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Cointegración - Pág. 1

COINTEGRACIONPRESENTACION

TEMAS A ANALIZAR EN LA CLASE

1. INTRODUCCIÓN

• Series con tendencia determinística y caminatas alazar

• Relación de equilibrio a largo plazo• Ejemplo

2. PROCESOS INTEGRADOS

• Propiedades• Ejemplo de cointegración

3. DEFINICIÓN Y PROPIEDADES DE LA COINTEGRACIÓN

• Definición• Propiedades

4. PRUEBAS Y ESTIMACIÓN DE LOS VECTORES DE COINTEGRACIÓN.

• Prueba con ecuación única


1. INTRODUCCIÓN

1.1. SERIES NO ESTACIONARIAS

- Para series ESTACIONARIAS los métodos derivados de laECONOMETRÍA TRADICIONAL son bien conocidos.

- Dos tipos de series NO ESTACIONARIAS:

*series con tendencia creciente; ej.: PBI, M.

*series “deambulatorias” alrededor del valor medio(tienden a permanecer largos períodos por debajoo encima del valor central de la serie); ej.:tasas de interés, inflación (variación de losprecios).

- Las series NO ESTACIONARIAS pueden ser modelizadas enforma univariante. La pregunta es cómo construirmodelos “estructurales” con series no estacionarias.

- Las opciones de modelización que se planteaban aprincipios de los 70s con series no estacionariaseran:

o Especificar y estimar modelos con las series enNIVELES

o Ídem pero con las series en DIFERENCIAS(suponiendo que las series en niveles son I(1)).


1.2. RELACIÓN DE EQUILIBRIO A LARGO PLAZO

- Si bien las series individuales pueden presentar uncomportamiento de tendencia o deambulatorio, se haobservado recurrentemente que entre algunas seriesexiste una relación de equilibrio a largo plazo que“ata” la evolución de las variables individuales.

- El ejemplo clásico es la relación entre el ingreso y elconsumo privado agregado. Ambas variables son noestacionarias. Un trabajo de 1978 sobre datos de EEUUobservó que, si bien las series son I(1), tienen unaraíz unitaria, en el largo plazo el consumo tiende acomportarse como una proporción constante del ingreso,de manera que las diferencias entre el logaritmo delconsumo y el logaritmo del ingreso parece ser unavariable estacionaria.

- Otro ejemplo donde recurrentemente se ha encontrado unarelación de equilibrio en el largo plazo corresponde ala teoría de la paridad de poderes de compra.

- En el otro extremo, también se ha observadorecurrentemente la modelización de series que nopresentan una relación de equilibrio, pero que debidoa que las series poseen una o más raíces unitarias, seobservan “buenos” ajustes (medidos por el R2 o similar)cuando se estima un modelo de regresión EN NIVELES.Este fenómeno, bien conocido actualmente, se denominaREGRESIÓN ESPURIA.

- Se observa, por ejemplo, cuando se realizan regresionesentre variables a precios corrientes, en contextos deinflación moderada o alta. Ejemplo: Regresión entre elPBI a precios corrientes y el monto del primer premiode la Lotería Nacional.


1.3. EJEMPLO HAMILTON (Cáp. 19)

[ ][ ] ttt

ttt

ux xux x

2122

121

2 1

+=+=

−

γ

donde u1t y u2t son ruidos blancos incorrelacionados. La

representación univariante de x2t es una caminata al azar, comosurge de la ecuación [2], mientras que diferenciando [1] seobserva:

1112

121

−−+==∆+∆=∆

ttt

ttt

uuuux x

γγ

∆x1t, al ser la combinación de dos ruidos blancosincorrelacionados, puede expresarse en general como un proceso MAinvertible:

1con 11 ≠+=∆ − θθ ttt vv x

Por lo tanto, tanto x1t como x2t son procesos I(1) aunque

existe una combinación lineal de ambos ( x1t - γ x2t ) que esestacionaria. Obsérvese que las conclusiones hubieran sido las mismassi el modelo hubiera sido:

ttt

ttt

ux xux x

22 122

1211

++=++=

−µγµ

Es decir, si las series correspondieran a una caminataal azar con deriva y, por lo tanto, tendencia en el tiempo.


2. PROPIEDADES PROCESOS INTEGRADOS

2.1. DEFINICIONES

- Algunas simples reglas relativas a variablesintegradas:

En general:

Es decir, la conducta dominante es la correspondientea I(1).En general:

I(1)~ x b + a I(1)~ x si

I(0)~ x b + a I(0)~ x sia)

tt

tt

⇒

⇒

I(d)~ xt b + a I(d)~ xt si ⇒

I(0)~ y b + x a

I(0) ambas sony ,x sib)

tt

tt

⇒

I(1)~ y b + x a

I(1) y ,I(0)~ x sic)

tt

tt

⇒

d > d siI(d)~ y b + x a

)dI( y ,I(d)~ x si

tt

tt

′⇒

′


I(1)~ y b + x a

I(1)~ y ,I(1)~ x

sique cierto tegeneralmen Es d)

tt

tt

• Existen casos en que la regla (d) no se cumple, y que danlugar a la siguiente definición:

Si xt y yt son I(1) y existe una combinación lineal ztque es I(0) y tiene media nula, entonces se dice que

xt y yt están cointegradas.

ascointegrad están y y x)es I( y b + x a + m = z

existe y I son y y x Si

tt

ttt

tt

⇒0),1(


2.2. EJEMPLO BANARJEE ET AL

),(

)4()3()2()1(

1

1

21

21

Ω

=−=−=+=+

−

−

ϑεε

ερε

αβ

N~

ee uu

exx uxx

1t

1t

2ttt

1ttt

ttt

ttt

Es claro que et es estacionario, I(0), mientras que utes una caminata al azar, I(1).

