· actividades de desarrollo ..... 148 7. el sentido numérico y la representación de los...

Introducción ............................................................................................... 19

1. Matemáticas en Educación Primaria ............................................ 23Luis Rico

1.1. Fines de la educación matemática en Primaria .......................... 231.1.1. Las matemáticas y los fines de la educación, 23. 1.1.2. Finesdel Sistema Educativo, 24. 1.1.3. Objetivos de la Educación Pri-maria, 25.

1.2. Normativa ................................................................................ 271.2.1. Currículo de la Educación Primaria, 27. 1.2.2. Currículode Matemáticas para la Educación Primaria, 28.

1.3. Contenidos del currículo de Matemáticas ................................. 291.3.1. Contenidos, 29. 1.3.2. Estructura de los contenidos, 33.

1.4. Enseñanza de la Matemática en Primaria .................................. 381.4.1. Matemáticas Escolares, 38. 1.4.2. Formación del profesor dePrimaria, 39.

2. Aprendizaje y evaluación................................................................. 41Pablo Flores

2.1. Aprendizaje matemático ........................................................... 422.1.1. Aprendizaje asociacionista. Cambiar conductas. Aprendiza-je del cálculo, 43. 2.1.2. Aprender cómo cambiar estructuras: apren-dizaje de conceptos, 45. 2.1.3. Formas actuales de considerar el apren-dizaje de las matemáticas, 47.

2.2. Evaluación en Matemáticas ...................................................... 50

7

1Índice

2.2.1. Formas de evaluación en matemáticas, 51. 2.2.2. Errores deaprendizaje, 53. 2.2.3. La evaluación de las matemáticas de Ense-ñanza Primaria, 56. 2.2.4. Evaluación de tareas de resolución deproblemas, 58.

3. Materiales didácticos y recursos ...................................................... 61Moisés Coriat

3.1. Introducción ............................................................................ 613.2. Los materiales didácticos y los recursos como organizadores ..... 61

3.2.1. Características principales, 61. 3.2.2. El “universo” de losmateriales didácticos y recursos y el principio de prudencia, 62. 3.2.3.Dos escenarios con materiales didácticos, 62. 3.2.4. Escenarios conrecursos, 63.

3.3. Algunas objeciones ................................................................... 663.3.1. “Mi colegio no tiene suficientes medios económicos”, 66. 3.3.2.“Mis grupos de alumnos son heterogéneos”, 67. 3.3.3. “Si me sacande la tiza y el encerado, soy poco manitas”, 68. 3.3.4. “Los colegasde mi centro no están de acuerdo”, 68. 3.3.5. “Frenan el ritmo deavance”, 69. 3.3.6. “En mi clase no permito las calculadoras”, 70.

3.4. De la actividad al material ........................................................ 713.5. Del material a la actividad ........................................................ 743.6. Recursos basados en la informática ........................................... 77

3.6.1. Calculadoras, 77. 3.6.2. Ordenadores, 79. 3.7. Atención a la diversidad y Educación especial ........................... 79

4. Unidades didácticas. Organizadores.............................................. 83Isidoro Segovia y Luis Rico

4.1. Introducción ............................................................................ 834.1.1. El currículo de Matemáticas, 83. 4.1.2. Currículo conven-cional, 84. 4.1.3. Significados del conocimiento matemático, 85.4.1.4. Unidades didácticas, 87.

4.2. Los organizadores del currículo ................................................ 884.2.1. Fenomenología, 89. 4.2.2. Sistemas de representación, 91.4.2.3. Modelos, 93. 4.2.4. Materiales, medios y recursos, 95. 4.2.5.Dificultades y errores en el aprendizaje, 96. 4.2.6. Historia de lasmatemáticas, 97. 4.2.7. La resolución de problemas, 98.

