x mÓdulo geometrÍa 1º caruajulca

ac

b

MODULO DE GEOMETRIA 1º AÑO

II TRIMESTRE

TRIÁNGULOS

DEFINICIÓN:

Es la figura geométrica formada al unir con segmentos de línea recta, tres puntos no colineales.

NOTACIÓN

ABC se lee: triángulo ABC

ELEMENTOS:

Vértices : A, B y C

Lados :

Longitud de los lados : a, b y c

Medida de los ángulos interiores :

º,º;

º

Medida de los ángulos exteriores :

xº , yº ; zº

PERÍMETRO Y SEMIPERÍMETRO

* Perímetro de la región

triangular(2p):

* Semiperímetro de la región triangular (p):

CLASES DE TRIÁNGULOS

1. Por sus ladosa) Equilátero

b) Isósceles

c)Escaleno

2. Por sus Ángulosa) Acutángulo: Tres

ángulos agudos

b) Rectángulo: 1 ángulo recto

x

x

x

x

80º

57º

Donde:

a y b : catetos

c : hipotenusa

Teorema de Pitágoras:

a2 + b2 = c2

c) Obtusángulo: un ángulo más de 90º

90º < < º

PROPIEDADES FUNDAMENTALES

La suma de medidas de los ángulos internos es 180°.

La suma de medidas de los ángulos exteriores considerando uno por cada vértice es 360°.

La medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de los ángulos interiores no adyacentes a él.

EJERCICIOS

1. Hallar x

Rpta: ________________

2. Hallar «x»

Rpta: ________________

3. Hallar «x»

x28º

70º

Rpta: ________________

04. Hallar «x»

x

45º

2x+3

Rpta: _________________

05. Calcular «a»

150º

140º

Rpta: ________________06. Hallar los ángulos de un

triángulo de un triángulo; si se sabe que los ángulos están en progresión aritmética y la razón es 24º.

Rpta: ________________

EXPLORANDO

07. Calcular « »

150º 110º

Rpta: ________________

08. Hallar « »

135º

160º

Rpta: ________________ 09. Hallar «x»

2x

4x

60º

Rpta: ________________10. Hallar «x»

6X

7

Rpta: ________________

11. Hallar «x»

x

48

x

Rpta: ________________

12. Hallar «y»

x+y

2x+y 30º

Rpta: ________________ 13. Hallar «x»

x+y

2x+y 30º

Rpta: ________________

14. Hallar la hipotenusa de un triángulo rectángulo. si sus catetos son 10 y 7m

Rpta: ________________

EXPLORANDO

15. Hallar la hipotenusa de un triángulo ABC, recto en «B». Sabiendo que los catetos son 8 y 6m.

Rpta: ________________

16. Hallar «x»

x

80°

Rpta: ________________

17. Hallar «y»

x+y

4x+y 30º

Rpta: ________________

18. En un triángulo rectángulo ABC. Hallar AC. Si AB=5, BC=4.

Rpta: ________________

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

NOTABLES

1. De 45º

2

a

aa

45º

2. De 30º y 60º

60º

a

a2a

30º

3. De 53º y 37º

53º

4a

3a5a

37º

4. De 32/2=26º30’

5 3 /2

a

a2 a

5

PROBLEMAS DE CLASE

01. Hallar ”2x+y”

5x

y45°

Rpta: ________________

02. Hallar “x+y”

5x

y

60°

Rpta: ________________

03. Hallar “x+y”

8

x

y

45°

Rpta: ________________

04. Hallar “x.y”

2 x

y30°

Rpta: ________________

05. Hallar «x» e «y»

8

x

y

45°

Rpta: ________________

06. Hallar “x”

7 3

xy

30°

Rpta: ________________

07. Hallar “x”

7 3

xy

30°

Rpta: ________________

08. Calcular “m”

m

45º

3 2

Rpta: ________________

09. Calcular “n”

n

45º

12

Rpta: ________________

EXPLORANDO

10. Calcular “x”

16

45º

x

Rpta: ________________

11. Calcular “x+y”

6 3

30º

y

x

Rpta: ________________

12. Calcular “n”

30º

n+5

2n

Rpta: ________________

13. Calcular “x+y”

15º

37º

y

x

Rpta: ________________

LÍNEAS NOTABLES DE UN

TRIÁNGULO

1. Mediana:

A

B

CM

BM: mediana

2. Bisectriz:.

A

B

CD

BD: Bisectriz3. Altura:

