00 manual optica problemas classic grupo a 14-15 alumno

Universidad Complutense de MadridGrado en Fsica

ptica: problemas

Luis Miguel Snchez Brea

curso 2014-2015 - Grupo A

Facultad de Ciencias Fsicas, Departamento de ptica

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[ 11 de febrero de 2015 at 11:18 classicthesis version 2014-2015.1 ]

N D I C E G E N E R A L

1 ondas electromagnticas en el vaco 62 energa de las ondas electromagnticas 83 polarizacin de las ondas electromagnticas 94 interaccin luz materia : modelo microscpico clsico 115 ondas electromagnticas en medios materiales 136 propagacin en medios homogneos e istropos 147 ndice de refraccin 168 refraccin y reflexin 189 paquetes de ondas 2210 interferencias 23

10.1 General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2310.2 Interferencias por divisin del frente de onda . . . . . . . . . . . . . 2310.3 Interferencias por divisin de amplitud . . . . . . . . . . . . . . . . . 2310.4 Interferencias por haces mltiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

11 difraccin 2511.1 Teora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2511.2 Aproximacin de Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2511.3 Aproximacin de Fraunhofer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2511.4 Otros enunciados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

12 redes de difraccin 2713 filtrado ptico 2814 coherencia 29

14.1 Coherencia temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2914.2 Coherencia espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3014.3 Efectos de la coherencia en la interferencia . . . . . . . . . . . . . . . 3014.4 Efectos de la coherencia en la difraccin . . . . . . . . . . . . . . . . . 3114.5 Efectos de la coherencia en la polarizacin . . . . . . . . . . . . . . . 3114.6 Otros enunciados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

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libros de problemas

F. Carreo y M.A. Antn, ptica Fsica, Problemas y ejercicios resueltos.Prentice Hall (2011)

E. Hecht Teora y problemas de ptica, Serie Schaum. McGraw-Hill (1974)

M. Lpez, J.I. Daz, J.M. Jimenez, Problemas de Fsica, vol. V: ptica, Romo(1980)

J. Renault, ptica y Fsica ondulatoria: ejercicios resueltos, Paraninfo (1993)

D.V. Sivujin, Problemas de Fsica General: ptica, Revert (1984)

Adems, los siguientes libros de teora incluyen problemas con la solucin de al-gunos de ellos:

G.R. Fowles, Introduction to Modern Optics, Dover (1989)

E. Hecht, ptica, Addison-Wesley Iberoamericana (2000)

algunas constantes fundamentales

velocidad de la luz en el vaco c = 299 792 458m/s

carga del electrn e = 1,602 176 462 1019 C

masa del electrn me = 9,109 381 88 1031 Kg

masa del protn mp = 1,672 621 58 1027 Kg

constante dielctrica del vaco 0 = 1/0c2 = 8,854 187 817 F/m

permeabilidad magntica de vaco 0 = 4pi 107N/A2

radio de Bohr a0 = 4pi0h2/(mec2) = 0,529 177 208 3 1010 m

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1 O N D A S E L E C T R O M A G N T I C A S E N E L VA C OP. 1: A partir de las ecuaciones Maxwell, demuestre cualitativamente que para generar

una onda electromagntica de frecuencia se necesitan cargas o corrientes queoscilen a esa misma frecuencia.

P. 2: Seale algunas diferencias entre ondas luminosas, ondas sonoras, y ondas en lasuperficie de un lquido.

P. 3: Diga si las siguientes ondas son armnicas o no: a) E = A cos2(t ), b) E =A sin(t ), c) E = A cos(2t ) , d) E = A exp [cos(t )], e) E = A cos(t)f) E = A cos(t2) .

P. 4: El siguiente campo elctrico, E (z, t) = E0 cos [k (y+ z)t], con E0 = (1, 1, 0),puede ser una onda electromagntica?

P. 5: Sea una onda armnica plana que se propaga en la direccin k = (0, 0, 1) y tieneuna frecuencia . a) Cul es la direccin del campo elctrico? b) y del campomagntico? c) Existe algn grado de libertad? c) Idem para~k = (0, 1, 1).

P. 6: Sean dos ondas planas con la misma polarizacin (direccin del campo elctrico),longitud de onda y amplitud, pero que se propaga en diferentes direcciones. Lasuma de las dos ondas, por la linealidad de las ecuaciones de Maxwell, tambines una solucin, a) Es una onda armnica? b) Calcular la amplitud c) Calcular lavelocidad de fase.

otros enunciados

P. 7: Para una onda armnica demuestre que: (a) El vector ~E ~E es constante (b) ~E (~E ~E

)= 0.

Ayudas: tenga en cuenta que ~E = 2~E, y haga el clculo en representacin real(sabra decir por qu?). Estas dos relaciones demuestran que para una onda arm-nica ~E est siempre en un plano.

P. 8: Usando la primera ecuacin de Maxwell demuestre que el vector ~E0 no puede serconstante para la onda esfrica ~E(~r, t) = ~E0ei(k|~r|t)/ |~r|.

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P. 9: El campo elctrico de una onda electromagntica viene dado por

~E(~r, t) = ~E0 cos[k2~r (~u1 ~u2)

]cos

[k2~r (~u1 + ~u2)t

]

(~E0 real) donde ~u1y ~u2 son dos vectores unitarios constantes y k = /c. a) Es unaonda armnica? b) Calcular su representacin compleja. c) Calcular su velocidadde fase. d) Expresar ~E(~r, t) como superposicin de ondas planas.

P. 10: a) La suma de dos ondas planas, es siempre una onda plana? b) La suma de dosondas armnicas, es siempre una onda armnica?