4.3. Elaboración de unidades didácticas ........................................... 101

Didáctica de la Matemática en la Educación Primaria

8

5. Los procesos matemáticos como contenido. El caso de la prueba matemática .................................................... 105Mercedes García y Salvador Llinares

5.1. Introducción ............................................................................ 1055.1.1. De qué vamos a hablar, 105. 5.1.2. Aspectos de la activi-dad matemática, 107.

5.2. Significados asociados a los términos prueba, demostración, explicación, justificación y razonamiento .................................. 110

5.3. Diferentes perspectivas desde las que contemplar la actividad de probar ................................................................... 1115.3.1. Relación entre la situación y el proceso de validación, 112.5.3.2. Relación entre sujeto-conocedor y proceso de validación, 113.5.3.3. De las pruebas pragmáticas a las pruebas intelectuales, 115.5.3.4. La demostración matemática, 118.

5.4. Explicitar procesos en la actividad matemática .......................... 122

6. Primeros conceptos numéricos ......................................................... 123Enrique Castro y Encarnación Castro

6.1. Usos del número ...................................................................... 1236.2. Emparejar ................................................................................. 1286.3. Ordenar ................................................................................... 1316.4. Estrategias para cuantificar ....................................................... 133

6.4.1. La percepción del número, 133. 6.4.2. Recuento, 134. 6.4.3.Estimar, 135. 6.4.4. Calcular, 135.

6.5. El número cero ......................................................................... 1366.6. Representaciones ...................................................................... 138

6.6.1. Sistema de numeración, 138. 6.6.2. Sistema decimal de nume-ración, 141.

6.7. Materiales, recursos, medios didácticos ..................................... 1416.8. Cognición y aprendizaje. Errores y dificultades ......................... 145

Actividades de desarrollo ..................................................................... 148

7. El sentido numérico y la representación de los números naturales.. 151Salvador Llinares

7.1. Introducción ............................................................................ 1517.2. El número como objeto de aprendizaje ..................................... 153

Índice

9

7.3. Desarrollo de la comprensión del sistema de numeración decimal . 1547.4. El sentido numérico. Numeración y magnitud de los números

naturales ................................................................................... 1657.5. El número natural como objeto de enseñanza ........................... 1687.6. La evaluación ........................................................................... 172


8. Adición y sustracción........................................................................ 177Carlos Maza

8.1. Contextos y usos de la adición y la sustracción ......................... 1778.1.1. La operación aritmética como acción transformadora, 177.8.1.2. Importancia social y cultural de la adición y sustracción, 177.8.1.3. Fenomenología de la adición y sustracción, 179. 8.1.4. Lossímbolos de la adición y sustracción, 180. 8.1.5. El currículum ante-rior, . 8.1.6. Contenidos curriculares, 181.

8.2. Concepto de las operaciones de adición y sustracción ............... 1828.2.1. La adición y sustracción como objetos matemáticos, 182. 8.2.2.Situación de cambio, 183. 8.2.3. Situación de combinación, 185.8.2.4. Cambio y parte desconocidos, 187. 8.2.5. Problemas de cam-bio con el comienzo desconocido, 189. 8.2.6. Problemas de compa-ración, 190.

8.3. Representación de las operaciones de adición y sustracción ....... 1928.3.1. Materiales para el modelado del problema, 192. 8.3.2. Repre-sentaciones más abstractas: dedos, dibujos y palabras, 194. 8.3.3.Representaciones simbólicas, 196. 8.3.4. La memorización de hechosnuméricos básicos, 198.


9. Multiplicación y división................................................................. 203Enrique Castros

9.1. Contextos y usos ...................................................................... 2039.1.1. Terminología, situaciones y contextos, 204. 9.1.2. Situacio-nes de proporcionalidad simple, 205. 9.1.3. Situaciones de compa-ración, 208. 9.1.4. Situaciones de producto cartesiano, 209.