A

B

CQ

BQ: Altura4. Mediatriz

A

B

CM

L

5. Ceviana

A

B

CR

BR=Ceviana

EJERCICIOS

01. Hallar «x»

x

A 8 C45°

B

30°

Rpta: ________________

02. Hallar «x» si: AM es mediana, BC=22m.

x

A

B

C

M

Rpta: ________________

03. Hallar «a» AP: bisectriz

P

A C60°

B

70º

Rpta: ________________

04. En un triángulo ABC se traza la mediana BM. Si BM=AN y =80. Hallar

Rpta: ________________

05. Trazar todas las medianas de un triángulo ABC. ¿Cómo se llama el punto de intersección?

Rpta: ________________

06. ¿Cómo se llama el punto de intersección de las 3 alturas de un triángulo?

Rpta: ________________

07. Tarzar las 3 bisectrices interiores de eun triángulo ABC y decir ¿Cómo se llama el punto de intersección?

Rpta: ________________

08. Hallar el valor de «a», si

OX es bisectriz del ángulo AOB.

O

A

x

B

a+12º2a-32

Rpta: ________________

09. bisectriz del AOB.

ON bisectriz del BOC, mAOC=74º. Calcular mMON.

O

AB

C

Rpta: ________________

10. ABC es un triángulo recto en C y

M punto medio de AB . Calcular. mMCB. Si mA=64.

Rpta: ________________11. ACB es un triángulo recto en C,

mB=35º, CM es mediana y aCH ltura. Calcular mHCM.

Rpta: ________________

12. Calcular el valor de «x» si r es

mediatriz de AB . PA=12-2x y PB=3+x.

Rpta: ________________

13. Hallar «x+y». Si BM es bisectriz

y mediana AC =74m.

B

x

y

M

C

A

Rpta: ________________

14. En la figura. Hallar «y+x»

BQ=Bisectriz; AM=bisectriz; A

=80º; C =62º

x

A Q C

M

B

x

Rpta: ________________

Número de lados Nombre del POLÍGONO

Polígono de 3 lados












Triángulo

Cuadrilátero

Pentágono

Hexágono

Heptágono

Octágono

Nonágono

Decágono

Endecágono

Dodecágono

Pentadecágono

Icoságono

15. En un triángulo rectángulo ABC recto en B. Trazar la mediana BM. Hallar BM. SI AC=10m.

Rpta: ________________

POLÍGONOS

DEFINICIÓN.- Polígono es una figura que resulta de unir consecutivamente tres o más puntos no colineales mediante segmentos de línea recta no secantes y además en cada

vértice sólo deben concurrir dos lados.

Elementos:

Vértices : A, B, C, …

Lados :

Ángulos interiores : , , , …

Ángulos exteriores: e1, e2, e3, …

Diagonales :

Diagonales Medias :

CLASIFICACIÓN

A) Según su número de lados

B) Por la región que limitan- Polígono convexo.- Un

polígono es convexo cuando una recta secante lo corta como máximo en 2 puntos, o también cuando todos sus ángulos interiores son menores que 180º.

- Polígono no convexo o cóncavo.- Un polígono es no convexo cuando una recta secante lo corta en más de 2 puntos, o también cuando al menos una de sus ángulos interiores es mayor que 180º.

C) Por las medidas de sus elementos (lados y ángulos)- Polígono equilátero.-

Es aquel que tiene todos sus lados de igual medida.

- Polígono equiángulo.- Es aquel que tiene todos sus ángulos interiores de igual medida, y siempre es convexo.

- Polígono Regular.- Es aquel polígono equilátero y equiángulo a la vez.

O

En la figura el polígono ABCDEF es regular.

“O”: centro del polígono regular.

Ángulo centralEn un polígono regular el ángulo central es aquel cuyo vértice es el centro del polígono y cuyos lados contienen a los extremos de un lado de dicho polígono.

En el gráfico: AOB: ángulo central

- Polígono irregular.- Es aquel que no tiene todos sus lados y ángulos de igual medida.

