06. matematica 6to grado

7/22/2019 06. Matematica 6to Grado

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Versin preliminar para plan piloto


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Captura de vista de Google Earth en las coordenadas 13 33 16.43 N 88 47 20.20 O, elevacin 384 m. Donde se aprecian parcelas parcultivo ubicadas en San Vicente, en la cercana de El Arco.

Podemos distinguir la formacin mosaicos constituidos poparalelogramos isomtricos.


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Ministerio de Educacin.

Viceministerio de Ciencia y Tecnologa

Programa Cerrando la Brecha del Conocimiento

Subprograma Hacia la CYMA

Material de Autoformacin e Innovacin DocentePara Matemtica 6 Grado

Versin Preliminar para Plan Piloto.


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Ministerio de EducacinMauricio Funes CartagenaPresidente de la Repblica

Franzi Hasbn BarakeSecretario de Asuntos Estratgicos de la Presidencia de la RepblicaMinistro de Educacin Ad-honoremErlinda Hndal VegaViceministra de Ciencia y TecnologaHctor Jess Samour CannViceministro de Educacin

William Ernesto MejaDirector Nacional de Ciencia y TecnologaXiomara Guadalupe Rodrguez AmayaGerente de Educacin en Ciencia, Tecnologa e InnovacinOscar de Jess guila ChvezJefe de Educacin Media en CTI (Coordinador de Matemtica)Carlos Ernesto Miranda OlivaJefe de Educacin Bsica en CTI (Coordinador de Ciencias Naturales)Reina Maritza Pleitez VsquezDaniel Ulises Acevedo AriasAutoresJorge Vargas MndezRevisin de texto

Primera edicin (Versin Preliminar para Plan Piloto).

Derechos reservados. Ministerio de Educacin. Prohibida su venta y su reproduccin parcial o total.

Edificios A4, segundo nivel, Plan Maestro, Centro de Gobierno, Alameda Juan Pablo II y Calle Guadalupe, San Salvador, El Salvador,

Amrica Central. Telfonos: + (503) 2537-4217, + (503) 2537-4218, + (503) 2537-4219, Correo electrnico: [email protected]


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Estimadas y estimados docentes:l Plan Social Educativo Vamos a la Escuela 2009-2014 nos plantea el reto histrico de formarciudadanas y ciudadanos salvadoreos con juicio crtico, capacidad reflexiva e investigativa, con

habilidades y destrezas para la construccin colectiva de nuevos conocimientos, que les permitantransformar la realidad social y valorar y proteger el medio ambiente.

Nuestros nios, nias y jvenes desempearn en el futuro un rol importante en el desarrollo cientfico,

tecnolgico y econmico del pas; para ello requieren de una formacin slida e innovadora en todas las reas

curriculares, pero sobre todo en Matemtica y en Ciencias Naturales; este proceso de formacin debe iniciarse desde

el Nivel de Parvularia, intensificndose en la Educacin Bsica y especializndose en el Nivel Medio y Superior. En la

actualidad, es innegable que el impulso y desarrollo de la Ciencia y la Tecnologa son dos aspectos determinantes en el

desarrollo econmico, social y humano de un pas.

Para responder a este contexto, en el Viceministerio de Ciencia y Tecnologa se han diseado materiales de

autoformacin e innovacin docente para las disciplinas de Matemtica y Ciencias Naturales, para los Niveles de

Parvularia, Educacin Bsica y Educacin Media. El propsito de stos materiales es orientar al cuerpo docente para

fundamentar mejor su prctica profesional, tanto en dominio de contenidos, como tambin en la implementacin de

metodologas y tcnicas que permitan la innovacin pedaggica, la indagacin cientfica-escolar y sobre todo una

construccin social del conocimiento, bajo el enfoque de Ciencia, Tecnologa e Innovacin (CTI), en aras de mejorar la

calidad de la educacin.

Los materiales, son para el equipo docente, para su profesionalizacin y autoformacin permanente que le

permita un buen dominio de las disciplinas que ensea. Los contenidos que se desarrollan en estos cuadernillos, han

sido cuidadosamente seleccionados por su importancia pedaggica y por su riqueza cientfica. Es por eso que para el

estudio de las lecciones incluidas en estos materiales, se requiere rigurosidad, creatividad, deseo y compromiso de

innovar la prctica docente en el aula. Con el estudio de las lecciones (de manera individual o en equipo de docentes),

se pueden derivar diversas sesiones de trabajo con el estudiantado para orientar el conocimiento de los temas clave opivotes que son el fundamento de la alfabetizacin cientfica en Matemtica y Ciencias Naturales.La enseanza de las Ciencias Naturales y la Matemtica debe despertar la creatividad, siendo divertida,

provocadora del pensamiento crtico y divergente, debe ilusionar a los nios y nias con la posibilidad de conocer ycomprender mejor la naturaleza y sus leyes. La indagacin en Ciencias Naturales y la resolucin de problemas en

Matemtica son enfoques que promueven la diversidad de secuencias didcticas y la realizacin de actividades de

diferentes niveles cognitivos.

Esperamos que estos Materiales de Autoformacin e Innovacin Docente establezcan nuevos caminos para la

enseanza y aprendizaje de las Ciencias Naturales y Matemtica, fundamentando de una mejor manera nuestra

prctica docente. Tambin esperamos que el contenido de estos materiales nos rete a aspirar a mejores niveles de

rendimiento acadmico y de calidad educativa, en la comunidad educativa, como en nuestro pas en general.

Apreciable docente, ponemos en sus manos estos Materiales de Autoformacin e Innovacin Docente,

porque sabemos que est en sus manos la posibilidad y la enorme responsabilidad de mejorar el desempeo

acadmico estudiantil, a travs del desarrollo curricular en general, y particularmente de las Ciencias Naturales y

Matemtica.

Lic. Franzi Hasbn Barake

Secretario de Asuntos Estratgicos de la Presidencia de la Repblica

Ministro de Educacin Ad-honorem

Dr. Hctor Jess Samour Cann Dra. Erlinda Hndal Vega

Viceministro de Educacin Viceministra de Ciencia y Tecnologa

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ndice

I Parte

Presentacin... 8La resolucin de problemas..... 9Uso de los cuadernillos en el aula. 11Matriz de ubicacin de lecciones... 12II Parte

Polgonos en la naturaleza, propiedades y mosaicos.... 15Polgonos regulares, diagonales, triangulacin, ngulos y reas... 26Porcentajes, modelos matemticos.. 37Sistemas de numeracin maya... 46

Nmeros romanos..55

lgebra, introduccin al lgebra, construyamos frmulas... 60lgebra, ordenar expresiones algebraicas.. 68lgebra, suma y producto de expresiones algebraicas 76Frmulas, modelos matemticos... 87Valor numrico y modelos matemticos.. 96


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Primera partePor qu material de autoformacin e

innovacin docente?


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Presentacinl Viceministerio de Ciencia y Tecnologa a travs de la Gerencia de

Educacin en Ciencia, Tecnologa e Innovacin (GECTI) y su programa

Hacia la CYMA que se est desarrollando durante el quinquenio 2009 -2014, ejecuta el Proyecto de Enriquecimiento Curricular en el rea de CienciasNaturales y Matemtica, el cual tiene entre sus acciones la elaboracin y entrega de

material de enriquecimiento curricular y de autoformacin para docentes.

Este material de enriquecimiento curricular para docentes tiene como propsito

fortalecer el desarrollo curricular de Matemtica de Sexto Grado de Educacin Bsica,

introduciendo el enfoque Ciencia Tecnologa e Innovacin (CTI) como parte inherente y

relevante del proceso de formacin cientfica. Con este propsito se han elaborado

lecciones con temas pivotes1 considerados necesarios para la educacin de calidad de laniez salvadorea, para obtener una fundamentacin cientfica que permita fortalecer

las capacidades de investigacin, creacin de conocimiento y de utilizacin de ese

conocimiento para la innovacin.

Se busca que mediante la formacin cientfica se mejoren las condiciones sociales y

econmicas para alcanzar una vida digna de nuestros futuros ciudadanos. Cada tema de

este cuadernillo mantiene una relacin con otros materiales curriculares como los

programas de estudio, y la coleccin Cipotas y Cipotes (Gua para Docentes y Libros de

texto).

El enriquecimiento que se ha hecho partiendo de temas pivotes, tiene la

posibilidad de ser plataforma de construccin de conocimiento, bajo el enfoque de

resolucin de problemas, metodologa mediante la cual se desarrollan competencias

matemticas necesarias, que debe tener una persona para alcanzar sus propsitos de

incorporarse de manera propositiva y til a la sociedad, y sus propsitos formacin

intelectual, como son: saber argumentar, cuantificar, analizar crticamente la

informacin, representar y comunicar, resolver y enfrentarse a problemas, usar

tcnicas e instrumentos matemticos y modelizar e integrar los conocimientosadquiridos, para mejorar su calidad de vida y la de sus comunidad.

1. Un tema pivote es un contenido curricular clave, se considera que si los docentes manejan adecuadamente dichos temas, podrdesarrollar otros contenidos con facilidad y aplicar de forma ms pertinente el conocimiento a la realidad en que se desarrolla elproceso de enseanza aprendizaje; por otra parte podr seleccionar qu contenidos del programa desarrollar y en qu orden, deacuerdo a las necesidades e intereses del grupo de alumnos.

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La resolucin de problemas en Matemticaesde1 asegurar la subsistencia cotidiana, hasta abordar los ms complejosdesafos derivados desde la Ciencia y la Tecnologa, sin excepcin todosresolvemos problemas. Lo vital de la actividad de resolucin de problemas es

evidente; en definitiva, todo el progreso cientfico y tecnolgico2, el bienestar y hasta lasupervivencia de la especie humana dependen de esta habilidad. No debemos extraarnos deque la misma se haya convertido en un nuevo objeto de estudio, atrayendo por igual la atencinde profesionales de la psicologa, ingeniera, fsica, qumica, biologa, matemtica, etc.

En Matemtica debemos hacer algunos cuestionamientos que son fundamentales en elproceso metodolgico de la resolucin de problemas.

Cul es la diferencia entre ejercicio y problema en Matemtica? Cundo est elestudiantado resolviendo un ejercicio y cundo un problema? Cul es el papel de un profesor enla enseanza de la resolucin de problemas?

Al analizar un ejercicio se puede deducir si se sabe resolver o no; Comnmente se aplicaun algoritmo elemental o complejo que los nios y nias pueden conocer o ignorar, pero una vezencontrado este algoritmo, se aplica y se obtiene la solucin.

Justamente, la exagerada proliferacin de ejercicios en la clase de Matemtica hadesarrollado y penetrado en el estudiantado como un sndrome generalizado. En cuanto se lesplantea una tarea a realizar, tras una simple reflexin, tratan de obtener una solucin muchasveces elemental, sin la apelacin a conocimientos diversos.

