de partículas

Si se deriva respecto al tiempo el centro de masa de un sistema de partícula se obtiene la velocidad del centro de masa:

Mm

dtdm

Mdtd

iiCM

ii

CMCM

∑∑

=

==

vv

rrv 1

El momento total del sistema es:

∑∑ === totiiiCM mM ppvv

La aceleración del centro de masa es:

∑∑ === iii

iCM

CM mMdt

dmMdt

d avva 11

De la segunada ley de Newton:

∑∑ == iiiCM mM Faa

dtdM tot

CMextpaF ==∑

Tomando en cuenta la 3era. Ley de Newton:

El centro de masa se mueve como una partícula imaginaria de masa M bajo la influencia de la fuerza externa resultante sobre el sistema.

� 𝐹𝑖𝑁

𝑖=1= 𝐹𝑅 = �𝑚1𝑎1 + 𝑚2𝑎2 + 𝑚3𝑎3 + ⋯ = 𝑀𝑎?

� 𝑚𝑖𝑎𝑖𝑁

𝑖=1= 𝑀�⃗�𝐶𝐶

xmx iiCM M∑=

1

�𝑚𝑖𝑥𝑖 = 𝑀𝑥𝐶𝐶

xmx iiCM M∑=

1

O bien

Entonces

�𝑚𝑖𝑑𝑥𝑖𝑑𝑑

= �𝑚𝑖v𝑖 = 𝑀𝑑𝑥𝐶𝐶𝑑𝑑

= 𝑀v𝐶𝐶

�𝑚𝑖𝑑v𝑖𝑑𝑑

= �𝑚𝑖a𝑖 = 𝑀𝑑v𝐶𝐶𝑑𝑑

= 𝑀a𝐶𝐶

• Cuando una fuerza actúa sobre un sistema de partículas, este se comporta de forma que el centro de masas se mueve como si toda la masa del sistema de partículas estuviese concentrada en él

Un objeto lanzado puede moverse de manera compleja, pero su centro de masas describe una parábola

Mvmv

dtrdm

M1

dtrd

Mrmr i

gigig

ii

i→

→→→→

→ ∑=⇒∑=⇒

∑=

Mama

dtvdm

M1

dtvd i

gig i

i

→→

→→∑

=⇒∑=

aMFamFF Gextii

extii i

→→→=∑⇒∑=∑=∑

→→

• Para un sistema de partículas m1, m2, ..., mi , cada una de ellas estaría sometida a fuerzas ejercidas por las demás, por lo que se denominan fuerzas internas y fuerzas del exterior del sistema F ext

i

→Fint

i

→

amFFF iexti

intii i

→→→→=+=Por la 2ª ley de Newton

Por el principio de acción y reacción 0Finti =

→Σ

x

y

z m1

m2

m3

m4 G

• El centro de masas es un punto G que se comporta como una partícula material, en la que se concentra toda la masa del sistema, tal que su vector de posición cumple que: rg

→

Mrm

rrmrM igigi

i

→→→→ ∑

=⇒∑= ( M = Σ mi )

Mxmx ii

g∑

=

Mymy ii

g∑

=

Mzmz ii

g∑

=

En los sistemas continuos y homogéneos, el centro de masas coincide con el centro de simetría del sistema

r1→

rg→

r4→

r2→

r3→

1 Centro de masas

Definición: ∑∑

=

ii

ii

i

m

rmr

CM

∑∑

∑∑

∑∑

===

ii

ii

i

ii

ii

i

ii

ii

i

m

zmz

m

ymy

m

xmx CMCMCM

Coord. cartesianas:

Objetos continuos: ∫∫

∫∫

∫∫ ===

dm

zdmz

dm

ydmy

dm

xdmx CMCMCM

Objetos discretos:

YL

YC

ZC

XC

C

Sistema C

O

XL

ZL

Sistema L

∑∑

=

ii

iii

CM m

rmr

m1

m2

m3 m4

m5

m6

y

x r1

r4

r6

CMext

R MaF =)(

CM

Si la FR que actúa sobre el sistema es igual 0,

entonces el Centro de Masa del Sistema se mueve con v= cte, o está en reposo

0 0

sistema

( )M

rm

m

rmtr i

ii

ii

iii

CM

∑∑∑

==

cteVCM = ctePsist =0=extRF

Ejemplo. Se tienen 3 masas iguales en los vértices de un triángulo rectángulo. Calcular el vector C.M.

d

h

a

y

x

y’

x’

y

x rCM

z rM

rdmCM = ∫1

para una distribución continua de masa:

∆mi

r

y

x

m

m

x

-x

y

-y 𝑥𝐶𝐶 =𝑚𝑥 + 𝑚(−𝑥)

2𝑚 = 0

∑∑

=

ii

ii

i

m

xmxCM

∑∑

=

ii

ii

i

m

ymyCM

𝑦𝐶𝐶 =𝑚𝑦 + 𝑚(−𝑦)

2𝑚 = 0

𝑥𝐶𝐶 = 0 𝑦𝐶𝐶 = 0

m1 = σ S1 = 12 σ j2i5,1r1→→→

+=

• Se toman los tres cuadriláteros marcados, se calcula su centro de simetría mediante el corte de sus diagonales y se concentra en dichos puntos la masa de cada placa, que se expresa en función de la densidad superficial de masa σ

m2 = σ S2 = σ m3 = σ S3 = σ

j2i8,114

)j5,3i5,3()j5,0i5,3()j2i5,1(12M

rmr iiG→→

→→→→→→

+=σ

+σ++σ++σ=

∑=

j5,0i5,3r2→→→

+=

j5,3i5,3r3→→→

+=

j2i8,1rG→→

+=

Objetos continuos: ∫∫

∫∫

∫∫ ===

dm

zdmz

dm

ydmy

dm

xdmx CMCMCM

y

x

y’

x’

Centro de masas

Objetos continuos:

Objetos discretos: Ej.

Ej.

Objetos continuos: Ej.

Objetos continuos: Ej. 2 m

4 m

3 m

(11,9)

(10,-3)

(-8,2) 3 g

5 g

4 g

Simetrias y

x Placa (P)

2R R -

Placa Compuesta (C)

y

x Disco (S) =

y

x

𝐹1

𝐹2

��⃗�𝑒𝑒𝑒 = �⃗�1 + �⃗�2 = 0

V = 0?

Rotación

Momento de una Fuerza (Torque)

El análisis del Momento de una fuerza es el análogo rotacional de las leyes de Newton.

Situación Equilibrio (Sist. Inercial) Fuera del equilibrio

Lineal – Las fuerzas pueden estar en equilibio o fuera del equilibrio.

El sistema está en reposo o se mueve con v=cte.

El objeto posee aceleracion, se mueve en la direccion de la fuerza externa

neta (resultante).

Rotación: los momentos pueden estar equilibrados o desequilibrados.

El sistema está en reposo. NO se mueve en círculos.

El objeto posee aceleracion angular, rotando alrededor de un eje en la

direccion del momento externo neto (resultante).

𝜏 = 𝑟 × �⃗�

𝜏 = F . r . senθ 𝜏∥ = r . F . cosθ = 0 𝜏⊥ = r . F . senθ 𝜏 = 𝑥𝐹𝑦 − 𝑦𝐹𝑒

𝜏 = 𝑟 × �⃗�

𝐴 × 𝐵 = −𝐵 × 𝐴

𝜏𝑟𝑒𝑟 = �𝜏 = �𝑟 × �⃗� = 0

�𝐹𝑒 = 0

�𝐹𝑦 = 0 �𝜏𝑧 = 0

A.