PROPIEDADES GENERALES

Sea un polígono convexo de “n” lados

(n 3)

1. En todo polígono de n lados

n = lados

v = vértices

i = ángulos internos

e = ángulos externos

2. Número de diagonales trazadas desde un vértice

3. Número total de diagonales:

4. Número de diagonales medias (trazadas desde un lado):

5. Número total de diagonales medias:

6. Suma de las medidas de los ángulos internos

7. Suma de las medidas de los ángulos externos:

En polígonos Regulares y equiángulos

8. Medida de un ángulo interno:

9. Medida de un ángulo exterior y central:

10. Suma de las medidas de los ángulos centrales

PRÁCTICA DE CLASE

01. Para los siguientes polígonos regulares. Calcular su número de diagonales y ángulo interior :

Octógono

número de diagonales :

ángulo interior :

Decágono


ángulo interior :

Dodecágono :


ángulo interior :

Icoságono :


ángulo interior :

Pentadecágono :


ángulo interior :

02. El polígono regular cuyo ángulo interno mide:

A. 150º, se llama ....................... y tiene ..................... diagonales .

B. 156º, se llama ....................... y tiene ..................... diagonales .

C. 162º , se llama ....................... y tiene ..................... diagonales .

D. 144º , se llama ....................... y tiene ..................... diagonales .

E. 140º , se llama ....................... y tiene ..................... diagonales .

03. ¿Cuántos lados tiene el polígono que tiene 119 diagonales?

a) 12 b) 15 c) 17

d) 18 e) 19

04. El número de lados de un polígono es igual a la mitad del número de diagonales. ¿Cuál es el número de lados?.

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

05. ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos interiores de un polígono regular de 18 lados?

a) 138º b) 160º c) 120º

d) 118º e) 145º

06. En que polígono, el número de diagonales, es igual al número de lados?

a) Hexágono b) Pentágono

c) Octógono d) Cuadrilátero

e) Triángulo

07.En un polígono, la suma de los ángulos internos y externos es 1080°. ¿Cómo se llama el polígono?

a) Pentágono b) Exágono

c) Heptágono d) Nonágono

e) Dodecágono

08. En un polígono regular que tiene 27 diagonales. ¿Cuánto mide cada ángulo externo?

a) 36° b) 45° c) 30°

d) 20° e) 40°

09. Calcular la medida del ángulo interno de un polígono regular que tiene 24 lados.

a) 120° b) 140° c) 150°

d) 165° e) 105°

10.¿Cuántos lados tiene el polígono en el cual la suma de sus ángulos internos es 5 veces la suma de sus ángulos externos?

a) 5 b) 10 c) 12

d) 13 e) 15

11. La diferencia entre un ángulo interno y un ángulo externo de un polígono regular es 100°. ¿Cómo se llama el polígono?

a) Eneágono b) Octógon

c) Pentadecágono d) Icoságono

e) Cuadrilátero

12. El número de diagonales de un polígono convexo es el doble que su número de lados. Calcular la suma de sus ángulos internos.

a) 540° b) 720° c) 900°

d) 1080° e) 1360°

13. ¿Cuántos lados tiene el polígono convexo en el que sí su número de lados aumenta en 8 su número de diagonales aumenta en 52?

a) 4 b) 6 c) 12

d) 14 e) 8

14. Calcular el perímetro de un polígono equilátero si su lado mide 6 y tiene 14 diagonales.

a) 21 b) 30 c) 36

d) 42 e) 48

15. En la figura A y B son cuadrados, C es un rectángulo. Calcular:

16. Calcular el número de lados de un polígono convexo, si desde 3 vértices consecutivos se puede trazar 140 diagonales.

a) 48 b) 49 c) 50

d) 52 e) 60

17. En un polígono desde un vértice se pueden trazar 10 diagonales. ¿Cuántos vértices tiene dicho polígono?

a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 14

18. ¿Cómo se llama el polígono en el cual al aumentarle 2 lados las diagonales aumentan en 13?

a) Pentágono b) Exágono

c) Heptágono d) Octógono

e) N.a.

19. Calcular la medida de un ángulo interior de un polígono

equiángulo, si al trazar las diagonales desde cuatro vértices consecutivos, éstas hacen un total de 17.

a) 108° b) 120° c) 135°

d) 144° e) 150°

20. En la figura, si ambos son polígonos regulares. ¿En cuánto se diferencia a y b?

a) 0° b) 6° c) 12°d) 18° e) 15°

TAREA DOMICILIARIA

01.Dadas las siguientes proposiciones, marcar verdadero (V) o falso (F), según corresponda:

( ) Polígono equilátero es aquel que tiene sus lados congruentes

( ) El polígono equiángulo tienen sus ángulos exteriores congruentes

( ) En un hexágono, desde un vértice se pueden trazar tres diagonales como máximo

a) VVF b) FVV c) FFV

d) FFF e) VVV

02. El segmento que une dos vértices consecutivos de un polígono se denomina:

a) Lado b) Transversal

c) Perímetro d) Diagonal

e) Mediana

03.¿Cuál es la suma de ángulos exteriores de un polígono convexo de 18 lados?

a) 360° b) 3 240° c) 2 880°

d) 720° e) 180°

04. ¿Cuántos lados tiene el polígono que tiene 170 diagonales?

a) 17 b) 18 c) 15

d) 20 e) 22

05. ¿Cuánto mide el ángulo exterior de un nonágono regular?

a) 40° b) 36° c) 45°

d) 60° e) N.a.