9.2. Aspectos curriculares ................................................................ 2109.3. La multiplicación y la división como objetos matemáticos ........ 2119.4. Modelos ................................................................................... 213


10

9.5. Estructura conceptual ............................................................... 2199.6. Problemas simples de estructura multiplicativa ......................... 222

9.6.1. Problemas de proporcionalidad simple, 223. 9.6.2. Proble-mas de comparación multiplicativa, 224. 9.6.3. Problemas de pro-ducto cartesiano, 225. 9.6.4. Dificultades, 226. 9.6.5. Estrategias,226.


10. Algoritmos de cálculo ....................................................................... 231Rafael Roa

10.1. Los algoritmos de lápiz y papel ................................................. 23210.2. El algoritmo de la suma ............................................................ 23310.3. El algoritmo de la resta ............................................................. 23610.4. El algoritmo de la multiplicación .............................................. 24010.5. El algoritmo de la división ........................................................ 24310.6. Otros algoritmos de lápiz y papel ............................................. 247

10.6.1. Multiplicando con los dedos, 248. 10.7. Cálculo mental y estimado ....................................................... 248

10.7.1. De sumas, 248. 10.7.2. De restas, 250. 10.7.3. En pro-ductos, 251. 10.7.4. En cocientes, 252.


11. Relatividad aditiva y números enteros .......................................... 257José Luis González Marí

11.1. Contextos, usos e importancia social y cultural de los números con signo .................................................................................. 25711.1.1. Introducción, 257. 11.1.2. Terminología, 258. 11.1.3.Fenomenología de la relatividad aditiva y los números enteros,259.

11.2. La relatividad aditivo-ordinal y los números enteros en el currículo ................................................................................... 262

11.3. Conceptos y representaciones ................................................... 26411.3.1. Algunas consideraciones sobre la historia de los números consigno, 264. 11.3.2. Breves notas sobre la construcción formal usualdel sistema de los números enteros, 268. 11.3.3. Modelización yrepresentación de los números enteros, 270.

11.4. Aprendizaje y enseñanza de los números con signo ................... 277

Índice

11

11.4.1. Aprendizaje y desarrollo cognitivo, 277. 11.4.2. Materia-les y recursos, 280. 11.4.3. Juegos y pasatiempos, 281.


12. Fracciones en el currículo de la Educación Primaria .................. 285Encarnación Castro y Manuel Torralbo

12.1. Contextos y usos de las fracciones ............................................. 28512.1.1. Importancia social y cultural de las fracciones, 285. 12.1.2.Las fracciones en el currículo, 286. 12.1.3. Significados y simboli-zación de las fracciones, 286. 12.1.4. Definición de fracción, 287.12.1.5. Significados de las fracciones, 288. 12.1.6. Simbolizaciónde las fracciones, 291. 12.1.7. Situaciones cotidianas que dan lugaral uso de fracciones, 291.

12.2. Representaciones y modelos para las fracciones ......................... 29212.2.1. Representaciones, 292. 12.2.2. Modelos, 293. 12.2.3. Usode modelos en los distintos significados de fracción, 295.

12.3. Número racional. Operaciones. Orden .................................... 29712.3.1. Conjunto de números racionales, 297. 12.3.2. Operacio-nes con números racionales, 301. 12.3.3. Orden en el conjunto delos racionales, 307.

12.4. Recursos ................................................................................... 308Actividades de desarrollo ..................................................................... 311

13. Números decimales ........................................................................... 315Enrique Castro

13.1. Contextos y usos de los números decimales .............................. 31513.1.1. Importancia social y cultural de los decimales, 315. 13.1.2.Fenomenología del concepto, 318. 13.1.3. Aspectos curriculares, 319.13.1.4. Diversidad de enfoques, 320.

13.2. Conceptos y representaciones ................................................... 32013.2.1. El sistema de numeración decimal ampliado, 320. 13.2.2.Números decimales, 321. 13.2.3. Otras representaciones, 323. 13.2.4.Fracciones unitarias egipcias, 324. 13.2.5. Decimales finitos, 324.13.2.6. Modelos, 326. 13.2.7. Recursos, 328.

