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FUNDAMENTOS NUMRICOS

SEMANA 2

ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 2 2

NDICE

APRENDIZAJES ESPERADOS ........................................................................................................... 3 INTRODUCCIN ............................................................................................................................. 3 POLINOMIOS ................................................................................................................................. 4

COMBINACIN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS ....................................................................... 4 FACTORIZACIN ........................................................................................................................ 9 EXPRESIONES RACIONALES ..................................................................................................... 11

DEFINICIN: DOMINIO DE UNA EXPRESIN ALGEBRAICA .................................................. 12 SIMPLIFICACIN DE EXPRESIONES RACIONALES .................................................................... 13 MULTIPLICACIN Y DIVISIN DE EXPRESIONES RACIONALES ................................................ 13 ADICIN Y SUSTRACCIN DE EXPRESIONES RACIONALES ...................................................... 14

COMENTARIO FINAL .................................................................................................................... 18 REFERENCIAS ............................................................................................................................... 19


EXPRESIONES ALGEBRAICAS

APRENDIZAJES ESPERADOS

En matemtica muy a menudo se trabaja con expresiones que no solo contienen nmeros,

sino tambin variables, usualmente representadas por letras (x, y, z,) que eventualmente

toman valores, pero es necesario aprender a operarlas como variables. Esta semana se

estudiarn expresiones que no solo contienen nmeros y cmo sumarlas, restarlas,

multiplicarlas y dividirlas; cada vez que esto sea posible.

INTRODUCCIN

Una variable es una letra que representa a cualquier nmero de un conjunto dado de

nmeros. Si se tienen variables como , y y algunos nmeros reales y se combinan, ya sea

usando suma, resta, multiplicacin, divisin, potencias y races se obtendr una expresin

algebraica. He aqu algunos ejemplos:

22 5 + 4, + 12 y +11

2+1

Un monomio es una expresin de la forma , donde es un nmero real y es un entero

no negativo. Un binomio es una suma de dos monomios y un trinomio es una suma de tres

monomios. En general, una suma de monomios se llama polinomio. Por ejemplo, la primera

expresin de las anteriores es un polinomio, pero las otras dos no lo son.


POLINOMIOS

Un polinomio en la variable es una expresin de la forma:

+ 1

1 + + 22 + 1 + 0

Donde 0, 1, , 1, son nmeros reales y es un entero no negativo. Si 0,

entonces el polinomio es de grado . Los monomios que conforman el polinomio son los

trminos del polinomio.

Observe que el grado de un polinomio es la potencia ms alta de la variable que aparece en el

polinomio.

Polinomio Tipo Trminos Grado

33 3 4 Trinomio 33, 3, 4 3

8 + 3 Binomio 8, 3 8

7 Binomio , 7 1

1 Monomio 1 0

2

35

Monomio 2

35

5

COMBINACIN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Los polinomios se suman y restan aplicando las propiedades de los nmeros reales. La idea es

combinar trminos semejantes (es decir, trminos con las mismas variables elevadas a las

mismas potencias), usando la propiedad distributiva. Por ejemplo:

63 + 53 = (6 + 5)3 = 113

En general, se tiene que:

+ = ( + )

Donde la expresin se usa para mencionar que hay una variable involucrada, pero esta

podra ser tambin 4.

Al restar polinomios hay que recordar que si un signo menos precede a una expresin que se

encuentra entre parntesis, entonces el signo de cada trmino dentro del parntesis cambia

de signo cuando se elimina el parntesis:

( + ) =

Es simplemente un caso de la propiedad distributiva:

( + ) = + , con = 1

Ejemplos de adicin y sustraccin de polinomios:


a) Efecte la suma: ( 3 62 + 2 + 4) + (3 + 52 7)

b) Encuentre la diferencia: (3 62 + 2 + 4) (3 + 52 7)

Solucin:

a) ( 3 62 + 2 + 4) + (3 + 52 7)

(1 + 1)3 + (6 + 5)2 + (2 7) + 4

23 2 5 + 4

b) (3 62 + 2 + 4) (3 + 52 7)

(1 1)3 + (6 5)2 + (2 + 7) + 4

112 + 9 + 4

Para encontrar el producto de polinomios o de otras expresiones algebraicas se necesita usar

la propiedad distributiva en forma repetida. En particular, al usarla en el producto de dos

binomios, se obtiene:

( + )( + ) = ( + ) + ( + ) = + + +

Esto indica que para multiplicar los dos factores se multiplica cada uno de los trminos de un

factor por cada uno de los trminos del otro factor y se suman los productos.