El modelo en la forma reducida, suponiendo α ≠ β, es:

Dado que x1t y x2t se derivan de una CL de una serieI(0) y una serie I(1), ambas son I(1). Pero existe una CLque da como resultado una serie I(0), la segunda ecuacióndel modelo. Por lo tanto están cointegradas.

El vector [1 α] se denomina vector de cointegración y

x1t +α x2t corresponde a la relación de equilibrio.

3.COINTEGRACIÓN

3.1. DEFINICIÓN GENERAL

ttt

ttit

eux

eux

αβαβ

αββ

αβα

−−

+−

=

−+

−−

=

112


Sea xt un vector de n variables xit, cada una deellas I(d).

Si el vector xt no tiene componentes determinísticosy, por simplicidad, se supone de media nula, puedeplantearse como:

Las variables xit, y por extensión el vector xt, se

dice que están cointegradas de orden d,b si:

Ello se nota como:

El vector α se denomina vector de cointegración.

( ))()(

21

dI~xdI~x' x ... x xx

tit

ntttt

⇒=

),()()1(Ω

=−ϑεε

iid~ dondeLCxL

t

ttd

0bd con bdI~x t >≥−≠∃ )(/αϑα

),( bdCI~xt


3.2. PROPIEDADES

- Si el vector xt está cointegrado, es claro que existen

infinitos vectores de cointegración. Dado α un vectorde cointegración, λα (λ≠0) es también un vector decointegración.

- De ahí que es práctica común el normalizar el vector de

cointegración (por ejemplo, determinando α1=1).

- Si estamos considerando sólo 2 variables, ambas I(1),si están cointegradas, en ese caso el vector decointegración (una vez normalizado) es único.

PRUEBA:

Volviendo al ejemplo de Banarjee et al:

Si ut fuera también I(0), y α ≠ β, entonces

necesariamente x1t y x2t serían I(0).

- Si xt tiene n > 2, puede existir más de un vectorde cointegración que forman un conjunto LinealmenteIndependiente (LI).

- Generalizando la primera propiedad observada, unaCL de vectores de cointegración LI es también unvector de cointegración.

- Para un vector xt con n componentes, cointegrado, alnúmero máximo de vectores de cointegración LI se

denomina RANGO DE COINTEGRACIÓN, y se nota como r.

ttt

ttit

eux

eux

αβαβ

αββ

αβα

−−

+−

=

−+

−−

=

112


- Se demuestra que r ≤ n-1

- Es posible definir una matriz α de n x r cuyascolumnas son vectores de cointegración que formanun conjunto LI. El rango de la matriz es r.

- Dado un vector xt con n componentes que es I(d),el problema puede plantearse como:

a) Determinar si xt está cointegrado

b) En caso afirmativo, determinar r y los vectoresde cointegración.


4. PRUEBA CON ECUACION UNICA

4.1. PRESENTACION

- Consideremos xt = (x1t , x2t)’. En el caso de que xt es I(1) yxt ~ CI(1,1), entonces existe un vector α (que en este caso esúnico) que cumple:

] 1 [ = donde

I(0) ~ z = x . + x = x . t2t1tt

βα

βα

′

′

- Generalizando, consideremos xt = (x1t , x2t, ...,xnt)’. En el casode que xt es I(1) y xt ~ CI(1,1), entonces existe al menos unvector α que cumple:

I(0) ~ z = x . tt′α- En la presente sección analizaremos el caso en que el vector α

es único.

4.2. PRUEBAS DE COINTEGRACION

- Dado el vector xt, una vez que se ha comprobado que xt es I(1),la prueba de cointegración depende de si el vector α es o noconocido.

- Si el vector α fuera conocido, la prueba de cointegracióncorrespondería simplemente a la prueba de raíz unitaria de zt.Si no se rechaza que zt es I(0), se concluye que xt ~ CI(1,1).

- Si el vector α no fuera conocido, en forma sintética la pruebade cointegración corresponde a una prueba de existencia de raízunitaria en los residuos estimados o derivados. Esto es unaprueba de que u^ es I(0) donde u^ es:

x . t^ ′α = u^

t


- Siguiendo a BDGH, pueden plantearse distintas pruebas para elpunto anterior:

* Co-integration Regression Durbin-Watson (CRDW) * Prueba de Dickey-Fuller (DF)

* Prueba de Dickey-Fuller Aumentada (ADF)

4.3. CO-INTEGRATION REGRESSION DURBIN-WATSON (CRDW)

- El estadístico es calculado de la misma forma que el test usualde DW:

) u (

) u - u ( = CRDW

^2t

T

1=t

2^1-t

^t

T

2=t

∑

∑

- La hipótesis nula, utilizando el CRDW, es de la existencia deuna raíz unitaria (ésto es, que u^ sigue una caminata al azar),versus un modelo estacionario auto-regresivo de 1er. orden.Observar la diferencia con el test usual de DW, donde lahipótesis nula es la ausencia de auto-correlación.

- Tal como plantean BDGH, el uso de esta estadística esproblemátivo. Plantean distintas limitaciones, pero interesaremarcar una de ellas. Para la prueba, al igual que en el testusual de DW, sólo se dispone de los límites de la región crítica(no es posible formular la distribución del estadístico).

- Como plantean BDGH, la única esperanza para una inferencia sincomplicaciones depende de disponer de un conjunto de valorescríticos robustos. Esto es, que los valores críticos de laprueba no sean sensibles, ante cambios en el Proceso Generadorde Datos. En el caso del CRDW, los valores críticos dependen dela cantidad de regresores y del esquema (Auto-Regresivo) que sesuponga para zt.

- Los tests de DF y ADF presentan este problema relativizado; sonmás robustos que el CRDW.

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