01 divisibilidad y enteros

Números y medidasBLOQUE I

1. Divisibilidad y números enteros2. Fracciones y números decimales3. Potencias y raíces4. Medida de ángulos y de tiempo5. Proporcionalidad6. Resolución de problemas aritméticos

Contenidos del bloqueLa primera parte del bloque se inicia con el estudio de la divisibilidad y de los números enteros, y

se trabajan las operaciones básicas y la jerarquía de éstas. A continuación, se estudian las fraccio-nes y los números decimales, haciendo hincapié en la relación de las fracciones y su expresión deci-mal, así como en la realización de la estimación y el redondeo. Esta parte referente a los númerosfinaliza con el estudio de las potencias y sus propiedades, y con la resolución e interpretación de laraíz cuadrada y de la cúbica.

La segunda parte del bloque trata las unidades de tiempo y de ángulos, y se hace un estudiocompleto de la proporcionalidad. Se cierra el bloque con un tema dedicado a la resolución de pro-blemas aritméticos, en el que se dan estrategias para solucionar problemas clásicos de repartos,grifos, mezclas, móviles y relojes. En todos los temas se facilita el empleo de la calculadora, el orde-nador y ciertos programas informáticos, como Derive, para el estudio de los contenidos del bloque.

Pinceladas de historiaLos problemas de números enteros, de fracciones, de medida del

tiempo, etc., ya se resolvían en las civilizaciones más antiguas. Duran-te la época helénica se creó una rama de las Matemáticas que se llamó«Logística». Ésta se ocupaba de las operaciones con números enteros,la extracción numérica de raíces, el cálculo con fracciones, los proble-mas prácticos de cálculo, etc. Se demostró que la raíz cuadradade 2 es un número irracional, y se elaboró la teoría de la divisibilidad.Entre los matemáticos griegos, destacamos a Eudoxo de Cnido, tam-bién astrónomo, discípulo de Platón. Fue el primero en establecer queel año no tenía exactamente 365 días, sino 6 horas más, y se dio cuen-ta de que el movimiento de los planetas no era circular.

En el siglo XIII surgió la figura de Leonardo de Pisa (1180-1250),más conocido como «Fibonacci». Hacia el año 1202 escribió sucélebre obra Liber abaci (El libro del ábaco), en la que se exponenel cálculo de números según el sistema de numeración posicional;las operaciones con fracciones; las aplicaciones y cálculos, comola regla de tres simple y compuesta; las raíces cuadradas y cúbicas,etc. En el siglo XIV, Nicole Oresmes (1328-1382) generalizó el con-cepto de potencia e introdujo los exponentes fraccionarios.

Actualmente, la teoría de números aborda muchos más conteni-dos que las reglas para operar. Desde Euclides, que trabajó connúmeros perfectos, amigos y primos, y Eratóstenes, con su famosacriba, pasando por Fermat, tal vez el más famoso, o Gauss, calculis-ta hábil y rápido que realizaba divisiones con el fin de descubrirperíodos de centenares de cifras, llegamos a Cecilia Krieger, quetrabajó en la teoría de los números y en la teoría de las funciones.Su obra más importante es Introducción a la Topología General,donde dedica un apéndice a la teoría de los números infinitos cardi-nales y ordinales.

El ordenador es un instrumento poderosísimo que se utilizacomo herramienta de investigación y de cálculo. Programas comoDerive y Wiris ofrecen la posibilidad de experimentar con losnúmeros fácilmente, permitiendo resolver problemas y hacer con-jeturas que pueden aceptarse o descartarse, y que, en consecuen-cia, pueden reorientar los rumbos de una investigación.

Eudoxo de Cnido(408-355 a.C.)

Cecilia Krieger(1894-1974)

1. Los números negativos

BLOQUE I: NÚMEROS Y MEDIDAS

Divisibilidad y números enteros1

13

ORGANIZA TUS IDEAS

En este tema se estudia la divisibilidad en el conjunto delos números naturales.

La exposición se inicia con la definición de «múltiplo» y de«divisor», para explicar después los criterios de divisibilidady cuándo un número es primo o compuesto. Además, sehace la descomposición factorial para hallar el M.C.D. yel m.c.m.Posteriormente se muestra el cálculo del M.C.D. utilizandoel algoritmo de Euclides, y se da como aplicación la rela-ción que existe entre el M.C.D., el m.c.m. y el producto delos números.Se hace a continuación una introducción a los númerosenteros, su representación gráfica, los operadores relacio-nales y el valor absoluto. Se muestran también las opera-ciones entre números enteros considerando la jerarquía delas mismas. Para terminar, se estudia la relación de divisibi-lidad en los números enteros.Los números enteros se utilizan en diversas situaciones; porejemplo, para expresar temperaturas bajo cero, como lasque hay en una estación de esquí.

DIVISIBILIDAD NÚMEROS ENTEROS

divisor múltiplo

M.C.D. m.c.m.

relación entre números

M.C.D.(a, b) · m.c.m.(a, b) = a · b

• suma• resta• multiplicación• división

expresar:• temperaturas• dinero• altitudes• fechas• etcétera

que define

es una

se relacionan

da origen al da origen al

se utilizan para

se operan

1.1. Relación de divisibilidad

a = b · c ⇒

Ejemplo15 es múltiplo de 3 y de 5

3 y 5 son divisores de 15

EjemploM(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, …}

EjemploD(6) = {1, 2, 3, 6}

1.2. Criterios de divisibilidad

1.3. Números primos y compuestos

Ejemplo2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, …

a) Un número es primo si tiene exactamente dos divisores: el 1 y él mismo.

