ÁLGEBRA BÁSICA.

Para trabajar en álgebra son necesarios ciertos conocimientos previos sobre operaciones connúmeros enteros y números racionales. También deben conocerse las propiedades de las potencias.

Símbolos y términos específicos

Entre los símbolos algebraicos se encuentran números, letras y signos que representan las diversasoperaciones aritméticas.

Los números son, por supuesto, constantes, pero las letras pueden representar tanto constantes comovariables. Las primeras letras del alfabeto se usan para representar constantes y las últimas paravariables.

Operaciones y agrupación de símbolos

La agrupación de los símbolos algebraicos y la secuencia de las operaciones aritméticas se basa enlos símbolos de agrupación, que garantizan la claridad de lectura del lenguaje algebraico.

Entre los símbolos de agrupación se encuentran los paréntesis ( ), corchetes [ ] y llaves{ }.

Los símbolos de las operaciones básicas son: adición (+), sustracción (-), multiplicación(×) ydivisión (:).

En el caso de la multiplicación, el signo ‘×’ normalmente se omite o se sustituye por un punto,como en a·b. Un grupo de símbolos contiguos, como abc, representa el producto de a, b y c.

La división se indica normalmente mediante rayas horizontales. Una raya oblicua también se usapara separar el numerador, a la izquierda de la raya, del denominador, a la derecha, en lasfracciones.

Prioridad de las operaciones

Primero se hacen las multiplicaciones, después las divisiones, seguidas de las sumas y las restas.

Los símbolos de agrupación indican el orden en que se han de realizar las operaciones: se hacenprimero todas las operaciones dentro de un mismo grupo, comenzando por el más interno.

Propiedades de los números reales

Propiedades de la adición

La suma de dos números reales a y b cualesquiera dará como resultado otro número real que seescribe a + b. Los números reales son uniformes para las operaciones de adición, sustracción,multiplicación y división; esto quiere decir que al realizar una de estas operaciones con númerosreales el resultado es otro número real.

Propiedad Asociativa de la adición:

Cualquiera que sea la forma en que se agrupan los términos de la adición, el resultado de la suma essiempre el mismo: (a+b)+c = a+(b+c)

Elemento neutro de la adición

Dado un número real a cualquiera, existe el número real cero (0) conocido como elemento neutrode la adición, tal que a+0=0+a=a.

Elemento simétrico de la adición

Dado un número real a cualquiera, existe otro número real (-a), llamado elemento simétrico de a (oelemento recíproco de la suma), tal que a+(-a)=0.

Propiedad Conmutativa de la adición

Cualquiera que sea el orden en que se realiza la operación, la suma es siempre la misma a+b=b+a

Propiedades de la multiplicación

Para la multiplicación se cumplen propiedades similares a las de la adición. Sin embargo,en lamultiplicación hay que prestar especial atención al elemento neutro y al elemento recíproco oinverso.

El producto de dos números reales a y b es otro número real, que se escribe a·b o ab.

Propiedad Asociativa de la multiplicación

Cualquiera que sea la forma de agrupar los términos de la multiplicación, el producto es siempre elmismo: a.(b.c)=(a.b).c

Elemento neutro

Dado un número real a cualquiera, existe el número real uno (1) llamado elemento neutro de lamultiplicación , tal que a(1)=1(a)=a.

Elemento recíproco o inverso

Dado un número real a distinto de cero, existe otro número (1/a), llamado elemento inverso (oelemento recíproco de la multiplicación), para el que a(1/a)=(1/a)a=1.

Propiedad Conmutativa de la multiplicación

Cualquiera que sea el orden en que se realiza la multiplicación, el producto es siempre el mismo:a.b=b.a

Propiedad distributiva de multiplicación sobre adición:

Otra propiedad importante del conjunto de los números reales relaciona la adición y lamultiplicación de la forma siguiente: a.(b+c) = a.b + a.c

Reglas de los Signos:

1.En una suma de números con signos iguales, se suman los números y el resultado lleva el mismosigno. Si los números tienen signos diferentes, se restan y el resultado lleva el signo del mayor.

2. En multiplicación y división de números con signos iguales el resultado es positivo. Si los

números son de signos opuestos, el resultado es negativo.