13.3. Comparación y operaciones con decimales ............................... 32813.3.1. Comparación de decimales. Comparación según distintas repre-sentaciones, 328. 13.3.2. Operaciones con decimales finitos, 329.


12

13.4. La familia de los decimales ....................................................... 33613.4.1. Decimales periódicos, 336. 13.4.2. Algoritmo para repre-sentar un decimal en forma fraccionaria, 337. 13.4.3. Decimales ynúmeros racionales, 338. 13.4.4. Aproximación. Error, 339. 13.4.5.Estimación en operaciones con decimales, 341.


14. Números irracionales. Raíces y potencias. Notación científica... 347Luis Carlos Contreras y José Carrillo

14.1. Contextos y usos de los números irracionales ............................ 34714.1.1. Una breve reseña histórica, 347. 14.1.2. Fenomenologíadel número irracional, 350. 14.1.3. Los números irracionales en elcurrículo, 351.

14.2. Desarrollo conceptual ............................................................... 35114.3. Contextos y usos de raíces y potencias ...................................... 355

14.3.1. Números cuadrados y números cúbicos, 355. 14.3.2. Poten-cias de base racional, 356. 14.3.3. Las raíces, 359. 14.3.4. Feno-menología de la raíz cuadrada, 359. 14.3.5. Potencias y raíces enel currículum, 361. 14.3.6. Orientaciones didácticas, 361.

14.4. Aspectos conceptuales .............................................................. 36214.4.1. Definiciones y propiedades, 362. 14.4.2. Errores habitua-les, 364.

14.5. Materiales y recursos ................................................................ 365Actividades de desarrollo ..................................................................... 365

15. Introducción a la Geometría........................................................... 369M.a Jesús Cañizares y Luis Serrano

15.1. Ubicación cultural de la Geometría .......................................... 36915.2. La Geometría en el currículum de Educación Primaria ............. 37215.3. Representación geométrica ....................................................... 37315.4. Enseñanza-aprendizaje de conceptos geométricos ..................... 374

15.4.1. Percepción y representación espacial, 374. 15.4.2. La estruc-turación del espacio y el estudio de las figuras, 375. 15.4.3. El mode-lo de Van Hiele, 375.

Índice

13

16. Elementos geométricos y formas planas.......................................... 379Luis Serrano

16.1. Primeros elementos geométricos ............................................... 37916.1.1. Introducción, 379. 16.1.2. Errores y sesgos, 381.

16.2. Desarrollo de los conceptos y sus representaciones .................... 38116.2.1. Representación de objetos tridimensionales en el plano, 381.16.2.2. Errores y sesgos en el aprendizaje y construcción de polígo-nos, 386.

16.3. Semejanza de figuras planas ...................................................... 38816.3.1. Figuras semejantes, 388. 16.3.2. Polígonos semejantes, 389.16.3.3. Relaciones en un triángulo rectángulo, 390. 16.3.4. Figu-ras curvilíneas, 391.


17. Elementos geométricos y formas espaciales .................................... 401M.a Jesús Cañizares

17.1. Importancia social y cultural de la geometría espacial ............... 40117.2. Conceptos básicos y sus relaciones ............................................ 402

17.2.1. Rectas y planos en el espacio. Posiciones relativas, 402. 17.2.2.Ángulos poliedros, 403. 17.2.3. Cuerpos geométricos y sus elemen-tos, 404. 17.2.4. Cuerpos poliédricos, 405. 17.2.5. Modelos y repre-sentaciones, 407.