06. Calcular el ángulo central de un polígono regular de 36 lados.

a) 20° b) 15° c) 30°

d) 60° e) 10°

07. ¿En que polígono la suma de las medidas de sus ángulos internos es 540°?

a) Triángulo b) Cuadrilátero

c) Pentágono d) Exágono e) N.a.

08. ¿Cuántos lados tiene un polígono cuyo número de diagonales excede en ocho al número de diagonales de otro polígono que tiene un lado menos?

a) 9 b) 10 c) 11

d) 12 e) N.a.

09. Hallar el número total de diagonales de un polígono convexo, sabiendo que la suma de ángulos interiores es igual a 2 340°

a) 54 b) 35 c) 27

d) 15 e) 90

10. ¿Cuál es la suma de los ángulos interiores en la siguiente figura?

a) 1 620° b) 1 800° c) 1 440°

d) 1 080° e) 1 600°

CUADRILÁTEROS

Definición: Es la figura, geométrica plana determinada por la unión de cuatro puntos no colineales mediante segmentos de recta de

modo que estos segmentos no se intersecan.

De acuerdo al tipo de región que limita, un cuadrilátero puede ser convexo o cóncavo.

Cuadrilátero Convexo

Cuadrilátero Cóncavo

CLASIFICACIÓN DE LOS CUADRILÁTEROS CONVEXOS

Los cuadriláteros convexos se clasifican de acuerdo al paralelismo de sus lados en:

a) Trapezoidesb) Trapeciosc) Paralelogramos

TRAPEZOIDES

Es aquel cuadrilátero convexo que no tiene lados opuestos paralelos; estos pueden ser trapezoides

asimétricos y trapezoides simétricos o bisósceles.

A.Trapezoide Asimétrico

B.Trapezoide Simétrico

PRACTICA DE CLASE

01. ABCD trapezoide

x + y + w =290º; z =?

Rpta:……………

02. ABCD trapezoide, x =?


03. ABCD trapezoide, x =?


04. En la figura, hallar: x°


05. Calcular “x”.

a) 10° b) 20° c) 30°

d) 40° e) 15°

06. Hallar “”:

a) 11º b) 16º c) 15ºd) 10º e) 9º

07. En la figura mostrada, calcular "".

a) 5º b) 10º c) 20ºd) 30º e) 40º

08. Según el gráfico, calcular x, si el

triángulo ABC es equilátero.

a) 20º b) 5º c) 15º

d) 10º e) 12º

09. Calcular , si AB = PC


10. Del gráfico. Hallar “x”. Si AB = BC = CD




12. En el trapezoide PQRS, calcular x°.






15. Hallar x°.


16. En el gráfico, calcular “x”


17. Calcular: “x”


18. En la figura hallar: “x”


TAREA DOMICILIARIA

01. En la figura hallar: “x”

a) 50º b) 55º c) 45º

d) 35º e) 25º

02. En un trapezoide simétrico de lado menor 10 y de diagonal menor 12. Hallar el perímetro del cuadrilátero formado al unir los puntos medios de los lados del trapezoide, además la diagonal menor divide a la mayor en la relación de 1 a 2.

a) 28 cm b) 26 cm c) 36 cm

d) 40 cm e) 18 cm

03. Hallar “”:

a) 16º b) 18º c) 14º

d) 26º e) 10º04. L1 // L2. Hallar: “x”.

a) 36° b) 72° c) 60°

d) 90° e) 75°

05. Calcular el ángulo formado por las bisectrices de dos ángulos consecutivos de un trapezoide si los otros dos ángulos miden 80° y 72°.

a) 46° b) 56° c) 67°

d) 68° e) 76°

06. En un cuadrilátero convexo ABCD, hallar el ángulo formado por las bisectrices exteriores de 2 ángulos consecutivos, si la suma de los otros 2 ángulos interiores vale 240°.

a) 30° b) 40° c) 45°

d) 60° e) 75°

07. Calcular el mayor ángulo que forman las bisectrices de dos ángulos opuestos de un trapezoide si los otros dos ángulos miden 158° y 36°.

a) 109° b) 119° c) 139°

d) 140° e) 156°

08. Hallar el perímetro del cuadrilátero PQRS . Si AC + BD = 16 mt.

a) 4m b) 8m c) 12m

d) 16m e) 24m

09. Si BC // AE ; hallar a° + b° + c° :

a) 270° b) 90° c) 180°

d) 360° e) 145°

10. Calcular “x”:

a) 60° b) 100° c) 80°

d) 60° e) 120°

TRAPECIOS

Es aquel cuadrilátero convexo que presenta dos lados opuestos paralelos, los trapecios pueden ser escálenos o isósceles.