P. 11: Las ondas armnica plana inhomognea tienen la forma ~E(~r, t) = ~E0ei(~kc ~rt),

donde el vector de ondas es complejo~kc =~k+ i~a. Ponga un ejemplo de este tipo deondas demostrando que cumple las ecuaciones de Maxwell. Para ello, asumimoslos vectores~k = (k, 0, 0) y~a = (0, a, 0) y necesitamos conocer el campo elctrico ~E0.

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2 E N E R G A D E L A S O N D A S E L E C T R O M A G N T I C A SP. 1: Estime la amplitud del campo elctrico de una onda armnica plana cuyo prome-

dio temporal del vector de Poynting es a) 125W/m2 (bombilla). b) 1KW/m2 (luzsolar). c) 1W/cm2 (lser continuo He-Ne). d) 1 MW/cm2 (lser pulsado).

P. 2: Halle el valor instantneo del vector de Poynting ~S de la onda electromagntica enel vaco cuyo campo elctrico viene dado por ~E = Re [E0(~ux + i~uy)ei(kzt)].

P. 3: Se tiene una onda electromagntica plana y monocromtica propagndose en el va-co. Sabiendo que la onda se mantiene constante sobre los planos perpendicularesal vector (

2/2,

2/2, 0) y que el campo magntico tiene la direccin del eje z, sepide expresar los vectores: a) Campo elctrico y magntico. b) Promedio temporaldel vector de Poynting.

P. 4: Consideremos dos ondas planas monocromticas linealmente polarizadas (el cam-po elctrico se mantiene constante en una direccin) que se propagan en la mismadireccin. Determinar el promedio temporal del vector de Poynting de la superpo-sicin de ambas ondas si las dos ondas tienen la misma frecuencia y los vectores ~Eperpendiculares.

P. 5: El campo elctrico correspondiente a una onda plana monocromtica propagn-dose en la direccin Z tiene la forma ~E = A1 sin(t kz)~ux + A2 cos(t kz)~uy,donde A1,2son constantes ~ux,y son vectores unitarios constantes en la direccinde los ejes X e Y respectivamente. a) Calcule el promedio temporal del vector dePoynting de dicho campo.

otros enunciados

P. 6: Considere campos ~B y ~E estticos. Puede ser el vector de Poynting no nulo? Sig-nifica eso que hay flujo de energa?

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3P O L A R I Z A C I N D E L A S O N D A S E L E C T R O M A G N T I C A SP. 1: Consideremos el campo elctrico E(z, t) = E0 cos(kz t)ux + E0sen(kz t)uy

siendo ux, uy los correspondientes vectores unitarios. a) Es una onda armnica?b) Escribir E en representacin compleja. c) Es una onda plana? d) Cul es suestado de polarizacin?

P. 2: Para cierta onda armnica plana E(z, t) = E0ei(kzt) las componentes cartesianasde E0 son E0x = p+ iq, E0y = f + ig y E0z = 0, con p, q, f y g reales. Decir el estadode polarizacin de la onda en los siguientes casos:

a) f = 2p, g = 2q.

b) f = q = 0, p = g.

c) p = q = 0.

P. 3: El campo elctrico correspondiente a una onda plana monocromtica propagn-dose en la direccin Z tiene la forma ~E = A1 sin(t kz)~ux + A2 cos(t kz)~uy,donde A1,2son constantes ~ux,y son vectores unitarios constantes en la direccin delos ejes X e Y respectivamente. Demuestre que ~E puede escribirse como la superpo-sicin de dos campos, uno de ellos linealmente polarizado y el otro circularmentepolarizado. Escrbanse las expresiones para ambos campos.

P. 4: Escrbanse los campos elctricos y magnticos de las siguientes ondas planas mo-nocromticas que se propagan en el vaco: (a) Linealmente polarizada a 30 del ejeX propagndose a lo largo del eje Z. (b) Elpticamente polarizada propagndosesegn el eje Y. El eje mayor de la elipse est segn el eje Z y su longitud es dobleque la del eje menor. (c) Circularmente polarizada propagndose en la direccindel eje X.

P. 5: Teniendo en cuenta que para una onda armnica y plana B k E demuestreque el estado de polarizacin de B es el mismo de E pero rotado un cierto ngulo.Considere k = (0, 0, k).

P. 6: Razone cul es el estado de polarizacin de la onda E = E0 [cos (kz) , sen (kz) , 0] cos ( t)con k = /c. Especifique cmo vara el estado de polarizacin al cambiar z.

P. 7: Escrbase en representacin compleja una onda propagndose en el eje x con lassiguientes polarizaciones: a) circularmente polarizada, b) linealmente polarizada

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formando el campo 45 grados con los ejes cartesianos YZ y c) elpticamente pola-rizada.

P. 8: Demuestre que para una onda armnica y plana el estado de polarizacin es elmismo en cualquier punto del espacio.

P. 9: Demuestre que para la onda E eit(eikx, eiky, 0

)demuestre que hay puntos con

polarizacin circular y puntos con polarizacin lineal.

P. 10: a) La superposicin de dos ondas linealmente polarizadas y viajando en la mis-ma direccin est siempre linealmente polarizada? b) La superposicin de dosondas circularmente polarizadas y viajando en la misma direccin, est siemprecircularmente polarizada?

