x. oliver y c. agelet - cuestiones y problemas de mmc

7/25/2019 X. Oliver y C. Agelet - Cuestiones y Problemas de MMC

1/209

por X. Ol i ver Ol i vel l a

yC. Agel et de Sar aci bar Bosch

compilacin: J. Martnez Parejo

Versin: Septiembre 2002


2/209

1 Descripcin del movimiento Cuestiones resueltas

2000-2004 by: X. Oliver &C. Agelet de SaracbarE.T.S. Enginyers de Camins, Canals i Ports (Universitat Politcnica de Catalunya)

1

111DDDeeessscccrrriiipppccciiinnndddeeelll

mmmooovvviiimmmiiieeennntttooo

CUESTIONES RESUELTASCUESTIONES RESUELTASCUESTIONES RESUELTASCUESTIONES RESUELTAS

CR 1-1Justificar si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones:

a) Si el campo de velocidades es estacionario, el campo de aceleraciones tambin lo es.b) Si el campo de velocidades es uniforme, el campo de aceleraciones es siempre nulo.c) Si el campo de velocidades es estacionario y el medio es incompresible el campo de

aceleraciones es siempre nulo. ( )5Tema

Resolucin:

a) Que el campo de velocidades sea estacionario significa lo siguiente:

)(t

)t,(xv0

xv

=

La derivada material de la velocidad da la aceleracin y por tanto:

)()()t,()t,(t

)t,()t,( xvxvxvxv

xvxa =+

=

La expresin que queda no depende del tiempo. As se concluye que la afirmacin delenunciado es cierta.

b) Si el campo de velocidades es uniforme implica que no depende de la coordenadaespacial y por tanto:

)t()t,( vxv

Derivando la velocidad queda:

t

)t()t,()t,(

t

)t,()t,(

=+

=

vxvxv

xvxa

ya que el gradiente de la velocidad es:

[ ] 0x

(t)v)t(

i

j

ij =

=v

Por lo tanto, la afirmacin es falsaya quet

)t(

v

no tiene porqu ser nulo.

c) Como en el apartado a), la velocidad es del tipo:)()t,( xvxv


3/209



2

Medio incompresible significa, matemticamente, que la divergencia de la velocidad esnula:

0)( = xv

Pero esto no implica necesariamente que el gradiente de la velocidad tambin lo sea, esdecir, la aceleracin no tiene porqu ser cero:

)()()t,()t,(t

)t,()t,( xvxvxvxv

xvxa =+

=

Se concluye que la afirmacin es falsa.

CR 1-2 Determinar en qu condiciones las siguientes ecuaciones pueden ser las trayectoriasde un medio continuo:

+=+=

+=

tZ)t1(Zez

)t1)(ee(ZtYy

)t1)(1e(ZtXx

2

22

2

Resolucin:

)t,(XF es el tensor Gradiente Material de la Deformacin, definido de la siguiente manera:

j

iij

X

xF

=

Se debe cumplir:0>F

0t))(1e(tt

)t(1et00

t))(1ee(t0

)t1)(1e(0t22

2

22

2

>+=

+

= FF

>+=+

0e1)t(et)(1et

0t222

F . Pero ahora las expresiones son diferentes alas anteriores.

Tomando como instante inicial un tiempo *t :


4/209



3

=

+=

+=

)1(

)(

)1(

32

2232

231

tCeZ

eeCtCY

eCtCX

y despejando { }1,2,3i,C i :

=

=

=

)t(1e

ZC

)]e(1t1

Z[Y

t

1C

)]e(1t1

Z[X

t

1C

23

42

21

Estas ecuaciones estn definidas para

1t

0t. Sustituyendo en las ecuaciones de las

trayectorias del medio continuo resulta:

=

+

=

+

=

Zt1

t1z

)e(1*t1

Z)e(1

t1

Z

t

tY

t

ty

)e(1*t1

Z)e(1

t1

Z

t

tX

t

tx

44

22

De esto se deduce que

1t

0t

0t

.

Si ahora se calculaj

iij

X

xF

= y su determinante, queda la condicin:

0t1

t1

t

t2

2

>

=

F

O lo que es lo mismo:

1t,1t1t,1t

0t

0t

>>


5/209



4

)t,()t,(t

)t,(

dt

)t,(d)t,( xvxv

xvxvxa +

==

donde:

[ ]Ttt 0,)ez(e,0t

=v

[ ]

+=+

=

0)ee(1

000

001

0,)ez(e,zx

z

y

x

tt

ttv

[ ]T

0,0,zx= vv

[ ]Ttt 0,)ez(e,zx = a

[ ]T22 0,ee,0)2t,(

===xxa

CR 1-4 Las ecuaciones de un cierto movimiento son:

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tttt eZYeZY2

1z,eZYeZY

2

1y,Xx +=++==

Calcular las aceleraciones que observara a lo largo del tiempo:

a) Un observador situado en el punto fijo (1,1,1) .b) Un observador que viajara con la partcula que en 0t= ocupaba el punto (1,1,1) .

c) Un observador situado en el punto (1,1,1) que midiese las aceleraciones comodiferencia de las velocidades en dicho punto por unidad de tiempo.

Resolucin:

Primero se calculan lasEcuaciones de Movimiento Inversas:

=+=+

=

+=+

t

t

t

t

e)zy(ZY

e)zy(ZY

e)ZY(zy

e)ZY(zy

+=++=

=

tt

tt

e)zy(2

1e)zy(

2

1Z

e)zy(2

1e)zy(

2

1Y

xX

y ahora la velocidad:

++

+=

=

tt

tt

Z)e(Y2

1Z)e(Y2

1

Z)e(Y2

1Z)e(Y2

1

0

t

)t,(),(

XxXv t

Utilizando las Ecuaciones de Movimiento Inversas se obtiene la descripcin espacial de la

velocidad:


6/209



5

=

y

z

0

)t,(xv ( 1 )

Para calcular la aceleracin se procede de la misma manera:

+

++=

=

tt

tt

Z)e(Y2

1Z)e(Y2

1

Z)e(Y2

1Z)e(Y2

1

0

t

)t,(),(

XvXa t ( 2 )

Y con lasEcuaciones de Movimiento Inversasse deduce la descripcin espacial de la aceleracin:

=

z

y

0

)t,(xa ( 3 )

a) Se tiene que utilizar la expresin ( 3 ) para ( )T

1,1,1*x = :[ ]

T1,1,0)t,( == xxa

b) Se tiene que utilizar la expresin ( 2 ) para ( )T1,1,1*X = :

[ ]Ttt e,e,0)t,( == Xxa

c) Se tiene que calcular la derivada local de ( 1 ), y como no depende de t explcitamente,sta ser nula. No depender ni de t ni de x:

[ ]T0,0,0t

)t,(=

xv

CR 1-5Dado el campo de velocidades [ ]T0,y,at=v :

a) Determinar las ecuaciones de las lneas de corriente y trayectorias.b) Determinar los posibles valores de los parmetros y , para los cuales la funcin

Cyet)z,y,f(x, !t = , donde 0C es una constante, define una superficie material.

Resolucin:

a) Las trayectorias cumplen las siguientes ecuaciones:

3

t2

12

Cz0dt

dz

eCyydt

dy

Cat2

1xatdt

dx

==

==

+==

e imponiendo la condicinXx

= para 0t = , se obtiene la Forma Cannica de lasEcuaciones de Movimiento:


7/209



6

Zz

Yey

Xat2

1x

t

2

==

+=

Las lneas de corriente cumplirn:

3

2

1

Czd

dz

eCyyd

dy

Catxatd

dx

==

==

+==

0

b) t)z,y,f(x, define la superficie material }0t)z,y,f(x,|{:t == x , y por lo tanto deber

cumplir:

( )T1!t

!t

t

0,ye!,0f

yet

f

t0ft

f

dt

df

=

=

=+=

xv

!t ye!f = v

t0y)e!(ye!yedt

dft

!t!t!t =+=+= x

tx =

0Cyet)z,y,f(x, !t )!C(y)e!(Cye !t!t +=+=

=+=+ t0)!C(t0y)e!( t!t

x

0! =+

CR 1-6 Dado el siguiente campo de velocidades (descripcin espacial) en coordenadascartesianas: ( )[ ]Ttz,y,x =v , y la superficie:

{ }0Cez)y(xet)z,y,F(x,|:2t2222t

t =++== x

donde 0C es una constante, determinar ( )t sabiendo que las partculas que estnsobre dicha superficie son siempre las mismas.