Si:

: bases : lados laterales : altura : base media

A.Trapecio Escaleno

Si:

B.Trapecio Isósceles

Si:

Se cumple:

Además:

PROPIEDAD DE LA BASE MEDIA

(MEDIANA)

En todo momento la base media es paralela a las bases del trapecio, además su longitud es igual a la semisuma de las longitudes de dichas bases.

Si: es la base media del trapecio ABCD.

PRACTICA DE CLASE

01. ABCD trapecio, x + y = ?


02. ABCD trapecio; CE altura, <DCB = 110º,

x - y = ?


03. ABCD trapecio isósceles, <DAB = ?


04. MNOP trapecio,

PM = OQ = QN, <MPO = 110º <MNO = ?


05. ABCD trapecio isósceles, <BCD = x + 35, <DAB = x+10, x = ?

Rpta:…………… 06. ABCD trapecio, x = ?


07. ABCD trapecio, x = ?


08. En el siguiente trapecio: A =8y, B =140°, C = 5x+12°, D =3x+8°. Hallar la relación x+y.


09. Si: ; hallar: x°


10. En la figura: hallar: “x”


11. En la figura: ABCD es un trapecio; Hallar “x”


12. Las bases de un trapecio isósceles están en la relación de 5 a 7, si la suma de longitudes de sus lados no paralelos es 14m y su perímetro mide 38m. Calcular la longitud de la mediana del trapecio.

a) 6m b) 12m c) 17m

d) 19m e) 24m

13. Hallar la longitud de la base mayor de un trapecio, sabiendo que su mediana mide 12 m. y la distancia entre los puntos medios de sus diagonales es 3m.

a) 3 b) 6 c) 9

d) 15 e) 12

14. La base menor de un trapecio mide 4 cm y además la medida de la mediana del trapecio es el doble de la medida del segmento

que une los puntos medios de las diagonales. Calcular la medida de la base mayor del trapecio.

a) 4 cm b) 12 cm c) 16 cm

d) 8 cm e) 14 cm

15. Los lados no paralelos de un trapecio isósceles forman con la base menor ángulos de 135°. Si la altura mide 8m y la mediana 18m. Hallar el perímetro del trapecio.


TAREA DOMICILIARIA

01. En el siguiente trapecio: A =8y, B =140°, C = 5x+12°, D =3x+8°. Hallar la relación y/x.

a) 1/5 b) 1/4 c) 1/6

d) 2/3 e) N.A.

02. Las bases de un trapecio isósceles están en la relación de 3 es a 5. Si la suma de sus lados no paralelos es de 50m y su perímetro de 82m. Calcular la mediana del trapecio.

a) 12 m. b) 6 m. c) 3 m.

d) 16 m. e) N.A.

03. En un trapecio el segmento que une los puntos medios de las diagonales es 9m y la suma de las bases es 30m. Hallar la base mayor.

a) 22 m. b) 26 m. c) 30 m.

d) 24 m. e) N.A.

4. La base menor de un trapecio isósceles mide 15m y forma con los lados no paralelos un ángulo de 120. Si cada lado no paralelo mide 40m. ¿Cuánto mide la mediana?

a) 35 m. b) 36 m. c) 30 m.

d) 40 m. e) N.A.

05. La mediana de un trapecio mide 24m y sus bases están en la relación de 1 a 7. ¿Cuánto mide la base mayor?

a) 42 m. b) 36 m. c) 48 m.

d) 40 m. e) N.A.

06. Hallar: x

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) N.A.

07. Calcular la relación de las bases de un trapecio, si el segmento que une los puntos medios de las diagonales es igual a la base menor.

a) 2 es a 5 b) 1 es a 10c) 1 es a 3

d) 3 es a 5 e) N.A.

08.En la figura: ABCD es un trapecio; Hallar “x”

a) 5 b) 10 c) 6

d) 3 e) N.A.

09.En la figura: hallar: “x”

a) 4 b) 8 c) 2

d) 3 e) N.A.

10. En la figura, hallar x°.

a) 5 b) 3 c) 4

d) 8 e) N.A.