P. 11: Sea una onda armnica plana linealmente polarizada en el eje x que atraviesados polarizadores lineales, el primero con eje de transmisin en la direccin x yel segundo con eje de transmisin en la direccin y a) Cul es la cantidad deluz que atraviesa el sistema? Ahora se interpone entre los dos polarizadores unmaterial anistropo que acta como un retardador lineal, donde el desfase =k(ne n0)h(x, y) depende de la posicin. Ele eje rpido est en la direccin deleje b) Calcule la intensidad que atraviesa el sistema para cada posicin. c) xEl ejerpido se ubica a 45 del eje x. c) Calcule la intensidad que atraviesa el sistemapara cada posicin

otros enunciados

P. 12: Razone si para una onda circularmente polarizada se pueden definir frentes deonda.

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4I N T E R A C C I N L U Z M AT E R I A : M O D E L O M I C R O S C P I C OC L S I C O

P. 1: Una carga ligada cuya posicin viene dada por r (t) es iluminada por una ondaarmnica, plana y circularmente polarizada que se se propaga en la direccin Z.Demuestre que r (t) describe una circunferencia en el plano XY.

P. 2: Una carga ligada es iluminada por una onda armnica de frecuencia . Calculeel valor de para el que el mdulo |~r| de la separacin entre cargas positivas ynegativas sea mximo.

P. 3: Calcule la amplitud de oscilacin y velocidad mxima de una carga ligada enresonancia y un 1% fuera de resonancia. Suponga que la carga es iluminada poruna onda armnica de amplitud de campo elctrico ~E0 = 103 V/m, constante deamortiguamiento = 108 s1 y frecuencia de resonancia 0 = 4 1015 rad/s.

P. 4: Demuestre que el promedio temporal de la potencia transferida a un electrn liga-do P = qr E cuando es iluminado por una onda armnica plana es

P q2

2m2(

2 20)2+ 22

|E0|2

Evale esta expresin con los datos del problema anterior. Calcule el tamao deuna superficie sobre la que incide la misma potencia debido a la misma ondaarmnica plana.

P. 5: Si en el problema anterior 0 est en el ultravioleta, diga si la potencia transferidaes mayor para una en el rojo o en el azul (considere

otros enunciados

P. 7: Razone si la ptica no lineal se pondr ms de manifiesto con ondas luminosasmuy intensas o poco intensas.

P. 8: Una caracterstica de los medios pticamente no lineales es que cambian la fre-cuencia de la luz. Justifique este hecho con un razonamiento cualitativo breve entrminos de la evolucin temporal las cargas, teniendo en cuenta que su posicinser una funcin no lineal del campo elctrico y que una carga radia a la mismafrecuencia que oscila.

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5O N D A S E L E C T R O M A G N T I C A S E N M E D I O S M AT E R I A L E SP. 1: Diga si el diamante es un medio ptimamente denso para los rayos X.

P. 2: Razone la veracidad o falsedad de la siguiente afirmacin: Slo la parte real de laconstante dielctrica generalizada tiene sentido fsico.

P. 3: Suponga que la constante dielctrica generalizada de cierto medio se puede apro-

ximar en cierta regin del espectro en la forma 0(A+ iB

)siendo A = 5

y B = 1013Hz. Diga si el medio es transparente o absorbente, dispersivo o no,homogneo o no, conductor o dielctrico.

otros enunciados

P. 4: Especifique las unidades de las susceptibilidades elctrica y magntica y de laconductividad en el sistema internacional.

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6 P R O PA G A C I N E N M E D I O S H O M O G N E O S E I S T R O P O SP. 1: En cierto material se propaga una onda de la siguiente forma

E (r, t) = E0 exp(3

cz)

cos(

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czt

),

calcule los valores del ndice de refraccin n e ndice de absorcin .

P. 2: La conductividad del cobre para = 600 nm es = 5,9 1051m1. a) Determineel espesor de una capa de cobre necesaria para atenuar un 95% la intensidad deuna onda monocromtica de 600 nm de longitud de onda, considerando que sepuede realizar la aproximacin de conductividad grande y suponiendo que~k y~a son paralelos b) Calcule el ndice de refraccin para esa longitud de onda.

P. 3: De un medio se sabe que es un escalar complejo que no depende del punto y ques depende de la frecuencia. Qu puede decirse del medio?

P. 4: Consideremos los siguientes campos elctricos: 1) ~E(~r, t) = ~E10ea(x+z) cos(ky t), donde ~E10 = (E0, 0, E0); 2) ~E2(~r, t) = ~E20ea(y+z) cos[k(y+ z) t], donde~E20 = (E0, 0, 0); siendo E0, k, y a reales. Para cada uno de los dos casos, determine:(a) Los planos donde la amplitud se mantiene constante. (b) El tipo de medio en elque se propaga el campo. (c) La velocidad de fase.

P. 5: Considrese un medio dielctrico, istropo y homogneo. Justifquese bajo qucondiciones puede propagarse en dicho medio una onda electromagntica cuyocampo elctrico sea E (r, t) = Auxeaz cos (kzt), donde A, a y k son reales.

P. 6: Sea la onda armnica inhomognea en un medio absorbente con campo elctrico~E = ~E0e~a~rei(

~k~rt) siendo ~k = b(1, 0, 0), ~a = b(1, 1, 0) y ~E0 = E0(1,1 + i, d)donde b, d y E0 son constantes reales. (a) Se satisface que ~kc ~E = 0? (b) Diga silos vectores reales correspondientes a ~E, ~H y~k en t = 0,~r = 0 son perpendicularesentre s.

otros enunciados

P. 7: Demuestre que si = 0 existen ondas longitudinales ~E(~r, t) = E0~kei(~k~rt) que

satisfacen todas las ecuaciones de Maxwell. Existe alguna restriccin para el valorde~k?

