02_ley_de_gauss_2013

UNNE FaCENA

Propiedades del Campo Eléctrico – Ley de Gauss Página 1

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ELECTRICIDAD - MAGNETISMO- OPTICA Y SONIDO

SERIE DE PROBLEMAS 2

PROPIEDADES DEL CAMPO ELECTRICO – LEY GAUSS

Preguntas y Cuestiones:

1. En una región del espacio sin cargas, un contenedor es puesto en un campo eléctrico. Un

requerimiento para el flujo eléctrico total a través de la superficie del contenedor sea cero es que

a) el campo debe ser uniforme

b) El contenedor debe ser simétrico

c) El contenedor debe estar orientado en una cierta manera, o

d) el requerimiento no existe (el flujo total es cero sin importar otras consideraciones)

Justifique la respuesta.

2. Si el campo eléctrico en una región es cero, ¿se puede concluir que no hay cargas eléctricas en esa

región? Explique por qué.

3. Si de una superficie gaussiana salen más líneas de campo que las que entran ¿Qué se puede decir

acerca de la carga neta encerrada por esa superficie?

4. Un campo eléctrico uniforme existe en una región de espacio en la cual no hay cargas ¿Qué se

puede concluir acerca del flujo eléctrico a través de una superficie gaussiana situada en esa región del

espacio?

5. Si la carga total dentro de una superficie cerrada es conocida pero la distribución de la carga no es

especificada, ¿se puede usar la ley de Gauss para encontrar el campo eléctrico? Explique.

6. Explique por qué el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada que encierra una carga dada es

independiente del tamaño o forma de la superficie.

7. Use la ley de Gauss para explicar por qué las líneas de campo eléctrico deben comenzar o terminar

en cargas eléctricas (Sugerencia: cambie el tamaño de la superficie gaussiana)

8. Si el flujo neto a través de una superficie gaussiana es cero, las siguientes cuatro afirmaciones

podrían ser verdad ¿Cuál de las afirmaciones debe ser verdadera? Justifique la respuesta.

a) No hay cargas dentro de la superficie.

b) La carga neta dentro de la superficie es cero.

c) El campo eléctrico es cero en toda la superficie.

d) El número de líneas de campo eléctrico que a la superficie es igual al número de líneas que sale de

la misma.

9. Dos esferas sólidas, ambas de radio R, tienen cargas totales idénticas, Q. El material de unas de las

esferas es buen conductor, mientras que la otra es un aislante. Si la carga en la esfera aislante está

uniformemente distribuida en todo su volumen interior, ¿cómo se comparan los campos eléctricos en

el interior de estas dos esferas? ¿Son idénticos los compos en el interior de ambas esferas? Justifica la

respuesta.

Electricidad, Magnetismo, Óptica y Sonido


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10. Una carga puntual -Q se encuentra en el centro de una corteza esférica conductora de radio interios

R1 y radio exterior R2 como se indica en la figura 1. La carga en la superficie interna de la corteza es

(a) +Q, (b) cero, (c) –Q, (d) dependiente de la carga total depositada en la corteza. Justifique la

respuesta.

Figura 1

Problemas Resueltos

PROBLEMA 1: Se tiene carga distribuida en un volumen esférico de radio R, con densidad donde a es una constante y 0 < r < R:

a) Encontrar el valor de la carga total del volumen; b) Hallar las expresiones del campo eléctrico dentro y fuera del volumen cargado. SOLUCION

En este caso se está en presencia de cargas eléctricas distribuidas en un volumen esférico, de manera

que la distribución no es uniforme, sino que depende de la distancia al centro de la esfera, dado que la

densidad volumétrica de cargas es una función lineal de “r”.

El problema requiere calcular la carga total distribuida en el volumen y el campo E en todas las

regiones, (interior y exterior del volumen esférico cargado).

Por la alta simetría que se presenta, en este caso una esfera, es posible calcular el campo E por Ley de

Gauss.

La configuración del campo E como campo vectorial, será de dirección radial y sentido hacia fuera de

la esfera por ser la carga positiva.

a) Cálculo de la carga:

La función densidad volumétrica de carga es: , una función lineal de la variable radial r.

