09 introduccion sistemas n gl

Universidad Federico Santa María

Departamento de Obras Civiles

Dinámica de Estructuras (CIV–235)

H. Jensen & M. Valdebenito

Introducción a Sistemas de Varios

Grados de Libertad

Introducción

• Hasta el momento, el curso se ha centrado en estructuras que pueden

ser modeladas como sistemas de 1 grado de libertad

• En este capítulo, se introducen los fundamentos del análisis de

estructuras lineales, elásticas modeladas como sistemas de 𝑁 grados

de libertad (𝑁 ≥ 2)

– Se presentan los conceptos de:

Frecuencias naturales

Modos de vibrar

Coordenadas principales

– Ejemplos para sistemas de 2 grados de libertad

• Técnicas para analizar estructuras de varios grados de libertad de

manera sistemática se discuten en unidades posteriores

USM – Dinámica de Estructuras (CIV–235) 2

Objetivos

Modelo de 2 Grados de Libertad

• Considere el modelo de la figura

– 2 masas puntuales unidas entre si por medio de 3 resortes

– 2 grados de libertad (desplazamiento horizontal de cada masa)

– No existe amortiguamiento

– No existe fuerza externa aplicada sobre el modelo; oscilaciones

libres debido a condiciones iniciales (𝑥1 0 = 𝑥1,0, 𝑥 1 0 = 𝑥 1,0 ,

𝑥2 0 = 𝑥2,0, 𝑥 2 0 = 𝑥 2,0 )


Formulación


• Equilibrio de masa 𝑚1

– Suposición: 𝑥2 > 𝑥1

– Ecuación de equilibrio

• Equilibrio de masa 𝑚2 puede ser formulado de manera similar

• Ecuaciones de equilibrio de las 2 masas pueden ser formuladas de

manera matricial


Ecuación Diferencial de Movimiento

(1)


• Alternativamente, las ecuaciones de equilibrio pueden ser expresadas

por medio de la siguiente notación:

– Donde:

𝑀 : matriz de masa

𝐾 : matriz de rigidez

𝑥(𝑡) : vector de desplazamiento


Ecuación Diferencial de Movimiento

(2)


• Para resolver la ecuación diferencial de movimiento, se suponen

soluciones similares a las encontradas para sistemas de 1 grado de

libertad sin amortiguamiento en oscilación libre

• Al sustituir las soluciones propuestas en (3) en la ecuación (1) se

encuentra que:

• El sistema de ecuaciones (4) posee una solución trivial tal que

𝐴1 = 𝐴2 = 0 (no hay oscilación) y soluciones no triviales tal que el

determinante de la matriz asociada es cero


Solución de la Ecuación Diferencial de Movimiento

(3)

(4)

𝜔: Frecuencia natural

de vibración


• Solución no trivial: determinante de la matriz asociada es cero

• Al resolver la ecuación (5) para 𝜔 es posible determinar que:



(5)

(6)


• Caso particular: se asume que las rigideces son tales que 𝑘1 = 𝑘2 = 𝑘 y

que las masas son idénticas (𝑚1 = 𝑚2 = 𝑚). Luego, la frecuencia

natural asume los siguientes valores

• Note que 𝜔1 y 𝜔2 son las frecuencias naturales del sistema. Estas

frecuencias se enumeran tal que ω1 < 𝜔2




• Luego, la solución de la ecuación diferencial de movimiento es:

• O alternativamente:

• Note que la solución involucra 6 incógnitas. Existen 4 condiciones

iniciales (𝑥𝑖 0 = 𝑥𝑖,0, 𝑥 𝑖 0 = 𝑥 𝑖,0 , 𝑖 = 1,2)

• Al sustituir la ecuación (7) en la ecuación (1), es posible determinar que

las amplitudes 𝐴21 y 𝐴11 y por otra parte 𝐴22 y 𝐴12 se encuentran

relacionadas entre si. Por lo tanto, hay 4 incógnitas y 4 condiciones

iniciales



(7)


• Relación entre las amplitudes 𝐴21 y 𝐴11 y las amplitudes 𝐴22 y 𝐴12

– Caso en que no hay relación entre 𝑘1, 𝑘2, 𝑘 , 𝑚1, 𝑚2

– Luego, la solución de la ecuación de movimiento es:



Al sustituir ecuación

(7) en (1)


• Relación entre las amplitudes 𝐴21 y 𝐴11 y las amplitudes 𝐴22 y 𝐴12

– Caso en que 𝑘1 = 𝑘2 = 𝑘 , 𝑚1 = 𝑚2

– Luego, la solución de la ecuación de movimiento es:



Al sustituir ecuación

(7) en (1)