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P. 8: El campo elctrico correspondiente a una onda monocromtica luminosa de fre-cuencia propagndose por un medio dielctrico es E(r, t) = E0eaz cos(kzt),donde E0 es un vector real constante. Las expresiones para n y para el medio son

n = 1 2P2[

220(220)

2+22

] =

2P2

[

(220)2+22

]Hllese la expresin de k y de a para los dos casos siguientes: = 0,

7 N D I C E D E R E F R A C C I N

P. 1: En las proximidades de una resonancia, 2 20 = (+0)(0) = 20(0) con lo que para un medio poco denso n y pueden aproximarse por lassiguientes expresiones:

n 1+ Nq2

4m000

(0 )2 + (/2)2 Nq2

8m00

(0 )2 + (/2)2 .

Demustrese que los valores mximos de n y se obtienen para = 0 /2 y = 0 respectivamente.

P. 2: Consideremos un medio con una nica frecuencia de resonancia 0 en el amari-llo. Tres ondas luminosas monocromticas con respectivas frecuencias, 0 en elamarillo, 1 en el rojo y 2 en el azul, se propagan en dicho medio con vector~kccomplejo proporcional a la direccin z. a) Cul de estas ondas tiene mayor veloci-dad de fase? b) Cul de las tres ondas sufre mayor atenuacin? c) Escriba dichaonda en funcin de la parte real e imaginaria del ndice de refraccin.

P. 3: Considrese que el ndice de refraccin en el visible viene determinado por unanica frecuencia de resonancia en el ultravioleta. a) Despreciando y usando 0 demuestre que n puede aproximarse en el visible por n = A + B/2, siendoA y B constantes y = 2pic/. b) Si en las mismas condiciones se tiene quela frecuencia de resonancia 0 est en el infrarrojo, demuestre que el ndice derefraccin en el visible n puede aproximarse por n = A B2 para >> 0.

P. 4: Aproxime la relacin para slice n2 1 = 0,69220,0682 +

0,41220,122 +

0,9229,92 , donde

est expresada en micras, para obtener los parmetros A, B,C en el visible en n =A+ B

2 C2.

P. 5: Supuesto que n = A + B2 C2 determine la longitud de onda para la que

d2n/d2 = 0 que hace mxima la transmisin de informacin. Particularice a slice,donde A = 1,449, B = 2,04 103m2 y C = 0,31697 102m2.

P. 6: Compruebe si n = A+ B/2 y n = A B2 son compatibles con la dispersinnormal.

P. 7: Se dispone de tres medios dielctricos cada uno de ellos con una sola resonanciasituada en 1000 , 2000 y 8000 (longitudes de onda en el vaco). Se supone quelos tres medios son iguales en todo lo dems. Se quiere tener la mayor dispersin

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(|dn/d|) posible para = 5000 . Cul de los tres medios es el ms adecuado?Desprecie la contribucin de .

P. 8: Sabiendo que para cierto medio la conductividad esttica vale ( = 0) = 5,5107 1m1 y que NV 8 1028 m3 estime el valor de .

P. 9: Estime un valor tpico del ndice de absorcin del cobre en el visible si NV 8 1028 m3 y 4 1013 s1.

P. 10: Estime la frecuencia de plasma para la ionosfera si la densidad de electrones esNV 1011 m3. Calcule su contribucin a n y para frecuencias del visible supo-niendo que es despreciable.

P. 11: Aproxime el ndice de refraccin de un dielctrico para frecuencias mucho mayoresque cualquiera de las de resonancia.

P. 12: Elija la respuesta correcta (entindase transparente como muy poco absorbente).

1. los metales son siempre absorbentes y los dielctricos nunca.

2. los metales nunca son transparentes y los dielctricos pueden ser absorbentes.

3. los metales pueden ser transparentes y los dielctricos pueden ser absorben-tes.

4. los metales son siempre transparentes y los dielctricos nunca.

otros enunciados

P. 13: En la expresin para el ndice de refraccin debido a cargas libres haga una aproxi-macin para el caso y a partir de ella discuta la transicin transparente/ab-sorbente que ocurre entre > p y < p

n2c = 12p

(+ i) 1

2p

2

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8R E F R A C C I N Y R E F L E X I N

P. 1: La figura muestra la reflectancia espectral de algunos metales. Razone si lo ex-puesto en la grfica guarda alguna relacin con el color de los respectivos metales(oro/cobre versus plata/aluminio).

P. 2: Un haz de luz linealmente polarizado incide sobre un prisma issceles de ndicede refraccin 1,5 tal y como se muestra en la figura. El campo elctrico oscila en unplano que forma un ngulo con el plano de incidencia de 45. Se desea saber el tipode polarizacin del haz saliente s y su intensidad respecto a la del haz incidente ien los casos en que el medio que rodea al prisma sea: a) agua (n = 1,33), b) aire(n = 1).

P. 3: Un haz plano monocromtico de longitud de onda incide desde un medio trans-parente de ndice de refraccin n al vaco, con ngulo de incidencia = 60. Laonda est linealmente polarizada perpendicular al plano de incidencia. Calcleseel ndice de refraccin n para que la superposicin del haz incidente con el refleja-do produzca un campo elctrico nulo (|~E|2 = 0), en cualquier instante de tiempoen el plano z = 2/3. ( es la longitud de onda en el medio).

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P. 4: Demuestre que si el ndice de refraccin del segundo medio (n) es menor que el

del primer medio (n), siendo ambos reales con n > n, se tiene que t > 1 y t > 1

para cualquier ngulo de incidencia menor que el crtico.

P. 5: Considere un haz plano linealmente polarizado que incide desde el aire sobreun prisma transparente de vidrio de ngulo . Se desea que dicho haz atravieseel prisma sin sufrir prdidas por reflexin en ninguna de las dos caras. Cuntodeben valer: a) el azimut del haz incidente, b) el ngulo de incidencia y c) el ndicede refraccin del prisma para que tal cosa ocurra?

