zuzena planoan.pdf
TRANSCRIPT
-
7/25/2019 Zuzena planoan.pdf
1/34
ZUZENA
PLANOAN
ARRASATE BHI (ARRASATE)
Batxilergo Zientifko-Teknikoa
1. maila
-
7/25/2019 Zuzena planoan.pdf
2/34
Zuzenaren ekuazioak
Zuzen bat determinatzeko, bi puntu behar dira, edo bestela,
puntubat eta norabidea. Norabide bektoreari bektore
zuzentzaileaesaten zaio.
Demagun zuzena A=a!, a"# puntutik pasatzen dela eta
bektore zuzentzailea = $!, $"# dela.v
A
P
O
%
&
va
v
Ekuazio bektoriala ' , (# = " , )!# * k . )+ , #' , (# = a!, a
"# * k . $
!, $
"#
' = a!* k . $
!
( = a"* k . $
"
Ekuazio parametrikoak
x = " +ky =! + , k }
OP=OA+AP edo p= a+k.v-oiko irudian honako hau dugu
Zuzen hori era askotan adieraz daiteke. Adibide baten bidez azalduko ditugu era guztiak. /ar
ditzagun A = " , )!# puntua eta bektore zuzentzailea.
v= (+,
,
)
x "+
=y+ !
Ekuazio jarraituax a!
v!
=ya
"
v"
')0 = )+()+ 1 '*+()2=3
v=(v!, v
")=(+,, )
-
7/25/2019 Zuzena planoan.pdf
3/34
' * +( 4 2 =3
Ekuazio orokorra edo ekuazio inplizitua
A' * 5( * 6 =3
Era horretan adierazita, bektore zuzentzailea
)5 , A# da, zeren A = $"eta 5 = )$!baitira.
-ure adibidean )+, # bektorea.
Puntu-malda ekuazioa
Ekuazio 7arraitutik, ondokoa ateratzen da y +!=
+(x" )
zatidura da. Zatidura horri zuzenaren maldaderitzo
eta mletraz adierazten da.
+
v"v
!
( 4 a"= m ' 4 a
!#
Ekuazio esplizitua
y= ,
+ x+
2
+
Ekuazio orokorreany bananduta,
ondokoa lortzen da( = m.' * b malda=x ren koefizientea=
+
-
7/25/2019 Zuzena planoan.pdf
4/34
Zuzenaren malda
("4 (!
5i puntu emanda, P!='
!,(
!# eta P
"='
",(
"#, puntu horietatik pasatzen den
zuzenaren malda hau da
m=v
"
v!
=tg =y
" y
!
x" x!
=()ren hazkundea
')ren hazkundea
Adibidea. Zein da A=!,)+# eta 5=+,"# puntuetatik pasatzen den zuzenaren malda8
m=" (+ )
+! =
2
"
P!'!,(!#
P"'",("#
r
'"4 '!
9alda m#, zatidura, eta zuzenak abzisa)ardatzarekin
eraturiko angeluaren tangentea elkarren berdinak dira.
v"v
!
-
7/25/2019 Zuzena planoan.pdf
5/34
Bi puntutatik pasatzen den zuzena
Demagun zuzenaren bi puntu ezagutzen ditugula: A=(1 , -!
eta B=(" , #!$ Zein da beraren ekuazioa%
v=AB= (,!," (+)) = (+,2 )
5eraz, zuzenaren ekuazioa hau'e da
:# Puntutzat bata zein bestea har daiteke, adibidez A = ! , )+#
5ektore zuzentzailea
Egin dezagun bi eratan
! +#
2 + ! 3+ 2
x y
x y
= =
::# Puntutzat bata zein bestea har daiteke, adibidez A = ! , )+# . Eta" !
" !
" +# 2malda =
, ! +
y ym
x x
= = =
Zuzenaren ekuazioa ()a"= m ') a!# 1 hau da,2
+# !# 2 + ! 3+
y x x y = =
+,3#
3,"#
Ekuazio kanonikoa edo segmentarioa
x
a+
y
b= !