• Solución de la ecuación de movimiento para 𝑘1 = 𝑘2 = 𝑘 , 𝑚1 = 𝑚2

– Asuma que 𝐴12 = 0 debido a las condiciones iniciales. En este caso,

la solución de la ecuación de movimiento es la siguiente



• Solución corresponde al

primer modo de vibrar

• Las dos masas se

mueven en fase


• Solución de la ecuación de movimiento para 𝑘1 = 𝑘2 = 𝑘 , 𝑚1 = 𝑚2

– Asuma que 𝐴11 = 0 debido a las condiciones iniciales. En este caso,

la solución de la ecuación de movimiento es la siguiente



• Solución corresponde al

segundo modo de

vibrar

• Las dos masas se

mueven fuera de fase


• Considere nuevamente la formulación matricial de la ecuación

diferencial de movimiento del sistema de 2 grados de libertad sin

amortiguamiento y sin fuerzas externas

• Note que estas ecuaciones se encuentran acopladas (términos fuera de

la diagonal en la matriz de rigidez)

• Se asume 𝑘1 = 𝑘2 = 𝑘 , 𝑚1 = 𝑚2 = 𝑚. Luego, la ecuación de

movimiento es:


Concepto de Coordenadas Principales

(8)


• Se propone introducir el siguiente cambio de variables



Desplazamiento Funciones auxiliares

(nombre preciso se

menciona más adelante) Primer modo

Segundo modo

(9)


• La ecuación (8) es premultiplicada por la matriz traspuesta de los

modos de vibrar y también el vector de desplazamiento se sustituye por

la ecuación (9), determinándose la siguiente expresión

• Note que el último sistema de ecuaciones diferenciales es desacoplado

(es decir, hay dos ecuaciones diferenciales totalmente independientes)




• Las dos ecuaciones de equilibrio independientes pueden ser escritas

alternativamente como:

• Note que las funciones auxiliares 𝑞1 𝑡 y 𝑞2 𝑡 permiten desacoplar

sistema de ecuaciones diferenciales. Estas funciones se denominan

coordenadas principales o coordenadas normales



Modelo de N Grados de Libertad

• Considere un sistema estructural caracterizado mediante 𝑁 grados de

libertad tal que:


– No hay fuerzas externas

– Existen 2𝑁 condiciones iniciales (𝑥𝑖 0 = 𝑥𝑖,0, 𝑥 𝑖 0 = 𝑥 𝑖,0 ,

𝑖 = 1,… ,𝑁)

• La ecuación de movimiento de este sistema es:


Formulación

Matriz de masas

(dimensión 𝑁 × 𝑁) Matriz de rigidez

(dimensión 𝑁 × 𝑁)

Vector de desplazamiento

(dimensión 𝑁 × 1)


• La solución de la ecuación de movimiento tiene la forma:

• Al sustituir esta solución en la ecuación de movimiento se determina:

• Para esta solución, se debe verificar que:


Solución

Vector de dimensión 𝑁 × 1

• Solución trivial: {𝜙} = {0} (caso estático)

• Solución no trivial:

Ecuación característica

del problema


• Note que la condición a ser verificada puede ser desarrollada mediante

operaciones matriciales

• Para un sistema de N grados de libertad, existen un total de 𝑁

frecuencias naturales, que se ordenan de mayor a menor

• Puede ocurrir que algunas frecuencias se repitan


Solución – Determinación de las Frecuencias Naturales

Note que la determinación del cuadrado de las frecuencias es

equivalente a determinar los valores propios de la matriz 𝐴 .

Esta última matriz se denomina matriz dinámica


• Ejemplo

– Considere el sistema de 2 grados de libertad estudiado al principio

de esta unidad

– La determinación de las frecuencias naturales consiste en la

determinación de los valores propios de una matriz al imponer la

condición que el determinante sea igual a cero


Solución – Determinación de las Frecuencias Naturales


• Para cada una de las frecuencias naturales existe un modo de vibrar

que corresponde a la solución del problema de vectores propios

asociado

• Ejemplo


de esta unidad

– En este caso, el primer modo 𝜙1 se obtiene de la solución del

problema ([K] −ω12[𝑀]) 𝜙1 = {0}


Solución – Determinación de los Modos de Vibrar


• Ejemplo


de esta unidad

– En este caso, el primer modo 𝜙1 se obtiene de la solución del

problema ([K] −ω12[𝑀]) 𝜙1 = {0}

– Se asume 𝑘1 = 𝑘2 = 𝑘 y 𝑚1 = 𝑚2 = 𝑚

– Por ejemplo, si 𝜙11 = 1 → 𝜙21 = 1. Luego, el primer modo es:




• Conclusión

– El problema de vibraciones libres de sistemas de 𝑁 grados de

libertad sin amortiguamiento implica la solución de un problema

numérico de valores y vectores propios

• Nota

– Debido a las propiedades de simetría de la matriz de rigidez 𝐾 y la

matriz de masas 𝑀 , se puede demostrar que las frecuencias

naturales son números reales mayores o iguales a cero



Solicitaciones Externas

• Hasta el momento, se ha examinado el caso de vibraciones libres sin

amortiguamiento de sistemas de 𝑁 grados de libertad

• Objetivo: considerar efecto de fuerzas externas

• Considere el siguiente ejemplo

– 2 masas unidas por 3 resortes

– Cada masa es sometida a la acción de una fuerza externa. En

particular, la masa 𝑚1 es sometida a la acción de una fuerza 𝐹1(𝑡) y

la masa 𝑚2 es sometida a la acción de una fuerza 𝐹2(𝑡)