El valor total de la carga distribuida en el volumen esférico se calcula mediante la suma de todos los

diferenciales de volúmenes de carga que forman la esfera cargada, partiendo del concepto de densidad

volumétrica de carga:

( )

Hacer la suma, significa, resolver la siguiente integral:

∫ ( )

[1]

El volumen de la esfera es

hallando el diferencial de volumen:

Reemplazando en [1] la expresión de la función densidad y el dV:



.

∫

∫

[

]

(R = constante) [2]

b) Expresiones de campo E:

i. Región dentro de la esfera

Aplicando la ley de Gauss,

∯ ⃗ ⃗⃗⃗⃗

[3]

se integra para una superficie gaussiana esférica, concéntrica con la distribución de cargas, y con radio

r < R; es decir que la esfera gaussiana está en la región donde se quiere calcular el campo E.

Debido a la dirección y sentido del campo E y el vector asociado dS saliente de la gaussiana, el

producto escalar de estos dos vectores permite escribir directamente el producto de sus módulos, ya

que al tener la misma dirección y sentido, el coseno corresponde a un ángulo de cero grado:

∯ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ∯

Como el campo es constante sobre cada gaussiana que se considere, sale del integrando y la integral

sólo suma todos los dS resultando el área toral de la gaussiana, que en este caso corresponde al área de

la esfera . De este modo, el flujo del campo es:

[4]

El que se debe utilizar es el que queda dentro de la superficie gaussiana considerada, es decir dentro

del volumen esférico de r < R. Para calcularlo, se tiene presente el concepto de densidad volumétrica

de carga y se trabaja como en el ítem a), tomando los extremos de integración correspondientes:

∫ ( )

∫

∫

[

]

[ ]

[5]

Reemplazando [5] en [4]:

r < R dirección radial y sentido hacia afuera de la

esfera



.

ii. Región exterior a la esfera r > R:

Se coloca ahora una superficie gaussiana esférica concéntrica al volumen cargado, pero de radio r > R;

es decir que la esfera gaussiana está en la región donde se quiere calcular el campo E.

Procediendo de manera análoga a la región anterior, la carga que encierra la gaussiana en el exterior es

la total, calculada en [2].

Partiendo de la expresión de Gauss:

∯ ⃗ ⃗⃗⃗⃗

Aplicando las mismas consideraciones que se tuvieron en cuenta anteriormente sobre el primer

miembro de la igualdad y con la carga total calculada se llega a:

r < R

Dirección radial y sentido hacia fuera de la esfera.

Análisis de la condición de frontera:

¿Qué pasa para r = R, con el valor del campo E?

Verifiquemos hallando su valor con las dos expresiones.

( )

y

( )

Es decir que los dos campos convergen al mismo valor, conforme r → R.

El campo E1 es una función cuadrática en r y positiva por lo cual envuelve al eje positivo de E, y la

función de E2 es una inversa del cuadrado de r, por lo cual tiende a cero a medida que r tiende a

infinito.

En el gráfico se observa el comportamiento de ambas funciones y cómo convergen al mismo valor de

E cuando r tiende a R.



.

Como se observa en el gráfico, no hay discontinuidad en el empalme de los dos funciones. Esto se

debe a que la carga está distribuida uniformemente dentro de la esfera debido a que no se trata de un

cuerpo conductor. Se verá en el caso de cuerpos conductores que no se verifica esta situación.

PROBLEMA 2: Un cilindro conductor de radio a, que tiene una carga total de +q está rodeado por un

cascarón cilíndrico también conductor de radio b, de carga total -2q, coaxial con él. Empleando el

teorema de Gauss encontrar:

a) La distribución de carga en el cascarón conductor

b) El campo E en todas la regiones, r < a, a < r < b y r > b

SOLUCION:

En este caso se tiene un sistema formado por dos cilindros concéntricos conductores, cada uno con

carga eléctrica. El interior con carga positiva +q y el exterior con carga negativa -2q.

El problema requiere calcular la distribución de cargas en el cascarón exterior y el campo E en todas

las regiones, es decir, para r < a, a < r < b y r > b

Por la alta simetría que se presenta, en este caso cilíndrica, es posible calcular el campo E empleando

la Ley de Gauss.

