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7/24/2019 075_Integral definida.doc

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INTRO. LA INTEGRAL DEFINIDAEn los dos temas anteriores se ha hecho el estudio de las primitivas de una funcindescu!riendo distintos procedimientos para el c"lculo de primitivas es decir se hanencontrado las inte#rales indefinidas de funciones sencillas. $in em!ar#o no %uedanclaros ni su si#nificado ni su utilidad. &stos son los o!'etivos de este tema para lo

cual se dar" la interpretacin %ue Riemann matem"tico alem"n dio a conocer en elsi#lo (I(.

El clculo de reas de figuras como el cuadrado, el rectngulo, el rombo, etc., adems desencillo tiene un claro significado: el rea de una figura es un nmero que coincide con elde cuadrados de lado unidad que recubren exactamente la figura. Se puede cuestionarentonces si cualquier figura tiene rea y cmo se calcula.

Para responder a esta cuestin se puede empezar por tomar una funcin muy sencilla, poreemplo f!x" #x, dibuarla en un sistema de ees cartesianos y tratar de calcular el rea dela superficie limitada por la funcin, el ee de abscisas y la ordenada correspondiente a laabscisax# $.

E%identemente, la superficie es un tringulo rectngulo de base $ y altura tambi&n launidad, por tanto su rea es $'(.

Es claro que este problema carece de toda dificultad. )o obstante, se puede apro%ec*ar susimplicidad para intentar obtener algo til en otros casos menos sencillos.

Si se di%ide el inter%alo +,$- en, por eemplo, cuatro inter%alos de igual longitud: +, $'-,+$', ('-, +(', /'-, +/', '-, y se trazan rectngulos como se obser%a en la figura, la

suma de las reas de los rectngulos rayados es menor que el rea del tringulo0 mientrasque la suma de las reas de los rectngulos punteados, exceden al rea del tringulo.

1alculando estas reas se obtiene:

2l rea por defecto, ,/34, le falta muc*o para llegar a ,40 y el rea por exceso, ,5(4, seencuentra considerablemente leos de ,4.

2*ora bien, si se di%ide en muc*as ms partes el inter%alo +, $-, parece lgico que lasdiferencias que *an resultado en el caso anterior, tendern a disminuir. Si se di%ide a*ora elinter%alo +, $- en ninter%alos de longitud $'n, la superficie que se 6desperdicia7 es menor,si n8 .

9rea por defecto:


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9rea por exceso:

1omo los numeradores son progresiones aritm&ticas, el resultado es:

2dems,

odo ello pone de manifiesto que al di%idir el inter%alo +, $- en un nmero infinitamentegrande de inter%alos iguales, el rea por defecto coincide con el rea por exceso y ambascon el rea del recinto que se est calculando.

)articin de un intervalo *a !+;naparticin del intervalo+a, b- es una coleccin de inter%alos contenidos en +a, b-,disuntos dos a dos !sin ningn punto en comn" y cuya unin es +a,b-.


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Funcin escalonadaSea funa funcin definida en un inter%alo +a, b- y tomando %alores enR, f:+a,b- R0fes una funcinescalonadacuando existe una particin del inter%alo +a, b-

de modo que ftoma %alores constantes en el interior de cada uno de los inter%alos de laparticin.

Ejemplos de funciones escalonadas

,./, - R definida por:

$, xi", f!x" # mi ", se llama integral de la funcin f en +a, b- al nmero

m$!x$ >x" D m(!x( >x$" D m/!x/ >x(" D ... D mn!xn- xn>$"


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Este nmero se simboliza por:

2 los nmeros ay bse les llama lmites de integracin, y la anterior expresin se lee

6integral, entre ay b, de f!x" diferencial dex7.

)ropiedades de la inte#ral definida de una funcin escalonada


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Se toma, por eemplo, la particin P# ?>(, >$, , $, (, /@

Por definicin,

INTEGRAL DE RIE1ANN

2*ora se %a a definir la integral de una funcin cualquiera definida en un inter%alo+a, b- con la nica condicin de que est& acotada, es decir, que exista un nmero M8 , deforma que la funcin, en el inter%alo +a, b-, siempre tome %alores entre -M y M.

Fol%iendo al eemplo introductorio del tema, f!x" #x, es necesario recordar que para elclculo del rea de un tringulo se tomaron funciones escalonadas g!x" cumpliendo g!x" f!x" para cualquier x+a, b- y otras funciones escalonadas !x" tales que f!x" !x" six+a, b-. Ce todo ello resultaba que:

En general, para una funcin f!x" acotada, se toman todas las funciones escalonadasg!x" por defecto, y todas las funciones escalonadas por exceso, es decir, g!x" f!x" !x"cuandox+a, b-. En estas condiciones, si existe un nico nmero !que cumpla

para cualesquiera g!x" y !x" escalonadas, que cumplan g!x" f!x" !x" six+a, b-, al nmero !se le llama integral de f!x"entre a " b.

y se lee 6integral, desdea*asta b,o entre ay b, de f!x",diferencial dex.


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$i#nificado de la inte#ral definida de una funcin

Si una funcin positi%a f!x", definida en un inter%alo +a,b-, es integrable!existe su

por lagrfica de la funcin, el ee de abscisas y las rectasx = ayx = b.

Si la funcin " = f!x" fuese negati%a en el inter%alo +a, b-, la grfica de la funcin quedarBapor debao del ee de abscisas.

En este caso, al tomar funciones escalonadas por exceso y por defecto, sus integralescorrespondientes serBan negati%as, y puesto que

el rea

de la regin que determina una funcin negati%a es:

Este *ec*o no deberBa llamar la atencin si se tiene presente cmo est definida la integralde una funcin escalonada: la suma de las reas de los rectngulos que determina con elee de abscisas, si la funcin escalonada es positi%a y la suma de las reas de losrectngulos que determina con el ee de abscisas con signo menos, si la funcinescalonada es negati%a.