Los divisores de un número se obtienen empezando por 1, y se continúarealizando la división de dicho número entre todos los números menoreso iguales que él. Los divisores de a se representan por D(a)

Los múltiplos de un número se obtienen multiplicando dicho númeropor todos los números naturales, y son infinitos. Los múltiplos de a serepresentan por M(a)

a es múltiplo de b y cb y c son divisores de a

⎧⎨⎩

a b

0 c

Un número b es divisor de otro número a si al dividir a entre b la divi-sión es exacta. Se dice también que a es múltiplo de b

14 BLOQUE I: NÚMEROS Y MEDIDAS

1. Divisibilidad

Escribe los números primos menores que 20

P I E N S A Y C A L C U L A

El numero 1

El número 1 no se considerani primo ni compuesto, por-que tiene inverso, que es elmismo 1. Observa que solotiene un divisor, el propio 1

15 3

0 5

15 = 3 · 5

15 5

0 3

6 : 1 = 6

6 : 2 = 3

6 : 3 = 2

6 : 6 = 1

Número

2

Criterio

Un número es divisible por2 si acaba en cero o cifra par.

Ejemplo

30, 52, 174, 356, 508

3Un número es divisible por3 si la suma de sus cifras esmúltiplo de 3

1 257: la suma de sus cifras es1 + 2 + 5 + 7 = 15, que es múltiplo de3, por tanto, 1 257 es divisible por 3

5Un número es divisible por5 si acaba en 0 o 5

70, 85, 100, 135, 250, 715

86 617 : 35

Carné calculista

Ejemplo4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, …

1.4. Factorización o descomposición en factores primos

En los casos sencillos se hace mentalmente.

Ejemplo4 = 22 6 = 2 · 3 8 = 23 12 = 22 · 3

Procedimiento para factorizar números grandesa) Se escribe el número y, a su derecha, se pone una raya vertical.

b) Si el número termina en ceros, se puede dividir por 10 = 2 · 5. A la dere-cha de la raya vertical, se pone 2 · 5 elevado, cada uno de ellos, al númerode ceros finales que tenga el número.

c) Se sigue dividiendo cada cociente obtenido por el menor número primo,2, 3, 5, …, que sea divisor, tantas veces como se pueda.

d) Se termina cuando de cociente se obtenga 1

EjemploHaz la descomposición factorial de 3 600

Procedimiento Factorización

3 600 22 · 52 3 600 = 24 · 32 · 52

36 2

18 2

9 3

3 3

1

La factorización de un número consiste en expresarlo como producto denúmeros primos elevados a los exponentes correspondientes.

b) Un número es compuesto si tiene más de dos divisores.

151. DIVISIBILIDAD Y NÚMEROS ENTEROS

Completa con la palabra múltiplo o divisor:

a) 5 es ………… 15 b) 12 es ………… 3

c) 24 es ………… 2 d) 7 es ………… 42

Calcula mentalmente todos los divisores de:

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9

Calcula mentalmente los cinco primeros múltiplosde:

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5

De los siguientes números: 15, 18, 24, 30, 35, indicacuáles son múltiplos de:

a) 2 b) 3 c) 5

Clasifica los siguientes números en primos y com-puestos:

12, 17, 25, 29, 42, 43

Halla mentalmente la descomposición en factoresprimos de:

a) 8 b) 12 c) 15 d) 25

Halla la descomposición en factores primos de:

a) 60 b) 80 c) 64 d) 72

Halla la descomposición en factores primos de:

a) 120 b) 1 800

c) 840 d) 2 970

8

7

6

5

4

3

2

1

A P L I C A L A T E O R Í A

Criba de Eratóstenes

2 3 4 5

6 7 8 9 10

11 12 13 14 15

16 17 18 19 20

21 22 23 24 25

26 27 28 29 30

31 32 33 34 35

36 37 38 39 40

41 42 43 44 45

46 47 48 49 50

2.1. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo

Cuando los números son pequeños, se calculan mentalmente.

EjemploM.C.D.(4, 6) = 2 M.C.D.(2, 6) = 2 M.C.D.(8, 12) = 4

m.c.m.(4, 6) = 12 m.c.m.(2, 6) = 6 m.c.m.(8, 12) = 24

Números primos entre síDos números son primos entre sí cuando su M.C.D. es 1

Ejemplo5 y 6 son primos entre sí porque M.C.D.(5, 6) = 1

8 y 9 son primos entre sí porque M.C.D.(8, 9) = 1

2.2. Cálculo del M.C.D. y del m.c.m.

EjemploHalla el M.C.D. y el m.c.m. de 504 y de 720

504 = 23 · 32 · 7 720 = 24 · 32 · 5

M.C.D.(504, 720) = 23 · 32 = 72

m.c.m.(504, 720) = 24 · 32 · 5 · 7 = 5 040

2.3. Algoritmo de EuclidesEl algoritmo de Euclides se utiliza para hallar el M.C.D. de dos números:

a) Se hace una tabla: en la fila central se escriben los dividendos y divisores;en la fila superior, los cocientes; y en la fila inferior, los restos.

b) El 1er dividendo es el número mayor, y el 1er divisor es el número menor.

Para hallar el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo, sehace en primer lugar la factorización de los números, y luego:

a) Para hallar el M.C.D., se multiplican los factores comunes con elmenor exponente.

b) Para hallar el m.c.m., se multiplican los factores comunes y no comu-nes con el mayor exponente.

El mínimo común múltiplo de varios números es el menor de los múl-tiplos comunes a dichos números, distinto de cero. Se representa porm.c.m.(a, b, c, …)

El máximo común divisor de varios números es el mayor de los diviso-res comunes a dichos números. Se representa por M.C.D.(a, b, c, …)


2. M.C.D. y m.c.m.

Halla mentalmente el M.C.D. y el m.c.m. de 4 y 6


124

36

12

D(8) D(12)

8

0244872…

12366084…

M(8) M(12)

83256…

164064…

504 2 720 2 · 5252 2 72 2126 2 36 263 3 18 221 3 9 37 7 3 31 1

295 661 : 43

Carné calculista

c) Después se divide el número menor entre el resto obtenido.

d) Se continúa de igual forma hasta obtener de resto cero.

e) El último divisor es el M.C.D.