Resolucin:

F define la superficie material }0t)z,y,F(x,|{:t == x , y por tanto deber cumplir:

t0F)t,(t

F

dt

dFt =+

= xxv

donde


8/209



7

2t2222t e2tz)y(x2et

F +=

=

2

t

2t

2t

2ze

2ye

2xe

F

( )( ) ( )te2ze2ye2xFtz,y,xF2t22t22t2 ++== v

resultando finalmente: t0t)e(t)(2z tt2 2 = x

Por otra parte:

tx =++

0Cez)y(xet)z,y,F(x,2t2222t [ ]

2t222t2e)y(xeCz

+ +=

[ ] =+= tyx,0t)(t)()y(xeC2t)e(t)(2z 222tt2 2

t(t)=

CR 1-7

a) Obtener la divergencia en el punto ( )T0,0,0 del campo vectorial definido encoordenadas esfricas por rev ar= .

b) Justificar que, en el caso ms general, para cualquier campo vectorial como el de laFig.1 ( convergente hacia el punto A ) o el de la Fig.2 (divergente desde el punto A ), el

valor de la divergencia en A es negativo y positivo, respectivamente.

Resolucin:

a) El campo de velocidades en coordenadas esfricas es el siguiente:

==

=

0v

0v

arvr

La definicin de divergencia en coordenadas esfricas es:

+

+

= v

sen

1)senv(

sen

1)v(

1 22 rr

rrr rv

En este caso particular queda as:

3ar

3ar)(ar

rr

12

23

2 ==

=v

Fig.1

A

Fig.2

A


9/209



8

Para el caso de la Figura 1 resulta 0a< ya que el vector velocidad tiene diferentesentido que las rcrecientes, y por tanto, la divergencia es negativa.

Para el caso de la Figura 2 resulta 0a> ya que el vector velocidad tiene el mismosentido que las rcrecientes, y por tanto, la divergencia es positiva.

b) Para demostrarlo, se toma un volumen diferencial que envuelva el punto A y se razonasobre l:

FIGURA 1:Los vectores n y v tienen diferente sentido, ya que n es el vector unitarioexterior del volumen dV y v va hacia dentro. Por tanto su producto sernegativo.

0)(

0

)(=

=

A

VdV

AdV

dSdV

dVdVv

nvv

vv


10/209

1 Descripcin del movimiento Problemas Resueltos


9

PROBLEMAS RESUELTOSPROBLEMAS RESUELTOSPROBLEMAS RESUELTOSPROBLEMAS RESUELTOS

PR 1-1 Para el siguiente campo de velocidades:

( )zyx,fv,0v,0v zyx ===

Se pide:a) Hallar las trayectorias y las lneas de corriente indicando cmo son.

b) Dada la funcin ( ) ( ) tx

fxyzLntz,y,x,g

= , determinar el valor de y)f(x, para que

0t)z,y,g(x, = sea una superficie material.c) Determinar la densidad sabiendo que en 0t = , ( ).= yx,fd) En el instante 1t = , y en los puntos de una superficie esfrica de centro (0,0,0) y radio

R, se vierte un colorante. Obtener la ecuacin de la mancha a lo largo del tiempo.e) Para el caso particular Ay)f(x, = , calcular la cantidad de masa por unidad de tiempo

que atraviesa la superficie cilndrica de la figura cuya directriz tiene longitud L y estcontenida en el plano xy . ( )5Tema

Resolucin:

a) Para hallar las trayectorias se debe integrar la descripcin espacial de la velocidad ya que:

( )t,td

dxv

x=

Se puede aplicar la igualdad componente a componente, y al particularizarla para este

problema resulta:

1x Cx(t)0vtd

dx===

2y Cy(t)0vtd

yd===

zy)f(x,vtd

zdz == z)C,f(C

td

zd21 = = dt)C,f(Cz

dz21

( ) kt)C,f(CzLn 21 += t)C,f(C

321eCz(t) =

Para obtener la expresin en forma cannica se impone que:

Xx =(0)

rea Sx

y

z

L


11/209



10

ZCz(0)

YCy(0)

XCx(0)

3

2

1

======

La ecuacin de las trayectorias es:

( ) tY,XfeZz

YyXx

=

== ( 1 )

Para hallar las lneas de corriente, se tendra que integrar el campo de velocidades respecto , pero en el problema el campo de velocidades en descripcin espacial no depende

explcitamente del tiempo, 0v

=

t, es decir, el campo de velocidades es estacionario y, por

tanto, las lneas de corriente coinciden con las trayectorias. La ecuacin de las lneas decorriente ser entonces:

( )=

==

21,Cf

3

2

1

eXCz

Cy

Cx

C

Las trayectorias (y las lneas de corriente) son verticales ya queslo vara la componente z , debido a que el campo de

velocidades es vertical. Como las lneas de corriente son susenvolventes tambin deben ser verticales.

b)Recordar que ( )t,x essuperficie material si, y slo si, su derivada material es nula:

( ) ( )( ) 0t,

t

t,t,d=+

=

xvxx

dt

Se tiene la superficie definida por:

0tx

fLn(xyz)t)z,y,g(x, =

=

Se calcula su derivada material y se iguala a cero.

x

y)f(x,

t

g

=

[ ] )yf(x,xyxyz

1zy)f(x,

z

gv

z

g

y

g

x

g

vvvg zzyx ==

=

= v

La derivada material resulta:

y

z

x


12/209



11

0y)f(x,x

y)f(x,

dt

dg=+

=

Si se toma 0y)f(x, :

0y)f(x,x

y)f(x,

=+

y)f(x,xy)f(x,

=

1xy)f(x,

y)f(x,

1

=

( )[ ] 1y)f(x,Lnx

=

( ) )(yxy)f(x,Ln +=

x(y)x e(y)"ey)f(x, == +

Por tanto, g es material si, y slo si,

( ) ( ) xeyyx,f =

Para el caso ( ) 0yx,f = se tiene que ( ) 0xv =t, , es decir, el medio continuo est en reposo y,por tanto, toda superficie es material.

c) La densidad verifica la siguiente ecuacin de continuidad:

t),(

0

XF

= , siendo

X

xF

= .

Expresada en componentes resulta:

j

iij

X

xF

= .

Teniendo en cuenta las ecuaciones de movimiento ( 1 ), se pueden calcular lascomponentes de F :

=

=tY)f(X,e**

010

001

Z

z

Y

z

X

z

Z

y

Y

y

X

y

Z

x

Y

x

X

x

F

Los valores *no se necesitan y por ello no se explicitan.

El determinante de ( )t,XF es:tY)f(X,et),( =XF

En el enunciado se dice que en 0t = , ( )yx,f= , es decir, segn las expresiones ( 1 ),( )YX,f0= .

( ) ( )

( )tYX,fe

YX,ft =


13/209



12

d)Se pide hallar la ecuacin de la mancha a lo largo del tiempo, es decir, la descripcinespacial de la superficie material de las partculas que en 1t = estaban sobre la esfera decentro el origen de coordenadas y de radio R.

En 1t= la mancha es una esfera pero no se sabe las partculas que la constituyen:

0R-(z*)(y*)(x*) 2222 =++

Introduciendo las ecuaciones del movimiento ( 1 ) particularizadas en 1t = ,se averiguala posicin inicial de las partculas que forman parte de la esfera en 1t = . Como es unasuperficie material, stas formarn la mancha para todos los tiempos (identificacin delas partculas):

1Y)(X,feZz*

Y*y

Xx*

=

==

0ReZYX 2Y)f(X,2222 =++

que es la expresin material de la superficie material. Se busca la descripcin espacial,por lo que se debe sustituir en la expresin anterior las ecuaciones inversas delmovimiento:

ty)f(x,ezZ

yY

xX

=

==

0Reezyx 2y)f(x,2ty)f(x,2222 =++

( ) ( ) 0Rezyx 2yx,ft-12222 =++

e) La cantidad de masa por unidad de tiempo que atraviesa una superficie se define de lasiguiente forma:

= SS dSnv ( 2 )Para este problema y segn el apartado c), la densidad tiene la siguiente expresin:

At

A

e=

Se observa que la densidad no depende de los puntos del espacio, sino que nicamentelo hace del tiempo, por lo tanto puede salir fuera de la integral.

Y si la superficie encierra un volumen V y aplicamos el Teorema de la Divergenciaqueda:

== VSS dVdS vnv ( 3 )Se calcula ahora el flujo de masa a travs de cada superficie utilizando la expresin ( 2 ) yluego el flujo total mediante la ( 3 ). As se despeja el resultado final.

