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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ
FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA
SECCIÓN DE ELECTRICIDAD Y ELECTRÓNICA
TEORÍA DE CONTROL I
LABORATORIO Nº3
RESPUESTA EN EL TIEMPO Y
EN LA FRECUENCIA
PUCP-2013
LABORATORIO Nº3
RESPUESTA EN EL TIEMPO Y
EN LA FRECUENCIA
1. OBJETIVOS
Utilizar MATLAB para construir y analizar el lugar geométrico de raíces de sistemas
lineales descritos por funciones de transferencia.
Realizar el estudio de la respuesta en frecuencia de sistemas lineales mediante
diagramas de Bode, Nyquist y Nichols.
2. MATERIALES Y EQUIPOS
MATLAB
Control System Toolbox
Simulink
3. EL LUGAR GEOMÉTRICO DE RAÍCES
3.1. Introducción
El paquete Control System Toolbox de MATLAB contiene algoritmos y herramientas
sofisticadas para la construcción y el análisis del lugar geométrico de raíces (LGR) de
sistemas LTI SISO. La curva LGR se usa para analizar el efecto que tiene aplicar ganancias
de realimentación variable en la ubicación de los polos del sistema en lazo cerrado. Esta
curva de polos provee información importante sobre la respuesta transitoria del sistema y
sobre su estabilidad.
3.2. Construcción de LGR
MATLAB permite construir curvas LGR por medio de la instrucción “rlocus” tal como
se muestra en el siguiente código de ejemplo:
>> s = tf('s');
>> G = 2/(3*s+1)/(s+1); %Define FdT
>> H = 0.5;
>> sys_ol = G*H; %FdT del sistema en lazo abierto
>> figure; %Abre una figura nueva
>> rlocus(sys_ol) %Grafica LGR para sys_ol
Este código construye la curva LGR para el sistema de control de la figura 1:
Figura 1: Sistema en lazo cerrado con controlador proporcional
Para mejorar la claridad de la gráfica, se pueden emplear los siguientes comandos de
manera opcional:
>> grid %Curvas de nivel para ζ y ωn constantes
>> axis([-1.2 0.2 -1.8 1.8]) %axis[xi xf yi yf] establece el cuadro de visión en el
%rectángulo definido por (xi, yi) y (xf, yf)
>> axis('equal') %Iguala escala en direcciones X e Y
>> dseta = 0.707; %Factor de amortiguamiento ζ = 0.707
>> omega = 1.33; %Frecuencia natural ωn = 1.33
>> sgrid(dseta,[]); %sgrid(ζ, ωn) permite especificar una curva de nivel
>> sgrid([], omega); %específica para un cierto ζ y/o ωn
>> sgrid(dseta, omega);
En la figura 2 se puede observar un LGR compuesto por dos ramas (en color azul y verde)
rectas por tramos. Las curvas de nivel para el factor de amortiguamiento son rectas
diagonales, mientras que las curvas para la frecuencia natural son circunferencias.
Haciendo click sobre cualquier punto del LGR se puede mostrar un pequeño cuadro con
información sobre el valor de ganancia, polo señalado, amortiguamiento, entre otros.
Figura 2: Curva LGR del sistema de control en estudio
Adicionalmente, la instrucción rlocus se puede utilizar también para encontrar el valor
numérico de los polos en lazo cerrado del sistema si es que se incluye la ganancia de
interés como argumento adicional:
>> Pk = rlocus(sys_ol,2.5) %Encuentra los polos en lazo cerrado cuando Kc = 2.5
Por otro lado, MATLAB brinda herramientas gráficas de interfaz de usuario (GUI) para
trabajar con LGR, tales como “rlocfind” y “rltool”. La instrucción “rlocfind” nos permite
encontrar la ganancia Kc asociada a un cierto punto de la curva (seleccionado de manera
interactiva por el usuario).
>> rlocfind(sys_ol)
La instrucción “rltool” abre la ventana “SISO Design Tool”, la cual es una herramienta
usada para diseño de controladores, y la configura para el modo “root locus”.
>> rltool(sys_ol)
Esta herramienta gráfica permite encontrar la curva LGR tras agregar al sistema de control
original un compensador.