P. 6: Un haz luminoso plano y monocromtico incide desde un medio de ndice n1 aun medio de ndice n2 (ambos trasparentes) formando un ngulo de 40 con lanormal a la superficie de separacin de medios y est linealmente polarizado a 45respecto al plano de incidencia. Se desea saber la relacin n2/n1 para que el hazque se refleje en la primera cara est elpticamente polarizado centrado en los ejesparalelo y perpendicular al plano de incidencia.

P. 7: Considrese una onda armnica y plana que incide sobre una superficie plana quesepara dos medios transparentes e istropos de distinto ndice. El primer mediotiene ndice n y el segundo medio tiene ndice 1. Se sabe que para incidenciasdesde el primer medio superiores a la del ngulo crtico (reflexin total) se produceen el segundo medio una onda cuya amplitud decrece exponencialmente con ladistancia a la superficie de discontinuidad de ndice. Se quiere saber en cul de lasdos situaciones siguientes el decrecimiento exponencial es mayor:

(a) ngulo de incidencia prximo al ngulo crtico.

(b) ngulo de incidencia prximo a pi/2.

Supngase que en ambos casos la amplitud en el segundo medio sobre la superficiede discontinuidad es la misma.

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nn'=1

k

a'

x

z

q

P. 8: Una lmina plano-paralela de un medio dielctrico, istropo y homogneo de n-dice de refraccin n0 y espesor d est en contacto con un medio metlico de cons-tantes n y . Una onda plana monocromtica circularmente polarizada a derechasincide perpendicularmente desde el vaco sobre la superficie del dielctrico, atra-viesa ste, se refleja en el metal y emerge de nuevo al vaco (en sentido contrarioal incidente). Determnese el estado de polarizacin del haz:

a) despus de atravesar el dielctrico a la ida (punto 1 de la figura),

b) despus de reflejarse en el metal (punto 2 de la figura),

c) en el vaco a la vuelta (punto 3 de la figura).

otros enunciados

P. 9: Suponga que el momento lineal de un fotn de una onda armnica plana sea~p = h~k. Un haz de luz propagndose en la direccin positiva del eje z incide desdeel aire de forma normal sobre un medio de ndice n > 1. Calcule el momento linealdel conjunto de haz refractado y reflejado. Comprelo con el momento lineal delhaz incidente y a partir de la conservacin del momento diga si el medio experi-menta una fuerza en la direccin positiva o negativa del eje z o si no experimentaninguna fuerza.

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P. 10: Inmerso en un medio dielctrico de ndice de refraccin n1 hay otro medio dielctri-co de caras plano paralelas y de ndice de refraccin n2. Ambos son transparentes.Un haz luminoso plano y monocromtico incide bajo ngulo de Brewster desde elmedio de ndice n1 al medio de ndice n2. El haz est linealmente polarizado en elplano de incidencia. cul es la intensidad transmitida al medio de ndice n1, a lasalida del medio de ndice n2, en relacin a la intensidad incidente?

P. 11: Una superficie plana separa dos dielctricos istropos homogneos y transparentes.Desde el primero incide una onda plana monocromtica con ngulo de incidencia .Se desea saber las condiciones necesarias para que se den las situaciones siguientes:

a) La reflectividad vale cero.

b) La reflectividad vale uno.

En cada uno de los casos escrbase la expresin del campo elctrico transmitido.

P. 12: Consideremos un diedro rectngulo que separa dos dielctricos de ndices reales ny n que verifican n/n

=

3. Un haz plano linealmente polarizado con azimut 45sufre dos reflexiones tal y como se muestra en la figura. Hllense los dos valoresposibles del ngulo de incidencia para que el haz S3 est linealmente polarizadoperpendicular al plano del papel. Para cada una de las dos soluciones hllese laintensidad del haz S3.

P. 13: Se tienen dos medios istropos y homogneos. El primero es un dielctrico trans-parente de ndice n1. Sobre la superficie que los separa incide con ngulo i unaonda plana monocromtica linealmente polarizada a 45 con el plano de inciden-cia. (a) Sabiendo que para i 6= 0 la luz reflejada est elpticamente polarizada yla reflectividad es menor que la unidad, indique la naturaleza del segundo medio.(b) Si i = 0 puede la luz reflejada estar circularmente polarizada?

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9 PA Q U E T E S D E O N D A SP. 1: La velocidad de un automvil es de 120 km/h y se quiere medir a partir del efecto

Doppler con un haz de = 880 nm. Parte de esta onda se lleva a un fotodetectory la otra parte va al automvil a) Cul ser el periodo temporal y frecuencia delbatido de luz cuando ambas ondas se combinan? b) Si la frecuencia mxima dedeteccin del sistema es 1 GHz cul es la velocidad mxima que se puede obtenercon este sistema? c) Es mejor utilizar luz roja o luz azul?

P. 2: Considere un paquete de ondas Gaussiano que tiene un espectro de frecuencias

de la forma g() = exp[ (0)222

]. Determine el valor de la anchura espectral

para que la onda tenga una duracin del orden de 1s.

P. 3: A partir de la relacin vg = (dk/d)1 demuestre que en medios trasparentes ypara ondas planas

vg =c

n dnd.

P. 4: Consultando la pgina webhttp://refractiveindex.info estime la atenuacin endB por km y la velocidad de grupo para silicio amorfo a 500 nm, suponiendosiempre que el vector de ondas y el de atenuacin son paralelos.

P. 5: Considerando la expresin de la velocidad de grupo vg = c/(n dnd

), determine

en qu condiciones la velocidad de grupo es mayor que la de fase.