Ejemplo 1 – Formulación


• La ecuación diferencia de movimiento de este problema es la siguiente

• En el caso particular en que: 𝑘1 = 𝑘2 = 𝑘 y 𝑚1 = 𝑚2 = 𝑚, los modos de

vibrar del sistema son:


Ejemplo 1 – Solución

Fuerzas externas


• Es posible formular la ecuación diferencial de movimiento tomando en

cuenta el concepto de coordenadas principales



Primer modo Segundo modo

Desplazamiento Coordenadas principales Matriz Φ , cada

columna contiene

un modo de vibrar


• Al sustituir el vector de desplazamiento por las coordenadas principales

y premultiplicar la ecuación de movimiento por Φ 𝑇, se obtiene:

• O alternativamente:




• Considere el modelo de corte de 2 pisos de la figura sometido a la

acción de 2 fuerzas externas

• La ecuación diferencial de movimiento de esta estructura es:




• Al resolver la ecuación característica, es posible determinar las

frecuencias naturales de la estructura

• Al resolver el problema de vectores propios asociado, es posible

determinar los modos de vibrar de la estructura



Note que las frecuencias naturales y modos de

vibrar dependen de la estructura, no de la carga


• Representación gráfica de los modos de vibrar



Primer modo

de vibrar

Segundo modo

de vibrar


• Es posible formular la ecuación diferencial de movimiento tomando en

cuenta el concepto de coordenadas principales

• Al considerar las coordenadas principales, la ecuación diferencial de

movimiento queda expresada como:








– Masa 𝑚1 sometida a excitación externa 𝐹1 𝑡 = 𝐹0𝑒𝑖𝜔𝑡 (señal

armónica

– Objetivo: estudiar la solución particular de la ecuación diferencial

de movimiento



Recordatorio: para sistemas con amortiguamiento, la solución particular

corresponde a la solución estacionaria


• La ecuación diferencial de movimiento del sistema es:

• La solución particular de la ecuación de movimiento es del tipo:

• Al sustituir la solución particular en la ecuación diferencial de

movimiento, es posible determinar un sistema de ecuaciones

algebraicas que permite determinar las amplitudes 𝑋1 y 𝑋2



Amplitud de la solución

particular


• La solución del

sistema de

ecuaciones

algebraicas de las

amplitudes 𝑋1 y 𝑋2

es la indicada en los

gráficos

• Note que las

frecuencias

naturales del

sistema son 𝜔1 y

𝜔2, respectivamente



Frecuencia

Frecuencia

Respuesta dominada

por segundo modo

de vibrar

Respuesta dominada

por primer modo de

vibrar

Incorporación de Condiciones Iniciales




– No existe amortiguamiento ni fuerzas externas

– Objetivo: determinar la solución de la ecuación de movimiento

considerando las siguientes condiciones iniciales


Formulación


• Con anterioridad, se determinaron tanto las frecuencias naturales como

los modos de vibrar de este problema

• La formulación de la ecuación diferencial de movimiento en términos de

las coordenadas principales permite modelar el problema mediante las

siguientes ecuaciones diferenciales desacopladas


Solución

Desplazamiento Coordenadas

principales Φ La solución de las ecuaciones

diferenciales desacopladas es de

la forma 𝑞𝑖 𝑡 = 𝐴𝑖 sin(𝜔𝑖𝑡 + 𝜙𝑖)


• Para imponer las condiciones iniciales, se pueden seguir 2

procedimientos equivalentes

– Primer procedimiento: inversión directa de la matriz de modos de

vibrar


Solución

Condiciones iniciales en

términos de coordenadas

principales

Nota: la existencia de la

matriz Φ −1 se discute

con posterioridad


• Para imponer las condiciones iniciales, se pueden seguir 2

procedimientos equivalentes

– Segundo procedimiento: introducción de una matriz diagonal

– En este caso particular


Solución

Premultiplicar por Φ 𝑇 𝑀

Matriz diagonal


• Al imponer las condiciones iniciales, es posible determinar que la

solución de las coordenadas principales es:

• Finalmente, es posible expresar la solución de la ecuación diferencial

de movimiento en términos de los desplazamientos 𝑥1(𝑡) y 𝑥2(𝑡)

• Al utilizar identidades trigonométricas apropiadas, es posible expresar

el vector de desplazamientos como:


Solución


• Para el caso particular en que 𝜔1 ≈ 𝜔2, la solución de la ecuación de

movimiento adopta la forma ilustrada en la figura

Solución

Tiempo

x 1(t

)

Tiempo

x 2(t

)


Se asemeja

a amplitud

(amplitud

modulada)

Se asemeja

a amplitud

(amplitud

modulada)


• Nota: la estructura de la solución anterior se conoce con el nombre de

‘beat phenomenon’ y se obtiene al superponer dos armónicas con

frecuencias similares

Solución


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