En un problema no es siempre evidente el camino a seguir. Incluso puede haber muchos.

Hay que apelar a conocimientos, no siempre de Matemtica, relacionar saberes procedentes decampos diferentes, poner a punto nuevas relaciones. El papel de cada docente es proporcionar ala niez la posibilidad de aprender hbitos de pensamiento adecuados para la resolucin deproblemas matemticos y no matemticos.

De qu les puede servir hacer un hueco en su mente en que quepan unos cuantosalgoritmos, teoremas y propiedades relativas a entes con poco significado si luego van a dejarlosall hermticamente acumulados? A la resolucin de problemas se le ha llamado, con razn, elcorazn de las matemticas, pues ah es donde se puede adquirir el verdadero sabor que hatrado y atrae a acadmicos de todas las pocas. Del enfrentamiento con problemas adecuados esde donde pueden resultar motivaciones, actitudes, hbitos, ideas y competencias para el

desarrollo de herramientas, en una palabra, la vida propia de la Matemtica3.

2 Jos Heber Nieto Said; Resolucin de Problemas Matemticos 2004.3 Miguel de Guzmn Ozmiz, (1936 - 2004) matemtico espaol.

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Obviamente la resolucin de problemas tiene una clsica y bien conocida fase de

formulacin elaborada por el matemtico hngaro George Polya4 en 1945. Fase que consisten en

comprender el problema, trazar un plan para resolverlo, poner en prctica el plan y comprobar

el resultado.

Por supuesto hay que pensar que no slo basta con conocer las fases y tcnicas deresolucin de problemas. Se pueden conocer muchos mtodos pero no siempre cul aplicar en

un caso concreto.

Justamente hay que ensear tambin a las nias y nios, a utilizar las estrategias que

conocen, con lo que nos encontramos en un nivel metacognitivo. Es ah donde se sita la

diferencia entre quienes resuelven problemas y los dems, entendiendo que este nivel es la

capacidad que tienen de autoregular su propio aprendizaje, es decir, de planificar qu

estrategias se han de utilizar en cada situacin, aplicarlas, controlar el proceso, evaluarlo para

detectar posibles fallos, y como consecuencia transferir todo ello a una nueva actuacin5.

Hay que tener presente que resulta difcil motivar. Slo con proponer ejercicios no sepuede conseguir que las nias y nios sean capaces de investigar y descubrir nuevos

conocimientos y relaciones entre las ciencias. Se recomienda establecer problemas en los que no

sepan qu hacer en un primer intento, con esto conseguiremos atraer su atencin y motivacin,

para que se impliquen en el proceso de resolucin. Otro aspecto no menos importante a tener en

cuenta es la manipulacin de materiales para resolver problemas. Hemos de ser capaces de que

las nias y los nios visualicen el problema, utilizando materiales concretos, materiales que

manipulen, pues la manipulacin es un paso previo e imprescindible para la abstraccin en las

ciencias en general.

Descripcin de la estructura de los cuadernillosl cuadernillo de Matemtica de Sexto Grado de Educacin Bsica es un material de

apoyo para el docente, considerado Material de Autoformacin e Innovacin

Docente que permite reorientar lecciones contenidas en el libro de texto de la

Coleccin Cipotas y Cipotes a un entorno participativo y de investigacin fundamentado en laresolucin de problemas, donde el estudio de la Fsica, Qumica y Biologa en conjunto con la

Matemtica fortalecen competencias conceptuales, procedimentales y actitudinales de la niez

salvadorea. El cuadernillo de Matemtica de Sexto Grado se elabor a partir del estudio de tres

bloques: Aritmtica, Geometra, Medida; incorporando a estos: lgebra y modelaje matemtico

Se proponen diez temas que llamamos contenidos pivotes, que por su importancia en laformacin de competencias matemticas, forman parte del enriquecimiento del libro de texto de

la coleccin Cipotes y Cipotas, profundizando tanto en la explicacin de los contenidos, como

haciendo propuestas de abordaje metodolgico fundamentalmente en la resolucin de

4 George Plya (1887-1985), matemtico Hngaro, How to solve it, Pricenton University Press.5 Allan Schoenfeld (1985). Mathematical Problem Solving. New York: Academic Pres.

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problemas, con el propsito de que se puedan emular en el aula, para que docentes y estudiantes

desarrollen habilidades intelectuales propias del pensamiento y del que hacer cientfico.

Las lecciones se estructuran normalmente en catorce partes, las cuales se detallan a

continuacin:a. Ttulo. Condensa la idea central de la leccin. Se presenta como una idea clara y precisa del

contenido.

b. Descripcin. Presenta todos aquellos puntos relevantes que se tratarn en la leccin,haciendo nfasis en las caractersticas (generalidades, importancia, usos, etc.) que se

desarrollan.

c. Objetivos especficos. Son las metas que se persiguen con la leccin, es decir, lo que sepretende alcanzar con el desarrollo de la leccin.

d. Habilidades y destrezas cientficas. Son las habilidades y destrezas que el estudiante puedeadquirir al finalizar la leccin.

e. Tiempo. Es la duracin aproximada para el desarrollo de la leccin. El tiempo puede variarsegn la planificacin didctica de la clase.

f. Ilustracin. Imagen que busca representar de forma visual el contexto de la leccin.g. Vocabulario clave. En este apartado se encuentra un pequeo glosario de conceptos bsicos

del contenido de la leccin. La eleccin de estos conceptos se ha realizado con la intencin de

que sirva de ayuda en el momento de leer el marco terico de la leccin.

h. Marco terico. Esta seccin aborda los conceptos, proposiciones y toda la informacinrelevante que se establece como marco de referencia de los tpicos a estudiar. La

informacin se respalda en principios, leyes, clasificaciones, caractersticas, propiedades, etc.

Se acompaa de ilustraciones, esquemas, modelos y otros con la intencin de que el

contenido quede lo ms claro posible.

i. Actividades de Aplicacin. Las actividades de aplicacin sern para contribuir alfortalecimiento del marco terico, asimilando los conceptos de una manera prctica. Las

actividades estn encaminadas a forjar ideas que construyan la comprensin, el anlisis y la

resolucin de problemas como eje fundamental; stas se refieren a la ejecucin de prcticas

significativas de aprendizaje que van desde lo simple a lo complejo, desarrollndose con

distintas alternativas de abordaje plasmando al menos tres alternativas de solucin

comentadas por el docente. Estas contienen estrategias de solucin encaminadas a fortalecer

la capacidad de razonamiento lgico.

j. Notas histricas de la Matemtica. Es la seccin que se encuentra a la par de cada actividad.Aqu se presentan comentarios, posibles respuestas a las preguntas planteadas en la

actividad, ilustraciones, etc. En este espacio se abordan temas de historia de la Matemtica yla Tecnologa, as como aspectos destacados de la matemtica (CTSA) y sus aplicaciones en

las Ciencias Naturales.

k. Actividad integradora. Las ciencias (Matemtica y Ciencias Naturales) no deben estudiarsecomo un conjunto de saberes aislados y sin conexin. Los fenmenos de la realidad

circundante no pueden ser interpretados bajo una sola visin cientfica, sino que su


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comprensin demanda la integracin de saberes de todas las reas de las ciencias para una

interpretacin eficaz de tales fenmenos.

Matriz de justificacin de lecciones propuestas y su ubicacin en el programade estudio de Segundo Ciclo de Educacin Bsica, Sexto Grado, Matemtica.

Justificacin:

El tratamiento de los polgonos

sus ngulos, reas y permetros

es una herramienta fundamental

para el estudio sistematizado y

avanzado de la geometra, de-

bemos entonces capitalizar las

competencias que demandan

este componente de la geometra

clsica.

Deberemos obtener el mximo

provecho de l pensamiento recu-

rrente y deductivo de muchas de

las propiedades y problemas

vinculados con los polgonos, la

problematizacin es un elemento

que hay que fortalecer ya que

este tpico ha sido tratado hist-

ricamente con poca atencin a

las aplicaciones y riqueza de

resultados.

Justificacin:

Esta leccin esta diseada paraintroducir nuevos elementos que

muy pocas veces se aborda enlos libros sales utilizados porlos docentes, dicho tratamiento

en los cuadernillos de enrique-cimiento curricular evidencia las

aplicaciones con un fuerte com-ponente del enfoque CTI, mos-trando desde un primer mo-

mento las riqueza y necesidaddel manejo profundo de modelos

matemticos que provocan laconjetura y la estimacin comorecurso de formacin cientfica.

LECCIN 1 Polgonos en la naturaleza, propiedades y mosaicos

Unidad 2: Tracemos figuras

Unidad 5: Calculemos reas

LECCIN 2 Polgonos regulares diagonales, triangulacin ngulos y reas

LECCIN 3 Porcentajes Modelos MatemticosUnidad 3: Encontremosporcentajes.


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Justificacin:

Nuestra capacidad de transfor-

mar nuestro entorno esta vincu-

lado a las manipulacin y uso de

sistemas numricos, esta capaci-

dad se ve reflejada en la dife-

rente culturas desde el sistemas

de numricos como el babilonio

hasta el simple pero poderoso

sistema binario, esta dos leccio-

nes nos permiten conocer cuan

importante son las estructura y

el nmero de smbolos necesa-

rios que se utilizan para generar

los sistemas de numricos maya

y romano tan utilizados y estu-

diados por sus transcendencia

histrica.

El tratamiento de dichas leccio-

nes permitir a los docentes

inferir el manejo de otro siste-

mas de numricos poco conoci-

dos y establecer conversiones

con el sistema decimal, poten-

ciando de esta manera la capaci-

dad fundamentar el usos del

sistema binario y decimal como

sistemas de numricos de uso

universal.

Justificacin:Estas cinco lecciones estn dise-

adas para introducir el lenguaje

de los modelos matemticos de

primer nivel como es el lgebra,

dichas lecciones aunque no for-

man parte de los temas de Sexto

Grado pueden ser introducidas

tempranamente para fortalecer

el razonamiento lgico mediante

el tratamiento sistematizado

estableciendo la capacidad de

manejar el lgebra como herra-

mienta en nuestra vida, para

optimizar tiempo de trabajo,

para asegurar resultados ms

fiables.

Los docentes tenemos el reto

nada fcil de mostrar la utilidad

de la matemtica para que el

estudiante entienda que le ser-

LECCIN 4 Sistema de numeracin maya

Unidad 10: Conozcamos Sistemasantiguos de numeracin

LECCIN 5 Numeracin Romana

LECCIN 6 lgebra Introduccin al lgebra. Construyamos frmulas.