Ezagutzen ditugun bi puntuak zuzenaren eta ardatzen arteko ebaki)puntuak badira,
a , 3# eta 3 , b# hain zuzen, era honetan idatzi ahal dugu zuzenaren ekuazioa
! " + ; 3
+ "
x yx y+ = + =
Demagun zuzena +,3# eta 3,"# puntuetatik pasatzen dela.
5eraren ekuazioaa = + eta b = "
-
7/25/2019 Zuzena planoan.pdf
6/34
!.) :datz ezazu 3 , )+# puntutik pasatu eta bektore zuzentzailea duen
zuzenaren ekuazioaren
-
7/25/2019 Zuzena planoan.pdf
7/34
Planoko bi zuzenak ebakitzaileak,paraleloakedokointzidenteakizan daitezke$ Zein
diren jakiteko, na&ikoa da beraren ekuazioez osaturiko ekuazio-sistema ebaztea$
Ariketa
Esan zein diren reta szuzenen arteko posizio erlatiboak.
a#r 2' 4 +( * " = 3 1 s )2'*+( 4 " = 3
b#r "' 4 +( * ! = 3 1 s )+' * "( 4 " = 3
>#r )+' * 2( 4 = 3 1 s ;' 4 !3( * = 3
Adibidea
Ekuazio)sistemarensoluzioa
Ebakitzaileak
)' * ( * != 3
"' * +( * + = 3
'oluzio bakarra:' = 3 1 ( = )!
Puntu komunbatdute
P3 , )!#
Paraleloak
' * "( 4" = 3
"' * ( 4! =3 Ez du soluziorik
Ezdute puntukomunik
ointzidenteak
)' * ( 4! = 3
"' 4 "( *" = 3 )n*initu soluzio
Puntu guztiakkomunak dira
!
"=
"
"!
!"
!
+
!"
=!
"=
!"
Bi zuzenen posizio erlatiboak
-
7/25/2019 Zuzena planoan.pdf
8/34
Paralelotasun baldintza
Ebazpena:
Paraleloa bada ' eta ()ren koe
-
7/25/2019 Zuzena planoan.pdf
9/34
x ""
=y ++
+
Ariketa ebatzia #
+ort& '() , !* p&nt&tik pasat& eta ek&azioko z&zenaren paraleloa den z&zenaren
ek&azioa.
A=(!,")v =( ",+ )
}
r . x
+!
" = y
"
+
5ektore zuzentzailea )",+# da. Zuzen horren edozein
zuzen paraleloren bektore zuzentzaileak )",+#
bektorearen proportzionalak dira. 5ereziki, bektore
hori har dezakegu.
Ariketa ebatzia
+ort& '%,* p&nt&tik pasat& eta y $ (!x ") ek&azioko z&zenaren paraleloa den z&zenaren
ek&azioa
?asu honetan, agerian dago maldaren balioa )"5ilatzen ari garen zuzenak malda berbera du. 5eraz, ekuazioa honelakoa
izango da ( = )"' * b
Bkonstantearen balioa lortzeko, ordezkatu egingo dugu enuntziatuan
emandako puntua, hots, 3,2#
2 = )".3 * b 1 b = 2
5ilaturiko zuzenaren ekuazioa hau'e da = -#+ .
-1.5 -1 -0.5
1
2,A=)!,"#
x ""
=y ++
+
-
7/25/2019 Zuzena planoan.pdf
10/34
:datz itzazu " , +# puntutik pasatu eta ondoko
zuzenen paraleloak diren zuzenen ekuazioak
a# ( = )+' *"
b#
># )+' * ( = )2
x +"! =
y !
+
Ariketa
-
7/25/2019 Zuzena planoan.pdf
11/34
23 ardatzaren ekuazioa: = 0 da$%
&
= #
= 0
Ok- den.
23 ardatzaren paraleloa den
zuzen baten ekuazioa, berriz,
= k , non
24 ardatzaren ekuazioa: + = 0 da$
k- den.