P. 6: Considerando la expresin de la velocidad de grupo vg = c/(n dnd

), determine

en qu condiciones dd(

1vg

)= 0 (que tiene inters para la mxima transmisin de

informacin por fibra ptica).

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10I N T E R F E R E N C I A S10.1 general

P. 1: Sobre el plano z = 0 se observa la interferencia de dos ondas monocromticascoherentes de la misma amplitud y frecuencia. Sus direcciones de propagacin,contenidas en el plano XZ forman con el eje z ngulos - y + respectivamente.Calcule en z = 0 (a) La posicin de los mximos. (b) La interfranja y la visibilidad.(c) Particularice para = .

10.2 interferencias por divisin del frente de onda

P. 2: Un haz plano de intensidad I0 incide con ngulo sobre un plano en el que seencuentran dos rendijas separadas una distancia d. (a) Calcule la intensidad en unplano paralelo al que contiene las rendijas y suficientemente alejado. (b) En una delas rendijas se coloca una lmina absorbente cuya transmitancia es 0.01. Determinela visibilidad.

P. 3: En el montaje de la figura se tienen dos fuentes puntuales incoherentes a distanciasd1 y d2 del espejo que emiten con longitudes de onda 1 y 2 respectivamente.Determine la relacin que debe haber entre d1, d2, 1 y 2 para que la figurasinterferenciales de las dos fuentes coincidan.

10.3 interferencias por divisin de amplitud

P. 4: Una lmina de vidrio BK7 de ndice de refraccin n = 1,51 se inserta en uno de losbrazos de un interfermetro de Michelson que es iluminado por un haz procedentede un lser de He-Ne con = 632,8nm. Se encuentra que aparecen o desaparecen50 anillos. Cul es el espesor de la lmina? Inicialmente el interfermetro estinmerso aire.

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P. 5: En un interfermetro de Michelson iluminado de forma normal a los espejos setiene un mximo de intensidad para una frecuencia en el centro = 0. Calclesela frecuencia

ms prxima a para la que tambin se tendr mxima intensidad

para la misma separacin entre los espejos.

10.4 interferencias por haces mltiples

P. 6: La separacin entre los dos espejos de un interfermetro de Fabry-Perot es de 1 cm.Calclese la reflectancia de los espejos necesaria para distinguir las dos frecuencias1 = 3,543320 1014 rad/s y 2 = 3,543387 1014 rad/s. Suponga que el medioen el interior del interfermetro es de ndice n = 1, que la incidencia es normal yque el desfase producido en las reflexiones es igual para las dos frecuencias.

P. 7: Se observa la interferencia producida por un interfermetro Fabry-Perot. Los espe-jos del interfermetro estn separados una distancia d = 10, y el medio entre elloses aire. Si la lente colocada detrs del interfermetro y la pantalla tienen un tamaoinfinito, cuntos anillos podran observarse en la pantalla? Cul ser el ngulode observacin del anillo cuyo orden es la mitad del orden mximo observado?

P. 8: Queremos medir el ndice de refraccin del aire mediante un interfermetro tipoFabry-Perot. Para ello se har el vaco entre las placas semiespejadas de un interfe-rmetro separadas una distancia de 27mm. La medida consiste en contar mximosque aparecen o desaparecen en el centro del campo de visin mientras se hace elvaco. Para una longitud de onda de 632,8nm el nmero de mximos contados esde 25. Estime el ndice de refraccin del aire entre placas antes de hacer el vaco.

P. 9: Determine el poder resolutivo de un Fabry-Perot frente a variaciones de separacinentre los espejos.

P. 10: Determine el poder resolutivo de un Fabry-Perot frente a variaciones del ndice derefraccin en su interior.

P. 11: Demuestre que, si los espejos de un Fabry-Perot conservan la energa, el cocienteentre la intensidad transmitida y la incidente tiene un valor mximo de la unidad.

P. 12: Calcule la intensidad reflejada en un Fabry-Perot siguiendo pasos similares a losrealizados para calcular la intensidad transmitida.

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11D I F R A C C I N11.1 teora

P. 1: A partir de la expresin

Ez(x, y) =

dkxdkyE(kx, ky)ei(kxx+kyy+kczz)

donde kcz =k2 k2x k2y, considere una onda en la que k2x + k2y = a < k2 es una

constate y E(kx, ky) = 0 si k2x + k2y 6= a. Demuestre que la intensidad luminosa nodepende de z. Este es un ejemplo de los ondas llamadas haces que no se difractan.

11.2 aproximacin de fresnel

P. 2: Un haz plano monocromtico incide normalmente sobre una abertura circular deradio R. a) Calcule el campo en el punto P a una distancia z del centro de laabertura usando las aproximaciones de Fresnel . b) Aproxime tambin a campolejano (aproximacin de Fraunhofer).

11.3 aproximacin de fraunhofer

P. 3: Estime el tamao de un haz luminoso sobre la Luna si sobre la Tierra tiene unaseccin transversal circular de radio a) 1 mm b) 1 m. Se supone que el haz esuniforme dentro de esa seccin circular y se anula fuera de ella.

P. 4: Sobre una abertura circular de radio R se coloca una transparencia descrita por elcoeficiente de transmisin t(x) = [1+ q cos(px)] siendo , p, q constantes. Calculela difraccin de Fraunhofer en el plano focal imagen de una lente si la aberturase ilumina de forma normal con una onda plana monocromtica. Considere p >>1/R.

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P. 5: Se observa la difraccin en aproximacin de Fraunhofer producida por una ondaarmnica y plana de longitud de onda que incide de forma normal sobre unarendija de anchura a. Si se dobla la anchura de la rendija a

= 2a, cul debera ser

la longitud de onda

para que los mximos y mnimos de difraccin estuvieranen los mismos lugares?