LECCIN 7 Ordenacin de Expresiones Algbricas

LECCIN 8 Suma y producto de Expresiones Algebraicas

LECCIN 9 Frmulas y patrones Algebraicos

LECCIN 10 Valor Numrico


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vir para la vida. es fundamental

entonces que el docente sepa

que estos contenidos servirn de

base para el desarrollo de con-

ceptos que, segn el marco de los

modos de pensamiento, transita-

rn por modos de pensamiento

geomtrico, aritmtico y estruc-

tural

Debemos asegurarnos que con-

forme el mundo se torna ms

tecnolgico, el razonamiento y

solucin de problemas que exige

el lgebra son requeridos en

diversos mbitos de trabajo.


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Segunda parteLecciones

Contenidos trabajados con enfoque CTI.


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6 Grado | Leccin 1 | Unidad 2 Tiempo: Cuatro horas clases.

Descripcin del tema

Desde la antigedad los polgonos (muchos ngulos) son formas

geomtricas estudiadas que presentan determinadaspropiedades grficas, las cuales es importante que el

estudiantado conozca para futuras aplicaciones.

En nuestro entorno es muy frecuente encontrar objetos con

forma poligonal, las estrellas de mar y algunas flores son los

ejemplos ms claros de seres de la naturaleza con forma de

estrella. Aunque tienen ese nombre, las estrellas del firmamento

son en realidad formas esfricas que tienen imagen estrellada,

solo de forma aparente en determinadas circunstancias.

La carambola es una fruta cuya seccin es una estrella de cincopuntas, las hojas de muchas plantas tambin tienen esta forma y

es en esta que se puede apreciar en la mayora de casos la

imaginacin de polgonos circunscritos.

Es evidente que los mtodos de construccin de polgonos

regulares para resolver problemas de aplicacin en la industria,

el diseo, la arquitectura y otras actividades se vuelve cada vez

ms trascendente. Asimismo, a travs del conocimiento de los

polgonos, el estudiantado puede comprender algunas

construcciones geomtricas trascendentes que se han

desarrollado a lo largo de la historia de la geometra.

En cuanto a la utilizacin de su forma, encontramos en los

polgonos una conexin general con el mundo, y es la

aplicacin de sus propiedades donde est la lgica del

aprendizaje significativo.

Figura 1. La Calzada de los Gigantes.

Irlanda del Norte.

Competencias por formar Comunicacin y representacin

grfica.

Razonamiento creativo y crtico.

El uso de instrumentos matemticos.

Objetivos Ser capaz de construir tringulos y

cuadrilteros, a partir de diferentes

datos.

Conocer los polgonos regulares y ser

capaz de construirlos.

Conocer los fundamentos tericos de

dichos trazados.

Diferenciar polgonos regulares y

estrellados, y conocer sus

aplicaciones.

PresaberesEn esta seccin es necesario recordarles

cmo se calcula el rea del rectngulo

as como mostrar que el rectngulo con

lados iguales es un cuadrado, fortalecerque todo cuadrado es un rectngulo,

pero que no todo rectngulo es un

cuadrado, fortalecer que todo cuadrado

es un rectngulo, pero que no todo

rectngulo es un cuadrado.
http://es.wikipedia.org/wiki/Asteroideahttp://es.wikipedia.org/wiki/Florhttp://es.wikipedia.org/wiki/Estrellashttp://es.wikipedia.org/wiki/Averrhoa_carambolahttp://es.wikipedia.org/wiki/Averrhoa_carambolahttp://es.wikipedia.org/wiki/Estrellashttp://es.wikipedia.org/wiki/Florhttp://es.wikipedia.org/wiki/Asteroidea


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Para recordarEn la naturaleza que nos rodea

encontramos numerosos

ejemplos de formas poligonales:

podemos descubrir hermosos

polgonos con variadas formas y

colores en flores, hojas, frutos...Con la ayuda de algunas de las

herramientas como GeoGebra

vamos a analizar algunas de

estas formas, y destacar las

formas matemticas que nos

sugieren. Los hexgonos ms

famosos de la naturaleza se

encuentran en el reino animal,

como el panal de cera que es una

masa de celdas hexagonales

construidas por las abejas para

contener sus larvas y almacenes

de la miel y del polen.

Un polgono es una porcin delplano, cerrada, limitada por un

nmero cualquiera de lneasrectas, cada una de las lneas se

llama lado, el punto donde se

cortan los lados se llama vrtice.

La longitud de la lnea quebrada

que rodea al polgono o la suma

de las longitudes de los lados se

llama permetro del polgono.Cules polgonos hemos visto

alguna vez?

El tringulo: polgono de treslados.

El cuadriltero: polgono decuatro lados.

El pentgono: polgono de cincolados.El hexgono: polgono de seislados.

El heptgono: polgono de sietelados.El decgono: polgono de diezlados.

Durante aproximadamente dos mil aos, el mundo matemtico supuso que Euclides haba dicho la ltima palabra yno se poda construir ningn otro polgono regular. Gauss demostr que no era as, cuando en 1,796 descubri que

un polgono regular de diecisiete lados era construible con comps. Vocabulario ClavePolgono convexoa) Todos sus ngulos menoresque 180.b) Todas sus diagonales son

interiores.Polgono regularDurante casi 2,000 aos, el

concepto de un polgono regular

permaneci tal y como lo

desarrollaron los antiguos

matemticos griegos. Se puede

caracterizar la definicin griega

como sigue: Un polgono regulares una figura plana convexa, cuyoslados y esquinas son iguales.Polgono estrelladoSe construye uniendo los vrtices

no consecutivos, de un polgono

regular convexo, de forma

continua.

Cules son los elementos de un polgono?Los lados: cada uno de los segmentos de la lnea poligonal.Los vrtices: puntos de interseccin entre cada dos segmentos o ladosconsecutivos.

Los ngulos interiores: determinados por cada dos lados consecutivos; ylosngulos exteriores: definidos como los suplementarios de losinteriores.

Las diagonales: o cada uno de los segmentos que unen dos vrtices noconsecutivos.

Figura 2. Elementos de un polgono.

Segn el nmero de lados, los polgonos pueden ser tringulos (treslados), cuadrilteros (cuatro lados), pentgonos (cinco lados), hexgonos(seis lados), heptgonos(siete lados), octgonos (ocho lados), etctera.


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Preliminares

Salvo en la flor de cuatro ptalos, no encontramos un polgono

regular que se adapte a la flor. La naturaleza es perfecta, aunque

el efecto del viento, del agua, etc., hace que la disposicin de los

ptalos de la flor no sea tan perfecta como en el modelo

matemtico que sigue. El resultado obtenido de insertarpolgonos en las flores puede ser similar al siguiente:

Figura 3. Polgonos en la naturaleza.

Cul es el nombre de estos polgonos?

Cuntos y cules son polgonos convexos?

Cuntos y cules son polgonos regulares?

Entre todos los polgonos regulares de igual permetro, encierran

ms rea aquellos que tengan mayor nmero de lados.Por eso las abejas construyen sus celdillas con forma hexagonal,

porque de esta manera, gastando la misma cantidad de cera para

hacer las celdillas que con forma triangular o cuadrada, consiguen

una mayor superficie.

Figura 4. Panal de abejas con mosaico hexagonal.

Polgonos estrellados, en elarte.En la fotografa podemos vercmo se encuentranfrecuentemente en lasdecoraciones del arteislmico, la geometra de lospolgonos en pavimentos,azulejos, estucos, rejeras.

Figura 5. Rosetn de la catedral deBurgos.

Figura 6. Rosetn de la catedral deBurgos, con un polgono estrellado

incrustado.


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Actividad 1Indicacin: En esta pgina va a encontrar formas geomtricas que aparecen tanto en la naturaleza, comoen objetos que utilizamos en la vida cotidiana. Concretamente proponga la bsqueda de estructurasgeomtricas con forma de polgono.

Figura 7Foto de un narciso.

Observe el narciso, sus ptalos determinan varios polgonos regulares.

Solucin

Figura 8. Hexgono circunscrito en el narciso.Actividad 2Indicacin: En este pavimento, creacin rabe, puede encontrar muchos polgonos. Busque el octgonoformado por un cuadrado y cuatro hexgonos irregulares iguales; y el hexgono irregular formado por doshexgonos y dos cuadrados.

Figura 9. Pavimento creacin rabe.


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Actividad 3Indicacin: Este mosaico romnico est formado por tringulos, cuadrados y hexgonos que determinanotro polgono regular, mrcalo.

Figura 10. Mosaico romnico.

Actividad 4Indicacin: El suelo est cubierto por estrellas y qu logotipo?, mrcalo. Despus de limpiar encuentra unhexgono con la misma rea que el logotipo.

Figura 11. Mosaico con estrellas.

Actividad 5Indicacin: Diseemos un mosaico.

Figura 12. Mosaico consecuencia de transformaciones geomtricas.


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Figura 13. Proceso de construccin de un mosaico por transformaciones geomtricas.

En algunas ocasiones es muy difcil reconocer el polgono inicial, sobre todo en las nuevas formasabstractas, de animales o de plantas; pero en la mayora de los casos, los polgonos generadores soncuadrados o tringulos equilteros.

Observa la secuencia de construccin de un mosaico, utilizando un polgono conocido, el cuadrado.


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Una familia de polgonos importante - Los cuadrilterosLos cuadrilteros se clasifican en consideracin a la posicin que ocupan sus lados, en:

Paralelogramos: Es un polgono que tiene la caracterstica que los dos pares de sus lados sonparalelos entre s

Los paralelogramos son:

El cuadrado: Polgono cuyos cuatro lados son iguales y sus cuatro ngulos son rectos.

Figura 14. El cuadrado.

El rectngulo: Polgono que tiene iguales dos lados, y los otros dos distintos, pero iguales entreellos (por lo cual es usual decir que son iguales dos a dos) y cuyos cuatro ngulos son rectos.

Figura 15. El rectngulo.

El rombo:Es el polgonocuyos cuatro lados son iguales, pero tiene dos ngulos agudos iguales ydos ngulos obtusos iguales.

Figura 16. El rombo.


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El romboide:Es el polgono que tiene sus lados iguales dos a dos, pero tiene dos ngulos agudosiguales y dos ngulos obtusos iguales.

Figura 17. El romboide.

Trapecios:Cuando solamente dos de sus lados son paralelos entre s, por ejemplo

Figura 18. Clasificacin usual de los trapecios.

Trapezoides: Polgono en el que ninguno de sus lados es paralelo a otro.

Figura 19. El trapezoide.

Actividad 6. Sntesis conceptualEn esta actividad el profesor, luego de dar a conocer las caractersticas de este tipo de polgonos,elaborar con los estudiantes un diagrama de rbol y complementar la informacin.


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Figura 20. Sntesis conceptual de los polgonos.