24 ardatzaren paraleloa denzuzen batena, berriz, + = k , non
X
Y
x = 3
O
+ = 0
-
7/25/2019 Zuzena planoan.pdf
12/34
Bi bektoreren arteko biderketa eskalarra
&
v
5ai zenbakiak dira1 beraz,
zenbaki bat da. /ortik datorkio, hain zuzen, izena
eskalar hitza.
|& |, |v | eta bai >os & .v
Era honetan deos ;33 = !" .
!
"=;
5ektoreen arteko eragiketa berezi bat da. 5i bektoreren biderkadura
eskalarrari zenbaki errealbatdagokio ." . ." -
& .v=|&| . |v|. >os
-
7/25/2019 Zuzena planoan.pdf
13/34
&v & .v= 3
:zan ere, >os = >os @33
=3 da .
Ondorio garrantzitsua 5Bi bektore
perpendikularrak badira, &aienbiderkadura eskalarra zero da6$
Eta alderantziz 57uluak ez diren bi
bektoreren biderkadura eskalarra zerobada, bektoreak perpendikularrak dira6$
&
v
-
7/25/2019 Zuzena planoan.pdf
14/34
1$- Bi bektoreren biderkadura eskalarra &au+e da: bektore baten moduluaren eta beste
bektoreak le&enengoaren gainean sortzen duen proiekzioaren arteko biderkadura$
#$- 8rukatze-propietatea: & .v=v / .&
$- Banatze-propietatea: & / .( v+0) =& .v+& .0
"$ Elkartze-propietatea: (1 &) .v=1(& .v) , 1 edozein zenbaki erreal izanik .Adibidez, (+&) .v= +(& .v)
Propietateak
& .v=|& | .(|v| . >os) =|& | .( v ren proiekzioa& )ren gainean)
=|& | .O2
Angelua zorrotza bada emaitzaren zeinua * izango da,
eta kamutsa bada zeinua 4 izango da.
. >os
proiekzioa u gainean
v
v ren ren
r r
O9
&
v
-
7/25/2019 Zuzena planoan.pdf
15/34
Demagun oinarria ortonormala dela eta oinarri horretan
Adierazpen analitikoa
& eta v bektoreen osagaiak (&!, &") eta( v! , v") direla, hurrenez hurren.
& .v=&!.v
!+&
".v
"
v=( v! , v")
&=( &! , &")
&= (! , )") eta v=( +, ) bektoreak emanda,& .v = ! . ++ (" ) . = 2
Esaterako
Ondokoa betetzen da
Oharra bektore 7akin baten ortogonala den bektore
bat lortzeko, nahikoa da beraren osagaiak ordenaz
aldatzea eta bietako baten zeinua aldatzea.
Adibidez, " , )+#eta + , "#bektoreak
perpendikularrakdira, zeren "$+ * )+#$" = 3 baita.
-
7/25/2019 Zuzena planoan.pdf
16/34
2789A7 )ZA7
5iderketa eskalarraren hiru deos
& .v=|&| .O2
& .v =&!
.v!+ &
".v
"
Emaitza ZEN5A?: EEAL 5AB da.
-
7/25/2019 Zuzena planoan.pdf
17/34
a )& . v b) v ren proiekzioa & ren gainean
3) "
& .
v d ) (
& +
v) .
v
&= (! , )") eta v=("," )
Ariketak
!. Oinarri ortonormal bateanbektoreak emanda, kalkulatu
a= (!,+ ) 4 b= (k ," )
". Aurkitu k)ren balioa, ondoko bektoreak
ortogonalak perpendikularrak# izan daitezen
-
7/25/2019 Zuzena planoan.pdf
18/34
Bektore baten modulua
Orokorrean, &= (&!, &") |& |=&!"