Vamos a denominar a las diferentes superficies de la siguiente manera:

Sup. 1: la contenida en el plano z-y y con 0x = .Sup. 2: la contenida en un plano paralelo al z-y y con Lx = .


14/209



13

Sup. 3: la contenida en el plano y-x y con 0z= .Sup. 4: la superficie irregular que cierra finalmente el volumen V .

Flujo de masa a travs de la superficie 1:

0dS0dS)(dS1 11

1 S S1

SS ==== evnv


0dS0dSdS2 22

2 S S1

SS ==== evnv


0dS0AzdSAAzdSdS)(dS333 33

3 SSS S3

SS ====== evnv

Flujo de masa a travs de todas las superficies:

ALSAVdV)A00(dV)z

v

y

v

x

v(dV

V

z

V

yx

VS ==++=

++

== n

Por lo tanto, se puede encontrar4S

de la siguiente manera:

4321 SSSSS +++=

3214 SSSSS ++=

ALS000#ALS4

==S

Y finalmente, el flujo a travs de la superficie cilndrica, formada por las superficies 3 y

4, es: ALS043 SS +=+

ALSS =

_____________________________________________________________________

PR 1-2 La descripcin espacial del campo de velocidades de un fluido perfecto es:

( )T

zt v,

t1

y,ezt,

+=xv

La descripcin material del campo de presiones es ( )t1

eZ21t,

t

20 +=

Xp , siendo ctte0= .

Se sabe tambin que la superficie ( ) ( ) 0ket1zxtx, t =++= es una superficie material.Se pide:

a) Ecuacin de las trayectorias y de las lneas de corriente.b) Las fuerzas de volumen que originan el movimiento. ( )4Temac) En el punto *x se produce un vertido en el intervalo [ ]t,tt 21 . Obtener la ecuacin

de la lnea de traza y la posicin de sus puntos inicial y final.d) Calcular el flujo de masa que atraviesa la superficie de la esfera de centro en (1,1,1) y

radio R. ( )5Tema


15/209



14

Resolucin:

a) En primer lugar, hay que utilizar la informacin sobre la superficie para podercompletar el campo de velocidades espacial, ya que el enunciado no da explcitamentela componente zv . Que dicha superficie sea material significa que todas las partculasque la componen son siempre las mismas, y expresado matemticamente queda:

0tdt

d=+

=

v

( )zv

t,0vt)e(1zet))(1ez(e

t)e1(,0,1

)t)(1ez(et

z

ztttt

t

tt

=

=++++

+=

++=

T

Por lo tanto:T

t z,t1

y,ze),(

+=txv

Ahora ya se puede calcular las trayectorias segn la ecuacin:

)t),t((dt

)t(dxv

x=

de la que resultan 3 ecuaciones diferenciales ordinarias de 1erorden:

tZezzdt

dz ==

ZtXxZeZezedt

dx ttt +====

)t1(Yyk)t1ln(ylnt1

dt

y

dy

t1

y

dt

dy

+=++=+=+=Las ecuaciones de las trayectorias son:

tZez

t)Y(1y

ZtXx

=

+=+=

( 1 )

Para las lneas de corriente se debe cumplir:

)t,,C,C,C()t),(()(

321 ==

xxxv

x

d

d

donde t es fijo al integrar.

$3eCzk$zlnd$

z

dzz

d$

dz =+===

1$t

3t$

3t CeCxeeCze

d$

dx+===

t1

$

2eCykt1

$lny

t1

d$

y

dy

t1

y

d$

dy +=++

=+

=+

=

Las ecuaciones de las lneas de corriente son:


16/209



15

$3

t1

$

2

1t$

3

eCz

eCy

CeCx

+

=

=

+=

b) En el caso de un fluido perfecto se tiene que su tensor de tensiones es esfrico:1p=

Y por lo tanto, sustituyndolo en laEcuacin de Cauchy nos queda lo siguiente:

ab =+ p ( 2 )

Para calcular la aceleracin a partiendo de la velocidad nicamente se ha de calcular laderivada material respecto del tiempo. Si se toma la expresin espacial de la velocidad

t),(xv

se tiene que:)t,()t,(

t

)t,()t,( xvxv

xvxa +

=

Pero si se trabaja con la expresin material t),(Xv :

dt

)t,(d)t,(

XvXa =

Se operar con esta segunda expresin utilizando las ecuaciones ( 1 ):

ZeZet),(vzet),(v ttxt

x ===

Xx

Yt1

t)Y(1

t),(vt1

y

t),(v yy =++

=+= Xxt

zz Zet),(vzt),(v == Xx

Derivando se obtiene la aceleracin:

[ ]TtZe,0,0dt

),(d)t,(

== tXv

Xa

e invirtiendo las ecuaciones ( 1 ), se obtiene la expresin espacial:

[ ]T

z,0,0)t,( =xa

La expresin de la presin p viene en el enunciado de forma material, pero con lasinversas de las frmulas ( 1 ) se puede calcular la expresin espacial. El gradiente secalcula de la siguiente forma:

Tt0

T

t1

ze,0,0

z

)t,(,

y

)t,(,

x

)t,(

+

=

= xxx ppp

p

Para calcular la densidad se utiliza la frmula:

)t,(

)0,()t,(

XF

Xx

=


17/209



16

donde )t,(XF es el Tensor Gradiente de la Deformacin

=j

iij

X

xF y la densidad inicial

0)0,( = X :

t

tt)e1(

e000t10

t01

)t,(

+=

+= FXF

t1

e t0

+

= ( 3 )

nicamente falta sustituir estos resultados en la ecuacin ( 2 ) y despejar b :

[ ]T2z,0,0)t,( =xb

c) Las partculas que pasan por el punto *x durante el intervalo de tiempo [ ]21 t,tquedaran manchadas por el vertido si ste fuese un colorante (es una manera de

visualizar el problema).Para detectar estas partculas (lnea de traza) basta imponer:

=+

=

==

==

+=

+=

ezZ1

yY

ezxZxX

ZezZez

)1Y(y

ZXx

( 4 )

Sustituyendo estas partculas ZY,X, ( 4 ) en las ecuaciones ( 1 ), se obtiene la

descripcin del movimiento de la lnea de traza:

tt

%

ezZez

1

t1yt)Y(1y

)t(ezxtezezxZtXx

==+

+=+=

=+=+=

Para cada instante t , se puede visualizar la lnea de traza segn el parmetro , que dala situacin espacial de las partculas tintadas.Se puede comprobar que para =t se debe cumplir:

=

=

=

zz

yy

xx

ya que lo que indica es que la lnea de traza est pasando por el punto de vertido.Ahora hay que delimitar esta lnea para cada tiempo t :

En este caso, el primer punto que se tinta es el que pasa por el punto de vertido para

1t= , mientras que el ltimo estar pasando, en el instante t= , por el punto de

vertido.


18/209



17

Un extremo es = t *xx =

El otro extremo es = 1t

tt

1

1t

1

1

ezz

t1

t1yy

t)(tezxx

=

++=

=

Para 2tt> los extremos son los correspondientes a:

= +

+=

=

=

tt 1

1t

1

1

1

ezzt1

t1yy

t)(tezxx

t

= +

+=

=

=

tt 2

2t

2

2

2

ezzt1

t1yy

t)(tezxx

t

d) El flujo de masa que atraviesa cualquier superficie se define de la siguientemanera:

= S dS)( nvY si se trata de una superficie cerrada que encierra un volumen , se puede aplicar elTeorema de la Divergencia:

= dV)( v

21 ttt

lnea de traza2t=

1t=


19/209



18

Por otra parte, segn laEcuacin de Continuidad(local, espacial):

t)(0)(

t

==+

vv

y como se ha obtenido la expresin de la densidad en ( 3 ), se puede calcular suderivada local:

2

t0

t)1(

te

t +

=

Hay que darse cuenta que dicha derivada es constante en el espacio. As, nicamentehay que sustituir:

=

= VdV tt

3

2

t0 R

3

4

t)1(

te

+

=


20/209

1 Descripcin del movimiento Cuestiones Propuestas


19

CUESTIONES PROPUESTAS

CP 1-1 Definir descripcin material y espacial de un movimiento.

CP 1-2 Enunciar e interpretar fsicamente las condiciones que debe verificar la formacannica de la ecuacin de movimiento: x X= ( , )t

CP 1-3 Definir y escribir las ecuaciones de:

a) Lnea de corriente.b) Trayectoria.c) Lnea de traza.