Actividad 7. Presente el siguiente esquema a los estudiantes y discuta con ellos segn las pistas dadas.

Figura 21. Desarrollo esquemtico del conocimiento de polgonos.


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Solucin de la actividad 7.

Figura 22. Solucin del desarrollo esquemtico del conocimiento de polgonos.


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Referencias bibliogrficas1. Coxeter, H. H. (1981). Fundamentos de Geometra. Mxico.2. Kant, I. (2004). Geometra del hombre. Recuperado junio 2, 2010, a partir de

http://platea.pntic.mec.es/aperez4/botanico/botanicodream.htm

3. Palmer, Claude Erwin. (1979,) Matemticas prcticas, Editorial Reverte.

4. profesor en lnea. (2011). Teselaciones. Recuperado junio 3, 2010, a partir dehttp://www.profesorenlinea.cl/geometria/Teselaciones.htm

5. Quispe, E. (1995), Geometra - Primer nivel, primera edicin, Lima Per.6. Teselados, grupo descartes (s.f.) Recuperado junio 3, 2010, a partir de

http://descartes.cnice.mecd.es/3_eso/teselacion/Indice_%20teselacion.htm.7. Teselados, (s.f.) Recuperado junio 3, 2010, a partir de http://www.geocities.com/teselados/.

Referencias de imgenes1. Figura 1: Fuente http://t0.gstatic.com/2. Figura 4: Fuente http://pleromahipotecado.wordpress.com/2011/05/08/%C2%BFcomo-habita-

la-forma-hexagonal-en-el-cerebro-de-la-abeja/3. Figura 20: Fuente http://boj.pntic.mec.es/~jherna34/ESO1/Poligonos/Cuadrilateros.jpg4. Figura 21:Fuente http://1.bp.blogspot.com/_v0EGYSC3BSQ/TLcbzm97nHI/AAAAAAAAAAM/GQl-

AW19iw/s1600/cuadrilateros+mary.jpg
http://descartes.cnice.mecd.es/3_eso/teselacion/Indice_%20teselacion.htmhttp://www.geocities.com/teselados/http://www.geocities.com/teselados/http://descartes.cnice.mecd.es/3_eso/teselacion/Indice_%20teselacion.htm


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6 Grado | Leccin 2 | Unidad 2 Tiempo: Cuatro horas clases.

Descripcin del temaPara los griegos se deba cumplir la exigencia de rigurosidad,no estaba permitido en las construcciones geomtricas algoms que la regla y el comps. Dicha exigencia se mantuvohasta pasada la Edad media.

En el siglo XVIII, los matemticos no haban establecido ancon claridad cules eran los polgonos regulares que seconstruan de acuerdo con las condiciones establecidas porlos griegos. De hecho, eran incapaces de determinar si existaalgn modo de dibujar un polgono regular de 17 ladosvalindose slo de una regla y un comps.

Gauss (1796), con slo 19 aos, encontr la forma deconstruir el heptadecgono (polgono regular de 17 lados)respetando las normas griegas. Lo conseguido por Gausspuede parecer que no tiene relevancia, pero la tiene si lacomparamos con lo que consigui Gauss. Aun as, es estaconstruccin la que da un impulso en 2,000 aos en elanlisis de los polgonos regulares.

Es este un punto de partida gracias a que Gauss seentusiasm en definitiva por la matemtica, dejando sus

estudios de filosofa, seguidos hasta antes de sudescubrimiento a los 19 aos.

Gauss dese que decoraran su lpida con un heptadecgono,aunque despus de su muerte en 1855, no se realiz suaspiracin, ya que una figura de este tipo podra serconfundida con un crculo, esto desanim al encargado deesculpir en su lpida, quedando el deseo del genio solamenteen las pginas de la historia de la matemtica.

Competencias por formar La interpretacin de grficos,

expresiones simblicas, o

ambas.

El Clculo simblico.

El Dominio lgico.

El modelaje matemtico.

Objetivos Saber realizar clculos con

porcentajes en situaciones de

la vida cotidiana. Conocer el significado del

IVA y cmo calcularlo.

Saber calcular un inters

simple en un prstamo o una

inversin.

Presaberes Conocimiento de expresiones

algebraicas.


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Propiedades des los polgonos regulares

Figura 2. Heptadecgono regular formadopor regla y compas

Se puede construir unheptadecgono (polgono regularde 17 lados) con regla y comps enel sentido clsico de este tipo deconstrucciones. A partir de este

hecho demostr un resultado msgeneral sobre construcciones conregla y comps.

Qu es un polgono regular?En un polgono regular todoslos lados tienen la mismalongitud y todos los ngulosinteriores son de la mismamedida.

La caracterstica de unpolgono regular, estdeterminada por lapropiedad de que puedentrazar y quedar inscrito enuna circunferencia, trazoque tocar cada uno de los

vrtices del polgono. Yque a medida que creceel nmero de lados del

polgono regular, suapariencia se asemejacada vez ms a la de unacircunferencia. Por ellosi se observa la figura delheptadecgono veremoscasi una circunferencia.

Vocabulario ClaveMuy importante!En un polgono regular podemos

distinguir:

Figura 3. Partes de un polgono.

Lado(L): Cada uno de los segmentos queforman el polgono.

Vrtice (V): Punto de unin de dos ladosconsecutivos de un polgono.

Centro(C): Es el punto central queequidista de todos los vrtices.

Radio(r): Es el segmento que une el centrodel polgono con uno de sus vrtices.

Apotema(a): Es el segmento perpendiculara un lado, hasta el centro del polgono.

Diagonal (d): Es el segmento que une dos

vrtices no continuos.

Dado un polgono regular este se diferencia por sus

propiedades que son de gran utilidad en la resolucin de

problemas geomtricos, es importante remarcar siempre

estas propiedades y hacerlas valer en cada problema que

involucre el clculo de su rea.

Los polgonos regulares son equilteros; todos

sus lados tienen la misma longitud.

Todos los ngulos interiores de un polgono

regular tienen la misma medida, es decir, son

congruentes.

El centro de un polgono regular es un punto

equidistante de todos los vrtices del

polgono.

Los polgonos se pueden dividir en tringuloscuyos lados son el lado del polgono y los dos

segmentos que unen el centro y los vrtices

(radios).

El apotema es el segmento que une el centro y

la mitad de cada lado del polgono.

El radio es el segmento que une el centro y

cada vrtice.

Todos los polgonos tienen tres o ms lados.
http://es.wikipedia.org/wiki/Segmentohttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo_interiorhttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo_interiorhttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulos_congruenteshttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulos_congruenteshttp://es.wikipedia.org/wiki/Circunferenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Lado_%28Geometr%C3%ADa%29http://es.wikipedia.org/wiki/V%C3%A9rtice_%28geometr%C3%ADa%29http://es.wikipedia.org/wiki/V%C3%A9rtice_%28geometr%C3%ADa%29http://es.wikipedia.org/wiki/Centro_%28geometr%C3%ADa%29http://es.wikipedia.org/wiki/Centro_%28geometr%C3%ADa%29http://es.wikipedia.org/wiki/Radio_%28geometr%C3%ADa%29http://es.wikipedia.org/wiki/Apotemahttp://es.wikipedia.org/wiki/Apotemahttp://es.wikipedia.org/wiki/Diagonalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Puntohttp://es.wikipedia.org/wiki/Puntohttp://es.wikipedia.org/wiki/Diagonalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Apotemahttp://es.wikipedia.org/wiki/Radio_%28geometr%C3%ADa%29http://es.wikipedia.org/wiki/Centro_%28geometr%C3%ADa%29http://es.wikipedia.org/wiki/V%C3%A9rtice_%28geometr%C3%ADa%29http://es.wikipedia.org/wiki/Lado_%28Geometr%C3%ADa%29http://es.wikipedia.org/wiki/Circunferenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulos_congruenteshttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulos_congruenteshttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo_interiorhttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo_interiorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Segmento


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Los ngulos de un polgono regular

Figura 4. ngulos de un polgono regular.

Entre los ngulos existentes en un polgono regular, podemos

distinguir

a) El ngulo central b) El ngulo interior c) El ngulo exterior

Polgonos regulares ms conocidos Tres lados: Tringulo equiltero Cuatro lados: Cuadrado

Cinco lados: Pentgono regular

Seis lados: Hexgono regular

Siete lados: Heptgono regular

Ocho lados: Octgono regular

Nueve lados: Enegono regular

Diez lados: Decgono regular Once lados: Endecgono regular

Doce lados: Dodecgono regular

Trece lados: Tridecgono regular

Catorce lados: Tetradecgono regular

Actividad 1Determinacin del nmero de

diagonales de un polgono regular,

y de paso, manipulacin de los

polgonos regulares.

Indicacin: Dir a sus estudiantesque respondan: cuntas

diagonales tiene un tringulo

equiltero? posteriormente

cuntas, un cuadrado? Cuntas,

un pentgono regular? Para

finalmente preguntar cuntas

diagonales tiene un hexgono

regular? Es ac donde inicia ladificultad.

SolucionesEl nmero de diagonales de un

tringulo es cero.

Figura 5. El nmero de diagonales en un

tringulo es cero.

Para el cuadrado el nmero de

diagonales es dos.

Figura 6. Nmero de diagonales en un

cuadrado.
http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo#.C3.81ngulos_respecto_de_una_circunferenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo_interiorhttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo_exteriorhttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo_exteriorhttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo_interiorhttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo#.C3.81ngulos_respecto_de_una_circunferencia


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Continuacin de la actividad

Se deber usar colores o letras

para que el estudiante verifique

los resultados obtenidos.

Para el pentgono el nmero de

diagonales es cinco.

Figura 7. Diagonales de un pentgono

Para el hexgono el nmero de

diagonales es nueve.

Figura 8. Diagonales de un hexgono.

Al final tendr el siguiente

patrn de datos

Tringulo: cero diagonales.

Cuadrado: dos diagonales.

Pentgono: cinco diagonales.

Hexgono: nueve diagonales.

Cmo lo generalizamos?

Nmero de diagonales de un polgono

Figura 9. Representacin de las diagonolases de un hexagno.

Para determinar el nmero de diagonales N, de un polgono de nvrtices realizaremos el siguiente razonamiento:

De un vrtice cualquiera partirn (n

3) diagonales,

donde n es el nmero de vrtices, dado que no hayninguna diagonal consigo misma, ni con ninguno de los

dos vrtices contiguos.

Esto es vlido para los n vrtices del polgono.

Una diagonal une dos vrtices, por lo que aplicando el

razonamiento anterior tendramos el doble de diagonales

de las existentes. ( 3)Segn este razonamiento tendremos que:

() es el nmero dediagonales de un polgono regular, en realidad esta frmula

funciona para cualquier polgono convexo.

