FISE ING. LEO TERAN

LA PRIMERA EN TECNOLOGÍA INFORMÁTICA

MATRICES

Se llama matriz de orden mn a todo conjunto rectangular de elementos denotado por , que esta dispuesto en m filas (reglones) y n columnas. Así tendremos la matriz de coeficientes: ……… ……... f 1 …….… …….. f 2 = …….… …..…. f i ……… …..… f m C 1 C 2 C 3 C j C n Una matriz se denota con mayúsculas (A, B, etc,.), y a los números ; ; ….; ; ….. son los elementos de la matriz.

Notación: 1 i m 1 j n j-esima columna i-esima fila

ORDEN DE UNA MATRIZ El orden de una matriz es producto del número de filas y el número de columnas. En la notación se observa que el orden es .

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IGUALDAD DE MATRICES

Dadas las matrices: = y Decimos: = = , i, j

Ejemplo: Determine explícitamente la matriz: / = máx { , 3i – 2j} SOLUCIÓN Solución en Pizarra.

TIPOS DE MATRICES1. Matriz Cuadrada:

Se llama matriz cuadrada a una matriz de orden nn, (n filas y n columnas) de la forma: ……… ……... f 1 …….… …….. f 2 = …….… …..…. f i ……… …..… f n C 1 C 2 C 3 C j C n

En una matriz cuadrada de orden (nn), los elementos ;; ; ............. ; forman la diagonal principal de la matriz.

La matriz A = es una matriz cuadrada m = n En este caso se denota como: diagonal secundaria

Ejemplo: = ; = diagonal principal

2. Matriz rectangular: La matriz A = es matriz rectangular m n

Ejemplo: =

Diagonal principal.- Se denomina así al conjunto de elementos que tienen los dos subíndices iguales, es decir: { / i=j} = { ……… }

Diagonal secundaria.- Se denomina así al conjunto de elementos que tienen la suma de los dos subíndices igual a (n+1), es decir: { / i=j} = { ……… }

Traza de una matriz cuadrada.- A la suma de los elementos de la diagonal principal de una matriz cuadrada se deno-mina traza de la matriz. Si = Tr(A) = = { + + … + } PROPIEDADES1. Tr(A) = Tr() 2. Tr(kA) = kTr(A) , k = escalar3. Tr(A+B) = Tr(A) + Tr(B) 4. Tr(AB) = Tr(BA)

Matriz Identidad.- Es la matriz escalar donde k = 1. = Matriz Nula.- Es la matriz escalar donde k = 0. = Toda fila y columna es cero. Matriz Triangular Inferior.- Una matriz cuadrada es trián-gular inferior si y sólo si todos los elementos que se encu- entran encima de la diagonal principal son ceros. Ejemplo: =

3. Matriz diagonal: A = es una matriz diagonal si y sólo si = 0 , i j Ejemplo: = diagonal principal = NO

4. Matriz escalar: Es una matriz diagonal, en la cual todos los elementos de la diagonal principal son iguales. = k ℝ

Matriz Triangular Superior.- Una matriz cuadrada es triangular superior si y sólo si todos los elementos que se encuentran debajo de la diagonal principal son ceros. Ejemplo: =

Matriz Triangular Inferior.- Una matriz cuadrada es triangular inferior si y sólo si todos los elementos que se encuentran arriba de la diagonal principal son ceros. Ejemplo: =

Matriz Singular.- Es aquella matriz que NO tiene inversa debido a que su determinante es cero.Si = 0 , entonces y A es irregular o singular. Ejemplo: , Matriz Regular.- Es aquella matriz que tiene inversa debido a que su determinante NO es cero.Si 0 , entonces y A es regular. Ejemplo: ,

Matriz Escalonada (por filas) Una matriz = es escalonada si tiene la siguien- te estructura: a) Las primeras k filas o columnas son no nulas y las

restantes (m-k) filas son nulas. b) El primer elemento no nulo de cada una de las primeras

k filas es la unidad.c) En cada una de las k filas , el número de ceros anteriores a la unidad crece de fila a fila.Ejemplos:

1) = ; en este caso m = 3 y k = 3Vemos que satisface las condiciones a, b y c.

2. = No cumple c. No escalonada. Matriz Fila.- Se llama matriz fila a una matriz de orden n1,

(1 fila y n columnas) de la forma: = ( ……………. )

Matriz Columna.- Se llama matriz columna a una matriz de orden 1n, (n filas y 1 columna) de la forma: =

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Transpuesta de una matriz. La transpuesta de la matriz , la cual se representa por o , es la matriz construida a partir de la matriz , colocando la -esima fila de en la -esima columna de . Si = , entonces =

Ejemplo: Si = , entonces =

OPERACIONES CON MATRICESSUMA DE MATRICES Sean las matrices = y B = , ambas del mismo orden La matriz suma de y B = La cual también es de orden En otras palabras, para sumar matrices, se suman los elementos que están situados en la misma fila y en la misma columna. Ejemplo: Sean las matrices: = y B = + B =