EjemploHalla el M.C.D. de 72 y 258 aplicando el algoritmo de Euclides.

⇒ M.C.D.(72, 258) = 6

2.4. Relación entre el M.C.D. y el m.c.m. de dos númerosEl producto del M.C.D. por el m.c.m. de dos números es igual al productode ambos números, es decir:

EjemploComprueba la relación que existe entre el M.C.D. y el m.c.m. de 6 y 9

M.C.D.(6, 9) · m.c.m.(6, 9) = 3 · 18 = 54

6 · 9 = 54

Esta propiedad se puede utilizar para hallar el m.c.m. de dos números sinhacer la descomposición en factores primos. Se halla previamente el M.C.D.,aplicando el algoritmo de Euclides, y se sustituye en:

m.c.m.(a, b) =

EjemploEn el ejemplo anterior del algoritmo de Euclides se ha calculado que elM.C.D.(72, 258) = 6. Calcula el m.c.m.(72, 258)

m.c.m.(72, 258) = = = 3 09618 5766

72 · 258M.C.D.(72, 258)

a · bM.C.D.(a, b)

M.C.D. (a, b) · m.c.m. (a, b) = a · b


Halla mentalmente:

a) M.C.D.(6, 8) b) m.c.m.(6, 8)

c) M.C.D.(6, 9) d) m.c.m.(6, 9)

Halla mentalmente:

a) M.C.D.(2, 4) b) m.c.m.(2, 4)

c) M.C.D.(3, 5) d) m.c.m.(3, 5)

¿Cuáles de los siguientes números son primosentre sí?

a) 3 y 5 b) 4 y 6 c) 8 y 9 d) 15 y 21

Calcula el M.C.D. y el m.c.m. de:

a) 360 y 900 b) 1 100 y 720


a) 900 y 840 b) 468 y 504

Aplicando el algoritmo de Euclides, halla:

a) M.C.D.(252, 66)

b) M.C.D.(120, 54)

Aplicando el algoritmo de Euclides, halla elM.C.D.(264, 525), y sin hacer la descomposiciónen factores primos halla el m.c.m.(264, 525)

Dos barcos salen del puerto de Cádiz. Uno vuelveal puerto cada 18 días y el otro cada 24 días.¿Cuánto tiempo tiene que pasar para que vuelvana encontrarse?

16

15

14

13

12

11

10

9


258

42

3

72

30

1

42

12

1

30

6

2

12

0

2

6

3096=6÷258×72

M.C.D.(6, 9) · m.c.m.(6, 9) = 6 · 91442443 1442443

↓ ↓ ↓3 · 18 = 54144424443

↓54 = 54

3.1. Conjunto de los números enteros �

EjemploEscribe tres números enteros positivos: 3, 6, 54

Escribe tres números enteros negativos: – 2, – 7, – 83

Escribe un número entero que no sea ni positivo ni negativo: 0

3.2. Representación gráfica de los números enteros

EjemploRepresenta gráficamente los números enteros 4 y – 3

3.3. Ordenación de números enterosPara ordenar números enteros se tiene en cuenta la representación gráfica.El número a es menor que el número b si, al hacer la representación gráfi-ca, a está a la izquierda de b

Se representa por a < b y se lee a es menor que b

EjemploOrdena de menor a mayor los siguientes números enteros:5, – 3, 0, – 5, 2, – 1

– 5 < – 3 < – 1 < 0 < 2 < 5

Para representar gráficamente los números enteros se dibuja una recta,y en ella, un punto que es el cero. A su derecha y a igual distancia se repre-sentan los números positivos, y a su izquierda, los números negativos.

El conjunto de los números enteros está formado por el conjunto delos números naturales � = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …} y los negativos {– 1, – 2,– 3, – 4, – 5, – 6, …}

� = {0, ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 5, ± 6, …}


3. Los números enteros

Escribe ordenadamente de menor a mayor todos los números enteros x que verifiquen:

– 3 < x ≤ 5


… – 4 – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 4 …

a b

0 1

– 3 4

0 1

– 5 – 3 – 1 0 2 5

Uso de los númerosenteros negativos

• Temperaturas: – 15 °C

• Dinero: – 850 €

• Ascensores: planta – 3

• Altitudes: – 80 m

• Fechas: año – 456

0 12 34 56 78 9

10 11…

– 1 – 2– 3 – 4– 5 – 6– 7 – 8– 9 – 10– 11…

� �

106 173 : 67

Carné calculista

3.4. Resumen de todos los operadores relacionales

EjemploCompleta con signos diferentes los puntos suspensivos de cada apartado:

a) 3 … 5, 3 … 5, 3 … 5 b) 7 … 7, 7 … 7, 7 … 7

3 < 5, 3 ≤ 5, 3 ≠ 5 7 = 7, 7 ≤ 7, 7 ≥ 7

3.5. Valor absoluto

Se representa por |a| y se lee valor absoluto de a

EjemploHalla todos los números enteros que verifiquen |x| ≤ 3

– 3, – 2, – 1, 0, 1, 2 y 3

El valor absoluto de un número es el mismo número prescindiendo delsigno.


Escribe los cinco números enteros positivos máspequeños.

Escribe los cinco números enteros negativos demenor valor absoluto.

Representa gráficamente los siguientes númerosenteros y ordénalos de menor a mayor:

4, – 4, 3, 0, – 1

Halla los números enteros representados en lasiguiente recta y ordénalos de menor a mayor:

Completa con signos diferentes los puntos sus-pensivos de cada apartado:

a) – 2 … 6, – 2 … 6, – 2 … 6

b) 3 … 3, 3 … 3, 3 … 3

Halla todos los números enteros que verifiquen:

– 5 < x < 2

Halla todos los números enteros que verifiquen:

– 3 ≤ x ≤ 5

Halla el valor absoluto de los siguientes númerosenteros:

a) 5 b) – 3 c) – 44 d) 53

Halla y representa todos los números enteros queverifiquen:

a) |x| = 4 b) |x| ≤ 4

¿Con qué número entero representarías la si-guiente situación? Estamos a 5 grados centígradosbajo cero.