Llamemos = () el nmero de diagonales del polgono,podemos ver que:

Para un tringulo el nmero de diagonales es () = 0

Para un cuadrado el nmero de diagonales es () = 2

Para un pentgono el nmero de diagonales es () = 5Para el hexgono el nmero de diagonales es () = 9Cuntas diagonales tiene el heptadecgono de Gauss?


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Triangulacin y ngulos de un polgono regularLos polgonos regulares tienen todos sus ngulos iguales, es fcil calcular cunto miden sus ngulos

internos y sus ngulos externos. En general, cuando se habla de los ngulos internos de un polgono, se le

refiere en singular, expresada en otros trminos, se dice el ngulo interno del polgono, porque es el

mismo valor para todos los ngulos.

Para verificar que hablamos en los mismos trminos, establezcamos que el ngulo interno de un polgonoes y que el ngulo externo es .

Figura 10. Angulo interior y exterior de un hexgono

Hace ms de dos mil aos, Euclides, matemtico griego, demostr que la suma de los tres ngulos internos

de cualquier tringulo es exactamente 180.

Tomemos como ejemplo un hexgono. Lo primero que hacemos es dividir al hexgono en tringulos,

trazando lneas desde uno de los vrtices.

Figura 11. Divisin de un hexgono en tringulos.

Con estas lneas que trazamos hemos distribuido los ngulos del hexgono en cuatro diferentes tringulos.

Por lo tanto, podemos decir que los ngulos de los tringulos forman los ngulos del octgono. Como

hemos formado cuatro tringulos y como los ngulos internos de cada uno de ellos suman 180, sabemos

que la suma total de todos los ngulos del hexgono es igual a lo que vale la suma de los ngulos en cada

tringulo, es decir, 4 x 180 o sea 720.

En efecto, la suma de los ocho ngulos del hexgono regular es de 720. Ahora, como sabemos que todos

los ngulos del octgono regular miden lo mismo, para saber cunto mide cada uno de ellos, hay quedividir 720 entre seis que es el nmero de ngulos internos del hexgono regular. Luego, cada uno de los

ngulos internos de un octgono regular mide 120.

El ngulo interno y el ngulo externo son suplementarios, es decir, suman 180. As que para saber cunto

mide el ngulo exterior del octgono, slo hay que restar 120 de 180; (180-120). El ngulo externo de

un hexgono mide 60.

Para poder sacar una frmula, necesitamos hacer una generalizacin: saber cuntos tringulos se forman

cuando trazamos diagonales desde un solo vrtice.


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Notemos que si n es el nmero de lados del polgono, desde un vrtice se pueden trazar (n - 3) diagonales

y obtenemos (n - 2) tringulos.

Recuerde que para saber cunto mide el ngulo interno del hexgono multiplicamos 4 x 180 (es decir,

multiplicamos el nmero de tringulos por la cantidad que suman los ngulos internos de cada uno de

ellos) y al final dividimos esta cantidad entre seis, el nmero de lados del hexgono.

Es eso precisamente lo que tenemos que hacer con cualquier polgono: multiplicar el nmero detringulos (n- 2) por 180 y dividirlo entre el nmero de lados n. La frmula general queda entonces as:

Si n es el nmero de lados del polgono, entonces el ngulo interno mide = () Actividad 2.Indicacin: En esta actividad el estudiante, con la informacin proporcionada por el docente completar lasiguiente tabla para fijar el conocimiento, se deber preguntar el nombre en cada caso y adems, hacer un

respectivo grfico para una mejor comprensin.

Tabla1. Clasificacin de polgonos.

Numero delados Nombre delpolgono Nmero dediagonales Nmero detringulos ngulointerno nguloexterno4 Cuadrado 2 2 90 90

5 Pentgono 5 3 108 72

6 Hexgono 9 4 120 60

7

8

9

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Pregunte a sus estudiantes cunto mide el ngulo interno del polgono de Gauss?

rea de un polgono regularEl rea de un polgono regular est dada en funcin del permetro y la apotema, sabe cmo deducir lafrmula? Sabe cmo aplicarla si le dan solamente la apotema, o el permetro, o un lado del polgonoregular? Puede aplicar este conocimiento para calcular la cantidad de pintura a fin de pintar la fachada de

un edificio?


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Consideremos este hexgono regular

Figura 12. Divisin de un hexgono regular.

Notemos que tenemos seis tringulos, y que el apotema de dicho hexgono es tambin la altura del

tringulo que tiene base x, por lo tanto podemos calcular que el rea del hexgono es:

Figura13. Divisin de un hexgono regular mediante tringulos.

Notemos que el rea de cada tringulo es: y entonces tenemos que el rea del hexgono es: =6 =3. Pero sabemos que x es el valor de uno de los lados, entonces = donde es el

permetro del hexgono y , su apotema.


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= 12 (128)(16) =1024

= 6103 = 603 = 12 603 (20) =6003

AplicacionesIndicacin: Reflexione con susestudiantes las siguientes

aplicaciones del resultado anterior.

EjemploCalcular el rea de un cuadrado con

apotema 16 cm.

Figura 14. Cuadrado y su apotema

Segn el teorema anterior con el

apotema de 16 cm su lado valdra 32

cm, y su permetro 4 (32 cm) = 128

cm, luego el rea del cuadrado sera

= EjemploCalcule el rea de un hexgonoregular de apotema 103 cm y lado20 cm.

Figura15. Hexgono regular.

Nuevamente el permetro sera

Actividad de AplicacinIndicacin:En esta actividad los estudiantes debern resolverel siguiente problema, teniendo el cuidado de que siempre

establezcan cmo se llaman el polgono que estn

manipulando y los elementos que contienen.

El telescopio ptico Hobby-Eberly en Fort Davis, Texas, es elms grande de Amrica del Norte. El espejo principal del

telescopio est formado por 91 espejos ms pequeos que

forman una figura hexagonal. Los espejos ms pequeos son

hexgonos con longitudes de lado de 0.5 metro y apotema

= metro.Halla el permetro y el rea de uno de los espejos ms

pequeos y el rea del espejo principal.

Figura 16. Telescopio ptico Hobby-Eberly en Fort Davis, Texas.SolucinComo cada lado tiene 0.5 metro y su apotema es a = entonces el rea es A = m = m donde P = 6(0.5m) =3m y a = , as el rea de los espejos es m y su permetroes 3m. El espejo principal tendr un rea de 91 m

59.1m

Figura 17. Comparacin del tamao del espejo con el de un hombre de

estatura media.


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Gua de problemasProblema 1Queremos construir una pared de 12.5 m de largo y 34 metros de ancho, si en cada metro cuadrado se

coloca 75 ladrillos, cuntos necesitamos?

Problema 2Para construir una pared de 19 dm (decmetros) de largo por 4.2 m de alto, se han colocado 80 ladrillos

por metro cuadrado cuntos ladrillos tiene la pared?

Problema 3En el centro de un jardn cuadrado de 120 m de lado, hay una piscina que tiene forma de pentgono

regular de 8 m de lado y 6.5 m de apotema. Cuntos tiene el jardn sin la piscina?


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Problema 4El suelo de una galera de 27 m por 3 m, se ha de enlosar con baldosas hexagonales regulares, de 0.9 dm

de lado y 0.6 dm de apotema. Cuntas baldosas se necesitarn?

Problema 5Calcula el rea de las coronas poligonales del mosaico representado (las formadas por cuadrados y

tringulos que rodean a cada uno de los hexgonos). El lado del hexgono es igual al del dodecgono y

mide 30 cm. La apotema del hexgono mide 25.98 cm. La apotema del dodecgono mide 55.98 cm.

Problema 6Una empresa fabrica sombrillas para la playa. Para ello usa tela cortada en forma de polgono regular.

Calcula la cantidad de tela que necesitar para fabricar 36 sombrillas de 10 lados si sabemos que el lado

mide 173 cm y su apotema mide 266.21 cm.Problema 7 Investigando!En el arte, el diseo textil y las matemticas, resulta muy interesante poder saber qu polgonos recubren

totalmente al plano, sin dejar espacios vacos ni superponerse entre ellos. En la siguiente escena puedes

probar con algunos de ellos. Cules te permiten recubrir totalmente el plano?

Con cualquier otro polgono regular no sera posible cubrir todo el plano, aunque s sera posible, en

algunos casos, utilizando polgonos distintos, por ejemplo, cuadrados y octgonos.

Es posible cubrir el plano con otro tipo de polgono? Qu piensas? Es posible si utilizamos ms de un

polgono?


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Referencias bibliogrficas1. Coxeter, H. H. (1981). Fundamentos de Geometra. Mxico.

2. Palmer, Claude Irwin. (1979), Matemticas prcticas, Editorial Reverte.

3. Quispe, E. (1995), Geometra - Primer nivel, primera edicin, Lima Per.4. profesor en lnea. (2011). Teselaciones. Recuperado junio 3, 2010, a partir dehttp://www.profesorenlinea.cl/geometria/Teselaciones.htm

5. Polgonos (s.f.) Recuperado julio 28, 2010, a partir de

http://www.cienciorama.unam.mx/index.jsp?action=vrArticulo&pagina=materia&aid=193

6. Teselados, grupo descartes (s.f.) Recuperado junio 3, 2010, a partir de

http://descartes.cnice.mecd.es/3_eso/teselacion/Indice_%20teselacion.htm.

7. Teselados, (s.f.) Recuperado junio 3, 2010, a partir de http://www.geocities.com/teselados/ .
http://www.cienciorama.unam.mx/index.jsp?action=vrArticulo&pagina=materia&aid=193http://descartes.cnice.mecd.es/3_eso/teselacion/Indice_%20teselacion.htmhttp://www.geocities.com/teselados/http://www.geocities.com/teselados/http://descartes.cnice.mecd.es/3_eso/teselacion/Indice_%20teselacion.htmhttp://www.cienciorama.unam.mx/index.jsp?action=vrArticulo&pagina=materia&aid=193


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6 Grado| Leccin 3 | Unidad 3 Tiempo: Cuatro horas clases.

Descripcin del temaMuchas de las actividades cotidianas tienen vinculacin

directa con el manejo de informacin que nos permite enalgn momento tomar decisiones sobre nuestro futuro,

esta informacin muchas veces est vinculada a un

nmero, por ejemplo, el impuesto sobre la renta, muchas

veces nos preguntamos: cunto debo pagar en impuesto

si tengo un salario de $350?, cunto tendra que pagar

de IVA si el precio de un producto es $25? Si el precio de

la gasolina aument en un 5% del precio anterior cul es

el nuevo precio?