+&""
bektore baten modulua hau'e da
-1
X
Y
3
a = (+, ! )
)ren bidez adierazten da eta ondoko
balioa da
a= (+,! )
|a |=+" + (! )" =!3
Adibidea$ bektorearen modulua luzera#
|a|
5ektore unitarioa 1 balioko modulua duen bektoreei bektore
unitarioadeitzen zaie.
bektore bat emanda, zein da )ren norabide berbera eta
noranzko berbera dituen bektore unitarioa8Ondoko bektorea da
&
|&|&
&
Adibidea. Demagun dela.
&
&= (",!) |&|="" + (!)" =29odulua)ren paraleloa den eta noranzko bera duen bektore unitarioa hau'e da (
"
2,!
2)
-
7/25/2019 Zuzena planoan.pdf
19/34
Bi punturen arteko distantzia
Planoko A eta 5 puntuen arteko distantzia puntubiek determinaturiko bektore
-
7/25/2019 Zuzena planoan.pdf
20/34
&
v Bi bektoreren arteko angelua
:zan bitez eta bektoreak oinarri
ortonormal batean. Ondokoa betetzen da
&= (&!, &") v= ( v!, v" )
! ! " "
" " " "
! " ! "! ! " "
. . . >os . . .>os
. .5estalde, . . .
& v & v & v & v & v
& v & & v v& v & v & v
= + = =
+ += +
uur r uur uur uur ur
uur uuruur ur
" " " "
3
. " . 2 +# . >os . " +# . 2
"3,30;; da,
!+ . !
eta >os 3,30;;# @ 20 C
& v
& v
ar3
+
= = =+ +
= =
= =
uur ur
uur uur
Adibidea
&= (",+ )eta v= (2, ) badira,
-
7/25/2019 Zuzena planoan.pdf
21/34
Ariketak
!. Oinarri ortonormal batean
bektoreak emanik, kalkula itzazu
&= (",! )eta v= (+, " )
& .v |&|
|v | >os(& , v)
". Lortu bektorearen paraleloa izan
eta 1modulua duen bektorea.
v= (+, ")
+. ?alkula ezazu zein den P = )" , +# eta = + , )#
puntuen arteko distantzia.
-
7/25/2019 Zuzena planoan.pdf
22/34
5eraz, r)ren perpendikularra den zuzen batek A, 5# edo )A,)5#
moduko bektore zuzentzailea eduki behar du, biderkadura eskalarra
zero izan dadin.
:zan ere, )5#.A * A.5 = 3 da.
Eta zuzen perpendikularraren malda da.m"=v
"
5
v !5 = BA
" "da.
2 2
Am
B= = =
2
"
Demagun r "' 4 2( * ! = 3 zuzena. 5eraren malda
Zuzen horren perpendikularra den zuzen bat aurkitu nahi izanez gero, badakigu
horren malda izan behar duela1 hots, mota honetako zuzena dela 2' * "( * k= 3
m!=
A
B
r A' * 5( * 6 = 3 eran adierazitako zuzenean bektore zuzentzailea
)5,A# da eta malda
r A' * 5( * 6 = 3 eran adierazitako zuzenean bektore zuzentzailea
)5,A# da eta malda
Zuzen perpendikularrak
malda=m
malda= !m
5eraz, bi zuzen perpendikularren
maldakelkarren alderantzizkoak
eta aurkakoakdira1 hots, m"=!
m!
-
7/25/2019 Zuzena planoan.pdf
23/34
Ariketa ebatzia 1
5eraz, zuzen perpendikularra
r)ren malda + da1 beraz, zuzen perpendikularrarena izango
da, alderantzizkoa eta aurkakoa hain zuzen.
!
+
Zuzena motakoa izango da.y =!
+x+b
A", 3# puntutik pasatu behar duenez, 3=!
+. "+b b=
"
+
y =!
+ x+
"
+ x+ +y"= 3 da .
;or ezazu A=(# , 0! puntutik pasatu eta r: = +
-
7/25/2019 Zuzena planoan.pdf
24/34
Ariketa ebatzia #
r)ren bektore zuzentzailea , !# da.
5eraz, zuzen perpendikularraren bektore
zuzentzailea )! , # izango da.
