módulo 2. geometría analítica (autoguardado)

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1.1Introducción histórica, Euclides y el sistema geométrico griego, la axiomática de Hilbert y el enfoque de Birkhoff. LA GEOMETRIA DE EUCLIDES Y EL SISTEMA AXIOMATICO 1.1.1 Reseña sobre los Fundamentos de la Geometría. El surgimiento de las ideas geométricas se remonta a épocas muy lejanas, en la antigua cultura de Babilonia y de Egipto. En el siglo VII a.c. comenzó el periodo del desarrollo de la geometría en los trabajos de los científicos griegos. En los siglos VI y V a.c. se consolidó el concepto de demostración de teoremas. Los griegos en el siglo III a.c. disponían de métodos de demostraciones geométricas, por tanto en esta época aparecieron los primeros intentos de disponer de todo el material geométrico en un orden lógico coherente. Luego de esto aparecieron los famosos “Elementos” de Euclides. 1.1.2 Euclides: uno de los grandes geómetras de la antigüedad que vivió en un periodo que se extiende aproximadamente del año 330 al 275 a.c. Su obra los Elementos consta de 13 libros, de los cuales el 5to., 7mo., 8vo., 9mo. Y el 10mo. están dedicados a la teoría de las proporciones y a la aritmética (expuestas en forma geométrica); las restantes son propiamente geométricos. El primero contiene las condiciones de igualdad de triángulos, las relaciones entre lados y ángulos de triángulos, la teoría de líneas paralelas y criterios de equivalencia de triángulos y polígonos. En el 2do. Se expone la transformación de un polígono en un cuadrado equivalente. El 3ro. Está dedicado a la circunferencia; en el 4to. Se consideran los polígonos inscritos y circunscritos; en el 6to. Se analiza la semejanza de polígonos. En los 3 últimos se exponen los fundamentos de la estereometría.

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1.1 Introducción histórica, Euclides y el sistema geométrico griego, la axiomática de Hilbert y el enfoque de Birkhoff.

LA GEOMETRIA DE EUCLIDES Y EL SISTEMA AXIOMATICO1.1.1 Reseña sobre los Fundamentos de la Geometría.

El surgimiento de las ideas geométricas se remonta a épocas muy lejanas, en la antigua cultura de Babilonia y de Egipto. En el siglo VII a.c. comenzó el periodo del desarrollo de la geometría en los trabajos de los científicos griegos. En los siglos VI y V a.c. se consolidó el concepto de demostración de teoremas. Los griegos en el siglo III a.c. disponían de métodos de demostraciones geométricas, por tanto en esta época aparecieron los primeros intentos de disponer de todo el material geométrico en un orden lógico coherente. Luego de esto aparecieron los famosos “Elementos” de Euclides.

1.1.2 Euclides: uno de los grandes geómetras de la antigüedad que vivió en un periodo que se extiende aproximadamente del año 330 al 275 a.c. Su obra los Elementos consta de 13 libros, de los cuales el 5to., 7mo., 8vo., 9mo. Y el 10mo. están dedicados a la teoría de las proporciones y a la aritmética (expuestas en forma geométrica); las restantes son propiamente geométricos.El primero contiene las condiciones de igualdad de triángulos, las relaciones entre lados y ángulos de triángulos, la teoría de líneas paralelas y criterios de equivalencia de triángulos y polígonos. En el 2do. Se expone la transformación de un polígono en un cuadrado equivalente. El 3ro. Está dedicado a la circunferencia; en el 4to. Se consideran los polígonos inscritos y circunscritos; en el 6to. Se analiza la semejanza de polígonos. En los 3 últimos se exponen los fundamentos de la estereometría.Euclides comienza cada libro definiendo los conceptos que tendrá que manejar en él, luego postulados y axiomas y por último expone los teoremas de la geometría, disponiéndolos en orden lógico, de forma que cada proposición (teorema) pueda demostrarse a base de las definiciones, postulados y axiomas precedentes. Todo esto se denomina fundamentación (axiomática) de la geometría. Arquímedes amplio la lista de los postulados y completo la teoría de medición de longitudes, áreas y volúmenes, es decir este fundamento la geometría métrica.

1.1.3 NICOLAI IVANOVICH LOBACHEVSKI Y SU GEOMETRIALas primeras décadas del siglo XIX trajeron, la solución del problema del V postulando, llevándose el honor el profesor de la universidad de Kazán, Nicolai ivánovich Lobachevski (1793-1856) esto se publicó en 1829 y reza de la siguiente manera: “El V postulado no puede ser deducido de los restantes postulados de la geometría” y Lobachevski construye un sistema lógico cuyas proposiciones son consecuencias de las premisas aceptadas.Desarrolló el sistema de sus teoremas y representa una nueva geometría a la cual le llamo “Imaginaria”, comúnmente se le llama “Geometría no Euclidiana”.En el periodo helenístico fue muy fructífero para los matemáticos. Después de los griegos, un gran aporte al desarrollo de la matemáticas fue realizado por los pueblos