CP 1-4 Razonar si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones:

a) Dos lneas de corriente, correspondientes a un mismo instante de tiempo, no puedencortarse nunca, salvo que la velocidad en el punto de corte sea nula.

b) Dos trayectorias distintas no pueden cortarse nunca.c) Dos lneas de traza, correspondientes a dos puntos de vertido con el mismo periodo de

vertido, pueden cortarse en uno o ms puntos.

CP 1-5 Justificar si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones:

a) En rgimen estacionario, las trayectorias y lneas de corriente coinciden.b) Si un cierto flujo tiene como trayectorias y lneas de corriente rectas paralelas al eje x,

dicho flujo es estacionario.

CP 1-6 Dado el siguiente campo de velocidades (descripcin material):

[ ]T311At CX,BtX,XAe=v

con A , B y C constantes, obtener su descripcin espacial y las condiciones que debencumplir A , B , C para que el movimiento sea factible para


21/209



20

a) Un observador situado en el punto del espacio (1,1,1) que midiera la densidad de laspartculas que van pasando por dicho punto.

b) Un observador que viajara con una partcula que en el instante 1t= ocupaba laposicin (1,1,1) , midiendo su densidad.

CP 1-9 Dado el campo de velocidades de un medio continuo (descripcin material) :

0v,eYv,(t)Xtd

(t)dXv Z

tYX ===

=

obtener la expresin ms general de la funcin )t( sabiendo que el movimiento esestacionario (la configuracin de referencia se considera en 0t= ).

CP 1-10 Justificar si es cierta o falsa la siguiente afirmacin: Las trayectorias y lneas de

corriente asociadas al campo de velocidades { }3,2,1i,eX)t,(v t

ii =X coinciden.

CP 1-11 Calcular las trayectorias y lneas de corriente asociadas al campo de velocidades:

{ }32,1,i,t)(1

xv ii +

= y comprobar si coinciden o no. Razonar el resultado.

CP 1-12 En un fluido, con el siguiente campo de velocidades:

[ ]T2t2 0y,,ey =vse vierte un colorante desde el instante 1t = hasta el instante 2t = en el punto (1,1,1) .

Obtener la ecuacin de la lnea de traza en el instante 5t = y las coordenadas de suspuntos inicial y final.

CP 1-13 En el punto (1,1,1) del interior de un fluido, se vierte un colorante desde elinstante 1t = hasta el instante 2t = . Si la ecuacin de las lneas de corriente es :

t23

t$2

t$1 eCz,eCy,eCx

===determinar la ecuacin de la lnea de traza, indicando los puntos inicial y final de la mismapara 5t = .

CP 1-14 La descripcin espacial del campo de velocidades de un fluido es:

[ ]Ttt 0,ze,ye=v

En el instante 1t = se vierte un colorante en el plano 0y = . Obtener la ecuacin espacialde la mancha a lo largo del tiempo.

CP 1-15 Un movimiento viene definido por el campo de velocidades:T

t1

z,t1

y,

t1

x

+++=v

Razonar si la superficie { }0zyxt3|:t =++= x es material.


22/209



21

CP 1-16 Dado el campo de velocidades:T

2t

z,2t

y,

2t

x

=v , demostrar que cualquiera

de las superficies { }tRzyx|: 2222t =++= x , donde R es una constante, es unasuperficie material.

CP 1-17 Dado el campo de velocidades:T

2t

z,2t

y,2t

x

=v , y sabiendo que la superficie

{ }&t!zyx|: 222t +=++= x es material, encontrar todos los posible valores de ! y & .

CP 1-18 Dado el campo de velocidades: ( )[ ]Tz,y,tx=v , y la superficie definida por la

funcin )z(yeext)z,y,F(x, 222tt2 2

++ , determinar t)( sabiendo que las partculas

que estn sobre dicha superficie son siempre las mismas. Obtener las trayectorias y lneasde corriente justificando si coinciden o no.

CP 1-19 Sea un movimiento definido por la siguiente ecuacin de sus lneas de corriente:

3$

2t$

21 Cz,eCy,f(t)eCCx ==+= +

y sea la superficie material { }tt ytexz|: == x . Obtener la ecuacin de las trayectorias

en forma cannica del movimiento as definido


23/209


24/209

1 Descripcin del movimiento Problemas Propuestos


23

PROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOS

PP 1-1 Para el movimiento definido por el campo de velocidades:0v;yv;yev zy

tx ===

Se pide:

a) Hallar las trayectorias en forma cannica y las lneas de corriente.b) Obtener la expresin de la densidad sabiendo que su valor en el instante 0t = es 0 .c) Calcular la cantidad de masa que por unidad de tiempo atraviesa la superficie cilndrica

S de la figura. ( )5Temad) Obtener la ecuacin espacial de la superficie material que, en el instante 1t = , era una

esfera de centro (0,0,0) y de radio R.e) Calcular el volumen encerrado por dicha superficie material en el instante 2t = .

( )2Tema

PP 1-2 Para el movimiento definido por el campo de velocidades:

ct

zv;byv;2axv zyx +

===

Se pide:

a) Hallar la ecuaciones de las trayectorias en forma cannica y la ecuacin de las lneas decorriente.

b) Determinar los posibles valores de a , b y c para que el movimiento tenga sentidofsico para ),0[t . (Para el resto del problema considerar 1cba === )c) Obtener la expresin de la densidad sabiendo que su valor en el instante de referencia

0)(t = es ctte0= .d) Calcular el flujo de masa que atraviesa la superficie cilndrica S de la figura. ( )5Temae) Obtener la descripcin espacial de la superficie material que en el instante 1t = era una

esfera de radio Ry centro en (0,0,0) .f) Calcular el volumen encerrado por dicha superficie en el instante 2t = . ( )2Tema

a

S

x

y

a a

h

x

y

z

S


25/209

1 Descripcin del movimiento Problemas Propuestos


24

PP 1-3 Un medio continuo tiene el siguiente campo de velocidades, en descripcinespacial:

[ ]Tt-22 z,0,ez=vSe pide:

a) La ecuacin en forma cannica de las trayectorias y lneas de corriente, tomando comoinstante de referencia 0t = .

b) La ecuacin espacial a lo largo del tiempo de una superficie material que en el instante1t= es una superficie esfrica de centro en (0,0,0) y radio R. Obtener el volumen

encerrado por dicha superficie en el instante 0t= . ( )2Temac) La longitud, en el instante 2t = , de un segmento que en el instante 1t = es recto y une

los puntos (0,0,0) y (0,0,1) . ( )2Temad) Suponiendo que se admite una ecuacin constitutiva elstica-lineal entre las tensiones

de Cauchy y las deformaciones de Green-Lagrange respecto a la configuracin 0t = ,obtener la expresin de las fuerzas de volumen necesarias para mantener elmovimiento. ( )4Tema

NOTA:

( )cttes,2

22

222

+=

++++=+ijllijij EE

xaxLnaxaxdxxa

A

y

x

h

A

S

x

y

z


26/209

Cuestiones Resueltas

2000-2004 by: X. Oliver&C. Agelet de SaracbarE.T.S. Enginyers de Camins, Canals i Ports (Universitat Politcnica de Catalunya)

( )

=

)et(2e0te

000

te00

t,ttztz

tz

xe

0t = 2t = a(0,0,0) b(1,1,1)

2t = 0t =

t

dSds

211 =

=

tet

t

( )T111

31=t

Xx

Yy

Zz

0t=

dS

y

z

2t=

ds


27/209



[ ] t

ttztz

tz

te31

31

1

1

1

)et(2e0te

000

te00

11131 =

= tet

22tt e341

1

te321

1

+=

+=

=

3111

=

=

== b

a

b

a

B

AAB dsdsdSl

2AB e43 +=l

2133322311 AXAXXx,AXXx,AXXx +==+=

A

E F

)(

2

1 T

= FFE

F

=

=1AA

A10

A01

X

x

j

iF

+++

=

=

2

22

22

TT

2A100

0A1A

0AA1

;