P. 6: Empleando el montaje de difraccin de Fraunhofer observamos la figura de di-fraccin producida por un pelo, considerado este como un objeto opaco y plano.Observando esta figura determinamos el ngulo de desviacin para el mnimo deorden +2, siendo este y = 0,84. Suponiendo incidencia normal y teniendo en cuen-ta que la longitud de onda de la lmpara utilizada es de = 589,3 nm, calclese laanchura del pelo.

P. 7: Un haz plano de longitud de onda incide normalmente sobre un plano quecontiene dos rendijas idnticas de anchura b separadas una distancia d. Se observala intensidad en el plano focal imagen de una lente convergente de focal imagen f

.

Delante de una de las rendijas (antes de pasar la luz por ella) se coloca una lminaplano-paralela de espesor ` e ndice de refraccin n. Considrese que la amplitudde la onda no cambia al atravesar dicha lmina. (a) Calclese el punto del planofocal imagen en el que se forma el mximo de intensidad de orden m = 0. (b)Estmese el orden m del mximo que tiene la mayor intensidad. Para este apartadoconsidrese n = 1,5 y ` = 200.

P. 8: Calcule la distancia mnima entre dos puntos de la superficie de Marte para quesus imgenes puedan resolverse por un telescopio cuya abertura es circular condimetro 60cm. Considrese que la distancia Tierra-Marte es de 56 106 Km y quela luz es monocromtica con = 560 nm.

P. 9: Un sistema ptico formador de imagen puede utilizarse con luz de longitud de on-da 1 o bien con luz de longitud de onda 2, siendo 1 > 2. Raznese cualitativa-mente con cul de las dos longitudes de onda el poder resolutivo del instrumentoes mayor.

11.4 otros enunciados

P. 10: Dos ondas planas monocromticas de la misma longitud de onda, coherentes en-tre s y propagndose con vectores de onda comprendidos en el plano YZ, incidenformando ngulos y con la normal a una superficie que contiene una aber-tura cuadrada de lado a cuyos lados son paralelos a los ejes X e Y. Calcule ladistribucin de amplitudes en el plano focal imagen de una lente.

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12R E D E S D E D I F R A C C I NP. 1: Una red de difraccin que contiene 500 rendijas por milmetro se ilumina de for-

ma normal con una onda plana y monocromtica con = 500nm. a) Determinelos rdenes de difraccin que se pueden observar. b) calcule la posicin angularde dichos rdenes. c) Si quisiramos que esta red no generara ningn orden dedifraccin (excepto el orden 0) que longitud de onda deberamos utilizar?

P. 2: Los colores que se producen en los CDs y DVDs se deben a que se comportancomo las redes de difraccin dado que su estructura se compone de una serie desurcos. Se sita uno de estos discos a 114 cm de la pared y se ilumina con un hazlser de He-Ne (Helio Neon) cuya longitud de ondas es = 0,6328 nm. Sobre lapared se observan 2 impactos a 27 cm y 114 cm de la horizontal. Calcule el periodode la red generada sobre el disco. Es un CD, un DVD o un BluRay?

P. 3: Se dispone de dos redes de difraccin con 453 y 325 rendijas por milmetro respec-tivamente. La primera tiene una longitud de 11.2 mm y la segunda 17 mm. Cultiene mayor poder resolutivo para un mismo orden de difraccin?

P. 4: Una red de difraccin tiene un anchura de 10cm. Calclese el nmero de rendijasnecesarias y su periodo para que en el mximo de orden 1 se resuelva el dobleteamarillo del sodio.

P. 5: Para una estructura peridica (red de difraccin) cuya transmitancia resulta t(x) =cos(qx), donde q = 2pi/p, siendo p el periodo. a) Calcule la distribucin de intensi-dad en campo cercano (aproximacin de Fresnel) a una distancia z. b) Represntesela distribucin de intensidad. c) Para qu distancias z la distribucin de intensi-dad son iguales a la intensidad justo despus de la red? d) Qu ocurre cuandoz ? Compare con la aproximacin de Fraunhofer. Los resultados son iguales?Por qu?

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13 F I LT R A D O P T I C OP. 1: De las dos imgenes de vallas siguientes comente cul es la que contiene frecuen-

cias espaciales ms altas.

P. 2: El campo elctrico en el plano z = 0 tras cierto objeto unidimensional peridicoes E0(x) 1 + cos x. (a) Especifique las frecuencias espaciales que contiene. (b)Se realiza un filtrado en amplitud que elimine la frecuencia ms baja en mdulo.Especifique la distribucin de intensidad en la imagen. (c) Se realiza un filtrado enamplitud que elimine la frecuencia positiva de mayor valor. Especifique la distri-bucin de intensidad en la imagen.

P. 3: En un montaje de formacin de imagen colocamos en el plano focal imagen unfiltro que slo deje pasar la luz ms prxima al eje. Comente la veracidad o falsedadde la siguiente afirmacin: El filtro eliminar los detalles ms finos en el borde dela imagen, pero la parte de la imagen ms prxima al eje no se ver afectada.

P. 4: Las aberturas finitas de los instrumentos pticos limitan la resolucin en la imagenpor que: a) eliminan las frecuencias espaciales ms bajas. b) aaden a la imagenfrecuencias espaciales bajas. c) eliminan las frecuencias espaciales ms altas. d)aaden a la imagen frecuencias espaciales altas.

otros enunciados

P. 5: Cierto objeto plano se ilumina con una onda plana de forma normal. Demuestreque colocando sobre un objeto un prisma de ngulo refringente muy pequeotodas las frecuencias espaciales se desplazan en la misma cantidad. Estime el valorde dicho desplazamiento. Tiene algn efecto sobre la distribucin de la intensidaden la imagen si no media ningn tipo de filtrado?