26

25

24

23

22

21

20

19

18

17


Evitar errores

3 ≤ 5 es cierto, porque 3 esmenor que 5

7 ≤ 7 es cierto, porque 7 esigual a 7

Ejemplo

Halla el valor absoluto de 7, de0 y de – 5

|7| = 7

|0| = 0

|– 5| = 5

Operador

=Se lee

Igual

Ejemplo

5 = 5

Se lee

5 es igual a 5

≠ Distinto 3 ≠ 4 3 es distinto a 4

< Menor que – 2 < 6 – 2 es menor que 6

≤ Menor o igual que5 ≤ 52 ≤ 6

5 es menor o igual que 52 es menor o igual que 6

> Mayor que 7 > 1 7 es mayor que 1

≥ Mayor o igual que5 ≥ 5

– 1 ≥ – 75 es mayor o igual que 5– 1 es mayor o igual que – 7

0 1

– 3 – 2 – 1 0 1 2 3

0 1

Ejemplo

Halla todos los números ente-ros que verifiquen – 2 ≤ x < 4

– 2, – 1, 0, 1, 2 y 3


4. Operaciones con números enteros

La temperatura máxima el día 1 de enero en un determinado lugar fue de 7 °C, y la temperatu-ra mínima, de – 5 °C. ¿Cuál ha sido la variación de temperaturas?


4.1. Suma y resta de números enteros

EjemploRealiza las siguientes operaciones:

a) 8 + 3 – 7 + 5 – 4 = 16 – 11 = 5

b) – 6 + 5 – 4 + 8 – 9 = 13 – 19 = – 6

4.2. Multiplicación y división de números enteros

Para hallar el producto o división de dos números enteros, se tiene encuenta la regla de los signos y, luego, se multiplican o dividen como númerosnaturales.

Para hallar el signo del producto o división de varios números enteros, secuenta el número de signos menos. Si es par, el resultado es positivo, y si esimpar, negativo.

EjemploRealiza las siguientes operaciones:

a) – 2 · 5 · (– 3) · (– 1) · (– 4) = 120 b) 3 · (– 4) · (– 1) · (– 2) = – 24

La regla de los signos dice que al multiplicar y al dividir dos números, siambos tienen el mismo signo, el resultado es positivo, y si tienen distintosigno, el resultado es negativo.

Para sumar y restar números enteros se sigue el procedimiento:

a) Se suman los números positivos.

b) Se suman los números negativos.

c) Se pone el signo del que tiene mayor valor absoluto.

d) Se resta del número que tiene mayor valor absoluto el que tiene menorvalor absoluto.

Opuesto

El opuesto de un número esotro número tal que al sumarambos, se obtiene cero. Parahallar el opuesto de un nú-mero se le cambia el signo.

Ejemplo

Halla el opuesto de 5 y de – 3

a) El opuesto de 5 es – 5 por-que 5 + (– 5) = 0

b) El opuesto de – 3 es 3porque – 3 + 3 = 0

Signo de multiplicar

El signo de multiplicar es ÒÒ,o bien un punto, ·, aunque siprecede a un paréntesis no esnecesario ponerlo.

Ejemplo

5 × (– 3) = – 15

5 · (– 3) = – 15

5 (– 3) = – 15

División

(+) : (+) = + Más entre más igual a más.

(–) : (–) = + Menos entre menos igual a más.

(+) : (–) = – Más entre menos igual a menos.

(–) : (+) = – Menos entre más igual a menos.

Multiplicación

(+) · (+) = + Más por más igual a más.

(–) · (–) = + Menos por menos igual a más.

(+) · (–) = – Más por menos igual a menos.

(–) · (+) = – Menos por más igual a menos.

Multiplicación

Regla Ejemplo

(+) · (+) = + 2 · 5 = 10

(–) · (–) = + – 3 · (– 4) = 12

(+) · (–) = – 6 · (– 5) = – 30

(–) · (+) = – – 9 · 4 = – 36

División

Regla Ejemplo

(+) : (+) = + 24 : 6 = 4

(–) : (–) = + – 36 : (– 9) = 4

(+) : (–) = – 18 : (– 3) = – 6

(–) : (+) = – – 12 : 4 = – 3

201 821 : 85

Carné calculista

4.3. Jerarquía de las operaciones y uso del paréntesis

Ejemplo5(7 – 4) + 9 · 4 : 6 = 5 · 3 + 36 : 6 = 15 + 6 = 21

4.4. Propiedad distributivaLa propiedad distributiva del producto respecto de la suma dice que si semultiplica un número por una suma, el resultado es igual al producto delnúmero por el primer sumando, más el producto del mismo número por elsegundo sumando. Se hace de igual forma si es una resta.

EjemploComprueba la propiedad distributiva en 4(5 + 2) y en 4(5 – 2)

4 · (5 + 2) = 4 · 5 + 4 · 2 4 · (5 – 2) = 4 · 5 – 4 · 2{ 123 123 123 { 123 123 123

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓4 · 7 = 20 + 8 4 · 3 = 20 – 814243 14243 14243 14243

↓ ↓ ↓ ↓28 = 28 12 = 12

4.5. Divisibilidad de los números enterosLa divisibilidad en los números enteros se define de forma análoga a ladivisibilidad en los números naturales, teniendo en cuenta que tanto los divi-sores como los múltiplos pueden ser positivos y negativos.