17.3. Deltaedros y poliedros arquimedianos ...................................... 40817.4. Prismas y pirámides .................................................................. 41017.5. Cuerpos de revolución .............................................................. 41517.6. Errores y dificultades de los estudiantes en relación con el espacio. 41917.7. Materiales didácticos ................................................................ 422


18. Transformaciones geométricas......................................................... 427José Carrillo y Luis Carlos Contreras

18.1. Contextos y usos ...................................................................... 42718.2. Introducción al estudio de los movimientos elementales ........... 43018.3. Composición de movimientos .................................................. 43618.4. Los movimientos y la orientación del plano .............................. 440


14

18.5. Reflexiones metodológicas, errores habituales y recursos ........... 441Actividades de desarrollo ..................................................................... 444

19. Números y formas ............................................................................. 449Francisco Ruiz

19.1. El número en la Geometría ...................................................... 45019.2. Las proporciones y la forma ...................................................... 451

19.2.1. Proporciones estáticas, 452. 19.2.2. Proporciones dinámi-cas, 453. 19.2.3. Rectángulos dinámicos, 454. 19.2.4. La divisiónáurea de un segmento. El número áureo, 454. 19.2.5. El númeroáureo en la Naturaleza y el cuerpo humano, 456. 19.2.6. El núme-ro áureo en el arte, 458.

19.3. Las formas en la Aritmética ...................................................... 45919.3.1. Representaciones geométricas de propiedades numéricas, 460.19.3.2. Patrones numéricos, 462.


20. Introducción a las magnitudes y la medida.Longitud, masa, amplitud, tiempo................................................. 477Antonio Frías, Francisco Gil y M.a Francisca Moreno

20.1. Contextos y usos ...................................................................... 47720.1.1. Importancia social y cultural de la medida, 477. 20.1.2.Diferentes comportamientos de las cualidades. Magnitudes extensi-vas, 477. 20.1.3. Fenomenología, 479. 20.1.4. Tratamiento curri-cular, 482.

20.2. Conceptos y representaciones ................................................... 48320.2.1. Percepción de la cualidad, 484. 20.2.2. Comparación dela cualidad, 486. 20.2.3. Noción de cantidad, 487. 20.2.4. Adi-ción y orden, 488. 20.2.5. La magnitud longitud como modelo demagnitud lineal, 488. 20.2.6. La formación de cantidades en elniño, 488.

20.3. Tratamiento aritmético de la cualidad. La medida .................... 49020.3.1. Necesidad de la medida, 490. 20.3.2. Soluciones históri-cas al problema de la unidad de medida, 490.

20.4. Concepto matemático de medida ............................................. 49120.5. La medida espontánea en el niño .............................................. 49520.6. Instrumentos de medida para la longitud ................................. 495

Índice

15

20.7. Errores ..................................................................................... 49620.8. Estimación ............................................................................... 496

20.8.1. Trabajo escolar sobre estimación, 496. 20.8.2. Destrezasprevias, 498. 20.8.3. Estrategias y situaciones de estimación, 498.


21. Área y volumen ................................................................................. 503M.a Francisca Moreno, Francisco Gil y Antonio Frías

21.1. Contextos y usos del área .......................................................... 50321.1.1. Fenomenología, 503. 21.1.2. Tratamiento curricular, 504.21.1.3. Diferentes aproximaciones al área, 504.

21.2. Conceptos y representaciones ................................................... 50621.2.1. Percepción, 508. 21.2.2. Comparación, 509.

21.3. Medida ..................................................................................... 51121.3.1. Medida del área: procedimiento unidimensional, 512.21.3.2. Medida del área: procedimientos bidimensionales, 514.

21.4. Estimación ............................................................................... 51621.5. Materiales ................................................................................. 51721.6. Contextos y usos del volumen .................................................. 518

21.6.1. Fenomenología, 518. 21.6.2. Diferentes aproximaciones alvolumen, 520.

21.7. Conceptos y representaciones ................................................... 52021.7.1. Percepción, 521. 21.7.2. Comparación, 522.

21.8. Medida ..................................................................................... 52421.8.1. Medida del volumen: procedimientos unidimensionales, 524.21.8.2. Medida del volumen: procedimientos tridimensionales, 526.