Ejemplos:

a)

(3 + 1)(2 5)

(3 2) + (3 (5)) + (1 2) + (1 (5))

62 15 + 2 5

62 13 5

b)

(2 3)(3 + 1)

5 + 2 33 3


c)

(1 + )(1 )

1 +

1

Ciertos tipos de productos son tan frecuentes que es necesario memorizarlos.

Puede verificar las frmulas siguientes efectuando las multiplicaciones.

La idea clave de usar estas frmulas (o cualquier otra en lgebra) es el principio de la

sustitucin: se podra reemplazar cualquier expresin algebraica por cualquier letra en una

frmula. Por ejemplo, para determinar (2 + 3)2 se aplica la frmula del cuadrado del

binomio:

(2 + 3)2 = 4 + 223 + 6

Ejemplos de aplicacin de las frmulas para productos especiales:

a) (3 + 5)2 = 92 + 30 + 25

b) (2 2)3 = 6 64 + 122 8

c) (2 )(2 + ) = 42

Ejercicios:

1) Observe el video 1 de esta semana (multiplicacin de expresiones algebraicas) y luego

desarrolle:

Productos notables


2 28 8 12 3 1 6 9 7 2( )( ) ( )x x x x x

(2 1)(2 1)(42 2 + 1)

2) Observe el video 2 de esta semana (productos notables) y luego desarrolle:

3) Observe el video 4 de esta semana (cuadrado de binomio) y luego desarrolle:


Escriba la expresin 4 ((2 1

2 )

2 (2

1

2 )

2) como un polinomio de la

forma + 1 + 0 identificando el valor de .

4) Observe el video 5 (simplificacin de expresiones algebraicas) de la presente semana y

luego desarrolle:


Expanda la expresin que se presenta a continuacin y luego agrupe trminos semejantes:

1

222 ((3 + 4)2 (92 + 162))

FACTORIZACIN

Se aplica la propiedad distributiva para expandir las expresiones algebraicas. Algunas veces se

necesita invertir este proceso, usando otra vez la propiedad distributiva mediante la

factorizacin de una expresin en productos de trminos ms simples. Por ejemplo, se puede

escribir:

2 4 = ( 2)( + 2)

De derecha a izquierda es una expansin y en el sentido inverso es una factorizacin. Se dice

que 2 y + 2 son factores de 2 4.

El tipo ms sencillo de factorizacin se presenta cuando los trminos tienen un factor comn.

Ejemplos de obtencin de factores comunes. Factorice cada una de las expresiones:

a) (2 6) = ( 6)

b) 842 + 633 24 = 2(83 + 62 22) = 22(43 + 32 2)

c)

(2 + 4)( 3) 5( 3) = ( 3)(2 + 4 5) = ( 3)(2 1)

= 2( 3) ( 1

2)


En el ejemplo anterior, en el tem a), es el factor comn en la expresin dada. En el tem b),

2es la expresin literal que es comn en todos los trminos de la expresin, luego los

coeficientes dentro del parntesis son pares y se puede extraer un factor 2 adems; finalmente

en el ejemplo c), es evidente que el parntesis ( 3) es comn en las dos expresiones que

aparecen, por lo que factorizar por l debe ser el primer paso, luego para dejar la con

coeficiente 1 se factoriz tambin el 2 que lo acompaa.

Algunas expresiones algebraicas especiales se pueden factorizar usando las frmulas

siguientes:

Ejemplos de factorizacin simple:

a) 7 + 12 = (7 + 12)

b) 825 + 124 453 = 42(24 + 32 32)

Ejemplos de factorizacin de diferencias de cuadrados:

a) 42 25 = 4 (2 25

4) = 4 (

5

2) ( +

5

2)

b) ( + )2 2 = ( + )( + + )