Ejemploa) Halla todos los divisores enteros de 6

D(6) = {± 1, ± 2, ± 3, ± 6}

b) Halla todos los múltiplos enteros de 4

M(4) = {0, ± 4, ± 8, ± 12, ± 16, …}

La jerarquía de las operaciones y uso del paréntesis dice que cuando setienen distintas operaciones combinadas, se debe seguir el orden siguiente:a) Paréntesis.b) Multiplicaciones y divisiones.c) Sumas y restas.d)Si las operaciones están en el mismo nivel, se ha de comenzar por la

izquierda.


Realiza las siguientes operaciones:

a) 5 – 3 + 8 – 4 + 9 b) – 4 + 1 – 5 + 3 – 8

Realiza mentalmente las siguientes operaciones:

a) 7 · (– 6) b) – 8 · (– 9) c) 42 : (– 6)

d) – 81 : 9 e) – 5 · (– 2) · 4 · (– 10)

f) 600 : (– 10) : 5 : (– 2)


a) – 4(6 – 5) + 6 · (– 8) : 4

b) 24 : (5 – 11) – 3(25 – 30)

Comprueba la propiedad distributiva en:

a) – 3(4 + 9) b) 5(– 4 – 7)

Halla mentalmente todos los divisores enteros de:

a) 4 b) – 7 c) – 8 d) 12

Halla todos los múltiplos enteros de:

a) 2 b) – 3 c) – 4 d) 5

Estamos en el sótano – 2 de un aparcamiento.Subimos 7 plantas y bajamos 3. ¿En qué planta nosencontramos?

33

32

31

30

29

28

27


Signo menos delantede un paréntesis

Cuando hay un menos de-lante de un paréntesis se pue-de proceder de dos formas:

a) Efectuar las operacionesque hay dentro del parén-tesis y cambiar el signo alresultado.

b) Cambiar de signo todoslos números que hay den-tro del paréntesis y luegoefectuar las operaciones.

Ejemplo

Halla: – (7 – 3 + 5)

a) – (7 – 3 + 5) == – (12 – 3) = – 9

b) – (7 – 3 + 5) = = – 7 + 3 – 5 = = 3 – 12 = – 9

( )

· :

+ –

21=6÷4×9

+)4−7(×5


1. Divisibilidad

Completa con la palabra múltiplo o divisor:a) 8 es ………… 4 b) 7 es ………… 49c) 5 es ………… 35 d) 72 es ………… 9

Calcula mentalmente todos los divisores de:a) 10 b) 11 c) 12 d) 13

Calcula mentalmente los cinco primeros múlti-plos de:a) 6 b) 7 c) 8 d) 9

De los siguientes números:12, 27, 36, 45, 60, 72

indica cuáles son múltiplos de:a) 2 b) 3 c) 5

Clasifica los siguientes números en primos ycompuestos: 15, 19, 36, 49, 52, 93

Halla mentalmente la descomposición en facto-res primos de:a) 8 b) 9 c) 18 d) 49

Halla la descomposición en factores primos de:a) 144 b) 150 c) 300 d) 588

Halla la descomposición en factores primos de:a) 600 b) 1 176 c) 900 d) 1 512

2. M.C.D. y m.c.m.

Halla mentalmente:a) M.C.D.(4, 6) b) m.c.m.(4, 6)c) M.C.D.(8, 12) d) m.c.m.(8, 12)

Halla mentalmente:a) M.C.D.(3, 6) b) m.c.m.(3, 6)c) M.C.D.(5, 6) d) m.c.m.(5, 6)

¿Cuáles de los siguientes números son primosentre sí?a) 4 y 7 b) 6 y 9 c) 8 y 10 d) 13 y 14

Calcula el M.C.D. y el m.c.m. de:a) 124 y 360 b) 600 y 1176

Calcula el M.C.D. y el m.c.m. de:a) 900 y 1 200 b) 1 512 y 1 575

Aplicando el algoritmo de Euclides, halla:a) M.C.D.(72, 84) b) M.C.D.(264, 525)

Aplicando el algoritmo de Euclides, halla:

a) M.C.D.(175, 345) b) M.C.D.(126, 224)

Aplicando el algoritmo de Euclides, halla elM.C.D.(186, 552), y, sin hacer la descomposiciónen factores primos, halla el m.c.m.(186, 552)

3. Los números enteros

Representa gráficamente los siguientes núme-ros enteros y ordénalos de menor a mayor:

5, – 3, 2, 1, – 1

Halla los números enteros representados en lasiguiente recta y ordénalos de menor a mayor:

Completa con signos diferentes los puntos sus-pensivos de cada apartado.

a) 5 … – 3, 5 … – 3, 5 … – 3

b) – 4 … – 4, – 4 … – 4, – 4 … – 4

Halla todos los números enteros que verifi-quen: – 4 ≤ x < 6

Halla todos los números enteros que verifi-quen: – 5 < x ≤ 3

Halla el valor absoluto de los siguientes núme-ros enteros:

a) |– 7| b) |56| c) |– 543| d) |1 500|

Halla y representa todos los números enterosque verifiquen:

a) |x| = 3 b) |x| < 3

¿Con qué número entero representarías lasiguiente situación? Estamos en la planta 3ª delsótano de un aparcamiento.

4. Operaciones con números enteros


a) – 5 – 6 + 7 – 3 + 8 b) 3 + 5 – 9 + 1 – 8

Realiza mentalmente las siguientes operaciones:

a) – 8 · 6 b) 7 · (– 9)

c) – 48 : 6 d) – 72 : (– 9)

e) – 2 · (– 3) · (– 10) · 5

f) – 900 : (– 9) : 2 : (– 5)

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Ejercicios y problemas

0 1



a) 5 · (5 – 9) + 8 · (– 9) : 6

b) 18 : (9 – 7) – 5 · (50 – 53)

Comprueba la propiedad distributiva en:

a) 7(– 5 + 3) b) – 6(9 – 4)

Halla mentalmente todos los divisores enteros de:

a) – 5 b) 6 c) – 9 d) 18

Halla todos los múltiplos enteros de:

a) 6 b) – 7 c) – 8 d) 9

Compramos un frigorífico. Cuando lo enchufa-mos a la red eléctrica está a la temperaturaambiente, que es de 25 °C. Si cada hora la tem-peratura baja 5 °C, ¿a qué temperatura estaráal cabo de 6 horas?