1AA

A10

A01

FFF

E

=

200

011

011

A21 2E

==

0AA

A-00

A00

FJ


28/209



A

==

0AA

A00

A00

)(21 TJJ

=

=0

A

A

12

31

23

XFx dd =

++= F

=+==

000

000

000

)(21 T JJE

( ) Xx dd

+=

( ) ( ) ( )Z1au;XaY1au;X1au 3Z12Y1X =+==

1a 2a 3a

Z XZ

=+=

+=+==+=

ZauZz

X

aYauYy

XauXx

3Z

12Y

1X

321

3

21

1

aaa

a00

0aa

00a

=

= FF


29/209



1aaadVdV 3210 === FF

Z

1E2121 =+=+== zzzzdSds TET

+==

1a00

01aaa

0aa1)(1a

2

1)(2

1

23

2221

212

1

TFFE

=

===+

1a

1a0E12E1

3

3

zzzz

XZ

XZ 1dX 2dX

2

3

2222

11

1

1111

dS

a

0

0

dddS

1

0

0

d

dS

0

a

a

dddS

0

0

1

d

==

=

==

=

XFxX

XFxX

2131

31

3

1121 dSdS

0

aa

aa

a00

0aadd

=

=

kji

xx

21

2

31

2

31

21

dSdS)aa(

a(afinalrea

dSdSinicialrea

+=

=

1aaaa1)aa()aa( 2

3

2

1

22

3

2

1

2

31

2

31 =+=+

1a2

3=

=+ 1)1(a 221

+

+=

2

2

1

1

11

1

a


30/209



1a,

1a,

1

1a:4Solucin

1a,

1a,

1

1a:3Solucin

1a,1a,1

1a:2Solucin

1a,

1a,

1

1a:1Solucin

32

22

1

32

22

1

32

22

1

32

22

1

=+=+

=

=+=+

=

=+=+

=

=+=+

=

mXZz,Yy,mZXx ==+=

m A(0,0,0) R

2

j

im1

10m

010

m01

X

x+=

=

= FF

F

=== 000 VVdVdVdVdV FFF

32

3

4)m(1V +=

OA p)(1+ AOB q

( )r1+ 1sr,q,p,


31/209



F E

x

p1

OAp)(1OA

OA

dX

dXOAx

inicialfinal

inicialx

A

Ox

A

O xfinal +=

+=

===

pp11 xxxxx =+=+=

2qq2

2finalngulo

2inicialngulo

xyxyxyxy

xy

====

+=

=

F z

=

=

=

=

+

+

+

=+=

=

(z)u0y

u

x

u

y)(x,u

y)(x,u0

z

u

z

u

z

u1

y

u

x

u

z

u

y

u1

x

u

z

u

y

u

x

u1

F00

0FF

0FF

zzz

y

xyx

zzz

yyy

xxx

33

2212

1211

JF

00x

u

z

u

2

1xz

zxxz ==

+

=

00x

u

z

u

2

1xz

zxxz ==

+

=

s

s1

1z

u

zz

z

zz

zz =

+=

=

=

++=

F

033= zzF

s1F1F zzzzzz +=+=

10dd

= FAFA

F

+

=s100

0BB

0BB

2212

1211

F


32/209



B F

=

2212

12111

CC

CCB

+

=

s1

100

0CC

0CC

2212

1211

1F

+

=

=

0

10

0

0

dAs1

10

0

d

dA

0

0

d FAA

( ) 1tr += F

( ) pr

dAs1

1sp1dA

r)dA(1dA

yy0yy

0

=

++++=

+=

=

s00

0pr2

q

02

qp

ate= ( )cttea=

x

CXexdXedxedX

dx

dS

ds atatat +=====

Xx= 0t=


33/209



===

Zz

Yy

Xex at

=

=

===

0v

0v

axaXedt

dxv

z

y

atx

( )

+

=i

j

j

iij

x

v

x

v

2

1d

=

000

000

00a

d

( ) ( )( )tt, XfXu ==

0t = ( ) ( ) t0,t, == XEX

FdFE = T

0t = ( )=F

( )( ) ( )( )0,0,0,0, xXDxXE =

D 0t = Xx=

ij==

=

+

=

+

=

ij

ij

i

j

j

i

i

j

j

iij

d0tpara

dt

d

x

u

x

u

2

1

dt

d

x

v

x

v

2

1)0,(d x

)0,()0,( XXE =

u

tX

f

X

f

2

1

X

u

X

u

2

1

i

j

j

i

i

j

j

iij

+

=

+

=


34/209



A

+

=i

j

j

iij

X

f

X

f

2

1A t

tA=

=

=+=

)0,()0,(

)0,(

t)0,()0,()t,(

XEX

0X

XXX

t)0,(),( XEX =t


35/209


36/209

Problemas Resueltos


( )ctte=F

O A B p""

AC 2/p

AOC 45

p""

AOC 90 45

1


37/209

Problemas Resueltos


12

O

=+

=

0

0

0

0

0

0

0

0

0

CCF

=

=

31

21

11

Fa

Fa

Fa

0

0

a

0

0

a

F

0F

0F

1F

31

21

11

===

=

=

32

22

12

Fa

Fa

Fa

0

a

0

0

a

0

F

0F

1F

0F

32

22

12

=

==

=

33

23

13

F00

F10

F01

F

inicialfinal pVV =

0f dVdV F= F t F

0

V

0

V

0

V

ff VdVdVdVV

00

==== FFF

pF33==F

inicialAC,finalAC,2

pll =

F

AC

=

==

ap

aF

aF

a

0

0

p00

F10

F01

23

13

23

13

CC XFx

( )==== ap,aF1),a(F(a,0,0)ap),aF,(aF 23132313CAfinalAC, ll

( ) apa22

pl

2

ppF1)(Fa(ap))(aF1)a(F AC

2223

213

2223

2

13 ===++=++=

=+=++ 0F1)(FppF1)(F 2232

1322

232

13


38/209

Problemas Resueltos


0F;1F 2313 ==

=

p00

010

101

F

p

4/45AOC final ==

=

===

=

===

p

0

1

1

0

0

p00

010

101

dd)1,0,0(d

0

0

1

0

0

1

p00

010

101

dd)0,0,1(d

)2()2()2(

)1()1()1(

XFxX

XFxX

2

2

dd

dd45cos)AOC(cos)2()1(

)2()1(

final ===

xx

xx

1dd,p1d,1d )2()1(2)2()1( =+== xxxx

1p2

1

2

2

p1

1

2===

+

0p>=F 1p=

=

F

XFx =

+

=

=

100010

101

( )

==

0

0

Z

t, XxXU

( )

=

0

0

z

t,xu


39/209

Problemas Resueltos


t),(XU J

====

=

=

LXX

0XX

ZY

U

ZY,,0UZY,X,,0UU

LLL

xxxXX ;e;E

z

z


40/209

Problemas Resueltos


XFXF ,t,)t(=t),(

( )t,XU

J JF +=

F J J

CXJUXJU

XJUXJUX

XUJ

+==

==

=

dd

dddd)t,(

C

CXJU(X) +=

J C

ZY,X,,0UU ZY == ZY,,0U

0XX ==

ZY,,ULXX ==

3333231Z

2232221Y

1131211X

CZJYJXJU

CZJYJXJU

CZJYJXJU

+++=+++=+++=

0CJJJZY,X,,0U 2232221Y =====0CJJJZY,X,,0U 3333231Z =====

0CJJZY,,0U 113120XX =====

LJLJYU 1111LXX

==,,==


41/209

Problemas Resueltos


=

=0

0

0

;

000

000

00L

CJ

=+=0

0

XL

)( CXJXU

0>F

F

>+=

+

=+= 0L

1

100

010

00L

1

FJF

L>

)(:malesinfinitesinesdeformaciodeTensor

)(2

1:nesdeformaciodematerialTensor

)(2

1:nesdeformaciodeespacialTensor

T

T

1T

JJ

FFE

FFe

+

=

=

2

1

F J

+

=

+

+

=

000

000

00L

;

000

000

00L2

1

L

;

000

000

00L

1L2

1

L 2

22

2

2

/

Ee


42/209

Problemas Resueltos


XXE

x

xxe

2

1

1=L

L

2

1

,eE,

L

;L

e;L

E xxXX x

XXE

2/1E1L/ XX ==

x

xxe 1L/ = 2/1e =xx

L/


43/209


44/209

Cuestiones Propuestas


0dV)(dedV Ft

=


45/209



[ ]T

xby,ax, =v

1t =

XZz,2ZYy,4ZXx ==+=

T

t1

3z,t1

2y,

t1

x

+++=1v

T

t1

3Z,t1

2Y,t1

X

+++=2v

1v 2v

0t =

0 1v

( )0t

P 60 a b c P


46/209



tYZz,tZYy,Xx 22 +=+==

1t=

0t= A(0,0,0) B(0,1,1)

Zz,Yy,YtXx ==+=

2t= 1t=

10)(z,)(y,0)(x 2 ===

=

tY

tX

tX

te00

00te

0te0

E

1t= 0t= (1,1,1) (2,2,2)