Ginalmente, si la grfica de una funcin queda parte por encima, y parte por debao delee de abscisas, la integral se descompondr en %arios sumandos cuando se quieracalcular el rea de la regin que delimita con el ee de abscisas en el inter%alo +a, b-.

En la figura adunta, se %e claramente que:


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Este resultado es conocido, frecuentemente, por 6segunda parte del teorema fundamentaldel clculo7. Es obligado *acer notar que, para resol%er una integral definida de unafuncin continua, basta con encontrar una primiti%a de la funcin, sustituir en ella los lBmitesde integracin superior e inferior respecti%amente y restar ambos %alores.

1laro es que, aunque la regla de JarroK d& un m&todo para el clculo de integralesdefinidas, no siempre es fcil encontrar las primiti%as de una funcin.

1on%iene obser%ar tambi&n que como %!b" > %!a" es un nmero, es decir, no depende de la%ariablex, y que si %!x" es una primiti%a de f!x", %!t" es una primiti%a de f!t", f!u" es unaprimiti%a de f!u", etc., todas las expresiones siguientes tienen el mismo significado:

E'ercicio0 c"lculo de "reas

1alcular el rea encerrada por la cur%a " = x(, el ee de abscisas y las rectasx# $ yx# (.

Resolucin:

Dos propiedades fundamentales de la inte#ral definida


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A)LI/A/IONE$ DE LA INTEGRAL/"lculo del "rea de la superficie %ue determinan dos curvas al cortarse

Si en un inter%alo !a, b" dos funciones f!x" y g!x" cumplen que f!x" g!x", entonces

representa el rea de la superficie que encierran las dos cur%as.

En la figura, se *a llamado', (, )y *a las reas de las cuatro regiones que dos cur%asf!x" y g!x" determinan con el ee de abscisas. eniendo en cuenta que )es el rea de unazona situada por debao del ee+:

Para calcular el rea encerrada por dos cur%as se *an de seguir, primeramente, estospasos:

Se trazan las cur%as.

Se seLalan los puntos en los que se cortan las cur%as.

Se determina la zona de la que *ay que calcular el rea.

Cependiendo de los resultados que se obtengan en los tres puntos anteriores, seprocede a calcular las reas de distintas zonas, entre los lBmites de integracinapropiados.2sB, por eemplo, en la figura anterior la zona encerrada entre las dos cur%as es( )Para calcular su rea se procede asB:

Para obtener el rea de la zona ( )*ay que restar las reas de'y *y sumar el rea de).

!En )se pone el signo > delante porque al estar g!x" entre cy dpor debao del ee+suintegral serBa negati%a." Por tanto:


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E'ercicio0 c"lculo de "reas

Iallar el rea de la superficie que determinan las cur%as f!x" # x - x(y g!x" #x

Resolucin:

,.razado de las cur%as:

-.Puntos de corte de las dos cur%as:

5. (x.

Resolucin:


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,.razado de las cur%as:

Mximos y mBnimos de f!x":

Mximos de mBnimos de g!x":

-.Puntos de corte de f!x" y g!x":

Puntos !, " y !,N"

5.Se *a de calcular el rea de la zona rayada.Puesto que en el inter%alo !, " f!x" 8 g!x", el rea pedida es:

1alcular el rea del cBrculo de radio r .

Resolucin:

Para simplificar se supondr la ecuacin de la circunferencia de centro !, " y radio r:

Para ms comodidad, y sin que ello afecte a la solucin del problema, se calcular elrea del cuarto de cBrculo situado en el primer cuadrante. El rea total ser cuatro %eces elrea anterior. Por otro lado, la ecuacin del cuarto de circumferencia en el primer cuadrante

es "# pues la ordenanza es positi%a en el primer cuadrante. Ce todo lo dic*o sededuce que el rea del cBrculo es:


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Para resol%er esta integral se *ace el cambio de %ariablex = r sen t dx = r / cos t


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En definiti%a, 0$!x" #'!x" y puesto que 0!b" # 0y 0!a" # , 0 = 0!b" > 0!a", y por el teoremafundamental del clculo,

Esta frmula permite calcular el %olumen de cualquier slido siempre que se puedadeterminar, en cada punto, el rea de la seccin que produce un plano perpendicular quepasa por ese punto. El plano es perpendicular a una recta elegida que atra%iese el slido.

E'ercicio0 c"lculo de vol7menes

1alcular el %olumen de un cilindro de radior y altura .

Resolucin:

Si el radio de la base es ry la altura , se elige como recta 1la que coincide con el eedel cilindro, y como punto de referencia 2el centro de una de las bases.

2l cortar el cilindro por un plano perpendicular a la recta 1por cualquier puntox, el rea

de la seccin producida es un cBrculo de radio r . Por tanto,'!x" # r (.

6ol7menes de cuerpos de revolucinCada una funcin continua " = f!x", positi%a, definida en un inter%alo +a, b-, al *acer girar

la grfica de la funcin alrededor del ee de abscisas, genera un cuerpoen el espaciollamado de revolucin.

2l cortar por un plano perpendicular al ee de abscisas por un puntox, la seccin queaparece es un cBrculo de radio f!x", por lo que su rea es:

Segn lo estudiado en el apartado anterior, el %olumen del cuerpo es:

E'ercicio0 c"lculo de vol7menes de cuerpos de revolucin

1alcular el %olumen de una esfera de radio r.


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Resolucin:

2l *acer girar un cuarto de circunferencia, de centro el origen de cordenadas y radio r,alrededor del ee de abscisas, se genera una semiesfera. El %olumen de la esfera ser eldoble del %olumen de la semiesfera.

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