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Escribe los diez primeros números primos.

Escribe los diez primeros números compuestos.

Calcula mentalmente los divisores comunes delos siguientes pares de números:

a) 4 y 6 b) 6 y 8 c) 4 y 12 d) 8 y 12

Calcula mentalmente los cuatro primeros múl-tiplos comunes y positivos de los siguientespares de números:

a) 4 y 6 b) 6 y 8 c) 4 y 12 d) 8 y 12

De los números comprendidos entre 90 y 100,excluidos ambos, halla cuáles son primos y cuá-les compuestos.

Halla el valor de la cifra x para que el número45x sea divisible entre 2

Halla el valor de la cifra x para que el número6x9 sea divisible entre 3

Halla el valor de la cifra x para que el número52x sea divisible entre 5


a) 50, 60 y 80 b) 600, 900 y 1 200


a) 300, 600 y 900 b) 96, 120 y 168


a) 1 176, 1 512 y 1 575 b) 400, 560 y 900

Dados los números 600 y 840, comprueba queel producto de su M.C.D. por su m.c.m. es igualal producto de ambos números.

Escribe un número entero que no sea positivoni negativo.

Escribe matemáticamente lo que reflejan lossiguientes enunciados, calcula el resultado einterprétalo:

a) Subí 5 plantas y luego he bajado 7 plantas.

b) Tenía 12 € y he pagado 5 €

Escribe dos números enteros distintos que ten-gan el mismo valor absoluto.


a) 9 · (15 – 8) + 6 · (– 9) : 3

b) 81 : (7 – 16) – 8 · (80 – 100)


a) – 7 · (– 12 – 9) – 5 · (– 8) : 4

b) 72 : (9 – 17) + 11 · (93 – 105)

Halla mentalmente el valor de x

a) – 5 · x = – 40 b) x · 7 = – 56

c) 42 : x = – 6 d) – 72 : 8 = x

La altura de un trampolín de una piscina es de5 m y, en el salto, el nadador desciende 3 m enel agua. Haz una escala graduada del salto.

Con calculadora


a) 25 – 36 · 54 – 286 : 13

b) 12(28 + 34 – 56)


a) (23 – 44 · 76) : 41

b) (23 · 15 – 56)(87 – 69)

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Ejercicios y problemas

Para ampliar


Calcula el número mínimo de páginas que debetener un libro para que éste se pueda leer arazón de 15 páginas cada día, o bien 24 páginascada día.

Dados los números 900 y 1 890, compruebaque el producto de su M.C.D. por su m.c.m. esigual al producto de ambos números.

Se sabe que el M.C.D.(96, x) = 16 y que elm.c.m.(96, x) = 672. Halla el valor de x

Antonio quiere poner el suelo de la cocina delosetas cuadradas del mayor tamaño posible. Sila cocina mide 4,4 m de largo por 3,2 m deancho, ¿cuántos centímetros debe medir delado la loseta?

¿De cuántas formas se pueden plantar 36 pinosen un parque rectangular formando filas ycolumnas?

Pedro y Sonia son primos. Pedro visita a susabuelos cada 28 días, y Sonia, cada 35 días. Si undeterminado domingo coinciden, ¿cuánto tiem-po tardarán en volver a coincidir?

Los alumnos de 2º C trabajan de dos en dos enclase de Matemáticas, hacen los trabajos deLengua en grupos de 4, y los trabajos de Tecno-logía, en grupos de 5. Si la clase tiene menos de40 alumnos, ¿cuántos alumnos son en total?

Se tienen dos cuerdas, una de 28 m y la otra de32 m. Se quieren cortar en trozos iguales delmayor tamaño posible. Calcula:a) La longitud de cada trozo.b) El número total de trozos.

El M.C.D. de dos números es 36, y su producto,45 360. Halla el m.c.m. de ambos números.

Tenemos 550 litros de aceite de oliva y 445litros de aceite de girasol, y queremos envasar-los en garrafas iguales y del mayor tamañoposible. Calcula:a) La capacidad de cada garrafa.b) El número de garrafas que se necesitan para

envasar el aceite de oliva.c) El número de garrafas que se necesitan para

envasar el aceite de girasol.

Una finca que tiene forma rectangular mide delargo 255 m, y de ancho, 125 m. Se quierenplantar nogales lo más separados posible y aigual distancia. Calcula:

a) A qué distancia se plantarán.

b) Cuántos se plantarán.

En una estación de esquí la temperatura másalta ha sido de – 2 °C, y la más baja, de – 23 °C.¿Cuál ha sido la diferencia de temperaturas?

Un avión vuela a 11 000 m, y un submarino estáa – 850 m. ¿Cuál es la diferencia de alturasentre ambos?

Un frutero ha comprado 50 kg de manzanas a1 €/kg, ha vendido 35 kg a 2 €/kg y el resto seha estropeado. ¿Cuánto ha ganado?

Para profundizar

Pitágoras nació el año 585 a.C. y murió el año495 a.C. ¿Cuántos años vivió?

La cotización en bolsa de una empresa está a34 € . Durante la semana se producen lassiguientes variaciones: – 2 €, 1 €, – 1 €, 2 €,– 1 €. ¿Cuál es la cotización final?

En la cuenta corriente del banco tenemos1 250 €. Se paga el recibo de la luz, que vale83 €; el recibo del teléfono, que vale 37 €, ydos cheques de gasolina de 40 € cada uno.¿Cuánto dinero queda en la cuenta corriente?