Una vez ejecutada la instrucción “rltool” se debe hacer click derecho sobre la ventana para
elegir el tipo de compensador que se desee agregar (ver figura 3). Luego de esto, se
selecciona el lugar donde se desea colocar sus polos/ceros (esto se puede modificar
posteriormente). Tras agregar el compensador la curva LGR cambia automáticamente para
considerar el efecto del nuevo bloque. En la parte inferior se indica el cambio realizado.
Adicionalmente, en DesignEdit Compensator… se puede ver/editar los parámetros de los
compensadores agregados.
Figura 3: Herramienta rltool para el análisis de LGR
3.3. Ejercicios propuestos
a) Considere la siguiente función de transferencia en lazo abierto:
)22)(4(
)1()(
2
ssss
sKsGH
Obtenga el LGR para el rango completo de valores de ,K .
Presente sus resultados en dos gráficas distintas: una para la parte negativa y otra para la
parte positiva de K.
b) Para el siguiente sistema de control:
Grafique su LGR y determine el valor de K tal que se consiga tener un factor de
amortiguamiento ζ = 0.5 en un par de polos complejos dominantes. Verifique sus
resultados encontrando la respuesta en el tiempo ante un escalón unitario.
c) Al compensador de la figura 1 se le ha agregado la parte derivativa para formar un PD.
Se le pide determinar el valor de Kc para el cual el sistema se vuelve inestable.
Verifique sus resultados mediante una simulación en Simulink.
d) La función de transferencia en lazo abierto de un sistema de control es:
)646)(3(
)1()(
2
ssss
sKsGH
Grafique el LGR y encuentre la ganancia que permite conseguir un factor ζ = 0.707.
Pregunta: ¿El sistema se comporta como se espera? Esto es, ¿se comporta como un
sistema de segundo orden puro con ζ = 0.707? Explique su respuesta.
4. RESPUESTA EN FRECUENCIA
4.1. Introducción
El paquete Control System Toolbox de MATLAB contiene funciones para el análisis
de la respuesta en el dominio de la frecuencia de sistemas LTI SISO mediante las curvas
estándar de Bode, Nyquist y Nichols. La respuesta en frecuencia es una representación de
la respuesta del sistema en estado estacionario ante entradas de tipo seno en un rango
apreciable de frecuencias de interés y se determina por la magnitud y diferencia de fase
encontradas a la salida.
4.2. Diagrama de Bode
El diagrama de Bode es la herramienta más comúnmente utilizada para visualizar la
respuesta en frecuencia de un sistema. En esta gráfica se muestra las curvas de magnitud y
diferencia de fase respecto a la frecuencia en escala logarítmica. Para la construcción del
diagrama de Bode en MATLAB se emplea la instrucción “bode” como se muestra a
continuación:
>> sys_ol1 = 1/(0.3*s+1); %Define FdT de primer orden en lazo abierto
>> sys_ol2 = 2/(s+12)*5/(2*s+1); %Define FdT de segundo orden en lazo abierto
>> figure; %Abre figura nueva
>> bode(sys_ol1) %Muestra diagrama de Bode
>> figure;
>> bode(sys_ol1,'r', sys_ol2,'k') %D. Bode de los dos sistemas (r: rojo, k: negro)
>> grid %Habilita grilla
El diagrama de Bode de los dos sistemas se muestra en la figura 4. Como se observa, la
magnitud se expresa en unidades de decibelios (dB: 20log(M)), la diferencia de fase en
grados sexagesimales y la frecuencia en rad/s en escala logarítmica.
Figura 4: Diagrama de Bode
Adicionalmente, es importante conocer los siguientes parámetros de la respuesta en
frecuencia de un sistema:
>> sys_ol3 = 3e4 * (0.05*s + 1)^2 / ((s+1)^3 * (0.01*s + 1));
>> [MG, MF, Wcg, Wcf] = margin(sys_ol3) % Margen de Ganancia (MG)
% Margen de Fase (MF)
% Frecuencias asociadas Wcg y Wcf
>> margin(sys_ol3) % Margen de manera gráfica
>> BW = bandwidth(sys_ol3) % Ancho de banda
>> Gdc = dcgain(sys_ol3) % Ganancia en continua GH(0)
El diagrama de Bode del sistema sys_ol3 se presenta en la figura 5. Sobre el diagrama se
indica los parámetros de margen de fase y ganancia. Los márgenes de fase y ganancia son
utilizados en el diseño de compensadores en el dominio de la frecuencia y pueden ser
empleados para determinar la estabilidad de un sistema.