Multiplicación de polinomios

El siguiente ejemplo es el producto de un monomio por un binomio:

(ax + b) (cx2) = acx3 + bcx2

Este mismo principio (multiplicar cada término del primer polinomio por cada uno del segundo) sepuede ampliar directamente a polinomios con cualquier número de términos. Por ejemplo, elproducto de un binomio y un trinomio se hace de la siguiente manera:

(ax3 + bx2 – cx) (dx + e) = adx4 +aex3 + bdx3 + bex2 – cdx2 - cex

Una vez hechas estas operaciones, todos los términos de un mismo grado se han de agrupar,siempre que sea posible, para simplificar la expresión:

= adx4 + (ae + bd)x3 + (be –cd) x2 – cex

Recta Numérica

Para construir una recta numérica, primero se escoge un punto en la recta que será un puntoarbitrario al que le llamaremos cero (0). Este punto es llamado el origen de la recta numérica.

El origen separa la recta en dos partes, el lado positivo y el lado negativo. A la derecha del origenestá el lado positivo y el negativo está a la izquierda. En el lado derecho van números enterospositivos (en orden sucesivo) y en el lado izquierdo se escriben los números enteros negativos (enorden sucesivo), estos se marcan en unidades equidistantes.

Es importante recordar que para cualesquiera dos números reales diferentes a los que llamaremos ay b, siempre que uno es mayor que el otro. · Si a - b es positivo, entonces a > b. · Si b - a es positivo, entonces a < b.

Valor Absoluto

La distancia de un número en la recta numérica desde cero (0) se llama valor absoluto.

Se representa con el símbolo |x|. El valor absoluto de un número se calcula de la siguiente manera:

· Si el número es negativo, lo convertimos a positivo. · Si el número es cero o positivo, se queda igual.

Término algebraico

Término algebraico es el producto de una o más variables y una constante numérica o literal.

Ejemplos: 7xy3,–2mnp2, πr2

En todo término algebraico hay:

-Signo: positivo o negativo

-Coeficiente numérico: es el número que va al comienzo del término algebraico. -Factor literal: son las letras y sus exponentes. -Grado: corresponde al mayor exponente dentro de los términos

Término algebraico Signo Coeficiente numérico Factor literal Grado

2m2n5 Positivo 2 m2n5 5

5 a3b6c8 Positivo 5 a3b6c8 8

-1/3 zhk5 Negativo +1/3 zhk5 5

Expresiones Algebraicas

Expresión algebraica es el resultado de combinar, mediante la operación de adición, uno o mástérminos algebraicos.

Las expresiones algebraicas se clasifican según su número de términos.

-monomio = un solo término: Por ejemplo: 3x2 -binomio = suma o resta de dos monomios. Por ejemplo: 3x2 + 2x -trinomio = suma o resta de tres monomios .Por ejemplo: 3x2 + 2x – 5 -polinomio = suma o resta de cualquier número de monomios.

Monomio Binomio Trinomio Polinomio

8 x3y4 3 a2b3 + 8z a – b9 + a3b6 2/3 a2 + bc + a2b4c6– 2

x2 z5 +32 x3 9a – b2 + c3 ab – a6b3c + 8 – 26a

Potencias

Las potencias se usan para repetir multiplicaciones de un mismo número. Constan de una base y unexponente. El exponente nos indica cuántas veces se multiplica la base por sí misma.

Propiedades de las potencias:

-Potencias de exponente 0: a0 =1 -Potencias de exponente 1: a1 = a -Potencias de exponente entero negativo

-Potencias de exponente racional

-Potencias de exponente racional y negativo

-Multiplicación de potencias con la misma base am·a n=am+n

-División de potencias con la misma base am: a n= am - n

-Potencia de una potencia (am)n=am · n

-Multiplicación de potencias con el mismo exponente an·b n=(a·b) n

-División de potencias con el mismo exponente an: b n=(a: b) n

Productos Notables

( a + b )2 = a2 + 2ab + b2 ( a - b )2 = a2 -2ab + b2 ( a + b) ( a -b) = a2-b2

Fracciones

Una fracción es una expresión en la forma: a/b. Una fracción está simplificada cuando elnumerador y el denominador no tienen factores comunes.