Zz,Yy,tYXx 2 ==+=

t

2t = (0,0,0) (1,1,0)

tXZz,Yy,Xx ===

0t= tt= x z

Zz,Yy,teXx tX ==+=

0t=

0dS ( )1,1,13

1=0n


47/209



3ds 4ds 5ds %3 %6 %4

zy,x,,0u,y)(x,uu,y)(x,uu zyyxx ===

p1+

AB

q1+ AC

x

( )


48/209



+=

=

=

t)(X,Zz

Yy

t)(X,X

ZXx

X

( ) ( ) ( ) ( )t,;t, 21 XUXU =

( ) ( ) ( ) ( )213 tk UUU +=

)3()2()1( ,, EEE ( ) ( ) ( )321 ,, ( ) ( ) ( )213

k+=

( ) ( ) ( )213 kEEE +


49/209


50/209

Problemas Propuestos


=

=

z

y

x

,

Z

Y

XIII

vv

III ,EE

III ,ee

( )0t,0t

( )III ,dd ( )IIIIII ,,, eeEE

( )0t,0t ( )0t=

3at0e=

=

000

0k(t)z-h(y)

0t)z,g(x,K(t)x

(1,1,1) T

3

1

3

1

3

1=

n x

g h 0K ( )4Tema


51/209

Z)Y,(X,U

ZY,X, 0Y=

( ) ( ) = ,UU

AOB

OB 2 B ( )0w B>

U

T

A B C

AE p)(1+

q)(1+

r

Y, v

=EBC

aADACAB

===

z

O

X, u

Z, w

A

D

C


52/209



p q r

p q r

x z A

xy

yz r

AF p1+

ABE q1+

p q r

p q r

O A x B xy

z


53/209

DCBA

( ) ( ) ( ) 0U;XtU;YttU zyx ===

O-O

ZY,X,

DCBA

( )ctte=F A B C A B C O

p q

p

q

z

c1.008E'A'

b1.004D'C'

a0.996E'D'

.

.

.

=

=

=29980= 2

9960=

20051=

3

2

1

z

Z

D


54/209



p q

0q

0p

qCC'

qBB'

pAA'

>>=

==

z


55/209


56/209



=

32

2

x0zx2

3

0x2

y

zx2

3

2

y8x

(0,0,0)

( ) ( )

==

32

2

*

x0zx23

0x2

y

zx2

3

2

y8x

t, xx

(t)C0z

;0y

;0x

11111 ==

=

=

( ) zx2

3x

2

3;0;xz3

222

2222 ==

=

=

( ) y2

30;

2

3;0 33

333 +==

=

=


57/209



0),0,(0 ( )iC

=

y2

3zx2

3

0

2

( )tCy4xu0z

u;2y

y

u;8x

x

u '1

221

111 +==

=

=

( )tCxyu0z

u;x

y

u;y

x

u '22

222 +==

=

=

( )tCzxux

z

u;0

y

u;z3x

x

u '3

33

33323 +==

=

=

( )'iC

( )

=

zx

xy

y4x

3

22

xu

( )

=

0

0

0

t,

12

13

23

x

( )

=

00zx

2

3

00y2

3

zx2

3y2

30

2

2

x

( )

+

+=

01et0

1et00

00et

t,y

y

xt

xd

0x = [ ]T0 0,0,1t=w [ ] t,t,0,t T0 =v


58/209



u

d

v

( ) yy tete +==

=

=

( )tC0z

;0y

;0x

22222 ==

=

=

( )tC0z

;0y

;0x

33333 ==

=

=

=

=

=

+

=

==

0C

0C

1C

C

C

Ct

0

0

1t

:para

3

2

1

3

2

1

00x

( )

=

0

0

1te

t,

y

x

( ) tx1111tx1

etCv0z

v;0

y

v;te

x

v+==

=

=

( ) z2tCv2z

v;0

y

v;0

x

v22

222 +==

=

=

( ) y333y33

te2tCv0z

v;te2

y

v;0

x

v+==

=

=

=

=

=

+

+

=

==

1t-

: 0v0x

( )

+

=

tte2

z2

1te

y

tx

xv


59/209


60/209



=

32

2

x02

3

0x2

y-

2

3

2

y-8x

zx

zx

0)0,0,(

t

+

=03yxy30y

xyexe xx

d

( )

=zt

yt

yt

et00

00et

0et0

t,xd

(1,1,1)

[ ]Tttt e,e,e2=v [ ]Tt

et,0,02

1 == v

( )

=

00et

0et0

et00

t,

zt

yt

zt

xd


61/209


==

===

,

=

t00

01y

0y0

t),(xd

(0,0,0) )t,(xv )t,(xw


62/209

4 Tensiones Cuestiones Resueltas


61

444TTTeeennnsssiiiooonnneeesss


CR 4-1 Un medio continuo se mueve con un campo de velocidades cuya descripcinespacial es: ( ) [ ]Ty,x,zt, =xv . El tensor de tensiones de Cauchy es de la forma:

( )

=

000

0t)+z(1h(y)0t)z,g(x,y

t,x

Determinar las funciones g , h y la descripcin espacial de las fuerzas de volumen, ( )t,xb ,que generan el movimiento.

Resolucin:

El Tensor de Tensiones es simtrico y por lo tanto:

=

=

== Ct)z,g(x,

Ch(y)

t)z,g(x,h(y)

T

donde C es una constante.

Adems la divergencia del tensor es nula:

[ ]000

000

0t)z(1C

0Cy

zyx=

+

=

La Ecuacin de Cauchy queda de la siguiente manera:

ab0

ab =

==+

Y si se aplica la frmula de la derivada material sobre la velocidad:

( ) vvvvxa +==tdt

dt,

0v =

t

[ ]

=

=

001

100

010

yxz

z

y

x

v


63/209



62

[ ] [ ]xzy

001

100

010

yxz =

= vv

Las fuerzas de volumen son por tanto:

( ) [ ]T

xzyt, =xb

CR 4-2Las tensiones principales en un punto son:2=,5=,0= 321 1

En un cierto plano que pasa por dicho punto las tensiones normal y tangencial son y ,respectivamente. Razonar si son posibles los siguientes valores de y :

a) 1=,0= 1 .b) 4=,5= .c) 1=,= 3 .

Resolucin:

Se dibujar el Crculo de Mohr en 3-D para el estado tensional que se define y para lospuntos pedidos:

La zona sombreada es la zona donde es posible encontrar puntos que representen estadostensionales. nicamente hay que representar cada punto (estado tensional) y ver si cae endicha zona.

Se concluye que ningn estado tensional es posible.

Nota: en el caso c) el signo negativo de las tensiones tangenciales no se tiene en cuentaporque cuando se representa en el Crculo de Mohr en 3-D se considera el valor absoluto.Cosa que no sucede con las tensiones normales (traccin = positiva).

2=3 5=2 10=1

Punto b

Punto c

Punto a


64/209



63

CR 4-3De un estado tensional se sabe:

1) La direccin z es principal y azz= .2) La tensin media es 0am >= .

3) La tensin tangencial mxima en planos paralelos al eje z es 0bmax >= .

Dibujar, acotando los valores significativos, los Crculos de Mohr en tres dimensiones deltensor de tensiones y de su desviador.

Resolucin:

Se debe tener en cuenta primero que la nica diferencia que existir entre las doscircunferencias es que estarn desplazadas un valor m .Segn la definicin del Tensor de Tensiones Desviador se llega a la siguiente conclusin:

00aam ===== zzmzzzz1

Teniendo en cuenta que la traza es un invariante y que 0)(Tr = , entonces se cumple:

=+==

=+0

00

31

2zz

yyxx

nicamente nos queda por determinar el radio de la circunferencia mayor ( entre 1 y 3),dato que es proporcionado por la condicin 3):

CR 4-4Del estado tensional en un punto se sabe lo siguiente:

1) 1x= ( donde el eje x es una direccin principal).2) La tensin tangencial mxima en planos paralelos el eje x es igual a 3.3) La tensin tangencial mxima en planos paralelos a la tensin principal menor es 2.

Obtener todos los posibles crculos de Mohr correspondientes a dicho estado, acotando losvalores de las tensiones principales.

Resolucin:

Para resolver esta cuestin, hay que tener en cuenta la siguiente propiedad del Crculo deMohr en 3-D:

b-a ba+a

bmaxmax ==

b b

3 12

Crculo 1

Crculo 3Crculo 2


65/209



64

El crculo nmero:1 :Corresponde a planos paralelos a 3.2 :Corresponde a planos paralelos a 1.3 :Corresponde a planos paralelos a 2.