PARALELOGRAMO

Es aquel cuadrilátero convexo que presenta sus lados opuestos respectivamente paralelos. Los paralelogramos pueden ser: romboides, rombos, rectángulos y cuadrados.

Propiedades

A.Romboide

B.Rombo

AB = BC = CD = AD

C.Rectángulo

AC = BD

D. Cuadrado

AB = BC = CD = AD

AC = BD

O : centro del cuadrado

PRACTICA DE CLASE

Cuadrado:

01. PQRS cuadrado; x + y =?

Rpta.: ............................................

02. ABCD cuadrado,

AD // EF, <1 + <2 + <3 = ?

Rpta.: ..................

03. ABCD cuadrado,

ACE triángulo equilátero,

<ECD = ?

Rpta.: ..................04. ABCD cuadrado de 4 cm. de

lado, CE BE, BE=?

Rpta.: ..................

05. Si ABCD y MNPQ son cuadrados. AB=12.

Hallar NB.

Rpta.: ..................

a) 4 b) 6 c) 8

d) 10 e) N.A.

06. (Del problema anterior) Hallar la diagonal MP.

a) 4 b) 5 c) 6

d) 8 e) N.A.

07. Si ABCD: Cuadrado: CDE; es equilátero. Calcular “x”.

a) 60° b) 30° c) 45°

d) 75° e) 53°

08. Sea el triángulo equilátero ABC construido en interior del cuadrado ADEC. Hallar la medida del ángulo “”.


09. Si: ABCD es un cuadrado; hallar “x”

a) 16 b) 10 c) 12

d) 20 e) N.A.

10. En un cuadrado ABCD se toman los puntos E sobre y F sobre

, tales que AEF es un triángulo equilátero.

¿Cuánto mide el ángulo ?

a) 30° b) 60° c) 45°

d) 22°30’ e) 15°

Rectángulo

11. MNOP rectángulo,

<PMO = 60º, x = ?


12. Calcular el valor de “x”










17. Los lados de un rectángulo miden 8 y 24 metros. Calcular la diagonal del cuadrilátero formado por las intersecciones de las bisectrices interiores del rectángulo dado.

a) 16 b) 12 c) 18

d) 32 e) 26

18. Hallar el ancho del rectángulo:

a) +1 b) -1 c)

d) 2 e) N.A.

19. ¿Cuál es el perímetro de un rectángulo que tiene de diagonal 15m y su ancho es 75% de su largo?

a) 60 b) 48 c) 42

d) 62 e) 58

20. ABCD, rectángulo y AO = OC = OE. Hallar el valor de “x”:

a) 84° b) 90° c) 69°

d) 66° e) 56°

Rombo:

21. ABCD rombo;

Rpta.: ..................

22. PQRS rombo, SQ UT; x = ?

Rpta.: ..................

23. PQRS rombo,

<PSQ = 20º, <TRQ = ?

Rpta.: ..................

24. ABCD: rombo,

<ADC = 130º, <BAC = ?

Rpta.: ..................

25. ABCD: rombo, AD = 5cm, BD = 8 cm., AC = ?

Rpta.: ..................

26. Calcular el valor de “x”:

Rpta.: ..................


Rpta.: ..................


Rpta.: ..................


Rpta.: ..................


Rpta.: ..................

Romboide:

31. ABCD romboide

AD = DE = CE, <ECB = 50º

<AEB = ?

Rpta.: ..................


Rpta.: ..................


Rpta.: ..................


Rpta.: ..................

35. En la figura hallar x°, si ABCD es un romboide.

Rpta.: ..................

36. En un paralelogramo ABCD, las medidas de los ángulos consecutivos A y B son: 7x-30° y 3x+10° respectivamente. Entonces el complemento de B es:

Rpta.: ..................

37. En el paralelogramo ABCD, calcular x, y, z.

Rpta.: ..................

38. Se tiene un paralelogramo ABCD, en el que AD = 2AB. Se toma E, punto medio de , Hallar el ángulo .

a) 45° b) 60° c) 90°

d) 120° e) 180°

39. Se tiene un paralelogramo ABCD en el cual al trazarse todas sus bisectrices interiores se forma un nuevo cuadrilátero. Este cuadrilátero será:

a) Rectángulo b) Rombo

c) Trapecio d) Trapezoide

e) Paralelogramo

40. Las mediatrices de los lados y de un paralelogramo ABCD si intersecan en un punto M que pertenece a . Hallar el ángulo

, si = 110°

a) 30° b) 50° c) 70°

d) 40° e) 80°

CIRCUNFERENCIA

I. DEFINICIÓN:

“ El que estudia

triunfa ”

Es aquella figura formada por todos los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo cooplanar a ellos, este último es denominado centro y la distancia del centro hacia los puntos de la circunferencia se denomina radio.