Operaciones con fracciones

-Multiplicación de fracciones: Para multiplicar fracciones, se multiplican los numeradores y semultiplican los denominadores. -División de fracciones: Para dividir fracciones, se multiplica una fracción por el recíproco de laotra. -Suma y resta de fracciones: Suma de fracciones con igual denominador: Para sumar fracciones quetienen el mismo denominador, se suman los numeradores, conservando el mismo denominador. -Suma de fracciones con distinto denominador: Para sumar fracciones con distinto denominador, sereducen a común denominador y luego se aplica la regla anterior.

Radicales (Raíces)

La radicación es la operación inversa de la potenciación.Llamamos raiz n-ésima de un número dado a, al número b que elevado a n nos da a.

Propiedades de las raíces

Debido a que las raíces pueden convertirse a potencias de exponente fraccionario, cumplen contodas las propiedades de potencias a partir de las cuales se pueden deducir las siguientespropiedades de raíces:

-Multiplicación de raíces de igual índice: Se multiplican las bases y se conserva el índice.

-División de raíces de igual índice: Se dividen las bases y se conserva el índice.

-Raíz de raíz: Para obtener raíz de raíz se multiplican los índices y se conserva la base.

-Raíz de una potencia cuyo exponente es igual al índice: Exponente e índice se anulan entre sí, porlo tanto desaparece el radical y la base queda aislada.

-Ingreso de un factor dentro de una raíz: Para introducir un factor dentro de una raíz se coloca elfactor dentro del radical como potencia con exponente igual al índice y multiplicando a los demásfactores.

-Suma y Resta de raíces: Cuando tenemos radicales "semejantes", podemos resolver la suma o laresta usando la propiedad distributiva y agrupando los términos semejantes. Los radicales"semejantes" son los que tienen el mismo radicando.

Si los radicales no son semejantes, la suma o la resta sólo puede ser indicada. Se puede agrupar lostérminos semejantes del radical.

ECUACIONES

Ecuación de primer grado.Una ecuación es una igualdad que sólo se verifica para unos valores concretos de una variable,generalmente llamada x. Resolver una ecuación consiste en hallar los valores de la variable quehacen cierta la igualdad.Recuerda: Si un elemento está sumando en un miembro pasa al otro restando. Si está restando pasa sumando. Si un número multiplica a todos los elementos de un miembro pasa al otro dividiendo y si losdivide pasa multiplicando.

Ecuación de segundo grado

Una ecuación de segundo grado es toda expresión de la forma:

ax2 + bx + c = 0 con a ≠ 0.

Para resolver ecuaciones de segundo grado utilizamos la siguiente fórmula:

ANEXO 1. Mínimo común múltiploEl mínimo común múltiplo de dos o más números naturales es el menor número natural que esmúltiplo de todos ellos. Sólo se aplica con números naturales, es decir, no se usan decimales ninúmeros negativos ni números complejos.

Cálculo del m.c.m

Partiendo de dos o más números y por descomposición en factores primos, expresados comoproducto de factores primos, su mínimo común múltiplo será el resultado de multiplicar los factorescomunes y no comunes elevados a la mayor potencia, por ejemplo el mcm de 72 y 50 será:

Tomando los factores comunes y no comunes con su mayor exponente, tenemos que:

Suma de fracciones

El m.c.m. se puede emplear para sumar fracciones de distinto denominador, tomando el m.c.m delos denominadores de las fracciones, y convirtiéndolas en fracciones equivalentes que puedan sersumadas. Véase el siguiente ejemplo:

Para poder efectuar la suma, primero se debe buscar el mínimo común múltiplo de los denominadores (6 y 33)

luego el mínimo común múltiplo de 6 y 33 es:

que corresponde al número 66; ambas fracciones tendrán como denominador 66, ahora sólo hay quehallar a cada fracción su fracción equivalente, con denominador 66 y será posible la suma:

Algoritmos de cálculo

Para más de dos números, un algoritmo es el siguiente:

1. Descomponer los números en factores primos. 2. Para cada factor, elegir entre todas las descomposiciones aquel factor con mayor exponente. 3. Multiplicar todos los factores elegidos.

Por ejemplo, mcm (324,16,7,5) La descomposición de 324 es 22·34; la descomposición de 16 es: 24;la descomposición de 7 es 7 y la descomposición de 5 es 5. Por tanto, obtenemos el mcm: 24·34·7·5 = 45360.