La configuración del campo E como campo vectorial será de dirección radial y los sentidos

dependerán del signo de las cargas.



.

a) Cálculo de la distribución de carga en el cascaron conductor interior:

Como los dos son cuerpos conductores, la carga que contienen se distribuirá en sus superficies. Debido

a que el cuerpo interior está cargado y en sus inmediaciones está un cuerpo conductor (cilindro

exterior), que en este caso también está cargado, se producirá el fenómeno de inducción eléctrica. Esto

es, el cascarón conductor exterior sufrirá una distribución o reacomodamiento de sus cargas debido a la

presencia del cuerpo cargado en sus inmediaciones.

La carga total de todo el sistema es +q + (-2q) = -q , la que deberá conservarse por la Ley de

conservación de la carga. Por inducción la carga deberá distribuirse de la manera indicada en el siguiente gráfico:

La carga positiva del cilindro de radio a atrae hacia la pared interior del cilindro de radio b a la carga

-q, lo que asegura E = 0 en el interior del cilindro externo que es un conductor.

Esto puede justificarse aplicando la Ley de Gauss haciendo la siguiente consideración:

Supongamos que el cilindro exterior tuviera un pequeño espesor infinitesimal de manera que podamos

considerar una superficie gaussiana cilíndrica, concéntrica cuyo radio sea b < r < b + ∆r, y calculamos

el flujo del campo eléctrico a través de esa superficie. Como el campo eléctrico en el interior de un

conductor es siempre cero, el flujo a través de la superficie gaussiana será cero, y eso lleva a concluir

que la suma de cargas interiores a la superficie debe ser cero, lo que obliga a que sobre la superficie

interior del cilindro de radio b se distribuya una carga igual y opuesta a la que contiene el cilindro de

radio a.

∯ ⃗ ⃗⃗⃗⃗

( )

Con esta configuración hacia el interior, queda libre en el exterior – q.

Como el fenómeno de inducción no crea ni destruye carga (Ley de conservación de la carga) la suma

total de las cargas debe conservarse .



.

b) Cálculo de las expresiones de los campos E:

Región 1 (0 < r < a) Aplicando Ley de Gauss,

∯ ⃗ ⃗⃗⃗⃗

Se integra para una superficie gaussiana cilíndrica concéntrica a los conductores que se coloca en la

región donde se quiere hallar el campo, o sea, dentro del cilindro (r < a). Debido a la dirección y

sentido del campo E y el vector asociado a dS saliente de la gaussiana, el producto escalar de estos dos

vectores permite escribir directamente el producto de sus módulos, ya que al tener la misma dirección

y sentido, el coseno corresponde a un ángulo de cero grado.

Y para la región de las tapas (bases) del cilindro el campo E y el vector asociado a dS forman 90º, por

lo cual el producto escalar aquí es nulo ya que el cos 90º = 0. Lo que implica que solo la superficie

lateral del cilindro contribuye al flujo del campo E.



.

∯

∯

∯

Como el campo es constante sobre cada gaussiana cilíndrica que se considere, sale del integrando y la

integral sólo suma todos los dS resultando, el área total de la gaussiana cilíndrica, que en este caso

corresponde al área lateral del cilindro , siendo L la longitud del cilindro. Así, el flujo del campo

E es:

La carga que se debe utilizar es la que queda dentro de la gaussiana considerada, es decir dentro del

volumen cilíndrico de r < a, y como no se encierra carga dentro de esta gaussiana, entonces, según, [1]

el flujo del campo E es nulo, lo que implica campo:

r < a

Razonando análogamente, es decir, considerando la superficie gaussiana colocada en la región que

interesa y sabiendo que solo genera flujo su superficie lateral, debido a las cargas interiores que

encierre, analizamos el resto de las regiones:

Región 2 (a < r < b ):

Para una gaussiana cilíndrica en esta región la expresión [1] se escribe:

a < r < b, dirección radial y sentido hacia fuera del

cilindro interior, porque la carga fuente es de signo positivo.

Región 3 (dentro del cilindro)

Por ser conductor, las cargas sobre él se redistribuyen por inducción. Para una gaussiana cilíndrica en

esta región la expresión [1] se escribe:

( )

, implica , como es de esperarse dentro de un conductor.