Estos son solo algunos ejemplos en los cuales es

necesario tener conocimientos slidos de clculo deporcentajes, ms aun cuando vemos ofertas que debemos

meditar, por ejemplo:

Ha escuchado o visto las frases siguientes en el

supermercado:

1) Compre dos y pague tres!

2) La segunda unidad a mitad de precio!

3) Si compra dos, le regalamos el tercero!

4) Un 25% ms de producto gratis!

Cul de estas es la mejor para nuestra economa?

Qu debo hacer para saber cmo calcular la mejor

solucin?

En esta leccin se responder estas preguntas utilizando

la herramienta de los porcentajes.

Competencias por formar Comunicacin y representacin

Razonamiento crtico y creativo

Dominio lgico

Anlisis e interpretacin de

resultados

Objetivos Definir y conocer los porcentajes

Identificar la utilizacin de losporcentajes en la vida cotidiana

Analiza planteamientos de

problemas en situaciones para la

toma de decisiones.

PresaberesEn esta seccin recordar la regla de

tres simple, fracciones y proporciones,

sumas y productos.

Figura 1. En cuntas ocasioneshemos observado estos valores enlos supermercados del pas?


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Actividad Comentada al estudiante

Es fundamental cuidarnuestro porcentaje de agua

En la televisin o en la radio

habrs escuchado que el banco

ha tenido un 7% de beneficios,

esto quiere decir que por cada

100 dlares ha conseguido sietems y ahora tiene 107 dlares. El

porcentaje de beneficio ha sido

el 7%. Porcentaje o tanto por

ciento quiere decir lo mismo.

La ley del IVA dice que todos

los comerciantes pagarn al

Estado un impuesto del 13%

de todas las ventas. Si una

tienda ha vendido 100

dlares pagar al Estado 13

dlares; si hubiese vendido

200 dlares, tendra que

pagar 26 dlares.

Ejemplos claveIndicacin: Resuelva estos ejercicios

inicialmente y comparta las soluciones

comentando las partes en oscuro,

insistiendo peridicamente en este

anlisis.La expresin 3% la leeremos como trespor ciento

, esta expresin significatomamos tres de cada cien partes .Qu significa 15% de 200? Aqu lapalabra clave es de que se traduceveces, multiplicado por osimplemente por. As, 15% de 200 es15%20015%200= 2 0 0 =1 5 2 = 3 0. Es decir, que el 15% de200 es 30.

Qu porcentaje de 500 es 75? Aqu

buscamos el porcentaje que representa75 de 500, si dividimos 75 entre 500 su

resultado es 0.15 lo que como sabemos

es 15/100.

El trmino usado en aritmtica como por ciento derivadel idioma latn. Originalmente per centum, quesignifica por el cien. El porcentaje es un grupo defracciones cuyos denominadores son 100. Dado el intensouso del centsimo desapareci la coma decimal y secoloc el smbolo %, que se lee por ciento (por cien).Entonces, 0.1 y 10 % representan el mismo valor,

10/100, de igual manera 0.23 y 23% representa el mismovalor que 23/100, El primero se lee diez centsimos y elsegundo se lee veintitrs por ciento.Por lo general, el por ciento se usa para referir valores

relativos. El decir el 25 por ciento de trabajadores deuna empresa no asistieron a trabajar nos da una idea dequ parte de la tripulacin se ha ido, pero no nos dicecuntos. Cuando es necesario usar un por ciento en

clculo el nmero se escribe en su forma decimal para

evitar confusiones.

Convirtiendo todas las fracciones decimales de modo que

todas ellas tengan el denominador comn 100, se logra

visualizar mentalmente el tamao relativo de la parte

total que est siendo considerada.

Fuente: http://www.sapiensman.com/matematicas/matematicas11.htm
http://www.sapiensman.com/matematicas/matematicas11.htmhttp://www.sapiensman.com/matematicas/matematicas11.htm


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VocabularioIVA:El Impuesto al Valor Agregado (IVA) es un impuesto alconsumo, que se aplica a la venta de cosas, a la prestacin

de servicios y a las importaciones de ciertos bienes. Los

impuestos al consumo gravan al acto de consumir bienes y

servicios: tanto alimentos, bebidas, combustibles, serviciospblicos, seguros, etc.

Tasa de Inters: En general, se denomina tasa de inters alporcentaje de capital o principal, expresado en centsimas,

que se paga por la utilizacin de ste en una determinada

unidad de tiempo (normalmente un ao).Utilidad: Beneficio que se obtiene de una cosa, para nuestrocaso, la cantidad de dinero generada al final de un periodo

de inversin

Actividad 1Cunto dinero tendr al final de tres aos, si ahorro $100?

Cunto habr ganado?

Cul es mi porcentaje de ganancia al final de los tres aos?

Supongamos que guardo $100 en un banco local, y me danun inters de 5% por cada ao, esto significa que al final del

primer ao tendr 5% de 100 esto esx $ 100 = $5

Entonces al final del primer ao tendr $100 + 5 = 105.

Al final del segundo ao tendr 105 + 5% de 105

Esto es 105 + x $105 = 105 + 5.25 = $110.25.

Al final del tercer ao tendr $ 110.25 + 5% de

110.25Esto es 110.25 + x $110.25 = 110.25 + 5.5125 =$115.7625

La primera respuesta $115.7625La pregunta cunto habr ganado?, es 15.7625

y el porcentaje ganado es. =0.157625

Actividad 2Indicacin: Proponga lossiguientes problemas a susestudiantes, haciendo nfasis en loestudiado hasta las actividadesanteriores, proponga la lectura delos ejemplos anterioresreflexionando las soluciones.

1. Cul es el 12% de $120?2. Si un DVD cuesta $56

cunto deber pagar sidebo cancelar, adems de

los $56, el IVA?3. Qu porcentajerepresenta de aumento enel precio de un productoque cuesta 120 y hace unmes costaba 60?

4. Qu nmero es mayor, el40% de 50 o el 50% de 40?

5. Qu nmero es mayor40% de 50% o 40 de 50?

Solucin1.

120=14.42. 56 56=$63.283. 200%4. 4. Son iguales5. 40 de 50


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Actividad 3

Indicacin: En esta actividad debersimular el razonamiento expuesto enla actividad 1 e inducir a una frmula

algebraica que permita calcular ambas

soluciones a estos problemas.

Debemos fortalecer el razonamiento

inductivo y conjeturar un modelo

algebraico que nos permita calcular,

experimentar y, por supuesto, tomar

decisiones, es necesario tambin

explicar con precisin cada paso en el

proceso de solucin de este problema,se debe insistir en la asociacin de

cantidades o factorizacin, as como en

la potenciacin como medio de

escritura.

Problema

Suponga que invierte dos cantidadesiguales en dos bancos diferentes, estas

cantidades son $1,000, en el banco A,

la tasa de inters es de 3% mensual, y

en el banco B, es de 9%

trimestralmente, en cul de los

bancos hay mayor utilidad al final de

un ao? Escribir una frmula general

para cualquier problema, a partir de

los resultados obtenidos en ambos

casos.

= (1 )

Solucin de Actividad 3Para el banco A:

a) En el primer mes se tendr 10000.031000Es decir utilizando la propiedad asociativas, de los nmeros

1,000(1+0.003)

b) En el segundo mes se tendr 1,000(1 + 0.03)+1,000(1 +

0.03)0.03

Utilizando la propiedad asociativa

1,000(1 + 0.03) (1 + 0.03)

c) En el tercer mes se tendr

1,000(1 + 0.03) (1 + 0.03) + 1,000(1 + 0.03)(1 +

0.03)(0.03)

Utilizando la propiedad asociativa

1,000(1 + 0.03) (1 + 0.03) (1 + 0.03), notemos que hayun patrn, digamos que al final de un ao tendramos

1,000 multiplicado por (1 + 0.03) doce veces lo que es

equivalente a 1,000(1 0.03)Total = 1,425.760Entonces, que tenemos una utilidad de 4,25.60 productos de los

intereses

Para el banco A, haremos similar procedimiento

a) 1,000 + 0.09 * 1,000 =1000(1 + 0.09) en el primer

trimestre

b) En el segundo trimestre 1000(1 + 0.09) + 1,000 (1 +0.09)(0.09)

1,000(1 + 0.09) (1 + 0.09)

c) Notemos que para el tercer trimestre tendremos

1,000(1 + 0.09) (1 + 0.09) (1 + 0.09)

d) As para el ltimo semestre ser

1,000(1 + 0.09) (1 + 0.09) (1 + 0.09) (1 + 0.09) =

1,411.58Total = 1,411.58Expresamos, que tenemos una utilidad de 411.58 de intereses

Por lo tanto nos conviene un inters de 3% mensualmente.En efecto se puede deducir que:

C: Cantidad, I: Inters, n: Periodos

As si tenemos un capital de $125 y un inters de 2%,

mensualmente Cunto capital tendremos al final de 15

meses?


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Saba queEspaa es el pas del mundoen el que Google tiene unapopularidad mayor a un99%, cifra que siempre ha

sorprendido, incluso a lospropios directivos de Google.Hay pases que se mencionaque la cuota de mercado esbastante inferior: EE.UU.42%; Reino Unido, 75%;Alemania, 91%. En otroslugares el uso de Google estan bajo As por ejemplo, enChina, no supera el 21%, y

Japn, no tiene ni la mitad deusuarios que Yahoo!

Investigar en internet

Cuntos alemanes tienenservicio de internet? Deducircon la medicin, el nmerode alemanes que usan Googlecomo motor de bsqueda deinformacin.

Repetir el caso para calcularel nmero de chinos queusan Google como motor debsqueda de informacin.

Fuente:http://www.cosassencillas.com/articulos/documental-google-tras-la-pantalla

Actividad 5.Indicacin: En esta actividad el estudiante trasladar cada uno de losdatos a porcentajes, ser necesario que se reflexione cada uno de los

datos, haciendo comentarios sobre el futuro de la humanidad, y la

necesidad de adquirir compromisos individuales para cambiar estos

porcentajes, y hacer del mundo un lugar ms digno y justo para vivir,se pueden hacer parejas y luego comentar los resultados.

Si reducimos el mundo a 100 personas, el resultado de un estudio

hecho sobre los ndices de 2001, sera como sigue:

En el ncleo urbano viviran 47 personas, las otras 53 viviran en

aldeas alejadas, bosques y selvas.

Razas. Sesenta y uno seran asiticos y el resto de treinta y nueveseran, trece americanos, trece africanos, doce europeos y un

ocenico.

Religin.Treinta y tres seran cristianos, dieciocho musulmanes,diecisis ateos, catorce hinduistas, seis budistas y trece en religiones

minoritarias y sectas.

Sanidad.Cuarenta y tres no tendran sistema sanitario alguno, nueveseran discapacitados, uno tendra sida, uno estara a punto de morir

y dos a punto de nacer.