Ejemplos de cuadrado perfecto:

a) 2 + 6 + 9 = 2 + 2 (3 ) + 32 = ( + 3)2

b) 92 24 + 16 = (3 4)2

Ejemplos de factorizacin de diferencias y sumas de cubos:

a) 273 1 = (3)3 13 = (3 1)((3)2 + 3 1 + 12) = (3 1)(92 + 3 + 1)

b) 6 + 8 = (2)3 + 23 = (2 + 2)((2)2 22 + 4) = (2 + 2)(4 22 + 4)

Ejercicios:

1) Observe el video 3 de la presente semana (factorizacin por factor comn) y luego

desarrolle:


1223 + 443 + 852

Utilice la expresin cuadrado de binomio para factorizar la expresin:

164 + 42 +1

4

2) Observe el video 6 (factorizacin de un cuadrado de binomio) y luego desarrolle:

EXPRESIONES RACIONALES

Un cociente de dos expresiones algebraicas recibe el nombre de expresin fraccionaria. Por

ejemplo:


3

4,

+ 1

,

2

8 33 + 7

Una expresin racional es una expresin fraccionaria donde tanto el numerador como el

denominador son polinomios. Por ejemplo, las que siguen son expresiones racionales:

4

3,

2 + 2,

3 1

( 1)( 2)

En esta seccin se estudiar cmo efectuar operaciones algebraicas con expresiones

racionales.

DEFINICIN: DOMINIO DE UNA EXPRESIN ALGEBRAICA

En general, una expresin algebraica podra no estar definida para todos los valores de la

variable. El dominio de una expresin algebraica es el conjunto de los nmeros reales que se

le permite tener a la variable. La tabla a continuacin proporciona algunas expresiones bsicas

y sus dominios:

Expresin algebraica bsica Dominio

{ : 0}

1

{ : 0}

1

{ : > 0}

Ejemplos:

Encuentre el dominio de las expresiones siguientes.

a) 22 1, este polinomio est definido para toda , por consiguiente, el dominio es el

conjunto de los nmeros reales.

b)

(1)(2) , ahora se debe aplicar la idea que se entreg en la tabla anterior, donde dice que

la divisin por cero no est permitida. Por lo que el dominio de esta expresin algebraica es

el conjunto de todos los nmeros reales excepto por {1,2}, dicho de otra manera:

(, 1) (1,2) (2, )

Equivalentemente el dominio de esta expresin es { : 1 2}.

c)

3, para identificar el dominio de esta expresin algebraica se deben considerar dos cosas,

primero el hecho que no se puede dividir por cero (por lo que 3) y segundo, la raz no


puede ser evaluada con un argumento negativo, por lo que debe ser positivo o cero.

Juntando los dos puntos anteriores se tiene que el dominio es:

{ : 0 3}

SIMPLIFICACIN DE EXPRESIONES RACIONALES

Para simplificar las expresiones racionales se factoriza tanto el numerador como el

denominador y se aplica la siguiente propiedad de las fracciones:

=

Esto permite eliminar los factores comunes del numerador y del denominador.

Ejemplo:

2 1

2 3 + 2=

( 1)( + 1)

( 1)( 2)=

+ 1

2

Como se acaba de ver, el primer paso es factorizar para luego eliminar los factores que

aparecen tanto en el denominador como en el numerador.

MULTIPLICACIN Y DIVISIN DE EXPRESIONES RACIONALES

Para multiplicar expresiones racionales, se aplica la siguiente propiedad de las fracciones:

=

Esto significa que para multiplicar dos fracciones se tienen que multiplicar los numeradores y

los denominadores (tal como se hace para fracciones de nmeros).

Ejemplo:

2 + 2 3

2 + 8 + 16

3 + 12

1

( 1)( + 3)

( + 4)2

3( + 4)

1

3( + 3)

+ 4

Para dividir las expresiones racionales se aplica la propiedad siguiente de las fracciones (igual

que en nmeros reales):

=


Esto quiere decir que para dividir una fraccin con otra fraccin se invierte el divisor y se

multiplica.