Región 4 (r > b)

Para una gaussiana cilíndrica en esta región la expresión [1] se escribe:

( )

, implica

r > b, dirección radial y sentido hacia

adentro del cilindro exterior, porque la carga fuente es de signo negativo.

Para finalizar, analizamos las expresiones de los campos E en los bordes de los cilindros o fronteras de

las regiones:

hasta el borde de r = a



.

( )

y ( )

Son los dos valores distintos que toma el campo sobre cada cilindro.

( )

en r = b y luego decae como

de r = b hasta

infinito.

Los comportamientos hallados se pueden observar en el siguiente gráfico:

Como puede observarse, los conductores (a diferencia de los no conductores) producen discontinuidad

en el campo E. En cada una de las fronteras ( r = a y r = b ) el campo E pasa de un valor dado a otro

distinto. Y se puede demostrar que la magnitud del salto es igual a la densidad de carga sobre cada

cilindro conductor.

Problemas para resolver en clase

1) Un campo eléctrico con una magnitud de 3.50 kN/C es aplicado a lo largo del eje x. Calcule el flujo

eléctrico a través de un plano rectangular de 0.350 m de ancho y 0.700 m de largo asumiendo que (a)

el plano es paralelo al plano yz; (b) el plano es paralelo al plano xy; (c) el plano contiene el eje y y su

normal hace un ángulo de 40º con el eje x.

2) Considere una caja triangular dentro de un campo eléctrico horizontal de magnitud E = 7,80x104

N/C como se muestra en la figura 2. Calcule el flujo eléctrico a través de (a) la superficie rectangular

vertical, (b) la superficie inclinada, y (c) toda la superficie de la caja.



.

Figura 2

3) Las siguientes cargas están localizadas dentro de un submarino: 5 µC, -9 µC, 27 µC y 84 µC.

(a) Calcule el flujo eléctrico neto a través del casco del submarino.

(b) Determine si el número de líneas de campo eléctrico que salen del submarino es más grande, igual

o menor que el número de líneas que entran.

4) El campo eléctrico en toda la superficie de un cascarón esférico delgado de radio de 0.750 m es de

890 N/C y apunta radialmente hacia el centro de la esfera. (a) ¿Cuál es la carga neta dentro de la

superficie esférica? (b) ¿Qué se puede concluir acerca de la naturaleza y distribución de la carga dentro

del cascarón esférico?

5) Una carga puntual de 12 µC es puesta en el centro de un cascarón esférico de radio 22 cm ¿Cuál es

el flujo eléctrico total a través de:

a) la superficie del cascarón?

b) una superficie semiesférica del cascarón?

c) ¿Los resultados anteriores dependen del radio? Explique por qué.

6) En el aire sobre una particular región a una altitud de 500 m sobre el suelo el campo eléctrico es 120

N/C dirigidos hacia abajo. A 600 m sobre el suelo el campo eléctrico es 100 N/C hacia abajo ¿Cuál es

el promedio de la densidad volumétrica de carga en la capa entre las dos elevaciones?¿Es positiva o

negativa?

7) Determine la magnitud del campo eléctrico en la superficie de un núcleo de plomo-208, que

contiene 82 protones y 182 neutrones. Suponga que el núcleo de plomo tiene un volumen igual a 208

veces el volumen de protón, considerando al protón como una esfera de radio 1,20 × 10-15

m.

8) Un muro no conductor tiene una densidad de carga uniforme de 8,60 µC/cm2. ¿Cuál es el valor del

campo eléctrico a 7,00 cm por delante del muro? ¿Cambia el resultado si se modifica la distancia a la

pared?

9) Una esfera de radio 6 cm posee una densidad de carga volumétrica uniforme ρ=450 nC/m3. (a)

¿Cuál es la carga total de la esfera? Determinar el campo eléctrico en (b) r = 2 cm (c) r = 5,9 cm (d) r =

6,1 cm y (e) r = 10 cm,

10) Suponga que una carga positiva Q está distribuida uniformemente en un volumen esférico de radio

a. Este volumen está rodeado por una distribución volumétrica concéntrica esférica en forma de

casquete, de radio interior b y exterior c. En este casquete se halla distribuida uniformemente una carga

Q1.-

a) Encuentre las expresiones de las densidades volumétricas de carga de cada uno de los volúmenes

cargados;

b) Si la misma carga Q estuviese distribuida en cada uno de los volúmenes, se tendría la misma

densidad volumétrica de carga?. Justifique



.

c) Determine aplicando el teorema de Gauss, las expresiones del campo eléctrico para las siguientes

regiones:

0 < r < a; a < r < b; b < r < c; r > c.