Figura 5: Margen de fase y ganancia
4.3. Traza de Nyquist
La traza de Nyquist grafica la función de transferencia en el plano complejo, tomando
a la frecuencia como un parámetro de entrada. El uso más común de esta traza es para
evaluar la estabilidad de sistemas lineales. Para la construcción de la traza de Nyquist en
MATLAB se emplea la instrucción “nyquist” como se muestra a continuación:
>> H1 = tf([2 5 1], [1 2 3]);
>> nyquist(H1); %Traza de Nyquist
>> grid %Curvas de nivel para magnitud en lazo cerrado
La traza de Nyquist para el ejemplo se muestra en la figura 6. Sobre esta gráfica se muestra
de manera opcional curvas de magnitud de la FdT en lazo cerrado para un cierto valor
establecido. Al hacer click sobre los puntos de la traza de Nyquist, se puede mostrar los
valores real e imaginario de la función de transferencia para una frecuencia dada.
Figura 6: Traza de Nyquist
4.4. Carta de Nichols
La carta de Nichols muestra la curva de magnitud (en dB) contra la fase de la
respuesta del sistema. Se utiliza principalmente para determinar la estabilidad y robustez de
sistemas lineales. Para la construcción de la carta de Nichols en MATLAB se emplea la
instrucción “nichols” como se muestra a continuación:
>> num = [-4 48 -18 250 600];
>> den = [1 30 282 525 60];
>> H2 = tf(num,den) %Define FdT
>> nichols(H2); ngrid %Carta de Nichols
La carta de Nichols para el ejemplo se muestra en la figura 7. En la gráfica se muestra de
manera análoga al caso anterior, curvas de contorno de magnitud constante para la FdT en
lazo cerrado.
Figura 7: Carta de Nichols
4.5. Ejercicios propuestos
a) Se le pide plantear una forma alternativa de graficar el diagrama de Bode utilizando la
instrucción “freqs”. Compare sus resultados al utilizar la instrucción “bode” para una
cierta FdT.
Sugerencia: Revise la ayuda que provee MATLAB sobre esta instrucción.
>> help freqs
b) En una misma figura, grafique los diagramas de Bode para los sistemas descritos por:
s
ssG
21
1)(1
s
ssG
21
1)(2
Indique sus observaciones.
c) Dada la siguiente función de transferencia en lazo abierto:
)12)(1()(
sss
KsGH
Encuentre el valor crítico de la ganancia K usando el diagrama de Bode a fin de
mantener el sistema estable en lazo cerrado. Verifique sus resultados encontrando los
polos del sistema en lazo cerrado para el valor encontrado de K.
d) Para el sistema de control mostrado en la figura 8:
Figura 8: Sistema de control para una planta con retardo de tiempo
Encuentre el máximo valor de K para el cual el sistema es estable.
e) Considere un sistema con realimentación unitaria con la siguiente FdT de lazo abierto:
)10)(1(
)5.0(20)(
2
sss
sssG
Dibuje su traza de Nyquist y examine la estabilidad del sistema en lazo cerrado.
f) Según el diagrama de la figura 5, ¿podría concluir que el sistema es estable o inestable?
Explique su respuesta.
g) La figura 9 muestra un diagrama de bloques de un sistema de control de un vehículo
espacial. Determine la ganancia K tal que el margen de fase sea 50º. ¿Cuál es el margen
de ganancia en este caso?
Figura 9: Sistema de control de un vehículo espacial
h) Considere el sistema de control mostrado en la figura 10. Grafique las trazas de Nyquist
para los casos K = 1, 7.5 y 20. Analice el efecto de K en la estabilidad del sistema.
Figura 10: Sistema de control de una planta de nivel
i) Considere el sistema en lazo cerrado de la figura 11. Grafique los diagramas de Bode y
de Nyquist para los valores K = 0.2, 0.5, 1 y 2. También se le pide graficar el LGR y
ubicar los polos en lazo cerrado del sistema para los valores mencionados de K. Analice
sus resultados.
Figura 11: Sistema de control de una planta inestable
5. BIBLIOGRAFÍA
[1] “Ingeniería de control moderna”. Ogata K., Pearson Educación, 1998