-ainera, A",3# puntutik pasatu behar duenez , aurkitu
nahi dugun zuzenaren ekuazioa hau'e izango da
x "!
=y
y= x+0
r x+!
=y";or ezazu A=(# , 0! puntutik pasatu eta
zuzenaren perpendikularra den zuzena$
1 2
-1
1
2
3
A =(2,0)
r x+!
=y"
-
7/25/2019 Zuzena planoan.pdf
25/34
2789A7 )ZA7
Demagun bi zuzen m eta m maldadunak
Paraleloak badira: m = m
Perpendikularrak badira:
m=!
m5
-
7/25/2019 Zuzena planoan.pdf
26/34
!.Lor ezazu, kasu bakoitzean, A = ! , )!# puntutik pasatu eta
s)ren perpendikularra den zuzena
a# s:' 4 ( * ! = 3 1 b# s:( = )"' *2 1 >#
s .
x=+t
y="+" t
{
".P = !, "# puntua eta r ' * +( = 3 zuzena emanda, aurkitu
ondoko hauek
a# P)tik pasatu eta r)ren paraleloa den zuzenaren ekuazioa.
b# P)tik pasatu eta r)ren perpendikularra den zuzenaren
ekuazioa.
Ariketak
-
7/25/2019 Zuzena planoan.pdf
27/34
Puntu baten eta zuzen baten arteko distantzia
alkula dezagun A( ,
dagoen distantzia$
)! Emandako rzuzenaren malda > da1 beraz,perpendikularrarena#izango da. -ainera, A(,
pasatzen denez, r)ren perpendikularra den zuzenaren ekuazioa
ondoko hau da < = -#(+ ! edo #+ . 1# = 0
Orain kalkula dezagun bi zuzen perpendikularren arteko
ebaki)puntua P#, ondoko ekuazio sistema ebatzita
+ # 1 = 0
#+ . 1# = 0 ? 'oluzioa + = eta = # ? P( , #!
Apuntutik rzuzenera arteko distantzia eta A)tik P puntura artekoa bat dira1 hau da
d (A , r ) =d (A , P ) =("; )"
+ ( 2+ )"
="3
d(A , r) =|A . a
!+B . a
"+C|
A" +B"))!@ormula erabilita:
r A' * 5( * 6 = 3 zuzena eta A a!, a
"# puntua emanda
-ure adibidean, r ' 4 "( 4! = 3
eta A+ , ;# direnez gero,
d (A , r ) =|! .++ (") . ;+ (!)|
!" +(" )"=
|!3|
2=
!3
2=
!3 .2
2
= " .2="3
Bi eratan egingo dugu: arrazoituz eta *ormula bat erabiliz
2 4 6
2
4
6
d
P
A=+,;#
')"()!=3
-
7/25/2019 Zuzena planoan.pdf
28/34
?alkulatu P)+ , !# puntutik ' 4 ( * " = 3
zuzenera dagoen distantzia. Egizu bi eratan.
Ariketa
-
7/25/2019 Zuzena planoan.pdf
29/34
Bi zuzen paraleloren arteko distantzia
reta szuzen paraleloren arteko distantziazuzen bateko edozein puntutatik A# beste
zuzenera dagoen distantzia da
Ariketa$ alkulatu r: + # 1 = 0 eta
s: + # . " = 0 zuzen paraleloen
arteko distantzia$
Oh. Aukera ezazu r)ren puntu bat 4esaterako ! , 3#) eta
kalkulatu puntu horretatik szuzenera dagoen distantzia,
metodo bata zein bestea erabilita.6ol . 22
A
r
s
-
7/25/2019 Zuzena planoan.pdf
30/34
Puntu baten simetrikoa zuzenarekiko
alkula dezagun P = (" , ! puntuaren simetrikoa r:#+ . = 0zuzenarekiko
I.r)ren bektore zuzentzailea !,"# da1 beraz, szuzenperpendikularraren zuzentzailetzat )",!# har daiteke
/au da
v = ( ",!)P=(,+ )
}
s . x"
= y +!
s . x+" y!3=3
::. reta szuzenen ebaki) puntua kalkulatzeko ondoko ekuazio)sistema ebatziko dugu" x y++=3
x+" y!3=3 }
7=(,
2, "+
2)
:::. DemagunP8)ren koordenatuak ' , (# direla. 7puntua, erdiko puntua denez
2
=x+
"
eta "+
2
= y++
"
x=!"