Problemas complementarios

1) Deducir la ley de Coulomb para dos cargas puntuales q1 y q2, partiendo de la Ley de Gauss.

2) Calcule el flujo del campo eléctrico creado por una carga Q a través de una superficie esférica de

radio R, si la carga está:

a) En el centro de la esfera.

b) En un punto interior cualquiera.

c) En un punto exterior;

d) Estos resultados pueden extenderse si en lugar de una superficie esférica se considera una superficie

cerrada de forma arbitraria? ¿Por qué?

3) En la superficie cerrada de la figura 4 a= 0.5m, b=0.4m, c= 0.3m e y0= 0.2 m. El campo

electroestático en que está sumergido no es homogéneo y viene dado por la expresión ( ) .

Determinar la carga neta encerrada en la superficie.

Figura 4

4) En un hilo largo y muy fino tenemos distribuida uniformemente una carga positiva. Sabiendo que

es la carga por unidad de longitud del hilo, calcular la intensidad del campo eléctrico a una distancia r

de él. Enumerar las propiedades de las líneas del campo E.

5) Calcular la intensidad del campo eléctrico creado por una placa delgada, indefinida y

uniformemente cargada con una densidad superficial de carga σ en un punto fuera de ella, utilizando la

ley de Gauss.

6) Calcular el campo eléctrico debido a un volumen esférico de radio a en el que se halla distribuida

uniformemente una carga positiva, conociendo la carga por unidad de volumen , en puntos situados a

una distancia r del centro para:

a) r ≥ a

b) r ≤ a

c) Representar gráficamente la función campo E(r).

7) Calcular el campo eléctrico creado por una esfera hueca de radio a, en la que se halla distribuida

uniformemente una carga positiva con densidad para

a) r < a y

b) r > a.



.

8) Hallar la intensidad del campo eléctrico dentro y fuera de un cilindro infinitamente largo, cargado

con densidad uniforme. El radio del cilindro es R.

9) Un volumen cilíndrico de longitud L en forma de casquete de radio interior a = 20 cm y exterior b =

40 cm presenta una distribución volumétrica de cargas dada por r =10-9

/π Coul/m3. Calcular:

a) El valor total de la carga por unidad de longitud que aparece distribuida;

b) Las expresiones del campo eléctrico para las regiones: r < a; a < r < b y

r > b.

10) Un modelo simple pero muy preciso de una molécula de hidrógeno es aquel que considera dos

cargas puntuales de carga +e colocadas en el interior de una esfera de radio R que contiene una carga -

2e distribuida en todo el volumen de la misma. Los dos puntos se colocan simétricamente con respecto

al centro tal como indica la figura 3. Encontrar la distancia a, medida desde el centro, donde la fuerza

neta sobre cualquier carga es cero.

Figura 3

Bibliografía 1) TIPLER – MOSCA - Fisica para la Ciencia y la Tecnologia

2) SERWAY, R- Fisica- Vol 1 y 2. Ed Mc Graw Hill- Espana

3) KIP – Fundamentos de Electricidad y Magnetismo

4) BERKELEY PHYSICS COURSE – Vol. 2

5) SEARS F.– Fundamentos de Fisica II. Electricidad y Magnetismo

6) FEYMMAN – Electricidad y Magnetismo

7) SEARS, ZEMANSKY, YOUNG, FREEDMAN – Fisica

8) LILLIAN C. MCDERMOTT - TUTORIALES PARA FISICA INTRODUCTORIA – Pearson Universitario Español.

9) BURBANO DE ERCILLA S. BURBANO GARCIA E. , GRACIA MUNOZ C. – Problemas de Fisica - Editorial

ALFAOMEGA GRUPO EDITORPROBLEMAS DE FISICA

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