Educacin. Catorce analfabetos, siete nivel secundario y unouniversitario.

Economa. El 60% de la riqueza estara en manos de seis personas,cinco seran norteamericanas y una europea. Las otras noventa ycuatro personas dispondran tan solo del restante 40%.

De esas noventa y cuatro, cincuenta y tres dispondran de dos dlares

diarios para vivir, dieciocho solo tendran un dlar diario, veintitrs

tendran algo de dinero disponible, pero no riqueza. Dieciocho no

tendran agua corriente, ni siquiera cerca de sus casas, y trece

moriran por hambre.

De esos 100, slo 25 tendran un frigorfico con comida, cama concolchn, armario con ropa para cambiarse, y un techo u hogar digno.

20 viviran en construcciones rsticas.

Por cada dlar que las religiones invierten en ayuda para la gente

necesitada, gastan de 60 a 100 dlares para pagar edificios, salarios y

otros gastos de consumo.

Fuente:

http://www.seriesflash.com/n/SERIES_DE_FICCION/El_Mundo_con_

100_Personas/El_Mundo_con_100_Personas.php
http://www.cosassencillas.com/articulos/documental-google-tras-la-pantallahttp://www.cosassencillas.com/articulos/documental-google-tras-la-pantallahttp://www.cosassencillas.com/articulos/documental-google-tras-la-pantallahttp://www.cosassencillas.com/articulos/documental-google-tras-la-pantallahttp://www.cosassencillas.com/articulos/documental-google-tras-la-pantallahttp://www.cosassencillas.com/articulos/documental-google-tras-la-pantalla


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Indicacin: Comente el siguienteprrafo con sus estudiantes y

solicteles que calculen y

respondan las preguntas al final

de la nota.

De acuerdo con una base de

datos recopilada por la Unidadde Desarrollo Sostenible y

Medio Ambiente, las

inundaciones constituyen los

desastres naturales ms

frecuentes de Centroamrica.

De los aproximadamente 850

eventos desastrosos registrados

entre 1960 y 1995 en

Centroamrica, ms de dos

tercios (68%) fueron causados

por inundaciones.

Si de 2010 a 2014 se pronostica

un aumento de 46% respecto a

los registrados entre 1960 y

1995 de cuntos eventos

estamos hablando?

Los daos producidos por

inundaciones tienen inmensoscostos sociales, econmicos y

ambientales, ya que, si bien es

muy difcil eliminarlos

totalmente, es posible

minimizarlos mediante

programas, proyectos y

actividades que apunten a

reducir la vulnerabilidad de la

infraestructura econmica y

social.

Fuente:

http://www.oas.org/nhp/inundacion%

20link3.htm

Solucin de Actividad Introductoria1) Compre dos y pague tres!

2) La segunda unidad a mitad de precio!

3) Si compra dos le regalamos el tercero!

4) Un 25% ms de producto gratis!1) Si compro un artculo en 100, dos me costaran 200 y tres 300,

pagara entonces =$66.7 por cada uno.

2) Si pago 100 por el primer artculo pagara 50 por el segundo, me

estara ahorrando $25 por cada artculo.

3) Este caso es el mismo del numeral 1, pero en otras palabras

4) Si un producto vale 100, tendra que comprar cuatro artculos

para que me den uno gratis.

CTIVIDAD FINALIndicacin: Reflexione los siguientes datos con losussestudiantes y comente estos solicitndoles que traduzcan los

porcentajes a datos; analice con ellos los resultados haciendo

una valoracin. En la actividad evaluativa sera preciso retomar

algunos datos que permitan a estudiantes hacer valoraciones y

reflexiones sobre los ndices porcentuales de la poblacin; se

pueden colocar, entre otra cosas, porcentajes de deforestacin,

criminalidad, remesas, etc.La poblacin de El Salvador es de 5.744,113 habitantes (censo

2007); el 86% de la poblacin es mestiza, es decir, mezcla de

indgenas con europeos. El 12% lo componen blancos de

ascendencia espaola y de otros lugares de Europa.

Aproximadamente el 1% es indgena y muy pocos indgenas han

retenido sus tradiciones. Virtualmente todos los habitantes de El

Salvador hablan espaol. El ingls es hablado por personas en

posiciones de clase alta, acadmicas o de negocios; otras segundas

lenguas enseadas, son el francs y el alemn.El rea metropolitana de San Salvador tiene una poblacin de

1.566,569 habitantes. Aproximadamente el 37% de la poblacin

salvadorea vive en zonas rurales. El ente oficial encargado de los

registros y estudios demogrficos es la Direccin General de

Estadstica y Censos (DIGESTYC) del Ministerio de Economa.

Fuente: http://tecnologia2000.com/es/enciclopedia-general-psicologia-on-line-wiki-letra-

d/35258-demografia-de-el-salvador.html
http://es.wikipedia.org/wiki/El_Salvadorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Mestizohttp://es.wikipedia.org/wiki/Europahttp://es.wikipedia.org/wiki/El_Salvadorhttp://es.wikipedia.org/wiki/El_Salvadorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Idioma_espa%C3%B1olhttp://es.wikipedia.org/wiki/Idioma_ingl%C3%A9shttp://es.wikipedia.org/wiki/Idioma_franc%C3%A9shttp://es.wikipedia.org/wiki/Idioma_alem%C3%A1nhttp://tecnologia2000.com/es/enciclopedia-general-psicologia-on-line-wiki-letra-d/35258-demografia-de-el-salvador.htmlhttp://tecnologia2000.com/es/enciclopedia-general-psicologia-on-line-wiki-letra-d/35258-demografia-de-el-salvador.htmlhttp://tecnologia2000.com/es/enciclopedia-general-psicologia-on-line-wiki-letra-d/35258-demografia-de-el-salvador.htmlhttp://tecnologia2000.com/es/enciclopedia-general-psicologia-on-line-wiki-letra-d/35258-demografia-de-el-salvador.htmlhttp://es.wikipedia.org/wiki/Idioma_alem%C3%A1nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Idioma_franc%C3%A9shttp://es.wikipedia.org/wiki/Idioma_ingl%C3%A9shttp://es.wikipedia.org/wiki/Idioma_espa%C3%B1olhttp://es.wikipedia.org/wiki/El_Salvadorhttp://es.wikipedia.org/wiki/El_Salvadorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Europahttp://es.wikipedia.org/wiki/Mestizohttp://es.wikipedia.org/wiki/El_Salvador


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Problema 1Analiza estos datos con tu docente, y deduce el nmero de habitantes al que se refiere el siguiente

artculo.En seis departamentos, ms de la mitad de los habitantes est en situacin de pobreza, sea extrema orelativa, lo que es un factor de preocupacin muy alto para el pas (porque) se siguen notando

evidentemente las desigualdades, indic Dada. Cabaas tiene las tasas ms altas, con casi 60%,seguido de Morazn (57.3%), Ahuachapn (56.5%), San Vicente (51.5%), Usulutn (51.3%) yChalatenango (50.4%).La pobreza extrema tiene su lado ms crnico en Ahuachapn, con 27%, mientras que la pobreza

relativa ms representativa est en Usulutn, que se ubic el ao pasado en 35.5%. Para Corleto, uno

de los factores que incidi significativamente en el incremento de la pobreza es el alza de la canastabsica urbana per cpita. Junto a la rural subi alrededor de 16% durante 2008. (Est) asociadoparticularmente al efecto que tuvo el aumento de los precios internacionales de petrleo en costos de

transporte y pro

duccin, dijo.Escrito por German Rivas, La Prensa Grfica, jueves, 13 de agosto de

2009.

EL SALVADORPROYECCIONES DE POBLACIN

POR SEXO, SEGN DEPARTAMENTO2010

DEPARTAMENTOPOBLACIN PROYECTADA

TOTAL H0MBRES MUJERESTOTAL 71440,662 31662,603 31778,059

Ahuachapn 392,446 195,404 197,042

Santa Ana 667,392 328,943 338,449

Sonsonate 568,725 281,187 287,538

Chalatenango 206,890 108,508 98,382

La Libertad 880,107 433,084 447,023

San Salvador 21357,761 11126,197 11231,564

Cuscatln 222,290 110,132 112,158

La Paz 334,821 171,743 173,078

Cabaas 160,850 82,356 78,494

San Vicente 180,793 92,346 88,447

Usulutn 357,942 179,130 178,812

San Miguel 599,173 294.341 304,832

Morazn 184,757 95,674 89,083

La Unin 316,715 163,558 153,157

Fuente: proyecciones de Poblacin de El Salvador 1995-2025.


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Problema 2Analiza los siguientes datos con tu docente y traslada a porcentajes los datos en cada caso

Hombres: 3.382,839

Mujeres: 3.565,234 0-14 aos: (hombres 1.281,889/mujeres 1.228,478)

15-64 aos: (hombres 1,942,674/mujeres 2,134,154)

65 aos y ms: (hombres 158,276/mujeres 202,602) (2007)

Estudios realizados por el ingeniero Stuart Solrzano, del Centro de Investigaciones Demogrficas

de El Salvador

Problema 3Un navegador es un programa que permite ver la informacin que contiene una pgina web,

tambin le permite interactuar con su contenido y navegar hacia otros lugares de la red medianteenlaces.

Los ms importantes son:

Internet Explorer

Mozilla Firefox y Mozilla

Opera

Safari

Chrome

En el mundo hay ms de mil millones de personas usuarias de internet, segn la consultora Market

Share,

De cuntas personas usuarias de los navegadores estamos hablando?


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Referencias Bibliogrfas1. Barnett, R. (1995). lgebra elemental. Serie Schaum. McGraw Hill. Mxico

2.

Fiol, M. L. y Fortuny, J. (1990). Proporcionalidad. Madrid. Espaa3. Gobran, A. (1990). lgebra elemental. Iberoamrica. Mxico.

4. Jimnez, Douglas (2002). lgebra la Magia del Smbolo, Los libros del Nacional EditorialCEC,SA. Venezuela

5. Smith, S.; Charles, R.; Dossey, J. (1992). lgebra. Addison-Wesley. Mxico


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6 Grado | Leccin 4 | Unidad Tiempo: dos horas clases.6 Grado | Leccin 4 | Unidad Tiempo: dos horas clases.

Descripcin del temaEl sistema de numeracin maya est basado en un sistema debase 20 (vigesimal) y de base 5. Los mayas desarrollaron elconcepto de cero. Los nmeros mayas nacen de la necesidad

de medir el tiempo, ms que de una cuestin matemtica. As,

los nmeros representan los das, meses y aos con el que

organizaban su calendario. Con solo tres smbolos y con

cantidades agrupadas en veintenas, en distintos niveles se

poda representar todo tipo de cifras.