Una plataforma petrolífera tiene 23 m sobre elnivel del mar, y desciende 350 m. Halla la alturade la plataforma.

En una calle de una urbanización se quieren colo-car farolas. Si se sitúan cada 12 m, cada 18 m ocada 25 m, coinciden una al principio y otra alfinal. ¿Cuál es la longitud mínima de la calle?¿Cuántas farolas se necesitarán en cada caso?

En una sala de fiestas hay luces rojas, verdes yazules. Cuando se abre el local se enciendentodas al mismo tiempo. Luego, las rojas seencienden cada 4 s; las verdes, cada 6 s, y lasazules, cada 5 s. ¿Cuánto tiempo tardarán envolver a coincidir?

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Ejercicios y problemasProblemas


Pagos del IVA trimestrales

En su declaración del IVA trimestral, una empresa tiene: 1er trimestre, 15 285 €; 2º trimestre,– 2 870 €; 3er trimestre, – 23 450 €; y 4º trimestre, 35 645 €. Halla el resultado final anual del IVA.

IVA anual:

15 285 – 2 870 – 23 450 + 35 645 = 50 930 – 26 320 = 24 610 €

En su declaración del IVA trimestral, una empresa tiene: 1er trimestre, 7 834 €; 2° trimestre,– 14 765 €; 3er trimestre, – 45 890 €; y 4º trimestre, 234 500 €. Halla el resultado final anual delIVA.

En su declaración del IVA trimestral, una empresa tiene: 1er trimestre, – 2 523 €; 2° trimestre,8 750 €; 3er trimestre, – 83 650 €; y 4º trimestre, 25 876 €. Halla el resultado final anual del IVA.

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Aplica tus competencias

Define cuándo un número es primo y pon un ejemplo.

Calcula:

a) M.C.D.(540, 630)

b) m.c.m.(540, 630)

Calcula el M.C.D. de 258 y de 72 aplicando el algoritmo de Euclides, y después, halla su m.c.m. sinhacer la descomposición en factores primos.

Representa gráficamente los siguientes números enteros y ordénalos de menor a mayor:

3, – 5, 4, – 1, 0, 2, – 3

Halla y representa gráficamente todos los números enteros que verifiquen:

– 4 ≤ x < 5


a) – 4(6 – 5) + 6 · (– 8) : 4

b) 24 : (5 – 11) – 3(25 – 30)

Compramos un frigorífico. Cuando lo enchufamos a la red eléctrica está a la temperatura ambiente,que es de 25 °C. Si cada hora la temperatura baja 5 °C, ¿a qué temperatura estará al cabo de 6 horas?

En un determinado día han recogido en una granja 510 huevos de clase extra y 690 de clase normal.Si se quieren colocar en cartones iguales que contengan el mayor número posible de huevos, ¿cuán-tos huevos se pondrán en cada cartón?

8

7

6

5

4

3

2

1

Comprueba lo que sabes


Haz la descomposición en factores primos de3 600

Solución:a) En la barra de menús, elige

b) Para escribir cada línea de comentario, elige Comentar. Escribe en un solobloque el número y el título del tema, elnombre de los dos alumnos y Paso a paso.Para pasar de una línea a la siguiente, sincambiar de bloque, pulsa [Intro]

c) Haz clic en Calcular para crear nuevobloque.

d)Elige Comentar y escribe: Ejercicio109

e) Pulsa [Intro] para cambiar de línea dentrodel mismo bloque.

f ) Escribe: factorizar(3600)g) Haz clic en Calcular

Halla todos los divisores de 18:

Solución:

Halla el M.C.D. de 504 y 720:

Solución:

Halla el m.c.m. de 504 y 720:

Solución:

Calcula: 5(7 – 4) + 9 · 4 : 6

Solución:

Plantea los siguientes problemas y resuélvelos conayuda de Wiris:

Comprueba si el número 503 es primo ocompuesto.

Solución:Planteamiento: se hallan los divisores de 503

Dos barcos salen del puerto de Cádiz. Unovuelve al puerto cada 18 días, y el otro, cada24 días. ¿Cuánto tiempo tiene que pasar paraque vuelvan a encontrarse?

Solución:Planteamiento: m.c.m.(18, 24)

Una empresa, en su declaración trimestral delIVA, tiene: 1er trimestre, 15 285 €; 2° trimes-tre, – 2 870 €; 3er trimestre, – 23 450 €; y4° trimestre, 35 645 €. Halla el resultadofinal anual del IVA.

Solución:Planteamiento:

IVA Total: 15 285 – 2 870 – 23 450 + 35 645

Internet. Abre: www.editorial-bruno.es yelige Matemáticas, curso y tema.

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Paso a paso



Así funciona

Escritura de comentarios o textosSe elige en la barra de menús la opción y la herramienta Comentar. Se utiliza para escribirel número y el título del tema, los nombres de los dos alumnos que trabajan juntos, el título del bloque:Paso a paso o Práctica y los títulos de las actividades: Ejercicio o Problema. Hay que hacer clic en Comentar en cada línea.

Operaciones aritméticasPara realizar cálculos matemáticos, se escribe la operación que hay que realizar y se hace clic sobre elbotón CalcularLos signos más cómodos de utilizar son los que se encuentran en el teclado numérico; es decir, en la par-te superior del bloque de la derecha del teclado.

El signo de sumar es +

El signo de restar es –

El signo de multiplicar es uno de los dos símbolos siguientes: el · que está en la parte superior del núme-ro 3; se obtiene manteniendo pulsada la tecla [ ] Mayúsculas y pulsando el número 3; el * que se obtie-ne pulsando el signo de multiplicar del teclado; o se deja un espacio en blanco.