Propiedades: 1. Propiedad Conmutativa: + B = B + 2. Propiedad Asociativa: ( + B ) + C = + (B + C) 3. k(A + B) = k A + k B ; (k: escalar) 4. (K + L)A = kA + LA ; (K, L: escalares) 5. (K . L)A = k(LA) ; (K, L: escalares) 6. 1A = A 7. - A = (-1)A8. La diferencia de A y B, matrices del mismo orden, es definido por: A – B = A + (-B) Ejemplo: Según las matrices dadas:A – B =

Multiplicación de un Escalar por una MatrizSi A = de orden y k un número real, entonces .Ejemplo:Si: A = y k = 2.entonces: kA = 2 = Nota: Observar que cada elemento de la matriz se multiplica por el escalar k. Producto de una matriz fila por una matriz columnaSe tiene la matriz fila A y la matriz columna B: A = ( .......... ) y

B = El producto de éstas:AB = = Nota: Para que pueda ejecutarse esta operación ambas matrices deben tener la misma cantidad de elementos.Ejemplo: Hallar AB, si A = () y B = AB = =

Producto de dos MatricesEl producto de una matriz A = de y una matriz B = de , es otra matriz C = de orden , donde es el producto escalar de -esima fila de A por la -esima columna de B.

= Nota: Para efectuar el producto es necesario y suficiente que el número de columnas de sea igual al mismo número de filas de . Ejemplo: Dadas las matrices: = y = Hallar: AB Solución

= =

= = Propiedades: 1. No es conmutativa: AB BA2. Es asociativa: A(BC) = (AB)C3. k(AB) = A(kB), k es un escalar.4. Propiedad Distributiva: A(B+C) = AB + AC (A+B)C = AC + BC

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MATRICES ESPECIALESMatriz SimétricaUna matriz es simétrica si = . Características:1. La matriz debe ser cuadrada.2. Los elementos de la diagonal principal permanecen fijos al efectuarse la transposición.3. = para todo , . Nota: La simetría se da con respecto a la diagonal principal. Ejemplo: =

Matriz Antisimétrica Una matriz es antisimétrica si = . Características:1. La matriz debe ser cuadrada.2. Los elementos de la diagonal principal permanecen ceros (0).3. = - para todo , . Nota: La antisimetría se da con respecto a la diagonal principal. Ejemplo: =

Matriz Ortogonal Una matriz cuadrada se llama ortogonal, si se verifica: = IEjemplo: Comprobar que la matriz dada es ortogonal. =

Solución =

= =

Matriz Hermitiana Una matriz es hermitiana, si se cumple: = También se le conoce como matriz Auto Adjunta, se caracteriza por: 1. Ser una matriz cuadrada y compleja.2. Los elementos de la diagonal principal son

números reales. 3. En ambos lados de la diagonal principal los

números son conjugados.Ejemplo: Comprobar que la matriz dada es hermitania.Sea: =

= =

Matriz Antihermitiana Una matriz es antihermitiana, si se cumple: = -, y se caracteriza por: 1. Ser una matriz cuadrada y compleja.2. Los elementos de la diagonal principal son

números ceros o imaginarios puros.

3. En ambos lados de la diagonal principal los números reales son de signos opuestos.

Ejemplo: Comprobar que la matriz dada es antihermitania.Sea: =

Obteniendo su conjugada y luego su transpuesta:

=

=

= - = = Matriz IdempotenteUna matriz cuadrada A es idempotente si y sólo si es igual a su cuadrado ósea: A es idempotente A = A ²Ejemplo: La matriz A = es idempotente.

En efecto: A = A.A² = . = = A Como A = A ² A es una matriz idempotente.

Matriz Involutiva Una matriz cuadrada A es involutiva si y sólo si su cuadrado es la matriz identidad es decir: A es involutiva A = I ² Ejemplo: La matriz A = es involutiva.En efecto: A = A.A² = . = = I

Matriz Nilpotente Si = ; p A es una matriz Nilpotente.También se cumple: = ; = ; = … Si p es un número entero positivo entonces los elementos de la matriz son ceros.Ejemplo: Demostrar que la matriz = Es una matriz Nilpotente. = =

Matriz Periódica Si = I ; A es una matriz periódica. Si satisface la condición anterior: = A ; = ; = ; = ; ……

INVERSA DE UNA MATRIZ DE ORDEN 2Dada la matriz = , si = 0 , entonces: =

Matriz aumentada aplicado a un sistema de ecuacionesUna ebanistería produce sillas, mesas y armarios a razón de 350 piezas/mes. La hora de mano de obra y las planchas de madera que exige cada mueble son:

Si se dispone de un total de 1050 horas y de 625 planchas de madera, ¿cuántas unidades de cada mueble se pueden fabricar en ese tiempo?

SoluciónEl sistema de ecuaciones es: 2 + 3 + 5 = 1050 + 2 + 3 = 625 + + = 350

silla mesa armarioHora unidad 2 3 5

Plancha unidad

1 2 3

Resolviendo aplicando matrices por operaciones elementales:

f - 2f ₁ ₂ f y ₂ f - 2f ₁ ₃ f ₃ f + f ₂ ₃ f ₃ 2z = 150 z = 75 - – z = -200 = 50 + 3 + 5 = 1050 = 225