Los tres smbolos utilizados eran el punto, equivalente a uno,

la raya, equivalente a cinco y el caracol, equivalente a cero.

Con el sistema en base 20 y con estos tres smbolos, podemos

representar sin dificultad hasta el nmero 19: as, con tresrayas horizontales el resultado es quince y con cuatro puntos

cuyo valor es cuatro llegamos al nmero 19, el mximo valor

por representar en cada nivel. As cada nivel se suma al

anterior, empezando desde abajo.

Figura 2. Nmeros mayas del 1 al 19

Competencias por formar La Comunicacin y

representacin numrica.

El Razonamiento creativo ycrtico.

El clculo simblico.

Objetivo Conocer los nmeros mayas

sus propiedades y relevancia en

la historia de la humanidad

como elemento de fechado y

registro de hechos y

actividades.

Presaberes Operaciones elementales con

nmeros naturales.

Figura 1. Cdice de Dresde.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/85/Dresden_Codex_p09.jpghttp://viajesnorteamerica.com/wp-content/numeros-mayas.pnghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/85/Dresden_Codex_p09.jpghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/85/Dresden_Codex_p09.jpghttp://viajesnorteamerica.com/wp-content/numeros-mayas.pnghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/85/Dresden_Codex_p09.jpghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/85/Dresden_Codex_p09.jpghttp://viajesnorteamerica.com/wp-content/numeros-mayas.pnghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/85/Dresden_Codex_p09.jpghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/85/Dresden_Codex_p09.jpghttp://viajesnorteamerica.com/wp-content/numeros-mayas.pnghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/85/Dresden_Codex_p09.jpghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/85/Dresden_Codex_p09.jpghttp://viajesnorteamerica.com/wp-content/numeros-mayas.pnghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/85/Dresden_Codex_p09.jpghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/85/Dresden_Codex_p09.jpghttp://viajesnorteamerica.com/wp-content/numeros-mayas.pnghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/85/Dresden_Codex_p09.jpghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/85/Dresden_Codex_p09.jpghttp://viajesnorteamerica.com/wp-content/numeros-mayas.pnghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/85/Dresden_Codex_p09.jpghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/85/Dresden_Codex_p09.jpghttp://viajesnorteamerica.com/wp-content/numeros-mayas.pnghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/85/Dresden_Codex_p09.jpghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/85/Dresden_Codex_p09.jpghttp://viajesnorteamerica.com/wp-content/numeros-mayas.pnghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/85/Dresden_Codex_p09.jpghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/85/Dresden_Codex_p09.jpghttp://viajesnorteamerica.com/wp-content/numeros-mayas.pnghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/85/Dresden_Codex_p09.jpghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/85/Dresden_Codex_p09.jpghttp://viajesnorteamerica.com/wp-content/numeros-mayas.pnghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/85/Dresden_Codex_p09.jpghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/85/Dresden_Codex_p09.jpghttp://viajesnorteamerica.com/wp-content/numeros-mayas.pnghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/85/Dresden_Codex_p09.jpg


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Ejemplo: el ao. Cmo escribo 2012 en maya?

Figura 3. Cdice de Dresde

Qu debo saber del sistema de numeracin maya?

Los nmeros mayas estn

formados mediante tres smbolos

que son los que estudiante debe

conocer:

- Figura4. Smbolos mayas

El punto que corresponde auna unidad.

La barra horizontal cuya

equivalencia es cinco.

Los mayas con estos

smbolos crearon un

sistema de numeracin

vigesimal, es decir de 20en 20, en el cual resalta la

invencin del cero, que

permiti tener un valor

posicional que permiti

hacer el desarrollo

aritmtico y clculos

astronmicos, que son

apreciables en su

calendario.Muy ImportanteNunca pueden existir ms de

cuatro puntos juntos, y pues

cinco forman una lnea.

Nunca pueden existir ms de

tres lneas juntas, pues cuatro

lneas forman una veintena.

Debe saber que existen otros

sistemas de numeracin que

son ms sofisticados, como elsistema binario; es un sistema

de numeracin en el que los

nmeros se representan

utilizando las cifras cero y

uno, esto en informtica tiene

mucha importancia ya que las

computadoras trabajan

internamente con dos niveles

de voltaje, lo que hace que su

sistema de numeracinnatural sea binario, por

ejemplo, 1 para encendido y 0

para apagado.

Primero escribamos nmeros sencillos, por ejemplo el 20.

1 2 0Segundo Nivel

0 1En el primer Nivel

Figura 5. Representacin simblica del nmero 20

Ahora el 50

2 2 0Segundo Nivel

1 0 1En el primer Nivel

Figura 6. Representacin simblica del nmero 50

Veamos el 75

3 2 0Segundo Nivel

1 5 1En el primer Nivel

Figura 7. Representacin simblica del nmero 75.
http://es.wikipedia.org/wiki/Voltajehttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/00/Cero_maya.pnghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/00/Cero_maya.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Voltajehttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/00/Cero_maya.pnghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/00/Cero_maya.pnghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/00/Cero_maya.pnghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/00/Cero_maya.png


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Calculemos el 4101 20 20

Tercer Nivel

0 20

Cuarto Nivel

10 1Primer Nivel


Calculemos el 128,162

16 20 20 20 = 128,000 Cuarto Nivel

0 20 20 = 0Tercer Nivel

8 20 = 160Segundo Nivel

2 1 = 2Primer NivelFigura 9. Representacin simblica del nmero 128,162.

Cmo se escribe 2012?5 20 20 = 2000

Cuarto Nivel

0 20 = 0Segundo Nivel12 1 = 12Primer Nivel


Actividad 1Sus estudiantes debern escribiren el sistema numrico maya lassiguientes cantidades. Realizaresta actividad en equipos y luego

someter a discusin losresultados.

a) Ao de la Independencia de ElSalvador.

b) Ao de la firma de losAcuerdos de Paz.

c) Ao de las prximas eleccionespara presidente en El Salvador.

d) Nmero de estudiantes de tuaula.

e) Escribe tu edad en numeracinmaya.

Actividad 2Los estudiantes descubrirn losnmeros que estn escritos en elsiguiente cdice:

Figura 11. Cdice de Dresde.

Respuestas: 2,852, 2,942, 3,232,3,240
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/00/Cero_maya.pnghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/00/Cero_maya.pnghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/00/Cero_maya.pnghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/00/Cero_maya.pnghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/00/Cero_maya.pnghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/00/Cero_maya.png


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Actividad 3Cada estudiante traducir el siguiente prrafo, haciendo uso de sus conocimientos de nmerosmayas.

El pueblo maya invent el cero matemtico, por lo menos antes del pueblo hind, este grandiosoinvento que permiti el desarrollo de la matemtica maya, y por lo tanto, el desarrollo de ciencias como laastronoma, la historia y la aritmtica, y es que el invento del cero solo ocurri en las culturas mayas ehind, en forma independiente.

El sistema de numeracin maya tiene el honor de ser el sistema de numeracin que fue elaborado basado

en posiciones, que la humanidad produjo y fue utilizado desde aproximadamente . El cero y el sistema

de posiciones apareci en Europa hasta el siglo .

He aqu una cultura que vive a travs de su numeracin y calendario, viva entre los logros de la

humanidad y como una civilizacin de gran xito en varias reas cientficas.

Actividad 4

Cada estudiante traducir el siguiente prrafo sustituyendo las fechas en numeracin maya.

El sitio arqueolgico El Tazumal, ubicado en Chalchuapa, en el departamento de Santa Ana, a 85kilmetros de San Salvador, es uno de nuestros patrimonios que conserva estructuras mayas deconsiderable tamao y un museo arqueolgico con vestigios valiosos de la poca, entre los que resaltaXipe Totec.

Durante las excavaciones se encontraron dos cuerpos yacentes en cercana de carbn y vasijas cermicas.

Corresponden a un nio y un adulto que vivieron alrededor del 770 d. C. y el 1,000 d. C., segn estudios decarbono 14.

Figura12. El Tazumal


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Gua de trabajoNumeracin Maya

Esta actividad se puede trabajar en equipos, solicitndoles:

a) Identificacin de nmeros mayas.

b) Traducir las cantidades a nmeros indoarbigos.

c) Exposicin de los nmeros identificados y sus caractersticas.

Figura 13. Tabla de Clculo

Tabla de Clculo de los eclipses del cdice Dresde, en el cual se puede ver la aplicacin del cero maya.


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ProblemaEl tablero

En el tablero maya cada uno de los niveles incrementa su valor de abajo hacia arriba, de acuerdo con la

posicin que tiene el nmero dentro de dicho tablero, como se muestra a continuacin, ordenando losnumerales por unidades, veintenas, veintenas de veintenas, veintenas de veintenas de veintenas,

etctera, por lo que un punto (o unidad) en cada nivel, tendra la siguiente equivalencia:

Sexta posicin =Quinta posicin 20 =160000Cuarta posicin

20 =8000

Tercera posicin 20 =400Segunda posicin 20 = 20Primera posicin 20 = 1

Utilizando este mtodo, los mayas hicieron clculos con nmeros por ejemplo de 8 cifras; analicemos el

clculo de 251673,295 que se representa en numeracin maya la siguiente forma, utilizando para este

clculo hasta el sexto nivel. Complete con el estudiantado la informacin faltante en el siguiente tablero

y comente el resultado, proponga calcular cantidades como la anterior, estas pueden ser por ejemplo:

2345313, 54694342, 56402321.

Figura 14: Clculo maya


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Referencias bibliogrficas

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6 Grado| Leccin 5 | Unidad 10 Tiempo: Cuatro horas clases.

Descripcin del temaLas investigaciones arqueolgicas afirman que el sistema numricoromano fue deducido del sistema numrico etrusco, civilizacin que se

desarroll en Italia entre los siglos VII y IV antes de Cristo. Losromanos utilizaron este sistema, que se basaba en el mtodo aditivo. I yI eran II, V y II eran VII, y II y II eran IIII. El nmero para 30 era XXX y elocho era representado como VIII. Sucesivamente, los romanosempezaron a utilizar el mtodo sustractivo, en el que un nmeroanterior resta su cantidad a la siguiente.

As, en lugar de escribir 9 como la suma de 5 y 4 (VIIII) se escribicomo la resta de 10 menos 1 (IX). La ventaja de este mtodo era queacortaba la notacin de los nmeros, pues se usaban menos smbolos.De esta forma el nmero IIII pas a ser IV. El sistema sustractivo fueutilizado en los tiempos del Imperio romano. Pero si se haba hecho

esta reforma, por qu se utiliz la notacin del IIII en vez del IV en losrelojes medievales? De hecho, el 4 es el nico nmero que serepresenta de esta forma, pues el nueve es

06. matematica 6to grado

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