II. ELEMENTOS:

Centro : O Radio : Cuerda : Diámetro :

Recta tangente: Punto de Tangencia: T Recta secante :

Longitud de la circunferencia:

donde: (número

trascendental)

III. ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA:

6. Angulo Exterior:

PRÁCTICA DE CLASE

01. Hallar:

02. Hallar:

03. Hallar “x”

04. Hallar “x”

05. Hallar “x”

06. Hallar “x”

07. Hallar “x”

08. Hallar “x”

09.En la figura calcular “x”, si “O” es centro

a) 30 b) 37 c) 60

d) 90 e) 45

10. Si: =120°. Calcular “”.

(0 centro de circunferencia)

a) 30º b) 45º c) 50º

d) 60º e) 70º

11.Calcular: . Si y son tangentes a la circunferencia.

a) 140º b) 75º c) 60º

d) 50º e) 85º

12. Si: AB = R, calcular:

a) 50 º b) 35 º c) 53 º

d) 74 º e) 60 º

13. En la figura es tangente, y . Hallar la

medida del arco BC.

a) 180º b) 170º c) 160º

d) 150º e) 140º

14. En la figura hallar “p” si q = 30°

a) 80° b) 50° 4c) 100°

d) 30° e) N.a

15. Hallar “x”,Si :arco AB = 30° y arco BC = 140°

a) 110° b) 55° c) 50°

d) 100° e) N.a.

16. Hallar el ángulo AÔC. Si “O” es el centro.

a) 100° b) 120° c) 130°

d) 140° e) 150°

17. Hallar “x + y + z”

a) 120° b) 60° c) 30°

d) 15° e) 80°

18. Hallar

a) 40° b) 20° c) 60°

d) 10° e) 30°

19. Del gráfico, calcular “x”

a) 60º b) 70º c) 75º

d) 90º e) 45º

20. En la figura mostrada. Calcular “” si los arcos están en relación como muestra la figura.

TAREA DOMICILIARIA

01. Calcular en la figura el arco QP, siendo “O” centro de la circunferencia.

a) 160° b) 40° c) 80°

d) 70° e) 70°

02. En la figura hallar , siendo “O” centro de la circunferencia.

a) 250° b) 55° c) 200°

d) 110° e) 100°

03. En la figura, hallar

a) 210° b) 75° c) 150°

d) 100° e) N.a.

04. Hallar si “O” es centro de circunferencia.

a) 140° b) 40° c) 120°

d) 70° e) N.a.

05. Hallar

a) 100° b) 90° c) 50°

d) 80° e) N.a.

06. Hallar en la figura

a) 75° b) 105° c) 130°

d) 20° e) N.a.

07. En la figura, hallar “p – q”

a) 140° b) 70° c) 25°

d) 35° e) N.a.

08. Hallar el arco PQ, si el arco QC = 105°

a) 105 b) 40° c) 65°

d) 20° e) 110°

09. Hallar el ángulo BÔA si “O” es el centro.

a) 56° b) 34° c) 17°

d) 28° e) N.a.

10. En el gráfico hallar el valor de “”; 0 es centro:

11. Si arco AB = 50°. Hallar : x + y

+ z

a) 150° b) 50° c) 100°

d) 200° e) 75°

12. Cuánto mide el ángulo formado por dos tangentes trazadas desde el mismo punto, si la cuerda que une los puntos de tangencia es igual al radio?.

a) 90° b) 120° c) 150°d) 180° e) 115°

13. Del gráfico, calcular “”

a) 10º b) 15º c) 20º

d) 25º e) 30º

14. En la figura: . Hallar “”

a) 20 b) 40 c) 30 d) 60 e) 50

15. En la figura, AB=70°. Calcular (+)°

ROPORCIONALIDAD

TEOREMA DE THALES

Tres o más rectas paralelas determinan sobre dos o más secantes a ellas segmentos cuyas longitudes son proporcionales.

Observación.-

No dejes para mañana lo que puedes hacer

hoy

TEOREMA DE LA BISECTRIZ

INTERIOR

En todo triángulo la razón de las longitudes de dos lados es igual a la razón de las longitudes de los segmentos determinados por la bisectriz interior relativa al tercer lado.