Se tienen en cuenta ahora las siguientes consideraciones:

1. x es la tensin principal mayor:

2. x es la tensin principal intermedia:

3. x es la tensin principal menor:Es imposible pues las condiciones 2) y 3) son incongruentes ya que hablan de tensionestangenciales mximas sobre el mismo plano.

CR 4-5Calcular las tensiones que actan en el estado III = I + II.

Resolucin:

93 = 1x1 ==32 =

3=

2=

13 = 51=1x2 ==

3=

2=

15

1

245 45

1 3

ESTADO I ESTADO II ESTADO III

+ =


66/209



65

Para poder sumar los dos estados, las tensiones deben actuar sobre los mismos planos.Como los dos estados presentan orientaciones diferentes, deberemos buscar las tensionesdel estado II existentes sobre los planos del estado I. Para ello, representaremos el Crculode Mohr del estado II:

Para realizar el crculo, se representan los planos a y b, ya que conocemos todas suscoordenadas. Adems, como pertenecen al eje de abcisas, definen el dimetro del crculo,por lo tanto, queda determinado.El polo se encuentra como interseccin de lneas paralelas a los planos por los puntos quelos representan. Una vez obtenido, se pasa una lnea vertical, para una plano vertical, y unahorizontal, para un plano horizontal, por el polo, encontrando as sus representaciones.

Finalmente queda:

Plano b:

=3=0

Plano c:

0

0

Plano a:

=

=

0

11 3

45 45

Plano bPlano a

Polo

Plano vertical

Plano horizontal1

1 2 3

ESTADO I ESTADO II

+ =

ESTADO III

15

1

2

12

1

2

27

2


67/209



66

CR 4-6En el medio continuo de la figura (a) se produce un estado tensional uniformecuyo valor sobre dos determinados planos es el indicado en la figura (b). Considerandoplanos tangentes a los puntos A, B, C, D, E, F, G, H, determinar dnde se producen:

a) Las mayores tensiones tangenciales, en valor absoluto.

b) Las mayores tensiones normales.c) Las menores tensiones normales.d) La mayor tensin resultante, en valor absoluto.

Indicar adems el correspondiente valor.

Resolucin:

Primero se tiene que representar el crculo del estado tensional:

Plano vertical:

>=

>=

0

0Plano inclinado:

=

+=

0

Ahora tan slo hay que fijarse en los planos que, pasando por el polo, cumplen lacondicin pedida:

max planos horizontales y verticales= max:G-E-C-A

max planos inclinados 450positivos con la horizontal += max:F-B

min planos inclinados 1350positivos con la horizontal += max:H-D

El caso que provoca mximas tensiones coincide con el apartado b), ya que corresponde al

caso de tensin principal 1

.

45

AB

C

DE

F

G

H

figura a

45

+

*

*

figura b

Plano inclinado

Plano vertical

Polo


68/209

4 Tensiones Cuestiones Propuestas


67

CUESTIONES PROPUESTAS

CP 4-1 Enunciar los siguientes postulados de la Mecnica de Medios Continuos:

a) Postulado de Cauchy.b) Principio de accin y reaccin.

CP 4-2 Deducir la ecuacin de Cauchy a partir del principio de conservacin de la cantidadde movimiento.

CP 4-3 Definir el tensor de tensiones esfrico, la tensin media y el tensor desviador yescribir las relaciones entre ellos.

CP 4-4Justificar la relacin entre las direcciones y las tensiones principales de un tensor detensiones y de su parte desviadora.

CP 4-5 Hallar la relacin entre el Crculo de Mohr correspondiente a un estado tensionalplano y el de su tensor desviador.

CP 4-6

Las componentes cartesianas del tensor de tensiones de Cauchy en un punto son:

=

0b1

a10

101

Determinar los posibles valores de a y b , sabiendo que el mdulo de la tensin tangencial

al plano cuya normal esT

2

1,0,2

1

=n toma el valor

2

3= .

CP 4-7 El slido de la figura est sometido al siguiente estado tensional en equilibrio:

( )MPaen4x5y

5yxy

=

Se pide:

a) Obtener la expresin de las fuerzas por unidadde masa sobre el mismo.

b)Obtener la expresin de las componentesnormal y tangencial de las fuerza actuantes en elcontorno (indicando su signo de acuerdo con elcriterio del Crculo de Mohr).

______________________________________________________________________

1 cm

y

1 cm

x


69/209



68

CP 4-8Se conoce la descripcin espacial del tensor de tensiones de Cauchy ( )t,x de unmedio continuo y su densidad ( )t,x . Sabiendo que no hay fuerzas de volumen, y que la

velocidad en el instante inicial es nula para todas las partculas, indicar detalladamente lospasos necesarios y las ecuaciones a utilizar para obtener la descripcin espacial delcorrespondiente campo de velocidades.

CP 4-9 Un medio continuo est sometido a la accin de unas fuerzas msicas de la forma:

( ) [ ] cttes.)ma,(,m,atx,at, T2+=xb

El correspondiente tensor de tensiones de Cauchy tiene una descripcin espacial uniforme( )( )t = . Sabiendo que en el instante de referencia 0)(t = el campo de velocidades es

nulo, obtener la descripcin espacial de dicho campo de velocidades y la ecuacin de laslneas de corriente.

CP 4-10 Una probeta cbica, inicialmente descargada, se somete a los siguientes estados detensiones. (cada uno se superpone al anterior):

1) 2zyx ===

2) 2xy=

3) 1z=

Dibujar los crculos de Mohr correspondientes a cada una de las fases del ensayo.

CP 4-11 En un punto de un slido rgido, dos de las tensiones principales son 5= y3= . Sabiendo que el mdulo de la mxima tensin tangencial que se produce en el punto

es 6= , determinar en qu circunstancias son posibles los siguientes estados tensionales:

a) 1,3 ==b) 1,5 ==c) 1,2 ==

CP 4-12 Determinar todos los posibles valores de ( )0> y ( )0> , de la figura sabiendo que la mxima tensin tangencialsobre cualquier plano en el punto es 1max= .

______________________________________________________________________

CP 4-13 El estado tensional en un punto de un medio continuo es tal que 1x = , 0xz= ,0xy= y zy . Se sabe adems que la tensin tangencial, sobre los planos paralelos al

eje x , toma un valor mximo 4*

= . Si max es la mxima tensin tangencial actuantesobre cualquier plano obtener todas las posibles combinaciones de y y z para que:

2


70/209



69

a) 6max=b) 4max=

CP 4-14 Del estado tensional en un punto de un medio continuo se sabe que la mximatensin tangencial en planos paralelos a 1 es 2

max1 = . Obtener todos los valores de 1 ,

2 y 3 que hacen posible el estado tensional 2,2 == sobre un cierto plano, en lossiguientes casos (independientes entre s):

a) La mxima tensin tangencial en planos paralelos a 2 es 2max2 = .

b) La mxima tensin tangencial en planos paralelos a 3 es 0max3 = .

c) La mxima tensin tangencial en planos paralelos a 2 es 4max2 = .

CP 4-15 Determinar para qu valores de * son posibles lossiguientes estados tensionales en planos que pasen por P :

a) 2,4 ==b) 1,4 ==c) 0,7 ==

CP 4-16 Determinar para qu valores de * es posibleencontrar un plano que pase por P cuyas tensiones normal ytangencial sean *2= y *= .

______________________________________________________________________

CP 4-17 Determinar de forma grfica todos los posibles valoresde * sabiendo que en un cierto plano las tensiones normal ( )y tangencial ( ) son:

a) 1,3 ==b) 1,1 ==

______________________________________________________________________

CP 4-18 La figura representa el estado tensional en un puntodel que se sabe que la tensin tangencial mxima sobrecualquier plano es 2max= . Dibujar los correspondientesCrculos de Mohr en 3D. A dicho estado se le aade un estadotensional hidrosttico ( )1*= . Determinar todos los posibles

valores de * para que sea posible, en un cierto plano, el

estado tensional 0,6 == .

2

6

*P

*

*

*

P

*

*

2

1

1

*

1

1

0v>

1


71/209



70

CP 4-19 Del estado tensional en un punto se sabe lo siguiente:

1) La mxima tensin tangencial en planos paralelos a 2 (tensin principal intermedia) esigual a 3.

2) La mxima tensin tangencial en planos paralelos a 1 (tensin principal mayor) es

igual a 2.3) 03= .

A este estado tensional se le suma un estado hidrosttico de tensiones de valor1-p= ( )0p . Obtener todos los posibles valores de p para los que es posible encontrar

algn plano para el cual el estado final de tensiones sea 1,3 == .