El signo de dividir es /

Funciones de divisibilidaddivisores(a) Calcula todos los divisores de amcd(a, b, …) Calcula el M.C.D. de a, b, …mcm(a, b, …) Calcula el m.c.m. de a, b, …

Linux/Windows

Haz la descomposición en factores primos de:

a) 900 b) 1 200

c) 1 176 d) 1 575

Halla todos los divisores de:

a) 12 b) 18 c) 24 d) 32


a) 600 y 1 176 b) 504 y 792

c) 900 y 1200 d) 1 512 y 1 575


a) 96, 120 y 168 b) 400, 560 y 900

Calcula:

a) 57 · (– 483) + 85 939

b) – 19 278 : 567 – 123

c) 43(– 546 + 845) – 12 500

d) (234 – 567)(8 459 – 15 346)

Plantea los siguientes problemas y resuélvelos conayuda de Wiris:

¿Cuáles de los siguientes números son pri-mos? ¿Cuáles son compuestos?

a) 87 b) 103 c) 957 d) 1 553

En una autopista se coloca un teléfono deemergencia cada 2 400 m. Si al principio de laautopista coincide un mojón kilométrico conun teléfono, ¿cada qué distancia coincidirá unteléfono con un mojón?

Hemos ido al mercado con 100 €. Si en lapescadería hemos pagado 23 €; en la carnice-ría, 35 €; y en la frutería, 17 €, ¿cuánto nosha sobrado?

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Practica



3 600

Solución:En la Entrada de Expresiones escribe:

3600

Elige Introducir ExpresiónEn la barra de menús elige:

Simplificar/Factorizar…/Factorizar24 · 32 · 52

Halla todos los divisores de 18:


divisors(18)

Elige Introducir y Simplificar[1, 2, 3, 6, 9, 18]

Halla el M.C.D. de:

504 y 720


gcd(504, 720)

Elige Introducir y Simplificar72

Halla el m.c.m. de 504 y 720:


lcm(504, 720)


Calcula:

5(7 – 4) + 9 · 4 : 6


5(7 – 4) + 9 * 4 / 6


Plantea los siguientes problemas y resuélvelos conayuda de DERIVE:

Comprueba si el número 503 es primo ocompuesto.

Solución:Planteamiento: se hallan los divisores de 503

En la Entrada de Expresiones escribe:

divisors(503)

Elige Introducir y Simplificar[1, 503]

Por tanto, 503 es primo.

Dos barcos salen del puerto de Cádiz. Unovuelve al puerto cada 18 días, y el otro, cada24 días. ¿Cuánto tiempo tiene que pasar paraque vuelvan a encontrarse?

Solución:Planteamiento: m.c.m.(18, 24)


lcm(18, 24)


Los barcos se encuentran cada 72 días.

Una empresa, en su declaración trimestral delIVA, tiene: 1er trimestre, 15 285 €; 2° trimes-tre, – 2 870 €; 3er trimestre, – 23 450 €; y 4°trimestre, 35 645 €. Halla el resultado finalanual del IVA.

Solución:Planteamiento:

IVA Total: 15 285 – 2 870 – 23 450 + 35 645


15285 – 2870 – 23450 + 35645

Elige Introducir y Simplificar24 610

Hay que pagar: 24 610 €

Internet. Abre: www.editorial-bruno.es yelige Matemáticas, curso y tema.

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Paso a pasoAjusta la configuración: en la barra de menús elige: Opciones/Ajustes de Modo…/Simplificación/Restablecer

1. DIVISIBILIDAD Y NÚMEROS ENTEROS1. DIVISIBILIDAD Y NÚMEROS ENTEROS1. DIVISIBILIDAD Y NÚMEROS ENTEROS



a) 900 b) 1 200

c) 1 176 d) 1 575

Halla todos los divisores de:

a) 12 b) 18 c) 24 d) 32


a) 600 y 1 176 b) 504 y 792

c) 900 y 1200 d) 1 512 y 1 575


a) 96, 120 y 168 b) 400, 560 y 900

Calcula:

a) 57 · (– 483) + 85 939

b) – 19 278 : 567 – 123

c) 43(– 546 + 845) – 12 500

d) (234 – 567)(8 459 – 15 346)

Plantea los siguientes problemas y resuélvelos conayuda de DERIVE:

¿Cuáles de los siguientes números son pri-mos? ¿Cuáles son compuestos?

a) 87 b) 103 c) 957 d) 1 553

En una autopista se coloca un teléfono deemergencia cada 2 400 m. Si al principio de laautopista coincide un mojón kilométrico conun teléfono, ¿cada qué distancia coincidirá unteléfono con un mojón?

Hemos ido al mercado con 100 €. Si en lapescadería hemos pagado 23 €; en la carnice-ría, 35 €; y en la frutería, 17 €, ¿cuánto nosha sobrado?

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Así funcionaOperaciones aritméticasEl signo de sumar es +

El signo de restar es –

El signo de multiplicar es *, o dejar un espacio en blanco.

El signo de dividir es /

Ajustar la configuración inicial de DERIVECuando se trabaja con DERIVE y se modifican las opciones que tiene por defecto, éstas se conservanhasta que se vuelvan a cambiar. Por ello, al empezar a trabajar, es bueno que funcione tal como se instalópor primera vez. Para restablecer la configuración, en la barra de menús se elige:

Opciones/Ajustes de Modo…/Simplificación/Restablecer

Barra de entrada de expresiones

En ella se escriben las expresiones, y después se elige una de las opciones siguientes, en función del resul-tado que se desee obtener, para que pasen a la ventana de Álgebra

Introducir Expresión [Intro] Simplificar Introducir y Simplificar

Aproximar Introducir y Aproximar

Funciones de divisibilidaddivisors(a) Calcula todos los divisores de agcd(a, b, …) Calcula el M.C.D. de a, b, …

lcm(a, b, …) Calcula el m.c.m. de a, b, … (Observación: en lcm, la 1ª letra es una ele)

Practica

Windows Derive Windows Derive Windows Derive

01 divisibilidad y enteros

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