2
eta y=+!
2
P 5= (!"
2
,+!
2
)
P8puntua aurkitu behar da, eta hori ondoko hiru pausuak emanda lor daiteke
:# P)tik pasatu eta r)ren perpendikularra den s zuzena bilatu.
::# reta szuzenen arteko7 ebaki)puntua aurkitu.
:::# 7 puntuaP etaP8)n erdiko puntutzat hartu.
-3 -2 -1 1 2 3 4
2
4
6
8
s
P=(4,3)
P
Q
"')(*+=3
-
7/25/2019 Zuzena planoan.pdf
31/34
iru puntu ez-alineatuk determinatzen
duten triangeluaren azalera
alkula ezazu A=( # , 1!, B=(
-
7/25/2019 Zuzena planoan.pdf
32/34
A(#,-!, B(,#!,eta (","! puntuak emanda:
a! Aurkitu D puntua ABD paralelogramobat izan dadin$
b! Egiaztatu beraren diagonalen erdiguneek
bat egiten dutela$
# da1 beraz.a AB 9C =
AB = (2 , ")(" , + )=(+ , 2) 9C = (, , , )( x , y ) = ( ,x , , y )
},x=+ x=!, y=2 y=!
} 9 = (! , ! )
b ) AC ren erdigunea. ("+,
" ,++,
" )= (+ ,
!
")
B9 ren erdigunea. (2+!
",
"+(! )
") =(+ ,
!
")
}
Puntu bera lortzen dugu
Ariketa ebatzia 1
-
7/25/2019 Zuzena planoan.pdf
33/34
Ariketa ebatzia #
a! Aldeen luzerak &auek dira:
d (P ,7)=(!!+ )"
+ (+0 )"
=""!d (P , - )=(0+ )" + ("0 )" =""!d (7 , - )=(0+!!)" + ("+ )" =+,
d'P,7* $ d'P,-*delako, triangelua isoszelea da .
b! 2inarri QR&artuta, altuera (&! P-tik QRzuzenera dagoen distantzia da$
Alt&era =d (P , 7-)=|2 . ++ + . 0 + ,;|
2" + +"=
02
+,
Azalera=
!
"+, .
02
+, =02
"&nitate karrat&
)ren ekuazioa m="+0 +!!
= 2
+ y +=
2
+(x +!!) 2x ++y +;=3
Briangelua isoszelea denez, altuera P
puntutik )ren erdigunera dagoen
distantziaren bidez ere kalkula daiteke.
P(,C!, (-11,! eta (-C,-#! puntuak triangelu
baten erpinak dira$
a! Egiaztatu triangelu &ori isoszelea dela$b! Aurkitu triangeluaren azalera$
-
7/25/2019 Zuzena planoan.pdf
34/34
Ariketa ebatzia
Aurkitu A(#,1! eta B(1,-! puntuetatik distantzia
berera dagoen "+-C./=0 zuzeneko puntua$
/au da
I) d (P , A )=d (P , B ) ("x )" + (!y )" =(!x )" + (+y )" "x+0y +2=3
::# P puntuak emandako zuzenekoa izan behar duenez, ')0(*=3 ekuazioa bete behar du.
P=(",!
0)
" x+0 y+2=3, x0 y+==3 }
sistema ebatzita lortzen dugu P puntua
5ila gabiltzan puntua P',(# da, eta bi baldintza bete
behar ditu
:# dP,A# = dP,5#
::# Ppuntua ')0(*=3 zuzenean egotea.
-3 -2 -1 1 2
-3
-2
-1
1
2
4x-8y+=0
A(2,1)
B(1,-3)
P