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14C O H E R E N C I A14.1 coherencia temporal

P. 1: Calcule el grado de coherencia temporal entre los campos elctricos E1 y E2 de unamisma onda en el mismo punto del espacio~r en dos instantes de tiempo distintosE1,2 = E(~r, t1,2) cuando t1 = t2.

P. 2: Estime el tiempo de coherencia y la longitud de coherencia de las siguientes fuentesde luz de anchura espectral : (a) luz blanca =500 nm (b) LED =10 nm (c)lmpara espectral =1 nm. Suponga todos los espectros centrado en una longitudmedia de 500 nm.

P. 3: Se quiere observar interferencia entre la luz reflejada en la cara anterior y poste-rior de una lmina dielctrica transparente delgada. Para ello las ondas deben sercoherentes. Elija un espesor L para que pueda darse interferencia con luz blancaen incidencia normal: a) L= 1 cm. b) L =1 mm. c) L=1m. d) Da igual el valor de L.

P. 4: Un haz de luz estacionario con distribucin espectral I() pasa a travs de undispositivo con transmitancia dependiente de la frecuencia T(), como indica lafigura. Razone si la coherencia temporal del haz transmitido es distinta de la delhaz incidente.

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14.2 coherencia espacial

P. 5: Se coloca un diafragma circular justo delante de una fuente extensa, incoherenteespacial. Depende el grado de coherencia entre dos puntos fijos (A y B, situadosa una distancia z) del dimetro del diafragma?

P. 6: Estime cuanto pueden estar separados dos puntos en un plano a una distancia zde las siguientes fuentes de luz para ser coherentes (a) Sol1 (b) Un diodo lser detamao s = 1 m a z = 1m. Suponga por sencillez las fuentes monocromticas,homogneas, incoherentes espaciales y de seccin circular.

14.3 efectos de la coherencia en la interferencia

P. 7: Se usa un espejo plano para conseguir dos fuentes coherentes puntuales a partirde una nica fuente puntual, que emite luz de longitud de onda media = 500nmy anchura espectral = 1nm. Cul es la separacin mxima entre la fuente yel espejo para que se observe interferencia en cualquier punto de la recta que uneambas fuentes?

P. 8: Razone que le ocurre a las franjas de interferencia en un interfermetro de Youngsi (a) Disminuye la coherencia espacial (b) Disminuye la coherencia temporal.

P. 9: En el interfermetro de Young de la figura, las dos rendijas son iluminadas poruna fuente extensa. La intensidad que se obtiene en la pantalla debida a una fuentepuntual en x

es, si x

donde J0 es una constante. Se desea saber la figura interferencial y su visibilidadconsiderando la fuente extensa entre a/2 y a/2 como un continuo de fuentespuntuales incoherentes entre s.

14.4 efectos de la coherencia en la difraccin

P. 10: Una rendija se ilumina con un haz monocromtico. La luz difractada se observaen condiciones de difraccin de Fraunhofer en el plano focal imagen de una lenteconvergente. Por sencillez el problema es unidimensional y la abertura se extiendeen el eje x desde x = a hasta x = a. La onda en la abertura E(x) es completamen-te incoherente espacialmente, es decir < E(x1)E(x2) >= 0 si x1 6= x2. Demuestreque la intensidad luminosa I(x) < |E(x)|2 > en el plano focal imagen es uni-forme, es decir que I(x) no depende de x, siendo E (x) el campo elctrico en elpunto x del plano focal imagen.

14.5 efectos de la coherencia en la polarizacin

P. 11: Un haz de luz natural (luz despolarizada) incide sobre un polarizador ideal cuyoeje forma un ngulo de 45 con los ejes x, y. Calcule el grado de coherencia entrelas componentes Ex, Ey antes y despus del polarizador. Se entiende que ambascomponentes se evalan en el mismo instante de tiempo. Un polarizador idealextingue la componente del campo que vibra perpendicular a si eje y deja pasar al100% la componente que vibra segn su eje.

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14.6 otros enunciados

P. 12: Demuestre que la visibilidad de la interferencia de dos ondas es siempre menor oigual que el grado de coherencia de las dos ondas.

P. 13: Se define volumen de coherencia como el volumen de un cilindro cuya base sea delorden del rea de coherencia y altura la distancia que recorre la luz en el tiempode coherencia. Estime el nmero de fotones que hay en un volumen de coherenciapara luz solar en la tierra. Para calcular el nmero de fotones suponga que todosllevan la energa de un fotn de 500 nm.

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1 Ondas electromagnticas en el vaco2 Energa de las ondas electromagnticas3 Polarizacin de las ondas electromagnticas4 Interaccin luz materia: modelo microscpico clsico 5 Ondas electromagnticas en medios materiales6 Propagacin en medios homogneos e istropos7 ndice de refraccin8 Refraccin y reflexin9 Paquetes de ondas10 Interferencias10.1 General10.2 Interferencias por divisin del frente de onda10.3 Interferencias por divisin de amplitud10.4 Interferencias por haces mltiples

11 Difraccin11.1 Teora11.2 Aproximacin de Fresnel11.3 Aproximacin de Fraunhofer11.4 Otros enunciados

12 Redes de difraccin13 Filtrado ptico14 Coherencia14.1 Coherencia temporal14.2 Coherencia espacial14.3 Efectos de la coherencia en la interferencia14.4 Efectos de la coherencia en la difraccin14.5 Efectos de la coherencia en la polarizacin14.6 Otros enunciados

00 manual optica problemas classic grupo a 14-15 alumno

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