21.9. Estimación ............................................................................... 52821.10. Materiales ................................................................................ 529Actividades de desarrollo ..................................................................... 530

22. Proporcionalidad entre magnitudes ............................................... 533Francisco Fernández García

22.1. Contextos y uso de la proporción ............................................. 53322.1.1. Introducción, 533. 22.1.2. Importancia social y culturalde la proporcionalidad, 534. 22.1.3. Consideraciones históricas, 536.

22.2. Proporcionalidad entre magnitudes .......................................... 537


16

21.2.1. Definición de proporcionalidad, 537. 22.2.2. Razón y pro-porción. Propiedades, 538.

22.3. Aplicaciones de la proporción ................................................... 54222.3.1. Proporcionalidad de segmentos, 542. 22.3.2. Cálculo demedidas indirectas, 544.

22.4. Regla de tres ............................................................................. 54622.4.1. Regla de tres simple directa, 546. 22.4.2. Regla de tres sim-ple inversa, 546. 22.4.3. Regla de tres compuesta, 547.

22.5. Porcentaje. Tanto por ciento ..................................................... 54922.6. Razonamiento proporcional. Dificultades y errores ................... 55022.7. Consideraciones didácticas ...................................................... 55322.8. Materiales y recursos ................................................................ 554


23. Análisis exploratorio de datos ......................................................... 559Angustias Vallecillos

23.1. Introducción ............................................................................ 55923.2. Representaciones gráficas .......................................................... 561

23.2.1. Diagramas de barras, 562. 23.2.2. Polígonos de frecuen-cias, 563. 23.2.3. Diagramas de sectores, 564. 23.2.4. Gráficosengañosos, 565.

23.3. Conceptos básicos: datos, poblaciones y variables ..................... 56623.3.1. Datos y poblaciones, 566. 23.3.2. Variables cuantitativascontinuas y discretas, 566. 23.3.3. Variables cualitativas, 567.23.3.4. Variables continuas y datos agrupados: histogramas, 568.23.3.5. Diagrama de tallo y hojas, 570.

23.4. Lectura e interpretación de datos .............................................. 57123.5. Descripciones numéricas de los datos: resúmenes numéricos .... 576

23.5.1. Medidas de posición, 576. 23.5.2. Medidas de dispersión,581. 23.5.3. El resumen de los cinco números, 583. 23.5.4. El grá-fico de la caja, 583. 23.5.5. La desviación típica, 584.

23.6. Obtención de datos: importancia de muestras aleatorias ........... 586Actividades de desarrollo ..................................................................... 587

24. Probabilidad ..................................................................................... 591Pilar Azcárate y José M.a Cardeñoso

24.1. Contexto de uso de la probabilidad .......................................... 591

Índice

17

24.1.1. El papel de la probabilidad en el mundo actual, 591. 24.1.2.Una visión fenomenológica del azar y la probabilidad, 593. 24.1.3.Aspectos curriculares, 597.

24.2. Contexto conceptual ................................................................ 59824.2.1. La probabilidad: el primer intento del hombre por domi-nar la incertidumbre, 598. 24.2.2. El problema de su significado,600.

24.3. Conceptos y representaciones. Introducción a las nociones fun-damentales ............................................................................... 60224.3.1. El lenguaje del azar, 602. 24.3.2. Fenómenos, experimentosy sucesos aleatorios, 604. 24.3.3. Hacia las probabilidades desde laexperiencia, 607. 24.3.4. Desde el estudio previo de las posibilida-des, 608. 24.3.5. Desde las regularidades del azar, 611. 24.3.6.Simulaciones, 614. 24.3.7. Calculando probabilidades, 615.

24.4. Materiales y recursos para la enseñanza ..................................... 616Actividades de desarrollo ..................................................................... 618

Bibliografía ................................................................................................ 621


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· actividades de desarrollo ..... 148 7. el sentido numérico y la representación de los...

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