CP 4-20 Determinar todos los posibles valores de para que:

a) Exista un solo plano en el punto con tensin normal nula.

b) El estado tensional en el punto sea de cortante puro.

CP 4-21 Determinar todos los posibles valores de * y * en los siguientes casos:

a) El estado tensional es el mismo sobre cualquier plano quepasa por P .

b) La tensin normal a cualquier plano es de traccin.c) La mxima tensin principal es negativa y forma un ngulo de

30 con la horizontal .

d) La mxima y la mnima tensin principal toman el mismovalor.

NOTA : Se considerar la posibilidad de valores negativos de y * .

CP 4-22 Determinar el valor de y * en funcin de .

CP 4-23 Determinar los posibles valores de A , B y , sabiendo que la mxima tensin tangencial en elpunto es 5 .

4

4

y

x

P

60

*

5

6

B4

A

4


72/209



71

CP 4-24El estado tensional en un punto es el de la figura.Determinar todos los posibles valores de , , y *sabiendo que 5max = .

CP 4-25 Obtener todos los valores posibles de , * y ,sabiendo que en un cierto plano el estado tensional es

3= y 3= .

CP 4-26 En la figura se representan los estados tensionalessobre cuatro planos que pasan por un punto. Determinarlos posibles valores de , , 1 y 2 y dibujar loscorrespondientes estados tensionales.

CP 4-27 Determinar los valores de y para los que son posibles los siguientes estadostensionales, siendo 0> y = 5.0 :

CP 4-28 Obtener todos los posibles valores de , * ,* y para el estado tensional de la figura sabiendo

que 2max = .a) 0=

4 2

33

*

25

4

*

6

4

4

1

2

( a )

( b )

( c )

21

**


73/209



72

b) 45=

CP 4-29 Determinar todos los posibles valores de ,*

,**

,*

y ,sabiendo que el estado tensional enun punto es el de la figura y que 9max = y

5max = .

CP 4-30 Sabiendo que la mxima tensin principal es de

MPa0,5 , dibujar los estados tensionales en todos los lados delsiguiente hexgono regular:

CP 4-31 Un estado tensional plano es tal que, en el plano donde la tensin tangencial esmxima positiva (criterio del Crculo de Mohr), la tensin normal viene dada por:

0,3510 *** =

Se pide:a) Obtener el valor de las tensiones principales en funcin de * y * .b) Obtener el mximo valor que puede tomar una tensin principal en estas condiciones.

CP 4-32 Dados los estados tensionales planos I y II, determinar el valor de para que enel estado III = I + II, ocurra que:

a) No haya compresiones en ningn plano.

b) No haya tracciones en ningn plano.c) Sea un estado de cortante puro.

54

*

***

32

ESTADO I

34

3

4

ESTADO II


74/209



73

CP 4-33 Calcular el valor de para que:

a) La mxima tensin tangencial en el estado I sea mayor que la mxima tensintangencial en el estado II.

b) La mxima tensin normal en el estado I sea mayor que la mxima tensin normal en el

estado IIc) La mxima tensin normal en el estado I sea menor que la mnima tensin normal en elestado II.

Dibujar los crculos de Mohr de los tres casos.

CP 4-34 Calcular los posibles valores de , , y para que el estado tensional III seala suma de I y II. ( 0 )

CP 4-35 Obtener, en funcin de , las tensiones principales y el valor de la mximatensin cortante del estado suma de los estados I y II.

ESTADO I

3

88

ESTADO II

6

45 45

4

34

1 1

3

ESTADO I ESTADO II ESTADO III

60

60

a

3

32

b

3

3

*b

45

33

ESTADO I ESTADO II


75/209



74

CP 4-36 Dados los estados tensionales I y II, determinar los posibles valores de y de para que en el estado III = I + II se verifique que la tensin principal 2 sea positiva yforme un ngulo de 30 con el eje y .

CP 4-37 Determinar todos los posibles valores de*

para que en el estado tensional sumade I y II se verifique:

a) No existan tracciones en ningn plano.b) No existan compresiones en ningn plano.c) La mxima tensin tangencial, ( )max , sea menor que 2.d) Sea un estado de corte puro.e) Sea un estado de tensin hidrosttico.

ESTADO I ESTADO II

0

4

y

4

x

30

*

*

*

*

1

2 2

1

1

ESTADO I ESTADO II


76/209

5 Ecuaciones de conservacin-balance Cuestiones Resueltas


75

555EEEcccuuuaaaccciiiooonnneeesssdddeee

cccooonnnssseeerrrvvvaaaccciiinnn---bbbaaalllaaannnccceee


CR 5-1Justificar si son ciertas o no las siguientes afirmaciones:

a) El flujo de masa a travs de una superficie material cerrada slo es nulo si elmovimiento es estacionario.

b) El flujo de masa a travs de una superficie de controlcerrada es nulo si este flujo esestacionario.

Resolucin:

a) La afirmacin es falsa porque una superficie material siempre est formada por lasmismas partculas, y por tanto, no puede ser atravesada por ninguna partcula a lo largodel movimiento. Por este motivo, el flujo de masa a travs de una superficie material essiempre nulo, independientemente de si el movimiento es estacionario o no.

b) La afirmacin es cierta ya que laEcuacin de Continuidad aplicada a un flujo estacionarioimplica lo siguiente:

0)(

0t

ioestacionarFlujo

0)(t

dcontinuidadeEc.

=

=

=+

v

v

Resultando, as, lo que se quera demostrar:

( ) ( ) === V V dSdV 00 nvvv

CR 5-2Justificar si son ciertas o no las siguientes afirmaciones:

a) El flujo convectivo de una propiedad a travs de una superficie material es siemprenulo.

b) El caudal neto (saliente menos entrante) a travs de una superficie de control cerrada essiempre nulo.

Resolucin:


77/209



76

a) La afirmacin es cierta ya que una superficie material siempre est formada por lasmismas partculas, y un flujo convectivo implicara que alguna debera atravesar lasuperficie.

b) La afirmacin es falsa. Sera cierta si el material fuese incompresible, pero no se cumple

en general: ==== V V dSdV 00ctte nvvv

CR 5-3Para un cierto movimiento estacionario de un fluido se verifica que el caudal atravs de cualquier superficie de control cerrada es nulo. Obtener la expresin de laecuacin diferencial que se debe cumplir y que relaciona la velocidad y la densidad.

Resolucin:

Al cumplirse que el caudal a travs de cualquier superficie de control cerrada es nulo, severifica que:

VVdV

dVdS

V

VV

==

=

xvv

vnv

0,0

Si se tiene en cuenta laEcuacin de Continuidad: se puede escribir:

ble)incompresiesfluido(el0dt

d

0

0dt

d

=

=

=+

v

v

Finalmente, segn la definicin de derivada material y sabiendo que el flujo es estacionario,se obtiene:

=

=+

=

0t

0tdt

d v

0= v

CR 5-4 Un gas a presin en un recipiente de masa M sale del mismo a una velocidadestacionaria v por un conducto de seccin S . Justificar hacia dnde tender a moverse elconjunto y con qu aceleracin lo har.

Resolucin:

v

S

M


78/209



77

Suponemos por hiptesis que el peso del gas es despreciable frente al del recipiente, y quela presin atmosfrica tambin lo es frente a la presin interior.

La fuerza que actuar sobre el gas tendr la siguiente expresin si se tiene en cuenta la 2Expresin del Teorema del Transporte de Reynolds:

eevnvvvF SdSdSdVt

dVdt

dVVVV

2vvv)()( ==+==

donde:n es la normal unitaria exterior a la superficie que encierra al gas.e es el vector unitario en la direccin de la velocidad.

Por otro lado, la fuerza que acta sobre el gas es:

g/datmpresing/d FFFF =+=

Segn el Principio de Accin y Reaccinla fuerza que realiza el gas sobre el depsito ser:

=== dg/2

d/gg/d MSv aeFF

eaM

Sv2

g/d

=

CR 5-5 Un chorro de agua de seccin S , presin p y velocidad v , incideperpendicularmente sobre un disco tal y como se indica en la figura. Calcular la fuerza F a

ejercer sobre el disco en rgimen estacionario para que ste no se mueva ( atmpdespreciable).

Resolucin:

Si se tiene en cuenta la 2 Expresin del Teorema del Transporte de Reynoldsy que el rgimen esestacionario, las fuerzas que actan sobre el fluido tienen la siguiente expresin:

=+

== SVVV

dSdSdVdV )()()( vnvvnvvvFtdt

dext/f

v

FS

p


79/209

5 Ecuaciones de

x. oliver y c. agelet - cuestiones y problemas de mmc

Documents