Sea el ABC

TEOREMA DE LA BISECTRIZ

EXTERIOR

En todo triángulo escaleno la razón de las longitudes de dos lados, es igual a la razón de las longitudes de los segmentos determinados por la bisectriz exterior relativa al tercer lado.

PROBLEMAS DE CLASE

01. Hallar x, si:

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

02. Hallar x , si: si L // .

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

03. Hallar AB.

a) 20 b) 18 c) 15

d) 30 e) 22

04. Hallar x.

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

05. Hallar x, si

a) 9 b) 8 c) 10

d) 6 e) 7

06. Se tiene los puntos colineales M,

N y P tal que: Y son

proporcionales a 5 y 8 ; MP=52cm. Hallar MN .

a) 12 b) 16 c) 18

d) 20 e) 24

08. Hallar x.

a) 2 b) 4 c) 1,5

d) 2,5 e) 3

09. Si: L1//L2//L3. Hallar "x"

a) 5 b) 6 c) 4

d)7 e)10

.10. Hallar "x".

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

TAREA DOMICILIARIA

1. Si : . Calcular : x+3.

a) 9 b) 10 c) 12

d) 15 e) 18

2.Calcular : MA. .Si : AB = 12, BC = 16, BN = 7.

a) 3/4 b) 11/4 c) 21/4

d) 27/4 e) 13

3. En la figura . Calcular el valor de “x”

a) 6,5 b) 7,5 c) 5

d) 3 e) 5.5

4. En la figura : AB = 8, BC=6 y AC=7

Calcular : AM

a) 3 b) 2 c) 4

d) 1 e) 5

5. En la figura. Calcular : CE.

Si : AB = 8, BC = 6, AC = 7 .

a) 21 b) 22 c) 23

d) 24 e) 28

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

*DEFINICIÓN :

Dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos de igual medida y la longitud de sus lados homólogos respectivamente proporcionales.

ABC MNL

am

bn

c l

LADOS HOMÓLOGOS :

Se denomina así a los lados que se oponen a ángulos de igual medida.

* CRITERIOS DE SEMEJANZA

Primer Caso :

Si tienen dos ángulos de igual medida.

Segundo Caso :

Si tiene dos lados cuyas longitudes son respectivamente proporcionales y el ángulo comprendido entre dichos lados de igual medida.

Tercer Caso :

Si tienen sus tres lados cuyas longitudes son respectivamente proporcionales.

Oservación:

En dos triángulos semejantes las longitudes de sus lados homólogos son proporcionales, así como sus elementos

homólogos: alturas, bisectrices, medianas, inradios, etc.

Se cumple:

ABPQ

BCQR

ACPR

BHQN

rr

K1

K = constante de proporción

PROBLEMAS DE CLASE

01. Hallar x.

a) 4 b) 4,5 c) 5

d) 6 e) 5,5

02. Hallar x.

a) 6 c) 4 c) 8

d) 9 e) 5

03. Hallar x.

a) 12 b) 14 c) 15

d) 16 e) 10

04. Hallar x, si: //

a) 8

b) 10

c) 6

d) 4

e) 12

05. Hallar x

a) 12u b) 10,5 c) 9

d) 7 e) 6

06. Hallar "x". Si: BC = 36u; AB = 48u; PQ = 24u y PQ // BC.

a) 12u b) 13 c) 14

d) 15 c) 16

07. Siendo: EC = 15; ED = 9; AD = 15. Hallar BE

a) 3,75

b) 4,8

c) 4,2

d) 6,6

e) 6,75

08. Si: . Calcular x

C

B

A

E

D

a) 4 b) 8 c) 12

d) 16 e) 9

09. Calcular : x

a) 6 b) 9 c) 7,5

d) 4,5 e) 8

10. Calcular : PQ. Si : //

a) 5 b) 8 c) 10

d) 12 e) 9

TAREA DOMICILIARIA

01. Hallar x.

a) 10 b) 6 c) 5

d) 4 e) 3

02. Calcular x.

a) 1 b) 9 c) 6

d) 4,5 e) 3

03. En el gráfico. Encuentre MN Si: AB = 12; AC = 9; BN = 4

a) 1m

b) 2m

c) 3m

d) 4m

e) 5m

04. Calcular x. Si : ABCD : Romboide

a) 3

b) 4

c) 6

d) 5

e) 2

05. Se tienen dos triángulos semejantes, el perímetro del primer triángulo es 60 y los lados del segundo triángulo miden 3; 4 y 5. ¿Cuánto mide el menor lado?

a) 10 b) 15 c) 20

d) 8,2 e) 9,2

N

A

B

C

xM

x mÓdulo geometrÍa 1º caruajulca

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