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de la india, de los países árabe y del Asia media (siglo IX al XV), que desarrollaron los elementos del algebra y la trigonometría plana.En el siglo XVIII fueron creados los cálculos diferencial e integral, la invención de la geometría analítica. Abrió el camino a la aplicación del algebra y el análisis a la resolución de problema geométricos, así como de numerosos problemas de la mecánica y la astronomía.Los enfoques del espacio geométrico y de los conceptos que forman la base de la geometría, es la misma que la de Euclides, solo con más claridad, en el siglo XIX se desarrollaron tres disciplinas geométricas a saber: los fundamentos de la geometría, la geometría diferencial y la geometría proyectiva.A finales del siglo XIX se publicaron varios obras, pero la más famosa fue la de David Hilbert, “fundamentos de la geometría” publicado 1899 en su libro Hilbert enuncia un sistema completo de axiomas de la geometría euclidiana, donde se puede obtener todos los resultados por medio de deducciones lógicas. En esta geometría solo se supone que existen tres grupos de objetos, llamados “Puntos”, “rectas” y “planos” en los cuales se verifican ciertas condiciones, tales como:1) Entre los objetos denominados puntos, rectas y planos, así como entre algunos

conjuntos de estos objetos (segmentos, ángulos) deben existir determinadas relaciones, que se denotan por los términos “pertenece a”, “entre” , congruentes. por tanto el espacio geométrico está formado por tres objetos puntos, recta y

planos y lo representamos así ; G = {S , L , P }.

2 SISTEMA DEDUCTIVO

La implicación es la forma que adopta todo teorema en matemática. La cual solo es falsa si la hipótesis es verdadera y la tesis es falsa. En los demás casos el teorema es verdadero. La tesis es lo que se pretende demostrar. Si una hipótesis es verdadera y se demuestra que la tesis es falsa entonces tendremos una implicación o teorema falso. P ⇒ Q

v f

f

Para demostrar una implicación (h⇒ t ) esto se puede hacer por dos caminos: el método directo (comenzando por la hipótesis (h)). O por considerar la tesis (t) que es el método indirecto o por el absurdo o por reducción al absurdo.

Método Directo: h⇒ t

Se inicia analizado (h) si se comprueba que h es falsa, ya queda verificado que no se presenta (v⇒ f ¿, entonces queda demostrada la h⇒ t .

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Si por el contrario se comprueba que v (h)=v hay que examinar t : si resulta v (t)=v si no se presenta (v⇒ f ) y queda demostrado h⇒ t , pero si resulta v (t)=F entonces v⇒ f es falsa.

Método Reducción al Absurdo:

En este método se inicia por analizar t. si se comprueba que v (t)=v, queda demostrado (h⇒ t ). En cambio si v (t)=f hay que examinar h: si resulta v (h)=f , queda demostrado

(h⇒ t ), pero si resulta v (h)=v, entonces la implicación seria falsa.

El método indirecto o por el absurdo equivale aplicar el método directo t '⇒ h '.

h⇒ t se le puede asociar estos dos teoremas: recíproco t⇒ h y el Contrario h '⇒ t '

Teorema Directo h⇒ t Teorema Reciproco t⇒h

Teorema Contrario o Indirecto Teorema Contrarrecíproco h ´⇒ t ´ t´⇒h´

Teorema Directo: Si dos ángulos son opuestos por el vértice entonces son congruentes.

Teorema Contrarrecíproco: Si dos ángulos no son congruentes entonces no son opuestos por el vértice.

Condiciones necesarias y condiciones suficientes

Cuando vale el teorema h⇒ t se dice tambien que:

h es condición suficiente para t,

t es condición necesaria para h,

Se cumple t si se cumple h,

Se cumple h solo si se cumple t.

Modus ponens: si A y A B son teoremas también B es teorema.

El modus ponendo ponens (modus ponens) se expresa en el lenguaje lógico en la forma siguiente: [(p >>>> q) y p] >>> q también:

Este tipo de razonamiento se conoce como resultado directo de demostración

Ejemplos:

1) Si dos ángulos correspondientes entre paralelas son iguales A=B por lo tanto son correspondiente entre paralelas.

Sea p : los ángulos A y B son correspondiente entre paralelas

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q : A=B traducido será: [ ( p⇒q )∧q ]⇒ p . Este razonamiento no es válido, porque la

segunda premisa de la conjunción no es el antecedente de la implicación.

La condición de ser correspondiente entre ∥s es suficiente para que dos ángulos sean iguales; pero no es necesaria ya que entre ∥s dos ángulos son iguales también si son alternos internos, opuestos por el vértice, etc.

2) Si dos ángulos A y B son correspondiente entre paralelas (∥s), entonces son iguales. Los ángulos A y B son correspondientes entre paralelas (∥s). Por lo tanto son iguales.

Al traducirlo al lenguaje simbólico tenemos: [ ( p⇒q )∧ p ]⇒ q. Este razonamiento es válido,

es decir, la conclusión depende del antecedente de la implicación y de ésta.

El Modus Tollendo tollens (Modus Tollens) se expresa en el lenguaje lógico en la forma siguiente [( p⇒q)∧(∼q)]⇒∼ p

Este razonamiento recibe el nombre de demostración indirecta.