Ejemplo: 2 3

+ 2

+ 7

+ 1

(2 3)( + 1)

( + 2)( + 7)

ADICIN Y SUSTRACCIN DE EXPRESIONES RACIONALES

Para sumar o restar expresiones racionales, primero se determina un denominador comn y

luego se aplica la propiedad de la suma de fracciones reales:

+

=

+

Ahora, en los casos en que se haga muy complicado determinar un denominador en comn es

factible tambin realizar la siguiente operacin:

+

=

+

Ejemplo: + 3

+ 7+

1

7

( + 3)( 7)

( + 7)( 7)+

( 1)( + 7)

( 7)( + 7)

( + 3)( 7) + ( 1)( + 7)

( + 7)( 7)

2 7 + 3 21 + 2 + 7 7

2 49

22 + 2 28

2 49

Se puede notar que en el primer paso se amplifican ambas fracciones, una por ( 7) y la

otra por ( + 7) de manera de obtener un denominador en comn, a saber 2 49, luego se

suman usando dicho denominador en comn y posteriormente se agrupan los trminos

semejantes.

Ejemplo de simplificacin con denominadores distintos usando mtodo directo:

+ 2+

2

3=


Paso 1. Se debe encontrar el mcm. Al ser denominadores distintos el producto de estos es el

mnimo comn mltiplo (mcm):

x

x + 2+

2

x 3=

Paso 2. Se debe multiplicar cruzado (numerador dela primera con denominador de la segunda

y numerador de la segunda por denominador de la primera:

x (x 3) + 2 (x + 2)

(x + 2) (x 3)

Paso 3. Aplicar propiedad distributiva para eliminar parntesis:

x2 3x + 2x + 4

(x + 2) (x 3)

Paso 4. Reducir trminos semejantes y obtener resultado final:

x2 x + 4

(x + 2)(x 3)

Ejemplo de factorizacin usando amplificacin:

1

( 1)2

2

( + 1)2

Paso 1. Amplificar la primera fraccin por el denominador de la segunda y amplificar la

segunda por el denominador de la primera:

1

(x 1)2

(x + 1)2

(x + 1)2

2

(x + 1)2

(x 1)2

(x 1)2

(x + 1)2

(x 1)2(x + 1)2

2(x 1)2

(x 1)2(x + 1)2

Paso 2. Aplicar propiedad distributiva para eliminar parntesis:

x2 + 2x + 1 2x2 + 4x 2

(x 1)2(x + 1)2


Paso 3. Reducir trminos semejantes y obtener resultado final.

x2 + 6x 1

(x 1)2(x + 1)2

Siguiendo la misma idea de la suma, se busca el denominador en comn para luego agrupar los

trminos semejantes

Ejemplo de suma con denominadores factorizables usando mtodo directo:

2 4+

3

+ 2

Primero se debe factorizar el denominador factorizable:

( + 2)( 2)+

3

+ 2

Luego, como el denominador de la segunda fraccin est contenido en el denominador de la

primera fraccin, por lo tanto este es el mcm:

+ 3 ( 2)

( + 2)( 2)

+ 3 6

( + 2)( 2)

4 6

( + 2)( 2)

Ejercicio:

Observe el video 3 de esta semana (suma de fracciones algebraicas) y luego desarrolle:


Realice las siguientes sumas de expresiones algebraicas:

2

2 + 1

1

+ 1+

3

1


COMENTARIO FINAL

El trabajo de esta semana dej de lado las operaciones con nmeros reales y se ha enfocado

en un proceso un poco ms complejo, el cual corresponde a la operacin con expresiones que

representan nmeros reales, pero que se llaman variables. Se les llama a las letras , , , etc.

o , , , etc. variables, porque, a pesar de ser nmeros, no se sabe cunto valen y pueden

variar dentro de subconjuntos de los nmeros reales.

A las expresiones que contienen estas variables se las denomina expresiones algebraicas. Es

importante tener claro que las operaciones de expresiones de este tipo siguen las mismas

reglas que las operaciones con nmeros reales, guardando siempre el cuidado de respetar

ciertas reglas especiales como, por ejemplo, el dominio de una expresin algebraica.


REFERENCIAS Baldor, A. (2004). lgebra. Mxico D. F.: Publicaciones Cultural S. A.

Purcell, E. y Varberg, D. (1993). Clculo con geometra analtica: Prentice-Hall

Hispanoamericana.

Stewart, J. (1999). Clculo, trascendentes tempranas. Mxico: Thomson.

PARA REFERENCIAR ESTE DOCUMENTO, CONSIDERE:

IACC (2014). Expresiones algebraicas. Fundamentos Numricos. Semana 2.

02_fundamentos_numericos.pdf

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