1) En un mismo plano, si dos rectas son perpendiculares (⊥s) a una tercera, entonces, las dos primeras son paralelas (∥s) entre sí ( p⇒q). Dos rectas de un plano no son paralelas ( q) por tanto las dos rectas no son perpendiculares a la tercera. Es decir, se cumple que: [( p⇒q) y ( q)]⇒ p.

P : Dos rectas son perpendiculares (⊥s) a una tercera.

Q : Las dos primeras son paralelas(∥s).

Ejercicios: Para cada uno de los teoremas siguientes escribe sus tres derivados y ponerles sus nombres.

a) Si dos ángulos son correspondientes entre paralelas, entonces son congruentes.b) Si dos triángulos tienen sus tres lados congruentes, entonces son congruentes.c) Si dos ángulos son opuestos por el vértice, entonces son congruentes.d) Si dos triángulos tiene sus tres triángulos congruentes, entonces son semejantes.

Los tres métodos para “demostrar”: Directo, Indirecto y Contrarrecíproco.

“Matemáticas es demostrar” y se “Aprende a demostrar haciendo demostración”.

En matemáticas se demuestra razonando deductivamente. La matemática emplea el método lógico deductivo. En matemática no se hace experimentos porque para demostrar no se admiten aproximados, sino lo real y segundo no podemos fiarnos de los sentidos (vista).

Dinámica: Una figura no demuestra un teorema

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(Veamos las siguientes dinámicas). Una figura no demuestra un teorema.

¿Es el centro de la figura más grande en A o en B?

¿Qué tú ves? Ahora mira de nuevo.

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¿Son las líneas a y b curvas o rectas?

¿Observas seis estrellas puntiagudas o tres cubos dentro del círculo?

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¿Qué forma tiene la figura ABC?

La figura en un teorema, es una ayuda para guiarnos en la demostración.

El método directo de demostración es una cadena de conjunciones de implicaciones que, partiendo de la hipótesis, llegan a la tesis.

Ejemplos: si se quiere demostrar que p⇒q

( p⇒q)∧(r⇒ t)∧( t⇒q). Por lo tanto p⇒q. Cada implicación es un paso de la demostración.

El método indirecto o de reducción al absurdo sigue los siguientes pasos:

1) Se supone que el teorema es falso. p⇒q es falso, por tanto ( p⇒ q) es verdadero.

2) Suponemos que ( p⇒ q) es verdadero se usa el método directo hasta llegar a una implicación que sea una contradicción.

3) Si se llega a una contradicción partiendo de ( p⇒ q), entonces la suposición de que esta sea verdadera no es correcta, y por lo tanto ( p⇒ q) es falsa y entonces p⇒q es verdadero.

En resumen para hacer una demostración indirecta: 1ro. Negamos la tesis, con la misma hipótesis.

2do aplicamos el método directo a p⇒ q hasta llegar a una contradicción

El método del contrarrecíproco: El teorema directo es lógicamente equivalente al teorema del contrarrecíproco, por tanto es lo mismo.

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Teoremas:

a) Si dos triángulos tienen sus ángulos agudos congruentes, entonces sus catetos son congruentes.

b) Si dos triángulos tienen dos lados y el ángulo comprendido respectivamente congruentes, entonces los triángulos son congruentes.

c) Si dos triángulos rectángulos tienen catetos correspondientes congruentes, entonces los triángulos son congruentes.

d) Dos rectas diferentes L1 y L2 se intersecan en a” lo más” un punto.e) Por un punto pasa un conjunto infinito de rectas.

Teo. : (Teorema de la localización de puntos)

Sea AB y x un numero real positivo.

Entonces: 1. Existe un punto P∈ AB tal que d ( A , P)=x .

2. El punto P es único.

Enunciados Razones:

Sea AB y x > 0, real HipótesisSea un sistema de coordenadas tal que 0 corresponda a A, r > 0, corresponda a B.

Postulados de la distancia: “A cada par de puntos cualesquiera corresponde un número real positivo único.

Si x>0 entonces x > r o x < r Propiedad de tricotomía.x corresponde a un punto p tal que: p esta entre A y B, o B esta ente A y P

Postulado de continuidad de la Recta: Sean A y B dos colecciones de puntos colineales cualesquiera sobre una recta L, de modo que:1ro. Si p ԑ a y q ԑ b entonces p está a la izquierda de q.2do. Todo punto de A tiene un punto a su derecha que también está en A y todo punto de B time un punto a su izquierda q también está en B. Entonces existe un punto de la recta L que es la frontera exacta entre las colecciones de puntos A y B

P ԑ al rayo AB Definición de rayo: sean A y B dos puntos diferentes de una recta L. llamaremos rayo AB ( AB), a la unión de:

1. El segmento AB(AB) con2. El conjunto de todos los

puntos c de L tal que B esta entre A y C. El punto A se llama extremo u origen del

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rayo.P es el único punto con coordenada x.

Postulado de continuidad de la recta. Q.E.D.(Queda Entonces Demostrado). LQQD.(Lo Que se Quería Demostrar) C.Q.D. (Como se Quería Demostrar), o uno de los siguientes gráficos, se colocan al final de una demostración